Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde

Meetkunde

1 december 2012

Meetkunde


1

Vlakke Meetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte

2

Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte

Meetkunde


Vectoren Vergelijking van een rechte

coördinaat van een vector - scalair product van 2 vectoren - evenwijdige vectoren - orthogonale vectoren ~ = ~a, OB ~ = ~b A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ) en OA ~ = AB ~ = OB ~ − OA. ~ OP ~ en co¨ coördinaat van vector AB ordinaat van punt P: (xo , yo ) = (b1 − a1 , b2 − a2 ) scalair product of inproduct: ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 ~a k ~b ⇐⇒~a, ~b zijn lineair afhankelijk a1 a2 a1 a2 =0 ⇐⇒ rang < 2 ⇐⇒ b1 b2 b1 b2 a1 a2 ~ ~ =0 ~a⊥b ⇐⇒ ~a · b = 0 ⇐⇒ a1 b1 + a2 b2 = 0 ⇐⇒ −b2 b1 Meetkunde



Afstanden en hoeken ~ = ~a, OB ~ = ~b, A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ) en OA P(x1 , y1 ) en de rechte k : ax + by + c = 0

q ~ ~ Lengte (norm) van de vector OP:

= x12 + y12

OP Lengte van [AB]:

lijnstuk

~ p |AB| = AB = (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 Afstand van P tot de k: |ax1 + by1 + c| √ a2 + b 2 Hoek γ tussen de vectoren ~a en ~b: cos γ =

~a · ~b a b +a b

= q 1 1 q2 2

~ k~ak b a12 + a22 b12 + b22 cos γ > 0 ⇒ 0o < γ < 90o cos γ < 0 ⇒ 90o < γ < 180o cos γ = 0 ⇒ γ = 90o Meetkunde

(γ is scherp) (γ is stomp) (γ is recht)



midden van een lijnstuk - zwaartepunt van een driehoek A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C (c1 , c2 ) M is het midden van lijnstuk [AB] ⇐⇒ ~ + OB) ~ ~ = OA ~ + OB ~ ⇐⇒ OM ~ = 1 (OA 2OM 2 1 1 x a1 b1 a1 + b 1 = · + = · y a2 b2 a2 + b 2 2 2 Z is het zwaartepunt van driehoek ABC ⇐⇒ ~ + OB ~ + OC ~ ) ~ = OA ~ + OB ~ + OC ~ ⇐⇒ OZ ~ = 1 (OA 3OZ 3 1 1 x a1 a1 + b 1 + c 1 b1 c1 = · + + = · y a2 b2 c2 a2 + b 2 + c 2 3 3 Meetkunde



vergelijking van een cirkel De cirkel c(M; r ) is bepaald door zijn middelpunt M(xo , yo ) en zijn straal R (x − xo )2 + (y − yo )2 = R 2 . . de omgeschreven cirkel van een driehoek. Het middelpunt is het snijpunt van de middelloodlijnen van twee zijden van de driehoek. De middelloodlijn van een lijnstuk [AB] is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van A en van B de ingeschreven cirkel van een driehoek. Het middelpunt is het snijpunt van de binnenbissectrices van twee hoeken van de driehoek. De unie van de bissectrices van een hoek bepaald door twee rechten a en b is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van a en b. (neem dan de binnenbissectrice) Meetkunde



collineaire punten - oppervlakte parallellogram en driehoek A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C (c1 , c2 ), D(d1 , d2 ) ~ AC ~ zijn lineair A, B, C zijn collineair ⇐⇒ AB, a1 b1 − a1 b2 − a2 b1 = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ c1 − a1 c2 − a2 c1 ABCD is een parallellogram ⇐⇒

afhankelijk a2 1 b2 1 = 0 c2 1

~ = DC ~ AB A, B, C niet collineair

Oppervlakte van het parallellogram ABCD is a1 a2 1 b1 − a1 b2 − a2 | = | b1 b2 1 | | c1 − a1 c2 − a2 c1 c2 1 Oppervlakte van de driehoek ABC is parallellogram ABCD.

