FORMULES, OUDE EN NIEUWE 1

FORMULES, OUDE EN NIEUWE

1

Het weer hogerop Hoog in de bergen is de lucht kouder en ijler dan beneden in het dal: de temperatuur en de luchtdruk zijn daar lager. Ivo, met vakantie in Oostenrijk, heeft tijdens een bergwandeling de temperatuur en de luchtdruk op verschillende hoogten gemeten:

h = hoogte in meters , t = temperatuur in °C , d = luchtdruk in millibar. » Geef elke temperatuurmeting weer door een stip. Teken vervolgens de volledige grafiek door de getekende punten te verbinden. » Op welke hoogte ongeveer zal het 0° C zijn?

op 1900 meter

Een vuistregel zegt hoeveel de temperatuur daalt, elke honderd meter dat je stijgt. » Maak die vuistregel af:

Elke 100m stijging, daalt de temperatuur 1 °C

Er is een verband tussen de hoogte h en de temperatuur t. Als je t + @h uitrekent, komt er steeds hetzelfde getal uit. » Maak de formule voor h en t af door het passende getal in te vullen. Je kunt de formule ook schrijven in de vorm: t = ⋅ h + . » Doe dat. In deze laatste formule is t uitgedrukt in h. Er is een ook verband tussen de hoogte h en de luchtdruk. » Geef elke luchtdruk-meting weer door een stip. Teken vervolgens de volledige grafiek door de stippen met een vloeiend lopende lijn te verbinden. Van dit verband kun je niet zo eenvoudig een formule geven.

t + @· h = 19

t = -@· h + 19

FORMULES, OUDE EN NIEUWE

2

Ribben, hoekpunten, grensvlakken We bekijken een n-zijdig prisma (n is een geheel getal, n ≥ 3). Het aantal ribben noemen we r, het aantal hoekpunten h en het aantal grensvlakken g. Bij een vijfzijdig prisma is n = 5.

r = 15

h = 10

g = 7

r = 3n

h = 2n

g = n + 2

» Hoe groot zijn r, h en g dan ? Nu voor een willekeurig n-zijdig prisma. » Geef formules voor r, h en g, uitgedrukt in n. Prijsverlaging In een kledingwinkel worden de prijzen tijdens de opruiming 25% verlaagd. » Wat kost in de opruiming een jasje dat normaal € 80 kost? De normale prijs noemen we x euro en de prijs in de opruiming y euro. Er is een verband tussen x en y van de vorm: y = ⋅ x » Welk getal moet er op de invulstreep staan?

€ 60

y = H x

De omtrek van een cirkel De omtrek van een cirkel kun je berekenen door zijn diameter te vermenigvuldigen met π (dat is ongeveer 3,14). De straal van een cirkel noemen we r, de omtrek p.

» Geef een formule voor p, uitgedrukt in r.

Leeftijd en geboortejaar Ivette is in 2005 x jaar geworden. Haar geboortejaar noemen we y.

r

p = 2πr

y = 2005 – x

» Geef een formule voor y, uitgedrukt in x. Een klassenavond De feestcommissie van klas K3b heeft inkopen gedaan voor de klassenavond. Ze heeft a flessen sinas van € 0,90 per stuk gekocht, b flessen cola van € 0,80 per stuk en c flessen 7-up van € 1,10 per stuk. In totaal moest ze hiervoor precies € 50,-- betalen. » Geef een formule voor a, b en c in de vorm: ⋅ a + ⋅ b + ⋅ c = .

0,9x + 0,8y + 1,1z = 50

diameter

VERBANDEN IN RECHTHOEKEN

333

Rechtenhoeken met gegeven omtrek Van een rechthoek noemen we de basis b en de hoogte h (beide in cm).

» Bereken de omtrek (dat is de lengte van de rand) als b = 6 en h = 4.

20

» Geef een voorbeeld van een andere rechthoek met dezelfde omtrek.

basis = 5

; hoogte = 5

.

Bij alle rechthoeken met omtrek 20 (cm) is er een verband tussen de basis b en de hoogte h. » Vul een tabel in bij dit verband.

61 2

9 6

Een formule bij het verband is 2b + 2h = 20 . » Druk h uit in b door de formule anders te schrijven.

h = 10 – b

» Teken de grafiek van het verband in het rooster onderaan de bladzijde. Schrijf het getal 20 bij de grafiek. Ook bij rechthoeken met omtrek 10 (cm) bestaat er een verband tussen de basis b en de hoogte h. » Geef een formule voor dit verband.

h = 5 – b of 2h + 2b = 10 of…

» Teken de bijbehorende grafiek; schrijf er het getal 10 bij. » Teken ook de grafieken die horen bij: omtrek 4, omtrek 8, omtrek 15 en omtrek 24. Schrijf bij elke grafiek het passende getal. Je hebt nu zes grafieken getekend. Ze hangen samen: bij elke grafiek hoort een omtrek. Zo’n serie samenhangende grafieken in één figuur noemt men wel een nomogram.

24 20 15

4

10 8

8

91


444

Rechthoeken met gegeven oppervlakte Een rechthoek van 4 bij 6 cm heeft oppervlakte 24 cm2. Er bestaan veel rechthoeken met deze oppervlakte. » Geef drie voorbeelden.

3bij 8; 2 bij 12; 5 bij 4K

Bij alle rechthoeken met oppervlakte 24 is er een verband tussen de basis b en de hoogte h. » Vul een tabel in bij dit verband.

3

1

2

» Geef een formule van dit verband.

4

h ⋅ b = 24

» Teken de bijbehorende grafiek; schrijf er het getal 24 bij .

24 18 12 6

» Geef ook een formule voor b en h bij oppervlakte 18. » Teken de bijbehorende grafiek; schrijf er het getal 18 bij. » Teken ook de grafieken bij oppervlakte 6, bij oppervlakte 12 en bij oppervlakte 30; schrijf bij elke grafiek het passende getal. Elk van de grafieken is een (halve) hyperbool. Het totale plaatje is weer een nomogram.

h ⋅ b = 18

30

16 4K


555

Rechthoeken waarbij de verhouding hoogte:basis steeds hetzelfde is We bekijken alle rechthoeken waarvan de hoogte twee keer zo groot is als de basis.

