H atom centrális szerep a kvantummechanika

2.3. A H-ATOM SPEKTRUMÁNAK RÉSZLETEI A KÍSÉRLETEK ALAPJÁN

1. A hidrogénatom spektrumának fő jellemzői H atom → centrális szerep a kvantummechanika kidolgozásánál  pontos kísérleti eredmények (sok állapot, sok átmenet)  pontosan ismert kölcsönhatás (E.M.)  zárt kétrészecske-rendszer [Összehasonlítás: magfizika: – ismert a módszer – ismeretlen a kölcsönhatás – két-részecske rendszerek kísérleti vizsgálata ott nehéz] H atom jó kiindulás  más atomoknál fellépő jelenségekhez  általánosításhoz Eddig: Bohr elmélet → termséma kijött Milyenek az egyes n-hez tartozó sajátállap.? Módszer: Schrödinger-egyenlet a kvantummechanika megmutatja

2m u ' ' 2  E  V u  0  Ha l ≠ 0 → fellép rotációs energia is

 1    l l 2        2 2 2 2   r2 2

Erot

2

2

e2 l2  V r     r 2   r2

az n. állapot energiája és hullámfüggvénye: d 2u n r  2    e 2 l  l  1   2  u n r  0  2  En   2 2 r dr   2  r 

→ a kvantummechnika megoldja Most: n mellett l és m fellépte érdekes Enlm  En  

  e4 1 2

2



n2

n = 1, 2, 3….

; a függv.: unlm főkvantumszám

l = 0, 1, 2, 3….(n-1) mellékkvantumszám m = -l, -l+1,….+l mágneses kvantumszám n 1

n-hez  2  l  1  n különböző hullám2

l 0

függvény tartozik

En ugyanaz → l és m szerint degenerált

Degeneráció:  l szerint: Coulomb-törv. alakja az oka [ – Cb.-tér → E ~ 1/n2 – harmonikus oszc. pot.→ E ~ (n+1/2) – négyszögpotenciál: → E ~ n2]  m szerint: mágneses térben felhasad (elnevezése innen)

1.2 A H-vonalak finomfelhasadása Bohr leírás → jó egyezés a kísérlettel Ok → fő jelenség a Cb.-kölcsönhatás Nagyobb felbontású spektrométerrel: H (+ sok atom) vonalak kettősek → finomfelhasadás → mellékjelenségek Finomfelhasadás oka: a) a mágneses energia különböző ↑↑, ill. ↑↓ spin – pálya impulzusmom. beállásra b) relativisztikus korrekció a) A spin-pálya kölcsönhatás Lényeg: elektron mozgása miatt Bl mágn. tér → spinje beállásától függ az energia .

.

1    2

Vls = μB σ Bl (s = ) Bl pontos meghatározása nehéz Magyarázat: a proton (sok-elektronos atomoknál a töltött részek átlagosan) elektromos teret hoz létre → ebben a térben v sebességgel mozgó el.-hoz kötött koordinátarend.ben mágn. tér lép fel (pr. mozog –v seb.gel)

1 B    vx E c r dV r  1 E   r dr  e 1 r dV r  B  vx  ; l  r xm0  v ce r dr 1 dV r  B  l m0  c  e  r dr

Nehézség  v nem egyenletes  a koordinátatengelyek forognak → korrekt levezetés: nehéz Szemléletesen: a protonról nézve az el.-hoz kötött koordinátarendszer egyszer tengelye körül megfordul minden körbe-menetelkor (Thomas-precesszió) Most bizonyítás nélkül: 1 Bl   B 2

→ helyes transzformáció eredménye: 1 2 -es Vls

[

faktor→ Thomas-faktor) B 1 dV r      B       l    r   s  l 

 r  

B

l

2  m0  e  c r

1 1 dV r    2  m02  c 2 r dr

dr

 r  helyfüggő operátor

Mágneses energiát → ezzel Ψ ismeretében V(r) meghatározható leárnyékolt elektronra is igaz H atomnál (nincs árnyékolás) e2 e2 1 V r      r    r 2  m02  c 2 r 3

]

Spin-pálya csatolás → energia függ l és s beállásától → Forgatónyomaték: M = Blxμs l, s → vektorok precesszálnak j = l + s → mozgásállandó j z  l z  s z    m j    ml    ms  m j  ml  ms ; j  m j  j j

2

  2  j   j  1

j = l + ½ → párhuzamos beállás j = l - ½ → ellentétes beállás 2 2 2 egyszerre megfigyelhető: j , l , s , j z  m j   (l, s → z-komponense a precesszió miatt nem mozgásállandó → s, l-nél határozott fázisviszonyok) Pontosan: kvantummechanika [Atommagoknál, kvarkrendszereknél stb. → hasonló spin-pálya tagok lépnek fel]

