Projectieve meetkunde en dualiteit

Projectieve meetkunde en dualiteit Irina Kachurovskaya

Tobias Huisman 27 maart 2009

Bram Wage

2

Inhoudsopgave 1 De hand-out 1.1 Inleiding in dualiteit en projectiviteit 1.1.1 Beginvragen . . . . . . . . . . 1.1.2 De theorie . . . . . . . . . . . 1.1.3 Oneindige opgaven . . . . . . 1.2 De stelling van Desargues . . . . . . 1.3 De dubbelverhouding . . . . . . . . . 1.3.1 De definitie . . . . . . . . . . . 1.3.2 De stelling van Chasles . . . . 1.3.3 De stelling van Pascal . . . . 1.4 Bronnen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Bijlage . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

5 5 5 8 10 12 14 14 16 18 19 20

2 De presentatie 2.1 Bram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Irina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tobias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 26 27

3 Antwoorden bij de opgaven

29

3

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

4

INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1 De hand-out 1.1 1.1.1

Inleiding in dualiteit en projectiviteit Beginvragen

Opgave 1 In het vlak heeft elk paar lijnen een gemeenschappelijk punt. Elk paar lijnen? Nee, een kleine categorie van lijnen blijft moedig weerstand bieden aan de wiskundige overweldigers en maakt het leven van de wiskundigen die aan meetkunde doen bepaald niet gemakkelijk...1 Kunnen we het begrip ‘snijden’ of het begrip ‘punt’ z´o veralgemeniseren, dat de stelling ook voor evenwijdige lijnen opgaat? Opgave 2 In het college over isometrie¨en zijn we tussen neus en lippen door al het antwoord op Opgave 1 tegengekomen. Waar? (Hint: het had te maken met rotaties en translaties.)

1

Naar: R. Goscinny, A. Uderzo: Asterix en het geschenk van Caesar (1974).

5

6

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

Opgave 3

Een hexa¨ eder gevormd vanuit een vlak

Bekijk de volgende constructie van een hexa¨eder (dit is een zesvlak, denk aan een kubus). “In een willekeurig vlak van de ruimte liggen drie punten. Deze drie punten bepalen drie snijlijnen. Vanuit deze lijnen gaan willekeurig twee vlakken de ruimte in. Deze zes vlakken sluiten het hexa¨eder in.” Deze constructie voeren we stap voor stap uit. 1. Teken op een vel papier (het vlak) drie punten: rood, geel en blauw. Kies het blauwe punt aan de rechterkant van je papier, het gele aan de linkerkant, en het rode bovenaan. 2. Teken de verbindingslijnen van deze drie punten in oranje, groen en paars. (Het rode en het blauwe punt geven de paarse verbindingslijn, enzovoort.) 3. Gebruik deze drie punten als verdwijnpunten voor het tekenen van de hexa¨eder. Begin met het trekken van twee lijnen door het blauwe punt, schuin naar beneden. Doe hetzelfde voor het gele punt. De vier lijnen sluiten nu ergens op de onderste helft van je papier het grondvlak van de hexa¨eder in. 4. Voltooi de constructie. Teken de hexa¨eder z´o, dat ook de bovenkant (of de onderkant) te zien is. 5. Kleur de zichtbare zijvlakken van de hexa¨eder nu z´o in met oranje, groen en paars, dat je kunt zien bij welke gekleurde lijn dit zijvlak hoort. Het zijvlak ligt dan in een vlak door deze lijn. (Hint: het vlak dat wordt ingesloten door lijnen uit het rode en het blauwe punt, wordt dus paars.)