1 2

Meetkunde

van de inhoud van



rechte door de oorsprong-richtingsgetallen-normaalvector De rechte met vergelijking ax + by = 0 is de verzameling van alle vectoren die orthogonaal zijn met (a, b) en evenwijdig met (−b, a). x y = 0 ⇔ (x, y ) k (−b, a) (a, b)⊥(x, y ) ⇔ ax + by = 0 ⇔ −b a Voor de rechte ax + by = 0 en voor elke rechte evenwijdig met deze rechte is ~p (−b, a) een richtingsvector (−b, a) een stel richtingsgetallen a −b

de richtingsco¨ effici¨ ent

~n(a, b) een normaalvector

Meetkunde



algemene vergelijking van een rechte en parametervoorstelling van een rechte Algemene vergelijking van een rechte is van de gedaante ax + by + c = 0 met (a, b) 6= (0, 0). We kunnen dit opvatten als een stelsel met 1 vergelijking, 2 onbekenden en met rang gelijk aan 1. De oplossingen zijn van de gedaante x b a1 x − a1 b =r + ⇐⇒ =r a2 y − a2 y −a −a Dit is een parametervoorstelling van de rechte met parameter r waarbij (b, −a) een richtingsvector is van de rechte en (a1 , a2 ) een punt van de rechte. Als (x, y ) een oplossing is dan zijn de vectoren (x − a1 , y − a2 ) en (b, −a) lineair afhankelijk (zie volgende dia). Meetkunde



rechte door een punt met een bepaalde richting Rechte k door het punt A(a1 , a2 ) en 1

met richtingco¨ effici¨ ent ω: y − a2 = ω(x − a1 )

2

met normaalvector (a, b): a(x − a1 ) + b(y − a2 ) = 0 met stel richtingsgetallen of richtingsvector ~p (ρ1 , ρ2 ):

3

dan is (ρ2 , −ρ1 ) normaalvector: ρ2 (x − a1 ) − ρ1 (y − a2 ) = 0 ~ en ~p zijn lineair afhankelijk P(x, y ) ∈ k ⇐⇒ AP x y 1 x − a1 y − a2 = 0 ⇐⇒ a1 a2 1 = 0 ⇐⇒ ρ1 ρ2 ρ1 ρ2 0 4

evenwijdig met de rechte ax + by + c = 0: a(x − a1 ) + b(y − a2 ) = 0

5

loodrecht op de rechte ax + by + c = 0: b(x − a1 ) − a(y − a2 ) = 0

6

evenwijdig met de x-as: y = a2

7

evenwijdig met de y -as: x = a1 Meetkunde



rechte door twee punten Rechte door 26= punten A(a1 , a2 ) en B(b1 , b2 ) is de rechte door punt A(a1 , a2 ) en met richtingsvector ~ 1 − a1 , b2 − a2 ) AB(b ~n(b2 − a2 , −(b1 − a1 )) is normaalvector: (b2 − a2 )(x − a1 ) − (b1 − a1 )(y − a2 ) = 0 ~ en AB ~ zijn lineair afhankelijk P(x, y ) ∈ AB ⇐⇒ AP x y 1 x − a1 y − a2 = 0 ⇐⇒ a1 a2 1 = 0 ⇐⇒ b1 − a1 b2 − a2 b1 b2 1

Rechte bepaald door zijn doorgangen met x-as en y -as A(p, 0) en B(0, q): x y + =1 p q

Meetkunde



rechte AB als evenwijdige met OP of als rechte door A ~ - loodlijn op AB door A met normaalvector ON

Meetkunde



onderlinge ligging van twee rechten - bespreken van oplosbaarheid van een (2 × 2)-stelsel Stelsel met de vergelijkingen van twee rechten k : ax + by + c = 0 m : a0 x + b 0 y + c 0 = 0 1 k ∩ m = S: ´ eén oplossing als a b a b 6= 0 rang 0 = 2 ⇔ 0 0 a b0 a b a b a b 2 k k m als rang = 1 ⇔ 0 0 0 a b a b0 1

2

k en m:

=0

a b c k ∩ m = φ: geen oplossingen als rang =2 a0 b 0 c 0 a b c k = m: ∞1 oplossingen als rang =1 a0 b 0 c 0

Meetkunde



concurrente rechten - coëxistentievoorwaarde van een (3 × 2)-stelsel Stelsel van de vergelijkingen van   k : ax + by + c m : a0 x + b 0 y + c 0  n : a00 x + b 00 y + c 00

drie rechten k, m en n: = 0 = 0 = 0  oplosbaar  het stelsel     a b k, m en n zijn concurrent ⇐⇒ rang  a0 b 0  = 2    a00 b 00  a b c  0   a b0 c 0 = 0     00 a b 00 c 00  ⇐⇒ a b    0    a b0  = 2 rang   a00 b 00 Meetkunde


Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec

coördinaat van een vector - scalair product en vectorieel product van 2 vectoren - evenwijdige vectoren orthogonale vectoren ~ = ~a, OB ~ = ~b A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ) en OA ~ = AB ~ = OB ~ − OA. ~ OP ~ en co¨ coördinaat van vector AB ordinaat van punt P: (xo , yo , zo ) = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ) scalair product of inproduct: ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ~n⊥~a en ~n⊥~b vectorieel product a2 a3 a3 a1 a1 a2 ~ ~a × b = ~n = , , b2 b3 b3 b1 b1 b2 ~a k ~b ⇐⇒~a, ~b a ⇐⇒ rang 1 b1 ~a⊥~b ⇐⇒ ~a · ~b

zijn lineair afhankelijk a2 a3 < 2 ⇐⇒ ~a × ~b = ~o b2 b3 = 0 ⇐⇒ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0 Meetkunde



afstanden en hoeken ~ = ~a en B(b1 , b2 , b3 ) met OB ~ = ~b, A(a1 , a2 , a3 ) met OA P(x1 , y1 , z1 ) en het vlak α : ax + by + cz + d = 0

q ~ ~ Lengte (norm) van de vector OP:

= x12 + y12 + z12

OP Lengte van lijnstuk [AB]:

~ p |AB| = AB

= (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 + (a3 − b3 )2 Afstand van P tot het vlak α: |ax1 + by1 + cz1 + d| √ a2 + b 2 + c 2 Hoek γ tussen de vectoren ~a en ~b: cos γ =

~a · ~b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

=q q

~ k~ak b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 cos γ > 0 ⇒ 0o < γ < 90o cos γ < 0 ⇒ 90o < γ < 180o cos γ = 0 ⇒ γ = 90o Meetkunde

(γ is scherp) (γ is stomp) (γ is recht)



midden van een lijnstuk - zwaartepunt van een driehoek zwaartepunt van een viervlak A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C (c1 , c2 , c3 ), D(d1 , d2 , d3 ) ~ = OA ~ + OB ~ ⇔ OM ~ M is het midden van [AB] ⇔ 2OM        x a1 b1 1 1  y  = ·  a2  +  b2  = ·  2 2 z a3 b3

~ + OB) ~ = 21 (OA  a1 + b1 a2 + b2  a3 + b3

Z is het zwaartepunt van driehoek ABC ⇐⇒ ~ + OB ~ + OC ~ ) ~ = OA ~ + OB ~ + OC ~ ⇐⇒ OZ ~ = 1 (OA 3OZ 3           a1 b1 c1 a1 + b1 + c1 x 1 1  y  = ·  a2  +  b2  +  c2  = ·  a2 + b2 + c2  3 3 a3 b3 c3 a3 + b3 + c3 z Z is het zwaartepunt van viervlak ABCD ⇐⇒ ~ = OA ~ + OB ~ + OC ~ + OD ~ ⇐⇒ OZ ~ = 1 (OA ~ + OB ~ + OC ~ + OD) ~ 4OZ 4     x a1 + b1 + c1 + d1 1  y  = ·  a2 + b2 + c2 + d2  4 z a3 + b3 + c3 + d3 Meetkunde



vergelijking van een boloppervlak of sfeer Vergelijking van een sfeer S(M; r ) met middelpunt M(xo , yo , zo ) en straal R is q (x − xo )2 + (y − yo )2 + (z − zo )2 = R

Het middelpunt van de omgeschreven sfeer van een viervlak is het snijpunt van de middenloodvlakken van drie ribben van het viervlak die niet in eenzelfde zijvlak liggen. Het middenloodvlak van een lijnstuk [AB] is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van A en B. Het middelpunt van een sfeer die raakt aan twee snijdende vlakken ligt in een bissectorvlak van de snijdende vlakken. De unie van de bissectorvlakken van twee snijdende vlakken is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van de twee snijdende vlakken. Meetkunde



collineaire punten - parallellogram en zijn oppervlakte A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C (c1 , c2 , c3 ), D(d1 , d2 , d3 ) ~ ~ A, B, C zijn collineair ⇐⇒ AB, AC zijn lineair afhankelijk b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3 ⇐⇒ rang <2 c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3 ~ = DC ~ AB ABCD is een parallellogram ⇐⇒ A, B, C niet collineair