41 10

» Vul een tabel in bij dit verband. » Geef een formule van dit verband.

23

15

3

h = 2 ⋅ b

» Teken de grafiek van dit verband; schrijf er het getal 2 bij. » Teken ook de grafieken van de verbanden: h = 5b , h = 3b , h = b , h = 1b , h = 2b en h = 4b ; schrijf er de getallen 5, 3, 1, 1 , 2 en 4 bij.

5 3 2

1 2 4

Combineren Hiernaast zijn de grafieken getekend van de drie verbanden. • omtrek 26 • oppervlakte 24 • hoogte = 2 × basis

hoogte = 2 basis hoogte× = 2×basis

In het plaatje is aangegeven welke grafiek hoort bij hoogte = 2 × basis. » Geef ook aan welke grafiek hoort bij omtrek 26 en welke hoort bij oppervlakte 24. Uit het plaatje kun je de afmetingen aflezen van • de rechthoek met omtrek 26 en oppervlakte 24 en • van de rechthoek met oppervlakte 24 en hoogte 2 x de basis » Doe dat zo nauwkeurig mogelijk en schrijf het resultaat hiernaast op.

omtrek 26

oppervlakte 24

h = 10,8 ; b = 2,2 .

h = 3,5 ; b = 7,0 .

de basis is een zeker getal;

Van de rechthoek met omtrek 26 en hoogte 2 x de basis kun je de basis precies berekenen. Dat kan bijvoorbeeld zoals hiernaast.

de omtrek is dan 6 ⋅ dat getal;

» Maak de berekening af.

dat getal is dus: 26:6 = 42

de hoogte is dan 2 ⋅ dat getal;

KETTINGEN

6

Machientjes In de eerste klas heb je kennis gemaakt met machientjes, bijvoorbeeld het machientje KWAD, dat alle getallen die ingevoerd worden kwadrateert. Andere voorbeelden zijn: PLUS 2

verhoogt de invoer met 2 ;

MAAL -3

vermenigvuldigt de invoer met -3 ;

WORTEL

trekt de wortel uit de invoer ;

OMG

neemt het omgekeerde van de invoer;

TEGEN

neemt het tegengestelde van de invoer.

-3

Bijvoorbeeld bij x

De invoer noemen we meestal x en de uitvoer y. Er is een verband tussen de invoer x en de uitvoer y, » Geef een formule voor de invoer x en de uitvoer y bij de andere vijf hierboven genoemde machientjes. (Bij OMG is het verband al gegeven.)

y

KWAD

is een formule: y = x2

PLUS 2

y = x + 2

MAAL -3

y = -3x

WORTEL

y = √x

OMG TEGEN

Twee kettingen We kunnen ook kettingen van machientjes maken. Hiernaast is zo'n ketting getekend. » Ga na dat de uitvoer 13 is bij invoer 5.

9

KWAD

MAAL 2

y = 1 x y = -x

PLUS 3

2 ⋅ 5 + 3 = 13

» Geef een formule voor de invoer x en de uitvoer y bij deze ketting.

y = 2x + 5

Deze ketting bestaat uit twee ‘stappen’. De tussenstap is ‘2x’. x

MAAL 2

2x

PLUS 3

2x + 3

Bekijk de ketting: x

PLUS 3

MAAL 2

» Wat moet er op de eerste invulstreep staan en wat op de tweede?

x + 3

» Wat is een formule voor de invoer x en de uitvoer y bij deze ketting?

y = 2(x + 3)

2(x + 3)

KETTINGEN

7

Op de vorige bladzijde heb je de twee kettingen hiernaast bekeken. De formules voor y en x bij die twee zijn verschillend. Als het goed is, heb je ook twee verschillende formules opgeschreven! Twee andere kettingen vergeleken Hiernaast staan twee andere kettingen. De eerste ketting geeft bij invoer 2 de uitvoer 16, de tweede geeft bij invoer 2 de uitvoer 8. De formules voor de invoer x en de uitvoer y zijn dus verschillend. » Geef een formule van elk van de twee kettingen.

y = (2x)2

Nog twee kettingen vergeleken Bekijk de twee kettingen hiernaast. De invoer is weer x en de uitvoer y. » Ga na of de formules voor y en x bij de twee kettingen hetzelfde is. Licht je antwoord toe.

» Geef een formule voor elk van de kettingen.

MAAL 2

PLUS 3

PLUS 3

MAAL 2

MAAL 2

KWAD

KWAD

MAAL 2

of y = 4x2

y = 2x2

PLUS 3

KWAD

KWAD

PLUS 3

Nee, want de eerste geeft bijvoorbeeld bij invoer 1 uitvoer 16 en de tweede geeft bij invoer 1 uitvoer 4

y = (x + 3)2

y = x2 + 3

Waarschijnlijk heb je bij één van de twee formules haakjes gebruikt. » Schrijf die formule zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

» Bereken alle mogelijke waarden (ook negatieve) die x kan hebben als: x

PLUS 3

KWAD

y = (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

dan: x + 3 = 12 of x + 3 = -12 dus x = 9 of x = -15

144

Schrijf je berekening hiernaast netjes op » Bereken ook alle mogelijke waarden die x kan hebben als: x

KWAD

PLUS 3

Schrijf je berekening hiernaast netjes op

197

dan: x2 = 194, dus x = √194 of x = -√194

VERBANDEN IN DE PRAKTIJK

8

Remweg Als een auto uit alle macht remt, staat hij nog niet meteen stil. De afstand die hij nog aflegt, nadat het rempedaal is ingedrukt, noemt men de remweg. Hoe groot de remweg is, hangt af van de snelheid waarmee de auto rijdt. Met het blokschema hiernaast kun je bij een gegeven snelheid de remweg uitrekenen. De snelheid noemen we v (in km/u), de remweg r (in meters).