1.1. INLEIDING IN DUALITEIT EN PROJECTIVITEIT Opgave 4

7

Een octa¨ eder gevormd vanuit een punt

Bekijk de volgende constructie van een octa¨eder (achtvlak). “Door een willekeurig punt in de ruimte gaan drie vlakken. Deze drie vlakken bepalen drie snijlijnen. Op deze lijnen liggen willekeurig twee punten. Deze zes punten sluiten het octa¨eder in.” Ook deze constructie voeren we stap voor stap uit. 1. Teken in het midden van een vel papier een punt (P). 2. Schets (in je beste 3D) drie vlakken die door dit punt heengaan. De randen kun je rood, geel en blauw kleuren. Neem voor een mooi resultaat drie vlakken die ongeveer loodrecht op elkaar staan. N.B. Het is niet nodig om dit heel precies te doen, het belangrijkste is dat de lijnen van de volgende stap op het papier komen te staan. 3. Teken de snijlijnen van de drie vlakken: oranje, groen en paars. (Deze lijnen snijden elkaar dus in P.) Als de vorige stap niet goed gelukt is, kun je ook met het tekenen van deze drie lijnen beginnen: kies ze dan alsof je een driedimensionaal assenstelsel tekent. 4. Kies op elke lijn willekeurig twee punten. Het is het mooist om de twee punten symmetrisch om P te kiezen, maar dit hoeft niet per se. Teken deze punten in de kleur van de lijn waarop ze liggen. 5. Verbind elk punt met alle andere punten. Nu zie je een ruimtelijke octa¨eder ontstaan. 6. Kleur de snijlijnen van de octa¨eder met de oorspronkelijke drie vlakken in de overeenkomstige kleuren: rood, geel en blauw. (Hint: het vlak waarin de groene en de paarse lijn liggen is het blauwe vlak; deze primaire kleur hebben ze namelijk gemeen.) Opgave 5 Vergelijk de teksten van Opgave 3 en Opgave 4. Hoe kun je de een uit de ander maken?

8

1.1.2

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

De theorie

In het vlak De projectieve meetkunde geeft als volgt antwoord op Opgave 1: in het vlak voegen we aan elke rechte ´e´en ‘oneindig’ of oneigenlijk punt toe. Alle oude, fatsoenlijke, eindige punten kunnen we dan eigenlijke punten noemen. Als twee rechten elkaar niet in een eigenlijk punt snijden - als ze parallel zijn aan elkaar - dan zeggen we dat ze elkaar in het oneigenlijke punt snijden. Of beter geformuleerd: ze hebben het oneigenlijke punt gemeen. Hierdoor kun je het oneigenlijke punt ook opvatten als de richting van de rechte. Deze projectieve toevoeging aan de oude meetkunde kan nog iets formeler worden gemaakt. Daarvoor moeten we naar twee belangrijke begrippen uit de vlakke projectieve meetkunde kijken: de puntenrij en de lijnenwaaier. Elke lijn in het vlak vatten we op als een verzameling van punten: de puntenrij (dit is wellicht al een bekende manier om tegen een lijn aan te kijken). Elk punt in het vlak kunnen we op zijn beurt opvatten als de verzameling van lijnen door dat punt: zo krijgen we een lijnenwaaier. (Zie figuur 1.1.)

Figuur 1.1: Links een puntenrij, rechts een lijnenwaaier. We kunnen nu een puntenrij bijectief afbeelden op een lijnenwaaier. Als er een lijn en een punt gegeven zijn, dan identificeren we elke lijn van de lijnenwaaier met het punt waarin hij de puntenrij snijdt (zie figuur 1.2). Op deze manier identificeren we de lijn parallel aan de puntenrij met het oneigenlijke punt van de puntenrij. Zo komt het oneigenlijke punt op een vrij natuurlijke manier uit de definitie rollen! Het toevoegen van het oneigenlijke punt maakt dus een bijectie tussen lijn en punt mogelijk. Daarom kan een stelling in de projectieve meetkunde in een even geldige stelling getransformeerd worden door consequent het woord ‘lijn’ door ‘punt’ te vervangen. Dit heet het dualiseren van de stelling; de getransformeerde stelling heet ook wel de duale van de oorspronkelijke stelling. Twee andere begrippen die bij het dualiseren in elkaar veranderen zijn collineair en concurrent. Twee punten heten collineair als ze op ´e´en lijn liggen. Twee lijnen heten concurrent als ze door hetzelfde punt gaan. (Deze begrippen vervangen dus de oude termen ‘liggen op ´e´en lijn’ en ‘snijden elkaar’.) Een woord dat bij het dualiseren onveranderd blijft, is incideren. Een lijn en een punt incideren als het punt op de lijn ligt en de lijn door het punt gaat (wat twee verschillende manieren zijn om hetzelfde te zeggen). De uitspraak “lijn a en punt b incideren” verandert onder dualisatie dus in “punt a en lijn b incideren”.