~ ~ Oppervlakte van een parallellogram ABCD is AB × AC

= s 2 2 b2 − a2 b3 − a3 b3 − a3 b1 − a1 b1 − a1 b2 − a2 c2 − a2 c3 − a3 + c3 − a3 c1 − a1 + c1 − a1 c2 − a2 = |AB||AC | sin γ Oppervlakte van een driehoek ABC is 21 van de oppervlakte van het parallellogram ABCD. Meetkunde

2



coplanaire punten - parallelleppipedum, viervlak en hun inhoud A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C (c1 , c2 , c3 ), D(d1 , d2 , d3 ) ~ AC ~ , AD ~ A, B,C zijn coplanair ⇐⇒ AB,  zijn lin afh ⇐⇒ b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3 rang  c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3  < 3 ⇐⇒ d1 − a1 d2 − a2 d3 − a3 a1 a2 b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3 c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3 = 0 ⇐⇒ b1 b2 c1 c2 d1 − a1 d2 − a2 d3 − a3 d1 d2 Inhoud van een parallellepipedum geconstrueerd met de ~ AC ~ en AD ~ is |(AB ~ × AC ~ ) · AD| ~ = vectoren AB, a1 a2 b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3 b1 b2 | c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3 | = | d1 − a1 d2 − a2 d3 − a3 c1 c2 d1 d2 1 6

a3 b3 c3 d3

1 1 1 1

=0

drie lin. onafh. a3 b3 c3 d3

1 1 1 1

|

van de inhoud van het parallellepipedum ~ AC ~ en AD. ~ geconstrueerd met de drie lin. onafh. vectoren AB, Inhoud van een viervlak ABCD is

Meetkunde



vlak door de oorsprong - normaalvector - richtingsvectoren

Het vlak met vergelijking ax + by + cz = 0 is de verzameling van alle vectoren die orthogonaal zijn met (a, b, c). (a, b, c)⊥(x, y , z) ⇐⇒ ax + by + cy = 0 Voor het vlak ax + by + cz = 0 en elke vlak evenwijdig met dit vlak is ~n(a, b, c) een normaalvector. elke oplossing (x, y , z) van ax + by + cz = 0 de coördinaat van een richtingsvector.

Meetkunde



algemene vergelijking van een vlak en parametervoorstelling van een vlak Algemene vergelijking van een vlak is van de gedaante ax + by + cz + d = 0 met (a, b, c) 6= (0, 0, 0). We kunnen dit opvatten als een stelsel met 1 vergelijking, 3 onbekenden en met rang gelijk aan 1. De oplossingen zijn van de gedaante 

             x b c a1 x − a1 b c  y  = r  −a +s  0 + a2  ⇔  y − a2  = r  −a +s  0  z 0 −a a3 z − a3 0 −a

Dit is een parametervoorstelling van het vlak met parameters r en s waarbij (b, −a, 0) en (c, 0, −a) twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren zijn van het vlak en (a1 , a2 , a3 ) een punt van het vlak. Als (x, y , z) een oplossing is dan zijn de vectoren (x − a1 , y − a2 , z − a3 ), (b, −a, 0) en (c, 0, −a) lineair afhankelijk (zie volgende dia). Meetkunde



vlak bepaald door een punt en een richting Vlak α door het punt A(a1 , a2 , a3 ) en 1 mt normaalvector (a, b, c) of evenwijdig mt vl ax + by + cz + d = 0: a(x − a1 ) + b(y − a2 ) + c(z − a3 ) = 0 2

met 2 lin. onafh. richtingsvectoren ~p (p1 , p2 , p3 ) en ~q (q1 , q2 , q3 ) :

vlak gaat dr A en heeft normaalvector (~ n⊥~p en ~n⊥~ q ) p2 p3 p3 p1 p1 p2 , , : ~n = ~p × ~q = q2 q3 q3 q1 q1 q2 p2 p3 (x−a1 )+ a3 a1 (y −a2 )+ a1 a2 (z−a3 ) = 0 q2 q3 q3 q1 q1 q2 ~ ~p en ~q zijn lineair P(x, y , z) ∈ α ⇐⇒ AP, x x − a1 y − a2 z − a3 a p1 p2 p3 = 0 ⇔ 1 q1 p1 q2 q3 q1 3 4 5

evenwijdig met het (x, y )-vlak: z = a3 evenwijdig met de (y , z)-vlak: x = a1 evenwijdig met het (z, x)-vlak: y = a2 Meetkunde