START Neem de snelheid in km/uur. Deel dit getal door 10. Kwadrateer de uitkomst. Vermenigvuldig het kwadraat met H . De uitkomst is de remweg in meters. KLAAR

» Bereken de remweg bij elk van de snelheden in de tabel.

12

48

75

147

192

300

We zoeken een formule voor het verband tussen v en r. Dat kun je bijvoorbeeld doen door een ketting van machientjes bij het blokschema te maken, waarbij de invoer v is en de uitvoer r. v

MAAL /

/v

KWAD

(/v)2

» Vul de passende machientjes en de tussenuitkomsten in. » Welke formule vind je voor het verband tussen v en r? » Laat zien dat je die formule ook kunt schrijven als: 3v 2 . r= 400 » Teken de grafiek van het verband.

r = H ⋅ H ⋅ (/v)2

(/v)2 = H ⋅ @v2 =

3v 2 400

MAAL H

H ⋅ (/v)2


9

Op de autosnelwegen in Nederland is de maximale toegestane snelheid 120 km/u. Een auto is geslipt en in de berm terecht gekomen. De politie wil weten of de automobilist te hard gereden heeft en meet het remspoor: 105 meter. » Lees uit de grafiek de snelheid van de auto af. » Ga door een berekening na of de door jou afgelezen snelheid precies goed is.

117 km/u

3 ⋅ 1172 : 400 ≈ 103 < 105, dus 117 is te klein.

Celsius en Fahrenheit Op een thermometer staan vaak twee schaalverdelingen: die van Celsius en die van Fahrenheit. Wij gebruiken eigenlijk alleen maar de schaal van Celsius; in Engeland en de VS gebruikt men meestal de schaal van Fahrenheit. De Zweed Anders Celsius en de Duitser Gabriël Fahrenheit waren natuurkundigen in de achttiende eeuw. Het was toen nog moeilijk om temperaturen nauwkeurig te meten. Beiden hebben een thermometer ontworpen.

Graden Celsius wordt afgekort met °C, graden Fahrenheit met °F. » Welke temperatuur geeft de thermometer hiernaast aan in graden Celsius? En in graden Fahrenheit? 0 °C komt overeen met 32 °F; 100 °C met 212 °F. » Hoeveel °F komt dus overeen met 50 °C? Met behulp van het blokschema hiernaast kun je elke temperatuur omrekenen van °C naar °F. Het aantal graden Celsius noemen we c, het aantal graden Fahrenheit f.

29 °C

84 °F

Het gemiddelde van 32 en 212, dus 122°F

START Neem de temperatuur in °C. Vermenigvuldig die met 1,8. Tel er dan 32 bij op. De uitkomst is de temperatuur in °F. KLAAR

» Controleer of het blokschema klopt voor 0 °C, voor 50 °C en voor 100 °C. Reken ook de drie andere temperaturen in de tabel om naar °F.

-40

32

122

212

284

392


» Geef een formule voor het verband tussen c en f.

10

f = 1,8c + 32

» Teken de grafiek van het verband.

Inhoud en oppervlakte van een kubus » Bereken de inhoud en de totale oppervlakte van een kubus met ribbe 2 cm. Opmerking “ribbe 2 cm” betekent dat de ribben 2 cm lang zijn. De ribbe van een kubus noemen we r (cm), de inhoud i (cm3) en de totale oppervlakte a (cm2). » Geef een formule voor het verband tussen r en i. En van het verband tussen r en a.

i = r3 a = 6 ⋅ r2

» Teken van beide verbanden de grafiek. Maak eventueel een tabel op klad.

» Lees uit de grafiek af wat de ribbe ongeveer is, als de inhoud 20 cm3 is. » Lees uit de grafiek af wat de ribbe ongeveer is, als de totale oppervlakte 20 cm2 is. » Geef ook een berekening van de ribbe als de totale oppervlakte 20 cm2 is.

2,7 cm

1,8 cm

6 ⋅ r2 = 20, dus r2 = 3,333, dus r = √3,333 dus r≈1,83


11

Een auto huren Anneke verhuist van Wageningen naar Amsterdam. daar gaat ze studeren. Voor de verhuizing heeft haar vader een Ford Transit (8,5 m3 laadruimte) gehuurd bij verhuurbedrijf Roelofs. Dat kost € 60,--. De eerste 100 km zijn vrij; die zijn als het ware in het vaste bedrag van € 60,-- verrekend. Voor elke kilometer daarboven moet 30 cent betaald worden. Annekes vader hoeft maar één keer heen en terug te rijden van Wageningen naar Amsterdam. De afstand Wageningen-Amsterdam is 80 km. » Bereken wat Annekes vader voor de retourrit bij Roelofs moet betalen. » Maak een tabel voor het verband tussen het te rijden aantal km a en de kosten k (in euro’s).

60 + 60 ⋅ 0,30 = 78 euro

60

60

60

75

78

90

105


» Beschrijf het verband met formules; onderscheid twee gevallen.

» Bij welk aantal kilometers kost de huurauto in totaal bij Roelofs € 99,-- ? Schrijf je berekening op. In alle voorbeelden speelden twee variabelen een rol. Steeds was er een verband tussen de variabelen. Een ander woord voor verband is relatie of betrekking. Bij een verband horen drie dingen: • een formule • een tabel • een grafiek.

Als a ≤ 100, dan k = ___ 60 Als a > 100, dan k = ___ 60 + 0,3 ⋅ ( ______ a – 100 ) ↑ ↑ voor de eerste boven de 100 km 100 km Voor het aantal km boven de 100 wordt 99 – 60 = 39 euro betaald. Voor 39 euro kun je 39:0,3 = 130 km rijden. Dus bij 230 km

VERBANDEN IN HET VLAK

12

We bekijken de punten in het vlak waarvoor geldt: “De tweede coördinaat is 1 groter dan de helft van de eerste coördinaat”. » Maak een bijbehorende tabel: -2

-1

1

21

4

51

» Teken de bijbehorende punten in het assenstelsel.

