Kvantummechanika feladatgyu˝jtem´eny Szunyogh L´aszl´o, Udvardi L´aszl´o, Ujfalusi L´aszl´o, Varga Imre 2014. febru´ar 3.
El˝ osz´ o A fizikus alapk´epz´esben k¨ozponti jelent˝os´eg˝ u a Kvantummechanika t´argy oktat´asa, hiszen a hallgat´ok itt saj´at´ıtj´ak el a modern fizika tanulm´anyoz´as´ahoz sz¨ uks´eges alapok nagy r´esz´et. A megszerzett ismeretek n´elk¨ ul¨ozhetetlenek a szil´ardtestfizika, a statisztikus fizika, az atom- ´es molekulafizika, a r´eszecskefizika ´es a mesterk´epz´es sz´amos tov´abbi t´argy´anak oktat´as´aban. A mikrofizika t¨orv´enyszer˝ us´egeinek ´es alapjelens´egeinek meg´ert´ese a gyakorlati feladatok megold´as´an kereszt¨ ul v´alik teljess´e. P´eldat´arunkban a BME fizikus k´epz´es Kvantummechanika gyakorlatain az elm´ ult k¨ozel h´ usz ´evben t´argyalt feladatokat gy˝ ujt¨ott¨ uk ¨ossze. A kilenc fejezet Apagyi Barna: Kvantummechanika [1] jegyzet´ehez igazodik. A szok´asosn´al r´eszletesebb elm´eleti bevezet˝ok sok esetben azonban az ut´obbi ´evek oktat´as´aba be´ep´ıtett ismereteket is k¨ozvet´ıtenek. A p´eldat´ar ¨ossze´all´ıt´as´an´al term´eszetesen t´amaszkodtunk a kit˝ un˝o ´es j´ol bev´alt magyar nyelv˝ u p´eldat´arakra, mint a ConstatinescuMagyari: Kvantummechanika p´eldat´ar [2] ´es az Elm´eleti Fizika III. p´eldat´ar [3], de sz´amos u ´j feladat is gazdag´ıtja a v´alaszt´ekot. A feladatok r´eszletes kidolgoz´as´aval a hallgat´ok ¨onellen˝orz´es´et sz´and´ekoztuk el˝oseg´ıteni. A j¨ov˝oben tov´abbi ´erdekes feladatokkal tervezz¨ uk a p´eldat´ar folyamatos kiterjeszt´es´et. Rem´elj¨ uk, hogy p´eldat´arunk nemcsak a BME fizika oktat´as´aban hasznosul, hanem az orsz´ag t¨obbi egyetem´enek fizikus hallgat´oi sz´am´ara is ´ert´ekes seg´edeszk¨oz lesz.
i
Tartalomjegyz´ ek El˝ osz´ o
i
1. Matematikai alapok
1
1.1. Elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1. A Hilbert-t´er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2. Line´aris oper´atorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.1. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.2. Megold´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. A kvantummechanika axi´ om´ ai, egyszer˝ u kvantummechanikai rendszerek 16 2.1. Elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1. A kvantummechanika axi´om´ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2. Az axi´om´ak ´es szimmetri´ak k¨ovetkezm´enyei . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3. Egyszer˝ u kvantummechanikai rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.4. A line´aris harmonikus oszcill´ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2. Megold´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Reprezent´ aci´ ok ´ es kvantummechanikai k´ epek
59
3.1. Elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.1. Diszkr´et reprezent´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.2. Koordin´ata reprezent´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.3.
Impulzus reprezent´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.4. A Heisenberg-f´ele hat´arozatlans´agi rel´aci´o . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.5.
Kvantummechanikai k´epek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
ii
3.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.2. Megold´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4. A perdu es spin ¨ let ´
80
4.1. Elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.1. Defin´ıci´ok ´es felcser´el´esi rel´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.2. Az impulzusmomentum oper´atorok saj´at´ert´ekei . . . . . . . . . . . 81 4.1.3. Az elektron spinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1.4. Impulzusmomentum ¨osszead´asi szab´alyok . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.1. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.2. Megold´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5. A hidrog´ enatom spektruma ´ es a t¨ obbtestprobl´ ema
98
5.1. Elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.1.1. A radi´alis Schr¨odinger-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.1.2. A hidrog´enatom k¨ot¨ott a´llapotai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.1.3. T¨obbr´eszecske rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.1.4. T¨obbelektronos rendszerek: Hartree m´odszer . . . . . . . . . . . . . 104 5.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.1. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.2. Megold´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6. K¨ ozel´ıt˝ o m´ odszerek a kvantummechanik´ aban
120
6.1. Elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.1.1. Vari´aci´os m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.1.2. Stacion´arius perturb´aci´osz´am´ıt´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.1.3. Id˝of¨ ugg˝o perturb´aci´osz´am´ıt´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.1. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.2. Megold´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7. Sz´ or´ aselm´ elet
148
7.1. Elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.1.1. Kontinuit´asi egyenlet, val´osz´ın˝ us´egi ´arams˝ ur˝ us´eg . . . . . . . . . . . 148
iii
7.1.2. H´aromdimenzi´os potenci´alsz´or´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.1.3. Parci´alis hull´amok m´odszere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.1.4. Egydimenzi´os sz´or´as, alag´ uteffektus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.1. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.2. Megold´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8. Mozg´ as elektrom´ agneses t´ erben
171
8.1. Elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.1.1. A kinetikus impulzus csererel´aci´oi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.1.2. A Hamilton oper´ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.1.3. Kontinuit´asi egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.1.4. A hull´amf¨ uggv´eny m´ert´ektranszform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.1.5. Mozg´as homog´en m´agneses t´erben: a Landau n´ıv´ok . . . . . . . . . 176 8.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.2.1. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.2.2. Megold´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9. Relativisztikus kvantummechanika
193
9.1. Elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.1.1. Lorentz-transzform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.1.2. A Klein-Gordon-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.1.3. A Dirac egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.1.4. A Dirac-f´ele Hamilton-oper´ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.1.5. A Dirac-egyenlet Lorentz-invarianci´aja . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.1.6. Fizikai mennyis´egek Lorentz-transzform´aci´oja . . . . . . . . . . . . 199 9.1.7. T´erbeli forgat´asok ´es a spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.1.8. A szabad elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.1.9. A nem-relativisztikus k¨ozel´ıt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.2.1. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.2.2. Megold´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
iv
1. fejezet Matematikai alapok 1.1. Elm´ elet 1.1.1. A Hilbert-t´ er A kvantummechanika axiomatikus fel´ep´ıt´es´ehez el˝osz¨or az elm´elet a´ltal haszn´alt matematikai eszk¨ozt´arat tekintj¨ uk a´t, mely az irodalomban [4] b˝ovebben megtal´alhat´o. Ennek legfontosabb eleme a Hilbert-t´er, amely tulajdonk´eppen az euklidedszi t´er v´egtelen dimenzi´os ´altal´anos´ıt´asa: 1.1. Defin´ıci´ o Hilbert-t´er: Skal´arszorzattal ell´atott teljes, metrikus t´er. A H Hilbert t´erhez tartoz´o skal´arszorzat egy olyan H × H → C f¨ uggv´eny, melyre igazak a k¨ovetkez˝ok: 1. hx| yi = hy| xi∗ 2. hx1 + x2 | yi = hx1 | yi + hx2 | yi 3. hx| λyi = λ hx| yi 4. hx| xi ≥ 0
(= 0 ⇔ |xi = |i0 )
Azaz a skal´ar szorzat a m´asodik v´altoz´oban line´aris, az els˝o v´altoz´oban konjug´alt line´aris, illetve pozit´ıv definit, a Hilber-t´er nullelem´ere pedig bevezett¨ uk a |i0 jel¨ol´est. p A skal´arszorzatb´ol norma sz´armaztathat´o, ||x|| = hx| xi, melyb˝ol t´avols´ag, d(x, y) = ||x−y||. A Hilbert-t´er ezen norm´ahoz tartoz´o topol´ogi´aban teljes (b´armely Cauchy sorozat konvergens). A tovi´abbiakban a Dirac-f´ele jel¨ol´esm´odot haszn´aljuk, ahol a Hilbert-t´er vektorait a |xi szimb´olommal (ket) jel¨olj¨ uk. A Riesz-f´ele reprezent´aci´os t´etel ´ertelm´eben b´armely H-n hat´o line´aris funkcion´al reprezent´alhat´o egy H-beli vektorral val´o skal´arszorz´assal. ´Igy a hx| jel¨ol´es (bra) alatt azt az egy´ebk´ent H du´alis´aban l´ev˝o line´aris funkcion´alt ´ertj¨ uk, aminek hat´asa egy |yi vektorra a hx| yi. A k¨ovetkez˝okben n´eh´any p´eld´at mutatunk Hilbert-t´erre: 1.2. P´ elda Cn , azaz a komplex elem˝ u n hossz´ u vektorok tere a szok´asos hx| yi =
n P i=1
skal´ arszorzattal. 1
x∗i yi
2
P
2
1.3. P´ elda ` , ami a n´egyzetesen ¨osszegezhet˝o sorok tere |xi | < ∞ az hx| yi = i P ∗ xi yi skal´arszorzattal. Ez tulajdonk´eppen az el˝oz˝o p´elda term´eszetes v´egtelen dimenzi´os i
´ltal´ a anos´ıt´asa. A t´er kanonikus b´azisa: δn = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .), ahol az 1 az n-edik helyen ´all. ∞ R 2 2 1.4. P´ elda L (R), a sz´amegyenesen n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek tere |f (x)| dx < ∞ −∞
az hf | gi =
R∞
∗
f (x)g(x)dx skal´arszorzattal. A t´ernek egy b´azis´at adj´ak az Hermite-
−∞
f¨ uggv´enyek. 1.5. elda L2 ([−1; n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek tere 1 P´ 1]), a [−1; 1] intervallumon 1 R R f ∗ (x)g(x)dx skal´arszorzattal. Ennek a t´ernek t¨obb |f (x)|2 dx < ∞ az hf | gi = −1
−1
hasznos b´azisa is van, pl. a Legendre-polinomok vagy a harmonikus b´azis: k ∈ Z.
kπ √1 ei 2 , 2
ahol
1.6. Defin´ıci´ o Szepar´abilis Hilbert-t´er: Megsz´aml´alhat´o b´azissal rendelkez˝o Hilbert-t´er. A tov´abbiakban csak szepar´abilis Hilbert-t´ P errel foglalkozunk. B´armely vektort kifejthet¨ unk a t´er egy {|φi i} b´azis´an: |Ψi = i ci |φi i (´altal´anos´ıtott Fourier-sorfejt´es). Ekkor r¨ogz´ıtett b´azis melett |Ψi-t helyettes´ıthetj¨ uk a ci koordin´at´aib´ol ´all´o vektorral, emiatt min´ den v´egtelen dimenzi´os szepar´abilis Hilbert-t´er izomorf az `2 t´errel ´ıgy egym´assal is. Ugy is mondhatjuk, hogy l´etezik a” Hilbert-t´er, ´es a fenti p´eld´ak ezen t´er k¨ ul¨onb¨oz˝o izomorf ” ” megval´os´ıt´asai”. A 3.1.1 ´es a 3.1.2 fejezetekben l´atni fogjuk, hogy ezen a´ll´ıt´as biztos´ıtja a Schr¨odinger-f´ele hull´ammechanika ´es a Heisenberg-f´ele m´atrixmechanika k¨oz¨otti a´tj´ar´ast. M´ıg el˝obbi eset´eben L2 (R)-t, ut´obbi eset´eben `2 -t haszn´aljuk.
1.1.2. Line´ aris oper´ atorok 1.7. Defin´ıci´ o Line´aris oper´ator: Az Aˆ : H → H oper´ator lin´aris, ha ∀λ1,2 ∈ C, ´es ∀ |x1,2 i ∈ H eset´en Aˆ (λ1 |x1 i + λ2 |x2 i) = λ1 Aˆ |x1 i + λ2 Aˆ |x2 i E ˆ Egy Aˆ line´aris oper´ator adjung´altj´at Aˆ† a k¨ovetkez˝o egyenlet defini´alja: hx| Ay = D Aˆ† x yi. Ha Aˆ ´ertelmez´esi tartom´any´an (DAˆ ) Aˆ = Aˆ† , ´es DAˆ ⊂ DAˆ† , akkor Aˆ szimmetrikus. Ha ezen fel¨ ul DAˆ = DAˆ† is igaz, akkor Aˆ ¨onadjung´alt. Korl´atos oper´atorokra ez a k´et fogalom megegyezik, k¨ ul¨onbs´eg csak nem korl´atos oper´atorok eset´en van. 1.8. P´ elda A C2 -n hat´o ¨onadjung´alt oper´atorok, azaz a 2 × 2-es ¨onadjung´alt m´atroxok k¨ oz¨ ott (az identit´assal egy¨ utt) b´azist alkotnak az u ´gynevezett Pauli m´atrixok: 1 0 0 1 0 −i 1 0 σ0 = , σx = , σy = , σz = (1.1) 0 1 1 0 i 0 0 −1
2
1.9. P´ elda Az `2 -n hat´o ¨onadjung´alt oper´atorokat reprezent´alhatjuk ¨onadjung´alt v´egtelen m´ atroxokkal, a k¨ovetkez˝o m´atrix p´eld´aul (mint a 3.5. feladatban l´atni fogjuk) az impulzus oper´ ator egy lehets´eges reprezent´aci´oja: √ 0 0 · · · 0√ i 1 √ −i 1 0√ i 2 0 ··· √ 0 −i 2 0 i 3 · · · (1.2) √ 0 0 −i 3 0 · · · .. .. .. .. .. . . . . . 1.10. P´ elda Az L2 (R) t´eren k´et fontos nem korl´atos ¨onadjung´alt oper´atorra mutatunk p´eld´ at. Az ¨onadjung´alts´ag bizony´ıt´asa megtal´alhat´o az irodalomban [4]. Az els˝o a koordin´at´aval val´o szorz´as oper´atora: xˆf (x) = x · f (x), ha f (x) ´es xf (x) ∈ L2 . A m´asodik a differenci´al oper´ator: pˆf (x) =
1 df (x) , i dx
ha f (x) ∈ L2 ´es f 0 (x) ∈ L2
1.11. Defin´ıci´ o Spektrum: Egy λ ∈ C komplex sz´am az Aˆ line´aris oper´ator spektrum´aban ˆ van, ha az A − λ · Iˆ oper´atornak nem l´etezik inverze. Az Aˆ oper´ator spektrum´at σAˆ -val jel¨ olj¨ uk, emellett a spektrum sosem u ¨res. A spektrumot 3 r´eszre osztjuk aszerint, hogy mi´ert nem l´etezik Aˆ − λ · Iˆ inverze: 1. Pontspektrum: L´etezik olyan λ sz´am, hogy Aˆ |xi = λ |xi, azaz Ker Aˆ − λ · Iˆ 6= |i0 . Ekkor λ-t saj´at´ert´eknek, |xi-et saj´atvektornak mondjuk, a saj´at´ert´ekek ¨osszess´ege a pontspektrum. Ha H v´eges dimenzi´os, akkor a rajta hat´o oper´atoroknak (m´atrixoknak) csak pontspektrumuk van. 2. Folytonos spektrum: λ a folytonos spektrumhoz tartozik, ha Ker Aˆ − λ · Iˆ = |i0 , ´es Rng Aˆ − λ · Iˆ egy s˝ ur˝ u altere H-nak. Ekkor nincs olyan λ sz´am, ´es |xi ∈ H ˆ vektor melyre = λ |xi, de l´etezik Hilbert-t´erbeli vektoroknak olyan |xn i sorozata, A |xi melyre || Aˆ − λ · Iˆ |xn i || → 0. Ekkor teh´at nincs saj´at´ert´ek ´es saj´atvektor, csak approximat´ıv saj´at´ert´ek, illetve approximat´ıv saj´atvektor. ˆ ˆ 3. Rezidu´alis spaktrum: λ a rezidu´alis spektrumhoz tartozik, ha Ker A − λ · I = |i0 , ´es Rng Aˆ − λ · Iˆ nem s˝ ur˝ u altere H-nak. ¨ Onadjung´ alt oper´atoroknak csak pont- ´es folytonos spaktruma van, emelett spektrumuk mindig val´os. N´ezz¨ unk n´eh´any p´eld´at a fentiekre! Els˝ok´ent a pontspektrumra mutatunk egy egyszer˝ u p´eld´at, majd a folytonos spektrumra l´atunk k´et igen fontos esetet: az 1.10. p´elda koordin´at´aval val´o szorz´as oper´atora, illetve a differenci´al oper´ator. 1.12. P´ elda Tekints¨ uk a Laplace-oper´atort (−1)-szeres´et a D = {f ∈ L2 [0, L] , f 00 ∈ L2 [0, L] , f (0) = f (L) = 0} ´ertelmez´asi tartom´anyon. Ekkor a −
d2 f (x) = λf (x) dx2 3
(1.3)
egyenletet kell megoldanunk f (0) = f (L) = 0 peremfelt´etellel. Ennek megold´asa a szok´asos f (x) = A sin (kx) ansatz behelyettes´ıt´es´evel t¨ort´enik, a megold´asok: r nπ nπ 2 2 fn (x) = sin x λn = n∈N (1.4) L L L Ezen megold´asok teh´at a pontspektrumhoz tartoznak. 1.13. P´ elda Vizsg´aljuk a koordin´at´aval val´o szorz´as oper´ator´at a H = L2 (R) t´eren. Kor´ abban eml´ıtett¨ uk, hogy ez az oper´ator o¨nadjung´alt, emiatt csak pont- ´es folytonos spektruma lehet. K¨onnyen megmutathatjuk, hogy pontspektruma (´ıgy saj´atf¨ uggv´enye) nincsen, mivel az x · f (x) = λ · f (x) (1.5) egyenlet megold´asa egy δ(x − λ) disztrib´ uci´ohoz hasonl´o dolog lenne, mely nem eleme az L2 (R) t´ernek (l´ev´en hogy nem is f¨ uggv´eny). Mivel a spektrum sosem u ¨res, folytonos spektrumnak m´eg lennie kell, melynek megtal´al´as´ahoz j´o kiindul´asi pontot ad az (1.5) egyenlet. A folytonos spektrum keres´esekor ugynanis olyan Hilbert-t´erbeli vektorsorozatot keres¨ unk, ami kiel´eg´ıti a || (x − λ) · fλ,n (x)|| → 0 (1.6) egyenletet, amire megfelel˝o egy n n¨ovel´es´evel egyre magasod´o ´es sz˝ uk¨ ul˝o l´epcs˝o (l´asd 1.1 (a) a´bra). Ha egyre norm´ a lt approximat´ ı v saj´ a tf¨ u ggv´ e nyekkel akarunk dolgozni, akkor a √ l´epcs˝o magass´aga n:
fλ,n (x) =
√
n · 1λ, 1
n
, ahol 1λ, 1
n
( 1 ha λ ≤ x ≤ λ + = 0 egy´ebk´ent
1 n
(1.7)
Ha a norm´alts´ag nem fontos, akkor vehetj¨ uk a l´epcs˝ok magass´ag´an n-nek, ekkor a sorozat egy Dirac-delta k¨ozel´ıt˝o sorozat: gλ,n (x) = n · 1λ, 1 Ekkor azonban a (1.6) egyenletben n szerepl˝o norma nem 0-hoz tart, hanem n-nel ar´anyosan diverg´al. K´es˝obb azonban l´atjuk majd, hogy form´alis ´ertelemben hasznos lehet ez a k´ep is. A norm´alts´agba |λi-t illetve |µi-t ´ırva azt kapjuk, hogy hλ| λ0 i = lim hfλ,n | fλ0 ,n i = δλ,λ0 n→∞
( 1 ha λ = λ0 = 0 egy´ebk´ent
hµ| µ0 i = lim hgλ,n | gλ0 ,n i = δ(λ − λ0 ) n→∞
(1.8)
(1.9)
Az ´ervel´es tetsz˝oleges λ ∈ R-re m˝ uk¨odik, ´ıgy a spektrum tiszt´an folytonos ´es lefedi a teljes R-t. 1.14. P´ elda Hat´arozzuk meg most az L2 (R)-en ´ertelmezett deriv´al´as oper´ator spektrum´ at! A koordin´at´aval val´o szorz´as oper´ator´ahoz hasonl´oan itt sem tal´alunk pontspektrumot, hiszen a 1 df (x) = λf (x) (1.10) i dx
4
(a)
(b)
1.1. a´bra. (a) Az xˆ· koordin´at´aval val´o szorz´as oper´ator´anak approximat´ıv saj´atf¨ uggv´enyeit k¨ozel´ıt˝o egyre magasod´o l´epcs˝ok. A l´epcs˝ok helyett v´alaszthatunk egyre sz˝ uk¨ ul˝o ´es egyre magasod´o Gauss-f¨ uggv´enyeket is. (b) A pˆ deriv´al´as oper´ator´anak approximat´ıv saj´atf¨ uggv´enyeit k¨ozel´ıt˝o egyre sz´elesed˝o Gauss-f¨ uggv´enyek.
R R saj´ at´ert´ek egyenletnek eiλx s´ıkhull´am lenne a mgold´asa, de ||eiλx ||2 dx = 1dx = ∞, azaz eiλx nem eleme az L2 (R) t´ernek. Az el˝obbi p´eld´ahoz hasonl´oan itt is tal´alhatunk approximat´ıv saj´atf¨ uggv´enyeket, m´egpedig s´ıkhull´amhoz hasonl´o f¨ uggv´enyt k¨ozel´ıt˝o sorozatot. Szorozzuk meg az el˝oz˝o s´ıkhull´amot egy egyre n¨ovekv˝o sz´or´as´ u Gauss-f¨ uggv´enyekb˝ol all´ ´ o sorozattal (l´asd 1.1 (b) ´abra). Ha az egys´egnyire norm´al´as fontos, akkor: fλ,n (x) =
1
x2
− 2 iλx 4n · e 1 e
(1.11)
(2πn2 ) 4
Ha a norm´al´as nem fontos, akkor haszn´alhatjuk p´eld´aul egy Delta k¨ozel´ıt˝o Gauss-sorozat x2
1 Fourier transzform´altj´at szorz´ot´enyez˝ok´ent: gλ,n (x) = √2πn e− 2n2 · eiλx Itt is teh´at csak folytonos spektrum van, ´es mivel a λ hely´ebe b´armilyen val´os sz´am tehet˝o, a spektrum itt is a teljes R.
Kor´abban l´attuk, hogy a deriv´al´as oper´ator approximat´ıv saj´atf¨ uggv´enyei egyre sz´elesed˝o Gauss-f¨ uggv´enyek. A koordin´at´aval val´o szorz´as approximat´ıv saj´atf¨ uggv´enyeinek pedig v´alaszthatunk ak´ar egyre sz˝ uk¨ ul˝o l´epcs˝ok helyett egyre sz˝ uk¨ ul˝o Gauss g¨orb´eket is, melyek ´epp az egyre t´agul´o Gaussok Fourier-transzform´altjai. K¨ ul¨onleges kapcsolat sejlik fel teh´at a k´et oper´ator k¨oz¨ott, megmutathat´o, hogy a k´et oper´ator egym´as Fourier-transzfrm´altja. Ez k´es˝obb a Heisenberg-f´ele hat´arozatlan´asi rel´aci´oval lesz kapcsolatban, melyet a 3.1.4 fejezetben r´eszletez¨ unk. 1.15. T´ etel A spektr´al t´etel a line´aris algebr´ab´ol j´ol ismert spektr´al felbont´as ´altal´anos´ıt´ asa Hilbert-terekre. A v´eges dimenzi´os esetb˝ol tudjuk, hogy egy A ¨onadjung´alt m´atrix saj´atvektorai, {|ii}, ortonorm´alt b´azist alkotnak, azaz b´armely |xi vektor el˝o´all´ıthat´o n n n P P P |xi = ci |ii alakban, ahol ci = hi| xi. Azaz Ax = ci A |ii = ci λi |ii, teh´at i=1
i=1
A=
n X
λi |ii hi|
i=1
5
i=1
(1.12)
Itt az Ei = |ii hi| az |ii vektor ¨onmag´aval vett diadikus szorz´ast jelenti, ´es mivel ezen Ei m´ atrixok p´aronk´ent mer˝oleges vet´ıt´esek, azt is mondhatjuk, hogy az A oper´ator fel´ırhat´o a saj´atalterekre vet´ıt˝o ortogon´alis projekci´ok ¨osszegek´ent. Am´ıg csak pontspektrum van, v´egtelen dimenzi´oban tulajdonk´eppen ugyan ez a helyzet, csak az (1.12) egyenletben egy v´egtelen szumma szerepel: X Aˆ = λi |ii hi| (1.13) i=1
Folytonos spektrum eset´en kicsit komplik´altabb a helyzet, nincsenek ugyanis saj´atf¨ uggv´enyek, amik ortogon´alis b´azist alkothatn´anak. Vannak azonban approximat´ıv saj´atf¨ uggv´enyek, melyekre az (1.13)-hoz hasonl´o, projekci´okat tartalmaz´o szumm´at fel´ırva k¨ozel´ıthet˝o az Aˆ ¨onadjung´alt oper´ator. Ezen szumm´at finom´ıtva projekci´ok egy spektrumon vett integr´ alj´ahoz jutunk hat´ar´ert´ekben. Ennyi kvalitat´ıv magyar´azat ut´an kimondjuk pontosan is a spektr´al t´etelt: Legyen Aˆ egy ¨onadjung´alt oper´ator. Ekkor l´etezik egy olyan dEˆ projektorm´ert´ek, melyre Z
Aˆ =
ˆ λdE(λ)
(1.14)
λ∈σAˆ
ˆ uggv´enye Ett˝ ol kicsit t¨obb is igaz, A-nak tetsz˝oleges f ∈ C(σAˆ ) spektrumon folytonos f¨ fel´ırhat´o egy ilyen integr´allal: Z ˆ ˆ f (A) = f (λ)dE(λ) (1.15) λ∈σAˆ
1.16. P´ elda Tekints¨ uk a Iˆ identit´as oper´ator k´et spektr´al felbont´as´at! Mivel az identit´as minden saj´at´ert´eke 1, az L2 (R) valamely megsz´aml´alhat´o elem˝ u |λi i b´azis´an (pl. Hermitef¨ uggv´enyeken) kifejtve a k¨ovetkez˝ot kapjuk: X Iˆ = |λi i hλi | (1.16) i
Hogy k¨onnyebben elk´epzelhess¨ uk, hogy hogyan is lehet egy projektorm´ert´ekre vett integr´ alk´ent el˝o´all´ıtani egy oper´atort, megmutatjuk az (1.13)-hez hasonl´o szumma finomod´as´at is az identit´as p´eld´aj´an. Mivel az identit´as oper´atornak minden vektor saj´atvektora, a projektorkkal val´o kifejt´eshez tetsz˝oleges b´azist haszn´alhatunk. Mivel most egy folytonos kifejt´est szeretn´enk vizsg´alni, haszn´aljuk a koordin´ata oper´ator approximat´ıv saj´atf¨ uggv´enyeit: k¨ozel´ıts¨ uk |λi i-t az (1.7) egyenletben szerepl˝o |λi,n i = fλi ,n (x)-szel. X Iˆ = lim |λi,n i hλi,n | (1.17) n→∞
i
6
P 1.2. a´bra. Az (1.17) egyenletben szerepl˝o i |λi,n i hλi,n | |sin(x)i finomod´asa n n¨oveked´eP s´evel. L´athat´o, hogy az eredm´eny sin(x)-hez tart, ´ıgy |λi,n i hλi,n | → Iˆ teljes¨ ul. i
Ezt egy tetsz˝oleges |Ψi vektorra hattatva: X |Ψi = lim |λi,n i hλi,n | Ψi = n→∞
lim
n→∞
XZ
(1.18)
i
√ √ dx n1λi , 1 (x) · Ψ(x) · n1λi , 1 (y) = n
n
(1.19)
i
lim
n→∞
X
Z dx n1λi , 1 (x) ·Ψ(x) | {zn }
1λi , 1 (y) n
i
(1.20)
→ δ(x−λi )
{z
|
→Ψ(λi )
}
Ez a szumma tulajdonk´eppen az Ψ(x) f¨ uggv´enyt k¨ozel´ıti t´egla¨osszegekkel. Az 1.2. ´abr´an ezt l´ athatjuk Ψ(x) = sin(x) eset´en. Ha azonban (1.19)-et megszorozzuk ´es el is osztjuk n-nel, akkor a k¨ovetkez˝ot kapjuk: X1Z dxn1λi , 1 (x) · Ψ(x) · n1λi , 1 (y) (1.21) |Ψi = lim n n n→∞ n i ´ ´eppen a nem norm´alt Delta k¨ozel´ıt˝o sorozat jelenik meg |λi,n i = gλ ,n (x)! A |δλ (x)i = Igy i δ(x − λ) jel¨ols´et bevezetve egy (1.16)-hez nagyon hasonl´o alakot kapunk: Z X1 lim n1λi , 1 (y) dx n1λi , 1 (x) ·Ψ(x) = n→∞ n | {zn } | {zn } | i{z } → δ(y−λ) → δ(x−λ) R
(1.22)
→ dλ
Z =
Z dλδ(y − λ)
Z dxδ(x − λ)Ψ(x) = Iˆ =
dλ |δλ i hδλ | Ψi
(1.23)
Z dλ |δλ i hδλ |
(1.24)
Ilyen ´ertelemben ´ertelmes azt mondanunk, hogy a Dirac-delta az x· oper´ator saj´atf¨ uggv´enye. Fontos azonban megjegyezni, hogy az itt szerepl˝o |δλ i hδλ | nem foghat´o fel infinitezim´ alis projekci´ok´ent, hiszen az ezeket k¨ ozel´ıt˝o |gλi ,n i vektorok norm´aja nem egys´egnyi. Ehelyett dλ |δλ i hδλ |-ra tekinthet¨ unk u ´gy, mint egy ´ertelmes infinitezim´alis projekci´ora. 7
1.17. T´ etel M´artixok elm´elet´eb˝ol tudjuk, hogy felcser´elhet˝o ¨onadjung´alt m´atrixoknak van k¨ oz¨ os ortonorm´alt saj´atb´azisa. h i ˆ ¨onadjung´alt m´atrixok kommut´alnak, A, ˆ B ˆ = AˆB ˆ−B ˆ Aˆ = 0, akkor Azaz ha Aˆ ´es B ˆ ˆ l´etezik egy ortonorm´alt b´azis, melynek tagjai mind A-nak, mind B-nek saj´atf¨ uggv´enyei. ´Igy b´armely vektor kifejthet˝o Aˆ ´es B ˆ k¨oz¨os saj´atb´azis´an, ami sok esetben megk¨onny´ıti a sz´amol´asokat. ˆ λi illetve µi saj´at´ert´ekeit, ´es az Bizony´ıt´as. Az a´ll´ıt´as bizony´ıt´as´ahoz tekints¨ uk Aˆ ´es B ezekhez tartoz´o |ϕi i illetve |ϑi i saj´atvektorokat. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert n´ezz¨ uk azt az esetet, amikor nem degener´altak a saj´atalterek, vagyis minden λi ´es µi k¨ ul¨onb¨oz˝o i-re. ˆ − µj |ϑj i = 0 Aˆ − λi |ϕi i = 0 B (1.25) Mivel a {|ϑj i} ortonorm´alt b´azist alkot, |ϕk i kifejthet˝o ezen: N X
|ϕk i =
cm |ϑm i
(1.26)
m=1
ˆ hattatva ´es AˆB ˆ=B ˆ A-t ˆ alkalmazva: Ezt be´ırva Aˆ saj´at´ert´ekegyenlet´ebe, majd B-t N X ˆ ˆ cm |ϑm i = 0 (1.27) A − λk |ϕk i = A − λk m=1 N N X X ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ |ϑm i = B A − λk |ϕk i = B A − λk cm |ϑm i = A − λk cm B m=1
=
Aˆ − λk
m=1
N X
µm cm |ϑm i = 0
m=1
Ezt ¨osszevetve az (1.27) egyenlettel a k¨ovetkez˝ot kapjuk: Vil´agos, hogy mindk´et kifejez´es csak u ´gy lehet nulla egyszerre, ha az m-re val´o szumm´ab´ol csak egy tag nem z´erus, ´ıgy |ϕk i = ck |ϑk i, ahol |ck | = 1 a norm´alts´ag miatt. Mivel egy f´azisfaktorban k¨ ul¨onb¨oz˝o vektorok ugyanazt az a´llapotot ´ırj´ak le, ck v´alaszthat´o 1 -nek. Egyszer˝ uen bel´athat´o, hogy az a´ll´ıt´as degener´alt spektrumra, illetve v´egtelen dimenzi´ora is igaz, amennyiben csak pont spektrum van. Ha azonban folytonos spektruma is van az oper´atornak, akkor ehhez nem tartoznak saj´atf¨ uggv´enyek, ´ıgy az a´ll´ıt´as eleve nem ´ertelmes. A spektr´alis felbont´assal val´o el˝oa´ll´ıt´as azonban itt is m˝ uk¨odik, a spektr´alt´etelen ´ ˆ ¨onadjung´alt oper´atork, kereszt¨ ul. Altal´ anosan teh´at az igaz, hogy amennyiben Aˆ ´es B ˆ ˆ is el˝oa´ll´ıthat´o: Aˆ = l´ u m´ert´ek, mellyel Aˆ ´es B Retezik egy olyan dRE(.) projektor ´ert´ek˝ ˆ ˆ = µdE(µ). ˆ λdE(λ) ´es B σAˆ
σBˆ
A tov´abbiakban elhagyjuk az oper´atorokr´ol aˆjel¨ol´est, csak akkor ´ırjuk ki r´ajuk, ha valami miatt fontosnak tartjuk hangs´ ulyozni oper´ator mivoltukat, vagy ha esetleg ¨ossze lehet t´eveszteni ˝oket hasonl´oan jel¨olt skal´arokkal. Ezen k´ıv¨ ul a k¨ovetkez˝o fejezetekben gyakran nem bizony´ıtjuk expliciten az o¨nadjung´alts´agot, csak a szimmetrikuss´agot, melyre a (fizikus szakzsargonnak megfelel˝oen) a hermitikus sz´ot haszn´aljuk majd legt¨obbsz¨or. Mindig tartsuk azonban ´eszben, hogy a kvantummechanika konzisztens fel´ep´ıt´es´ehez ¨onadjung´alt oper´atorokra van sz¨ uks´eg¨ unk, melyre ezen a fejezet feladatai k¨ozt is fogunk p´eld´akat l´atni. 8
1.2. Feladatok 1.2.1. P´ eld´ ak 1.1. Feladat Bizony´ıtsa a k¨ovetkez˝o oper´atorazonoss´agot: [A, BC] = [A, B] C +B [A, C]! 1.2. Feladat Igazoljuk, hogy tetsz˝oleges A ´es L oper´atorokra fenn´all az eL Ae−L = A + [L, A] +
1 1 [L, [L, A]] + [L, [L, [L, A]]] + . . . 2! 3!
azonoss´ag! A fenti ¨osszef¨ ugg´est Hausdorff kifejt´esnek h´ıvjuk. Seg´ıts´ eg:. Fejts¨ uk sorba az F (s) = esL Ae−sL f¨ uggv´enyt! 1.3. Feladat Mutassuk meg, hogy ha [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 , akkor igaz az u ´gynevezett Baker-Campbell-Hausdorff azonoss´ag: 1
eA+B = e− 2 [A,B] eA eB
Seg´ıts´ eg:. Vizsg´aljuk meg a T (s) = esA esB kifejez´es s szerinti deriv´altj´at, majd alkalmazzuk az 1.2. feladat azonoss´ag´at. 1.4. Feladat A (2.1.3) fejezetben megmutatjuk, hogy egy dimenzi´oban az impulzus oper´atorra (P ) ´es koordin´ata oper´atorra (Q) ´epp az 1.10. p´elda deriv´al´as ´es szorz´as oper´atora (egy ~ szorz´ot´ol eltekintve): ~ d (1.28) Q = x·, P = i dx A (2.21) egyenletb˝ol l´athat´oan fenn´all k¨ozt¨ uk a Heisenberg-f´ele felcser´el´esi ¨osszef¨ ugg´es: [P, Q] =
~ I, i
(1.29)
ahol I az identit´as oper´ator. A nyom-k´epz´es ciklikus tulajdons´aga miatt egyr´eszt Tr [P, Q] = Tr (P Q) − Tr (QP ) = 0 , m´ asr´eszt viszont
Tr
~ I i
=
~ Tr (I) 6= 0 . i
Mi az ellentmond´as felold´asa?
9
(1.30)
(1.31)
1.5. Feladat Defini´aljuk az
∞ X
f (x) =
fn (x)
(1.32)
n=2
f¨ uggv´enyt, ahol 1 + n2 (x − n) 1 − n2 (x − n) fn (x) = 0
ha n − n12 < x < n ha n ≤ x ≤ n + n12 . egy´ebk´ent
(1.33)
Bel´ athat´o, hogy f folytonos ´es n´egyzetesen integr´alhat´o, azaz f ∈ L2 (R). Ugyanis Z∞
1
fn (x)2 dx = 2n4
−∞
´es
Z∞ −∞
Zn2
2 1 3 n2
(1.34)
1 2 π −1 . 6
(1.35)
x2 dx =
0
∞
2X 1 2 f (x) dx = = 2 3 n=2 n 3 2
Ezenfel¨ ul f az x = n − n12 , n ´es n + n12 (n = 2, 3, . . .) pontokban v´eges szakad´assal differenci´alhat´o. Naivan azt v´arn´ank teh´at, hogy benne van az impulzus oper´ator ´ertelmez´esi tartom´any´aban. Mi´ert nem lesz ez m´egsem igaz? 1.6. Feladat Defini´aljuk az A = P Q3 + Q3 P
(1.36)
oper´ atort, ahol P ´es Q rendre az impulzus ´es koordin´ata oper´ator. Mivel P ´es Q ¨onadjung´ alt, A is az † A† = P Q3 + Q3 P = Q3 P + P Q3 = A , (1.37) saj´ at´ert´ekei val´osak. L´assuk be, hogy az ( −3/2 √1 |x| exp − 4x12 2 f (x) = 0
ha x 6= 0 ha x = 0
(1.38)
f¨ uggv´eny n´egyzetesen integr´alhat´o ´es Af =
~ f. i
(1.39)
Vagyis azt kapjuk, hogy egy ¨onadjung´al toper´atornak komplex a saj´at´ert´eke. Mi az ellentmond´as felold´asa? d 1.7. Feladat a) Tekints¨ uk a P[0,1] = ~i dx oper´atort a D P[0,1] = ψ ∈ L2 ([0, 1]) | ψ 0 ∈ L2 ([0, 1]) ´es ψ (0) = ψ (1) = 0
(1.40)
´ertelmez´esi tartom´anyon. L´assa be, hogy P[0,1] szimmetrikus, de nincs saj´at´ert´eke, † ugyanakkor a P[0,1] oper´ator saj´at´ert´ek halmaza a teljes komplex sz´amhalmaz! 10
d b) Bizony´ıtsa be, hogy a Pα = ~i dx oper´ator a D (Pα ) = ψ ∈ L2 ([0, 1]) | ψ 0 ∈ L2 ([0, 1]) ´es ψ (1) = eiα ψ (0)
(1.41)
´ertelmez´esi tartom´annyal b´armely α ∈ R eset´en ¨onadjung´alt ´es saj´at´ert´ekei p = ~α + 2π~m
(m ∈ Z) .