H atom finomfelhasadása:  mágneses tér nagysága Vls ≈ μB . Bl kiszámítva: Bl ≈ 1 Tesla → (~labormágn.) 2  (l . s) megbecslése s l   Kiszámítva: Vls ≈ 10-4 eV kicsi: legkisebb gerjesztési energia ~ eV

Vls  l  s

ljm j

  r  nl

l  s  j  l  s  l  s   l  s  2  l  s 2

ls 

2



2



1 2 2 2 2  j  l  s ; j  j   j  1   2 2

2 l  s   j   j  1  l  l  1  s  s  1; 2 1 3 3 s  s  1    2 2 4 3   Els   j   j  1  l  l  1     nl 4  2  nl   r  nl  2

j → l + ½ → ΔEl+1/2 = l . γnl j → l - ½ → ΔEl-1/2 = - (l+1) . γnl minden l ≠ 0 nívó két nívóra hasad pl.: 2p (l=1) nívó Enl

l.γnl

(2j+1)=4 2p

-(l+1).γnl

+γnl

2p3/2

-2γnl

2p1/2 (2j+1)=2 Általában igaz: j szerinti degenerációval súlyozva az energiákat → súlypont nem változik m0  c 2 4   nl   Z     4

e2 ;  c  1 n 3  l  l  1   l    2 1

Kísérlet:  nagyságrend jó (ΔE/E ~ 10-5)  nincs egyezés

Ok: relativisztikus korrekció kell



T  m0  c



2 2

 p c 2



1 2 2

p2 p4  m0  c    ....  T0  T 2  m0 8  m03  c 3 2

ΔT/T0~10-5 (H-re) nehéz atomokra nagyobb, ≤ 10%; p4 En   8  m03  c 2  E FS  Els  Erel

  1 1  1 3  4    m0  c 2  Z     3     2 n  j  1 4n 2  

≈1

→ a felhasadás nagyságát α határozza meg α → finomszerkezeti állandó

e2 1     c 137

 dimenziótlan → az EM kölcsönhatás erősségére jellemző természetes egységben ΔEFS → csak j-től függ (l-től nem függ) Ez a Dirac-elmélet eredménye Dirac-egyenlet így írja le a H-t

Példa: 2s, 2p nívók H-ban 2p3/2 2s, 2p n=2, l=0,1

perturb.lan

2s1/2

2p3/2

2p1/2

2p1/2, 2s1/2

csak l.s

+rel. korr.

H. atom energiaszintjei:

(nem méretarányos)

3. A hiperfinom felhasadás Ok: a mag és az elektronburok kölcsönhat H-atom: proton mágneses momentuma és az elektron mágn. mom. hat egymásra Becslés: me 

1 e mp ; B  1836 2  me  c

Proton → anomális mágneses momentum 658.|μp| = |μel| → g = 5.58 A két momentum kölcsönhatása: EHF ~

1   2 r3

r ≈ a0/2 → ΔEHF ≈ 5.10-6 eV << ΔEls A spin-pálya energia sokkal nagyobb:  l és s csatolása marad  a proton spinje j-hez igazodik → mag kicsi → az EM tér konstans B0 → mágneses tér az elektrontól

J B0   B0  ; B 0   j ,m j  j B  j ,m j  j d 0 j  Az el. spinje és az általa létrehozott mágn. tér ellentétes irányúak

VHF=-μp.B0 → a pr. spinje és J csatolódik F  sp  J F

2

  2  F  F  1; Fz  mF  

H alapállapotra: 1 1 j  s  ;sp  2 2 1 F  j   j  sp 2

F=0 → ↑↓;

F=1 → ↑↑

s p  p   MAG  s p  p  g p   MAG      sp g p  5.58;  p  2.79   MAG

Innen: VHF    p  B 0  

 p   MAG  B 0 sp  j  

2

 p   MAG

 s p  J  

 EHF  VHF  A

 p   MAG  B 0 sp  j

sp  

B0 sp J    j

 p   MAG  B 0 sp  j  

2



 F  J sp 2

2

2

A  F  F  1  j   j  1  s  s  1 2

(intervallumfaktor)



H-atom (alapállapot): sp  j 

1  A  4   p   MAG  B 0 2

F=1 → ΔEHF(1) = A/4 F=0 → ΔEHF(1) = -3 . A/4

B 0 → általában nehéz kiszámítani Elektrodinamika: pl. tér a gömb közepén, ha a felület egyenletesen mágnesezett: M MÁGNESEZÉS   e  n 0r  8  B0  3 n 0r 