Deze punten liggen op een rechte lijn. De eerste coördinaat van de punten noemen we x, de tweede coördinaat noemen we y. De cursieve zin hierboven legt een verband vast tussen x en y. » Geef een formule voor dit verband. » Bereken met de formule welk getal x is, als y = 100 » En welk getal is y, als x = 100 ?

y = 1x + 1

100 = 1x + 1, dus1 x = 99,dus x = 198

y = 1 ⋅ 100 + 1 = 51

We zeggen dat de punten (100,51) en (198,100) voldoen aan het verband. Deze punten liggen op de grafiek. » Ga met de formule na welke van de volgende punten aan het verband voldoen: (-B , B), (41 , 3 ) , (-10 , -6) , (2K , 24).

Afspraak De eerste coördinaat van punten in een assenstelsel noemen we in de regel x , de tweede coördinaat noemen we y.

B = 1 ⋅ B + 1 ? NEE

3 = 1 ⋅ 41 + 1 ? NEE

-6 = 1 ⋅ -10 + 1 ? NEE

24 = 1 ⋅ 2K + 1 ? NEE


13

De som van de coördinaten is -3 We bekijken het verband: “De som van de coördinaten is -3”. » Geef een formule van dit verband. x + y = -3

» Maak een tabel bij dit verband.

-2

0

2

4

6

8

-1

-3

-5

-7

-9

-11

» Teken de grafiek van dit verband.

» Welk punt dat aan het verband voldoet, heeft gelijke eerste en tweede coördinaat?

(-11,-11)

De tweede coördinaat is 5 minder dan het kwadraat van de eerste coördinaat We bekijken het verband: “De tweede coördinaat is 5 minder dan het kwadraat van de eerste coördinaat”. » Geef een formule van dit verband. » Maak een tabel bij dit verband.

y = x2 – 5 -3

-2

-1

0

1

2

4

-1

-4

-5

-4

-1

» Teken de grafiek in het assenstelsel hierboven. Gebruik een (andere) kleur. Dat is een parabool. » Bereken x, als y = 13 (twee antwoorden!)

13 = x2 – 5, dus x2 = 63, dus x = 21 of x = -21

Op deze pagina hebben we twee verbanden bekeken.

(-2,-1) en (1,-4), (dat zijn de snijpunten van de twee grafieken)

» Welke punten voldoen aan beide verbanden?


14

x ⋅ y = -6 We bekijken het verband met formule x ⋅ y = -6. » Beschrijf dit verband in woorden. Gebruik de woorden “eerste coördinaat” en “tweede coördinaat”.

het product van de eerste en de tweede coordinaat is -6

» Maak een tabel bij dit verband; kies zowel positieve als negatieve getallen voor x.

-3 2

-2 3

-1 6

0 –

1 -6

2 -3

» Teken de grafiek van dit verband (dat is een hyperbool).

Er is een punt dat aan het verband voldoet, met eer6 . ste coördinaat 11 » Bereken de tweede coördinaat. Schrijf ook je berekening op.

6 ⋅y 11

= −6 , dus y = -6 ⋅ 11/6 = -11

Er is ook een punt dat aan het verband voldoet, met eerste coördinaat 2 52 . » Bereken de tweede coördinaat. Schrijf je berekening weer op.

22/5 ⋅ y = -6, dus y = -6 ⋅ 5/12 = -21/2

Op één uitzondering na is er voor elk getal x is er een getal y te vinden met x ⋅ y = -6. » Welk getal is die uitzondering?

0

x+y=5 We bekijken het verband met formule: x + y = 5 . » Maak een tabel bij dit verband.

-2

-1

0

1

2

7

6

5

4

3

» Teken de grafiek in het assenstelsel hierboven. Gebruik een (andere) kleur. Gemeenschappelijk » Voor welke punten (x,y) geldt: x ⋅ y = -6 en x + y = 5? Je kunt de coördinaten van die punten aflezen. Controleer met de formules of je dat goed gedaan hebt.

Zo te zien (6,-1) en (-1,6). En dat klopt, want: voor beide punten geldt: het product van de coördinaten is -6; de som van de coördinaten is 5.

VERBANDEN IN HET VLAK Grafiek maken bij een blokschema Het blokschema hiernaast legt een verband vast in het vlak. Pas op: In het derde blok moet je doen: ‘ 8 : ___ ‘ en niet ‘ :8 ’.

15

START Neem de eerste coördinaat. Tel er 2 bij op. Deel 8 door de uitkomst. De uitkomst is de tweede coördinaat. KLAAR

» Maak een tabel bij dit verband. -4

Als je voor de eerste coördinaat -2 neemt, krijg je geen tweede coördinaat. » Waarom niet? » Laat het blokschema werken op de variabele x. Welke formule vind je dan voor x en y?

-4

-8

4

2

Je kunt 8 niet delen door 0.

y = 8 : (x + 2)

» Teken de grafiek van dit verband (een hyperbool).

» Bereken met de formule y, als x = -11 en als x = -21.

y = 8/1 = 16

y = 8/-1 = -16

» Bereken met de formule x, als y = 1 en als y = -1.

8:(x + 2) = 1, dus

8:(x + 2) = -1, dus

x + 2 = 16, dus x = 14

x + 2 = -16, dus x = -18

1


16

Grafiek maken bij een ketting De ketting hieronder legt een verband vast in het vlak. De invoer noemen we x en de uitvoer y. MIN 3

MAAL 2

PLUS 5 -3

» Maak een tabel bij dit verband. » Geef een formule voor het verband tussen x en y. Schrijf de formule ook zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

-1

1

3

5

7

2

1

y = 2(x – 3) + 5 = 2x – 6 + 5 = 2x – 1 Dus y = 2x – 1


Opmerking De hele grafiek is een rechte lijn, naar twee kanten onbegrensd. Jij hebt natuurlijk alleen dat deel van de lijn getekend dat op het stukje rooster paste. Ook in vorige opgaven heb allen maar het deel van de grafiek getekend dat in het rooster paste Op de lijn liggen punten met tweede coördinaat 17 en -17. »

Bereken de eerste coördinaat van deze punten.