1.1. INLEIDING IN DUALITEIT EN PROJECTIVITEIT

9

Figuur 1.2: De bijectie tussen lijnen en punten. In de ruimte In Opgaven 3 en 4 hebben we al gezien dat we dit principe ook heel gemakkelijk naar de ruimte kunnen uitbreiden. We zullen de manier waarop dit formeel gaat echter niet uitgebreid bespreken. Een van de redenen hiervoor is dat er heel wat nieuwe begrippen nodig zijn om projectief in drie dimensies te werken: vlakkenwaaiers, vlakkenbundels, lijnenbundels, puntenschijven, et cetera. In de ruimtelijke projectieve meetkunde worden punten en vlakken op elkaar afgebeeld, zodat de stellingen gedualiseerd kunnen worden door de woorden ‘punt’ en ‘vlak’ te verwisselen. Het woord ‘lijn’ blijft dan staan. En natuurlijk krijgen we te maken met de oneigenlijke lijn: aan elk vlak in de ruimte voegen we een oneigenlijke lijn toe; elk paar vlakken heeft ´e´en lijn gemeen; evenwijdige vlakken hebben de oneigenlijke lijn gemeen.

10

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

1.1.3

Oneindige opgaven

Opgave 6 In deze opgave spelen we met het begrip oneindig. 1. Teken een lijnenwaaier om een eigenlijk punt in het vlak en teken een lijnenwaaier om een oneigenlijk punt. Zijn ze beide vlakvullend? 2. Roteer een figuur over een kleine hoek om een eigenlijk punt in het vlak en roteer dezelfde figuur over een kleine hoek om een oneigenlijk punt. Wat gebeurt er? (Vergelijk Opgave 2.) 3. Kijk nog eens naar Opgave 3. Wat gebeurt er als je ´e´en van de punten in het oneindige kiest? En met twee punten? Drie? 4. Teken het Minnaertgebouw vier keer als hexa¨eder: ´e´en keer met drie eindige punten, ´e´en keer met ´e´en oneigenlijk punt, ´e´en keer met twee oneigenlijke punten en ´e´en keer met drie oneigenlijke punten.

1.1. INLEIDING IN DUALITEIT EN PROJECTIVITEIT Opgave 7

11

Oneindig verkleurt

Teken een driehoek ABC als in figuur 1.3, met doorgetrokken zijden. Kleur de vlakken als aangegeven (R staat voor rood, B voor blauw, Gr voor groen en Ge voor Geel). In de volgende opgaven is het de bedoeling dat je steeds de vlakken op deze manier inkleurt. Esoterische pasteltinten leveren bonuspunten op! 1. Verhoog punt C en teken de figuur die ontstaat als C in het oneindige ligt. 2. Wat gebeurt er als je C ‘n´og hoger’ probeert te schuiven? Teken de situatie die dan ontstaat. (Hints: je krijgt weer ergens een driehoek; bekijk de beweging van AC en BC tijdens het omhoogschuiven van C .) 3. Schuif C verder omhoog en teken de situatie als C op AB ligt. 4. Schuif nu C naar zijn oorspronkelijke plaats en teken weer de situatie. 5. C is nu ´e´en keer ‘door oneindig’ geweest. Wat moeten we doen om de oorspronkelijke kleuren te herstellen?

Figuur 1.3: Beginkleuren van de opgave Oneindig verkleurt.

