Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012
www.lyceo.nl
Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden
2
2. Grafieken en formules
3. Algebraïsche verbanden
4. Meetkunde
Getallen
Assenstelsel
Lineair verband
Begrippen
Maten
Grafieken
Kwadratisch verband
Figuren
Verhoudingstabel
Snijpunten
Exponentieel verband
Toepassingen
Procenten
Formules
Wortelverband
Breuken
Machtsverband
Aannames
Periodiek verband
www.lyceo.nl
Begrippen Begrippen
Punten en lijnen
Hoeken en koershoeken
Begrippen •
Zijde
•
Snijpunt
•
Evenwijdig
•
Loodrecht
•
Diagonaal
Snijpunt
Diagonalen
Zijde
Loodrecht
Evenwijdig
3
www.lyceo.nl
Punten en lijnen Hoe teken ik een evenwijdige lijn? Teken een lijn. Leg een evenwijdige lijn van je geodriehoek op de getekende lijn en teken een nieuwe lijn. Nu heb je twee evenwijdige lijnen.
Hoe teken ik een lijn loodrecht op de ander? Teken een lijn. Leg de nullijn van je geodriehoek op de getekende lijn.
Nullijn
Teken een lijn langs je geodriehoek.
Evenwijdige lijn
4
www.lyceo.nl
Punten en lijnen Wat is de afstand van een punt tot een lijn? •
De afstand van een punt tot een lijn is de kortst mogelijke lengte ertussen.
•
Deze afstand kun je vinden door een loodrechte lijn te tekenen door het punt en de lijn.
Wat is een deellijn? Een deellijn verdeelt een hoek in twee even grote hoeken.
Wat is een hoogtelijn? Een hoogtelijn is een lijn die vanuit het hoekpunt loodrecht op de overstaande zijde staat.
Deellijn 5
Hoogtelijn www.lyceo.nl
Punten en lijnen Wat is een grensvlak? •
Wat is een grensvlakdiagonaal? •
Grensvlak
Een grensvlak is een vlak van het ruimtefiguur. Grensvlakdiagonaal
Een diagonaal in een grensvlak is een grensvlakdiagonaal.
Wat zijn iso-hoogtelijnen?
6
•
Met iso-hoogtelijnen is het verschil tussen hoog en laag op een kaart zichtbaar.
•
Een iso-hoogtelijn verbindt alle punten op dezelfde hoogte met elkaar.
•
Een voorbeeld is een weerkaart met de luchtdruk.
www.lyceo.nl
Hoeken en koershoeken Begrippen
Punten en lijnen
Hoeken en koershoeken
Wat is een hoek? •
Elke hoek heeft twee benen, die samenkomen in een hoekpunt.
•
Je kan de benen langer maken, de hoek verandert niet.
•
Je kan in plaats van hoek A ook zeggen: ∠ A
Been A
Verschillende hoeken
Rechte hoek: precies 90°
Stompe hoek: groter dan 90°
Scherpe hoek: kleiner dan 90°
Wat is een gestrekte en volle hoek? Gestrekte hoek: precies 180°
7
Volle hoek: precies 360°
www.lyceo.nl
Hoeken en koershoeken Hoe construeer je een driehoek? •
Als er drie zijden gegeven zijn: zijde AB = 9 cm, AC = 6 cm en BC = 6 cm. Teken de langste zijde (AB) en maak de passeropening 6 cm. Trek een cirkelboogje op 6 cm vanaf punt A. Trek een cirkelboogje op 6 cm vanaf punt B. Maak de driehoek ABC af.
•
Als er een zijde en twee hoeken gegeven zijn: zijde AB = 4 cm, ∠ A = 40° en
∠B =
80°
Teken de gegeven zijde AB. Teken ∠ B. Teken ∠ A. Teken driehoek ABC. 40°
80°
A 8
B www.lyceo.nl
Hoeken en koershoeken Wat is een koers en wat is een koershoek? •
Koersen kun je aangeven met windrichtingen zoals Noord, Zuid, Noordwest.
•
Om een koers nauwkeurig aan te geven gebruik je een koershoek in graden.
•
Een koershoek meet je altijd vanaf het noorden.