afhankelijk ⇐⇒ y z 1 a2 a3 1 =0 p2 p3 0 q2 q3 0



vlak bepaald door twee punten en met een richtingsvector Vlak dr A(a1 , a2 , a3 ) en B(b1 , b2 , b3 ) en rv ~p (p1 , p2 , p3 ). ~ × ~p vlak gaat dr A en heeft normaalvector ~n = AB ~ AB ~ en ~p zijn lineair afhankelijk ⇐⇒ P(x, y , z) ∈ α ⇐⇒ AP, x y z 1 x − a1 y − a2 z − a3 p1 p2 p3 1 b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3 = 0 ⇔ b1 b2 b3 1 = 0 p1 p2 p3 p1 p2 p3 0 Vlak door A en B en evenwijdig met de x-as ((1, 0, 0) is rv): een normaalvector is b2 − a2 b3 − a3 b3 − a3 b1 − a1 b1 − a1 b2 − a2 , , 0 0 0 1 1 0 (0, b3 − a3 , −(b2 − a2 )). De x-term ontbreekt in de vergelijking analoog voor een vlak evenwijdig met de y -as en een vlak evenwijdig met de z-as. Meetkunde



vlak bepaald door drie niet collineaire punten Vlak door 3 nt coll ptn A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C (c1 , c2 , c3 ) is vl dr pt A(a1 , a2 , a3 ) en met 2 lin onafh rv ~ 1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ) en AC ~ (c1 − a1 , c2 − a2 , c3 − a3 ) AB(b ~ vlak gaat door A en heeft normaalvector ~n = AB P(x, y , z) ∈ vlak(ABC ) ⇐⇒ ~ AB ~ en AC ~ zijn lineair afhankelijk ⇐⇒ AP, x y x − a1 y − a2 z − a3 b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3 = 0 ⇔ a1 a2 b1 b2 c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3 c1 c2

~ × AC

z a3 b3 c3

Vlak bepaald door zijn doorgangen met de co¨ ordinaatassen A(p, 0, 0), B(0, q, 0) en C (0, 0, r ): x y z + + =1 p q r Meetkunde

1 1 1 1

=0



onderlinge ligging van twee vlakken Stelsel met de vergelijkingen van twee vlakken α en β: ~n = (a, b, c) α : ax + by + cz + d = 0 0 0 0 0 0 ~ β : a x + b y + c z + d = 0 n = (a0 , b 0 , c 0 ) a b c 1 α ∩ β = s: ∞1 opl. als rang = 2 (~n, n~0 lin. a0 b 0 c 0 onafh. ) richtingsvector van s is: b c c a a b 0 ~ ~n × n = 0 0 , 0 0 , 0 b c c a a b0 (dit is een oplossing van het corresponderend homogeen stelsel)

2

α k β als rang 1

2

a b c a0 b 0 c 0

b b0

a a0

=1

c d α ∩ β = φ als rang c0 d0 a α = β: ∞2 oplossingen als rang a0 Meetkunde

(~n, n~0 lin. afh. ) =2 b b0

c c0

d d0

=1



vergelijkingen van een rechte in verschillende gedaanten De vergelijkingen van de rechte in de vorm van een stelsel: De rechte k als doorsnede van 2 vlakken met normaalvectoren ~0 0 0 0 ~0 resp. ~n(a, b, c) en n (a , b , c ) met ~n × n = (ρ1 , ρ2 , ρ3 ) 6= (0, 0, 0): ax + by + cz + d = 0 a b c en rang =2 0 0 0 0 0 a b0 c 0 ax + by + cz + d = 0 Parametervoorstelling van de rechte (oplossingen van het stelsel): 

         x ρ1 a1 x − a1 ρ1  y  = r  ρ2  +  a2  ⇐⇒  y − a2  = r  ρ2  z ρ3 a3 z − a3 ρ3

Vergelijkingen van de rechte in de vorm van een evenredigheid y − a2 z − a3 x − a1 = = = r als ρ1 6= 0, ρ2 6= 0, ρ3 6= 0 ρ1 ρ2 ρ3 Met A(a1 , a2 , a3 ) ∈ k en ~p (ρ1 , ρ2 , ρ3 ) een richtingsvector van k Meetkunde