12

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

1.2

De stelling van Desargues

Opgave 8

Desargues ruimtelijk

In deze opgave zetten we een driedimensionale figuur in elkaar die een belangrijke stelling uit de projectieve meetkunde illustreert. 1. Knip de figuur uit de bijlage uit en zet hem in elkaar. (Hiervoor moet je over de dikke lijnen knippen). Op het grondvlak is een driehoek ABC gegeven: plaats de constructie op deze driehoek. 2. We construeren nu een driehoek A0 B0 C 0 zo, dat AA0 , BB0 en CC 0 elkaar in een punt O snijden. Dit punt is de top van de piramide. Plaats daartoe punten A0 op AO, B0 op BO en C 0 op C O zo, dat de snijpunten van A0 B0 met AB, B0 C 0 met BC en A0 C 0 met AC op het papier vallen. (Je kan de punten A0 , B0 en C 0 ieder twee keer aangeven (namelijk op elk van de vlakken waarop ze liggen), of ´e´en keer en de andere later plaatsen nadat de figuur weer uit elkaar gehaald wordt.) 3. Haal de figuur uit elkaar. Trek vervolgens verlengden van de zijden A0 B0 , A0 C 0 en B0 C 0 op de drie verschillende blaadjes. Teken de snijpunten van deze lijnen met de overeenkomstige zijden van driehoek ABC op het grondvlak. (Dit kun je doen door de drie blaadjes plat op het grondvlak te leggen en het snijpunt over te nemen.) Wat kun je zeggen over de ligging van de snijpunten? Bewijs je vermoeden. (Hint: hoe ziet een doorsnede van twee vlakken eruit?) De stelling die je zojuist hebt bewezen heet de stelling van Desargues en luidt als volgt: Zijn twee driehoeken puntperspectief, dan zijn die driehoeken ook lijnperspectief. Hierbij betekent puntperspectief dat de verbindingslijnen van overeenkomstige hoekpunten door hetzelfde punt gaan (het perspectiviteitscentrum). Lijnperspectief betekent dat overeenkomstige zijden elkaar snijden op dezelfde lijn (de perspectiviteitsas). Elke lijn gaat hierbij door 3 punten en elk punt is een snijpunt van 3 lijnen. Omdat elke lijn de rol van een punt kan overnemen, kan deze stelling gedualiseerd worden. Dat betekent dat je “punt” door “lijn” kan vervangen. De bewering die dan ontstaat is eveneens een correcte stelling.

1.2. DE STELLING VAN DESARGUES Opgave 9

13

Desargues duaal

Dualiseer de stelling van Desargues en maak de bijbehorende constructie. Gebruik de volgende formulering van de stelling (ga na dat deze klopt): “Van twee driehoeken zijn de snijpunten van corresponderende zijden collineair, dan en slechts dan als de verbindingslijnen van de corresponderende hoekpunten concurrent zijn.” Opgave 10

Desargues-oefening

Gegeven twee lijnen l en m en een punt P niet op l en niet op m, terwijl het snijpunt van l en m niet op het papier valt. Construeer de lijn die P verbindt met het snijpunt van l en m.

14

1.3

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

De dubbelverhouding

De dubbelverhouding is een van de meest fundamentele concepten van de projectieve meetkunde. Daarom besteden we er in dit hoofdstuk aandacht aan en gebruiken we de dubbelverhouding om een stelling te bewijzen.

1.3.1

De definitie

We nemen 4 punten A, B, C en D, die allen op 1 lijn liggen (zie figuur 1.4).

Figuur 1.4: Definitie van de dubbelverhouding. AD AC : BD . De notatie voor We defini¨eren de dubbelverhouding dan als de verhouding BC de dubbelverhouding van punten is dan (ABC D). Waarom we hem zo defini¨eren zal later duidelijk worden.

Opgave 11 Wat gebeurt er met de dubbelverhouding als D een punt in het oneindige is? De duale Zoals elk goed projectief meetkundig concept betaamt kunnen we ook van de dubbelverhouding een duale opstellen. We nemen dan 4 lijnen a, b, c en d, die allen door het punt M gaan (zie figuur 1.5).

Figuur 1.5: De duale dubbelverhouding. We defini¨eren de dubbelverhouding dan als de verhouding voor deze dubbelverhouding is (abcd).

sin(aMc) sin(bMc)

:

sin(aMd) . sin(bMd)

De notatie

1.3. DE DUBBELVERHOUDING

15

Equivalentie van definities Nu willen we bewijzen dat de beide dubbelverhoudingen eigenlijk hetzelfde zeggen. We krijgen dan de figuur 1.6. We willen dus bewijzen dat geldt (ABC D) = (abcd). Dit doen

Figuur 1.6: De dubbelverhouding van de lijnen is gelijk aan de dubbelverhouding van de punten. we door gebruik te maken van twee verschillende formules voor de oppervlakte van een driehoek. We noemen de hoogte van 4AMD met AD als basis h. Dit is dan tevens de hoogtes voor de andere driehoeken. De oppervlakte van: sin(aMc) 2