Nog een ketting De ketting hieronder heeft als grafiek ook een rechte lijn. MIN 4

TEGEN

PLUS 1

2x – 1 = 17

2x – 1 = -17

2x = 18

2x = -16

x = 9

x = -8

y = -(x – 4) + 1 = -x + 4 + 1 = -x + 5 Dus: y = -x + 5

» Geef een formule voor deze tweede lijn. Schrijf die ook zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.

» Maak een tabel bij dit verband. » Teken de grafiek van het verband in het rooster hierboven. » Kun jij zo zien wat de oplossing is van de vergelijking –x + 5 = 2x – 1? Licht je antwoord toe.

6

5

4

3

x = 2, want de vraag is:'Voor welke eerste coordinaat is de de tweede coördinaat bij de eerste ketting hetzelfde als die van de tweede ketting?' En dat is de x van het snijpunt.


Enkele merkwaardige verbanden De volgende zin legt een verband vast in het vlak: “ Het kwadraat van de eerste coördinaat is gelijk aan het kwadraat van de tweede coördinaat”.

17

x2 = y2

» Geef een formule van dit verband. » Welke punten met eerste coördinaat -2 voldoen aan dit verband?

(-2,2) en (-2,-2)

» Schrijf de formule zó:

x = -y x = y of _______

» Teken de grafiek van het verband in het assenstelsel hiernaast.

De volgende zin legt een verband in het vlak vast. ‘Verminder de tweede coördinaat met 1 en verminder de tweede coördinaat ook met 3. Het product van de twee getallen die je krijgt moet je vermenigvuldigen.’ Merk op dat de eerste coördinaat niet genoemd wordt. » Voldoet (5,3) aan dit verband? Leg uit. » Welke van de volgende punten voldoen aan het verband? ( -4 , 3 ) , ( -41 , 3 ) , (-41 , 1 ) , (-41 , 2)

Ja, want je krijgt na vermindering 2 en 0 en die twee getallen vermenigvuldigen geeft 0. ( -4 , 3 ) , ( -41 , 3 ) , (-41 , 1 )

» Teken de grafiek van het verband in het rooster hierboven. Bovenstaande zin kun je zó opschrijven: (y−1)(y−3) = 0. » Schrijf de formule zó: » Teken met een (andere) kleur de grafiek van het verband met de formule x2 = 4 .

y = ____ of y = ____ 1 3

x = 2____ of x = ____ -2

» Schrijf de formule zó : » Welke punten voldoen aan beide verbanden tegelijk? (y−1)(y−3) = 0 en x2 = 4?

(2,3), (2,1), (-2,3), (-2,1)


18

Cola en bier Voor zijn feestje haalt Aron cola en bier. De cola zit in flessen van 11 liter. Hierop is het statiegeld € 0,25. Het bier zit in flesjes van 30 cl (pijpjes). Hierop is het statiegeld € 0,10. Het aantal flessen cola dat hij haalt noemen we x en het aantal flessen bier y. In totaal haalt hij 30 flessen, daarvoor betaalt hij 6 euro statiegeld.

Er zijn twee verbanden tussen x en y. » Geef van beide de formule.

x + y = 30

en 0,25 ⋅ x + 0,10 ⋅ y = 6

» Maak van beide verbanden (op klad) een tabel en teken de grafieken in het assenstelsel. » Lees af hoeveel flessen cola en hoeveel flessen bier Aron gekocht heeft.

20 flessen cola en 10 flessen bier

VERBANDEN IN DE RUIMTE

19

Coördinaten in de ruimte In de ruimte zijn door een punt O, de zogenaamde oorsprong, drie onderling loodrechte lijnen getekend, de x-as, y-as en de z-as. Het punt P bereik je vanuit O door eerst 1 eenheid naar voren te komen (in de x-richting), dan 4 eenheden naar rechts te gaan (in de y-richting) en tenslotte 3 eenheden naar boven (in de z-richting). De x-coördinaat van P is 1, de y-coördinaat is 4 en de z-coördinaat is 3. We zeggen P = (1, 4, 3).

P

R

S

Q

O

x

» Wat zijn de coördinaten van Q, R en S? De tweede coördinaat van S is 0. » Wat kun je zeggen over de ligging van punten met tweede coördinaat = 0? En over punten met derde coördinaat 0?

Q( 1 )

, 2 , 1 ), R( 3 , 2 , 1 ), S( 4 , 0 , 2)

die liggen in het vlak door de x-as en de z-as, (in het 'rechter' zijvlak') die liggen in het vlak door de x-as en de y-as, (in het 'grondvlak')

Afspraak In een ruimtelijk assenstelsel noemen we de eerste coördinaat van een punt in de regel x , de tweede coördinaat y en de derde coördinaat z. De oorsprong O is het punt (0,0,0). Meestal tekenen we de x-as schuin naar voren, de y-as naar rechts en de z-as naar boven. De som van de coördinaten De volgende zin legt een verband vast in de ruimte: “De som van de coördinaten is gelijk aan zes”. » Geef een formule voor dit verband. x + y + z = 6

» Voldoet het punt (1,2,3) aan dit verband?

Ja

y


20

De kubus met ribbe 3 hiernaast heeft drie ribben langs de coördinaat-assen. (0,0,0) is dus een van de hoekpunten. Op de kubus zijn 37 roosterpunten aangegeven. » Kleur alle van deze roosterpunten die aan het verband x + y + z = 6 voldoen. Dat zijn er 13. “De som van de coördinaten is gelijk aan zeven”. Deze zin legt een verband vast in de ruimte. » Kleur alle roosterpunten hiernaast die aan het verband x + y + z = 7 voldoen.

De eerste en de derde coördinaat zijn gelijk De volgende zin legt een verband vast in de ruimte: “De eerste en de derde coördinaat zijn gelijk”.

x = z

» Geef een formule voor dit verband. » Kleur hiernaast alle van de 37 aangegeven punten die aan het verband voldoen.

z = 2 » Geef met een andere kleur de punten aan die voldoen aan het verband met formule: z = 2. » Welke van de 37 roosterpunten voldoet aan beide verbanden?