(1.42)
1.8. Feladat Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert vegy¨ uk az 1.7. feladat b) r´esz´enek α = 0 eset´et. Ekkor P0 saj´at´ert´ekei ´es norm´alt saj´atf¨ uggv´enyei (m ∈ Z)
(1.43)
ψm (x) = exp (i2πmx) .
(1.44)
pm = 2π~m valamint
Mivel [P0 , Q] = ~i , a k¨ovetkez˝o ellentmond´asra lehet jutni: ~ = hψm | [P0 , Q] |ψm i = hψm | P0 Q |ψm i − hψm | QP0 |ψm i i D = P0† ψm Qψm i − 2π~m hψm | Qψm i
(1.45)
= (2π~m − 2π~m) hψm | Qψm i = 0 . Hol a hiba a fenti okoskod´asban?
1.2.2. Megold´ asok ´ 1.1 Megold´ as Irjuk fel a kommut´ator defin´ıci´oj´at: [A, BC] = ABC − BCA = ABC − BAC + BAC − BCA = [A, B] C + B [A, C] (1.46) 1.2 Megold´ as Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o oper´ator f¨ uggv´enyt: F (s) = esL Ae−sL , s ∈ C . Fejts¨ uk sorba az F (s) f¨ uggv´enyt s = 0 k¨or¨ ul: ∞ X dn F sn F (s) = dsn s=0 n! n=0 Hat´ arozzuk meg az F (s) f¨ uggv´eny deriv´altjait: dF ds d2 F ds2
= esL LAe−sL − esL ALe−sL = esL [L, A]e−sL , = esL L[L, A]e−sL − esL [L, A]Le−sL = esL [L, [L, A]] e−sL , stb.
A deriv´altakat a sorfejt´esbe helyettes´ıtve s = 1 eset´en visszakapjuk az igazoland´o azonoss´ agot. 11
1.3 Megold´ as Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o oper´ator f¨ uggv´enyt: T (s) = esA esB .
(1.47)
Hat´ arozzuk meg a fenti f¨ uggv´eny s v´altoz´o szerinti deriv´altj´at: dT = AesA esB + esA BesB = AesA esB + esA Be−sA esA esB = A + esA Be−sA T (s) (1.48) ds Az el˝oz˝o kifejez´esben haszn´aljuk a Hausdorf kifejt´est: 1 esA Be−sA = B + [A, B]s + s2 [A[A, B]] + · · · = B + [A, B]s , 2
(1.49)
hiszen a megadott felt´etelek miatt a kifejt´esnek csak az els˝o k´et tagja k¨ ul¨onb¨ozik null´at´ol. Visszahelyettes´ıtve a kifejt´est T (s) deriv´altj´aba a k¨ovetkez˝o k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletet kapjuk: dT = (A + B + [A, B]s) T (s) (1.50) ds A fenti differenci´alegyenletnek a megold´asa a T (0) = 1 kezd˝ofelt´etellel: 1
2
T (s) = e(A+B)s+ 2 [A,B]s .
(1.51)
Felhaszn´alva, hogy [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, s = 1 eset´en visszakapjuk a bizony´ıtand´o azonoss´agot: 1
1
1
⇒ eA+B = e− 2 [A,B] eA eB .
eA eB = eA+B+ 2 [A,B] = eA+B e 2 [A,B]
(1.52)
1.4 Megold´ as Amennyiben a Hilbert-t´eren (H) hat´o line´aris oper´atorokra ´ertelmezett a nyom m˝ uvelet, X hψn | A |ψn i < ∞ , (1.53) A : H → H Tr (A) = n
P
Mivel az identit´asra v´egtelen dimenzi´oban n hψn | I |ψn i = ∞, maga a nyomk´epz´es oper´atora nem ´ertelmes, ´ıgy a l´atsz´olagos ellentmond´as felold´odik. Vil´agos, hogy v´eges dimenzioban fenn´alna az ellentmond´as, ´ıgy nem lehetne az alapvet˝o elvekb˝ol levezetett Heisenberg´ f´ele felcser´el´esi ¨osszef¨ ugg´esekkel konzisztens m´odon fel´ep´ıteni a kvantummechanik´at. Musz´ aj teh´at v´egtelen dimenzi´os terekben dolgoznunk. d oper´ator maxim´alis ´ertelmez´esi tartom´anya 1.5 Megold´ as Mivel H = L2 (R), a P = ~i dx Dmax (P ) = ψ ∈ L2 (R) | ψ 0 ∈ L2 (R) . (1.54)
Az f f¨ uggv´eny deriv´altja 0
f (x) =
∞ X
fn0 (x) ,
(1.55)
n=2
ahol
2 n 0 −n2 fn (x) = 0
ha n − n12 < x < n ha n ≤ x ≤ n + n12 , egy´ebk´ent 12
(1.56)
melyre Z∞
1
fn0 (x)2 dx = 2n4
−∞
teh´ at
R∞
Zn2
dx = 2n2 ,
(1.57)
0
f 02 (x) dx = ∞, azaz az f ∈ / Dmax (P ).
−∞
1.6 Megold´ as Egyr´eszt f nyilv´anval´oan folytonos x = 0-ban, m´asr´eszt Z∞
2
Z∞
f (x) dx = −∞
x
−3
0
∞ 1 1 exp − 2 dx = exp − 2 =1, 2x 2x 0
teh´ at f egy´ uttal norm´alt is. Tov´abb´a x > 0 eset´en ~ 1 d 1 3 3/2 P Q f (x) = √ x exp − 2 i 2 dx 4x −3/2 1 ~ 1 2 √ 3x + 1 x exp − 2 , = i2 2 4x
(1.58)
(1.59)
valamint 1 d 1 −3/2 Q P f (x) = x √ x exp − 2 i 2 dx 4x ~ 1 1 2 −3/2 √ −3x + 1 x = exp − 2 , i2 2 4x 3
teh´ at
3~
1 ~ 1 −3/2 ~ exp − 2 = f (x) Af (x) = √ x i 2 4x i
(1.61)
d|x| dx
= −1 ~ 1 d 1 3/2 3 P Q f (x) = − √ |x| exp − i 2 dx 4 |x|2 −3/2 ~ 1 1 2 √ 3 |x| + 1 |x| = exp − , i2 2 4 |x|2
´es x < 0 eset´en kihaszn´alva, hogy
(1.60)
(1.62)
valamint 1 d 1 −3/2 Q P f (x) = x √ |x| exp − i 2 dx 4 |x|2 −3/2 ~ 1 1 2 √ −3 |x| + 1 |x| = exp − , i2 2 4 |x|2 3
teh´ at
3~
1 ~ ~ 1 −3/2 Af (x) = √ |x| exp − = f (x) . 2 i 2 i 4 |x| 13
(1.63)
(1.64)
Az A oper´ator ´ertelmez´esi tartom´any´aba csak olyan f¨ uggv´enyek tartozhatnak, melyekre Q3 ψ ∈ Dmax (P ) ´es P ψ ∈ Dmax Q3 , (1.65) ahol Dmax Q3 = ψ ∈ L2 (R) |Q3 ψ ∈ L2 (R) .
(1.66)
A Q3 f f¨ uggv´eny viszont eleve nem n´egyzetesen integr´alhat´o, ´ıgy f ∈ / D (A), ez´ert saj´ at´ert´eke A-nak. Bel´ athat´o viszont, hogy ~i saj´at´ert´eke A† -nak. Ugyanis e ∈ L2 (R) , hogy hϕ| Aψi = hϕ| e ψi ∀ψ ∈ D (A) D A† = ϕ ∈ L2 (R) | ∃ϕ
~ i
nem
(1.67)
´es ekkor A† ϕ = ϕ e. (1.68) A fentiekb˝ol k¨ovetkezik, hogy f ∈ D A† , vagyis A szimmetrikus, de nem ¨onadjung´alt oper´ ator. L´athat´o, hogy ekkor lehets´eges, hogy A-nak ´es A† -nak nem azonosak a saj´at´ert´ekei, illetve lehetnek komplexek a saj´at´ert´ekek. T¨obbek k¨oz¨ott ez´ert is musz´aj kir´onunk a 2.1.1 fejezet elej´en a II. axi´om´aban a dinamikai mennyis´egeket reprezent´al´o oper´atorokra az ¨ onadjung´alts´agot. 1.7 Megold´ as a) K¨onnyen l´athat´o, hogy † D P[0,1] = ϕ ∈ L2 ([0, 1]) | ϕ0 ∈ L2 ([0, 1]) ,
(1.69)
+ mivel ψ ∈ D P[0,1] ´es ϕ ∈ D P[0,1] eset´en Z1
~ dψ (x) dx = ϕ (x) i dx ∗
Z1
~ dϕ (x) i dx
∗ ψ (x) dx +
0
0
~ 1 [ϕ (x)∗ ψ (x)]0 . i | {z }
(1.70)
=0 Teh´at a D P[0,1] halmazon ´ertelmezett P[0,1] oper´ator szimmetrikus, de nem ¨onadjung´alt: † P[0,1] ⊂ P[0,1] . (1.71) A
~ dψp (x) = pψp (x) i dx
(p ∈ C)
(1.72)
cp ∈ C\ {0} ,
(1.73)
egyenlet megold´asa ψp (x) = cp exp
i px ~
amib˝ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik, / D P[0,1] , hogy mivel ψp nem tudja a peremfelt´eteleket, ψp ∈ † viszont ψp ∈ D P[0,1]
∀p ∈ C teljes¨ ul.
14
b) Valamely α ∈ R eset´en a D (Pα ) = ψ ∈ L2 ([0, 1]) | ψ 0 ∈ L2 ([0, 1]) ´es ψ (1) = eiα ψ (0)
(1.74)
´ertelmez´esi tartom´anyon ´ertelmezett Pα oper´ator azonban m´ar ¨onadjung´alt. A kiin tegr´alt r´esz ugyanis csak akkor t˝ unik el, ha ϕ ∈ D (Pα ), k¨ovetkez´esk´eppen D Pα† = D (Pα ). M´asr´eszt i i ψ (1) = cp exp p = exp p ψ (0) −→ α = p/~ − 2πm (m ∈ Z) , (1.75) ~ ~ teh´at Pα saj´at´ert´ekei p = ~α + 2π~m
(m ∈ Z) .
(1.76)
1.8 Megold´ as Nyilv´anval´o, hogy D (Q) = L2 ([0, 1]) ´es Q† = Q. K¨ovetkez´esk´eppen ∀ψ ∈ D (P0 ) eset´en P0 ψ ∈ D (Q), teh´at a QP0 oper´ator ´ertelmez´esi tartom´anya D (P0 ). Azonban ∀ψ ∈ D (P0 ) eset´en Qψ (0) = 0 ´es Qψ (1) = ψ (1) 6= 0, teh´at Qψ ∈ / D (P0 ). Ez´ert ψm ∈ / D ([P0 , Q]), azaz a fenti levezet´es ´ertelmetlen.
15
2. fejezet A kvantummechanika axi´ om´ ai, egyszer˝ u kvantummechanikai rendszerek 2.1. Elm´ elet 2.1.1. A kvantummechanika axi´ om´ ai A kvantummechanika axi´om´ait u ´n. tiszta a´llapotra mondjuk ki: I Egy r´eszecske fizikai a´llapot´at egy H szepar´abilis Hilbert-t´er sugaraival jellemezz¨ uk. Sug´ar alatt a H Hilbert-t´er |Ψi ∼ |Φi, ha |Ψi = c |Φi (c ∈ C) ekvivalencia rel´aci´o szerinti faktorter´enek elemeit ´ertj¨ uk. Kicsit pongyol´abban foglamzva azt is mondhatjuk, hogy az a´llapotot egy szepar´abilis Hilbert-t´er egys´egnyi abszol´ ut ´ert´ek˝ u elemeivel (||Ψ||2 = 1) reprezent´aljuk, ´es a |Ψi illetve ıϕ e |Ψi ugyan azt a fizikai ´allapotot ´ırj´ak le. II A dinamikai mennyis´egeket (A) ezen a H t´eren hat´o line´aris ¨onandjung´alt oper´aˆ reprezent´aljuk. Dinamikai mennyis´egnek a koordin´at´at, az impulzust, torokkal (A) illetve az ezekkel kifejezhet˝o mennyis´egeket nevezz¨ uk. A reprezent´aci´onak olyannak kell lennie, hogy (a klasszikus mechanik´ahoz hasonl´oan) az impulzus a t´ereltol´as, az impulzus momentum a forgat´as, az energia pedig az id˝oeltol´as gener´atora legyen. III A |Ψi fizikai ´allapotban az A dinamikai mennyis´eg m´er´esekor a m´er´esi eredm´eny ´ert´eke (a) az Aˆ oper´ator spektrum´anak egy r´eszhalmaza: a ∈ σAˆ . Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a az I intervallumba esik: Z ˆ P (a ∈ I) = hΨ| dE(λ) |Ψi (2.1) I
ˆ ahol dE(λ) az Aˆ spekt´arlfelbont´as´aban szerepl˝o spektr´alm´ert´ek: Aˆ =
R σAˆ
16
ˆ λdE(λ)
Ha az Aˆ oper´atornak csak pontspektruma van, akkor saj´atf¨ uggv´enyei (|ϕλ i) ortornorm´alt b´azist alkotnak, ´ıgy b´armely |Ψi vektor kifejthet˝o ezen a b´azison. |Ψi =
X
cλ |ϕλ i
(2.2)
λ
Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy az a m´ert ´ert´ek¨ unk µ-vel egyenl˝o, ´epp a µ-h¨oz tartoz´ R o kifejˆ t´esi egy¨ utthat´o abszol´ ut´ert´ek n´egyzete, ugyanis a (2.1) egyenletben szerepl˝o dE(λ) λ=µ
kifejez´es a |ϕµ i hϕµ |-val azonos: P(a = µ) = hΨ| ϕµ i hϕµ | Ψi = |cµ |2 = |ca |2
(2.3)
A fentiekb˝ol ´es a III. axi´om´ab´ol k¨ovetkezik teh´at, hogy az A fizikai mennyis´eg v´arhat´o ´ert´eke: X X hAi = P(λ = a = µ) · a = |ca |2 · a = hΨ| Aˆ |Ψi (2.4) a
a
R¨ovid gondolkod´as ut´an l´athat´o, hogy ez ut´obbi eredm´eny igaz folytonos spektrum eset´en is. IV Pont spektrum eset´en: Az A dinamikai mennyis´eg m´er´ese sor´an a m´er´es el˝otti |Ψi a´llapot beugrik az Aˆ oper´ator a m´ert ´ert´ek´ehez tartoz´o saj´atf¨ uggv´enybe
a=µ |Ψi → |ϕµ i = |ϕa i Folytonos spektrum eset´en (az el˝oz˝o ´altal´anos´ıt´asa): Ha az A dinamikai mennyis´eg m´er´ese sor´an az I intervallumot kapjuk m´er´esi eredm´eny¨ ul, akkor a m´er´es el˝otti |Ψi a´llapot r´avet¨ ul az Aˆ oper´ator I-hez tartoz´o saj´atalter´ere:
a∈I PˆI |Ψi , |Ψi → ||PˆI |Ψi || ahol PˆI az I intervallumhoz tartoz´o saj´atalt´erre vet´ıt´es oper´atora: Z ˆ ˆ PI = dE(λ)
(2.5)
λ∈I
Ez az axi´oma teh´at azt a t´enyt fejezi ki, hogy maga a m´er´es hat´assal van a m´ert rendszerre, mely a m´er´es ut´an m´ar nem lehet ugyanabban az a´llapotban, mint kor´abban. M´ıg klasszikus fizik´aban egy t´argy hely´enek m´er´es´ere haszn´alhatunk pl. l´ezeres t´avols´agm´er˝ot mely alig befoly´asolja a makroszk´opikus m´eret˝ u t´argy a´llapot´at, addig egy elektron hely´enek m´er´es´ere alkalmas detektor jelent˝osen nagyobb nagys´ag´ u, energi´aj´ u, stb... az elektronn´al, ´ıgy teh´at maga m´er´es jelent˝osen kell, hogy befoly´asolja a m´erend˝o elektronunkat. 17
2.1.2. Az axi´ om´ ak ´ es szimmetri´ ak k¨ ovetkezm´ enyei Ha egy rendszernek van egy szimmetri´aja, akkor az azt jelenti, hogy ha a rendszeren a szimmetri´ahoz kapcsol´od´o transzform´aci´ot v´egrehajtjuk, akkor a m´erhet˝o mennyis´egek nem v´altozhatnak meg. Tekints¨ uk az Aˆ oper´atorral reprezent´alt A mennyis´eget |ϕn i saj´atb´azissal, ´es egy |Ψi a´llapotot, melyek Aˆ0 , |ϕ0n i ´es |Ψ0 i-be mennek az a transzform´aci´o hat´as´ara. Aˆ ´es Aˆ0 ugyan azt a m´erhet˝o mennyis´eget reprezent´alj´ak, ´ıgy vil´agos, hogy a szimmetria transzform´aci´o el˝ott ´es ut´an spektrumuk azonos kell legyen, hiszen a m´er´esek eredm´enye a spektrum egy-egy r´esze:
Aˆ |ϕn i = an |ϕn i Aˆ0 |ϕ0n i = an |ϕ0n i
(2.6) (2.7)
Emellett a m´erhet˝o an ´ert´ekekhez tartoz´o m´er´esi val´osz´ın˝ us´egek is kim´erhet˝oek azonos rendszereken v´egzett m´er´esek sokas´ag´aval, ´ıgy ezek is meg kell, hogy egyezzenek. Ez´ert a X |Ψi = cn |ϕn i (2.8) n 0
|Ψ i =
X
c0n |ϕ0n i
(2.9)
n
ulnie. Ez azt jelenti, hogy | hΨ| ϕn i | = kifejt´esben |cn |2 = |c0n |2 egyenletnek kell teljes¨ | hΨ0 | ϕ0n i | ∀n, vagyis a transzform´aci´onak unit´ernek vagy antiunit´ernek kell lennie. Nek¨ unk most elegend˝o lesz csak az unit´er eset, r´eszletesebb le´ır´as megtal´alhat´o Ballentine k¨onyv´eben [5]. |Ψ0 i = Uˆ |Ψi Aˆ0 = Uˆ AˆUˆ −1
(2.10) (2.11)
Legyen teh´at a szimmetria transzform´aci´ohoz tartoz´o oper´ator Uˆ (s), ami f¨ uggj¨on az s ˆ ˆ folytonos param´etert˝ol, ´es v´alasszuk s-t olyannak, hogy U (0) = I teljes¨ ulj¨on. Ekkor Uˆ (s) fel´ırhat´o az infinitezim´alis gener´ator´aval: ˆ Uˆ (s) = eıKs ,
(2.12)
ˆ infinitezim´alis gener´ator egy ¨onadjung´alt oper´ator. K-t ˆ az´ert h´ıvj´ak infiniteziahol a K m´alis gener´atornak, mert dUˆ (s) ˆ = ıK (2.13) ds s=0
Klasszikus mechanik´ab´ol tudjuk, hogy az impulzus i-edik komponense az i-edik koordin´ata ir´any´aban val´o eltol´as, L · en az en ir´any´ u tengely k¨or¨ uli forgat´as, a Hamilton-f¨ uggv´eny pedig az id˝oeltol´as gener´atora (L´asd: Keszthelyi Tam´as: Mechanika, Infinitezim´alis kanonikus transzform´aci´ok fejezete). Az el˝obb felsorolatak az adott fizikai mennyis´egek szerves tulajdons´agai, ez´ert szeretn´enk, ha a kvantummechanik´aban is ´erv´enyben maradn´anak, ´ıgy a II. axi´om´an kereszt¨ ul az axi´om´ak k¨oz´e sorojuk ˝oket. 18
N´ezz¨ uk meg, hogy ennek milyen k¨ovetkezm´enyei vannak a mennyis´egeket reprezent´al´o oper´atorokra n´ezve! Az impulzus i-edik komponense az i-edik koordin´ata ir´any´aba val´o t´ereltol´as gener´atora. Ha a teret eltoljuk az i-edik ir´anyba s-sel, akkor az u ´j xˆ0i koordin´ata oper´ator m´ar nem xi -t, hanem xi − s-t m´eri. Ezen k´ıv¨ ul pˆi nem lehet a (2.12) egyenletben szerepl˝o K, hiszen akkor az exponenci´alis f¨ uggv´eny has´aban nem egy dimenzi´otlan mennyis´eg lenne. Hogy dimenzi´otlan´ıtsunk, osszunk le egy Js dimenzi´oj´ u konstanssal, melyet ~-sal (h´avon´assal) jel¨ol¨ unk: ı ı xˆ0i = e− ~ pˆi s xˆi e ~ pˆi s = x\ ˆi − sIˆ i−s = x
(2.14)
Fejts¨ uk sorba a (2.14) egyenletet kis s eset´ere els˝o rendig: ı ı ˆ ı ˆ ˆ xˆi − sI = I − pˆi s xˆi I + pˆi s + O(s2 ) = xˆi − s (pˆi xˆi − xˆi pˆi ) + O(s2 ) (2.15) ~ ~ ~ h i ˆ B ˆ = AˆB ˆ −B ˆ A, ˆ s → 0 limeszben a k´et oldal Bevezetve az u ´n. kommut´atort, A, egyenl˝os´eg´eb˝ol azt kapjuk, hogy: ~ (2.16) [pˆi , xˆi ] = Iˆ ı A k¨ ul¨onb¨oz˝o ir´any´ u koordin´at´ak ´es impulzusok nincsenek egym´assal szimmetria transzform´aci´okon kereszt¨ ul ¨osszecsatolva, ez´ert ezek kommut´atora 0. Mindezeket ¨osszeszedve megkapjuk a Heisenberg-f´ele kommut´aci´os (felcser´el´esi) rel´aci´okat:
~ ˆ δij I ı [xˆi , xˆj ] = 0 [pˆi , pˆj ] = 0
[pˆi , xˆj ] =
A 2.2 megold´asban megmutatjuk, hogy a klasszikus mechanikai L = r × p defin´ıci´oba ˆ = ˆr × p ˆ ´epp a forgat´asok infinitezim´alis gener´atora lesz. Itt ˆr az ˆ, L oper´atorokat ´ırva, L ˆr = (ˆ x1 , xˆ2 , xˆ3 ) oper´atorokb´ol ´all´o h´armast jel¨oli. N´ezz¨ uk meg most mi t¨ort´enik, ha egy f (x) f¨ uggv´enyt eltolunk az x tengely ment´en s-sel!
19
Bevezetve x0 = x+s-et vil´agos, hogy f 0 (x0 ) = f (x). Ehhez hasonl´oan, figyelembev´eve m´eg hogy a Hamilton-oper´ator az id˝oeltol´as infinitezim´ais gener´atora, a k¨ovetkez˝ot kapjuk: |Ψ0 (t + si = |Ψ(t)i e
ı ˆ Hs ~
|Ψ(t + s)i = |Ψ(t)i
(2.17) (2.18)
Itt a ~-t szint´en dimenzi´otlan´ıt´asra haszn´aljuk. Az el˝oz˝o egyenletet sorbafejtve s-ben ı ˆ 2 ˆ I + Hs + O(s ) |Ψ(t + s)i = |Ψ(t)i (2.19) ~ ´ Atrendezve ´es s → 0 hat´ar´atmenetet v´eve megkapjuk az ´allapotok id˝ofejl˝od´es´et vez´erl˝o egyeneletet, az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger egyenletet: ˆ |Ψ(t)i ı~∂t |Ψ(t)i = H
(2.20)
A Heisenberg-f´ele kommut´aci´os rel´aci´okban ´es a Scr¨odinger-egyenletben is sz¨ uks´eg van egy Js m´ert´ekegys´eg˝ u konstansra dimenzion´alis okokb´ol. Azonban nem egy´ertelm˝ u, hogy ugyanaz a ~ konstans jelenik meg a k´et ¨osszef¨ ugg´esben, vagy esetleg ezek egym´as sz´amszorosai. A m´er´esekkel akkor kapunk ¨osszev´ag´o eredm´enyeket, ha mindk´et helyen ugyan az a ~ ≈ 1.05457148 · 10−34 Js ´ert´ek˝ u sz´am szerepel. A ~ a kvantummechanika alapvet˝o ´alland´oja, hasonl´oan ahogyan a c f´enysebess´eg az elektrodinamik´aban, vagy a kB Boltzmann a´lland´o a termodinamik´aban.
2.1.3. Egyszer˝ u kvantummechanikai rendszerek A k¨ovetkez˝oekben a legegyszer˝ ubb kvantummechanikai rendszerekkel ismerked¨ unk meg, melyek valamilyen egydimenzi´os potenci´alban mozg´o r´eszecsk´et ´ırnak le, a Hilbert-t´ernek legt¨obbsz¨or v´alaszthat´o ez esetben az L2 (R). Mivelhogy az id˝o nem dinamikai mennyis´eg, a kvantummechanik´aban nem rendel¨ unk hozz´a oper´atort, csak egy param´eter. A |Ψ(t)i a´llapotot minden id˝opillanatban egy L2 (R)-beli f¨ uggv´eny reprezent´alja. A klasszikus elm´eleti mechanik´aban a fizikai rendszert a Hamilton-f¨ uggv´eny´evel defini´aljuk. Kvantummechanik´aban ehhez hasonl´oan j´arunk el, a rendszert a Hamilton oper´atorral defini´aljuk. (Vigy´azzunk! A klasszikus Hamilton-f¨ uggv´eny ´es egy kvantummechanikai Hamiltonoper´ator k¨oz¨ott nincs egy-egy ´ertelm˝ u megfeleltet´es! Klasszikusan ugyanis pl. H(q, p) = p · q = H 0 (q, p) = q · p, m´ıg kvantummechanik´aban a Heisenberg-f´ele felcser´el´esi rel´aci´ok ˆ = pˆ2 + V (ˆ x) alak´ u. Egy lehets´eges miatt qˆ · pˆ 6= pˆ · qˆ!) A Hamilton-oper´ator teh´at H 2m v´alaszt´as a Heisenberg-f´ele felcser´el´esi rel´aci´ok kiel´eg´ıt´es´ere, ha xˆ-nek az x· koordin´at´aval ∂ val´o szorz´as oper´ator´at, pˆ-nek pedig a ~ı ∂x differenci´aloper´atort v´alasztjuk, ugyanis: ~ ∂ ∂ ~ [ˆ p, xˆ] Ψ(x, t) = (xΨ(x, t)) − x Ψ(x, t) = Ψ(x, t), (2.21) ı ∂x ∂x ı ahol teh´at Ψ(x, t) alatt azt ´ertj¨ uk, hogy Ψ(x, t) egy x szerint n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´eny b´armely t ´ert´ekre. Az xˆ ´es pˆ oper´atorra vonatkoz´o fenti v´alaszt´ast koordin´ata reprezent´aci´onak h´ıvjuk. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ezek (egy ~ konstanst´ol eltekintve) ´epp az
20
1.10. p´eld´aban bevezetett szorz´as ´es deriv´al´as oper´atorok. A hely v´arhat´o ´ert´eke a (2.4) egyenlet ´es az L2 (R) szok´asos skal´arszorzata alapj´an: Z Z ∗ hΨ| xˆ |Ψi = Ψ (x, t)xΨ(x, t)dx = x|Ψ(x, t)|2 dx. (2.22) Vagyis |Ψ(x, t)|2 a r´eszecske x tengely ment´en val´o megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´eg´enek szok´asos val´osz´ın˝ us´egelm´eleti s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. Mivel az ´allapotot a |Ψi a´llapotf¨ uggv´ennyel ´ırjuk le, abban benne van minden inform´aci´o amit elvileg tudhatunk a rendszerr˝ol. Ez azonban nem tartalmazza azt az inform´aci´ot, hogy pontosan hol van a r´eszecsk´enk, csak annyit, hogy hol milyen val´osz´ın˝ us´eggel tal´alhat´o meg! A t¨ok´eletesen meghat´arozott hely˝ u r´eszecske s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye” egy Dirac-delta lenne, vagyis az a ´ llapota ´ e ppen a szorz´ a sorper´ ator √ ” (1.7) k´epletben szerepl˝o |λi = fλ,n (x) = n · 1λ, 1 approximat´ıv saj´atvektora. Minthogy a n szorz´as oper´atornak nincs saj´atf¨ uggv´enye, csak approximat´ıv saj´atf¨ uggv´enye, t¨ok´eletesen meghat´arozott hely˝ u (hely saj´at´aRllapotban l´ev˝o) r´eszecske sincs. Az els˝o axi´oma kit´etele, az ´allapotf¨ uggv´eny norm´alts´aga ( |Ψ(x)|2 dx = 1) biztos´ıtja, hogy t´enyleg val´osz´ın˝ us´egr˝ol legyen sz´o. Szint´en az els˝o axi´om´aban szerepel, hogy |Ψi ´es eıϕ |Ψi ugyanazt az a´llapotot ´ırj´ak le, ami szint´en ¨osszev´ag azzal, hogy |Ψ(x)|2 hordoz fizikailag m´erhet˝o inform´aci´ot, melyb˝ol kiesik az eıϕ glob´alis f´azisfaktor. Koordin´ata reprezent´aci´oban, egydimenzi´os potenci´alban mozg´o r´eszecske Hamilton-oper´atora ˆ = − ~2 d22 +V (x) alakot ¨olti, a Schr¨odinger-egyenlet pedig egy parci´alis differeciteh´at a H 2m dx a´legyenlet, melyek megold´as´an´al gyakran alkalmazhat´o m´odszer a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa. Tegy¨ uk fel teh´at, hogy Ψ(x, t) = ψ(x)ϑ(t) alakban ´ırhat´o. Ekkor a Schr¨odinger egyenlet a k¨ovetkez˝ok´epp n´ez ki: ˆ ı~ψ(x)∂t ϑ(t) = ϑ(t) · Hψ(x) 1 ˆ 1 ∂t ϑ(t) = Hψ(x) = E ı~ ϑ(t) ψ(x) A m´asodik egyenletnek b´armely x-re ´es t-re teljes¨ ulnie kell, ´es minthogy ezen param´eterek f¨ uggetlenek, mindk´et oldalnak egy E konstanssal kell egyenl˝onek lennie. A fenti egyenletet rendezve, ´es az id˝ore vonatkoz´o differenci´alegyenletet megoldva kapjuk, hogy: ı
ı~∂t ϑ(t) = Eϑ(t) ⇒ ϑ(t) = e− ~ Et
(2.23)
Vagyis ez esetben az id˝of¨ ugg´es csak egy egyszer˝ u f´azisfaktort ad az ´allapotnak. Ha pedig a ψ(x)-re vonatkoz´o r´eszt vizsg´aljuk, akkor azt kapjuk, hogy ψ(x)-nek a Hamiltonoper´ator saj´atf¨ uggv´eny´enek kell lennie, amit stacion´arius, vagy id˝of¨ uggetlen Schr¨odingeregyenletnek nevez¨ unk: ˆ Hψ(x) = Eψ(x) (2.24) Konkr´etan erre az esetre vonatkoz´o Hamilton oper´atort be´ırva: −
~2 d2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2
(2.25)
L´athat´o, hogy a kor´abban bevezetett E konstans a Hamilton-oper´ator saj´at´ert´eke, vagyis joggal nevezhetj¨ uk ezt az energi´anak. Az is vil´agos, hogy a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa akkor tehet˝o meg, ha az a´llapotf¨ uggv´eny t´erbeli r´esze, ψ(x), a Hamilton-oper´ator saj´atf¨ uggv´eı nye. Ekkor az id˝of¨ ugg´es egy egyszer˝ u e− ~ Et f´azisfaktort ad csak az ´allapothoz, vagyis a |ψ(x)|2 megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´eg id˝oben a´lland´o. 21
2.1.4. A line´ aris harmonikus oszcill´ ator Az egydimenzi´os harmonikus oszcill´ator Hamilton f¨ uggv´enye H (x, p) =
p2 mω 2 2 + x , 2m 2
(2.26)
ahol m a r´eszecske t¨omege ´es ω a rezg´es saj´at-k¨orfrekvenci´aja. A kvantummechanikai t´argyal´as szerint a ˆ |ψi = E |ψi H (2.27) saj´at´ert´ek probl´em´at kell megoldanunk, ahol koordin´ata reprezent´aci´oban, H (x) = − Bevezetve a q=
x x0
~2 d2 mω 2 2 x . + 2m dx2 2
→
(2.28)
d2 1 d2 = , dx2 x20 dq 2
v´altoz´o transzform´aci´ot, a Hamilton oper´atort H(q) = −
mω 2 x20 2 ~ 2 d2 + q , 2mx20 dq 2 2
(2.29)
alakban ´ırhatjuk. C´elszer˝ u az x0 param´etert u ´gy megv´alasztani, hogy a fenti kifejez´esben d2 2 a dq ´ e s a q tagok egy¨ u tthat´ o i, az el˝ o jelt˝ o l eltekintve, megegyezzenek, azaz, 2 ~2 mω 2 x20 = ⇒ x0 = 2mx20 2
r
~ mω
⇓ ~ω d2 2 H(q) = − 2 +q , 2 dq
(2.30)
(2.31)
´es a Schr¨odinger egyenletet d2 2 − 2 + q ψ(q) = ηψ(q) , dq
(2.32)
form´aban ´ırhatjuk, ahol 2E ~ω az energia helyett bevezetett dimenzi´otlan v´altoz´o. η=
(2.33)
Megold´ as Sommerfeld polinom m´ odszerrel ´Irjuk a´t a (2.32) saj´at´ert´ek egyenletet, d2 ψ (q) + η − q 2 ψ(q) = 0 , 2 dq 22
(2.34)
melynek el˝osz¨or a q → ±∞ hat´aresetben vett, u ´n. aszimptotikus megold´as´at keress¨ uk: d2 ψa (q) − q 2 ψa (q) = 0 . dq 2
(2.35)
Felhaszn´alva az al´abbi azonoss´agokat ill. aszimptotikus k¨ozel´ıt´est, d d2 d d d −q + q = 2 + q − q − q2 dq dq dq dq dq d2 d2 = 2 − q 2 + 1 −→ − q2 , 2 q→±∞ dq dq bel´athat´o, hogy a d + q ψa (q) = 0 −→ dq a keresett regul´aris aszimptotikus megold´as.
ψa (q) = e−q
2 /2
(2.36)
A k¨ovetkez˝o l´ep´esben az ´altal´anos megold´ast az aszimptotikus megold´as ´es egy ismeretlen u (q) f¨ uggv´eny szorzatak´ent keress¨ uk: ψ (q) = u (q) ψa (q) = u (q) e−q
2 /2
,
amit behelyettes´ıtve a (2.34) egyenletbe, 2 d2 u (q) e−q /2 2 −q 2 /2 + η − q u (q) e =0, dq 2
(2.37)
(2.38)
´es elv´egezve a megfelel˝o deriv´al´asokat, a d2 u(q) du(q) − 2q + (η − 1)u(q) = 0 , dq 2 dq
(2.39)
nevezetes differenci´alegyenletet nyerj¨ uk. A tov´abbiakban felt´etelezz¨ uk, hogy az u f¨ uggv´eny analitikus: u (q) =
∞ X
cr q r ,
(2.40)
r=0 ∞
du(q) X = rcr q r−1 dq r=1
∞
−→
∞
2q
du(q) X = 2rcr q r , dq r=0
(2.41)
∞
X d2 u(q) X r−2 = r (r − 1) c q = (r + 1) (r + 2) cr+2 q r . r dq 2 r=2 r=0
(2.42)
A fenti kifejez´eseket visszahelyettes´ıtve a (2.39) egyenletbe a ∞ X
{(r + 1) (r + 2) cr+2 − 2rcr + (η − 1)cr } q r = 0
(2.43)
r=0
egyenletet kapjuk, melyb˝ol a cr+2 =
2r + 1 − η cr (r + 1) (r + 2) 23
(2.44)
rekurzi´os ¨osszef¨ ugg´es ad´odik (r = 0, 1, 2, . . .). Vegy¨ uk ´eszre, hogy az u (q) f¨ uggv´eny hatv´anysor´aban az r-ik tag egy¨ uthat´oja az r + 2-ik tag egy¨ utthat´oj´at hat´arozza meg, ´ıgy a m´asodrend˝ u differenci´alegyenlet k´et f¨ uggetlen megold´as´at gener´alhatjuk a k¨ovetkez˝o v´alaszt´assal, c0 = 1 , c0 = 0 ,
c1 = 0 c1 = 1
−→ −→
u p´aros f¨ uggv´eny u p´aratlan f¨ uggv´eny .
M´asr´eszt viszont r → ∞ eset´en a rekurzi´os ¨osszef¨ ugg´es k¨ozel´ıthet˝o a 2 cr+2 ∼ cr r
(2.45)
2
kifejez´essel, mely az eq f¨ uggv´eny hatv´anyegy¨ utthat´oira jellemz˝o rekurzi´os rel´aci´o: 2
eq =
∞ X q 2r r=0
r!
=
qr (r/2)! r=0,2,... X
−→
cr+2 =
2 2 cr −→ cr . r + 2 r→∞ r
K¨ovetkez´esk´eppen k¨onnyen bel´athat´o, hogy a megold´as tetsz˝oleges pontoss´aggal k¨ozel´ıti az 2 2 u (q) ∼ f (q) + Ceq (p´aros) vagy az u (q) ∼ q f (q) + Ceq (p´aratlan) (2.46) f¨ uggv´enyt, ahol az f (q) v´eges, p´aros polinomot ´es a C a´lland´ot a k´ıv´ant pontoss´aghoz lehet 2 be´all´ıtani. Ez viszont azt jelenti, hogy a ψ (q) = u (q) e−q /2 megold´as aszimptotikusan 2 eq /2 szerint diverg´al, teh´at a´ltal´anos esetben ψ norm´aja diverg´al, ´ıgy nem norm´alhat´o. Ezt csak u ´gy tudjuk elker¨ ulni, hogy a (2.44) rekurzi´os ¨osszef¨ ugg´est valamely r = n indexn´el meg´all´ıtjuk, azaz η = 2n + 1 (n = 0, 1, 2, . . .) (2.47) v´alaszt´assal biztos´ıtjuk, hogy cn 6= 0 , cn+2 = cn+4 = . . . = 0 . A η param´eter defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy a lehets´eges saj´atenergi´ak az 1 (n = 0, 1, 2, . . .) En = ~ω n + 2
(2.48)
(2.49)
´ert´ekeket vehetik f¨ol. A saj´atf¨ uggv´enyek: ψn (q) = Nn Hn (q) e−q
2 /2
,
ahol Nn norm´al´asi t´enyez˝ok ´es Hn (q) az u ´n. Hermite-polinomokat jel¨oli: Hn (q) n 0 1 1 2q 2 4q 2 − 2 . 3 8q 3 − 12q .. .. . . 24
(2.50)
A Hermite-polinomokra fenn´all az al´abbi ortogonalit´asi rel´aci´o, Z∞
√ 2 dq e−q Hn (q) Hm (q) = 2n n! π δnm ,
(2.51)
−∞
melyb˝ol a norm´al´asi t´enyez˝ok meghat´arozhat´ok: −1/2 √ Nn = 2n n! π x0 .