•
Hiernaast is een koershoek van 38° getekend.
N
38°
Hoe kan je een plaats op de kaart vinden met twee koershoeken? Teken vanuit de twee plaatsen de koers met je kompasroos. De plaats die je zoekt is het snijpunt van beide lijnen.
Voorbeeld Vanuit A is de koershoek 110° en vanuit B is de koershoek 235° 1. 2.
9
110°
235°
www.lyceo.nl
Hoeken en koershoeken Hoe meet je een hoek? Leg het midden van de kompasroos precies op het hoekpunt. Leg de 0° van je kompasroos op één van de benen van de hoek. Doe dit zo dat je het andere been kunt meten in de richting van de wijzers van de klok. Lees bij het andere been af hoe groot de hoek is. Hoe meet je een koershoek? Trek een lijn tussen twee plaatsen. Leg het middelpunt van je kompasroos op de plaats van vertrek met het Noorden naar boven. Lees af hoe groot de hoek is.
Voorbeeld 1.
10
N 2.
3.
www.lyceo.nl
Hoeken en koershoeken Bijzondere hoeken •
•
Overstaande hoeken: als twee lijnen elkaar snijden zijn de overstaande hoeken gelijk. +
Z-hoeken
x o
x
o
+
•
F-hoeken
*
*
11
De gelijke tekens in de figuren betekenen dat de hoeken precies even groot zijn. Let op: de lijnen moeten wel evenwijdig zijn!
www.lyceo.nl
Kijkhoek Wat is een kijklijn? •
Een kijklijn is een lijn waarlangs iemand kijkt, dit is altijd een rechte lijn.
Wat is een kijkhoek? •
Een kijkhoek is de hoek waarnaar je kan kijken.
•
Je kan je kijkhoek vergroten door je plaats te veranderen.
Voorbeeld De kijklijnen voor plek 1 en plek 2 zijn weergegeven. Door van plek 1 naar plek 2 te gaan heb je een grotere kijkhoek en zie je meer.
2.
1.
12
www.lyceo.nl
Driehoek Figuren
Driehoek
Cirkel
Ruimtefiguren
Hoeken in een driehoek en vierhoek •
In elk driehoek zijn de drie hoeken samen precies 180°.
•
In elk vierhoek zijn de vier hoeken samen precies 360°.
•
Als je in een driehoek twee hoeken weet kan je de derde uitrekenen.
•
Als je in een vierhoek drie hoeken weet kan je de vierde uitrekenen. C ? 58° A
47° B
∠ C= 180° - 58° - 47° = 75° 13
www.lyceo.nl
Driehoek Driehoeken Er zijn verschillende driehoeken te onderscheiden: •
Gelijkzijdige driehoek, alle zijden zijn even lang en alle hoeken zijn even groot.
•
Gelijkbenige driehoek, heeft twee even lange zijden en hoeken.
•
Rechthoekige driehoek, heeft één hoek van 90 graden.
Gelijkzijdig
Gelijkbenig
Rechthoekig
Bijzondere vierhoeken •
Vlieger, is een vierhoek waarvan één diagonaal symmetrieas is.
•
Ruit, is een vlieger waarvan beide diagonalen symmetrieassen zijn.
•
Parallellogram, is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen.
Vlieger
14
Ruit
Parallellogram
www.lyceo.nl
Driehoek Overstaande rechthoekszijde van ∠ P.
Overstaande en aanliggende rechthoekszijde. •
De overstaande rechthoekszijde van ∠ P staat tegenover ∠ P.
•
De aanliggende rechthoekszijde van ∠ P ligt vast aan ∠ P. P
Wat is de sinus, cosinus en tangens?
Bij berekeningen in een rechthoekige driehoek kun je gebruik
Aanliggende rechthoekszijde van ∠ P.
Maken van de verhoudingen sinus, cosinus of tangens.
aanliggende _ rechthoekszijde cos ∠A = schuine _ zijde
o s a c s
overstaande _ rechthoekszijde tan ∠A = aanliggende _ rechthoekszijde
o t a
overstaande _ rechthoekszijde sin ∠A = schuine _ zijde
15
s
l o van ∠P P
a van ∠ P
www.lyceo.nl
Driehoek Hoe bereken je een hoek in een rechthoekige driehoek? Kijk wat de overstaande, aanliggende en lange zijde zijn. Kies uit de ezelsbruggetjes de juiste verhouding. Vul de verhouding in en bereken de hoek. R
Voorbeeld 7
Er is gegeven: overstaande rechthoekszijde van ∠P en de langste zijde. Dus gebruik het ezelsbruggetje ‘sol’.