• 4AMC = h ·

AC 2

= AM · MC ·

• 4BMC = h ·

BC 2

= BM · MC ·

sin(bMc) 2

• 4AMD = h ·

AD 2

= AM · MD ·

sin(aMd) 2

• 4BMD = h ·

BD 2

= BM · MD ·

sin(bMd) 2

AC AD Hieruit volgt bijna direct dat geldt BC : BD = sin(aMc) : sin(aMd) . sin(bMc) sin(bMd) Als de lijnen a, b, c en d zo beschreven worden door de punten A, B, C , D en M dan wordt (abcd) ook wel geschreven als M(ABC D).

Opgave 12 Wat gebeurt er als D een punt in het oneindige is? De dubbelverhouding onder projectie Nu gaan we kijken naar de dubbelverhouding van een viertal punten A, B, C en D die op een lijn liggen als we ze vanuit een punt M op een andere lijn projecteren (figuur 1.7).

16

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

Figuur 1.7: Onder projectie verandert de dubbelverhouding niet. Omdat geldt dat M(ABC D) = M(A0 B0 C 0 D 0 ), moet gelden dat (ABC D) = (A0 B0 C 0 D 0 ). Dus kunnen we concluderen dat de dubbelverhouding behouden blijft onder een projectie vanuit een punt (een zogenaamde puntprojectie). Nu snap je waarschijnlijk waarom we de dubbelverhouding zo gedefini¨eerd hebben. Het is namelijk een zeer handig als je weet dat een verhouding onder projectie gelijk blijft.

1.3.2

De stelling van Chasles

De stelling van Chasles zegt dat de dubbelverhouding X (ABC D), met punten A, B, C , D en X op een niet ontaarde kegelsnede, niet afhangt van de keuze van X (figuur 1.8).

Figuur 1.8: De stelling van Chasles voor een cirkel.

1.3. DE DUBBELVERHOUDING

17

Opgave 13 1. Bewijs dat de stelling van Chasles klopt voor een cirkel. (Bewijs dus voor figuur 1.8 dat O(ABC D) = P(ABC D).) 2. Leg uit waarom het dan ook voor andere kegelsneden klopt. (Hint: zie figuur 1.9.)

Figuur 1.9: Dit plaatje kan je helpen met Opgave 13.

18

1.3.3

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

De stelling van Pascal

De stelling van Pascal zegt dat als een zeshoek (die niet convex hoeft te zijn) beschreven is in een niet-ontaarde kegelsnede, de snijpunten van de van overstaande zijden op 1 lijn liggen (zie figuur 1.10). De stelling van Pascal is een generalisering van de stelling van Pappus, die hetzelfde zegt, maar dan over 6 punten op 2 rechte lijnen.

Figuur 1.10: De stelling van Pascal in actie. Opgave 14 Bewijs de stelling van Pascal. (Zie de bijlage. Benoem de snijpunten van de ellips met h en het snijpunt van AD met h, gebruik dan de dubbelverhouding en de stelling van Chasles.)

1.4. BRONNEN

1.4

19

Bronnen

1. Steenbruggen, Jan: Projectieve meetkunde in de elfde klas, Zeist, 2009 2. Heyting, Arend: Projectieve meetkunde, Groningen, 1973 3. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Chasles.shtml 4. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Chasles/SimpleChasles.shtml

De universiteitsbibliotheek heeft allerlei boeken over projectieve meetkunde. Een overzicht staat op http://aleph.library.uu.nl/F/BUFBAJPM192LNJRH3118CAQHCCNNV4G56M7B7MG28XPCJBUR76 func=find-b&find_code=WTI&request=projectieve+meetkunde&x=42&y=9.