(2.52)
Algebrai megold´ as: kelt˝ o´ es eltu o oper´ atorok ¨ ntet˝ M´ar kor´abban levezett¨ uk a
d −q dq
d +q dq
=
d2 − q2 + 1 , dq 2
ugg´est, mely seg´ıts´eg´evel a (2.31) Hamilton oper´ator a´t´ırhat´o: ¨osszef¨ d d 1 1 q− q+ + . H (q) = ~ω 2 dq dq 2
(2.53)
C´elszer˝ u bevezetni az 1 a ˆ= √ 2
d i 1 1 2 d q+ x + x0 xˆ + pˆ =√ =√ dq dx mω 2x0 2x0
(2.54)
´es
1 1 1 d i 2 d =√ =√ pˆ a ˆ = √ q− x − x0 xˆ − dq dx mω 2 2x0 2x0 q ~ ), melyekkel a Hamilton oper´ator oper´atorokat (x0 = mω †
1 † ˆ H = ~ω a ˆa ˆ+ , 2
(2.55)
(2.56)
alakban ´ırhat´o. Megmutatjuk, hogy a harmonikus oszcill´ator spektruma levezethet˝o az a ˆ ´es a ˆ† oper´atorok algebrai (felcser´el´esi) tulajdons´agaib´ol, ´es nem sz¨ uks´eges valamely konkr´et reprezent´aci´ot haszn´alnunk. Ehhez csup´an az [ˆ x, pˆ] = i~ felcser´el´esi rel´aci´ot kell felhaszn´alnunk, melyb˝ol a (2.54) ´es (2.55) defin´ıci´ok alapj´an k¨ovetkezik: † i i 1 pˆ, xˆ − pˆ a ˆ, a ˆ = 2 xˆ + 2x0 mω mω mω i i = − (2.57) [ˆ x, pˆ] + [ˆ p, xˆ] = 1 . 2~ mω mω
25
A (2.56) kifejez´esb˝ol k¨ovetkezm´enye, hogy a Hamilton oper´ator spektrum´anak als´o korl´atja ~ω/2, hiszen norm´alt |ψi a´llapotokra: D E
† 1 1 ~ω ˆ ψ|H|ψ = ~ω ψ|ˆ aa ˆ|ψ + = ~ω hˆ aψ|ˆ aψi + ≥ . (2.58) 2 2 2 A tov´abbiakban alapvet˝o jelent˝os´eg˝ uek a k¨ovetkez˝o felcser´el´esi rel´aci´ok: h i † 1 † ˆ H, a ˆ = ~ω a ˆa ˆ + ,a ˆ = ~ω a ˆ ,a ˆ a ˆ = −~ωˆ a, 2 ´es h
ˆ a H, ˆ
†
i
† 1 † a† . ˆ, a ˆ = ~ωˆ a† a ˆ = ~ωˆ = ~ω a ˆa ˆ + ,a 2
†
(2.59)
(2.60)
ˆ egy saj´atf¨ Legyen |ψi H uggv´enye E saj´at´ert´ekkel. Ekkor ˆ a|ψi = a ˆ Hˆ ˆH|ψi − ~ωˆ a|ψi = (E − ~ω) a ˆ|ψi ,
(2.61)
azaz a ˆ|ψi is saj´atf¨ uggv´eny E − ~ω saj´at´ert´ekkel. Ez´ert h´ıvjuk az a ˆ oper´atort lefel´e l´eptet˝o vagy elt¨ untet˝o oper´atornak. Mivel azonban H spektruma alulr´ol korl´atos, l´eteznie kell egy |ψ0 i saj´atf¨ uggv´enynek, amit az a ˆ oper´ator a Hilbert-t´er null-elem´ebe (| i0 ) l´eptet, a ˆ|ψ0 i = | i0 , mely nem reprezent´alhat fizikai ´allapotot. K¨ovetkez´esk´eppen, 1 † ˆ 0 i = ~ω | i0 + |ψ0 i = ~ω |ψ0 i , a ˆa ˆ|ψ0 i = | i0 ⇒ H|ψ 2 2
(2.62)
(2.63)
teh´at |ψ0 i pontosan a minim´alis saj´at´ert´ekhez tartoz´o saj´atf¨ uggv´eny. A (2.61) egyenlethez hasonl´oan bel´athatjuk: ˆ a† |ψi = a ˆ Hˆ ˆ† H|ψi + ~ωˆ a† |ψi = (E + ~ω) a† |ψi ,
(2.64)
azaz a ˆ† |ψi is saj´atf¨ uggv´eny E + ~ω saj´at´ert´ekkel. Ez´ert az a ˆ† oper´atort felfel´e l´eptet˝o vagy kelt˝o oper´atornak h´ıvjuk. A kelt˝o oper´ator seg´ıts´eg´evel szukcessz´ıven fel´ep´ıthetj¨ uk a Hamilton oper´ator ¨osszes saj´atf¨ uggv´eny´et. Az n-ik l´ep´esben kapott hull´amf¨ uggv´eny saj´atenergi´aja ´ertelemszer˝ uen 1 (n = 0, 1, 2, . . . ) . (2.65) En = ~ω n + 2 M´as saj´at´ert´ek az (2.61) egyenlet k¨ovetkezt´eben nem l´etezhet. Jel¨olj¨ uk az a ˆ† oper´ator n-ik alkalmaz´as´aval kapott norm´alt saj´atf¨ uggv´enyt |ni-nel (| ψ0 i ≡ | 0i): |ni = An (ˆ a† )n | 0i , (2.66) ahol An egy k´es˝obb meghat´arozand´o norm´al´asi t´enyez˝o. A (2.56) ´es (2.65) egyenletek ¨osszevet´es´eb˝ol azonnal k¨ovetkezik, hogy a ˆ† a ˆ|ni = n |ni . 26
Ez´ert az a ˆ† a ˆ oper´atort szok´as gerjeszt´esi (vagy bet¨olt´esi) sz´am oper´atornak nevezni. Ezut´an m´ar k¨onnyen meghat´arozhat´o a l´eptet˝ooper´atorok hat´asa a saj´atf¨ uggv´enyekre: a† a ˆ|ni = (n+1)|c|2 = 1 |n+1i = c a ˆ† | ni =⇒ hn+1|n+1i = |c|2 hn|ˆ aa ˆ† |ni = |c|2 hn|ni + hn|ˆ (2.67) √ 1 † =⇒ c = √ =⇒ a |ni = n + 1|n + 1i , (2.68) n+1 illetve √ 1 | n − 1i = c a ˆ| ni =⇒ chn − 1|ˆ a|ni = chn|ˆ a† |n − 1i = c n = 1 =⇒ c = √ n √ =⇒ a ˆ|ni = n|n − 1i .
(2.69) (2.70)
A norm´alt saj´atf¨ uggv´enyeket teh´at a k¨ovetkez˝o form´aban tudjuk fel´ırni: n 1 a ˆ† |0i . |ni = √ n!
(2.71)
A saj´ atfu enyek koordin´ atareprezent´ aci´ oban ¨ ggv´ Hat´arozzuk meg el˝osz¨or az u ´n. v´akuum´allapotot: 1 dψ0 (q) b aψ0 (q) = √ + qψ0 (q) = 0 , dq 2
(2.72)
melynek megold´asa ψ0 (q) = c0 exp(−q 2 /2) .
(2.73)
A c0 norm´al´asi konstanst a k¨ovetkez˝o integr´al alapj´an sz´am´ıtjuk, Z∞
ψ0∗ (x)ψ0 (x)dx = c20
−∞
Z∞
)2
e−(x/x0 dx = c20 x0
−∞
Z∞
2
e−q dq = c20
√
√ πx0 = 1 → c0 = ( πx0 )−1/2 .
−∞
Felhaszn´alva a (2.55) defin´ıci´ot, a norm´alt saj´atf¨ uggv´enyek teh´at a n −1/2 √ d 2 n q− e−q /2 |q=x/x0 , ψn (x) = 2 n! πx0 dq
(2.74)
m´odon ´all´ıthat´o el˝o, mely ekvivalens a −1/2 √ ψn (x) = 2 n! πx0 Hn n
alakkal, ahol q 2 /2
Hn (q) = e
x x0
n d 2 e−q /2 q− dq
a m´ar ismert Hermite polinomok.
27
2 /2
e−(x/x0 )
,
,
(2.75)
(2.76)
2.2. Feladatok 2.2.1. P´ eld´ ak ~ oper´ator´at, 2.1. Feladat Hat´arozzuk meg az eltol´as Tˆ(R) f (r + R) = Tˆ(R)f (r) ,
(2.77)
ahol f egy tetsz˝olegesen sokszor differenci´alhat´o f¨ uggv´eny. 2.2. Feladat Konstru´aljuk meg az R(ϕ, n) ∈ O(3) n tengely k¨or¨ uli ϕ sz¨og˝ u forgat´as ˆ O(ϕ, n) oper´ator´at, ˆ f (R−1 (ϕ, n)r) = O(ϕ, n)f (r) , (2.78) ahol f egy tetsz˝olegesen sokszor differenci´alhat´o f¨ uggv´eny! 2.3. Feladat Bizony´ıtsa be, hogy az egydimenzi´os k¨ot¨ott ´allapotok nem lehetnek elfajultak! ´ fel a Schr¨odinger egyenletet a k´et, azoSeg´ıts´ eg:. Alkalmazzon indirekt bizony´ıt´ast! Irja nos energi´aj´ u hull´amf¨ uggv´enyre, majd mindegyiket szorozza be balr´ol a m´asik hull´amf¨ uggv´ennyel! Az ´ıgy nyert egyenleteket egym´asb´ol kivonva egy teljes deriv´alt kifejez´eshez jutunk, mely azonosan z´erus. Felhaszn´alva, hogy a megold´asok x = ±∞–ben z´erushoz tartanak, most m´ar k¨onnyed´en bel´athatjuk, hogy a k´et hull´amf¨ uggv´eny csak egy konstans szorz´ofaktorban k¨ ul¨onb¨ozhet egym´ast´ol. 2.4. Feladat Oldjuk meg az id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger-egyenletet a v´egtelen m´ely potencialg¨ ´ od¨or eset´ere! ∞, ha x < 0 (2.79) V (x) = 0, ha 0 < x < L ∞, ha x > L 2.5. Feladat Keress¨ uk meg a V (x) =
0
| x |≥ a
−V0
| x |< a
potenci´alg¨od¨or (a > 0, V0 > 0) k¨ot¨ott ´allapotait (−V0 < E < 0)! Diszkut´aljuk a megold´asok parit´as´at valamint a v´egtelen m´ely g¨od¨or hat´aresetet! 2.6. Feladat Egydimenzi´os Dirac–delta potenci´al eset´en milyen hat´arfelt´etel szabhat´o ki a hull´amf¨ uggv´eny deriv´altj´ara? Hat´arozzuk meg egy vonz´o Dirac–delta potenci´al k¨ot¨ott allapot´anak energi´aj´at! ´ 2.7. Feladat Adjuk meg a H = saj´ at´allapotait ´es saj´atenergi´ait!
p2 2m
− Kδ(x − a) − Kδ(x + a) (K > 0) Hamiltonoper´ator
28
2.8. Feladat Adott a k¨ovetkez˝o egydimenzi´os ∞ −K δ (x) V (x) = ∞
potenci´al: ha x < −a ha |x| ≤ a ha x > a
,
ahol K > 0. Grafikus megold´assal adja meg a kialakul´o energiaszinteket! Mi a felt´etele annak, hogy l´etezzen E = 0 energi´aj´ u megold´as? 2.9. Feladat Hat´arozzuk meg az al´abbi Hamilton oper´ator k¨ot¨ott ´allapotait: H=
p2 − γδ(x − a) + V (x), 2m
(2.80)
ahol γ > 0, a > 0 ´es V (x) =
∞ ha 0 ha
x≤0 ! x>0
2.10. Feladat Mi a felt´etele annak, hogy a x<0 ∞ −V0 0≤x≤a V (x) = 0 a<x
(2.81)
(V0 > 0, a > 0) ,
potenci´alban l´etezzen legal´abb egy k¨ot¨ott ´allapot (V0 < E < 0) ? 2.11. Feladat Tekints¨ unk egy merev fal´ u egydimenzi´ogs potenci´aldobozba z´art r´eszecsk´et, 0 ha |x| < a (a > 0) V (x) = . (2.82) ∞ egy´ebk´ent A Hilbert t´er H = ψ ∈ L2 ([−a, a]) | ψ (a) = ψ (−a) = 0
(2.83)
´es a Hamilton oper´ator ~ 2 d2 . (2.84) 2m dx2 Legyen a r´eszecske ´allapot´at egy adott pillanatban le´ır´o norm´alt hull´amf¨ uggv´eny, ψ ∈ H : √ 15 ψ (x) = 5/2 a2 − x2 . (2.85) 4a H=−
Mivel H 2 ψ (x) =
~4 d4 ψ (x) =0, 4m2 dx4
(2.86)
fenn´all, hogy hψ| H 2 |ψi = 0 .
(2.87)
A fenti ´atlag´ert´ek viszont kisz´am´ıthat´o a H saj´atf¨ uggv´enyei szerinti kifejt´esen kereszt¨ ul is: Hϕn = En ϕn ,
π 2 ~2 2 En = n , 8ma2
πn 1 ϕn (x) = √ sin (x + a) 2a a
(n = 1, 2, . . .) , (2.88)
29
ψ=
∞ X
cn = hϕn | ψi ,
cn ϕn ,
2
hψ| H |ψi =
n=1
∞ X
|cn |2 En2 .
(2.89)
n=1 ∞ P
Mivel En2 > 0 ´es 0 ≤ |cn |2 < 1,
|cn |2 = 1, ez ut´obbi kifejez´es biztosan nagyobb z´erusn´al.
n=1
L´ assuk be, hogy
∞ X
|cn |2 En2 =
n=1
15~4 . 24m2 a2
(2.90)
Melyik a korrekt eredm´eny ´es honnan sz´armazik az ellentmond´as? 2.12. Feladat Tekints¨ uk a
p2 + V (r; a) 2m Hamilton oper´atort, ahol a egy folytonos param´eter. A saj´atenergi´ak ´es a norm´alt saj´atf¨ uggv´enyek term´eszetesen ugyancsak az a param´eter f¨ uggv´enyei: H(r; a) =
H(r; a)ψ(r; a) = E(a)ψ(r; a) . Bizony´ıtsa az u ´n. Hellmann-Feynman t´etelt: dE(a) = da
hψ(·; a)| ∂V∂a(·; a) |ψ(·; a)i
ahol bevezett¨ uk az f (·; a) : r → f (r; a) f¨ uggv´enyjel¨ol´est. 2.13. Feladat Adottak a H = p2 /2m+V (x) Hamilton oper´ator saj´atf¨ uggv´enyei: H |ni = En |ni (n ∈ N). A koordin´ata ´es impulzus oper´ator felcser´el´esi rel´aci´oja alapj´an nyilv´anval´ o, hogy hn| [x, p] |ni = i~ . A fenti ¨osszef¨ ugg´esben p = mx˙ behelyettes´ıt´essel ´es a (3.52) k´epletben szerepl˝o kvantummechanikai id˝oderiv´alt defin´ıci´oj´anak alkalmaz´as´aval igazolja, hogy X
(Ei − En ) |hn| x |ii|2 =
i
Seg´ıts´ eg:. A levezet´esn´el haszn´alja fel a
P
~2 2m
.
|mi hm| = I teljess´egi ¨osszef¨ ugg´est!
m
2.14. Feladat Kronig - Penney modell Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o potenci´alt: V (x) = −γ
∞ X
δ(x − ja) .
(2.91)
j=−∞
Hat´ arozzuk meg azokat az energia tartom´anyokat (s´avokat), ahol l´eteznek a modell saj´atallapotai! ´
30
Seg´ıts´ eg:. A i − 1-edik ´es i-edik Dirac-delta k¨oz¨otti tartom´anyokban keress¨ uk a hull´amf¨ uggv´enyt Ψi = Ai eαx + Bi e−αx alakban, ahol az i-edik Dirac-delta az a helyre volt koncentr´alva, α pedig az energia ´ert´ek´et˝ol f¨ ugg˝oen tiszt´an val´os vagy tiszt´an k´epzetes. A hull´ amf¨ uggv´enyre kir´ohat´o peremfelt´etelekb˝ol fejezz¨ uk ki az Ai+1 ´es Bi+1 egy¨ utthat´okat Ai Ai+1 T = (2.92) Bi Bi+1 alakban. Ezt k¨ ovet˝oen vizsg´ ljuk meg egy N delt´ab´ol ´all´o periodikus peremfelt´etelekkel a A A 0 0 rendelez˝o T N = l´anc T transzfer m´atrix´anak saj´at´ert´ekeit! B0 B0 2.15. Feladat Defini´aljuk a q 2 /2
Hn (q) = e
n d 2 q− e−q /2 dq
f¨ uggv´enyeket. a) Igazoljuk a k¨ ovetkez˝o rekurzi´os ¨osszef¨ ugg´eseket: Hn0 (q) = 2nHn−1 (q)
,
2qHn (q) = Hn+1 (q) + 2nHn−1 (q)
,
k¨ovetkez´esk´eppen Hn0 (q) = 2qHn (q) − Hn+1 (q) . b) A rekurzi´os rel´aci´ok alapj´an l´assuk be, hogy a fenti f¨ uggv´enyek a Hermite-f´ele polinomok, azaz 00 0 Hn (q) − 2qHn (q) + 2nHn (q) = 0 . Seg´ıts´ eg:. El˝osz¨or teljes indukci´oval bizony´ıtsuk, hogy n n n−1 d d d d , q− = q, q − =n q− , dq dq dq dq ahol haszn´aljuk fel az 1.1 megold´asban bizony´ıtott [A; BC] = B [A; C] + [A; B] C azonoss´ agot. 2.16. Feladat Adott a k¨ovetkez˝o egydimenzi´os potenci´al: ∞ ha x < 0 V (x) = 1 2 2 mω x ha x ≥ 0 2
.
Hat´ arozza meg az x b oper´ator v´arhat´o´ert´ek´et a rendszer alap´allapot´aban! Seg´ıts´ eg:. Haszn´aljuk a harmonikus oszcill´ator saj´atf¨ uggv´enyeit!
31
2.17. Feladat Egy h´aromdimenzi´os harmonikus oszcill´ator potenci´alja 1 V (x, y, z) = mω 2 x2 + y 2 + z 2 2
.
(2.93)
Oldjuk meg a Schr¨odinger egyenletet! H´anyszoros degener´alts´ag´ uak lesznek az egyes energiaszintek? 2.18. Feladat Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o k´etdimenzi´os harmonikus oszcill´ator spektrum´ at! p2y p2 1 (2.94) H= x + + mω 2 x2 + αxy + y 2 2m 2m 2 2.19. Feladat Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o potenci´alt: ( ∞, ha x < 0 V (x) = − Cx , ha x > 0
(2.95)
Vil´ agos, hogy x < 0 eset´en minden hull´amf¨ uggv´eny ´ert´eke 0. Az x > 0 tartom´anyban Sommerfeld polinom m´odszerrel hat´arozza meg a −
~2 d2 ψ(x) C − ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 x
Schr¨odinger egyenlet saj´atenergi´ait (C > 0, x > 0, E < 0)! Seg´ıts´ eg:. A megold´ast keresse ψ (x) = ψa (x)
∞ P
ci xi+s alakban, ahol ψa (x) az aszimp-
i=1
totikus megold´as ´es s az u ´n. indici´alis index. 2.20. Feladat Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o potenci´alt: ( ∞, ha x < 0 V (x) = − dx1 + xd22 , ha x > 0
(2.96)
Vil´ agos, hogy x < 0 eset´en minden hull´amf¨ uggv´eny ´ert´eke 0. Az x > 0 tartom´anyban hat´ arozzuk meg Sommerfeld polinom m´odszerrel a d1 d2 ~2 d2 ψ(x) − + − + 2 ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 x x Schr¨odinger egyenlet E saj´atenergi´ait (x > 0, d1 , d2 > 0)! Seg´ıts´ eg:. Az aszimptotikus megold´as megkeres´ese ut´an az u f¨ uggv´enyt vegye fel us (x) =
∞ X
bi xi+s
i=0
alakban. Behelyettes´ıt´es ut´an a legalacsonyabb rend˝ u x-hatv´any egy¨ utthat´oj´ab´ol hat´arozza meg s-t !)
32
2.21. Feladat A l´eptet˝o oper´atorok seg´ıts´eg´evel l´assuk be a 1 qHn (q) = nHn−1 (q) + Hn+1 (q) 2
(2.97)
osszef¨ ugg´est, ahol Hn (q) az n-edfok´ u Hermite polinom! ¨ 2.22. Feladat L´assuk be az oszcill´atorra vonatkoz´o viri´alt´etelt, hT in = hV in = En /2
!
(2.98)
2.23. Feladat L´assuk be k´etdimenzi´os harmonikus oszcill´atorra, hogy az Aij =
1 1 pi pj + mω 2 xi xj 2m 2
(2.99)
m´ atrixnak minden m´atrixeleme megmarad´o mennyis´eg! 2.24. Feladat Defini´aljuk a |αi =
∞ P
cn |ni ´allapotot u ´gy, hogy
n=0
a |αi = α |αi
(α ∈ C)
ahol |ni a line´aris harmonikus oszcill´ator n-ik saj´at´allapota ´es a az elt¨ untet˝o oper´ator. Ez a koherens ´allapotok egy defin´ıci´oja. a) Hat´arozza meg a cn egy¨ utthat´okat! Norm´al´as ut´an adja meg a hull´amf¨ uggv´eny alakj´at, majd ´ırja fel u ´gy, mint egy exponenci´alis oper´ator ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny hat´asa az alap´allapotra, |0i. i
b) A fenti ´allapotra t = 0 id˝opillanatban az id˝ofejleszt˝o e ~ Ht oper´atort hattatva l´assa be, hogy |α, ti tov´abbra is az a oper´ator saj´atf¨ uggv´enye marad α (t) = αe−iωt saj´at´ert´ekkel, ahol ω az oszcill´ator frekvenci´aja! A saj´atf¨ uggv´eny emelett felszed m´eg egy id˝of¨ ugg˝o f´azisfaktort is. c) L´assa be, hogy ebben az ´allapotban az energia v´arhat´o ´ert´eke 1 2 E = ~ω |α| + 2 d) L´assa be, hogy az |αi koherens ´allapotban a koordin´ata ´es impulzus hat´arozatlans´aga a lehet˝o legkisebb, ~ ∆x∆p = . 2 e) Hat´arozzuk meg az |α, ti koherens ´allapotot koordin´ata reprezent´aci´oban! Seg´ıts´ eg:. Haszn´aljuk az a) r´esz eredm´eny´et, illetve az 1.3. feladatban szerepl˝o Baker-Campbell-Haussdorff formul´at! f ) Mutassuk meg, hogy az a† felfel´e l´eptet˝o oper´atornak nem l´eteznek saj´at´allapotai a n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek ter´en! 33
2.2.2. Megold´ asok 2.1 Megold´ as El˝osz¨or viszg´aljuk meg a feladatot egydimenzi´oban. Fejts¨ uk Taylor sorba az f (x) f¨ uggv´enyt x k¨or¨ ul: ∞ X X j dj f f (x + X) = (2.100) j j! dx x j=0 Bevezethet¨ unk egy u ´j differenci´al oper´atort: ∞ ∞ X X d X j dj f X j dj = f (x) = e(X dx ) f (x) j j j! dx x j=0 j! dx j=0
(2.101)
Felhaszn´alva az impuzus oper´ator koordin´ata reprezent´aci´obeli alakj´at: pˆx =
~ d i dx
(2.102)
i
T (X) = e ~ X pˆx
(2.103)
Hasonl´oan vezethetj¨ uk le h´arom dimenzi´oban is az eltol´as oper´ator´at: i
T (R) = e ~ Rˆp
(2.104)
2.2 Megold´ as El˝osz¨or ´ırjuk fel egy vektor kicsiny ∆ϕ sz¨oggel t¨ort´en˝o infinitezim´alis elforgat´as´at n egys´egvektor k¨or¨ ul: r0 = r + ∆ϕn × r
(2.105)
Az R(∆ϕ, n)f (r) = f (R−1 (∆ϕ, n)r) transzform´aci´ot ∆ϕ-ben els˝o rendben a k¨ovetkez˝ok´eppem ´ırhatjuk fel: f (R−1 (∆ϕ, n)r) = f (r − ∆ϕn × r) = f (r) − ∆ϕn × r
∂f ∂r
(2.106)
Haszn´aljuk fel az impulzus oper´atort az infinitezim´alis forgat´as oper´ator´anak le´ır´as´ahoz: i −1 f (R (∆ϕ, n)r) = 1 − ∆ϕn(r × p) f (r) (2.107) ~ A fenti k´epletben felismerhetj¨ uk az impulzusmomentum L = r × p oper´ator´at, vagyis i −1 f (R (∆ϕ, n)r) = 1 − ∆ϕnL f (r) (2.108) ~ Egy tetsz˝olegesen nagy sz¨oggel t¨ort´en˝o elforgat´as eset´en osszuk fel a teljes forgat´as sz¨og´et m egyenl˝o kis darabra. A teljes forgat´ashoz m-szer kell alkalmznunk az el˝oz˝o k´epletet egy kicsiny ϕ/m sz¨oggel t¨ort´en˝o forgat´asra: m i i 1 ˆ O(ϕ, n) : f (r) = lim 1 − ϕnL f (r) = e− ~ ϕnL f (r) (2.109) m→∞ m ~
34
2.3 Megold´ as T´etelezz¨ uk fel, hogy egy adott energia saj´at´ert´ekhez k´et egym´ast´ol line´arisan f¨ uggetlen hull´amf¨ uggv´eny tartozik: φ001 =
2m (V − E) φ1 , ~2
φ002 =
2m (V − E) φ2 . ~2
(2.110)
Ebb˝ ol nyilv´anval´oan k¨ovetkezik, hogy φ001 φ2 − φ002 φ1 = (φ01 φ2 )0 − (φ02 φ1 )0 = 0 .
(2.111)
Az el˝oz˝o egyenlet integr´al´as´aval a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´est kapjuk: φ01 φ2 − φ02 φ1 = const.
(2.112)
A k¨ot¨ott ´allapotok hull´amf¨ uggv´enyei ´es azok deriv´altjai el kell, hogy t¨ unjenek a v´egtelenben, ez´ert az el˝oz˝o egyenletben szerepl˝o konstans nulla lesz, vagyis φ01 φ02 = . φ1 φ2
(2.113)
ln φ1 = ln φ2 + C ⇒ φ1 = Cφ2 .
(2.114)
Mindk´et oldalt integr´alva,
Ez az eredm´eny azonban ellentmond´asban van a hull´amf¨ uggv´enyek line´aris f¨ uggetlens´eg´evel, teh´at a kezdeti felt´etelez´es¨ unk hamis volt. 2.4 Megold´ as Az ´ertelez´esi tartom´anyt ´erdemes h´arom r´eszre osztani: I x<0
II 0<x
III L<x
Az I ´es III r´eszben v´egtelen a potenci´al, ´ıgy a (2.25) egyenlet bal oldal´an v´egtelen szerepel. A jobb oldalon v´etelennek kellene lennie emiatt az energi´anak, ami fizikailag nem ´ertelmes. A probl´ema felold´asa az, hogy az ´allapotf¨ uggv´eny azonosan 0, vagyis ψI (x) = ψIII (x) ≡ 0. ~2 d2 ψ(x) = Eψ(x) alakot ¨olti. A hat´arA II tartom´anyban a Schr¨odinger-egyenlet a − 2m dx2 felt´eteleket az ´allapotf¨ uggv´eny folytonoss´aga biztos´ıtja, vagyis ψI (0) = ψII (0) = 0, illetve ψII (L) = ψIII (L) = 0. A folytonoss´agi krit´erium el´egg´e l´egb˝olkapottnak t˝ unik ezen ponton, azonban k´epzelj¨ uk el azt az esetet, amikor a potenci´alfal nem v´egtelen magas, hanem csak valamilyen v´eges V0 ´ert´eket vesz fel a k´et oldalon. Ezt az esetet a k¨ovetkez˝o p´eld´aban fogjuk t´argyalni. Ekkor sehol sem jelennek meg v´egtelenek az egyenletben, teh´at ψ(x)-nek minden¨ utt j´ol kell viselkednie, ami itt a k´etszer deriv´alhat´os´agot jelenti. A 2.5. p´eld´aban l´ atni fogjuk, hogy ha ekkor vessz¨ uk a V0 → ∞ hat´aresetet, akkor az ´allapotf¨ uggv´eny folytonos marad. A kapott differenci´alegyenlet - konstansokt´ol eltekintve - az 1.12. p´elda! A ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) ansatz-b´ol a ψ(0) = 0 peremfelt´etel miatt csak a szinuszos tag marad. Ezt behelyettes´ıtve a Schr¨odinger-egyenletbe kapjuk, hogy A2
~2 k 2 sin2 (kx) = A2 E sin2 (kx) 2m 35
2 2
k A2 -tel egyszer˝ us´ıtve innen E = ~2m . A ψ(L) = 0 peremfelt´etel miatt k = nπ , vagyis k L ´ert´eke csak diszkr´et (kvant´alt) ´ert´ekeket vehet fel. Az A konstans ´ert´ek´et az ´allapotf¨ uggv´eny norm´alts´aga adja: r Z Z L L 2 nπ |ψ(x)|2 dx = A2 sin2 ( x)dx = A2 = 1, azaz A = L 2 L 0
Teh´ at az ´allapotf¨ uggv´enyek a r ψn (x) =
nπ 2 sin x L L
alakot ¨oltik, melyek a k¨ovetkez˝o ´abr´an l´athat´oak a jobb l´athat´os´ag kedv´e´ert a megfelel˝o energi´akkal eltolva.
2 2
~ π 2 k kvant´alts´aga miatt a ψn (x)-hez tartoz´o energia is csak a megfelel˝o En = 2mL ert´ekeket 2n ´ veheti fel. Vagyis ha ezen a rendszeren energiam´er´est v´egz¨ unk nem kaphatunk a r´eszecske energi´aj´ara b´armilyen ´ert´eket, csak bizonyos megengedett energiaszinteken u ¨lhetnek r´eszecsk´ek. Ez egy u ´jabb l´enyeges elt´er´es a klasszikus vil´aghoz k´epest, azonban ¨osszev´ag az atomok vonalas sz´ınk´ep´evel, ott is hasonl´o a helyzet. L´atszik teh´at az els˝ore bizony´ara furcs´ anak ´es ad hocnak t˝ un˝o m´asodik axi´oma motiv´aci´oja: A kvantumvil´agot le´ır´o modellnek biztos´ıtania kell, hogy az egyes fizikai mennyis´egek lehets´eges ´ert´ekei lehessenek diszkr´et vagy folytonosan v´altoz´o val´os sz´amok. A Hilbert-t´eren hat´o line´aris ¨onadjung´alt oper´atorok spektrum´anak azonos´ıt´asa a mennyis´egek m´erhet˝o ´ert´ekeivel ´eppen ezt a lehet˝os´eget biztos´ıtja!
2.5 Megold´ as Osszuk fel teret h´arom tartom´anyra az ´abr´anak megfelel˝oen. Az els˝o ´es harmadik tartom´anyban az id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger egyenlet alakja a k¨ovetkez˝o lesz: −
~2 dϕ = Eϕ(x) 2m dx2
Csak akkor kaphatunk lecseng˝o megold´asokat, azaz norm´alhat´o hull´amf¨ uggv´enyt, ha a sajatenergia negat´ıv. ´
36
Az I. tartom´anyban a hull´amf¨ uggv´eny ϕ(x) = Aeαx , a III. tartom´anyban ϕ(x) = De−αx , ahol r 2m|E| α= . (2.115) ~2 A II. tartom´anyban az id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger egyenletet a k¨ovetkez˝ok´eppen lehet fel´ırni: −
~2 dϕ = (E + V0 )ϕ(x) 2m dx2
A megold´asok alakja r ϕ(x) = B cos (kx) + C sin (kx) , ahol k =
2m(V0 − |E|) . ~2
α ´es k k¨oz¨ott egyszer˝ u ˝osszef¨ ugg´es ´all fenn: α2 + k 2 =
2mV0 . ~2
(2.116)
A tartom´anyok hat´arain a hull´amf¨ uggv´enyeknek ´es azok deriv´altjainak folytonosnak kell lenni¨ uk, hogy ϕ(x) k´etszer deriv´alhat´o legyen ´es betehess¨ uk a Schr¨odinger-egyenletbe:
I/II tartom´any hat´ara
II/III tartom´any hat´ara
Ae−αa = B cos (ka) − C sin (ka) Ae−αa = B cos (ka) − C sin (ka)
Ae−αa = B cos (ka) − C sin (ka) Ae−αa = B cos (ka) − C sin (ka)
Adjuk ¨ossze ´es vonjuk ki egym´asb´ol az egym´as melletti egyenleteket:
(A + D)e−αa = 2B cos (ka) (A − D)e−αa = −2C sin (ka)
α(A + D)e−αa = 2kB sin (ka) α(A − D)e−αa = 2kC cos (ka) 37
(2.117) (2.118)
Az amplit´ ud´okat elt¨ untethetj¨ uk, ha elosztjuk egym´assal az egyenleteket:
α = k tan(ka)
(2.119)
α = −k cot(ka)
(2.120)
2.1. a´bra. Az ka tan(ka) (fekete folytonos vonal) ´es −ka cot(ka) (z¨old szaggatott vonal) f¨ uggv´enyek, valamint a 2.116. sz´am´ u egyenlet ´altal adott k¨or (k´ek szaggatott vonal). A 2.1. sz´am´ u ´abr´ar´ol leolvashat´o, hogy a (2.119) ´es (2.120) egyenletek nem el´eg´ıthet˝oek ki egyszerre, viszont a (2.117) ´es (2.118) egyenleteknek teljes¨ ulnie kell. Bontsuk k´et r´eszre a lehets´eges megold´asokat: ha a (2.119) teljes¨ ul akkor a (2.118) sz´am´ u egyenletek csak akkor el´eg¨ ulhetnek ki, ha A = D ´es C = 0. Ha a m´asik, (2.120) sz´am´ u egyenlet teljes¨ ul, akkor A = −D ´es B = 0. Vizsg´aljuk meg a k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o t´ıpus´ u megold´as szimmetria tulajdons´agait: a.) αa = ka tan(ka) , Aeαx B cos (kx) ϕ(x) = Ae−αx
A = D ´es C = 0 . ha x ≤ −a ha − a ≤ x ≤ a ha x ≤ a
Az ebbe az oszt´alyba tartoz´o hull´amf¨ uggv´enyek p´arosak lesznek. Az energi´at a 2.1. ´abr´ar´ol olvashatjuk le az (2.116) egyenlet ´altal meghat´arozott k¨or ´es a ka tan(ka) f¨ uggv´eny metsz´espontjaiban. b.) αa = −ka cot(ka) , 38
A = −D ´es B = 0 .
ha x ≤ −a Aeαx C sin (kx) ha − a ≤ x ≤ a ϕ(x) = −Ae−αx ha x ≤ a Az ebbe az oszt´alyba tartoz´o hull´amf¨ uggv´enyek p´aratlanok lesznek. Az energi´at a 2.1. a´br´ar´ol olvashatjuk le az 2.116 egyenlet ´altal meghat´arozott k¨or ´es a −ka cot(ka) f¨ uggv´eny metsz´espontjaiban. A 2.1. ´abr´ar´ol mleolvashatjuk a megold´asok sz´am´at is (ahol bxc az x als´o eg´eszr´esz´et jel¨ oli): % $ r 2a 2mV0 +1. n= π ~2 Megjegyz´es: A potenci´al ´es a Hamilton oper´ator invari´ans a t¨ ukr¨oz´essel szemben, ami matematikailag azt jelenti, hogy a Hamilton-oper´ator ´es a t¨ ukr¨oz´es oper´atora kommut´al. Az 1.17. t´etel alapj´an ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a t¨ ukr¨oz´es oper´ator´anak ´es a Hamilton oper´ atornak k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´eny rendszere van. A t¨ ukr¨oz´es oper´ator´anak a saj´at´ert´ekei 1 ´es -1 lehetnek, vagyis az id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger egyenlet megold´asai is vagy nem v´altanak el˝ ojelet vagy el˝ojelet v´altanak a t¨ ukr¨oz´es hat´as´ara. V´ egtelen m´ ely potenci´ al g¨ od¨ or hat´ aresete: Ha V0 → ∞, akkor az 2.1. ´abr´an a tangens ´es minusz kotangens f¨ uggv´enyek f¨ ugg˝oleges vonalakk´a v´alnak. A k¨or sugara tart a v´egtelenhez, vagyis megfelel˝o magass´agban v´ızszintesen metszi a tangens, minusz kotangens f¨ uggv´enyeket. A metsz´espontok ny´ılv´anval´oan a ka = nπ/2 ´ert´ekekn´el π . A 2.4. p´eld´aban el˝oreutaltunk, hogy a hat´aron az ´allalesznek, vagyis kn = n 2a potf¨ uggv´eny 0-hoz tart, n´ezz¨ uk meg most ezt! D 6= 0, C = 0 esetben, ha V0 → ∞, akkor az ´allapotf¨ uggv´eny a hat´aron ϕ(a) = B cos ka → B cos π/2 = 0. Hasonl´o k¨ovetkezik a p´aratlan megold´asokb´ol is, vagyis ezzel igazoltuk a 2.4. p´eld´aban felhaszn´alt peremfelt´etelt az I-II illetve II-III tartom´any hat´ar´an. A megold´as a = 3 sz´eless´eg, ´es v´altoz´o V0 mellett itt l´athat´o, az ´allapotf¨ uggv´enyek a jobb l´athat´os´ag kedv´e´ert el vannak tolva f¨ ugg˝olegesen a megfelel˝o energia ´ert´ek´evel. V0 emel´es´evel egyre t¨obb q ´allapot jelenik meg, melyek exponenci´alis lev´ag´asa egyre er˝osebb, ahogy V0 n˝o k =
2m(V0 −|E|) ~2
miatt.