3 P
Q
QR Sin ∠ P = PR Sin ∠ P =
3 7
∠ P = 25°
16
www.lyceo.nl
Driehoek Hoe bereken je een zijde in een rechthoekige driehoek? Kijk wat de overstaande, aanliggende en lange zijde zijn. Kies uit de ezelsbruggetjes de juiste verhouding. Vul de verhouding in en bereken de zijde.
Voorbeeld
C
Bereken zijde AB.
10
Zijde AB is de aanliggende zijde, zijde AC is de overstaande zijde en zijde BC is de lange zijde.
31° A
?
B
Omdat de overstaande zijde bekent is en we de aanliggende zijde willen weten is het handig om de tangens te gebruiken. (‘toa’)
AC tan ∠ B = AB tan 31° =
17
10 AB
AB =
10 = 16,6 tan 31° www.lyceo.nl
Driehoek Een andere manier om te rekenen met driehoek is de stelling van Pythagoras. Wat is de stelling van Pythagoras •
De stelling van Pythagoras kan je gebruiken voor berekeningen in een rechthoekig driehoek.
•
Let op: Er moet dus een hoek van 90° zijn! Rechthoekszijde
De stelling van Pythagoras: rechthoekszijde2
x
rechthoekszijde2
Rechthoekszijde = schuine
zijde2
Voorbeeld Hoe bereken je een zijde? Maak een schema. Bereken de kwadraten. Bereken de lengte van de zijde.
M 5 cm
zijde kwadraat KM = 5 25 KL = 12 144 + LM = ? 169
K
?
12 cm
LM = 169 = 13cm 18
www.lyceo.nl
L
Cirkel Figuren
Driehoek
Cirkel
Ruimtefiguren
Wat is een cirkel? •
Het middenpunt wordt aangegeven met de M.
•
Een lijn door het middenpunt is de middellijn.
•
De middellijn verdeelt de cirkel in twee gelijke stukken.
•
De middellijn noem je ook wel de diameter.
•
De straal is hetzelfde als een halve diameter.
•
De omtrek is gelijk aan π × diameter
straal
M diameter
19
www.lyceo.nl
Ruimtefiguur Figuren
Driehoek
Cirkel
Ruimtefiguren
Wat zijn ruimtefiguren?
20
•
Kubus
•
Balk
•
Prisma
•
Piramide
•
Bol
•
Cilinder
•
Kegel
www.lyceo.nl
Einde presentatie 4A
Voorbeeldopgave blok 4A
21
www.lyceo.nl
Wat moet je ermee kunnen? De volgende toepassingen worden besproken: -
Omtrek
-
Oppervlakte
-
Inhoud
-
Uitslag
-
Aanzichten
-
Doorsneden
-
Coordinaten
-
Vergroting
-
Gelijkvormig
-
Symmetrie
Dit zijn toepassingen van de in de vorige presentatie genoemde theorie.
22
www.lyceo.nl
Omtrek Hoe bereken je een omtrek? Omtrek heeft te maken met de lengte om iets heen. Zorg dat je de lengte van alle zijden van de figuur weet. Tel al die lengten bij elkaar op, het antwoord is de omtrek van de figuur. 3m
Voorbeeld 1
2m De bovenste zijde is 5 – 3 = 2m De onbekende verticale zijde is 2 – 1,5m = 0,5m De omtrek is dan: 2 + 3 + 0,5 + 2 + 1,5 + 5 = 14 meter
1,5 m 5m
Voorbeeld 2 Hoe bereken je de omtrek van een cirkel? De omtrek van de cirkel bereken je met deze formule: Omtrek cirkel = diameter x Het getal
23
π
π
spreek je uit als ‘pi’ en is ongeveer 3,14.