Het is duidelijk dat grafieken van verbanden in de ruimte veel moeilijker te lezen en te maken zijn dan in het platte vlak. Dat doen we dan ook zelden. Op de volgende bladzijde doen we een bescheiden poging om ruimtelijke grafieken te maken.

(2

, 3

, 2

);


21

x + 3y + 2z = 12 We bekijken het verband met formule x + 3y + 2z = 12 We gaan alle roosterpunten tekenen die aan dit verband voldoen met alle drie de coördinaten positief of nul. Neem z = 2. Dan zijn er drie mogelijkheden, namelijk (8,0,2), (5,1,2) en (2,2,2). Controleer maar. Het eerste punt van deze drie is hiernaast getekend. » Teken er de andere twee punten bij. Nu zijn alle drie de punten met z = 2 getekend die aan het verband voldoen. » Teken ook de punten met z = 0 die aan het verband voldoen. En de punten met z = 1, z = 3, z = 4, z = 5 en z = 6. Als je het goed gedaan hebt, heb je in totaal negentien punten gevonden die aan het verband voldoen met niet-negatieve coördinaten. Er zijn natuurlijk ook punten die aan het verband voldoen met een of meer negatieve coördinaten. » Noem er een paar.

(-1,-1,8) , (-10,0,11) , (20,-2,-1)

» Zijn er ook punten die aan het verband voldoen met alle drie de coördinaten negatief?

Nee, want dan is x + 3y + 2z ook negatief.

En dan heb je natuurlijk nog vreselijk veel punten die aan het verband voldoen, waarvan de coördinaten niet geheel zijn. » Noem er een paar. Waarschijnlijk heb je wel in de gaten dat de punten die aan het verband voldoen niet kriskras door elkaar liggen. De grafiek is namelijk een perfect plat vlak. x + y + 2z = 4 Een ander voorbeeld: het verband met formule x + y + 2z = 4. » Teken alle roosterpunten met niet-negatieve coördinaten die aan dit verband voldoen.

(10,2,1) , (121,0,-3)


22

x + y + z = 16 en 2x + 3y + z = 32 Hiernaast is een balk van 10 bij 5 bij 5 getekend met drie ribben langs de assen. Uit de balk is een hap weggenomen. De 43 roosterpunten die daardoor zichtbaar zijn geworden, zijn dik aangegeven.

» Kleur alle van deze 43 punten die voldoen aan het verband x + y + z = 16. » Welke van deze punten voldoen ook aan het verband 2x + 3y + z = 32?

(10,3,3), (8,4,4), (6,5,5)

» Geef die punten in het plaatje aan. Voor de punten die aan beide verbanden voldoen, geldt: x + y + z = 16 en 2x + 3y + z = 32. Die punten liggen op een rechte lijn. 28 van de 43 punten zijn niet gekleurd. » Hoe groot is de som van de coördinaten x+y+z van deze punten?

15 of 14

GEMENGDE OPGAVEN

23

Een watertarief Vroeger (in 1983) hanteerde het waterleidingbedrijf in Wageningen twee prijzen voor 1 m3 water. Een m3 kostte 59 cent. Ten minste tot en met de 150ste m3. De 151ste m3 kostte 82 cent, en ook elke volgende m3. » Waarom zou men twee verschillende prijzen gehanteerd hebben, denk je?

Om verspilling af te straffen

Het volledige watertarief voor huishoudelijk gebruik was als volgt: • Iedere abonnee betaalde 63 gulden per jaar. Daar-voor kreeg hij de eerste 60 m3 water. Dat bedrag was een soort vastrecht; dat moest je sowieso betalen. • De 61ste tot en met de 150ste m3 water kostten alle 59 cent. • Vanaf de 151ste m3 kostte het water 82 cent per m3. » Bereken de kosten bij een verbruik van 120 m3 en bij een verbruik van 180 m3. Schrijf ook je berekeningen op.

63 + 60 ⋅ 0,59 = 98,40 63 + 90 ⋅ 0,59 + 30 ⋅ 0,82 = 140,70

» Maak een tabel bij het verband tussen het verbruik v (in m3) en de kosten k (in guldens).

63

63

63 80,7 98,4 116,1 140,7 165,3


Om het verband met formules te beschrijven, moet je drie gevallen onderscheiden. » Maak de formules af.

•

Als v ≤ 60 , dan k = 63 ___

•

Als 60 < v ≤ 150 , dan k = ____ 63 + ____· 0,59 (v − ____ 60 )

•

Als 150 < v, dan k = ____ 116,1 + ____· 0,82 (v − ____ 150 )

GEMENGDE OPGAVEN

24

Hoe lang een rit van 600 km duurt Een vakantiereis voert familie de Vrij via Duitse autowegen over een afstand van 600 km. Hoe lang familie de Vrij over de reis doet, hangt natuurlijk af van de gemiddelde snelheid waarmee ze rijdt. Met andere woorden: er is een verband tussen de reistijd en de gemiddelde snelheid. » Bereken de gemiddelde snelheid als de reis 8 uur duurt.

600 / 8 = 75 km/u

» Maak een tabel voor het verband tussen de reistijd t (in uren) en de gemiddelde snelheid v (in km/u). » Geef een formule voor dit verband.

200 150 120 100 855/7 75

60 50

v = 600/t

» Teken de grafiek van dit verband.

De Vrij reed het traject vorig jaar met een gemiddelde snelheid van 110 km/u en vanwege de files dit jaar met 100 km/u. » Bereken hoeveel korter hij er vorig jaar over deed.

Rekentechniek In de vorige vraag heb een breuk van een geheel getal afgetrokken. r is een CD bij de Wageningse Methode met een programma waarmee je het optellen en aftrekken van breuken kunt oefenen. Dat gaat zó • noemers gelijk maken, • tellers aftrekken. » Schrijf als één breuk; schrijf ook een tussenstap op.