Dirac-delta potenci´ al: Tartsunk a potenci´al 2a sz´eless´eg´evel null´ahoz u ´gy, hogy a potenci´al magass´ag´anak ´es a sz´eless´eg´enek a szorzata maradjon ´alland´o: 2V0 a = γ. Vizsg´aljuk meg, hogyan viselkedik a ka szorzat: r V →∞ r 2m(V0 − |E|) 0a→0 amγ ≈ . (2.121) ka = a 2 ~ ~2 Teh´at a ka szorzat is tart null´ahoz. Az 2.1 ´abr´ar´ol leolvashatjuk, hogy csak egy metsz´espontunk lesz, vagyis csak egy k¨ot¨ott ´allapotot kapunk. Fejts¨ uk sorba a tangens f¨ uggv´enyt a (2.119) egyenletben: αa = (ka)2 =
amγ ~2
⇒
α=
amely m´ar f¨ uggetlen a potenci´al g¨od¨ or sz´eless´eg´et˝ol. 39
mγ , ~2
2.6 Megold´ as Legyen az id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger egyenletnek a k¨ovetkez˝o alakja: −
~2 d2 ϕ(x) − γδ(x)ϕ(x) = Eϕ(x) 2m dx2
Integr´aljuk az egyenlet mink´et oldal´at egy kicsiny −ε ´ert´ekt˝ol ε-ig: Z ε Z ε ~2 d2 ϕ(x) Eϕ(x)dx . − − γδ(x)ϕ(x) dx = 2m dx2 −ε −ε Felt´etelezhetj¨ uk, hogy a saj´atenergia v´eges, ez´ert ha az ε mennyis´egekkel tartunk null´ahoz, akkor a jobb oldal elt¨ unik: ~2 dϕ(+0) dϕ(−0) − = γϕ(0) , − 2m dx dx teh´ at a hull´amf¨ uggv´eny deriv´altj´anak a Dirac-delta hely´en ugr´asa van: dϕ(+0) dϕ(−0) 2mγ − = − 2 ϕ(0) . dx dx ~
(2.122)
A Dirac-delta jobb- ´es baloldal´an lecseng˝o megold´asoknak kell lennni¨ uk: Aeαx ha x ≤ 0 ϕ(x) = Ae−αx ha x ≥ 0 Haszn´aljuk ki a hull´amf¨ uggv´eny deriv´altjaira vonatkoz´o (2.122) felt´etelt: −Aα − Aα = − ahonnan α =
mγ ~2
2mγ A, ~2
ad´odik, megegyez˝oen a 2.5. feladat utols´o pontj´anak a megold´as´aval.
2.7 Megold´ as A Hamilton oper´ator invari´ans a t¨ ukr¨oz´essel szemben, ez´ert a saj´at´allapotokat feloszthatjuk p´aros ´es p´aratlan hull´amf¨ uggv´enyekre. Osszuk fel a teret h´arom tartom´anyra: x ≤ −a αx
A hull´amf¨ uggv´eny alakja: ϕ(x) = Ae , ahol α =
q
2m|E| . ~2
−a ≤ x ≤ a A hull´amf¨ uggv´eny alakja p´aros esetben: ϕ(x) = B cosh(αx), p´aratlan esetben ϕ(x) = B sinh(αx). x≥a A hull´amf¨ uggv´eny alakja p´aros esetben: ϕ(x) = Ae−αx , p´aratlan esetben ϕ(x) = −Ae−αx .
P´ aros megold´ as: Miut´an a hull´amf¨ uggv´eny alakj´aban kihaszn´altuk a t¨ ukr¨oz´esi szimmetri´at, elegend˝o
40
a hat´arfelt´eteleket csak az egyik Dirac-delta hely´en kir´oni, ekkor a m´asik Dirac-delta hely´en a h´atrfelt´etelek automatikusan teljes¨ ulnek: Ae−αa = B cosh(αa) −
2m KAe−αa = −Bα sinh(αa) − Aαe−αa 2 ~
Felhaszn´alva az els˝o egyenletet a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´est kapjuk: 2m K = α [tanh(αa) + 1] ~2 Kifejezve a tanh(x) f¨ uggv´enyt exponenci´alis f¨ uggv´enyekkel az el˝oz˝o egyenletet az al´abbi alakra hozhatjuk: αa = aα0 1 + e−2αa ,
α0 =
m K ~2
(2.123)
A (2.123) egyenlet grafikus megold´ asa aα0 = 1 eset´en.
P´ aratlan megold´ as: A hat´arfelt´etelek a baloldali Dirac-delta hely´en: Ae−αa = −B sinh(αa) −
2m KAe−αa = Bα cosh(αa) − Aαe−αa ~2
A p´aros megold´ashoz hasonl´oan a k¨ovetkez˝o felt´etelb˝ol hat´arozhatjuk meg az energi´at: αa = α0 a 1 − e−2αa (2.124)
41
A 2.124. sz´ am´ u egyenlet grafikus megold´ asa aα0 = 1 eset´en.
Az ´abr´ar´ol leolvashat´o, hogy ha a (2.124) egyenlet meredeks´ege a nulla pontban kicsi, akkor a p´aratlan k¨ot¨ott ´allapot nem l´etezik: 2α0 a > 1. 2.8 Megold´ as Negat´ıv energi´ as k¨ ot¨ ott ´ allapot: E < 0 Ebben az esetben csak p´aros megold´as l´etezhet. r 2m|E| α= ~2
(2.125)
Vezess¨ uk be az el˝oz˝o p´eld´ahoz hasonl´oan az α0 param´etert: α0 = ~m2 K. A hull´amf¨ uggv´enynek −a-ban ´es a-ban el kell t¨ unnie ´es ki kell el´eg´ıtenie a szabad Schr¨odinger egyenletet: ha |x| ≥ a 0 A sinh(α(a + x)) ha − a ≤ x ≤ 0 ϕ(x) = (2.126) A sinh(α(a − x)) ha 0 ≤ x ≤ a A Dirac-delta hely´en kir´ova a hat´arfelt´etelt a k¨ovetkez˝o egyenletet kapjuk: −2Aα cosh(αa) = 2α0 A sinh(αx) vagy αa = α0 a tanh(αa) A fenti egyenletnek csak akkor van megold´asa, ha a tanh(x) f¨ uggv´eny meredeks´ege az orig´oban nagyobb, mint 1/(α0 a), vagyis α0 a > 1. Pozit´ıv energi´ as k¨ ot¨ ott ´ allapot: E > 0 A v´egtelen magas potenci´al g¨od¨or p´aratlan megold´asi v´altozatlanok maradnak, r´ajuk nincs hat´assal a Dirac-delta qpotenci´al. A p´aros megold´asokat az el˝oz˝o esethez
, a hull´amf¨ uggv´enyben pedig sin (kx) f¨ uggv´eny hasonl´oan ´all´ıthatjuk el˝o: k = 2mE ~2 szerepel sinh(αx) helyett: ha |x| ≥ a 0 A sin (α(a + x)) ha − a ≤ x ≤ 0 ϕ(x) = (2.127) A sin (α(a − x)) ha 0 ≤ x ≤ a 42
Kihaszn´alva a Dirac-delta potenci´alra kir´ott hat´arfelt´eteleket a k¨ovetkez˝o egyenletet kapjuk: ka = α0 a tan (ka) (2.128) Az megold´ashoz tartoz´o ´abr´ar´ol leolvashatjuk, hogy v´egtelen sok megold´asunk van ´es a saj´atenergi´ak egyre kev´esb´e tol´odnak el a v´egtelen potenci´alg¨od¨or saj´atenergi´aihoz k´epest az egyre magasabb gerjesztett ´allapotok eset´en.
A v´egtelen magas potenci´ al g¨ od¨ orbe helyezett vonz´ o Dirac-delta potenci´ al pozit´ıv energi´ as grafikus megold´ asai aα0 = 1 eset´en.
Line´ aris ´ allapot: E = 0 Miut´an a hull´amf¨ uggv´eny¨ unk kompakt tart´oj´ u, kereshetj¨ uk a megold´ast line´aris polinom alakban is, hiszen ennek m´asodik deriv´altja nyilv´anval´oan elt¨ unik: ha |x| ≥ a 0 A(a + x) ha − a ≤ x ≤ 0 ϕ(x) = (2.129) A(a − x) ha 0 ≤ x ≤ a A hat´arfelt´etel az orig´oban a k¨ovetzkez˝o lesz: − 2A = −2α0 Aa
(2.130)
teh´at α0 a = 1 eset´en lehets´eges nulla energi´aj´ u, line´aris hull´amf¨ uggv´eny. 2.9 Megold´ as A hull´amf¨ uggv´eny alakja a k¨ ul¨onb¨oz˝o tartom´anyokban a k¨ovetkez˝o alak´ u lesz: ha x ≤ 0 0 A sinh(αx) ha 0 ≤ x ≤ a ϕ(x) = (2.131) −αx Ae ha x ≥ a Ez az alak megegyezik a 2.7.. feladat p´aratlan saj´at´allapot´anak az alakj´aval a pozit´ıv tartom´ anyban, a negat´ıv tartom´anyban mag´at´ol ´ertet˝od˝oen nulla. A Dirac-delt´ara vonatkoz´o hat´ arfelt´etelek is megegyeznek a k´et esetben, teh´at a saj´atenergi´at a k¨ovetkez˝o felt´etelb˝ol hat´ arozhatjuk meg: αa = α0 a 1 − e−2αa . (2.132) 43
Ez a k¨ot¨ott ´allapot is csak a 2α0 a > 1 felt´etel teljes¨ ul´ese eset´en l´etezik, hasonl´oan a 2.7. feladat p´aratlan megold´as´ahoz. 2.10 Megold´ as A 2.5. feladat p´aratlan megold´as´ahoz hasonl´oan a hull´amf¨ uggv´eny alakja a k¨ ovetkez˝o lesz: , ha x ≤ 0 0 A sin (kx) , ha 0 ≤ x ≤ a ϕ(x) = Be−αx , ha x ≥ a ahol
r
r 2m(V0 − |E| 2m|E| k= , α= . (2.133) 2 ~ ~2 A hat´arfelt´etelek ugyanazt az egyenletet eredm´enyezik mint amit a 2.5.. feladat p´aratlan megold´asira kaptunk: αa = −ka cot (ka) (2.134) A 2.5. feladat 2.1 ´abr´aj´ar´ol l´athat´o, hogy a (2.116) egyenlet ´altal defini´alt k¨orrel csak akkor van metsz´espontja az el˝oz˝o egyenletnek, ha a k¨or sugara nagyobb mint π/2: r π ~2 π 2 2mV0 > ⇒ V > (2.135) a 0 ~2 2 8ma2 2.11 Megold´ as √ Z a h πn i 15 2 2 cn = hϕn | ψi = sin (x + a) a − x dx 4a3 −a 2a √ Z √ Z 2a πn 2 15 πn 15 sin x x (2a − x) dx = 3 3 sin (t) t (πn − t) dt = 4a3 0 2a π n 0 √ Z πn Z πn 2 15 2 = 3 3 πn sin (t) t dt sin (t) t dt − π n 0 0 √ 2 πn 2 15 = 3 3 πn [sin t − t cos t]πn 0 − −t cos t + 2 cos t + 2t sin t 0 π√n πn 2 15 = 3 3 − (πn)2 (−1)n + −t2 cos t + 2 cos t + 2t sin t 0 π√n 4 15 = 3 3 (1 − (−1)n ) (2.136) π n Innen |cn |2 =
240 480 240 2 (1 − (−1)n ) = 6 6 (2 − 2 (−1)n ) = 6 6 (1 − (−1)n ) 6 6 π n π n π n ! ∞ X 480 1 31 |cn |2 = 6 π6 + π6 = 1 π 945 30 240 n=1 15~4 1 (1 − (−1)n ) 2π 2 m2 a4 n2 2 ∞ X π π2 15~4 15~4 2 2 − = . |cn | En = 2 2 4 2π m a 6 12 24m2 a4 n=1 |cn |2 En2 =
44
(2.137)
(2.138) (2.139)
Ahhoz, hogy bel´assuk, hogy a fenti eredm´eny a helyes, t´erj¨ unk vissza az L2 (R) Hilbertt´erhez ´es defini´aljuk a ψ f¨ uggv´enyt, mint √ 15 ψ (x) = 5/2 a2 − x2 (Θ (x + a) − Θ (x − a)) , 4a ahol Θ a l´epcs˝of¨ uggv´eny. Innen √ 15 0 ψ (x) = − 5/2 x (Θ (x + a) − Θ (x − a)) , 2a √ 15 ψ (x) = − 5/2 (Θ (x + a) − Θ (x − a)) √2a 15 + 3/2 (δ (x + a) + δ (x − a)) , 2a
(2.140)
(2.141)
00
(2.142)
ahol δ a Dirac-delta disztrib´ uci´o, √ 15 ψ 000 (x) = − 5/2 (δ (x + a) − δ (x − a)) √a 15 + 3/2 (δ 0 (x + a) + δ 0 (x − a)) , 2a
(2.143)
´es √
ψ
0000
15 (x) = − 5/2 (δ 0 (x + a) − δ 0 (x − a)) √a 15 + 3/2 (δ 00 (x + a) + δ 00 (x − a)) . 2a
(2.144)
Mivel Z
∞
Z −∞ ∞
δ 0 (x − a) f (x) = −f 0 (a) ,
(2.145)
δ 00 (x − a) f (x) = f 00 (a) ,
(2.146)
−∞
√
√ 15 ~4 15 ~4 0 0 hψ| H |ψi = 5/2 [ψ (a) − ψ (−a)] + [ψ 00 (+a) + ψ 00 (−a)] 2 3/2 2 a 4m 2a 4m √ √ ! 4 4 15 ~ 15 15 ~ = 4 + 3/2 − 5/2 2 2 a 4m 2a 4m a 2
=
15~4 8m2 a4
(2.147)
2.12 Megold´ as Hat´arozzuk meg az energia param´eter szerinti deriv´altj´at: dE d dϕ dϕ dH = hϕ|H|ϕi = + ϕ H ϕ + ϕ H ϕ da da da da da 45
(2.148)
Az els˝o k´et tagban haszn´aljuk ki, hogy |ϕi saj´at´allapota a Hamilton oper´atornak E saj´atenergi´aval: dϕ dϕ d dϕ dϕ =E = E hϕ|ϕi = 0 (2.149) H ϕ + ϕ H ϕ + ϕ da da da da da Mivel a hull´amf¨ uggv´eny norm´alt, az el˝oz˝o egyenlet utols´o tagja elt¨ unik. Vissza´ırva ezt az energia deriv´altj´aba dV dE dH = ϕ (2.150) ϕ = ϕ ϕ da da da 2.13 Megold´ as Alkalmazzuk a (3.52) k´epletben szerepl˝o kvantummechanikai id˝oderiv´altat az x oper´atorra: ~ [H, x] = x˙ (2.151) i ´es helyettes´ıts¨ uk be az [x, p] kommut´atorba: i i i m hn|[x, [H, x]]|ni = m hn|x[H, x]|ni − m hn|[H, x]x|ni ~ ~ ~ iX = m (hn|x|kihk|[H, x]|ni − hn|[H, x]|kihk|x|ni) = i~ ~ k Fejts¨ uk ki a fenti k´epletben szerepl˝o kommut´atorokat: hn|[H, x]|ki = hn|Hx|ki − hn|xH|ki = (En − Ek )hn|x|ki , ´es helyettes´ıts¨ uk be az eredeti k´epletbe: iX i 2(Ek − En )hn|x|kihk|x|ni = i~ . m hn|[x, [H, x]]|ni = m ~ ~ k Innen
X ~2 (Ek − En )hn|x|kihk|x|ni = . 2m k
(2.152)
(2.153)
(2.154)
2.14 Megold´ as A 2.91 sz´am´ u potenci´alban a −γδ(x − a) potenci´al ism´etl˝odik periodikusan:
46
Tekints¨ uk a negat´ıv energi´as tartom´anyt! Az I-es ´es a II-es tartom´anyban a hull´amf¨ uggv´eny alakja a k¨ovetkez˝o: ϕI (x) = A1 eαx + B1 e−αx ϕII (x) = A2 eα(x−a) + B2 e−α(x−a) , ahol α = nie:
q
2m ~2
(2.155) (2.156)
| E |. A Dirac-delta potenci´al hely´en a k¨ovetkez˝o felt´eteleknek kell teljes¨ ulϕI (a) = ϕII (a) , ϕ0II (a) − ϕ0I (a) = −
2m γϕI (a) . ~2
(2.157)
Ha az el˝oz˝o felt´etelekbe behelyettes´ıtj¨ uk a (2.155)-(2.156) sz´am´ u hull´amf¨ uggv´enyeket, a k¨ ovetkez˝o egyenleteket kapjuk: A1 eαa + B1 e−αa = A2 + B2 αA2 − αB2 − αA1 eαa + αB1 e−αa
(2.158) 2m = − 2 γ(A1 eαa + B1 e−αa ) ~
(2.159)
Egy oldalra rendezve az I-es ´es II-es tartom´anyokhoz tartoz´o amplit´ ud´okat ´ırjuk ´at az el˝ oz˝ o egyenleteket: A1 eαa + B1 e−αa = A2 + B2 2m γ 2m γ αa e A1 − 1 + 2 e−αa B1 = A2 − B2 1− 2 ~ α ~ α ´ Irjuk fel m´atrix alakban az el˝oz˝o egyenleteket: eαa e−αa A1 1 1 A2 = γ γ B1 1 −1 B2 1 − 2m eαa − 1 + 2m e−αa ~2 α ~2 α
(2.160) (2.161)
(2.162)
A jobboldalon l´ev˝o m´atrix inverz´evel beszorozva mindk´et oldalt a k¨ovetkez˝o alakra hozhatjuk az el˝oz˝o egyenletet: 1 1 1 eαa e−αa A2 A1 = (2.163) γ γ B2 B1 1 − 2m eαa − 1 + 2m e−αa 2 1 −1 ~2 α ~2 α
mγ eαa ~2 α m γ αa e ~2 α
1−
− ~m2 αγ e−αa 1 + ~m2 αγ e−αa
A1 B1
=
A2 B2
(2.164)
Az egyenlet bal oldal´an ´all´o m´atrixot transzfer m´atrixnak h´ıvjuk. Seg´ıts´eg´evel a i-dik tartom´ any amplit´ ud´oib´ol megkaphatjuk a k¨ovetkez˝o tartom´any amplit´ ud´oit: Ai Ai+1 T = (2.165) Bi Bi+1 Ha egy N cell´ab´ol ´all´o l´ancunk van peri´odikus hat´arfelt´etellel, akkor TN x0 = x0 ,
(2.166)
ahol xi az (Ai , Bi ) amplit´ ud´okb´ol ´all´o vektor. Vizsg´aljuk meg a T transzfer m´atrix n´eh´any tulajdons´ag´at! A (2.166) sz´am´ u hat´arfelt´etel eset´en a transzfer m´atrix saj´at´ert´ekeinek 47
nyilv´anval´oan egys´eggy¨ok¨oknek kell lennie: λ1 = eiϕ , λ2 = e−iϕ ´es Tr{T} = 2 cos (ϕ) ≤ 2. K¨ onnyen ellen˝orizhetj¨ uk emellett, hogy a determin´ansa egys´egnyi, vagyis a m´atrix unit´er. Ebb˝ ol a felt´etelb˝ol egyszer˝ uen meghat´arozhatjuk azt az energia tartom´anyt - energia s´avot - ahol a peri´odikus hat´arfelt´etel teljes¨ ul: m γ −αa mγ m γ αa e + 1+ 2 e = 2ch(αa) − 2 2 sh(αa) ≤ 2 (2.167) Tr{T} = 1 − 2 ~ α ~ α ~ α m γ αa αa 2 αa sh ch ≥ sh (2.168) ~2 α 2 2 2 mγ αa (2.169) a ≥ αa tanh 2 ~ 2 Pozit´ıv energi´akra a 2.155 sz´am´ u hull´amf¨ uggv´enyben α hely´ere a tiszt´an k´epzetes ik hull´ amsz´am ker¨ ul, ´ıgy a 2.169 felt´etel a k¨ovetkez˝ok´eppen m´odosul: mγ ka (2.170) a ≤ ka tan 2 ~ 2 2.15 Megold´ as A feladat megold´as´ahoz el˝osz¨or sz¨ uks´eg¨ unk lesz a seg´ıts´egben megadott azonoss´agok bel´at´as´ara, melyek k¨oz¨ ul az els˝ot ´ırjuk le, a m´asodik hasonl´oan bel´athat´o. A bizony´ıt´ashoz teljes indukci´ot haszn´alunk: d d n=1: ; q− =I dq dq d d d d d Biz. : ; q− ;q − ; f= f= dq dq dq dq dq d df d ; q f = (qf ) − q = f + qf 0 − qf 0 = f dq dq dq " n+1 # n d d d d d n⇒n+1: ; q− ; q− = q− = dq dq dq dq dq n n d d d d d d ; q− ; q− q− + q− = dq dq dq dq dq dq n−1 n n d d d d q− + q− = (n + 1) q − n q− dq dq dq dq a) Az els˝o ´all´ıt´as bizony´at´as´ahoz deriv´aljunk bele az Hermite-f¨ uggv´eny defin´ıci´oj´aba: 2 n n 2 q q2 d q2 d d d 0 − q2 2 2 Hn (q) = e q− e = qHn (q) + e q− e− 2 = dq dq dq dq ! n n−1 q2 q2 d d − q2 d = qHn (q) + e 2 q− e 2 +n q− e− 2 = dq dq dq n q2 q2 d = qHn (q) + nHn−1 (q) − e 2 q − qe− 2 = dq n−1 n 2 q2 q2 q2 d d − q2 2 2 = qHn (q) + nHn−1 (q) + e n q − e −e q q− e− 2 = dq dq n (q) + nHn−1 (q) + nHn−1 (q) − n (q) = 2nHn−1 (q) = qH qH 48
Ezzel az els˝o ´all´ıt´ast bel´attuk. Tekints¨ uk most a m´asodikat: n n−1 q2 q2 q2 q2 d d d − Hn (q) = e 2 q − q− e− 2 = e 2 =e2 q− dq dq dq n−1 n−1 q2 q2 q2 q2 q2 d d − − qe 2 + qe 2 = 2e 2 q − qe− 2 = = e2 q− dq dq " # n−1 n−2 q2 q2 d d = 2e 2 q q − − (n − 1) q − e− 2 = dq dq = 2qHn−1 (q) − 2(n − 1)Hn−2 (q) ´ Atrendezve, illetve eggyel eltolva a sorsz´amoz´ast megkapjuk a m´asodik egyenletet: 2qHn (q) = Hn+1 (q) + 2nHn−1 (q)
(2.171)
b) A bizony´ıtott k´et ´all´ıt´as jobb oldalainak ¨osszevet´es´eb˝ol kapott egyenletet fel´ırva, ebbe u ´jra belederiv´alva, majd felhaszn´alva az els˝o ´all´ıt´ast, v´eg¨ ul ´atrendezve:: Hn0 (q) = 2qHn (q) − Hn+1 (q) 0 Hn00 (q) = 2Hn (q) + 2qHn0 (q) − Hn+1 (q) 00 0 Hn (q) = 2Hn (q) + 2qHn (q) − 2(n + 1)Hn (q) Hn00 (q) − 2qHn0 (q) + 2nHn (q) = 0
(2.172) (2.173) (2.174) (2.175)
2.16 Megold´ as Mivel x < 0-ra V (x) = ∞, ψ(0) = 0 peremfelt´etelnek teljes¨ ulnie kell. x > 0-ra a Hamilton oper´ator egy harmonikus oszcill´ator Hamiltonij´aval egyezik meg, ´ıgy a Schr¨odinger-egyenletnek megold´asa lesz x > 0 eset´en a harmonikus oszcill´ator minden olyan hull´amf¨ uggv´enye, ami tudja a peremfelt´etelt. Mivel az Hermite-polinomok tiszt´an p´ aros vagy tiszt´an p´aratlan hatv´anyokb´ol ´allnak, a harmonikus oszcill´ator p´aratlan sorsz´ am´ u megold´asai kiel´eg´ıtik a peremfelt´etelt. A norm´al´asra figyeln¨ unk kell m´eg, ugyanis most a [0−∞) k¨ozti integr´alnak kell√ egys´egnyinek lennie. Ez az Hermite-f¨ uggv´enyek szim´ a Schr¨odinger metri´aja miatt azt jelenti, hogy Nn / 2 lesz a megfelel˝o norm´al´ofaktor. Igy egyenlet megold´asai: − x2 N√ x 2k+1 2x2 0 , ha x > 0 H 2k+1 x0 e 2 (2.176) ψk (x) = 0, ha x < 0 1 Ek = ~ω 2k + 1 + , k = 0, 1, 2, . . . (2.177) 2 A rendszer alap´allapota teh´at: ψ0 (x) =
√ N1
H 2 1
x x0
−
e
x2 2x2 0
0, ha x < 0 3 E0 = ~ω 2
49
, ha x > 0
(2.178) (2.179)
´ az x oper´ator v´arhat´o ´ert´eke: Igy Z∞ hxi0 =
N12 xH1 2
x x0
2
Z∞
2
− x2
e
x0
dx =
0
x20 √ = 4x0 π
x20
N12 2 qH1 (q)2 e−q dq = 2
0
Z∞
3 −q 2
4q e
x0 1 = dq = √ π2
r
~ 4mωπ
0
2.17 Megold´ as A Hamilton-oper´ator felbonthat´o h´arom f¨ uggetlen harmonikus oszcill´ator osszeg´ere: ¨ ~2 ∂ 2 ~2 ∂ 2 ~2 ∂ 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 H= − + mω x + − + mω y + − + mω z 2m ∂x2 2 2m ∂y 2 2 2m ∂z 2 2 (2.180) Keress¨ uk a hull´amf¨ uggv´enyt ψ(x, y, z) = A(x)B(y)C(z) alakban, ekkor ~2 ∂ 2 A(x) 1 2 2 Hψ(x, y, z) = − + mω x A(x) B(y)C(z) + 2m ∂x2 2 2 2 ~ ∂ B(y) 1 2 2 + − + mω y B(y) A(x)C(z) + 2m ∂y 2 2 2 2 ~ ∂ C(z) 1 2 2 + mω z C(z) A(x)B(y) = Eψ(x, y, z) + − 2m ∂z 2 2 Elosztva mindk´et oldalt ψ(x, y, z)-vel: 1 1 ~2 ∂ 2 A(x) 1 2 2 + mω x + − B(y)C(z) A(x) 2m ∂x2 2 2 2 1 1 ~ ∂ B(y) 1 2 2 + + mω y + − A(x)C(z) B(y) 2m ∂y 2 2 2 2 1 1 ~ ∂ C(z) 1 2 2 + mω z = E + − A(x)B(y) C(z) 2m ∂z 2 2 B´ armely x, y, z ´ert´ekre ez u ´gy teljes¨ ulhet csak, ha a fenti kifejez´es minden z´ar´ojelben l´ev˝o tagja konstans, innen: ~2 ∂ 2 1 2 2 − + mω x A(x) = Ex A(x) (2.181) 2m ∂x2 2 ~2 ∂ 2 1 2 2 − + mω y B(y) = Ey B(y) (2.182) 2m ∂y 2 2 ~2 ∂ 2 1 2 2 − + mω z C(z) = Ez C(z) (2.183) 2m ∂z 2 2 Ex + Ey + Ez = E (2.184) Teh´ at mindh´arom ir´anyban mostm´ar egy-egy k¨ ul¨on´all´o harmonikus oszcill´atorral van dol´ gunk, melynek ismerj¨ uk a megold´as´at. Igy x2 +y2 +z2 − y z x 2x2 0 Hny Hnz e (2.185) ψnx ,ny ,nz (x, y, z) = Nnx Nny Nnz Hnx x0 x0 x0 50
Enx ,ny ,nz
3 , ahol nx , ny , nz = 0, 1, 2, . . . = ~ω nx + ny + nz + 2
(2.186)
Vil´ agos, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o (nx , ny , nz ) kombin´aci´ok kiadhathatj´ak ugyan azt az energi´at, ha az ¨ osszeg¨ uk azonos. N´ezz¨ uk meg, hogy h´anyszorosan degener´altak teh´at az egyes n´ıv´ok. Legyen n = nx + ny + nz fix. Ekkor adott nx mellett ¨osszesen n − nx + 1 darab olyan (ny , nz ) p´ar van, melyek ¨osszege ny + nz = n − nx . Hogy megkepjuk azt n-edik n´ıv´o degener´alts´ag´at, ezt kell ¨osszegezn¨ unk lehets´eges nx ´ert´ekekre: dn =
n X
n X
n − nx + 1 = (n + 1)(n + 1) −
nx =0
nx =0 2
2
= (n + 1)2 −
nx = (n + 1)2 −
(n + 1)(n + 2) = 2
(n + 1) n+1 (n + 1) n+1 (n + 1)(n + 2) + = + = 2 2 2 2 2
Az els˝o n´eh´any szint eset´eben: n 0 1 2
dn 1 3 6
(nx , ny , nz ) (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) (2, 0, 0) (0, 2, 0) (0, 0, 2) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)
2.18 Megold´ as A Hamilton oper´ator az impulzusban csak n´egyzetes tagokat tartalmaz, ezt kellene el´ern¨ unk a potenci´alban is, hogy a probl´em´at visszavezess¨ uk az egyszer˝ u k´etdimenzi´os oszcill´arra, amely a 2.17. p´eld´ahoz hasonl´oan egyszer˝ uen megoldhatunk. Ehhez a potenci´alban szerepl˝o m´asodfok´o kifejez´est kanonikus alakra kell hoznunk: 2
2
x + αxy + y = (x, y)
1 α 2
α 2
1
x y
(2.187)
A m´atrix saj´at´ert´ekei ´es saj´atvektorai: 1 1 √ 2 1 1 1 √ 2 −1
2+α ; λ1 = 2 2−α λ2 = ; 2
(x, y) v´altoz´okr´ol t´erj¨ unk ´at teh´at a k¨ovetkez˝o (u, v) v´altoz´okra: r √ 2+α x+y 2+α √ u= = (x + y) 2 2 2 r √ 2−α x−y 2−α √ v= = (x − y) 2 2 2 Ekkor x2 + αxy + y 2 = u2 + v 2 . N´ezz¨ uk hogyan kell ´at´ırnunk az impulzust tartalmaz´o
51
tagokat u-t ´es v-t tartalmaz´okra: ∂ ∂x ∂2 ∂x2 ∂ ∂y ∂2 ∂y 2 ∂2 ∂2 + ∂x2 ∂y 2
= = = = =
∂u ∂ ∂v ∂ 1√ ∂ 1√ ∂ + = 2+α + 2−α ∂x ∂u ∂x ∂v ∂u 2 ∂v p 2 2 (2 + α)(2 − α) ∂ ∂ 2 + α ∂2 2+α ∂ + + 4 ∂u2 2 ∂u ∂v 4 ∂v 2 √ √ ∂u ∂ ∂v ∂ 1 ∂ 1 ∂ + = 2+α − 2−α ∂y ∂u ∂y ∂v 2 ∂u 2 ∂v p 2 (2 + α)(2 − α) ∂ ∂ 2 + α ∂2 2+α ∂ + − 4 ∂u2 2 ∂u ∂v 4 ∂v 2 2 + α ∂2 2 − α ∂2 + 2 ∂u2 2 ∂v 2
Teh´ at a Hamiltoni alakja: H=−
~2 2 − α ∂ 2 ~2 2 + α ∂ 2 1 1 2 2 mω u + − mω 2 v 2 + + 2m 2 ∂u2 2 2m 2 ∂v 2 2
Ekkor egy (u, v) → (w, z) ´atsk´al´az´assal, a k¨ovetkez˝oh¨oz jutunk: r r ∂ 2 2+α ∂ w= u ⇒ = 2+α ∂w 2 ∂u r r 2 2+α ∂ ∂ z= v ⇒ = 2−α ∂z 2 ∂v 2 2 2 2 ~ ∂ 1 ~ ∂ 1 2+α 2 2−α 2 H=− + mω 2 w +− + mω 2 z 2 2 2m ∂w 2 2 2m ∂z 2 2
(2.188)
(2.189) (2.190) (2.191) (2.192)
q
2+α ω 2
Bevezetve ω1 = illetve ω2 = menzi´os oszcill´ator Hamiltonij´ahoz: H=−
q
2−α ω 2
v´altoz´okat eljutahatunk egy anizotrop k´etdi-
1 ~2 ∂ 2 1 ~2 ∂ 2 2 2 + mω w − + mω22 z 2 1 2 2 2m ∂w 2 2m ∂z 2
(2.193)
Ennek Schr¨odinger-egyenlet´et a 2.17.p´eld´ahoz hasonl´oan k¨onnyen megoldhatjuk: 1 1 Enx ,ny = ~ω1 nx + + ~ω2 ny + (2.194) 2 2 2m C ~2
2.19 Megold´ as Vezess¨ uk be a B = illetve az α = felhaszn´alva a Schr¨odinger-egyenlet alakja: ψ 00 (x) +
q
2m ~2
|E| mennyis´egeket. Ezeket
B ψ(x) − α2 ψ(x) = 0 x
(2.195)
Az asszipmtotikus viselked´es: ψa00 (x) − α2 ψa (x) = 0 ⇒ ψa (x) = e−αx 52
(2.196)
Keress¨ uk teh´at a megold´ast ψ(x) = e−αx u(x)
(2.197)
ψ 0 (x) = −αe−αx u(x) + e−αx u0 (x) ψ 00 (x) = α2 e−αx u(x) − 2αe−αx u0 (x) + e−αx u00 (x)
(2.198) (2.199)
alakban! A deriv´altak:
Be´ırva a Schr¨odinger-egyenletbe a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenletet kapjuk u(x)-re: u00 (x) − 2αu0 (x) +
B u(x) = 0 x
(2.200)
Keress¨ uk u(x)-et polinom alakban, ´ıgy u(x) ´es deriv´altjai: u(x) =
∞ X
cr xr+s
(2.201)
cr (r + s)xr+s−1
(2.202)
r=0 0
u (x) =
∞ X r=0
u00 (x) =
∞ X
∞ X
cr (r + s)(r + s − 1)xr+s−2 =
cr−1 (r + s)(r + s + 1)xr+s−1
(2.203)
r=−1
r=0
(2.204) Vissza´ırva a (2.207) egyenletbe a k¨ovetkez˝oket kapjuk: r = −1 : r≥0
c0 · s(s − 1) = 0 ⇒ c0 = 0 vagy s = 0 vagy s = 1 cr+1 (r + s + 1)(r + s) − 2αcr (r + s) + Bcr = 0,
teh´ at cr+1 =
2α(r + s) − B cr (r + s + 1)(r + s)
(2.205)
Innen azt kapjuk, hogy ha cr = 0, akkor cr+k is az, teh´at c0 6= 0, hisz ekkor az eg´esz ´ vagy s = 0 vagy s = 1-nek kell teljes¨ f¨ uggv´eny 0 lenne. Igy ulnie. s = 0 eset´en c1 · 1 · 0 − 2αc0 · 0 + Bc0 = 0, teh´at c0 = 0 k¨ovetkezne. Ez nem lehet, ´ıgy s = 1-nek kell teljes¨ ulnie. ´ Igy 2α(r + 1) − B cr+1 = cr (2.206) (r + 2)(r + 1) Ha r → ∞, akkor cr+1 ≈ 2αx
e
2α c r+2 r
≈
2α c, r r
∞ X (2αx)r r=0
r!
⇒
ahonnan ua (x) = e2αx , mivel cr+1 (2α)r+1 r! 2α = = cr (r + 1)! 2α r+1
(2.207)
Innen x → ∞ eset´en ψ(x) → e−αx e2αx = eαx szerint diverg´al, ami nem lehets´eges. A megold´asunk csak akkor lehet j´o, ha u(x) egy v´eges foksz´am´ u polinom, ez´ert l´eteznie kell olyan B-nek, hogy valamely n = rmax + 1-re 2α(rmax + 1) − B = 2αn − B = 0, ahol n = 1, 2, 3 . . . 53
(2.208)
´ Igy B 2mC 1 mC 1 = = 2 2 2n 2~ n ~ n Vagyis az energia csak diszkr´et n´ıv´okat vehet fel: α=
En = −
(2.209)
mC 2 1 ~ 2 m2 C 2 1 = − 2m ~2 n2 2~2 n2
(2.210)
2.20 Megold´ as Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket: 2m a1 = 2 d 1 , ~
r
2m a2 = 2 d2 , ~
α=
2m |E| ~2
(2.211)
Az u ´j v´altoz´okkal a Schr¨odinger-egyenletet ´ıgy ´ırhatjuk fel: φ00 +
a1 a2 φ − 2 φ − α2 φ = 0 x x
(2.212)
Az egyenlet aszimptotikus alakja: φ00 − α2 φ = 0
(2.213)
melyb˝ol k¨ovetkezik, hogy a megold´ast a φ(x) = us (x)e−αx alakban kereshetj¨ uk, ahol: us (x) = x
s
∞ X
bi x i .
(2.214)
i=0
Vil´ agos, hogy ´ıgy lim ψ(x) = 0, teh´at a peremfelt´etel teljes¨ ul az x = 0-ban. A hull´amf¨ uggx→0 v´eny m´asodik deriv´altj´at a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk: φ00 = u00s − 2αu0s + α2 us e−αx (2.215) A m´ asodik deriv´altat a (2.212) sz´am´ u egyenletbe helyettes´ıtve a Schr¨odinger-egyenletet ´ıgy ´ırhatjuk: a a2 1 − 2 us = 0. (2.216) u00s − 2αu0s + x x Sz´ amoljuk ki a fenti egyenletben szerepl˝o deriv´altakat: u0s
=
u00s =
∞ X i=0 ∞ X
(i + s)bi x
i+s−1
= sb0 x
s−1
∞ X
+
(i + s + 1)bi+1 xi+s
(2.217)
i=0
(i + s)(i + s − 1)bi xi+s−2 =
(2.218)
i=0
= s(s − 1)b0 xs−2 + s(s + 1)b1 xs−1 +
∞ X (i + s + 2)(i + s + 1)bi+2 xi+s i=0
1 us = x 1 us = x2
∞ X i=0 ∞ X
bi xi+s−1 = b0 xs−1 +
∞ X
bi+1 xi+s
(2.219)
i=0
bi x
i+s−2
= b0 x
s−2
+ b1 x
s−1
i=0
+
∞ X i=0
54
bi+2 xi+s
(2.220)
Helyettes´ıts¨ uk be a deriv´altakat a (2.216) egyenletbe: (s(s − 1) − a2 ) b0 xs−1 + (s(s + 1)b1 − 2αsb0 + a1 b0 − a2 b1 ) xs−1 (2.221) ∞ X + ((i + s + 2)(i + s + 1)bi+2 − 2α(i + s + 1)bi+1 + a1 bi+1 − a2 bi+2 ) xi+s = 0 i=0
Nyilv´anval´oan az egyenlet bal oldal´an ´all´o polinom minden egy¨ utthat´oj´anak null´aval kell egyenl˝onek lennie: 0 = (s(s − 1) − a2 ) b0 a1 − 2αs b1 = b0 s(s + 1) − a2 a1 − 2α(i + s + 1) bi+1 bi+2 = (i + s + 2)(i + s + 1) − a2
(2.222) (2.223) (2.224)
A b0 = 0 v´alaszt´as u(x) azonosan nulla megold´ast eredm´enyezne. Haqaz s kitev˝o negat´ıv, akkor az u(x) f¨ uggv´eny irregul´aris az x = 0-ban, teh´at s = 12 + a2 + 41 . Az u(x) polinomnak v´eges foksz´am´ u polinomnak kell lennie,ez´ert a1 = 2α(n + s − 1).