Bereken de omtrek van de cirkel:
π
Diameter x
π
18 x
= omtrek
18 cm
= 56,5 cm
www.lyceo.nl
Oppervlakte Hoe bereken je de oppervlakte van een driehoek? Als de basis en hoogte bekend zijn, dan bereken je de oppervlakte van een driehoek met: Oppervlakte driehoek = basis x hoogte x
1 2
Voorbeeld Hoogte
Bereken de oppervlakte van driehoek ABC. C AB is de basis, AB = 7 cm CD is de hoogte, CD = 4 cm 4 cm
Basis A
B 2 cm
De oppervlakte is: 7 x 4 x 1:2 = 14 cm2
5 cm
Hoe bereken je de oppervlakte van een parallellogram? Basis en hoogte zijn wederom belangrijk, de hoogte staat wederom loodrecht op de basis. De formule voor de oppervlakte is: Hoogte
Oppervlakte parallellogram = basis x hoogte Basis 24
www.lyceo.nl
Oppervlakte Hoe bereken je de oppervlakte van een balk?
Bovenvlak
Bereken de oppervlakte van het bovenvlak, het voorvlak en het zijvlak. Vermenigvuldig deze oppervlakten met 2. De totale oppervlakte vind je door deze uitkomsten op te tellen Voorvlak
Hoe bereken je de oppervlakte van een cirkel? De oppervlakte van een cirkel kun je berekenen met de formule: Oppervlakte cirkel
= straal × straal × π
Hoe bereken je de oppervlakte van een cilinder? Schets de uitslag van de cilinder. Bereken de lengte van de rechthoek door de omtrek van de cirkel te berekenen. Bereken de oppervlakte van de rechthoek. Bereken de oppervlakte van de cirkel. Bereken de oppervlakte van de cilinder door alles bij elkaar op te tellen. 25
www.lyceo.nl
Zijvlak
Oppvervlakte Samengestelde figuren Figuren kunnen ook bestaan uit meerdere vormen. Je kan de oppervlakte dan uitrekenen door de figuren op te splitsen in figuren die je kent: •
Oppervlakte rechthoek = lengte x breedte
•
Oppervlakte driehoek = basis x hoogte x
•
Oppervlakte parallellogram = basis x hoogte
•
Oppervlakte cirkel = straal x straal x π
1 2
Voorbeeld huisje Verdeel figuur in bekende figuren Bereken de bekende figuren Kijk welke vlakken je dubbel hebt
26
www.lyceo.nl
Inhoud Hoe kun je de inhoud van een balk, cilinder of prisma berekenen? Bereken de oppervlakte van de bodem. Bereken de inhoud door het grondoppervlak te vermenigvuldigen met de hoogte. Schrijf de juiste inhoudsmaat achter je antwoord. (cm3, dm3, m3 etc.)
Hoe reken je om naar liters? Reken de gegeven lengtematen om in dm. Bereken de inhoud in dm3.
Voorbeeld 1 Bereken de inhoud van de balk in liter. 3,5 m 0,8 m
Schrijf je antwoord op in liter. Gebruik: 1 dm3 = 1 liter
Inhoud kegel en piramide Dit bereken je met de formule: Inhoud =
27
1 x oppervlakte bodem x hoogte 3
160 cm 3,5 m = 35 dm 160 cm = 16 dm 0,8 m = 8 dm Oppervlakte bodem is 35 x 16 = 560 dm2 De inhoud is 560 x 8 = 4480 dm3 De inhoud is 4480 liter. www.lyceo.nl
Uitslag en doorsnede Wat is een uitslag? •
Een uitslag is een bouwplaat, als je deze dichtvouwt moet je het ruimtefiguur krijgen.
•
Met een uitslag van een ruimtefiguur kun je goed zien welke vorm de vlakken hebben.
Wat is een doorsnede?
28
•
Als je een voorwerp recht doorsnijdt, noem je het platte snijvlak een doorsnede.
•
Als je een voorwerp meerdere keren evenwijdig doorsnijdt krijg je twee doorsneden die evenwijdig aan elkaar zijn: evenwijdige doorsneden.