Nu 600/100 = 6 uur Vorig jaar 600/110 = 55/11 uur Dus 6/11 uur korter

− 9

9 45

7 9

−

3 5

=

7 8

−

3 5

=

35 _ 24 40 40

−

3 5

=

35 _ 3t 35 _ 3t = 5t 5t 5t 5t

7 t

10 9

35 45

45

=

= 11

40 35 – 3t 5t

=

− 10 = 110 _ 90 = 20 11 99

10 t

−

10 11

10 t

−

10 t +1

99

= 110 _ 10t 11t 11t

99

= 110 – 10t 11t

= 10(t + 1) _ t(t + 1)

10t t(t + 1)

=

10 t(t + 1)

GEMENGDE OPGAVEN

25

Het juiste gewicht Wanneer is iemand te zwaar of te licht? Dat hangt natuurlijk af van zijn lengte, maar ook van de dikte van zijn botten. De lengte noemen we L (in cm) en de omtrek van de pols noemen we P (ook in cm). Het ideale gewicht G (in kg) kun je dan uitrekenen met de formule: L + 4P = 100 + 2G (voor mannen). 50

70

90

Joris heeft een polsomtrek van 20 cm, is 184 cm lang en weegt 82 kg. 184 + 4 ⋅ 20 = 100 + 2G geeft: G = 82 Hij heeft precies het goede gewicht.

» Is hij te licht of te zwaar? » Hoe ziet de formule voor L en P eruit voor mannen van 50 kg? En voor mannen van 70 kg en 90 kg?

L + 4P = 200 ____

L + 4P = 240

» Teken hierboven in kleur de drie bijbehorende grafieken. Schrijf er de getallen 50, 70 en 90 bij. Door voor G verschillende waarden te nemen, krijg je een nomogram (zie bladzijde 4). Ladder De voet van een ladder wordt op 1 m van de muur geplaatst. Hoe langer de ladder is hoe hoger hij reikt. Er is een verband tussen de lengte van de ladder x en de reikhoogte y (beide in meters).

» Bereken y als x = 10, laat de wortel in je antwoord staan. Je kunt een ketting van drie machientjes maken die bij invoer x (de lengte van de ladder) als uitvoer y (de reikhoogte) geeft. 1

2

» Wat zijn de machientjes 1, 2 en 3?

3

y2 + 1 = 102, dus y = √99

1 KWAD 2 MIN 1 3 WORTEL

L + 4P = 280

GEMENGDE OPGAVEN

26

Grafieken bij twee verbanden » Maak voor elk van de volgende verbanden een tabel op klad en teken de grafiek. Gebruik verschillende kleuren.

• y = 4 − x2

• x=

6 y

Elkaar neutraliserende kettingen Bekijk de ketting hiernaast. De invoer noemen we x en de uitvoer y.

PLUS 3

» Geef de formule van het verband tussen x en y. Schrijf die zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.

y = 1(x + 3) – 2 = 1x + 11 – 2 = 1x – 1

PLUS 2

Hiernaast staat nog een ketting. » Geef ook bij deze ketting een formule voor het verband tussen de invoer x en de uitvoer y.

MIN 2

MAAL 1

MAAL 2

MIN 3

y = 2(x + 2) – 3 = 2x + 4 – 3 = 2x + 1

We laten nu de twee kettingen achter elkaar werken: PLUS 3

MAAL 1

PLUS 2

MIN 2

MAAL 2

MIN 3

De invoer bij de ketting van zes machientjes noemen we x en de uitvoer y. » Geef een formule voor het verband tussen x en y » Verklaar de titel van de opgave.

Bekijk de ketting

WORTEL

De ene ketting maakt de werking van de andere ketting weer ongedaan, dus geeft de oorspronkelijke invoer weer terug. MIN 2

» Welke ketting neutraliseert deze ketting?

ZELFTOETS

y = x

PLUS 2

KWAD

TERUGBLIK

27

WAT ZIJN VERBANDEN

GRAFIEKEN

Op welke manier kan een verband tussen de variabelen x en y gegeven worden?

Wat voor soort grafieken heb je gezien?

.

• door een blokschema

• parabool

• door een formule

• hyperbool

• door een ketting

• rechte lijn

• door een grafiek in het Oxy-vlak

TERMINOLOGIE

MACHIENTJES

• oorsprong

Welke standaard-machientjes ken je? PLUS … 2 PLUS

• nomogram

MIN …

• verband

MAAL …

• x-as / y-as / z-as

WORTEL OMG

• blokschema • ketting van machientjes

TEGEN

• punt voldoet aan

COÖRDINATEN IN DE RUIMTE

Geef een paar voorbeelden.

naar boven

O


x + y + z = 15, hieraan voldoet bijvoorbeeld (4,5,6), maar ook (-1,-1,17) en (1,1,14). naar rechts

naar voren Als je van O naar P moet door x stappen naar voren, y stappen naar rechts en z stappen naar boven te gaan, is P = (x,y,z).

2x + y = z, hieraan voldoet bijvoorbeeld (0,0,0), (1,1,3) en (-1,-10,-11).

EXTRA OPGAVEN

28

Verband in woorden en verband met blokschema De volgende zin legt een verband vast: “De som van het tegengestelde van de eerste coördinaat en het dubbele van de tweede coördinaat is gelijk aan 4”. » Geef een formule van het verband.

-x + 2y = 4

» Teken de grafiek van het verband. Maak zo nodig een tabel op klad.

verband in woorden

lijn van punten met gelijke xen ycoördinaat

» Welk punt voldoet aan het verband en heeft gelijke coördinaten?

grafiek bij blokschema

(4,4)

Het blokschema hiernaast legt een verband vast.

START Neem de eerste coördinaat. Vermenigvuldig die met -2. Tel er 7 bij op. Deel door -2. De uitkomst is de tweede coördinaat. KLAAR

» Teken in het assenstelsel hierboven de grafiek van dit verband. Gebruik een (andere) kleur. » Geef een formule van dit verband. Schrijf de formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk. » Welk punt voldoet aan beide verbanden?

y = (-2x + 7):-2 = x – 31

(11,71)

EXTRA OPGAVEN

29

De wet van Boyle In een holle cilinder zit een zekere hoeveelheid gas, afgesloten door een zuiger. Als de zuiger omlaag beweegt, wordt het volume van het gas kleiner en de druk groter. Veronderstel dat bij een volume van 1 dm3 het gas een druk heeft van 100 kiloPascal. Uit de natuurkunde ken je de wet van Boyle. Die geeft het verband tussen het volume V (in dm3) en de druk p (in kPa) bij gelijkblijvende temperatuur: p·V = 100. » Teken de grafiek van dit verband. Maak zo nodig een tabel op klad.