(2.225)
Teh´ at az energia: En = −
~2 m a21 =− 2 2 8m (n + s − 1) 2~
1 2
n− +
d21 q
2m d ~2 2
+
1 4
2
(2.226)
Az eredm´eny d2 = 0 eset´en megegyezik a 2.210 egyenlettel. 2.21 Megold´ as Mivel a bet¨olt´esi sz´am reprezent´aci´o b´azis´at ´epp a Hermite-f¨ uggv´enyek q2 adj´ ak |ni-nek koordin´ata reprezent´aci´oban Nn Hn (q)e− 2 felel meg q = xx0 ´es Nn = √ n 1 √
2 n!x0 π
´ v´ alaszt´as melett. Igy √ x0 † x0 √ n + 1 |n + 1i + n |n − 1i x |ni = √ a + a |ni = √ 2 2
(2.227)
Ezt koordin´atereprezent´aci´oba ´ırva: 2 2 2 √ x0 √ − q2 − q2 − q2 xNn Hn (q)e =√ n + 1Nn+1 Hn+1 (q)e + nNn−1 Hn−1 (q)e (2.228) 2 ! √ √ x x0 n+1 n √ n+1 p n−1 p n√ 1 Hn (q) = √ √ √ 1 Hn+1 (q) + 1 Nn−1 Hn−1 (q) 2 2 2 2 2 n! x0 π 4 (n + 1)! x0 π 4 2 2 (n − 1)! x0 π 4 (2.229) √ √ 2 1 √ qHn (q) = √ Hn+1 (q) + 2nHn−1 (q) (2.230) n 2n 1 qHn (q) = nHn−1 (q) + Hn+1 (q) (2.231) 2 55
2.22 Megold´ as A 3.7 megold´as sor´an meghat´arozzuk hx2 in ´es hp2 in ´ert´ek´et:
2
2 1 ~ 1 x n= n+ p n = m~ω n + mω 2 2
(2.232)
´ teh´at Igy 1 ~ω 1 ~2 1 ~ω 1 n+ = n+ hT in = m~ω n + = n+ 2 2 2 2m 2 2 2 (2.233) ul, hogy hV in = hT in = E2n . Mivel En = ~ω n + 12 , teljes¨ 1 ~ hV in = mω 2 2 mω
2.23 Megold´ as Vil´agos, hogy a Aij Hamilton-oper´atorral vett kommut´atorait kell kisz´amolnunk. Az xx ´es yy elemek ny´ılv´anval´osan kommut´alhan a Hamiltonival, teh´at el´eg csak az xy elemet megvizsg´alnunk a m´atrix szimmetrikuss´aga miatt: 2 p2y px mω 2 x2 mω 2 y 2 px py mω 2 xy [H; Axy ] = + + + ; + 2m 2 2m 2 2m 2 2 2 2 2 2 2 py mω xy px mω xy mω x px py mω 2 y 2 px py = ; + ; + ; + ; = 2m 2 2m 2 2 2m 2 2m ~ω 2 ~ω 2 ~ω 2 ~ω 2 = px y + py x − xpy − ypx = 0 2i 2i 2i 2i Megjegyezz¨ uk, hogy a m´atrix nyoma ´epp az energia, determin´ansa pedig az impulzusmomentum oper´ator. Ha Aij minden eleme megmarad´o, akkor ny´ılv´an ezek kombin´aci´oj´ab´ol el˝ o´ all´ıtott nyom ´es determin´ans is. 2.24 Megold´ as a) |αi =
∞ X
cn |ni
a |αi = α |αi
(2.234)
n=0
Innen a |αi =
∞ X
cn a |ni =
n=0
∞ X
∞ ∞ X X √ √ cn n |n − 1i = cn+1 n + 1 |ni = α cn |ni (2.235)
n=1
n=0
n=0
Teh´at αcn αn+1 cn+1 = √ = c0 p n+1 (n + 1)!
⇒ |αi = c0
A norm´al´asb´ol megkaphatjuk c0 ´ert´ek´et: n ∞ X |α|2 2 2 1 = hα| αi = |c0 | = |c0 |2 e|α| n! n=0
∞ X αn √ |ni n! n=0
⇒ c0 = e−
(2.236)
|α|2 2
(2.237)
Teh´at α alakja a k¨ovetkez˝o: −
|αi = e
|α|2 2
∞ ∞ n X |α|2 X α a† αn − 2 √ |ni = e n! n! n=0 n=0
56
n |0i = e−
|α|2 +αa† 2
|0i
(2.238)
b) Az |αi ´allapot id˝ofejl˝od´ese a k¨ovetkez˝o alak´ u: i
|α, ti = e− ~ Ht |α, 0i = e− |α|2 − 2
= e
ωt
= e−i 2
|α|2 2
∞ X i αn √ e− ~ Ht |ni = n! n=0
∞ ∞ −iωt † X |α|2 X αe a αn −iω(n+ 12 )t −i ωt − 2 2 √ e |ni = e e n! n! n=0 n=0 −iωt ωt αe = e−i 2 |α(t)i
n |0i =
ωt
Vagyis egy e−i 2 f´azisfaktort lesz´am´ıtva val´oban azt kaptuk, hogy α(t) = αe−iωt v´alaszt´assal le´ırhat´o a koherens ´allapot id˝ofejl˝od´ese, illetve hogy koherens ´allapot koherens marad az id˝ofejl˝od´ese sor´an. c) 1 1 1 2 2 † E = hα| ~ω a a + |αi = ~ω |a |αi| + = ~ω |α| + 2 2 2
(2.239)
d) (∆x)2 (∆p)2 =
2
x α − hxi2α = p2 α − hpi2α
A fenti kifejez´esben szerepl˝o tagokat kell kisz´amolnunk: r r r ~ ~ ~ hxiα = hα| a† + a |αi = (α∗ + α) = 2<α 2mω 2mω 2mω r r r m~ω m~ω m~ω hα| a† − a |αi = i (α∗ − α) = 2=α hpiα = i 2 2 2 Felhaszn´alva, hogy a, a† = I
(2.240)
(2.241)
(2.242)
~ ~ 2 2 hα| a† + a2 + aa† + a† a |αi = hα| a† + a2 + 2a† a + 1 |αi = 2mω 2mω ~ ~ 2 = α∗2 + α2 + 2 |α| + 1 = 1 + 4 (<α)2 2mω 2mω
2 x α =
2 m~ω m~ω 2 2 p α = − hα| a† + a2 − aa† − a† a |αi = − hα| a† + a2 − 2a† a − 1 |αi = 2 2 m~ω m~ω ∗2 2 2 α + α − 2 |α| − 1 = 1 + 4 (=α)2 = − 2 2 Ezeket behelyettes´ıtve:
2
(∆x)2 (∆p)2 = x α − hxi2α = p2 α − hpi2α = ~ ~ m~ω m~ω 2 2 2 2 = 1 + 4 (<α) − 4 (<α) 1 + 4 (=α) − 4 (=α) = 2mω 2mω 2 2 ~ m~ω ~2 = = 2mω 2 4 Teh´at ∆x∆p = ~2 , vagyis a Heisenberg hat´arozatlans´agi rel´aci´o egyenl˝otlens´ege ´eles, a hely- ´es impulzusbizonytalans´ag szorzata minim´alis. 57
e) x0 =
q
~ mω
illetve N = √ 1 √ jel¨ol´est bevezetve, illetve felhaszm´alva, hogy koordin´atax0 π
reprezent´aci´oban |0i = N e z˝o: |α(t)i = e−
−
x2 2x2 0
, |α(t)i alakja koordin´ata-reprezent´aci´oban a k¨ovetke-
|α(t)|2 +α(t)a† 2
|0i = e−
|α(t)|2 2
α(t) √ 2
e x0
i p) (x− mω
Ne
−
x2 2x2 0
(2.243)
Vezess¨ uk be a q = x/x0 -t v´altoz´ot, ´es haszn´aljuk fel a 1.3. feladatban szerepl˝o BakerCampbell-Haussdorff formul´at:
−
|α(t)|2 2
e
= N e−
|α(t)|2 2
N e−
|α(t)i = N e
α(t) α(t) d √ q− √ 2 2 dq α(t)2 4
e
α(t)q √ 2
q2
e− 2 = N e− −
e
α(t) d √ 2 dq
|α(t)|2 2
N e−
α(t)2 4
2
α(t) d q √ − √ dq [q,− dqd ] e α(t)q 2 e 2 e− 2 =
q2
e− 2
d
Tudjuk, hogy mivel az eltol´asok gener´atora ea dq f (q) = f (q − a), az utols´o k´et tagot k¨onnyen egyszer˝ us´ıthetj¨ uk. A levezet´es v´eg´en pedig felhaszn´aljuk a (2.241) ´es (2.242) egyenleteket. |α(t)i = N e
|α(t)|2 − 2
= Ne
− 21
= Ne
− 12
= Ne
e
α(t)2 − 4
e
α(t)q √ 2
e
α(t) 2 q− √ 2 − 2
= N e−
|α(t)|2 2
e−
α(t)2 2
√
e
e
√
q 2 +(<α(t))2 +(=α(t))2 +(<α(t))2 −(=α(t))2 +2i<α(t)=α(t)−2
(
(q−
√
√
2
2<α(t)) +i<α(t)=α(t)+i 2=α(t)q
hpi (x−hxi)2 hxihpi +i ~ x+i ~ − 2x2 0
∼ Ne
= Ne
− 12
hxi q− x 0
2
2α(t)q − q2
2
=
√ 2<α(t)q−i2 2=α(t)q )
hpi hxihpi +i √ q+i ~ m~ω
=
=
hpi (x−hxi)2 +i ~ x − 2x2 0
Az utols´o tag csak egy konstans f´azis, amit nyugodtan eldobhatunk, ekkor az |α(t)ival ekvivalens hull´amf¨ uggv´enyt kapunk, erre utal a ∼ jel. A teljes id˝of¨ ugg˝o koherens ´allapot ´ıgy: r 2 hpi +i( ~ x− ωt mω − (x−hxi) 2 ) −i ωt √ e 2x20 (2.244) |α, ti = e 2 |α(t)i = ~ π A v´egeredm´eny egy v =
ω 2 ~ hpi
=
~ω 2hpi
sebess´eggel men˝o x0 sz´or´as´ u Gauss-f¨ uggv´eny, ami
az id˝ofejl˝od´es sor´an l´athat´o m´odon nem folyik sz´et! f ) Tegy¨ uk fel, hogy van egy |βi vektor, hogy a† |βi = β |βi √ √ a† (β0 , β1 , β0 2, β3 , . . . ) = (0, β0 , 2β1 , 3β2 , . . . ) = β(β0 , β1 , β2 , β3 , . . . ) Ezeket ¨osszevetve: ββ0 = 0 ββ1 = β0 √ ββ2 = 2β1 .. . √ iβi−1 ββi = ´ mivel β0 = 0, az ¨osszes βi = 0, teh´at a nullvektort kapjuk eredm´eny¨ Igy ul.
58
(2.245)
3. fejezet Reprezent´ aci´ ok ´ es kvantummechanikai k´ epek 3.1. Elm´ elet 3.1.1. Diszkr´ et reprezent´ aci´ ok Legyen Aˆ egy diszkr´et spektrummal rendelkez˝o hermitikus oper´ator a H Hilbert t´eren, A Aˆ |niA = λA n |ni
(n ∈ N) .
Valamely |ψi ∈ H a´llapotra ∃! aψn = A hn| Ψi ∈ C (n ∈ N) , X X A aψn |niA . |ψi = |ni A hn| |Ψi =
(3.2)
n
n
|
(3.1)
{z Iˆ
}
Ekkor az aψ = aψn ∈ `2 vektort a |ψi a´llapot diszkr´et A-´abr´azol´as´anak nevezz¨ uk. A diszkr´et ´abr´azol´as teh´at az RA : H → `2 , RA |ψi = aψ ,
(3.3)
unit´er lek´epez´es, hiszen hϕ|ψi =
X
(aϕn )∗ aψn = (aϕ )† aψ .
(3.4)
n
ˆ : H → H oper´ator a´br´azol´as´at a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´aljuk: Az O X X A A ˆ |niA = ˆ |ψi = aψn , O |miA Omn =⇒ O |miA Omn m
(3.5)
m,n
ˆ |ψi a´llapot A-´abr´azol´asa az OA aψ = P OA aψ ∈ `2 vektor, ez´ert az OA teh´at az O mn n n ˆ oper´ator A-´abr´azol´as´anak h´ıvjuk. (v´egtelen) m´atrixot az O 59
Hermitikus oper´ator a´br´azol´asa ¨onadjung´alt m´atrix: ∗ A ˆ |niA = A hn| O ˆ |miA = OA ∗ . Omn = A hm| O nm
(3.6)
Az oper´atorok ´abr´azol´asa az ¨osszead´asra ´es szor´asra n´ezve homomorfizmus: ˆ 2 |niA = OA + OA , hm| O 1,mn 2,mn X X A A A A A A A A A A ˆ ˆ ˆ ˆ hm| O1 O2 |ni = hm| O1 |ki hk| O2 |ni = O1,mk O2,kn = O1 O2 A
ˆ1 + O ˆ 2 |niA = hm| O
A
ˆ 1 |niA + hm| O
A
k
k
(3.7) . mn
(3.8) ˆ diszkr´et spektrum´ Tekints¨ unk k´et reprezent´aci´ot, melyeket az Aˆ ´es B u hermitikus oper´atorok gener´alnak. Bel´atjuk, hogy a k´et reprezent´aci´o unit´erekvivalens, azaz az U = −1 RA RB : `2 → `2 lek´epez´es unit´er. Mivel b´armely |ψi a´llapotra, X X (3.9) bψn |niB , |ψi = aψn |niA = n
n
aψm =
X
A
n
|
hm|niB bψn =⇒ aψ = U bψ ⇐⇒ RA = U RB , {z }
(3.10)
Umn
ahol U a k´et reprezent´aci´o k¨oz¨otti a´tt´er´es m´atrixa. A defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik, hogy X |niB = |miA Umn , (3.11) m
´es a b´azisf¨ uggv´enyek ortonormalit´as´ab´ol, X X ∗ A ∗ B Uml hl|kiA Unk = Unk Umk =⇒ U U † = I = U † U . hm|niB = | {z } | {z } δmn
l,k
δlk
(3.12)
k
Innen az is k¨ovetkezik, hogy az oper´atorok m´atrixelemei b´armely reprezent´aci´oban kisz´am´ıthat´o: ˆ |ψi = (aϕ )† OA aψ = (aϕ )† U † U OA U † U aψ = (bϕ )† OB bϕ . hϕ| O
(3.13)
Az oper´atorok ilyen diszkr´et reprezent´aci´oj´aval tulajdonk´eppen v´egtelen m´atrixokat kapunk, az ezekkel fel´ep´ıtett kvantummechanika Werner Heisenberg nev´ehez f˝ uz˝odik, ´es gyakran h´ıvj´ak ezt a t´argyal´asm´odot m´atrixmechanik´anak. 3.1. P´ elda Diszkr´et reprezent´aci´o b´azis´aul v´alaszthatjuk p´eld´aul a harmonikus oszcill´ator Hamilton-oper´ator´anak saj´atb´azis´at (|ni): 2 pˆ 1 1 1 2 2 † ˆ H |ni = + mω xˆ |ni = ~ω a ˆa ˆ+ |ni = ~ω n + |ni , (3.14) 2m 2 2 2 ahol bevezett¨ uk a (2.54) ´es (2.55) k´epletekben szerepl˝o harmonikus oszcill´ator kelt˝o ´es elt¨ untet˝o oper´atorokat: r r r r mω 1 mω 1 † xˆ + i pˆ a ˆ = xˆ − i pˆ (3.15) a ˆ= 2~ 2m~ω 2~ 2m~ω 60
Mivel a ˆ |ni = a ˆ=
√ n |n − 1i ´es a ˆ† |ni = n + 1 |n + 1i, a ˆ ´es a ˆ† m´atrixa √ 0 0 0 1 √0 0 ··· 0 √0 0 0 0 0 2 √0 · · · 1 √0 † 2 √0 0 0 0 0 3 ··· a ˆ = 0 0 3 0 0 0 0 0 ··· 0 .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . .
√
a k¨ovetkez˝o alak´ u: ··· ··· ··· (3.16) ··· .. .
ˆ 2 ´es L ˆ z oper´ator k¨oz¨os saj´atb´azis´an: 3.2. P´ elda Diszkr´et reprezent´aci´ot csin´alhatunk L ˆ 2 |l, mi = ~2 `(` + 1) |l, mi L
ˆ z |l, mi = ~m |l, mi , L
(3.17)
ahol ` = 0, 1, 2 . . . , illetve r¨ogz´ıtett ` mellett m = −`, ` + 1, . . . , ` − 1, `. Rendezz¨ uk teh´at az |l, mi b´aziselemeket ` szerint n¨ovekv˝o sorrendbe, majd az azonos `-hez tartoz´okat m szerint n¨ovekedve: |0, 0i , |1, −1i , |1, 0i , |1, 1i , |2, −2i , |2, −1i , |2, 0i , |2, 1i , |2, 2i, ˆ 2 ill. L ˆ z m´atrixa: stb... Ezen a b´azison L 0 0 2 −1 2 0 2 1 6 −2 ˆ 2 = ~2 ˆz = ~ L L 6 −1 0 6 6 1 6 2 .. .. . . (3.18)
3.1.2. Koordin´ ata reprezent´ aci´ o A koordin´ata renprent´aci´o er˝os optikai anal´ogi´akat mutat, gyakran h´ıvj´ak hull´ammechanik´anak is, kidolgoz´asa Erwin Schr¨odinger nev´ehez f˝ uz˝odik. Koordin´ata reprezent´aci´oban v´alasszuk a koordin´at´aval val´o szorz´as oper´ator´at az xˆ oper´atornak: xˆ = x·. A 3.1.1 fejezetben l´attuk, hogy diszkr´et reprezent´aci´ot tudtunk csin´alni egy tiszt´an pontspektrum´ u oper´ator saj´atb´azis´an. Ez nyilv´anval´oan lehetetlen a koordin´ata oper´ator saj´atb´azis´an, hiszen a szorz´as oper´atornak nincsenek saj´atf¨ uggv´enyei (l´asd 1.13. p´elda). Spektr´alfelbont´asa azonban term´eszetesen van, ´ıgy egy absztakt Ψ ∈ H vektor (3.2) egyenletben szerepl˝o kifejt´ese az (1.24) egyenlet szerint ´ırhat´o (λ helyett x-et haszn´alva v´altoz´ok´ent): Z Z (3.19) |Ψi = dx |δx i hδx | Ψi = dx ψ(x) |δx i , | {z } ψ(x)
ahol a diszkr´et koordin´at´akkal rendelkez˝o aψ ∈ `2 kifejt´esi egy¨ utthat´okb´ol a´ll´o vektor helyett megjelent a folytonos index˝ u kifejt´esi egy¨ utthat´okat tartalmaz´o ψ(x) ∈ L2 f¨ uggv´eny,
61
mely term´eszetesen ´eppen a hull´amf¨ ugggv´enynek felel meg koordin´ata reprezent´aci´oban. A b´azis ortonorm´alts´aga a (3.22) egyenlet alapj´an: Z hδλ | δλ0 i = dxδ(x − λ)δ(x − λ0 ) = δ(λ − λ0 ) (3.20) ∂ Mint ahogy a (2.21) egyenletben megmutattuk, az impulzus oper´atort a ~i ∂x reprezent´alja, melynek approximat´ıv saj´atf¨ uggv´enyei az 1.14. p´eld´aban szerepl˝o egyre sz´elesed˝o Gauss f¨ uggv´enyek, melyek (ha a norm´al´ast´ol eltekint¨ unk) s´ıkhull´amokhoz tartanak. A t¨obbi dinamikai mennyis´eget el˝oa´ll´ıthatjuk a koordin´at´ab´ol ´es az impulzusb´ol.
3.1.3. Impulzus reprezent´ aci´ o Impulzus reprenzent´aci´oban v´alasszuk a koordin´at´aval val´o szorz´as oper´ator´at pˆ-nek: pˆ = p·. Ekkor a koordin´ata reprezent´aci´ohoz hasonl´oan Z Z (3.21) |Ψi = dp |δp i hδp | Ψi = dp ψ(p) |δp i , | {z } ψ(p)
ahol ψ(p) ∈ L2 f¨ uggv´eny a hull´amf¨ ugggv´eny alakja impulzus reprezent´aci´oban. A b´azis ortonorm´alts´aga itt is: Z hδλ | δλ0 i = dpδ(p − λ)δ(p − λ0 ) = δ(λ − λ0 ) (3.22) ∂ A koordin´ata oper´atornak xˆ = − ~i ∂p -t kell v´alasztanunk, hogy konzisztensek legy¨ unk a Heisenberg felcser´el´esi rel´aci´okkal, ld. (2.1.2) egyenlet: ∂ ∂ ~ ~ p Ψ(p, t) − (pΨ(x, t)) = Ψ(p, t), (3.23) [ˆ p, xˆ] Ψ(p, t) = − ı ∂p ∂p ı
Az 1.14. p´elda ut´an eml´ıtett¨ uk, hogy a koordin´ata ´es az impulzus oper´atorok egym´as Fourier-transzform´altjai. El˝osz¨or is l´assuk be ezt koordin´ata ´es impulzus reprezent´aci´ot haszn´alva: Z ∞ d −1 1 d ı px ı dΨ(x) = F FΨ(x) = √ e ~ (FΨ)(p) dp = F −1 p · (FΨ)(p) (3.24) dx dx ~ 2π~ −∞ |dx{z } ı
→ ~ı pe ~ px
Vagyis ~ d Ψ(x) = F −1 p · FΨ(x) ⇒ F ı dx
~ d ı dx
F −1 = p·
(3.25)
Azaz az impulzus oper´ator koordin´ata repzent´aci´oj´anak Fourier-transzform´altja ´epp az impulzus oper´ator impulzus reprezent´aci´oj´aval egyezik meg, ami impulzust´erben az impulzus koordin´at´aval val´o szorz´as. Az is vil´agos, hogy egy |Ψi a´llapot koordin´ata ´es impulzus reprezent´aci´oja k¨oz¨ott a Fourier-transzform´al´as adja az ´atj´ar´ast: Ha |Ψicoord = ψ(x), akkor |Ψiimp = ϕ(p) = Fψ(x). 62
3.1.4. A Heisenberg-f´ ele hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ o Koordin´ ata-impulzus A Heisenberg-f´ele hat´arozatlans´agi rel´aci´o egyike a kvantumvil´ag klasszikus gondolkod´assal legnehezebben ´erthet˝o tulajdons´againak, k¨ovetkezm´enyei pedig igen szerte´agaz´oak. Vegy¨ unk egy olyan |Ψi a´llapotot, melyre hΨ| xˆ |Ψi = hΨ| pˆ |Ψi = 0. Ha ez nem teljes¨ ul, akkor toljuk el a koordin´at´at, ´es tekints¨ uk xˆ helyett az xˆ − x0 oper´atort, ahol x0 = hΨ| xˆ |Ψi. J´arjunk el hasonl´oan pˆ-vel, ´ıgy a fenti krit´erium mindig teljes´ıthet˝o. Tekints¨ uk koordin´ata ´es impulzus t´erben is az ´allapot sz´or´asn´egyzet´et: Z Z
2
2 2 2 2 2 (3.26) σx = xˆ = x |ψ(x)| dx σp = pˆ = p2 |ϕ(p)|2 dp
~ dψ ~ dψ (CSB) = hxψ| xψi hpϕ| pϕi = hxψ| xψi ≥ ı dx ı dx ! ~ dψ 2 2 ~ dψ xψi 2 − hxψ| ~ dψ ~ dψ ı dx ı dx ≥ = hxψ| ≥ hxψ| = = ı dx ı dx 2ı !2 !2 2 d d d hψ| x, ~ı dx |ψi |ψi − hψ| ~ı dx x |ψi hψ| x ~ı dx ı~ hψ| ψi = = 2ı 2ı 2ı
σx2 σp2
(3.27) (3.28)
(3.29) (3.30)
~ (3.31) 2 Ahol az utols´o egyenelet a koordin´at´ara ´es impulzusra vonatkoz´o Heisenberg-f´ele hat´aroˆ oper´ator sz´or´as´ara zatlans´agi rel´aci´o. Vil´agos, hogy ha xˆ ´es pˆ helyett tetsz˝oleges Aˆ ´es B d ˆ hely´ere Aˆ ´es B vagyunk k´ıv´ancsiak, akkor az els˝o sor harmadik kifejez´es´ebe x· ´es ~ı dx oper´atort ´ırva a sz´amol´as a hamadik sor m´asodik k´eplet´eig v´egigvihet˝o, ahonnan: iE 2 Dh ˆ B ˆ A, (3.32) σA2ˆ σB2ˆ ≥ 2ı σx σp ≥
A (3.31) egyenletet ¨osszevetve az (3.26) egyenletekkel l´athat´o, valamely ψ(x) f¨ uggv´eny ´es Fourier-transzform´altj´anak karakterisztikus sz´eless´ege o¨sszef¨ ug egym´assal: val´os t´erben sz˝ uk f¨ uggv´enyek hull´amsz´am t´erben sz´elesek ´es ford´ıtva. Tekinthetj¨ uk p´eld´anak a Gaussf¨ uggv´enyt: r 2 2 2 2 1 4 2σ −p σ − x2 4σ ~2 ϕ(p) = e (3.33) ψ(x) = √ e 4 π~2 2πσ 2 Ezen l´atszik, hogy a hat´arozatlans´agi rel´aci´oban szerepl˝o egyenl˝otlens´eg erre ´eles, vagyis ez egy olyan hull´amf¨ uggv´eny, melyre a hat´arozatlans´ag minim´alis, az ilyen ´allapotokat koherens a´llapotnak nevezz¨ uk, ld. 2.24. feladat. Ha a f¨ uggv´enyek fizikai jelent´es´et is vizsg´aljuk, akkor pedig azzal szembes¨ ul¨ unk, hogy egy r´eszecske helye ´es impulzusa nem 63
lehet egyidej˝ uleg tetsz˝olegesen meghat´arozott1 . Ez mer˝oben u ´j a klasszikus vil´aghoz k´epest, hiszen ott ak´ar a Newton-, ak´ar a Hamilton-egyenletek megold´as´ahoz sz¨ uks´eg¨ unk van a kezd˝o hely ´es impulzus ´ert´ek´ere a mozg´asegyenletek megold´as´ahoz, ´es egy r´eszecske p´aly´aj´anak meghat´aroz´as´ahoz. Kvantummechanik´aban ezt a kett˝ot nem ismerhetj¨ uk egyszerre tetsz˝oleges pontoss´aggal, illetve nincs ´ertelme a p´alya fogalm´anak sem, hiszen egy r´eszecsk´er˝ol a hull´amf¨ uggv´enye alapj´an csak annyit tudunk megmondani, hogy hol, ´epp milyen val´osz´ın˝ us´eggel van. Term´eszetesen lehet a hull´amf¨ uggv´eny egy id˝opillanatban tetsz˝olegesen sz˝ uk (kis sz´or´as´ u), azonban az a´llapot az id˝o m´ ul´as´aval sz´etfolyik, hacsak a hull´amf¨ uggv´eny nem ´epp a Hamilton-oper´ator saj´at´allapota. N´ezz¨ uk meg ezt egy koherens a´llapotb´ol id´ıtott szabad r´eszecsk´ere (A levezet´es megtal´alhat´o a 3.2 megold´asban): ı~
2
~2 ∂ 2 Ψ(t, x) ∂Ψ(t, x) =− ∂t 2m ∂x2
− x2 1 4σ0 e Ψ(0, x) = p 4 2 2πσ0
1 1 q Ψ(t, x) = √ 4 2π σ 2 + 0
−
x2 2 + ı~t 4 σ0 2m
e (
)
(3.34)
(3.35)
ı~t 2m
Vagyis az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger-egyenleg megold´asa egy Gauss-hull´amcsomag σ 2 (t) = σ02 + ı~t param´eterrel, azaz az id˝o m´ ul´as´aval a hull´amcsomag egyre jobban sz´etfolyik. 2m 3.3. Megjegyz´ es A (3.34) szabad Schr¨odinger-egyenletb˝ol τ = it helyettes´ıt´essel egy dif´ nem meglep˝o, hogy eredm´eny¨ f´ uzi´ os egyenlethez jutunk. Igy ul egy it-vel line´arisan n¨ov˝o sz´ or´ asn´egyzetet kapunk. Impulzusmomentum Kor´abban l´attuk, hogy az impulzus a t´ereltol´asok gener´atora, ´es oper´atora a t´erkoordin´at´a´eval Fourier-transzform´alt kapcsolatban van, ami a Heisenberg-f´ele kommut´aci´os rel´aci´okon kereszt¨ ul a Heisenberg hat´arozatlans´agi rel´aci´ohoz vezetett. Joggal vet˝odik fel a k´erd´es, hogy a ϕ azimut sz¨og, ´es ennek eltol´as´at (a z tengely k¨or¨ uli forgat´asokat) gener´al´o Lz k¨oz¨ott nem kellene-e hasonl´o kapcsolatnak lennie? A naiv hozz´all´as alapj´an ˆ z = ~ ∂ is ´ırhat´o, ´ıgy az anal´ogia m´eg kellene, hiszen pl. (a 4.1 megold´as alapj´an) L ı ∂ϕ vil´agosabb. Nagy k¨ ul¨onbs´eg azonban, hogy m´ıg a koordin´ata a teljes sz´amegyegyenes (R) van ´ertelmezve, addig a ϕ azimut sz¨og csak a [0, 2π] intervallumon r´aad´asul periodikus peremfelt´etellel, azaz topol´ogiailag itt sz´amegyenes (R) helyett az egys´egk¨orvonalr´ol (S 1 ) besz´elhet¨ unk. ´Igy a Fourier transzform´al´as is csak a [0, 2π] intervallumon t¨ort´enik, r´aad´asul a periodicit´as miatt diszkr´et Fourier spektrumot kapunk csak (tekinthetj¨ uk ezt ˆ is annak ok´anak, hogy Lz mindig kvant´alt). Az is vil´agos, hogy teljesen meghat´arozott Lz mellett a sz¨ognek maxim´alis a hat´arozatlans´aga, azaz eloszl´asa egyenletes a [0, 2π]n. Teh´at a sz´or´asa maximum ∆ϕmax = √π3 lehet, szemben a koordin´ata ´es az impulzus 1
Term´eszetesen nem tudjuk a k´et mennyis´eget egyidej˝ uleg m´erni, s˝ot az impulzust nincs ´ertelme k¨ozvetlen¨ ul a koordin´ ata ut´ an sem m´erni, hiszen a hely m´er´es m´ar befoly´asolja a r´eszecske ´allapot´at (beugr´ asi axi´ oma), ´ıgy az impulzus m´er´es eredm´enye nem azonos azzal, mintha azt a helym´er´es el˝ott v´egezt¨ unk volna ´es vice versa. A fenti mondat alatt azt ´ertj¨ uk, hogy sok azonosan prepar´alt rendszert v´eve -ezek fel´en koordin´ ata, m´ asik fel´en impulzus m´er´est v´egrehajtva- a kapott statisztik´ak sz´or´as´anak szorzata nem lehet kisebb ~2 -n´el.
64
eset´evel, ahol a sz´or´as tetsz˝olegesen nagyra n˝ohet. Ebben az esetben ∆Lz = 0, azaz ∆Lz ∆ϕ = 0. Kis sz¨ogbizonytalans´ag eset´en a bizonytaltans´agok szorzat´anak als´o korl´atja tart ∆Lz ∆ϕ = ~2 -h¨oz, k¨oztes bizonytalans´agokra interpol´al az als´o korl´at 0 ´es ~2 k¨ozt. A t´ema m´elyeb kifejt´ese megtal´alhat´o [?]-ben. Energia-id˝ o Mivel az id˝oeltol´as infinitezim´alis gener´atora az energia, az impulzusmomentummal kapcsolatos ´ervel´es elej´en felvetett k´erd´es itt is jogos: Vajon l´etezik-e a koordin´ata ´es az impulzus eset´eben l´atott hat´arozatlans´agi rel´aci´o az energia ´es az id˝o k¨oz¨ott? Ehhez sz¨ uks´eg¨ unk lenne egy id˝o” oper´atorra, azonban egyr´eszt megmutathat´o, hogy ilyet konzisztensen nem ” lehet bevezetni, m´asr´eszt az axi´om´ak k¨oz¨ott szerepel, hogy dinamikai mennyis´egekhez rendel¨ unk oper´atorokat, az id˝o pedig nem az, csak egy param´eter. K¨ ul¨onb¨oz˝o rendszerek a´llapotai k¨ozti a´tmenetek vizsg´alatakor kibocs´atott fotonokat m´erve azonban m´egis van ´ertelme a kibocs´atott jel id˝obeli ´es frekvenciabeli eloszl´as´ar´ol besz´elni, melyek, mivel egym´as Fourier-transzform´altjai, term´eszetes m´odon tudniuk kell a Heisenberg-hat´arozatlans´agot. N´ezz¨ uk meg, mi t¨ort´enik, ha a (3.32) egyenletbe B hely´ere a Hamilton-oper´atort tessz¨ uk: D E 2 iE 2 Dh 2 ˆ ˆ H ˆ Dh iE d A, −ı~ ~ A 2 2 ˆ ˆ = A, H = σAˆ σHˆ ≥ 2ı 2~ 2 dt Gy¨ok¨ot vonva, ´es bevezetve a τA = kapjuk:
σAˆ ˆi dhA dt
(3.36)
id˝osk´al´at, ´es a ∆E = σHˆ jel¨ol´est a k¨ovetkez˝ot
τA ∆E ≥
~ 2
(3.37)
Ahol teh´at τA az a karakterisztikus id˝o, ami alatt egy A dinamikai mennyis´eg a´tlaga egy sz´or´asnyit v´altozik.
3.1.5. Kvantummechanikai k´ epek A k¨ ul¨onb¨oz˝o kvantummechanikai k´epeket aszerint oszt´alyozzuk, hogy a fizikai (dinamikai) mennyis´egek id˝of¨ ugg´es´et a Hilbert t´er ´allapotainak vagy az oper´atorok, ill. mindkett˝o id˝ofejl˝od´es´en kereszt¨ ul ´ırjuk le. Schr¨ odinger-k´ ep Az alapvet˝o dinamikai oper´atorok (ˆ x, pˆ, ...) id˝ot˝ol f¨ uggetlenek, ∂ Aˆ =0, ∂t
(3.38)
´es az id˝of¨ ugg´est az ´allapotf¨ uggv´eny Ψ(t) hordozza az i~
∂|Ψ(t)i ˆ = H|Ψ(t)i ∂t 65
(3.39)
a´llapotegyenlet r´ev´en, amelynek megold´asa a t = t0 kezd˝ofelt´etel mellett egy´ertelm˝ u. C´elszer˝ u bevezetni az Uˆ (t, t0 ) id˝ofejleszt˝o oper´atort, |Ψ(t)i = Uˆ (t, t0 )|Ψ(t0 )i ,
(3.40)
dUˆ (t, t0 ) ˆ Uˆ (t, t0 ) , =H dt
(3.41)
ahol i~ ´es
Uˆ (t0 , t0 ) = ˆ1 . ˆ nem f¨ Amennyiben H ugg az id˝ot˝ol,
ˆ ∂H ∂t
(3.42)
= 0, az id˝ofejleszt˝o oper´ator alakja,
ˆ ˆ Uˆ (t, t0 ) = eiH(t−t0 )/~ =⇒ |Ψ(t)i = eiH(t−t0 )/~ |Ψ(t0 )i .
(3.43)
Az id˝ofejleszt˝o oper´ator unit´er, ˆ Uˆ (t, t0 )† = eiH(t0 −t)/~ = Uˆ (t0 , t) =⇒ Uˆ (t, t0 )† Uˆ (t, t0 ) = ˆ1 .