20

1.5

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

Bijlage

Oneindig verkleurt

1.5. BIJLAGE Desargues

21

22

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

1.5. BIJLAGE De stelling van Pascal

23

24

HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

Hoofdstuk 2 De presentatie 2.1

Bram

In aanmerking genomen dat we de eersten waren, ging de presentatie redelijk goed. De deelnemers begrepen de theorie uit mijn gedeelte (de inleiding) wel aardig, geloof ik, maar ze hadden wat moeite met de inleidende opgaven. Ik had me niet gerealiseerd dat het woord ‘verdwijnpunt’ en het begrip perspectieftekenen voor sommigen volstrekt nieuw waren! In het algemeen vond men de opgaven ook moeilijker dan wij gedacht hadden: het blijkt erg moeilijk te zijn om geschreven instructies op te volgen zonder duidelijk voorbeeld. Mocht deze presentatie dus volgend jaar nog een keer gegeven worden, dan is het aan te bevelen om een beginnetje van elke opdracht voor te doen, of zelf de opdracht helemaal te doen met een paar minuten vertraging. Wat betreft de opbouw van het college en het dictaat is me nog wel iets interessants opgevallen. Wij hebben ons college naar het model van de colleges van Jan Hogendijk en Aad Goddijn proberen te maken. Dat hield eigenlijk in dat het college vooral uit opgaven maken (o.a. knippen en plakken) bestond en dat er in het dictaat vooral opgaven stonden. Er was dus weinig theorie tussendoor en in het dictaat is deze theorie redelijk informeel opgeschreven. Het grappige is dat de groepen na ons het vaak totaal anders aanpakten: zij besteedden dan in het college de meeste tijd aan het uitleggen van theorie, met af en toe een opgave tussendoor. Hun dictaat was dan ook meer vormgegeven als een formele wiskundige verhandeling, met Definities, Stellingen, Lemma’s en Bewijzen. Je kunt je afvragen wat beter bij Concrete Meetkunde past! Helaas waren er maar een paar mensen die mijn bonus-inleveropgave (Oneindig verkleurt) hadden gedaan, maar die hadden het over het algemeen wel goed.

25

26

2.2

HOOFDSTUK 2. DE PRESENTATIE

Irina

Eerst hebben wij een bespreking met de begeleider (Jan Hogendijk) gehad over wat de mogelijkheden van de door ons gekozen onderwerp waren en welke kanten wij met onze presentatie op konden. Dat vond ik heel handig omdat het meer inzicht gaf over wat van je verwacht werd. Vervolgens hebben wij de onderwerpen verdeeld en een hand-out bedacht met de theorie, opdrachten en knipbladeren. Wat ik vooral moeilijk vond aan het schrijven van een handout is het duidelijk maken van hoe de knipplaat in elkaar gezet moest worden, waar de punten gezet en lijntjes getrokken moesten worden, wat de bedoeling van de constructie was en wat men erin kon zien. Ik heb geprobeerd om het zo duidelijk mogelijk neer te zetten en bedacht dat uitleg bij de presentatie de ingewikkelde aanwijzingen zou vergemakkelijken. Ook bleek het maken van de knipplaat zelf tijdrovend, vooral vanwege gebrekkige kennis van mogelijkheden van het gebruikte programma (Geogebra). De resultaat vond ik wel goed. Achteraf gezien was het misschien handiger om een bijlage bij opgave 10 te maken met een positie van lijnen en een punt zo, dat een constructie van oplossing in de meeste gevallen op papier paste. In de nieuwe versie van de handout is dat verbeterd. Na het maken van de handout hebben we met het groepje elkaars stukjes doorgenomen, zodat we tijdens de presentatie mensen ook bij andermans opdrachten konden helpen. Achteraf gezien was dat wel nuttig, vooral omdat onze stukjes over verschillende onderwerpen gingen. We hadden daar eigenlijk meer tijd aan kunnen besteden. Ook hebben wij een planning gemaakt met knip-en-plakwerk in de pauze, wat tijdens de presentatie goed van pas kwam. Tijdens de presentatie bleek de uitleg van de knipplaat toch niet duidelijk te zijn, dus hebben wij mensen in de pauze nog meer uitleg gegeven en geholpen bij het in elkaar zetten van de constructie. Vrijwel iedereen heeft uiteindelijk het nogide aan de constructie opgemerkt en over de verklaringen ervoor nagedacht. Daarna kwam de uitleg van de theorie, die ook niet helemaal overkomen bleek te zijn, mogelijk doordat de schets niet duidelijk was doordat er veel lijnen en punten in zaten die onduidelijk werden aangegeven en waarvan de constructie niet duidelijk genoeg werd uitgelegd. De tweede opdracht ging veel beter, vooral doordat de vraagstelling duidelijk en zonder ingewikkelde constructies was. De ingewikkelde constructies kwamen echter van pas bij het oplossen van de opdracht, dus werd het als te moeilijk ervaren en door weinigen opgelost (met een paar hints). De huiswerkopdracht na de presentatie was bedoeld om zeker van te zijn dat iedereen tenminste wist waas de besproken stelling over ging en de regels van dualisering toe kon passen. Hier viel weinig over op te merken (iedereen kwam eruit).