rechte door een punt en met een bepaalde richting Rechte k door het punt A(a1 , a2 , a3 ) en 1 k met ~ p (ρ1 , ρ2 , ρ3 ) of ⊥ op α : ρ1 x + ρ2 y + ρ3 z + d = 0: ~ en ~p zijn lineair afhankelijk ⇐⇒ P(x, y , z) ∈ k ⇐⇒ AP ρ 6=0,ρ2 6=0,ρ3 6=0 x − a1 y − a2 z − a3 rang < 2 1 ⇐⇒ ρ1 ρ2 ρ3

x − a1 y − a2 z − a3 = = ρ1 ρ2 ρ3

2

3

4 5

ax

+

by

+

cz

+

d

=

0

evenwijdig met k : a0 x + b0 y + c 0 z + d 0 = 0 : a(x − a1 ) + b(y − a2 ) + c(z − a3 ) = 0 a0 (x − a1 ) + b 0 (y − a2 ) + c 0 (z − a3 ) = 0 z = a3 evenwijdig met het (x, y )-vlak: y −a2 x−a1 ρ1 = ρ2 x = a1 evenwijdig met de z-as: y = a2 analoog voor de andere co¨ ordinaatvlakken en coördinaatassen. Meetkunde



Onderlinge ligging van twee rechten coëxistentievoorwaarde van een (4 × 3)-stelsel Meetkundige behandeling voor de onderlinge ligging (met richtingsvectoren en punten) staat tussen haakjes.

k en m zijn geven door een stelsel vergelijkingen. a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 (~p is rv k: a10 x + b10 y + c10 z + d10 = 0 (A is pt a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 (~q is rv m: a20 x + b20 y + c20 z + d20 = 0 (B is pt Het stelsel met de vier vergelijkingen heeft 1 rang gelijk aan drie (~ p , ~q lin. onafh.) en is 1 2 2

van van van van

k) k) m) m)

~ lin. onafh.) onoplosbaar dan zijn k en m kruisend (~p , ~q , AB ~ oplosbaar dan zijn k en m snijdend (~p , ~q , AB lin. afh.)

rang gelijk aan twee (~p , ~q lin. afh.) en is 1

2

~ lin. onoplosbaar dan zijn k en m strikt evenwijdig (~p , AB onafh.) ~ lin. afh.). oplosbaar dan zijn k en m samenvallend (~p , AB Meetkunde



Onderlinge ligging van een rechte en een vlak oplosbaarheid van een (3 × 3)-stelsel Meetkundige behandeling voor de onderlinge ligging (met richtingsvectoren en punten) staat tussen haakjes.

Vlak α : ax + by + cz + d = 0 (~n(a, b, c) nv van α) en rechte a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 (~p is rv van k) k: a10 x + b10 y + c10 z + d10 = 0 (A is pt van k) Het  stelsel met 3 vergelijkingen  ax + by + cz + d = 0 a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 heeft:  0 a1 x + b10 y + c10 z + d10 = 0 1 rang gelijk aan drie (~ p 6⊥ ~n) en is altijd oplosbaar met 1 oplossing, de rechte snijdt het vlak in 1 punt 2 rang gelijk aan twee (~ p ⊥~n) en is 1

2

onoplosbaar dan is de rechte strikt evenwijdig met het vlak (A 6∈ α) oplosbaar dan ligt de rechte in het vlak (A ∈ α) Meetkunde



Opstellen van vergelijking van rechte in het vlak en vlak in de ruimte Heeft men twee punten A en B van de rechte of van het vlak dan ~ een richtingsvector van de rechte of van het vlak. is AB Rechte in het vlak: zoeken naar een punt A(a1 , a2 ) en naar een normaalvector (a, b): vergelijking is a(x − a1 ) + b(y − a2 ) = 0 Heeft men een richtingsvector ~p (ρ1 , ρ2 ) dan is een normaalvector ~n: ~n⊥~p dus (a, b) = (ρ2 , −ρ1 ). Vlak in de ruimte: zoeken naar een punt A(a1 , a2 , a3 ) en naar een normaalvector (a, b, c): vergelijking is a(x − a1 ) + b(y − a2 ) + c(z − a3 ) = 0 Heeft men twee lin. onafh. richtingsvectoren ~p (p1 , p2 , p3 ) en ~q (q1 , q2 , q3 ) dan is een ~n: ~n⊥~ p en ~n⊥~q dus normaalvector p2 p3 p3 p1 p1 p2 (a, b, c) = ~p × ~q = , , : q2 q3 q3 q1 q1 q2 Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december Meetkunde

Recommend Documents