•
Je tekent de doorsnede altijd in zijn echte vorm, de vorm die je ziet als je er recht voor staat.
www.lyceo.nl
Aanzichten Aanzichten •
Vooraanzicht: dan kun je zien hoe een ruimtefiguur er van voren uitziet.
•
Bovenaanzicht: dan kun je kijken hoe een ruimtefiguur er van boven uitziet.
•
Zijaanzicht: dan kun je zien hoe een ruimtefiguur er van de zijkant uitziet.
Bovenaanzicht
Cilinder
29
Vooraanzicht (en in dit specifieke geval ook zijaanzicht)
www.lyceo.nl
Plaats in de ruimte Hoe kun je een plaats in de ruimte aangeven? •
Twee coördinaten: een plaats op een plat vlak kun je aangeven met (afstand, richting).
•
Drie coördinaten: een plaats in de ruimte kun je aangeven met (afstand, richting, hoogte).
Hoe kun je een punt met drie coördinaten in de ruimte aangeven? Begin in het punt O. De eerste coördinaat geeft aan hoeveel plaatsen je naar voren moet. De tweede coördinaat geeft aan hoeveel plaatsen je naar rechts moet. De derde coördinaat geeft aan hoeveel plaatsen je naar boven moet.
30
www.lyceo.nl
Vergroten en gelijkvormigheid Wat is een vergroting? •
Als je een figuur vergroot, dan moeten alle lengten met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden.
•
Let op: de vorm moet gelijk blijven! De hoeken blijven ook gelijk.
Wat is een factor? •
Het getal waar je steeds mee vermenigvuldigt heet de factor.
•
Dit getal geeft aan hoeveel keer zo groot de afmetingen van een figuur worden.
•
Is het getal groter dan 1? Dan wordt het figuur groter.
•
Is het getal kleiner dan 1? Dan wordt het figuur kleiner.
Voorbeeld Hoe reken je een factor uit? Bepaal wat de oude en nieuwe maat is. Bereken de factor.
31
Oude waarde = 10 euro Nieuwe waarde = 15 euro Met welk factor is de oude waarde toegenomen? Bereken dit door: 10 = 1,5 15 De oude waarde x factor = nieuwe waarde www.lyceo.nl
Vergroten en gelijkvormigheid Wat gebeurt er met de afmetingen van een vergroting? •
De omtrek van een vergroting wordt een factor k groter.
•
De oppervlakte van een vergroting wordt een factor k2 groter.
•
De inhoud van een vergroting wordt een factor k3 groter.
Wat is een schaal? •
Een schaal is een manier om een maat van een tekening om te rekenen naar de werkelijkheid.
Hoe bereken je de schaal van een tekening? Meet in de tekening een lengte van een voorwerp waarvan je de werkelijke maat weet. Maak een rekenschema. Bereken de factor. Schrijf de schaal op.
32
Voorbeeld Een bureau is op de tekening 2,5 cm en in het echt 200 cm. cm in tekening x factor = cm in werkelijkheid 2,5 x factor = 200 De factor is dus 200 : 2,5 = 80 De schaal is dus 1 : 80. www.lyceo.nl
Symmetrie Wat is symmetrie? Een figuur noem je symmetrisch als een of meerdere delen bestaan die elkaars spiegelbeeld zijn. •
Lijnsymmetrie: je kan een figuur met een lijn door midden snijden en de twee helften zijn dan precies gelijk.
•
Draaisymmetrie: je kan het figuur om een punt draaien met een bepaalde hoek zodat het figuur dezelfde vorm behoudt.
•
Puntsymmetrie: je draait een figuur met 180o om een punt en het figuur heeft dan dezelfde vorm.
Lijnsymmetrisch met verschillende symmetrieassen
33
Draaisymmetrisch om punt C.
www.lyceo.nl
Tips & Tricks Formules die gegeven zijn op het examen
-
π x diameter Oppervlakte cirkel = π x straal x straal
-
Inhoud prisma = oppervlakte grondvlak x hoogte
-
Inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte 1 Inhoud kegel = x oppervlakte grondvlak x hoogte 3 1 Inhoud piramide = x oppervlakte grondvlak x hoogte 3 4 Inhoud bol = x x straal x straal x straal 3
-
-
34
Omtrek cirkel =
π
www.lyceo.nl