2.3. TOBIAS

2.3

27

Tobias

Naar mijn mening verliep onze presentatie redelijk goed. Wij moesten als eerste en hadden daarom geen vergelijkingsmateriaal, wat aan de ene kant wel fijn was (geen dingen die we “moesten” doen omdat anderen dat ook hadden gedaan), maar de andere kant niet zo fijn (we wisten namelijk niet wat wel en niet werkte en wat er precies van ons verwacht werd). Wat ik bij onze presentatie goed vond gaan was de opbouw. We begonnen duidelijk met een inleiding en de basis van projectieve meetkunde en werkten toe naar de stellingen die we konden bewijzen met behulp van de projectieve meetkunde. Verder vond ik de begeleiding door de heer Hogendijk goed en hielp hij ons goed op weg met onze presentatie. Wat bij ons wat minder ging is dat we niet allemaal even goed konden helpen bij elkaars opgaven. We hadden van te voren beter elkaars opdrachten door moeten nemen en de problemen er uit halen. Verder hadden we waarschijnlijk wat eerder moeten beginnen. Onze inleveropgaven werden goed gemaakt (we hadden er twee die het onvoldoende hadden gemaakt, waarvan eentje een verkeerde conclusie had getrokken en de ander gewoon lui was geweest). Wel kreeg ik het idee dat de meeste mensen bij mijn inleveropgave het antwoord letterlijk van het internet hadden geplukt. Dit kwam voornamelijk omdat ze dezelfde notatie hadden gebruikt als de site waar ik mijn informatie vandaan had gehaald. Maar waarschijnlijk komt dat omdat de opgave niet heel erg makkelijk was. Persoonlijk vind ik het niet heel erg dat ze het van internet hebben gehaald, zolang ze het bewijs maar door hebben gekeken en het begrijpen.

28

HOOFDSTUK 2. DE PRESENTATIE

Hoofdstuk 3 Antwoorden bij de opgaven Opgave 2 Een translatie is ook op te vatten als een (kleine) rotatie om een oneindig ver punt. Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5 Door vlakken in punten te veranderen en vice versa. Opgave 6

1. Zie voor de lijnenwaaier om een eigenlijk punt figuur 1.1. De lijnenwaaier om een oneigenlijk punt is een reeks evenwijdige lijnen in de richting van het punt. 2. De rotatie om een oneigenlijk punt wordt een translatie. 3. De vlakken die voortkomen uit het punt in het oneindige worden evenwijdig. 29

30

HOOFDSTUK 3. ANTWOORDEN BIJ DE OPGAVEN 4. Hieronder staan schetsjes van hoe deze opdracht uitgewerkt zou kunnen worden. Ze vormen ook direct een toelichting op de vorige subvraag.

31 Opgave 7

32

HOOFDSTUK 3. ANTWOORDEN BIJ DE OPGAVEN

Opgave 8 Beschouw OABC als een piramide. Dan is A0 B0 C 0 een doorsnede van die piramide met een vlak a. De lijnen AB en A0 B0 liggen beide in het zijvlak OAB en zijn niet evenwijdig, dus ze snijden. Omdat AB in het grondvlak ligt en A0 B0 in a, ligt hun snijpunt dus op de snijlijn van a en de grond, dus op de grondlijn g. Idem voor Q en R. Dus P, Q en R liggen op ´e´en lijn. De snijpunten liggen dus allemaal op de snijlijn van de vlakken ABC en A0 B0 C 0 .

Opgave 9 Stelling Als de drie verbindingslijnen van de corresponderende hoekpunten van twee driehoeken ABC en A0 B0 C 0 door één punt gaan, dan liggen de snijpunten van de paren overeenkomstige zijden op één lijn (zie tekening). Duale Als de snijpunten van paren overeenkomstige zijden van twee driehoeken abc en a’b’c’ op één lijn liggen, dan gaan de verbindingslijnen van de overeenkomstige hoekpunten door één punt. De stelling is dus zelfduaal.