2



2

2 8  0 M d r  g el   B  3  n0r 

Z3    a03  n 3

Kvantummechanika számolása szerint → → ΔEHF (n=1, j=1) = h.1418.9 MHz Kísérlet: mikrohullámú tartomány νkís = 1420.2 MHz Ez a λ = 21 cm-es sugárzás! Rádiócsillagászat méri: az ionoszféra átengedi Nincs egyezés! → Hiányzik még egy korrekció! gel ≈ 2 → nem egészen pontosan a Dirac-elmélet eddig ír le jól

4. A Lamb-féle vonaleltolódás Itt: vázlat → pontosan a kvantumelektrodinamika tárgyalja [WILLIS EUGEN LAMB (1913-2008), Nobel-díj: 1955] A jelenség fontos → EM kölcsönhatás általános szerkezetével kapcsolatos Láttuk: részecske-hullám dualizmus → mikrofizikában ált. jelenség EM tér kvantumtulajdonságai → kv.el.din. EM kölcsönhatás: fotonok emissziója és abszorpciója → kicserélődési jelleg (fotonok cseréje) Töltött részecske körül: állandóan fotonok emissziója és abszorpciója Pl.: e → e + foton → e  E  t ~ 2 → megengedi → virtuális foton

Kölcsönhatás: virtuális fotonok cseréje

(Cb. törvény helyfüggése) (ampl. Klein-Nishina-hoz)

Képben: magasabb rendű effektusok → virtuális e- e+ párkeltés (vákuumpolarizáció) Eredmény: → az effektív töltés a térforrás körül kisebb → Cb. törvény nagy r-re igaz, de → kis távolságon eltérés van Atomfizikai konzekvenciák:  gel ≠ 2 (nem pontosan 2, ~10-6 eltérés)  2s1/2 és a 2p1/2 nívók felhasadnak a Hatomnál → Lamb-eltolódás (Lamb-shift)

Most a H atom 2s1/2 és a 2p1/2 nívóinak felhasadásával foglalkozunk Kimutatás → csak igen pontos kísérlettel lehetséges → Lamb-Retherford kísérlet (1947) A felhasadás fizikai oka: s állapot → 0 imp. mom. → nagy sűrűség kis távolságokon Az s állapotra az effektív töltés kisebb → Es < Ep (a 2s1/2 és a 2p1/2 nívóknál) ΔE2s1/2 és a 2p1/2 ~ 10-6 eV Kísérlet: nagyfrekvenciás módszer, optikai úton igen nehéz

τ~10-4 sec

(B térre szükség van → már kis el. tér is s-p átmenetet okoz) 2s1/2 – 1s1/2 átmenet tiltott, mert Δj = 0 2p – 1s megengedett

Lényeges: ha el nem bomlott 2s1/2 állapotú H érkezik az a volfrámból az elektront vált ki Mérendő: ν frekvencia (B minimális elektron áram)

számolás vákumpolarizáció nélkül ●●● mérések eredménye vákuumpolarizációval →: kiváló egyezés

Vizsgált a Hα-vonal: n1=2, n2=3, a Balmer-sor első tagja → λHα = 656.28 nm

A H-atom spektrumát a kísérleti pontosságig tökéletesen értjük!

2.4. A TÖBBELEKTRONOS ATOMOK 1. A többelektronos atomok és ionok elektronszerkezetének empirikus vonatkozásai 2. Atomok Röntgen-spektruma 3. Összetett atomok és ionok spektruma Cél: fizikai háttér megbeszélése Korrekt tárgyalás: kvantummechanika és kvantum-elektrodimnamika Elvileg:  jó elmélet  soktestprobléma nehézségei 1. A többelektronos atomok és ionok elektronszerkezetének empirikus vonatkozásai Megértendő:  alapállapot tulajdonságai  gerjesztett állapotok rendszere A megértésnél a koncepció: elektronokból álló felépítés; az elektron-állapotok fizikai valósága (láttuk, pl. el.-atom ütközéseknél)

Az elektronszerkezetet alakító tényezők: 1. Cb. vonzás mag ─ el.-ok között 2. Cb. taszítás el.-ok között 3. Spin-pálya energiák 4. Spin-spin (el.-é) mágn. mom. kölcshat. 5. El.ok pályájából adódó mágn. momentumok KH. 6. El. spin ─ magspin KH. 7. El. pályamom. ─ magspin KH. 8. Relativisztikus korrekciók 9. Hullámfüggvény antiszimmetriájából következő energiaeltolódások (→ Pauli elv + határozatlansági. reláció következménye → kvantummechanika) Általában nehéz feladat: centrális tér + maradékkölcsönhatás Ebben fontosak: 9, 2 (elhagyott rész), 3 (nagy Z-re fontos)