(3.44)
Egy dinamikai mennyis´eg (m´atrixelem) id˝ofejl˝od´ese, ˆ 2 (t)i = hΨ1 (t0 )|Uˆ (t0 , t)† AˆUˆ (t0 , t)|Ψ2 (t0 )i , A(t) = hΨ1 (t)|A|Ψ ill. fel´ırhatjuk a k¨ovetkez˝o dinamikai egyenletet: h i E 1 D dA(t) ˆ ˆ = Ψ1 (t) A, H Ψ2 (t) . dt i~
(3.45)
(3.46)
ˆ Az ut´obbib´ol nyilv´anval´o, hogy ha Aˆ felcser´elhet˝o H-val, akkor az A fizikai (m´erhet˝o) mennyis´eg mozg´as´alland´o. Heisenberg-k´ ep Az Uˆ (t0 , t) unit´er transzform´aci´oval ´att´erhet¨ unk egy olyan le´ır´asra, melyben a fizikai a´llapotok id˝oben a´llnak ´es az oper´atorok v´altoznak (f¨ uggenek az id˝ot˝ol). Ezt nevezz¨ uk Heisenberg-k´epnek: |ΨH i = Uˆ (t0 , t)† |Ψ(t)i = |Ψ(t0 )i (3.47) ´es
ˆ ˆ 0 )/~ ˆ iH(t−t AˆH (t) = Uˆ (t0 , t)† AˆUˆ (t0 , t) = eiH(t0 −t)/~ Ae . (3.48) ˆ Hamilton oper´ator Schr¨odinger- ´es Heisenberg-k´epben megegyezik: Nyilv´anval´o, hogy a H ˆ ˆ 0 −t)/~ ˆ iH(t−t 0 )/~ ˆ . ˆ H (t) = eiH(t H He =H
(3.49)
Az oper´atorok mozg´asegyenlet´et megkapjuk a (3.48) egyenlet deriv´al´as´aval, dUˆ (t0 , t) dAˆH (t) dUˆ (t0 , t)† ˆ ˆ = AU (t0 , t) + Uˆ (t0 , t)† Aˆ dt dt dt 1 ˆ ˆ Uˆ (t0 , t) − Uˆ (t0 , t)† H ˆ AˆUˆ (t0 , t) = U (t0 , t)† AˆH i~ i 1 h ˆH ˆ . = A (t) , H i~ 66
(3.50) (3.51) (3.52)
Az A dinamikai mennyis´eg id˝obeli v´altoz´as´at a Heisenberg-k´epben a i E dA(t) 1 D H h ˆH ˆ = Ψ1 A (t) , H ΨH 2 dt i~
(3.53)
egyenlet ´ırja le, mely nyilv´anval´oan ekvivalens a (3.46) ¨osszef¨ ugg´essel. Ko asi (Dirac-) k´ ep ¨lcso ¨nhat´ ˆ Hamilton oper´ator el˝oa´ll egy Ezt a k´epet abban az esetben c´elszer˝ u haszn´alni, ha a H ˆ 0 ´es egy K ˆ ”k¨olcs¨onhat´asi” oper´ator ¨osszegek´ent, mely explicit id˝of¨ id˝of¨ uggetlen H ugg´est is tartalmazhat, ˆ =H ˆ0 + K ˆ (t) . H (3.54) A Schr¨odinger- ´es a Dirac-k´ep k¨oz¨otti transzform´aci´ot az ˆ Uˆ (t, t0 ) = eiH0 (t−t0 )/~
unit´er transzform´aci´o defini´alja, azaz mind az a´llapotok, D Ψ (t) = Uˆ (t, t0 )|Ψ(t0 ) = eiHˆ 0 (t−t0 )/~ |Ψ(t0 )i ,
(3.55)
(3.56)
´es az oper´atorok, ˆ ˆ −iHˆ 0 (t−t0 )/~ , AˆD (t) = Uˆ (t0 , t)AˆUˆ (t0 , t)† = eiH0 (t0 −t)/~ Ae
(3.57)
f¨ uggenek az id˝ot˝ol ( mozognak”). ” Mozg´asegyenletek: ∂|Ψ(t)i ∂ D dUˆ (t, t0 ) Ψ (t) = |Ψ(t)i + Uˆ (t, t0 ) ∂t dt ∂t 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ0 + K ˆ (t) |Ψ(t)i = − H0 U (t, t0 ) |Ψ(t)i + U (t, t0 ) H i~ i~ 1 ˆ ˆ (t) |Ψ(t)i = 1 K ˆ D (t) ΨD (t) = U (t, t0 )K i~ i~
(3.58) (3.59) (3.60)
⇓ i~
∂ D ˆ D (t) ΨD (t) , Ψ (t) = K ∂t
(3.61)
illetve dAˆD (t) dUˆ (t, t0 ) ˆ ˆ dUˆ (t0 , t)† = AU (t0 , t)† + Uˆ (t0 , t)Aˆ = dt dt dt 1 ˆ 1 ˆ ˆ † ˆˆ ˆ 0 Uˆ (t0 , t)† U (t, t0 )AˆH =− H 0 U (t, t0 )AU (t0 , t) + i~ i~ i 1 h ˆD ˆ D (t) . = A (t) , H 0 i~
67
(3.62) (3.63) (3.64)
Az A dinamikai mennyis´eg id˝obeli v´altoz´asa a Dirac-k´epben: dA(t) d = hΨD (t) |AˆD (t) |ΨD 2 (t)i dt dt 1 h i 1 ˆD (t) K ˆ D (t) − K ˆ D (t) AˆD (t) + AˆD (t) , H ˆ D (t) |ΨH (t)i = hΨD (t) | A 0 2 i~ 1 h i 1 ˆ D (t) |ΨH (t)i , (t) | AˆD (t) , H = hΨD 2 i~ 1
(3.65) (3.66) (3.67)
ami ism´etelten ekvivalens az (3.53) ´es (3.46) egyenletekkel. Az a´llapot id˝of¨ ugg´ese explicite meghat´arozhat´o a (3.61) egyenlet kiintegr´al´as´aval, D Ψ (t) = Sˆ (t, t0 ) ΨD (t0 ) , (3.68) ahol az a´llapotok id˝ofejleszt˝o oper´atora a Dirac-k´epben: tZn−1 n Z t Zt1 ∞ X i ˆ D (t1 ) K ˆ D (t2 ) . . . K ˆ D (tn ) dtn K dt1 dt2 . . . Sˆ (t, t0 ) = − ~ n=0
n ∞ X 1 i = − n! ~ n=0
t0
t0
t0
Zt
Zt dt1
t0
(3.69)
Zt dt2 . . .
t0
ˆ D (t1 ) K ˆ D (t2 ) . . . K ˆ D (tn ) , dtn T K
(3.70)
t0
ahol T az id˝orendez´est jel¨oli: ˆ D (t1 ) K ˆ D (t2 ) . . . K ˆ D (tn ) = K ˆ D (t0 ) K ˆ D (t0 ) . . . K ˆ D (t0 ) T K 1 2 n (t01 , t02 , . . . , t0n ) ∈ P (t1 , t2 , . . . , tn ) : t01 > t02 > . . . > t0n . {z } | t1 ,t2 ,...,tn permut´ aci´ oi
Szok´as az Sˆ (t, t0 ) oper´atort a kompakt, i Sˆ (t, t0 ) = T exp − ~
Zt
ˆ D (t0 ) dt0 . K
(3.71)
t0
alakban is ´ırni, amely azonban csak egy jel¨ol´es. Egyr´eszt a k¨ ul¨onb¨oz˝o id˝oponthoz tartoz´o D ˆ K oper´atorok nem felt´etlen¨ ul kommut´alnak, nem mindegy ezek sorrendje, m´asr´eszt az exponenci´alisban szerepl˝o id˝ointegr´al elv´egz´ese ut´an m´ar nem lenne mit id˝orendezni. A (3.71) egyenlet teh´at csak egy jel¨ol´es, ami alatt teh´at mindig a (3.69) k´epletet kell ´erteni.
68
3.2. Feladatok 3.2.1. P´ eld´ ak 3.1. Feladat Adja meg a line´aris harmonikus oszcill´ator Schr¨odinger–egyenlet´et impulzus t´erben! Hat´arozza meg a saj´at´ert´ekeket ´es a saj´atf¨ uggv´enyeket! 3.2. Feladat Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o hull´amf¨ uggv´enyt: 2
− x2 1 4σ0 ψ(x) = p e . 4 2 2πσ0
(3.72)
a) Adjuk meg a fenti hull´amf¨ uggv´eny ϕ(p) impulzusreprezent´aci´oj´at! ´ b) Irjuk f¨ol az id˝ot˝ol f¨ ugg¨o Schr¨odinger egyenletet impulzust´erben a ϕ(p, t) f¨ uggv´enyre, felt´etelezve, hogy azt a k¨ovetkez˝o szabad Hamilton oper´ator fejleszti: H=−
~2 d2 ! 2m dx2
(3.73)
c) Adjuk meg val´os t´erben is a ψ(x, t) hull´amf¨ uggv´enyt! d oper´atort a 3.3. Feladat Az 1.7. feladatban l´attuk, hogy a Pb[0,L] = ~i dx D Pb[0,L] = ψ ∈ L2 ([0, L]) | ψ 0 ∈ L2 ([0, L]) ´es ψ (0) = ψ (L) = 0
(3.74)
´ertelmez´esi tartom´anyon szimmetrikus de nem ¨onadjung´alt. Az L sz´ eles v´ egtelen m´ely potenci´aldobozba z´art r´eszecske (2.4. feladat) eset´en azonban ´epp D Pb[0,L] az ´ertelmez´esi tartom´any. Az axi´om´ak k¨oz¨ott azonban azt is r¨ogz´ıtett¨ uk, hogy a dinamikai mennyis´egeket (´ıgy az impulzust is) o¨nadjung´alt oper´atorokkal reprezent´aljuk ´ıgy az impulzus reprezent´al´ as´ ara nem haszn´alhatjuk a Pb[0,L] oper´atort. Az impulzus lehets´eges ´ert´ekeinek eloszl´as´at le´ır´ o impulzus-t´erbeli hull´amf¨ uggv´enyt azonban k¨onnyen meghat´arozhatjuk. Mi lesz ennek az alakja? 3.4. Feladat Oldjuk meg impulzus reprezent´aci´oban a Schr¨odinger-egyenletet V (x) = qEx (E > 0) line´aris potenci´alra! Mutassuk meg, hogy koordin´ata reprezent´aci´oban az E saj´ atenergi´ahoz tartoz´o saj´atf¨ uggv´eny √ α E 2α Ai x− (3.75) Ψ(x) = ~ ~ qE Seg´ıts´ eg:. 1 Ai (y) = √ π
Z
∞
cos
0
t3 + ty dt 3
az Airy-f¨ uggv´eny. Eml´ıts¨ uk meg, hogy az Airy-f¨ uggv´eny aszimptotikus alakja 1 2 3/2 exp − y y→∞ 1/4 3 2y Ai (y) ' . 1 sin 2 |y|3/2 + π y → −∞ 3 4 |y|1/4 69
3.5. Feladat Adjuk meg az xˆ koordin´ata ´es a pˆ impulzus oper´ator m´atrix´at a harmonikus oszcill´ator bet¨olt´esi sz´am reprezent´aci´oj´aban, vagyis az |ni vektorok b´azis´an! Teljes¨ ul-e a m´ atrixokra a Heisenberg-f´ele felcser´el´esi rel´aci´o? 3.6. Feladat Az m t¨omeg˝ u r´eszecske h´aromdimenzi´os harmonikus rezg´eseit le´ır´o Hamilton oper´ator 3 3 X 1 X 2 1 2 x2n , pn + mω H= 2m n=1 2 n=1 ahol ω az oszcill´ator saj´atfrekvenci´aja. Vezess¨ uk be az 1 xn xn pn 1 pn + an = √ +i ´es an = √ −i , p0 p0 2 x0 2 x0
n = 1, 2, 3
l´eptet˝o oper´atorokat, ahol √ ~ , p0 = ~mω . mω Mutassuk meg, hogy az impulzusmomentum oper´ator el˝o´all az r
x0 =
L=
~ † a ×a i
alakban! Felhaszn´alva a Hamilton oper´ator l´eptet˝o oper´atoros kifejez´es´et bizony´ıtsuk be, hogy [H, L] = 0 ! Milyen m´as megfontol´as alapj´an juthatunk ugyanerre az eredm´enyre? 3.7. Feladat A ∆x∆p ≥ ~/2 hat´arozatlans´agi ¨osszef¨ ugg´es alapj´an mutassuk meg, hogy az egydimenzi´os oszcill´ator energi´aja nem lehet kisebb mint ~ω/2! 3.8. Feladat Hat´arozza meg ∆Lx ´es ∆Ly ´ert´ek´et az L2 ´es Lz oper´atorok tetsz˝oleges k¨oz¨os saj´ at´allapot´aban! ˆ 2 ´es L ˆ z oper´atorok k¨oz¨os |`, `i saj´at´allapot´aban L ˆ 2 saj´at´ert´eke ~2 `(`+1), 3.9. Feladat Az L ˆ 2z saj´at´ert´eke ~2 `2 . Mutassuk meg, hogy a k´et saj´at´ert´ek k¨ozti elt´er´es L ˆ x ´es L ˆy m´ıg L elmos´odotts´ag´ab´ol ad´odik! i h ˆ x, L ˆ y = ı~L ˆ z kommut´ator v´arhat´o ´ert´ek´et egy |`, mi ´allapotSeg´ıts´ eg:. Vizsg´aljuk az L ban! 3.10. Feladat Egy egydimenzi´os harmonikus oszcill´ator eset´en az a, a† lefel´e ´es felfel´e l´eptet˝o oper´atorokat transzform´aljuk Heisenberg k´epbe! 3.11. Feladat Egy rendszer Hamilton oper´ator´at a k¨ovetkez˝o k´eppen ´ırhatjuk fel: H = H0 + V (t) ´ Irjuk fel az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger egyenletet k¨olcs¨onhat´asi k´epben!
70
3.2.2. Megold´ asok 3.1 Megold´ as A harmonikus oszcill´ator Hamilton oper´atora a k¨ovetkez˝o: pˆ2 m H= + ω 2 xˆ2 2m 2 Impulzus reprezent´aci´oban az impulzus oper´atora az impulzussal val´o szorz´as, a hely opertora pedig az impulzus szerinti deriv´al´as: xˆ = −
~ d , i dp
ennek megfelel˝oen az id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger-egyenletet a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel: m d2 ϕ p2 ϕ(p) − ~2 ω 2 2 = Eϕ(p) . 2m 2 dp A Schr¨odinger-egyenlet megold´as´ahoz el˝obb tekints¨ uk a harmonikus oszcill´ator saj´at´ert´ek egyenlet´et koordin´ata reprezent´aci´oban: ~2 d2 ϕ m 2 2 + ω x ϕ(x) = Eϕ(x) , 2m dx2 2 amelynek a megold´asai a (2.50) eygenlet alapj´an x2 − 2 x ϕn (x) = Nn Hn (3.76) e 2x0 x0 q ~ alak´ uak lesznek, ahol x0 = mω . Rendezz¨ uk ´at a k´et reprezent´aci´oban fel´ırt Schr¨odinger √ egyenletet, ´es haszn´aljuk a p0 = ~mω jel¨ol´est: −
−
d2 ϕ 1 2m + 4 x2 ϕ(x) = Eϕ(x) 2 dx x0 ~2 d2 ϕ 2 1 2 p ϕ(p) − = Eϕ(p) 4 p0 dp2 mω 2 ~2
A k´et egyenletet ¨osszevetve fel´ırhatjuk az impulzus reprezent´aci´obel saj´atf¨ uggv´enyeket: p2 − 2 p ϕn (p) = Nn Hn e 2p0 . p0 A saj´atenergi´ak nyilv´anval´oan megegyeznek a k´et reprezent´aci´oban. 3.2 Megold´ as a) A hull´amfuggv´eny impulzus reprezent´aci´obeli alakja ϕ(x) Fourier transzform´altja lesz: Z∞ Z∞ x2 i − 2 + ~ px i 1 1 1 4σ0 p ϕ(p) = √ e ~ px ψ(x)dx = √ dx = e 4 2π~ 2π~ 2πσ02 −∞
Z∞
−∞ 2 σ2 − 12 x−2i ~0 p
σ2 1 1 − 20 p2 p = √ e ~ e 2π~ 4 2πσ02 −∞ r 2 2 σ 4 2σ0 − 0 p2 ~2 = e ~2 π
4σ0
71
σ2 1 1 − 20 p2 p dx = √ e ~ 2π~ 4 2πσ02
q 2π2σ02 =
b) Az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger egyenlet: p2 ∂ ϕ(p, t) = i~ ϕ(p, t) , 2m ∂t melynek megold´asa r ϕ(p, t) =
4
2σ02 − σ202 p2 −iωt e ~ e . ~2 π
Behelyettes´ıtve az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger egyenletbe ~ω = f¨ ugg˝o hull´amf¨ uggv´enyt a k¨ovetkez˝o alakba ´ırhatjuk fel: r 2 4 2σ0 − 1 (σ 2 + i~t )p2 e ~2 0 2m ϕ(p, t) = ~2 π
p2 2m
ad´odik. Teh´at az id˝o-
c) A koordin´ata reprezent´aci´obeli hull´amf¨ uggv´enyt az impulzus t´erbeli hull´amf¨ uggv´eny inverz Fourier transzform´aci´oj´aval kaphatjuk meg: 1 ψ(x, t) = √ 2π~
Z∞
r − ~i px 4
e −∞
1 = √ 2π~
r
1 = √ 2π~
r
4
4
i~t 2σ02 − 12 (σ02 + 2m )p2 dp = e ~ 2 ~π x2
i~t 2σ02 − 4(σ02 + 2m ) e 2 ~π x2 − 2 + i~t 4 σ0 2m
2σ02 e ( ~2 π
Z∞ e
−
1 ~2
i~t ) (σ02 + 2m
p+ i~ 2
x 2 + i~t σ0 2m
dp =
−∞
s )
2
~2 2π 2 σ02 +
1
i~t 2m
= q 4 2π σ02 +
3.3 Megold´ as A val´os t´erbeli hull´amf¨ uggv´eny alakja: r nπ nπ r 2 ei nπ x L 2 − e−i L x sin x = ψn (x) = L L L 2i
−
e i~t 2
x2 2 + i~t 4 σ0 2m
(
)
2m
(3.77)
A Fourier-komponensek itt r´an´ez´esre l´atszanak, ´ıgy az impulzust´erbeli hill´amf¨ uggv´enyre nπ nπ a naiv v´arakoz´as egy L -re ´es egy − L -re egyenl˝o s´ ullyal centr´alt hull´amf¨ uggv´eny lenne, amelyb˝ol 1 ~nπ 1 ~nπ P p= = P p=− = (3.78) L 2 L 2 val´ osz´ın˝ us´egi eloszl´ast kapn´ank a m´er´esi eredm´enyekre, amit k´et Dirac-delt´aval ´ırhatunk le: 1 ~nπ 1 ~nπ 2 |Φ(p)| = δ p − + δ p+ (3.79) 2 L 2 L Fourier-transzform´alnunk azonban teljes R-en kell, a 2.11 megold´ashoz hasonl´oan akkor jutunk helyes eredm´enyre, ha a teljes R-en dolgozunk. Az el˝oz˝o eredm´eny akkor lenne helyes, ha a hull´amf¨ uggv´eny periodikusan folytat´odna! Val´oj´aban a hull´amyf¨ uggv´eny alakja r r i nπ x nπ nπ 2 x 1 2 e L − e−i L x x 1 ψn (x) = sin x Rect − = Rect − , (3.80) L L L 2 L 2i L 2 72
3.1. a´bra. |Φ(p)|2 alakja k¨ ul¨onb¨oz˝o n-hez tartoz´o gerjesztett ´allapotok eset´en.
ahol Rect(x) az ablak-f¨ uggv´eny: ( 1, ha |x| < Rect(x) = 0, ha |x| >
1 2 1 2
(3.81)
Tudjuk, hogy f¨ uggv´enyek szorzata Fourier-t´erben konvol´ uci´ov´a v´alik. Mivel az exponenci´ alis f¨ uggv´enyek Fourier-transzform´altjai a ± nπ helyre centr´ L alt Dirac-delt´ak,sin´exs a Rect p 1 f¨ uggv´eny Fourier transzform´altja egy FRect(x) = √2 sinc 2 , ahol sinc(x) = x , a hull´ amf¨ uggv´eny Fourier-transzform´altja: r −nπ 1 L i pL 1 pL i ~ inπ e 2 sinc − nπ − e sinc (p + nπ) Φ(p) = FΨ(x) = 2 π~ 2 ~ 2 (3.82) |Φ(p)|2 k¨ ul¨onb¨oz˝o n ´ert´ekekre a 3.1 ´abr´an l´athat´o L = 1 ´es ~ = 1 egys´egeket haszn´alva. 3.4 Megold´ as A rendszer id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger egyenlet´et a k¨ovetkez˝ok´eppen adhatjuk meg impulzus reprezent´aci´oban: ~ dϕ p2 ϕ(p) − qE = Eϕ(p) . 2m i dp Rendezz¨ uk ´at a differenci´al egyenletet: 2 dϕ p 1 = i −E ϕ(p) dp 2m qE~ 3 p 1 ln ϕ = i − Ep + ln C 6m qE~ i
ϕ(p) = Ce
p3 −Ep 6m
1 qE~
(3.83) (3.84) (3.85)
´ a C konsVil´ agos, hogy ϕ(p) norm´aja diverg´al, teh´at sz´or´asi ´allapottal van dolgunk. Igy tans ak´ar el is hagyhat´o. H´atra van m´eg az eredm´eny val´os t´erbe val´o ´attranszform´al´asa, amely egy inverz Fourier-transzform´aci´ot jelent: √ Z∞ Z∞ px p3 1 i ~ + 6m −Ep qE~ 1 dp 2 p3 x E ψ(E, x) = √ e =√ cos + − p dp ~ 6mqE~ ~ qE~ π~ 2π −∞
0
(3.86) 73
3.2. a´bra. √ Bevezetve α = 3 2mqE~-t, illetve t = αp v´altoz´ot, illetve felhaszn´alva a (3.75) egyenletet a k¨ ovetkez˝ot kapjuk: √ Z∞ √ 3 2α α E 2α α E t ψ(E, x) = √ + x− t dt = Ai x− (3.87) cos 3 ~ qE ~ ~ qE π~ 0
A megold´as a 3.2 ´abr´an l´athat´o. A lecseng˝o r´esz ott van, ahol E < qEx, az E > qEx esetben oszcill´al a megold´as. Az Airy-f¨ uggv´eny −∞-ben vett limesz´enek lecseng´ese csak − 41 uggv´eny nem norm´alhat´o (l´asd: 7.1.2 |y| -nel ar´anyos, innen is l´athat´o, hogy a hull´amf¨ fejezet elej´en l´ev˝o gondolatmenet). 3.5 Megold´ as A (3.15)-beli defin´ıci´oj´ab´ol vil´agos, hogy r r ~ m~ω † † xˆ = a ˆ +a ˆ pˆ = i a ˆ −a ˆ (3.88) 2mω 2 Innen xˆ ´es pˆ m´atrixa: √ √ 0 1 0 0 · · · 0 −i 1 0 0 · · · √ √ √ √ 1 0 i 1 r r 2 0 · · · 0 −i 2 0√ · · · √ √ √ ~ m~ω 0 2 0 3 · · · 0 i 2 0 −i 3 · · · X= P = √ √ 2mω 0 2 0 0 3 0 · · · 0 i 3 0 · · · .. .. .. .. . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . (3.89) Ennek m´atrixelemei: (√ r √ n · δn+1,m + n − 1 · δn−1,m , ha n > 1 ~ (3.90) Xnm = √ 2mω n · δn+1,m , ha n = 1 ( √ r √ m~ω −i n · δn+1,m + i n − 1 · δn−1,m , ha n > 1 Pnm = (3.91) √ 2 −i n · δn+1,m , ha n = 1 74
XP
n,k
=
X m
p ~ p Xn,m Pm,k = i − n(n + 1)δn+2,k +nδn,k − (n − 1)δn,k + (n − 1)(n − 2)δn−2,k {z } | 2 δn,k
(3.92) PX
n,k
=
X m
p ~ p Pn,m Xm,k = i − n(n + 1)δn+2,k −nδn,k + (n − 1)δn,k + (n − 1)(n − 2)δn−2,k | {z } 2 −δn,k
(3.93) Innen teh´at a 2.1.2 egyenletben szerepl˝o Heisenberg-f´ele felcser´el´esi rel´aci´o helyesen ad´odik: ~ P X − XP n,k = δn,k (3.94) i Vagy m´atrix alakban: ~ P X − XP = I (3.95) i 3.6 Megold´ as A l´eptet˝o oper´atorok seg´ıts´eg´evel kifejezhetj¨ uk a hely ´es impulzus oper´atorokat vektori´alis alakban: x0 p0 r = √ a + a† , p = √ a − a† . 2 i 2 Az impulzusmomentum definici´oja szerint: L=r×p=
~ ~ ~ † a + a† × a − a† = a × a − a × a† = a† × a 2i 2i i
Bet¨olt´essz´am reprezent´aci´oban az izotr´op 3D Hamilton oper´ator a k¨ovetkez˝o lesz: 3 † H = ~ω a a + . 2 Az L oper´ator komponenseivel vett kommut´atorai a k¨ovetkez˝o alakot o¨ltik, ahol az Einsteinkonvenci´ot alkalmazzuk: h i h i [H, Li ] = ~ω a†j aj , ikl a†k al = ~ωikl a†j aj , a†k al † † † † † † † † = ~ωikl aj [aj , ak al ] + [aj , ak al ]aj = ~ωikl aj [aj , ak ]al + ak [aj , al ]]aj = ~ωikl a†j al δjk − a†k aj δjl = 0 Teh´ at a Hamilton-oper´ator felcser´elhet˝o az L oper´atorral. Term´eszetesen a 3D izotr´op harmonikus potenci´al g¨ombszimmetrikus, ez´ert az impulzusmomentum nyilv´anval´oan megmarad´o mennyis´eg lesz. 3.7 Megold´ as (∆x)2 (∆p)2 =
2 x n − hxi2n · p2 n − hpi2n
A fenti kifejez´esben szerepl˝o tagokat kell kisz´amolnunk: r ~ hxin = hn| a† + a |ni = 0 2mω 75
(3.96)
(3.97)
r hpin = i
m~ω hn| a† − a |ni = 0 2
(3.98)
Felhaszn´alva, hogy a, a† = I ~ ~ 2 2 hn| a† + a2 + aa† + a† a |ni = hn| a† + a2 + 2a† a + 1 |ni = 2mω 2mω ~ ~ 1 = (0 + 0 + 2n + 1) = n+ 2mω mω 2
2 x n =
2 m~ω m~ω 2 2 p n = − hn| a† + a2 − aa† − a† a |ni = − hn| a† + a2 − 2a† a − 1 |ni = 2 2 m~ω 1 = − (0 + 0 − 2n − 1) = m~ω n + 2 2 Ezeket behelyettes´ıtve: 2
2
2 1 2 2 2 (∆x) (∆p) = x n − hxin · p n − hpin = ~ n + 2 1 ~ ∆x∆p = ~ n + ≥ 2 2 2
2
(3.99)
(3.100)
Alap´allapotban (n=0) az egyenl˝otlens´eg ´epp ´eles. Ekkor a hull´amf¨ uggv´eny egy Gaussf¨ uggv´eny: mω 41 mω 2 e− 2~ x (3.101) ~π Err˝ ol az ´allapotr´ol az elm´eleti r´eszben l´attuk, hogy ´eles r´a a Heisenberg-hat´arozatlans´ag, ezzel ¨osszhangban ´all mostani eredm´eny¨ unk is. A Hamilton-oper´atorban ´epp p2 ´es x2 oper´ atorok szerepelnek, ´ıgy k¨onnyen megadhatjuk az alap´allapotban ezen k´et tag energiaj´ arul´ek´at: hp2 i0 mω 2 2 ~ω ~ω ~ω + x 0= + = (3.102) E0 = 2m 2 4 4 2 Azt mondhatjuk teh´at, hogy a harmonikus oszcill´ator alap´allapot´aban a Heisenberg-hat´arozatlans´ ag ~ω miatt elmos´odott a koordin´ata ´es az impulzus, az ebb˝ol j¨ov˝o energiaj´arul´ek adja az E0 = 2 nullponti energi´at. 3.8 Megold´ as Vezess¨ uk be az L+ = Lx +iLy felfel´e ´es L− = Lx −iLy lefel´e l´eptet˝o oper´atorokat. Ezak hat´asa az L2 ´es Lz oper´atorok |l, mi k¨oz¨os saj´at´allapot´ara a k¨ovetkez˝ok´eppen adhat´o meg: p L+ |l, mi = ~ l(l + 1) − m(m + 1)|l, m + 1i p L− |l, mi = ~ l(l + 1) − m(m − 1)|l, m − 1i . A l´eptet˝o oper´atorok seg´ıts´eg´evel egyszer˝ uen kifejezhetj¨ uk az impulzusmomentum oper´ator x,y komponenseit: 1 1 Lx = (L+ + L− ) , Ly = (L+ − L− ) 2 2i 76
A ∆Lx sz´or´as definici´oja: ∆Lx =
p hl, m|L2x |l, mi − hl, m|Lx |l, mi2 ,
hasonl´ok´eppen defini´aljuk a ∆Ly -t is. Az hl, m|Lx |l, mi, hl, m|Ly |l, mi v´arhat´o ´ert´ekek elt˝ unnek, hiszen 1 hl, m|Lx |l, mi = hl, m|L+ + L− |l, mi 2 1p = l(l + 1) − m(m + 1)hl, m|l, m + 1i 2 1p + l(l + 1) − m(m − 1)hl, m|l, m − 1i = 0 2 az ortogonalit´as miatt. Hasonl´oan bel´athatjuk az impulzusmomentum oper´ator y komponens´enek v´arhat´o ´ert´ek´ere is. Az hl, m|L2x |l, mi, hl, m|L2y |l, mi mennyis´egek meghat´aroz´as´ ahoz fejezz¨ uk ki a komponenseket a l´eptet˝o oper´atorok seg´ıts´eg´evel: 1 1 ∆L2x = hl, m| (L+ + L− )2 |l, mi = hl, m| (L2+ + L2− + L+ L− + L− L+ )|l, mi 4 4 1 = hl, m| (L+ L− + L− L+ )|l, mi 4 1 1 2 ∆Ly = hl, m| (L+ + L− )2 |l, mi = −hl, m| (L2+ + L2− − L+ L− − L− L+ )|l, mi 4 4 1 = hl, m| (L+ L− + L− L+ )|l, mi 4 Az el˝oz˝o k´epletben csak azok a tagok maradnak meg, amelyek ugyanannyi felfel´e ´es lefel´e l´eptet˝o oper´atort tartalmaznak a saj´at´allapotok ortogonalit´asa miatt. Azt is lesz˝ urhetj¨ uk a fenti eredm´enyb˝ol, hogy az impulzusmomentum x ´es y komponens´enek ugyanakkora lesz a sz´ or´ asa. hl, m|L+ L− |l, mi = |L− |l, mi|2 = ~2 (l(l + 1) − m(m − 1)) hl, m|L− L+ |l, mi = |L+ |l, mi|2 = ~2 (l(l + 1) − m(m + 1)) Az el˝oz˝oekb˝ol k¨ovetkezik, hogy 1 p ∆Lx = ∆Ly = ~ l(l + 1) − m2 . 2
(3.103)
3.9 Megold´ as Tudjuk, hogy az impulzusmomentum x, y ´es z komponensei k¨oz¨ott fenn´all a k¨ ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es: h i ˆ ˆ ˆz Lx , Ly = ı~L (3.104) ˆ z oper´ator egy k¨oz¨os |l, mi saj´atf¨ ˆ x |l, mi = Tekints¨ uk az Lˆ2 ´es az L uggv´eny´et. Ekkor hl, m| L ˆ hl, m| Ly |l, mi = 0. Ebben az ´allapotban v´eve a v´arhat´o ´ert´ekeket a (3.32) k´epletben, illetve ˆ x ´es B ˆ=L ˆ y v´alaszt´assal ´elve (felhaszn´alva a (3.103) egyenletet) azt kapjuk, hogy Aˆ = L ˆ 2 |l, mi hl, m| L ˆ 2 |l, mi = hl, m| L ˆ 2 |l, mi2 ≥ hl, m| L y x x 77
2 ~ ˆ hl, m| Lz |l, mi 2
(3.105)
Gy¨ ok¨ot vonva ~ 2 ˆ ˆ hl, m| Lx |l, mi ≥ hl, m| Lz |l, mi (3.106) 2 D E D E ˆ 2 -t ´es L ˆ 2 -t a k¨ovezkez˝ot kapjuk: Mindk´et oldalhoz hozz´aadva L y z ˆ z |l, mi + hl, m| L ˆ 2z |l, mi ˆ 2x |l, mi + hl, m| L ˆ 2y |l, mi + hl, m| L ˆ 2z |l, mi ≥ ~ hl, m| L hl, m| L {z } | hl,m|Lˆ2 |l,mi
(3.107) Azaz ~2 ` (` + 1) ≥ ~2 |m| + ~2 m2 = ~2 |m| (|m| + 1)
(3.108)
Vagyis innen is megkapjuk a 4.32 egyenlet |m| ≤ ` ¨osszef¨ ugg´es´et. Azt is tudjuk, hogy ha 2 2 2 ˆ |m| = `, akkor az Lz saj´at´ert´eke ~ ` , ami kisebb, mint az Lˆ2 saj´at´ert´eke: ~2 ` (` + 1). Ez klasszikus szemmel furcsa, hiszen azt v´arn´ank, hogy ekkor az impulzusmomentum vektor teljesen befordul a z tengely ir´any´aba. A kvantummechanik´aban azonban az impulzusˆ z k¨oz¨os momentum nem egyD egyszer˝ hanem egy vektor oper´ator! Egy Lˆ2 ´es L E Du vektor, E ˆx = L ˆ y = 0, a (3.104) egyenlet miatt sz´or´asuk m´egsem 0, azaz saj´ at´allapotban b´ar L elmos´odottak. Ha egy szeml´eletes k´epet szeretn´enk kicsikarni akkor azt is mondhatjuk, hogy ekkor b´ar az Lz komponenes maxim´alis, az Lx ´es Ly Heisenberg hat´arozatlans´agb´ol sz´ armaz´o elmos´odotts´aga miatt az impulzusmomentum vektor kicsit hosszabb, az x ´es y komponens j´arul´eka ´epp a (3.107)-ben szerepl˝o ~2 |m| tag, ami a |m| = ` megegyezik az ˆ 2 saj´at´ert´ekeinek k¨ ul¨onbs´eg´evel. Lˆ2 ´es L z 3.10 Megold´ as Az egydimenzi´os harmonikus oszcill´ator Hamilton oper´atora a l´eptet˝o oper´ atorok seg´ıts´eg´evel a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o fel: 1 † H = ~ω a a + 2 A l´eptet˝o oper´atorokra a k¨ovetkez˝o felcser´el´esi rel´aci´ok ´erv´enyesek: [H, a] = −~ωa ,
[H, a† ] = −~ωa† .
(3.109)
A Heisenberg-k´epre a k¨ovetkez˝o transzform´aci´oval t´erhet¨ unk ´at: i
i
AH = e ~ Ht AS e− ~ Ht , ahol AH ´es AS egy oper´ator Heisenberg- ´es Schr¨odinger-k´epben. Alkalmazzuk a transzform´ aci´ot az a lefel´e l´eptet˝o oper´atorra, ´es haszn´aljuk a 1.2. feadatban szerepl˝o Hausdorff kifejt´est: 2 i i i 1 i Ht − Ht aH = e ~ ae ~ = a + t[H, a] + t [H, [H, a]] + . . . ~ 2! ~ Haszn´aljuk ki a (3.109) felcser´el´esi rel´aci´okat az el˝oz˝o Hausdorff kifejt´esben: ∞ X 1 1 2 aH = a − iωta + (−iωt) a + · · · = a (−iωt)n = e−iωt a . 2! n! n=0
Hasonl´oan hat´arozhatjuk meg az a† felfel´e l´eptet˝o oper´ator alakj´at Heisenberg reprezent´aci´ oban: i i a†H = e ~ Ht a† e− ~ Ht = eiωt a† . 78
3.11 Megold´ as Az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger-egyenletet a k¨ovetkez˝o alakban adhatjuk meg Schr¨odinger k´epben: ∂ (H0 + V (t)) |ϕi = i~ |ϕi ∂t i
i
B˝ ov´ıts¨ uk a hull´amf¨ uggv´enyt az I = e− ~ H0 t e ~ H0 t egys´egoper´atorral: i i i ∂ i (H0 + V (t)) e− ~ H0 t e ~ H0 t |ϕi = i~ e− ~ H0 t e ~ H0 t |ϕi ∂t i i i i i i ∂ i e− ~ H0 t H0 + V (t)e− ~ H0 t e ~ H0 t |ϕi = e− ~ H0 t H0 e ~ H0 t |ϕi + i~e− ~ H0 t e ~ H0 t |ϕi ∂t i
Balr´ol beszorozva az egyenletet az e ~ H0 t oper´atorral a k¨ovetkez˝o egyenletet nyerj¨ uk: i
i
i
e ~ H0 t V (t)e− ~ H0 t e ~ H0 t |ϕi = i~
∂ i H0 t e ~ |ϕi . ∂t
Ha bevezetj¨ uk az id˝of¨ ugg˝o potenci´al ´es a hull´amf¨ uggv´eny k¨olcs¨onhat´asi k´ep´et, i
i
i
Vk (t) = e ~ H0 t V (t)e− ~ H0 t , |ϕk i = e ~ H0 t |ϕi , akkor a k¨ovetkez˝o id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger egyenletet kapjuk: Vk (t)|ϕk (t)i = i~
79
∂ |ϕk (t)i . ∂t
4. fejezet A perdu es spin ¨ let ´ 4.1. Elm´ elet 4.1.1. Defin´ıci´ ok ´ es felcser´ el´ esi rel´ aci´ ok A h´aromdimenzi´os euklid´eszi t´erben az n tengely k¨or¨ uli dϕ sz¨og˝ u, o´ramutat´o j´ar´as´aval ellent´etes ir´any´ u, infinitezim´alis forgat´ast az r0 = R (n,dϕ) r = r + dϕ n × r
(4.1)
transzform´aci´o ´ırja le. Ennek hat´as´at egy f skal´arf¨ uggv´enyre az f 0 (r0 ) = f (r) =⇒ f 0 (r) = f R−1 (n,dϕ) r
(4.2)
ugg´es defini´alja, amit a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatunk a´t: ¨osszef¨ f 0 (r) = f (r − dϕ n × r) ' f (r) − (n × r) ∇f (r) dϕ = f (r) − (r × ∇f (r)) ndϕ i (4.3) = I − Lndϕ f (r) , ~ ahol bevezett¨ uk az ~ L=r× ∇=r×p, (4.4) i perd¨ uletoper´atort. K¨onnyen bel´athat´o, hogy tesz˝oleges R (n,ϕ) ∈ SO(3) forgat´asra, i
f 0 (r) = e− ~ Lnϕ f (r) .
(4.5)
A perd¨ ulet (impulzusmomentum) defin´ıci´oja a kvantummechanik´aban teh´at form´alisan megegyezik a klasszikus mechanikai t¨omegpont perd¨ ulet´evel, azonban, a hely- ´es impulzusoper´atorok k¨oz¨otti csererel´aci´ok k¨ovetkezt´eben, komponensei nem felcser´elhet˝oek: [Lα , Lβ ] = i~ εαβγ Lγ ,
(4.6)
[Lx , Ly ] = i~ (x py − y px ) = i~ Lz ,
(4.7)
vagy komponensenk´ent fel´ırva,
80
[Ly , Lz ] = i~ (z py − y pz ) = i~ Lx ,
(4.8)
[Lz , Lx ] = i~ (z px − x pz ) = i~ Ly ,
(4.9)
L × L = i~ L .
(4.10)
illetve ¨osszes´ıtve A (4.6) vagy (4.10) rel´aci´okat kiel´eg´ıt˝o vektoroper´atorok u ´n. Lie-algebr´at alkotnak. 4.1. T´ etel Az Li oper´atorok k¨oz¨os |ψi saj´atf¨ uggv´enyei csak a z´erus saj´at´ert´ekhez tartozhatnak. Bizony´ıt´as. T´etelezz¨ uk fel pl., hogy |ψi az Lx ´es Ly k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´enye valamely a illetve b saj´at´et´ekkel: Lx |ψi = a |ψi , Ly |ψi = b |ψi . Ekkor a (4.7) egyenletb˝ol k¨ovetkezik, Lz |ψi =
1 (Lx Ly |ψi − Ly Lx |ψi) = |0i . i~
Viszont akkor (4.8) alapj´an Lx |ψi =
1 (Ly Lz |ψi − Lz Ly |ψi) = |0i , i~
´es ugyan´ıgy, (4.9) alapj´an Ly |ψi = 0, teh´at a = b = 0. u4.2. T´ etel A csererel´aci´okb´ol k¨ovetkezik, hogy az L2 = L2x + L2y + L2z oper´ator a perd¨ letoper´ator b´armely komponens´evel kommut´al. Bizony´ıt´as. [L2 , Lα ] = [Lβ Lβ , Lα ] = Lβ [Lβ , Lα ] + [Lβ , Lα ]Lβ = i~βαγ (Lβ Lγ + Lγ Lβ ) = i~ (βαγ + βγα ) Lβ Lγ = 0 .