33 Opgave 10 Een aanpak van het probleem is het construeren van twee driehoeken die puntperspectief zijn in het snijpunt van l en m en waarvan P een hoekpunt is, die met het snijpunt verbonden moet worden. Hoewel het snijpunt niet op papier valt, zijn de driehoeken te construeren als je bedenkt dat ze volgens de stelling van Desargues ook lijnperspectief zijn, en lijnperspectieve driehoeken prima op papier te construeren zijn. Daarvoor kan men als volgt te werk gaan: 1. Kies een willekeurig punt op m, noem hem Q en een willekeurige punt op l, noem hem R en construeer een driehoek PQR, bijvoorbeeld zoals in figuur 1. 2. Kies een nieuw willekeurig punt op m, noem hem Q 0 , en een willekeurig punt op l, noem hem R 0 , zo dat ze de lijn QR op papier snijden. Noem het snijpunt A, bijvoorbeeld zoals in figuur 2. 3. Teken een willekeurige lijn vanuit Q 0 , zo dat de lijn en QB elkaar op papier snijden. Noem het snijpunt B en teken een lijn door AB, bijvoorbeeld zoals in figuur 3. 4. Teken de lijn door R 0 zo, dat de lijn met RP op de lijn AB snijdt en noem het snijpunt van de lijn met Q 0 B P 0 , bijvoorbeeld zoals in figuur 4. 5. De gevraagde lijn gaat door P en P 0 . De geconstrueerde driehoeken PQR en P 0 Q 0 R 0 zijn lijnperspectief in de lijn door de snijpunten van overeenkomstige zijdes (lijn AB), en dus volgens de stelling van Desargues ook puntperspectief in het snijpunt van lijnen door overeenkomstige hoekpunten (dus lijnen l en m en PP 0 ). Dus PP 0 gaat door het snijpunt van l en m.

34

HOOFDSTUK 3. ANTWOORDEN BIJ DE OPGAVEN

35 Opgave 11 Als punt D in het oneindige ligt wordt de dubbelverhouding alleen bepaalt door AD komt omdat je dan het BD op kan vatten als de volgende limiet: 1 − Ax x−A 1−0 = lim = =1 x→∞ x − B x→∞ 1 − B 1 − 0 x lim

AC . BC

Dit

(3.1)

Opgave 12 AC Als het punt D in het oneindige ligt wordt de verhouding alleen bepaald door BC = sin(aMd) sin(aMc) : sin(bMd) (zie voor uitleg het antwoord op de vorige vraag). De lijn MD komt dan sin(bMc) parallel te liggen aan de lijn AD, maar verder kunnen we niks over de dubbelverhouding van de hoeken zeggen. Opgave 13 1. Omdat beide O en P beide op de grote boog AB liggen geldt dat ∠AOB = ∠APB. En idem dito voor: • ∠AOC = ∠APC • ∠BOC = ∠BPC • ∠AOD = ∠APD • ∠BOD = ∠BPD En hieruit kan je concluderen dat moet gelden: sin(APC ) sin(APD) sin(AOC ) sin(AOD) : = : sin(BOC ) sin(BOD) sin(BPC ) sin(BPD) Dus geldt dat O(ABC D) = P(ABC D). 2. Het plaatje laat zien dat alle niet ontaarde kegelsneden een puntprojectie van een cirkel zijn. En we hebben al bewezen dat de dubbelverhouding onder puntprojectie gelijk blijft.

36

HOOFDSTUK 3. ANTWOORDEN BIJ DE OPGAVEN

Opgave 14 Verder noemen we het snijpunt van EF en h R en het snijpunt van BC met h noemen we S. Als je de aanwijzingen volgt krijg je het volgende plaatje: En dan kunnen we (m.b.v. de

equivalentie van de dubbelverhoudingen en de stelling van Chasles) het volgende zeggen: (LQRM) = = = = =

F (LAEM) D(LAEM) (LT PM) A(LDBM) C (LDBM) = (LQSM)

Omdat de dubbelverhouding volledig door zijn punten wordt bepaald moet dus wel gelden dat R = S.