» Weet jij een naam voor deze grafiek?

Kansen met twee dobbelstenen Inette gooit met een rode en een blauwe dobbelsteen. Het aantal ogen dat ze met de rode dobbelsteen gooit noemen we x en het aantal dat ze met de blauwe gooit noemen we y. Het omcirkelde roosterpunt komt overeen met de worp 4 met de rode en 3 met de blauwe dobbelsteen. We bekijken het verband tussen x en y: de som van de ogen is 7.

hyperbool

y 6

som is 7

5

dubbel

4 3 2 1 1

» Kleur de roosterpunten bij het verband.

2

» Geef een formule voor het verband.

x + y = 7

» Wat is de kans dat Inette met twee dobbelstenen in totaal 7 ogen gooit?

6 op 36 dus: 5

Een ander verband wordt gegeven door: er wordt dubbel gegooid. » Kleur de roosterpunten bij het verband. » Geef een formule voor het verband.

x = y

3 4

5

6

x

EXTRA OPGAVEN

30

Kansen met drie dobbelstenen Ivo heeft twee abnormale en één gewone dobbelsteen, een rode, een witte en een blauwe. Hieronder zie je uitslagen van de drie stenen. Het aantal ogen dat met de rode dobbelsteen gegooid wordt noemen we x, het aantal dat met de witte gegooid wordt y en het aantal dat met de blauwe gegooid wordt z.

Elke stip in het rooster stelt een worp voor. De pijl wijst naar de stip die hoort bij de worp 2 ogen met de rode, 1 oog met de witte en 3 met de blauwe. » Kleur de punten bij het verband: met de blauwe twee keer zoveel ogen als met de witte.

z = 2y x + 2y + z = 8 fout: het aangewezen punt is: (3,1,3) z = 2y

» Welke formule hoort hierbij? » Hoeveel verschillende worpen zijn er mogelijk? Wat is de kans op met de blauwe twee keer zoveel ogen als met de witte?

in totaal: 2 ⋅ 3 ⋅ 6 = 36 met z = 2y: 6

5

In een spel is het aantal punten dat je bij een worp haalt, het totale aantal ogen op de stenen waarbij die op de witte dubbel geteld moeten worden. Dus bij de worp (1,2,3) heb je 8 punten. » Welke formule hoort bij het verband: het aantal punten is 8 ?

x + 2y + z = 8

» Kleur (in een andere kleur) de roosterpunten bij het verband het aantal punten is 8. » Wat is de kans dat je 8 punten haalt bij een worp met de drie stenen?

5

Twee kettingen KWAD MAAL 3

MAAL 3 KWAD

PLUS 1 de eerste:

y = 3x2 + 1

de tweede:

y = (3x)2 + 1 = 9x2 + 1

PLUS 1

» Geef van beide kettingen een formule voor het verband tussen de invoer x en de uitvoer y. Schrijf beide formules zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

EXTRA B Kanteldeur

Een kanteldeur is 2 meter hoog. De bovenkant wordt geleid langs een horizontale rail, de onderkant langs een verticale rail. Hierboven zijn twee standen van de deur getekend. De deur is dicht. Als we de onderkant van de deur x dm naar boven schuiven gaat de bovenkant y dm naar achteren. » Geef een formule voor het verband tussen x en y.

(20 – x)2 + y2 = 400

» Maak een tabel voor het verband. 12

» Teken de grafiek van dit verband in het assenstelsel boven aan de bladzijde. Twee verbanden vergeleken In deze opgave bekijk je tweetallen getallen die opgeteld dezelfde uitkomst geven als vermenigvuldigd. Een voorbeeld is 3 en 11 (in beide gevallen is de uitkomst 41). We noemen deze getallen x en y. » Welke formule geldt voor x en y ? » Bereken x, als y = 4. Bereken y, als x = -1. De volgende zin legt een verband vast tussen twee getallen: “De som van de omgekeerden van de getallen is 1”. Noem de getallen weer x en y. » Welke formule geldt voor x en y? » Laat zien dat de twee formules op hetzelfde neerkomen.

16

18,3

19,6

20

x + y = x ⋅ y x + 4 = 4x

-1 + y = -y

3x = 4

-1 = -2y

x = 12

y = 1

1 + x

1 = 1 y

xy ⋅ 1 = y en xy ⋅ 1 = y, dus als je beide kanten x

y

van het laatste verband met xy vermenigvuldigt, krijg je: y + x = xy

EXTRA B Hiernaast staat een balk van 4 bij 4 bij 6 met drie ribben langs de assen. De punten die voldoen aan het verband 4x – y + 2z = 8 liggen in een vlak V. Het stuk van V dat binnen de balk ligt of op de rand ervan, is een vierhoek. Die vierhoek is getekend.

Het hoekpunt rechts onder van de vierhoek is (3,4,0). » Ga door een berekening na dat dat punt inderdaad aan het verband 4x – y + 2z = 8 voldoet.

4 ⋅ 3 − 4 + 2 ⋅ 0 = 8 , klopt

» Geef de andere drie hoekpunten van de vierhoek. Gebruik de formule van het verband.

(2,0,0) , (0,0,4) , (0,4,6)

De punten die voldoen aan het verband x + y + z = 3 liggen in een vlak W. Het stuk van W dat binnen de balk ligt of op de rand ervan is een driehoek. »

Kleur die driehoek.

De punten die zowel tot V als tot W behoren liggen op een lijn. Dat is de zogenaamde snijlijn van V en W. » Teken die snijlijn. Er is maar één roosterpunt (dus met gehele coördinaten) op de snijlijn met positieve coördinaten of nul. » Probeer dit roosterpunt te vinden.

(1,0,2)

FORMULES, OUDE EN NIEUWE 1

Recommend Documents