(4.11)
4.1.2. Az impulzusmomentum oper´ atorok saj´ at´ ert´ ekei Az a´ltal´anoss´ag kedv´e´ert jel¨olj¨ uk a Lie-algebr´at alkot´o vektoroper´atorokat Jα -val. Az J2 ´es b´armely Ji oper´atoroknak l´etezik k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´eny rendszere. Tradicion´alis okokb´ol v´alasszuk ki a Jz oper´atort ´es vezess¨ uk be a J± ≡ Jx ± iJy ⇒ (J± )† = J∓
(4.12)
oper´atorokat, melyekre teljes¨ ulnek az al´abbi csererel´aci´ok, [Jz , J± ] = ±~J± , [J+ , J− ] = 2~Jz , [J2 , J± ] = 0 .
(4.13)
Fejezz¨ uk ki az J2 oper´atort az J± ´es Jz oper´atorokkal: J+ J− = (Jx + iJy ) (Jx − iJy ) = Jx2 + Jy2 + i(Jy Jx − Jx Jy ) = Jx2 + Jy2 + ~Jz = J2 − Jz2 + ~Jz | {z } −i~Jz
(4.14) 81
J− J+ = (Jx − iJy ) (Jx + iJy ) = Jx2 + Jy2 − i(Jy Jx − Jx Jy ) = Jx2 + Jy2 − ~Jz = J2 − Jz2 − ~Jz | {z } −i~Jz
(4.15) ⇓ J2 =
1 (J+ J− + J− J+ ) + Jz2 . 2
(4.16)
Vezess¨ uk be J2 ´es Jz k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´enyeit, J2 |Λ, µi = ~2 Λ |Λ, µi ,
(4.17)
Jz |Λ, µi = ~µ |Λ, µi ,
(4.18)
hΛ, µ|Λ0 , µ0 i = δΛΛ0 δµµ0 .
(4.19)
valamint Mivel J2 pozit´ıv szemidefinit, Λ ≥ 0. Tov´abb´a, hΛ, µ|Jx2 + Jy2 |Λ, µi = hΛ, µ|J 2 − Jz2 |Λ, µi = ~2 Λ − µ2 ≥ 0
−→
µ2 ≤ Λ .
(4.20)
Vizsg´aljuk meg az J± oper´atorok hat´as´at a |Λ, µi saj´atf¨ uggv´enyekre: Jz J± |Λ, µi = [Jz , J± ] |Λ, µi+J± Jz |Λ, µi = ±~ J± |Λ, µi+~µ J± |Λ, µi = ~ (µ ± 1) J± |Λ, µi , (4.21) azaz J± |Λ, µi Jz -nek saj´atf¨ uggv´enye ~ (µ ± 1) saj´at´ert´ekkel. Ez´ert J+ -t felfel´e, J− -t pedig lefel´e l´eptet˝o oper´atornak nevezz¨ uk. Mivel azonban J± kommut´al J2 -tel, J± |Λ, µi 2 2 v´altozatlan (~ Λ) saj´at´ert´ekkel J oper´ator saj´atf¨ uggv´enye: J± |Λ, µi = Q± Λ,µ |Λ, µ ± 1i ,
(4.22)
ahol a Q± al´asi faktorok k¨oz¨ott fenn´all a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´es: Λ,µ norm´ − ∗ ∗ Q+ Λ,µ = hΛ, µ + 1|J+ |Λ, µi = hΛ, µ|J− |Λ, µ + 1i = (QΛ,µ+1 ) .
(4.23)
ill. Q± osnak v´alasztva, Λ,µ -kat val´ − QΛ,µ ≡ Q+ Λ,µ = QΛ,µ+1 .
(4.24)
J− J+ |Λ, µi = Q2Λ,µ |Λ, µi ´es J+ J− |Λ, µi = Q2Λ,µ−1 |Λ, µi .
(4.25)
Felhaszn´alva a (4.14) ´es (4.15) azonoss´agokat k¨onnyen bel´athat´o, hogy p p QΛ,µ = ~ Λ − µ (µ + 1) ´es QΛ,µ−1 = ~ Λ − µ (µ − 1) ,
(4.26)
A fentiekb˝ol k¨ovetkezik, hogy
ahol teljes¨ ul a Λ ≥ |µ| (|µ| + 1) > µ2 egyenl˝otlens´eg. Mivel az J+ oper´ator egym´asut´ani hattat´as´aval egyre n¨ovekv˝o µ saj´at´ert´ek˝ u a´llapotba 2 2 jutunk, nyilv´anval´oan l´etezik olyan µmax > 0, hogy µmax ≤ Λ < (µmax + 1) . A (4.20) felt´etel miatt azonban ilyen µmax + 1 saj´at´ert´ek nem l´etezhet, ´ıgy sz¨ uks´egszer˝ uen J+ |Λ, µmax i = | i0 , 82
(4.27)
ahol | i0 a Hilbert t´er nulleleme. Ezt felhaszn´alva a (4.15) egyenletb˝ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik, hogy Λ − µmax (µmax + 1) = 0 . (4.28) Hasonl´o meggondol´assal l´etezik olyan µmin < 0, hogy µ2min ≤ Λ < (µmin − 1)2 . Ekkor J− |Λ, µmin i = | i0 ,
(4.29)
Λ − µmin (µmin − 1) = Λ − |µmin | (|µmin | + 1) = 0 ,
(4.30)
´es a (4.14) egyenletet alkalmazva
k¨ovetkezik. A (4.28) ´es (4.30) felt´etelek ¨osszevet´es´evel: µmax (µmax + 1) − |µmin | (|µmin | + 1) = (µmax − |µmin |) (µmax + |µmin | + 1) = 0
(4.31)
⇓ µmax = |µmin | = j ,
(4.32)
Λ = j (j + 1) .
(4.33)
´es Szok´as szarint a |Λ, µi saj´at´allapotokat | j, µi-vel jel¨olj¨ uk. Mivel a | j, −ji a´llapotb´ol a | j, ji a´llapotba J+ -t hattatva eg´esz sz´am´ u l´ep´esben jutunk el, azaz 2j = 0, 1, 2, . . .
−→
j = 0, 1, 2, . . .
1 3 5 vagy j = , , , . . . 2 2 2
,
(4.34)
Vil´agos, hogy adott j mellett µ ¨osszesen 2j +1 k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket vehet fel, vagyis az adott j-hez tartoz´o alt´er 2j + 1 dimenzi´os. Az oper´atorok hat´as´at ¨oszefoglalva: J2 | j, µi = ~2 j (j + 1) | j, µi Jz | j, µi = ~ µ | j, µi J± | j, µi = ~
p
j (j + 1) − µ (µ ± 1) | j, µ ± 1i .
(4.35) (4.36) (4.37) (4.38) (4.39)
4.1.3. Az elektron spinje Az L = r × p p´alyaperd¨ ulet oper´atorok saj´at´ert´ekei szigor´ uan az ` = 0, 1, 2, . . . kvantumsz´amokhoz tartoznak. K´ıs´erleti t´enyek (pl. Stern-Gerlach k´ıs´erlet) arra mutattak r´a, hogy az elektron a p´alyaperd¨ ulet mellett rendelkezik egy olyan impulzusmomentummal, melynek saj´at´ert´ekei ´es saj´atf¨ uggv´enyei a j = 12 esetnek felelnek meg. Ezt az elektron spinj´enek nevezz¨ uk ´es a spinoper´atorokat Sα -val jel¨olj¨ uk. Mivel a spinoper´atorok saj´atal1 tere k´etdimenzi´os (s = 2 , 2s + 1 = 2), a Hilbert t´er izomorf a k´etkomponens˝ u vektorok ter´evel. Ha ennek b´azis´at az Sz saj´atvektorainak v´alasztjuk, akkor a spinoper´atorok m´atrixreprezent´aci´oja, ~ Sα = σα , (4.40) 2 83
ahol σα a Pauli-m´atrixokat jel¨oli, 0 1 0 −i 1 0 σx = , σy = , σy = . 1 0 i 0 0 −1
(4.41)
Direkt ellen˝orz´essel bel´athat´o, hogy σα σβ = δαβ + iαβγ σγ ,
(4.42)
ami egyr´eszt ¨osszhangban van a perd¨ uletoper´atorok csererel´aci´oj´aval, [σα , σβ ] = 2iαβγ σγ ,
(4.43)
m´asr´eszt viszont ´erdekes (´es fontos, ld. 9.1 fejezet) antikommut´ator rel´aci´ohoz vezet, {σα , σβ } = σα σβ + σβ σα = 2δαβ .
(4.44)
A k´etdimenzi´os t´er val´odi forgat´asainak a´br´azol´asai ugyancsak fel´ırhat´ok a spinoper´atorok seg´ıts´eg´evel, U (n, ϕ) ∈ SU (2) i
1
U (n, ϕ) = e− ~ Snϕ = e− 2 iσnϕ .
(4.45)
Ennek egy ´erdekes k¨ovetkezm´enye, hogy egy k¨orbefordul´as ´abr´azol´asa, U (n, 2π) = −I, m´ıg a k´etszeres k¨orbefordul´as a´br´azol´asa U (n, 4π) = I (k´et´ert´ek˝ u ´abr´azol´as, l. Keszthelyi Tam´as: Bevezet´es a csoportelm´elet alapjaiba fizikus hallgat´oknak).
4.1.4. Impulzusmomentum ¨ osszead´ asi szab´ alyok Legyen J1 ´es J2 k´et vektoroper´ator, mely k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o Hilbert-t´eren hat, Ji : Hi → Hi , Ji × Ji = i~Ji ,
(4.46)
J2i | ji , µi ii = ~2 ji (ji + 1) |ji , µi ii , Ji,z | ji , µi ii = ~µi | ji , µi ii , p Ji,± | ji , µi i = ~ ji (ji + 1) − µi (µi ± 1) | ji , µi ± 1i , | ji , µi ii ∈ Hi (i = 1, 2) .
(4.47) (4.48) (4.49)
Terjessz¨ uk ki ezen vektoroper´atorokat a Hilbert-terek tenzorszorzat´ara (jel¨olj¨ uk a H2 -n hat´o identit´ast I2 -vel), Ji : H1 ⊗ H2 → H1 ⊗ H2 , (4.50) J21 ⊗ I2 | j1 , µ1 i ⊗ | j2 , µ2 i = ~2 j1 (j1 + 1) | j1 , µ1 i1 ⊗ | j2 , µ2 i2 , (4.51) (J1,z ⊗ I2 ) | j1 , µ1 i ⊗ | j2 , µ2 i = ~µ1 | j1 , µ1 i1 ⊗ | j2 , µ2 i2 , (4.52) p (J1,± ⊗ I2 ) | j1 , µ1 i ⊗ | j2 , µ2 i = ~ j1 (j1 + 1) − µ1 (µ1 ± 1) | j1 , µ1 ± 1i1 ⊗ | j2 , µ2 i2 , (4.53) ´es hasonl´oan J2 -re. Az egyszer˝ ubb ´ır´asm´od kedv´e´ert a tenszorszorzat Hilbert t´er elemein´el elhagytuk a ⊗ jelet. Hasonl´oan j´arunk el az oper´atorokkal is, J1,z ⊗ I2 helyett pl. J1,z -t 84
´ırunk csak. K¨onnyen bel´athat´o, hogy az ´ıgy defini´alt J1 ´es J2 oper´atorok felcser´elhet˝ok egym´assal ´es o¨sszeg¨ uk (m´eg utolj´ara ki´ırva a ⊗ jelet), J = J1 ⊗ I2 + I1 ⊗ J2 ,
(4.54)
is vektoroper´ator: J × J = (J1 + J2 ) × (J1 + J2 ) = J 1 × J1 + J1 × J 2 + J2 × J1 + J2 × J2 | {z } 0
= i~J1 + i~J2 = i~J .
(4.55)
A kor´abbi t´etel ´ertelm´eben J saj´atf¨ uggv´enyei ´es saj´at´ert´ekei kiel´eg´ıtik a J2 | j, µi = ~2 j (j + 1) |j, µi , Jz | j, µi = ~µ| j, µi , p J± | j, µi = ~ j (j + 1) − µ (µ ± 1) | j, µ ± 1i , | j, µi ∈ H1 ⊗ H2 ,
(4.56) (4.57) (4.58)
ugg´eseket. A k¨ovetkez˝okben megmutatjuk, hogy milyen |j, µi saj´atf¨ uggv´enyek ´all´ıt¨osszef¨ hat´ok el˝o adott j1 ´es j2 eset´en a | j1 , µ1 i1 | j2 , µ2 i2 szorzatf¨ uggv´enyek line´arkombin´aci´ojak´ent, azaz X |j, µi = C (j1 µ1 , j2 µ2 |j, µ) | j1 , µ1 i1 | j2 , µ2 i2 . (4.59) µ1 µ2
alakban A C (j1 µ1 , j2 µ2 |j, µ) egy¨ utthat´okat, melyeket szok´as hj1 µ1 , j2 µ2 |j, µi-vel is jel¨olni, Clebsch-Gordan egy¨ utthat´oknak nevezz¨ uk. Meg´allapod´as szerint a Clebsch-Gordan egy¨ utthat´okat val´os ´ert´ek˝ unek v´alasztjuk. A Jz oper´ator hat´asa az (4.59) ´allapotra kifejezhet˝o mint X Jz | j, µi = (J1,z + J2,z ) C (j1 µ1 , j2 µ2 |j, µ) | j1 , µ1 i1 | j2 , µ2 i2 µ1 ,µ2
=
X
~ (µ1 + µ2 ) C (j1 µ1 , j2 µ2 |j, µ) | j1 , µ1 i1 | j2 , µ2 i2
µ1 ,µ2
= ~ (µ1 + µ2 ) | j, µi ,
(4.60)
amib˝ol µ = µ1 + µ2
(4.61)
k¨ovetkezik. Teh´at azok a Clebsch-Gordan egy¨ utthat´ok, melyekre µ 6= µ1 + µ2 , bizonyosan z´erussal egyeznek meg. Ebb˝ol az is k¨ovetkezik, hogy adott j1 ´es j2 mellett µ maxim´alisan a j1 + j2 ´ert´eket veheti f¨ol, ez´ert j sem lehet enn´el nagyobb, azaz j > j1 + j2 eset´en C (j1 µ1 , j2 µ2 |j, µ) ugyancsak nulla. 4.3. T´ etel | j1 + j2 , j1 + j2 i = | j1 , j1 i1 |j2 , j2 i2 ,
(4.62)
C (j1 j1 , j2 j2 |j1 + j2 , j1 + j2 ) = 1 .
(4.63)
azaz,
85
Bizony´ıt´as. Egyr´eszt Jz | j1 , j1 i1 |j2 , j2 i2 = (J1,z + J2,z ) | j1 , j1 i1 |j2 , j2 i2 = ~ (j1 + j2 ) | j1 , j1 i1 |j2 , j2 i2 ,
(4.64)
J2 = (J1 + J2 )2 = J21 + J22 + 2J1 J2 = J21 + J22 + 2J1,z J2,z + J1,+ J2,− + J1,− J2,+ ,
(4.65)
m´asr´eszt a
azonoss´ag felhaszn´al´as´aval, J2 | j1 , j1 i1 |j2 , j2 i2 = ~2 (j1 (j1 + 1) + j2 (j2 + 1) + 2j1 j2 ) | j1 , j1 i1 |j2 , j2 i2 + J1,+ | j1 , j1 i1 J2,− |j2 , j2 i2 + J1,− | j1 , j1 i1 J2,+ |j2 , j2 i2 | | {z } {z } | i10
| i20
= ~2 (j1 + j2 ) (j1 + j2 + 1) | j1 , j1 i1 |j2 , j2 i2 ,
(4.66)
ahol | ii0 a Hi Hilbert-t´er nulleleme. Vezess¨ uk be a jmax = j1 + j2 jel¨ol´est. Nyilv´anval´o, hogy J− = J1,− + J2,− oper´ator szukcessz´ıv hattat´as´aval a | jmax , jmax i a´llapotb´ol kiindulva, a | jmax , µi (µ = −jmax , −jmax + 1, . . . , jmax − 1) a´llapotok el˝oa´ll´ıthat´ok. 4.4. P´ elda p (4.67) J− | j1 + j2 , j1 + j2 i = ~ 2 (j1 + j2 )| j1 + j2 , j1 + j2 − 1i p p (J1,− + J2,− ) | j1 , j1 i1 |j2 , j2 i2 = ~ 2j1 | j1 , j1 − 1i1 |j2 , j2 i2 + ~ 2j2 | j1 , j1 i1 |j2 , j2 − 1i2 (4.68) ⇓ s | j1 + j2 , j1 + j2 − 1i = s +
j1 | j1 , j1 − 1i1 |j2 , j2 i2 j1 + j2 j2 | j1 , j1 i1 |j2 , j2 − 1i2 , j1 + j2
azaz
s C (j1 , j1 − 1; j2 j2 |j1 + j2 , j1 + j2 − 1) =
valamint
s C (j1 j1 ; j2 , j2 − 1|j1 + j2 , j1 + j2 − 1) =
86
(4.69)
j1 , j1 + j2
(4.70)
j2 . j1 + j2
(4.71)
A | j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1i a´llapot | j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1i = c1 | j1 , j1 − 1i1 |j2 , j2 i2 + c2 | j1 , j1 i1 |j2 , j2 − 1i2
(4.72)
el˝oa´ll´ıt´as´at u ´gy kaphatjuk meg, hogy kihaszn´aljuk ezen ´allapot ortogon´alts´ag´at a | j1 + j2 , j1 + j2 − 1i a´llapotra, melyb˝ol s s j1 j2 c1 + c2 =0 (4.73) j1 + j2 j1 + j2 k¨ovetkezik. Mivel a saj´at´allapotok norm´altak, ehhez m´eg hozz´a kell venn¨ unk a c21 + c22 = 1
(4.74)
felt´etelt is, amib˝ol s c1 =
s j2 j1 , c2 = − j1 + j2 j1 + j2
(4.75)
ad´odik. Innen a | j1 +j2 −1, µi (µ = −j1 − j2 + 1, . . . , j1 + j2 − 2) ´allapotok J− alkalmaz´as´aval nyerhet˝ok, majd u ´jabb ortogonaliz´al´assal l´ephet¨ unk a j = j1 + j2 − 2 alt´erbe stb. K´erd´es, hogy meddig folytathat´o ez az elj´ar´as, azaz mi azon jmin minim´alis saj´at´ert´ek, melyhez tartoz´o alt´er saj´atf¨ uggv´enyei m´eg kikeverhet˝ok a | j1 , µ1 i1 | j2 , µ2 i2 a´llapotokb´ol? Ezt a k´erd´est az alterek dimenzi´oj´anak vizsg´alat´aval k¨onnyed´en megv´alaszolhatjuk. A szorzatf¨ uggv´enyek nyilv´anval´oan egy (2j1 + 1) (2j2 + 1) dimenzi´oj´ u alteret fesz´ıtenek ki. Ennek meg kell egyeznie a kikevert saj´atf¨ uggv´enyek ´altal kifesz´ıtett alt´er dimenzi´oj´aval: jmax =j1 +j2
(2j1 + 1) (2j2 + 1) =
X
2 (2j + 1) = (j1 + j2 + 1)2 − jmin .
(4.76)
j=jmin
Innen 2 jmin = (j1 + j2 + 1)2 − 4j1 j2 − 2 (j1 + j2 ) − 1 2
2
= (j1 + j2 ) − 4j1 j2 = (j1 − j2 ) ,
(4.77) (4.78)
amib˝ol jmin = |j1 − j2 |
(4.79)
k¨ovetkezik. V´egeredm´enyben teh´at a J2 lehets´eges saj´at´ert´ekei ~2 j (j + 1), ahol j = |j1 − j2 | , |j1 − j2 | + 1, . . . , j1 + j2 − 1, j1 + j2 .
(4.80)
Megjegyezz¨ uk m´eg a Clebsch-Gordan egy¨ utthat´ok ortonorm´alts´ag´ara, teljess´eg´ere vonatkoz´o rel´aci´okat: j2 X
j2 X
C (j1 µ1 ; j2 µ2 |jµ) C (j1 µ1 ; j2 µ2 |j 0 µ0 ) = δjj 0 δµµ0 ,
(4.81)
C (j1 µ1 ; j2 µ2 |jµ) C (j1 µ01 ; j2 µ02 |jµ) = δµ1 µ01 δµ2 µ02 .
(4.82)
µ1 =−j1 µ2 =−j2
´es
j1 +j2
X
j X
j=|j1 −j2 | µ=−j
87
4.2. Feladatok 4.2.1. P´ eld´ ak 4.1. Feladat L´assuk be az Lz = f (2π)} halmazon!
~ d i dϕ
oper´ator ¨onadjung´alts´ag´at az {f | f ∈ L2 [ 0, 2π] , f (0) =
4.2. Feladat A 3.9. p´elda megold´asa sor´an megmutatjuk, hogy [Lx , Ly ] = i~Lz csererel´ aci´ ob´ol k¨ovetkez˝oen b´armely ´allapotban, ∆Lx ∆Ly ≥
~ |hLz i| . 2
Tekints¨ uk az Lz oper´ator z´erus saj´at´ert´ekhez tartoz´o saj´at´allapot´at, Lz |ψi = 0 . Csup´an a l´eptet˝ooper´atorok haszn´alat´aval ´es a csererel´aci´ok seg´ıts´eg´evel mutassuk meg, hogy ∆Lx ∆Ly = 0 csak abban az esetben teljes¨ ulhet, ha egy´ uttal Lx |ψi = Ly |ψi = 0 =⇒ L2 |ψi = 0
!
4.3. Feladat Sz´am´ıtsuk ki ` = 1 esetben az L2 ´es Lz oper´atorok b´azis´aban az Ly ´es Lz oper´atorok m´atrix´at! Mutassuk meg, hogy az ´ıgy kapott 3×3-as m´atrixok kiel´eg´ıtik az impulzusmomentum felcser´el´esi rel´aci´oit! 4.4. Feladat Sz´am´ıtsuk ki az U (ϕ) = eiϕLx /~ forgat´asm´atrixot ` = 1 esetben az L2 ´es Lz oper´ atorok b´azis´aban! 4.5. Feladat Bizony´ıtsa be, hogy [Li , f (r)] =
~ (r × ∇f (r))i i
,
ahol Li az impulzus momentum oper´ator i-k komponense (i = x, y, x) ´es f (r) egy differenci´alhat´o f¨ uggv´eny. Mi k¨ovetkezik ebb˝ol egy, csak a radi´alis koordin´at´at´ol f¨ ugg˝o, f (r) f¨ uggv´enyre ? Seg´ıts´ eg:. Bizony´ıtsa, hogy [pi , f (r)] = ~i ∇i f (r) 4.6. Feladat Az impulzus ´es koordin´ataoper´atorok felcser´el´esi rel´aci´oi alapj´an l´assa be k´et dimenzi´oban a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´est, p2 =
1 L2z 2 (r · p) + . r2 r2
(4.83)
4.7. Feladat A l´eptet˝o oper´atorok seg´ıts´eg´evel konstru´aljuk meg a 2×2 Pauli-m´atrixokat! ´ 4.8. Feladat Diagonaliz´aljuk a σn m´atrixot, ahol n egy egys´egvektor! Irjuk fel a diagonaliz´aci´o transzform´aci´oj´anak m´atrix´at? 88
4.9. Feladat Hat´arozzuk meg a Clebsh-Gordan egy¨ utthat´okat k´et feles spin˝ u r´eszecske spinj´enek az o¨sszead´asa eset´en! 4.10. Feladat Vizsg´alja meg a k¨ovetkez˝o impulzusmomentumok ¨osszead´asi szab´alyait, ´es hat´ arozza meg a Clebsch-Gordan egy¨ utthat´okat! a) L = 1 ´es S = 1/2 b) L = 1 ´es S = 1 4.11. Feladat Hat´arozzuk meg egy ´altal´anos L p´alyamomentum ´es egy feles spinmomentum (S) ¨osszead´asakor alkalmazand´o Clebsch-Gordon egy¨ utthat´okat! Seg´ıts´ eg:. Induljunk ki a legmasabb impulzusmomentum´ u ´allapotb´ol, ´es hattasuk n-szer az (L− + S− ) oper´atort, ´es haszn´aljuk ki, hogy feles spin eset´en S−2 = 0. 4.12. Feladat Hat´arozzuk meg az L = 1 ´es S = 1/2 impulzusmomentumok ¨osszead´as´ab´ol sz´ armaztathat´o, J = 1/2 ´es mJ = 1/2 kvantumsz´amokkal jellemzett ´allapotban az Lz v´ arhat´o ´ert´ek´et! 4.13. Feladat Adja meg k´et elektron S = 1 ´es mS = 0 kvantumsz´amokkal jellemzett k¨ oz¨ os spin saj´at´allapot´aban az egyik elektron spinj´enek hS1x i , hS1y i ´es hS1z i v´arhat´o ´ert´ekeit! Mekkora az hS12 i v´arhat´o ´ert´ek? 4.14. Feladat Mutassa meg, hogy a spin-p´alya k¨olcs¨onhat´ast is tartalmaz´o p2 + V (r) + λLS (4.84) 2m Hamiltonoper´ator eset´en a J = L + S ¨osszimpulzusmomentum b´armely komponense mozg´ as´ alland´o, amennyiben a potenci´al g¨ombszimmetrikus, azaz V (r) = V (r)! H=
4.2.2. Megold´ asok 4.1 Megold´ as Be kell bizony´ıtanunk a k¨ ovetkez˝o ´all´ıt´ast: hg|Lz f i = hLz g|f i . A skal´ar szorzatot a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel: Z2π hg|Lz f i = 0
2π Z2π ~ d ~ ~ d ∗ ∗ ∗ g f dϕ = g f − g f dϕ . i dϕ i i dϕ 0 0
Miut´an az f f¨ uggv´eny periodikus 2π-re, a parci´alis integr´al´as ut´an kapott els˝o tag elt¨ unik. Teh´ at a szimmetrikuss´ag felt´etele teljes¨ ul: Z2π hg|Lz f i = −
∗ Z2π ~ d ∗ ~ d g f dϕ = g f dϕ = hLz g|f i . i dϕ i dϕ
0
0
Ahhoz, hogy a szimmetrikuss´ag teljes¨ ulj¨on nem kell, hogy g(0) = g(2π) teljes¨ ulj¨on, ´ıgy els˝ ore u ´gy t˝ unhet, hogy Lz csak szimmetrikus, de nem ¨onadjung´alt. g periodicit´asa azonban d fizikailag vil´agos, miut´an v´altoz´oja a ϕ sz¨ogv´altoz´o, ´ıgy D(Lz ) = D(L†z ), teh´at az Lz = ~i dϕ oper´ ator ¨onadjung´alt. 89
4.2 Megold´ as Az egyenl˝os´eghez az kell, hogy (Lx − hLx i) |ψi = K (Ly − hLy i) |ψi ,
(4.85)
valamely K ∈ C sz´amra. El˝ osz¨or azt l´atjuk be, hogy Lz |ψi = 0 eset´en hLx i = hLy i = 0. A (4.13) egyenlet alapj´an tudjuk , hogy [Lz , L± ] = ±~L± , ez´ert Lz L± |ψi = L± Lz |ψi ± ~L± |ψi = ±~L± |ψi , ´es Lx = miatt Lz Lx |ψi = ´es Lz Ly |ψi =
1 1 (L+ + L− ) , Ly = (L+ − L− ) 2 2i
~ 1 (Lz L+ + Lz L− ) |ψi = (L+ − L− ) |ψi = i~Ly |ψi , 2 2
1 ~ (Lz L+ − Lz L− ) |ψi = (L+ + L− ) |ψi = −i~Lx |ψi . 2i 2i
Ez´ert azt´an hLx i = ´es
i hψ| Lz Ly |ψi = 0 ~
i hLy i = − hψ| Lz Lx |ψi = 0 . ~
A (4.85) felt´etel teh´at Lx |ψi = K Ly |ψi
(4.86)
alakra egyszer˝ us¨ odik. Defini´aljuk a |ψ± i = L± |ψi f¨ uggv´enyeket, melyek az Lz oper´ator (nem norm´alt) saj´atf¨ uggv´enyei, ±~ saj´at´ert´ekekkel, ez´ert ortogon´alisak egym´asra. A (4.86) felhaszn´al´as´aval a 1 K K 1 |ψ+ i + |ψ− i = |ψ+ i − |ψ− i 2 2 2i 2i egyenl˝os´eghez jutunk, mely a K = i ´es K = −i egyenletek szinonim teljes¨ ul´es´et felt´etelezi, ami ellentmond´as. Az ellentmond´as csak u ´gy oldhat´o fel, hogy L± |ψi = 0 =⇒ Lx |ψi = Ly |ψi = 0 . 4.3 Megold´ as Haszn´aljuk fel a 3.8. sz´am´ u feladatban szerepl˝o ¨osszef¨ ugg´est az impulzusmomentum oper´ator x ´es y komponense ´es az L+ , L− l´eptet˝o oper´atorok k¨oz¨ott: Lx =
1 (L+ + L− ) , 2
Ly = 90
1 (L+ − L− ) . 2i
A m´atrixelemek a k¨ovetkez˝oek lesznek: ~ h`, m|L+ + L− |`0 , m0 i 2 p p ~ = δ`,`0 `(` + 1) − m(m − 1)δm−1,m0 + `(` + 1) − m(m + 1)δm+1,m0 2
h`, m|Lx |`0 , m0 i =
Hasonl´oan hat´arozhatjuk meg az y komponens m´atrixelemeit is: p p ~ `(` + 1) − m(m − 1)δm−1,m0 − `(` + 1) − m(m + 1)δm+1,m0 h`, m|Ly |`0 , m0 i = δ`,`0 2i A kapott k´epleteket alkalmazzuk az ` = 1-es alt´erre: √ √ 0 1 0 0 −i 0 2 2 i 0 −i Lx = ~ 1 0 1 , Ly = ~ 2 2 0 1 0 0 i 0 Sz´ am´ıtsuk ki a felcsr´el´esi rel´aci´okat: 0 1 0 0 −i 0 0 −i 0 0 1 0 2 ~ 1 0 1 i 0 −i − i 0 −i 1 0 1 [Lx , Ly ] = 2 0 1 0 0 i 0 0 i 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 0 = i~Lz = i~ 0 0 −1 4.4 Megold´ as A 4.3. feladat Lx m´atrix´at felhaszn´alva az oper´atort spektr´alfelbont´asa seg´ıts´eg´evel ´all´ıtjuk el˝o. El˝obb hat´arozzuk meg Lx saj´atvektorait az ` = 1 alt´eren, a saj´at´ert´ekei nyilv´anval´oan az 1,0,-1 ´ertekek lesznek. A saj´atvektorokb´ol, mint oszlopvektorokb´ol fel´ep´ıtett m´atrix a k¨ovetkez˝o: 1 1 √1 − 2 2 2 √1 0 V = √12 2 1 − √12 − 12 2 A forgat´asm´atrixot a k¨ovetkez˝o alakba ´ırhatjuk: 1 1 1 U (ϕ) = V eiϕm V −1 = =
1 (1 + cos ϕ) 2 √i sin ϕ 2 1 (1 − cos ϕ) 2
2 √1 2 − 12
√i 2
√
2
0 √1 2
iϕ
e 2 − √12 0 0 − 21
sin ϕ cos ϕ − √i2 sin ϕ
1 (1 − cos ϕ) 2 − √i2 sin ϕ 1 (1 + cos ϕ) 2
0 0 1 0 0 e−iϕ
1 2 √1 2 1 2
√1 2
− 21
√1 0 2 − √12 − 21
4.5 Megold´ as Bizony´ıtsuk, hogy [pi , f (r)] = ~i ∇i f (r): [pi , f (r)]ψ(r) =
~ ~ (∇i (f (r)ψ(r)) − f (r)∇i ψ(r)) = (∇i f (r)) ψ(r) i i 91
(4.87)
Haszn´aljuk fel az impulzusmomentum definici´oj´at: L=r×p,
Li = ijk rj pk ,
ahol minden k´etszer szerepl˝o indexre o¨sszegz¨ unk. [Li , f (r)] = ijk [rj pk , f (r)] = ijk (rj [pk , f (r)] + [rj , f (r)] pk ) . A m´asodik tagban szerepl˝o [rj , f (r)] kommut´ator nyilv´anval´oan elt¨ unik, ´ıgy a felcser´el´esi rel´ aci´ot a k¨ovetkez˝o alakba ´ırhatjuk: [Li , f (r)] =
~ ~ ijk rj ∇k f (r) = (r × ∇f (r))i . i i
(4.88)
Ha az f (r) multiplikat´ıv oper´ator csak r-t˝ol f¨ ugg, a gradiens´et a l´ancszab´aly szerint k´epezhetj¨ uk: r ∂f (r) ∂f (r) = ∂r r ∂r Nyilv´anval´oan a (4.88) felcser´el´esi rel´aci´o elt¨ unik, hiszen r×r = 0, vagyis ebben az esetben L minden komponense felcser´elhet˝o az f (r) oper´atorral. 4.6 Megold´ as Az impulzusmentumnak csak z komponense van k´et dimenzi´oban: Lz = rx py − ry px . ´ Irjuk fel a n´egyzet´et: L2z = rx py rx py + ry px ry px − rx py ry px − ry px rx py ~ ~ = rx2 p2y + ry2 p2x − rx px ry py − rx px − ry py rx px − ry py i i Az el˝oz˝o kifejt´esben felhaszn´altuk az impulzus ´es a koordin´ata oper´atorra vonatkoz´o fel´ cser´el´esi rel´aci´okat. Irjuk fel a bizony´ıtand´o egyenl˝os´eg bal oldal´at: r2 p2 − (rp)2 = (rx2 + ry2 )(p2x + p2y ) − (rx px + ry py )(rx px + ry py ) = rx2 p2x + ry2 p2y + rx2 p2y + ry2 p2x − rx px rx px − ry py ry py − rx px ry py − ry py rx px Haszn´aljuk ki a fenti egyenletben is a felcser´el´esi rel´aci´okat: r2 p2 − (rp)2 = rx2 p2x + ry2 p2y + rx2 p2y + ry2 p2x ~ ~ − rx2 p2x − rx px − ry2 p2y − ry py − rx px ry py − ry py rx px i i ~ ~ = rx2 p2y + ry2 p2x − rx px ry py − ry py rx px − rx px − ry py i i A fenti egyenletet ¨osszevetve L2z kifejt´es´evel meg´allap´ıthatjuk, hogy L2z = r2 p2 − (rp)2 teljes¨ ul, ami nem m´as, mint a bizony´ıtand´o feltev´es. 92
4.7 Megold´ as Az S spin oper´atorok k¨oz¨ott ugyanaz a felcser´el´esi rel´aci´o, mint az impulzus momentum komponensei k¨oz¨ott. Az L+ , L− l´eptet˝o oper´atorok sz´armaztat´asa sor´an csak a kommut´aci´os szab´alyokat haszn´altuk fel, ez´ert az S+ = Sx + iSy , S− = Sx − iSy hat´ asa is megegyezik az L+ , L− oper´atorok hat´as´aval: p S+ |S, mS i = ~ s(s + 1) − ms (ms + 1)|S, mS + 1i , p S− |S, mS i = ~ s(s + 1) − ms (ms − 1)|S, mS − 1i . A szab´alyt alkalmazzuk az S = 1/2 alt´erre: S+ | 12 , − 21 i = ~| 12 , 21 i S+ | 21 , 12 i = 0 S− | 12 , 12 i = ~| 21 , − 12 i S− | 12 , − 21 i = 0 . A fenti ¨osszef¨ ugg´esek seg´ıts´eg´evel egyszer˝ uen megszerkeszthetj¨ uk az S+ ´es S− oper´atorok m´ atrix´at az alt´eren: 0 1 0 0 S+ = ~ , S− = ~ . 0 0 1 0 A spin oper´ator komponensei el˝o´all´ıthat´oak a l´eptet˝o oper´atorok felhaszn´al´as´aval: 1 1 ~ 0 1 ~ 0 −i , Sy = (S+ − S− ) = , Sx = (S+ + S− ) = i 0 2 2 1 0 2i 2 az Sz oper´ator nyilv´anval´oan diagon´alis lesz ezen a b´azison: ~ 1 0 Sz = . 2 0 −1 Tudjuk, hogy a spin oper´atorok egyszer˝ uen kifejezhet˝oek a Pauli m´atrixokkal: Si = ~2 σi , amelyek a fenti m´atrixokb´ol leolvashat´oak. 4.8 Megold´ as Haszn´aljuk fel a Pauli m´atrixok szorzatainak a tulajdons´agait: σi σj = δij 1 + iijk σk , ahol 1 a 2 × 2-es egys´egm´atrixot jel¨ol. Sz´am´ıtsuk ki σn n´egyzet´et: (σn)2 = σi ni σj nj = ni nj (δij 1 + iijk σk ) = 1 + i(n × n)σ . A m´ asodik tag term´eszetesen elt˝ unik, teh´at (σn)2 = 1. Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o projektort: P± =
1 (1 ± σn) . 2
K¨ onnyen bel´athatjuk, hogy P±2 = P± : P±2 =
1 (1 ± 2σn + 1) = P± 4
Hasonl´oan ellen˝orizhetj¨ uk, hogy P+ P− = 0: 1 1 P+ P− = (1 + σn)(1 − σn) = 1 − (σn)2 = 0 . 4 4 93
Bel´ atjuk, hogy a P± projektor egy alkalmasan v´alasztott u vektorb´ol σn saj´atvektorait vet´ıti ki: 1 1 σnP+ u = σn (1 + σn) u = (1 + σn) u = P+ u 2 2 1 1 σnP− u = σn (1 − σn) u = − (1 − σn) u = −P− u . 2 2 Term´eszetesen a P+ u, P− u vektorok ortogon´alisak egym´asra. A Pauli m´atrixok ismeret´eben ´ırjuk fel a P± projektorokat: 1 1 + cos (ϑ) sin (ϑ)e−iϕ 1 1 − cos (ϑ) − sin (ϑ)e−iϕ P+ = , P− = , sin (ϑ)eiϕ 1 + cos (ϑ) 2 2 − sin (ϑ)eiϕ 1 − cos (ϑ) ahol az n egys´egvektor komponensei (sin (ϑ) cos (ϕ), sin (ϑ) sin (ϕ), cos (ϑ)). A norm´alt saj´atvektorok az u = (1, 0) v´alaszt´assal a k¨ovetkez˝ok lesznek: 1 1 1 + cos (ϑ) 2 cos2 ( ϑ2 ) = v+ = q sin (ϑ)eiϕ 2 sin ( ϑ2 ) cos ( ϑ2 )eiϕ 2 2 cos ( ϑ) 2 (1 + cos (ϑ)) + sin (ϑ) 2 cos ( ϑ2 ) v+ = sin ( ϑ2 )eiϕ Hasonl´oan hat´arozhatjuk meg a m´asik saj´atvektort is: sin ( ϑ2 )e−iϕ v− = cos ( ϑ2 ) A transzform´aci´os m´atrixot a k´et saj´atvektorb´ol ´ep´ıthej¨ uk fel: ϑ −iϕ cos ( ϑ) sin ( )e 2 2 sin ( ϑ2 )eiϕ cos ( ϑ2 ) 4.9 Megold´ as Az impulzus momentumok ¨osszead´asakor a k¨ovetkez˝oek szerint j´arunk el. Ha `1 ´es `2 impulzusmomentumokat adunk ¨ossze, akkor a legmagasabb (legalacsonyabb) Jz = L1z + L2z saj´at´ert´ek˝ u saj´at´allapot el˝o´all´ıt´asa egy´ertelm˝ u: |`1 + `2 , `1 + `2 i = |`1 , `1 i|`2 , `2 i , |`1 + `2 , −(`1 + `2 )i = |`1 , −`1 i|`2 , −`2 i ,
(4.89)
teh´ at C(`1 `1 , `2 `2 |`1 + `2 , `1 + `2 ) = C(`1 − `1 , `2 − `2 |`1 + `2 , −(`1 + `2 )) = 1. Mindk´et oldalra alkalmazzuk a lefel´e l´eptet˝o oper´atorokat: 1 1 1 1 J− |1, 1i = (S1− + S2− ) , , 2 2 2 2 s p 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1(1 + 1) − 1(1 − 1)|1, 0i = +1 − − 1 , − 2 2 2 2 2 2 2 2 s 1 1 1 1 1 1 1 1 ,− + +1 − − 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 √ 1 1 1 1 1 1 1 1 , ,− + , 2|1, 0i = , − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |1, 0i = √ , − , +√ , ,− 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 94
Teh´ at C( 21 − 12 , 21 12 |1, 0) = C( 21 12 , 12 , − 12 |1, 0) = √12 . Az |0, 0i ´allapot ugyanazokat a direkt szorzatokat tartalmazza, mint az el˝oz˝o |1, 0i ´allapot. A k´et ´allapotnak ortogon´alisnak kell lennie egym´asra, ebb˝ol k¨ovetkezik: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |0, 0i = √ , − , −√ , ,− , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 vagyis C 12 − 12 , 12 21 |0, 0 = √12 , C 21 21 , 12 , − 21 |0, 0 = − √12 . 4.10 Megold´ as a.) Induljunk a legmagasabb Jz saj´at´ert´ek˝ u ´allapotb´ol, ´es alkalmazzuk a Jz , (L− + S− ) l´eptet˝o oper´atorokat:
1√ √3 2√ 3√ 32 3
J = 3/2 M | 32 , 32 i | 32 , 12 i | 32 , − 12 i | 32 , − 32 i
1√ √2√ 2 2 6
|L, mi|S, mS i |1, 1i| 21 , 12 i |1, 0i| 21 , 12 i |1, −1i| 12 , 12 i |1, −1i| 12 , − 12 i
|L, mi|S, mS i 1√ 2 2
|1, 1i| 21 , − 12 i |1, 0i| 21 , − 12 i
Foglaljuk ¨ossze a kapott Clebsh-Gordan egy¨ utthat´okat: |J, M i | 32 , 32 i | 32 , 12 i | 32 , − 21 i | 32 , − 23 i
1q q
|L, mi|S, mS i |1, 1i| 21 , 12 i
|L, mi|S, mS i
2 3
|1, 0i| 21 , 12 i
q
1 3
|1, 1i| 12 , − 12 i
1 3
|1, −1i| 12 , 12 i |1, −1i| 21 , − 21 i
q
2 3
|1, 0i| 12 , − 12 i
1
Az | 12 , M i alt´er megkonstru´al´as´ahoz a J2 saj´at´allapotok ortogon´alts´ag´at kell kihaszn´alnunk: |J, M i | 12 , 21 i | 12 , − 21 i
|L, mi|S, mS i q
1
q3 2 3
|1, 0i| 21 , 12 i |1, −1i| 12 , 12 i
|L, mi|S, mS i q - 23 q - 13
|1, 1i| 12 , − 21 i |1, 0i| 12 , − 21 i
b.) Ebben az esetben nagyobb lesz az alter¨ unk: J = 3/2 M |L, mi|S, mS i |L, mi|S, mS i 1 |2, 2i 1√ |1, 1i|1, 1i √ 2√ |2, 1i √2√ |1, 0i|1, 1i √2 √ |1, 1i|1, 0i 2 6 |2, 0i 2 2 |1, −1i|1, 1i 2 2 2 |1, 0i|1, 0i
|L, mi|S, mS i √ √ 2 2 |1, 1i|1, −1i
A saj´at´allapotok norm´al´asa ut´an a J = 2 alter¨ unk egy¨ utthat´oi a k¨ovetkez˝oek lesznek: J = 3/2 M |2, 2i |2, 1i |2, 0i
|L, mi|S, mS i 1√ |1, 1i|1, 1i 2 |1, 0i|1, 1i 2 1 √ |1, −1i|1, 1i 6
|L, mi|S, mS i
|L, mi|S, mS i
√
2 2 √2 6
|1, 1i|1, 0i |1, 0i|1, 0i
95
√1 6
|1, 1i|1, −1i
A J = 1 alt´er eset´eben az |2, 1i ´allapotnak mer˝olegesnek kell lennie a |1, 1i ´allapotra: √ √ 2 2 |1, 1i = |1, 0i|1, 1i − |1, 1i|1, 0i . 2 2 Ha a fenti saj´at´allapotra a J− , (L− + S− ) l´eptet˝o oper´atorokkal hatunk, az |1, 0i ´allapotra a k¨ovetkez˝o line´aris kombin´aci´o ad´odik: √ √ 2 2 |1, 0i = |1, −1i|1, 1i − |1, 1i|1, −1i . 2 2 Az |2, 0i, |1, 0i, |0, 0i ´allapotoknak ortogon´alisoknak kell lenni¨ uk egym´asra. Ebb˝ol a felt´etelb˝ol egyszer˝ uen megszerkeszthet˝o a |0, 0i ´allapot: √ √ √ 3 3 3 |0, 0i = |1, −1i|1, 1i − |1, 0i|1, 0i + |1, 1i|1, −1i . 3 3 3 4.11 Megold´ as Az egy¨ utthat´ok meghat´aroz´asakor hasonl´oan j´arunk el az el˝oz˝o feladatokhoz: fel´ırjuk a legmagasbb Jz saj´at´ert´ek˝ u |` + 21 , ` + 21 i ´allapotot ´es lefel´e l´eptetj¨ uk az J− illetve L− + S− oper´atorokkal. Vagyis: 1 1 1 1 n n = (L− + S− ) |`, `i , . J− ` + , ` + 2 2 2 2 Fejts¨ uk ki a jobboldalon az oper´atorok ¨osszeg´enek n-ik hatv´any´at ´es haszn´aljuk ki, hogy 2 u tagj´at S− = 0, vagyis csak azok a tagok maradnak meg, amelyek S− nulladik ´es els˝o rend˝ tartalmazz´ak: (L− + S− )n = Ln− + nS− Ln−1 , − teh´ at J−n
1 1 1 1 1 1 n n−1 ` + , ` + = L− |`, `i , + nL− |`, `i , − . 2 2 2 2 2 2
(4.90)
Az oper´ator hatv´anyok hat´as´anak meghat´aroz´as´ahoz hattassuk a lefel´e l´eptet˝o oper´atort a |`, ` − ki ´allapotra: p p L− |`, `−ki = `(` + 1) − (` − k)(` − k − 1)|`, `−k −1i = (k + 1)(2` − k)|`, `−k −1i . Most t´erj¨ unk vissza a (4.90) sz´am´ u egyenletre ´es helyettes´ıts¨ uk be az el˝oz˝o k´epleteket: n n Y Y p p 1 1 1 1 k(2` + 2 − k) ` + , ` + − n = k(2` + 1 − k)|`, ` − ni , 2 2 2 2 k=1 k=1 n−1 Yp 1 1 + k(2` + 1 − k)|`, ` + 1 − ni , − 2 2 k=1 v u n uY k(2` + 1 − k) 1 1 t ` + 1 , ` + 1 − n = |`, ` − ni , 2 2 k(2` + 2 − k) 2 2 k=1 v un−1 uY k(2` + 1 − k) 1 1 n t + p |`, ` + 1 − ni , − 2 2 n(2` + 1) k=1 k(2` + 2 − k) 96
Az el˝oz˝o kifejez´esben a sz´aml´al´o mindig eggyel kisebb mint a nevez˝o, ´ıgy a produktumb´ol csak a nevez˝o els˝o tagja ´es a sz´aml´al´o utols´o tagja marad meg: r r 1 1 1 1 1 2` + 1 − n n 1 ` + , ` + − n = |`, ` − ni , + |`, ` + 1 − ni , − 2 2 2` + 1 2 2 2` + 1 2 2 1 1 utthat´oit az ortogonalit´as felt´etel seg´ıts´eg´evel hat´arozhatjuk Az ` − 2 , ` + 2 − n ´allapot egy¨ meg: r r 1 1 1 1 n 2` + 1 − n ` − 1 , ` + 1 − n = |`, ` − ni , − |`, ` + 1 − ni , − . 2 2 2` + 1 2 2 2` + 1 2 2 4.12 Megold´ as A 4.11. feladat alapj´an az | 21 , 21 i ´allapotot a k¨ovetkez˝o direktszorzat ´allapotokb´ol tudjuk el˝oa´ll´ıtani: r 1 1 1 1 1 1 1 2 | , i = √ |1, 0i , + |1, 1i , − . 2 2 2 2 3 2 2 3 Az Lz v´arhat´o ´ert´ek teh´at: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 , Lz , = h1, 0| Lz |1, 0i , , + h1, 1| Lz |1, 1i ,− ,− = ~ 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4.13 Megold´ as Az |1, 0i = √12 | 12 21 i| 12 − 21 i + | 12 − 12 i| 12 12 i ´allapotban tetsz˝oleges, az els˝o r´eszecsk´ere hat´o oper´ator v´arhat´o ´ert´ek´et a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h1, 0| A1 |1, 0i = , A 1 , , − A1 , − + . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ez alapj´an a v´arhat´o ´ert´ekek: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~ ~ , S z , , − Sz , − − h1, 0|S1z |1, 0i = + = =0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , S x , + , − Sx , − =0 h1, 0|S1x |1, 0i = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h1, 0|S1y |1, 0i = , S y , + , − Sy , − =0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Az S1 oper´ator minden komponens´enek a v´arhat´o ´ert´eke nulla az adott ´allapotban, de az S21 oper´ator v´arhat´o ´ert´eke, hasonl´o sz´am´ıt´asok eredm´enyek´eppen, 3 h1, 0|S21 |1, 0i = ~2 . (4.91) 4 4.14 Megold´ as Az LS csatol´ast fel´ırhatjuk az J = L + S n´egyzet´enek a seg´ıts´eg´evel: 1 LS = (J2 − L2 − S2 ) . 2 A teljes Hamilton oper´atort a k¨ovetkez˝ok´eppen fejezhetj¨ uk ki: λ H = H0 + (J2 − L2 − S2 ) . 2 A H0 oper´ator a g¨ombszimmetria miatt nyilv´anval´oan felcser´elhet˝o L ´es S minden komponens´evel, ebb¨ol k¨ovetkez˝oen a J oper´atorral is. Ezen fel¨ ul 2 2 L ,J = S ,J = 0 , vagyis J komponensei az LS oper´atorral is felcser´elhet˝oek, teh´at J mozg´as´alland´o lesz. 97
5. fejezet A hidrog´ enatom spektruma ´ es a t¨ obbtestprobl´ ema 5.1. Elm´ elet 5.1.1. A radi´ alis Schr¨ odinger-egyenlet Feladatunk, hogy V (r) = V (|r|) = V (r) centr´alis potenci´al eset´en megoldjuk a 2 p + V (r) ψ (r) = Eψ (r) , 2m
(5.1)
stacion´arius Schr¨odinger egyenletet. 5.1. T´ etel 2
p =
p2r
L2 + 2 , r
(5.2)
ahol bevezett¨ uk a pr radi´alis impulzust: ~1 ~ 1 = pr ≡ r p + r ir i
1 ~1 ∂r + = ∂r r . r ir
(5.3)
Bizony´ıt´as. A bizony´ıt´as sor´an felhaszn´alunk n´eh´any azonoss´agot, melyeket az 5.1., 5.2. illetve az 5.3. megold´asokban bizony´ıtunk. A hely- ´es impulzus oper´atorok felcser´el´esi rel´aci´oit kihaszn´alva: L2 = Li Li = εijk εilm xj pk xl pm = (δjl δkm − δjm δkl ) xj pk xl pm ~ ~ = xj pk xj pk − xj pk xk pj = xj xj pk + δkj pk − xj pk pj xk − δkj i i ~ ~ ~ = r 2 p 2 + 2 r p − xj p j p k xk = r 2 p 2 + 2 r p − xj p j xk p k − 3 xj p j i i i ~ = r2 p2 − (r p)2 − r p . (5.4) i
98
Mivel a perd¨ uletoper´ator b´armely komponense, ´ıgy a perd¨ uletoper´ator n´egyzete is, felcser´elhet˝o r2 -tel, a kapott azonoss´agot a´t´ırhatjuk a 1 ~ L2 2 2 p = 2 (r p) − r p + 2 , (5.5) r i r form´aba. Az (5.3) defin´ıci´o alapj´an: p2r
2 1 2 1 2 2 2 2 = −~ ∂r r = −~ ∂r + ∂r = −~ ∂ r r r r r 1 ~2 2 1 = −~ ∂r r ∂r + ∂r = − 2 [r ∂r r ∂r + r ∂r ] , r r r 2
(5.6) (5.7)
ami val´oban az (5.5) egyenlet jobboldal´anak els˝o tagja.
Felhaszn´alva, hogy a perd¨ uletoper´ator g¨ombi pol´arkoordin´ata reprezent´aci´oja nem tartalmazza az r radi´alis koordin´at´at, a 2 L2 pr (5.8) + + V (r) ψ (r) = Eψ (r) 2m 2mr2 Schr¨odinger-egyenlet megold´as´at kereshetj¨ uk a ψ (r) = P (r) Y`m (ϑ, ϕ)
(5.9)
alakban, ahol P (r) a radi´alis hull´amf¨ uggv´eny ´es az Y`m (ϑ, ϕ) komplex g¨ommbharmonikusok az L2 ´es Lz oper´atorok k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´enyei. Behelyettes´ıt´es ut´an a P (r) f¨ uggv´enyre a 2 pr ~2 ` (` + 1) + + V (r) P (r) = EP (r) (5.10) 2m 2mr2 differenci´alegyenletet kapjuk. A radi´alis impulzus (5.6) alakj´at be´ırva ´es bevezetve az R (r) = rP (r)
(5.11)
~2 d2 ~2 ` (` + 1) − + + V (r) R (r) = ER (r) 2m dr2 2mr2
(5.12)
f¨ uggv´enyt, a
radi´ alis Schr¨odinger egyenlethez jutunk.
5.1.2. A hidrog´ enatom ko allapotai ¨to ¨tt ´ Egy Z rendsz´am´ u atomban egy elektron potenci´alis energi´aja (az elektronok Coulomb tasz´ıt´as´at elhanyagolva) kZe2 1 k= . (5.13) V (r) = − r 4πε0 99
Mivel V (r) < 0, a k¨ot¨ott a´llapotok negat´ıv energi´aj´ uak: E = − |E| . Az (5.12) egyenletet ez´ert a k¨ovetkez˝ok´eppen alak´ıthatjuk ´at, ~2 d2 ~2 ` (` + 1) Zα 2 − + |E| R (r) = 0 , α = ke (5.14) + − 2m dr2 2mr2 r ⇓ Bevezetve a
~2 d2 1 ~2 ` (` + 1) Zα − − + 2 2 8m |E| dr 8m |E| r 4r |E| 4
R (r) = 0 .
(5.15)
p 8m |E|r 2r ξ= = ~ r0
(5.16)
~ ~2 r0 = p , |E| = 2mr02 2m |E|
(5.17)
Zα α mα r0 ~2 ~2 = Zr0 , a = = Zr = Z = , 0 0 2 2 |E| r0 2 |E| r02 ~ a0 mα kme2
(5.18)
v´altoz´ot, ahol
´es az ε=
param´etereket, ahol a0 = 0.529 × 10−10 m a Bohr sug´ar, a d2 R (ξ) 1 ε ` (` + 1) + − + − R (ξ) = 0 dξ 2 4 ξ ξ2
(5.19)
differenci´alegyenlethez jutunk. (A v´altoz´ocsere ut´an a n´emik´epp pongyola, R (ξ) = R (r (ξ)) jel¨ol´est haszn´altuk.) A fenti egyenlet megold´asait k¨onnyen megtal´aljuk az ´ertelmez´esi tartom´any, ξ ∈ (0, ∞), aszimptotikus pontjaiban: ξ→∞ 1 d2 R (ξ) 1 − R (ξ) = 0 =⇒ R (ξ) ∝ e− 2 ξ , 2 dξ 4
(5.20)
d2 R (ξ) ` (` + 1) − R (ξ) = 0 =⇒ R (ξ) ∝ ξ `+1 . dξ 2 ξ2
(5.21)
ξ→0
A (5.19) egyenlet megold´as´at, a Sommerfeld-f´ele polinom m´odszer szellem´eben, keress¨ uk az 1 (5.22) R (ξ) = e− 2 ξ u (ξ) alakban, melyet behelyettes´ıtve az (5.19) egyenletbe az ε ` (` + 1) 00 0 u (ξ) = 0 u (ξ) − u (ξ) + − ξ ξ2
(5.23)
egyenlethez jutunk. A ξ → 0 aszimptotika miatt c´elszer˝ u a megold´ast u (ξ) =
∞ X i=0
100
ci ξ i+s
(5.24)
polinom alakban keresni, ahol s-et inici´alis indexnek nevezik (s > 1). A sz¨ uks´eges deriv´al´asokat elv´egezve a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert nyerj¨ uk: [s (s − 1) − ` (` + 1)] c0 ξ s−2 + ∞ X {[(i + s) (i + s − 1) − ` (` + 1)] ci − [(i + s − 1) − ε] ci−1 } ξ i+s−2 = 0 ,
(5.25) (5.26)
i=1
mely tetsz˝oleges ξ-re akkor teljes¨ ul, ha mindegyik hatv´anytag egy¨ utthat´oja elt˝ unik. A legkisebb kitev˝oj˝ u hatv´anytag egy¨ utthat´oj´at vizsg´alva (c0 6= 0), `+1 s (s − 1) − ` (` + 1) = 0 =⇒ s = , (5.27) −` amib˝ol nyilv´anval´oan csak az s = `+1 v´alaszt´as szolg´altat az orig´oban regul´aris megold´ast. A t¨obbi hatv´anytag egy¨ utthat´oj´ab´ol a ci =
i+`−ε i+`−ε ci−1 = ci−1 , (i + `) (i + ` + 1) − ` (` + 1) i (i + 2` + 1)
(5.28)
(i = 1, 2, . . .) rekurzi´os ¨osszef¨ ugg´es ad´odik. Mivel a ci /ci−1 h´anyados nagy i-re 1/i-hez tart, nagy ξ-re 1 ξ u (ξ) ∝ e , k¨ovetkez´esk´eppen R (ξ) ∝ e 2 ξ , ami nyilv´anval´oan divergens ξ → ∞ eset´en. Regul´aris megold´ast teh´at csak u ´gy kapunk, ha u (ξ) v´eges polinom, azaz l´etezik olyan imax = 1, 2, . . ., hogy cimax −1 6= 0, viszont cimax = 0. Ekkor ε = imax + ` .
(5.29)
n = imax + ` =⇒ n = 1, 2, 3, . . .
(5.30)
Vezess¨ uk be az u ´n. f˝okvantumsz´amot
mellyel az ` mell´ekkvantumsz´am az al´abbi nyilv´anval´o ¨osszef¨ ugg´esben a´ll: ` = 0, 1, . . . , n − 1 .
(5.31)
A k¨ot¨ott a´llapot radi´alis kiterjed´es´et jellemz˝o sug´ar, r0 =
na0 , Z
(5.32)
valamint a saj´atenergia, 2
En = −
~2 ~2 Z 2 1 m (kZe2 ) 1 kZe2 1 = − = − = − , 2mr02 2ma20 n2 2~2 n2 2a0 n2
(5.33)
csak a f˝okvantumsz´amt´ol f¨ uggenek. A hidrog´enatom k¨ot¨ott´allapoti hull´amf¨ uggv´eny´enek teljes alakja: 1 ψn`m (r) = Ln` (r/2r0 ) e−r/r0 Y`m (ϑ, ϕ) , (5.34) r ahol Ln` az u ´n. Laguerre polinomokat jel¨oli. A fentiekb˝ol k¨ovetkezik, hogy az Ln` polinom az ` + 1-ik hatv´annyal kezd˝odik ´es a legmagasabb hatv´anykitev˝oje (imax − 1) + (` + 1) = 101
imax + ` = n. Ez´ert a polinom n − ` (egym´ast k¨ovet˝o) hatv´anytagot tartalmaz, teh´at z´erushelyeinek sz´ama n − ` − 1. Az energiaszintek degener´alts´aga az m m´agneses kvantumsz´amra val´o ¨osszegz´essel k¨onnyen kisz´am´ıthat´o, 2
n−1 X `=0
(2` + 1) = 4
n (n − 1) + 2n = 2n2 , 2
(5.35)
ahol egy kettes szorz´ofaktorral a spin-´allapot ms = ± 12 szerinti degener´alts´agot is figyelembe vett¨ uk.
5.1.3. T¨ obbr´ eszecske rendszerek Azonos r´ eszecsk´ ek rendszer´ enek hull´ amfu enye ¨ ggv´ Valamely s-spin˝ u r´eszecske ψ1 hull´amf¨ uggv´enye koordin´ata-spin reprezent´aci´oban a H1 = L2 (R3 ) ⊗ C2s+1 Hilbert-t´er eleme: ψ1 (1) ≡ hψ1 | (|r1 i ⊗ |s, ms1 i) = ψ1 (r1 , ms1 ) ,
(5.36)
N azonos r´eszecske ψN (1, 2, . . . , N ) hull´amf¨ uggv´eny´et a H1 Hilbert-t´er N -szeres tenzorszorzat´an ´ertelmezz¨ uk, ψN ∈ HN = H1 ⊗ H1 ⊗ . . . H1 ⊗ H1 . {z } |
(5.37)
N −szeres tenzorszorzat
Defini´aljuk k´et r´eszecske felcser´el´es´enek oper´ator´at, P (i, j) ψN (. . . , i, . . . , j, . . .) = ψN (. . . , j, . . . , i, . . .) ,
(5.38)
melyre idempotens, P (i, j)2 = I, ez´ert saj´at´ert´ekei ±1. 5.1 Posztul´ atum ( Azonoss´ag elve) Megk¨ ul¨onb¨oztethetetlen r´eszecsk´ek hull´amf¨ uggv´eny´ere megk¨ovetelj¨ uk, hogy a megfigyelhet˝o mennyis´egek invari´ansak legyenek k´et r´eszecske felcser´el´es´es´ere. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy ∀φN ∈ HN eset´en hφN |ψN i hψN |φN i = hφN |P (i, j) ψN i hP (i, j) ψN |φN i ,
(5.39)
P (i, j) |ψN i hψN | = |ψN i hψN | P (i, j) ,
(5.40)
teh´ at azaz a |ψN i hψN | projektor ´es P (i, j) felcser´elhet˝ok. Ez akkor ´es csak akkor lehets´eges, ha a ψN N -r´eszecske f¨ uggv´eny P (i, j) saj´atf¨ uggv´enye. Aszerint, hogy a saj´at´ert´ek 1 vagy −1, a r´eszecsk´eket rendre bozonoknak vagy fermionoknak h´ıvjuk. Megjegyezz¨ uk, hogy ez a tulajdons´ag a r´eszecsk´ek spinj´evel a k¨ovetkez˝o kapcsolatban ´all: s = 0, 1, . . . bozon ψN P (i, j) ψN = . (5.41) fermion −ψN s = 12 , 32 , . . . Ezen ´all´ıt´ast a kvantummechanik´aban posztul´aljuk, kvantumt´erelm´eleti m´odszerekkel azonban megkaphat´o, mint eredm´eny. 102
5.2 Posztul´ atum ( Pauli elv) Az elektronok fermionok, azaz egy t¨obbelektronos hull´amf¨ uggv´eny antiszimmetrikus k´et elektron felcser´el´es´ere n´ezve. 5.3 Posztul´ atum Azonos r´eszecsk´ekb˝ol ´all´o rendszer HN Hamilton-oper´atora invari´ans k´et r´eszecske felcser´el´es´ere n´ezve, azaz P (i, j) HN − HN P (i, j) = 0 .
(5.42)
5.2. Ko eny A hull´amf¨ uggv´eny felcser´el´esi szimmetri´aja mozg´as´alland´o. ¨vetkezm´ Bizony´ıt´as. Ha P (i, j) ψN (0) = pψN (0), akkor a hull´amf¨ uggv´eny id˝ofejl˝od´es´eb˝ol, i ψN (t) = exp − HN t ψN (0) , (5.43) ~ teh´at i P (i, j) ψN (t) = P (i, j) exp − HN t ψN (0) ~ i = exp − HN t P (i, j) ψN (0) = pψN (t) . ~ N fermion antiszimmetrikus hull´amf¨ uggv´enyeinek el˝o´all´ıt´asa: ha ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN ∈ L2 ⊗ C2s+1 (R3 ) ortonorm´alt f¨ uggv´enyek ´es P (1, . . . , N ) az (1, . . . , N ) pozit´ıv eg´eszek egy permut´aci´oj´at jel¨oli, melynek parit´asa P , akkor a X 1 ΨA (1, . . . , N ) = √ (−1)P P (1, . . . , N ) ϕ1 (1) . . . ϕN (N ) (5.44) N ! P (1,...,N ) ϕ1 (1) ϕ2 (1) ϕ (1) N 1 ϕ1 (2) ϕ2 (2) ϕN (2) =√ (5.45) N! ϕ1 (N ) ϕ2 (N ) ϕN (N ) Slater-determin´ans antiszimmetrikus k´et r´eszecske (k´et sor) felcser´el´es´ere n´ezve. Az nyilv´anval´oan fenn´all, hogy ha a Slater determin´anst alkot´o egyr´eszecske hull´amf¨ uggv´enyek k¨oz¨ ul legal´abb kett˝o megegyezik, akkor a hull´amf¨ uggv´eny azonosan z´erus. Ennek k¨ozismert megfogalmaz´asa a Pauli-f´ele kiz´ar´asi elv, miszerint is k´et fermion nem lehet ugyanabban az egyr´eszecske a´llapotban. Egy a´ltal´anos N -fermion hull´amf¨ uggv´eny fe´ırhat´o Slaterdetermin´ansok line´ar kombin´aci´ojak´ent, X ψ F (1, . . . , N ) = C (i1 , i2, . . . , iN ) ΨA (5.46) i1 ,i2, ...,iN (1, . . . , N ) , i1 ,i2, ...,iN ∈N (il 6=ik )
ahol az (i1 , i2, . . . , iN ) indexek a Slater-determin´anst alkot´o egyr´eszecske b´azisf¨ uggv´enyeket jel¨olik. 5.3. Megjegyz´ es Mivel a determin´ans ´epp az N -edik antiszimmetrikus tenzorszorzat, az N -r´eszecske hull´amf¨ uggv´enyt ´ırhatjuk a k¨ovetkez˝o alakban is: ΨA (1, . . . , N ) = ϕ1 (1) ∧ . . . ∧ ϕN (N ) . 103
(5.47)
Bozonrendszerek szimmetrikus hull´amf¨ uggv´eny´et hasonl´o m´odon ´all´ıthatjuk el˝o X ψ B (1, . . . , N ) = C (i1 , i2, . . . , iN ) ΨSi1 ,i2, ...,iN (1, . . . , N ) ,
(5.48)
i1 ,i2, ...,iN ∈N
ahol
X 1 ΨS (1, . . . , N ) = √ P (1, . . . , N ) ϕ1 (1) . . . ϕN (N ) . N ! P (1,...,N )
(5.49)
5.4. Megjegyz´ es A szimmetrikus hull´amf¨ uggv´eny defin´ıci´oja ´epp az N -edik szimmetrikus tenzorszorzat: ΨS (1, . . . , N ) = ϕ1 (1) ∨ . . . ∨ ϕN (N ) . (5.50) A/S
A fermion- ill. bozonrendszerek Ψi1 ,i2, ...,iN hull´amf¨ uggv´enyeit egys´egesen jellemezhetj¨ uk u ´gy, hogy minden egyr´eszecske hull´amf¨ uggv´enyre megadjuk, hogy az h´anyszor fordul el˝o a t¨obbr´eszecske hull´amf¨ uggv´eny el˝oa´ll´ıt´as´aban, ni ∈ {0, 1} fermion |n1 , n2 , . . . , ni , . . .i . (5.51) ni ∈ N0 bozon Ezt a jel¨ol´est nevezz¨ uk bet¨olt´esi sz´am reprezent´aci´o nak. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a fenti hull´amf¨ uggv´enyek tetsz˝oleges r´eszecskesz´am´ u rendszer (Fock-t´er) b´azis´at alkotj´ak.
5.1.4. T¨ obbelektronos rendszerek: Hartree m´ odszer Pr´ob´aljuk meg figyelembe venni egy Z rendsz´am´ u atomban az elektronok k¨oz¨otti Coulomb k¨olcs¨onhat´ast. Az elektronrendszer Hamilton oper´atora, H (1, . . . , N ) =
N X i=1
N 1X V (ri , rj ) , H0 (ri ) + 2 i,j=1
(5.52)
(i6=j)
ahol H0 (ri ) = −
~2 kZe2 ∆i − , 2m ri
(5.53)
ke2 , |ri − rj |
(5.54)
az egyr´eszecske Hamilton oper´ator ´es V (ri , rj ) =
a k´etr´eszecske k¨olcs¨onhat´as. A Hartree-m´odszer ben az elektronrendszer k¨ozel´ıt˝o hull´amf¨ uggv´eny´et a N O ψ (1, 2, . . . , N ) = ϕi (ri ) χ 1 ,mis (5.55) 2
i=1
u spin saj´at´allapotot alakban vessz¨ uk fel (hϕi |ϕj i = δij ), illetve χ 1 ,mis -vel a 21 , mis z ir´any´ 2 jel¨olj¨ uk. A rendszer alap´allapot´anak (k¨ozel´ıt˝o) meghat´aroz´asa c´elj´ab´ol az E = hψ|H|ψi 104
funkcion´alt kell minimaliz´alni a ϕi hull´amf¨ uggv´enyek alkalmas megv´alaszt´as´aval. Az egyr´eszecske hull´amf¨ uggv´enyek ortonorm´alts´ag´at k´enyszerfelt´etelk´ent kezelve, bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝o funkcion´alt, X F ({ϕ}) = hψ|H|ψi − εij hϕi |ϕj i , i,j
ahol az εij Lagrange param´eterekre megk¨ovetelj¨ uk, hogy εij = ε∗ji , mert ez biztos´ıtja hogy az F ({ϕ}) funkcion´al val´os ´ert´ek˝ u legyen. Az εki m´atrixot diagonaliz´alva, a saj´at´ert´ekeket εi -val jel¨olve, mindig a´tt´erhet¨ unk az ortogon´alis {ϕi } saj´atb´azisra, teh´at az F ({ϕ}) funkcion´alt felvehetj¨ uk az X F ({ϕ}) = hψ|H|ψi − εi hϕi |ϕi i (5.56) i
=
XZ
d
i
3
r ϕ∗i
1X (r) H0 (r) ϕi (r) + 2 i6=j
Z Z
d3 r0 d3 r ϕ∗i (r) ϕ∗j (r0 ) V (r, r0 ) ϕi (r) ϕj (r0 ) (5.57)
−
X
Z εi
d3 r ϕ∗i (r) ϕi (r)
i
alakban. Meg kell vizsg´alnunk, hogyan v´altozik a funkcion´al egy b´azisf¨ uggv´eny (infinitezim´alis) v´altoztat´asa eset´en, ϕk + δϕk . A Hamilton oper´ator hermitikuss´ag´ab´ol k¨ovetkezik, uk ezt az elj´ar´ast: hogy a ϕ∗k + δϕ∗k vari´al´as is ugyanarra az eredm´enyre vezet, ´ıgy k¨ovess¨ Z Z 3 ∗ δϕ∗k F ({ϕ}) = d r δϕk (r) H0 (r) ϕk (r) − εk d3 r δϕ∗k (r) ϕk (r) (5.58) XZ Z ∗ + d3 r d3 r0 δϕ∗k (r) ϕi (r0 ) V (r, r0 ) ϕi (r0 ) ϕk (r) , i(6=k)
ahol kihaszn´altuk, hogy V (r, r0 ) = V (r0 , r) . A minimum (sz´els˝o´ert´ek) felt´etele, hogy tesz˝oleges δϕ∗k (r) vari´aci´ora a fenti kifejez´es z´erussal egyezzen meg, amib˝ol k¨ovetkeznek a Hartree-egyenletek, H0 (r) + VkH (r) ϕk (r) = εk ϕk (r) (k = 1, 2, . . . , N ) . (5.59) Itt bevezett¨ uk az u ´n. Hartree-potenci´alis energi´at, Z XZ %(k) (r0 ) H 3 0 ∗ 0 0 0 2 , Vk (r) = d r ϕi (r ) V (r, r ) ϕi (r ) = ke d3 r 0 |r − r0 |
(5.60)
i(6=k)
ahol %(k) (r) =
X
|ϕi (r)|2 .
(5.61)
i(6=k)
Az (5.59) egyenlet formailag hasonl´o egy stacion´arius Schr¨odinger-egyenlethez, csup´an a VkH (r) potenci´al a ϕi f¨ uggv´enyek funkcion´alja ´es r´aad´asul f¨ ugg az egyr´eszecske a´llapot index´et˝ol (k) . (Ez ut´obbi kellemetlen tulajdons´agot az u ´n. Hartree-Fock m´odszer orvosolja.) Az (5.59) Hartree-egyenleteket az (5.60) ´es (5.61) ¨osszef¨ ugg´esek felhaszn´al´as´aval ¨onkonzisztens m´odon, iter´alva lehet megoldani. 105
A Hartree egyenleteket ϕ∗k (r)-rel beszorozva, majd kiintegr´alva, az εk Lagrange param´eterek kifejezhet˝ok, Z Z 3 ∗ εk = d r ϕk (r) H0 (r) ϕk (r) + d3 r %k (r) VkH (r) , (5.62) ahol %k (r) = |ϕk (r)|2 . Vegy¨ uk ´eszre, hogy az elektronrendszer elektrosztatikus energi´aj´ara (Hartree energia) fenn´all a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´es, 1X EH = 2 i6=j
Z Z
N
%i (r) %j (r0 ) 1X = d rd r |r − r0 | 2 k=1 3 0 3
Z
d3 r %k (r) VkH (r) ,
(5.63)
ez´ert az elektronrendszer energi´aja, E = hψ|Hψi =
N X
εk − EH .
(5.64)
k=1
A k¨olcs¨onhat´o elektronrendszer energi´aj´at Hartree k¨ozel´ıt´esben teh´at megkapjuk, ha az effekt´ıv egyr´eszecske energi´aknak tekinthet˝o Lagrange multiplik´atorok ¨osszeg´eb˝ol levonjuk a k¨olcs¨onhat´asi energia ¨onkonzisztens megold´asokkal vett ´ert´ek´et (double-counting j´arul´ek). Ez az eredm´eny nagyfok´ u hasonl´os´agot mutat pl. a Heisenberg spin-modell a´tlagt´er k¨ozel´ıt´es´eben kapott energia kifejez´es´ehez, ´ıgy a Hartree-m´odszert szok´as nevezni a k¨olcs¨onhat´o elektronrendszer a´tlagt´er k¨ozel´ıt´es´enek.
106
5.2. Feladatok 5.2.1. P´ eld´ ak 5.1. Feladat L´assuk be, hogy a pr =
~ i
∂r +
1 r
oper´ator hermitikus!
5.2. Feladat Bizony´ıtsuk be, hogy ~1 ∂r r ir 1 2 2 2 pr = −~ ∂ r r r 1 2 1 ∂r r ∂r + ∂r = −~ r r 2 ~ = − 2 [r ∂r r ∂r + r ∂r ] r 2 2 2 = −~ ∂r + ∂r . r pr =
(5.65) (5.66) (5.67) (5.68) (5.69)
5.3. Feladat Mutassuk meg, hogy [Li , xk ] = i~εikl xl ,
(5.70)
[Li , pk ] = i~εikl pl ,
(5.71)
k¨ ovetkez´esk´eppen [Li , r2 ] = 0 ,
[Li ,
1 ]=0, r2
[Li , p2 ] = 0 !
(5.72)
Seg´ıts´ eg:. Haszn´aljuk a (4.87) egyenlet eredm´eny´et! 5.4. Feladat Bizony´ıtsa ba a k¨ovetkez˝o csererel´aci´okat: [pr , r] =
~ , i
(5.73)
~ n−1 nr , i ~ dF (r) [pr , F (r)] = ! i dr [pr , rn ] =
(5.74) (5.75)
5.5. Feladat A Kepler-probl´ema Hamilton-oper´atora H=
p2r L2 α + − 2 2m 2mr r
.
Az ismert felcser´el´esi rel´aci´ok seg´ıts´eg´evel l´assa be, hogy r˙ = ahol A˙ =
i ~
pr m
´es p˙r =
L2 α − mr3 r2
,
[H, A] a (3.52) k´epletben szerepl˝o kvantummechanikai id˝oderiv´alt! 107
5.6. Feladat Hat´arozzuk meg egy R sugar´ u 2D potenci´al dobozba z´art r´eszecske saj´at´allapotait ´es els˝o n´eh´any saj´atenergi´aj´at. 5.7. Feladat Hat´arozzuk meg egy R sugar´ u g¨ombbe z´art r´eszecske saj´at´allapotait ´es els˝o n´eh´ any saj´atenergi´aj´at! Mekkora nyom´ast fejt ki a r´eszecske a g¨omb fal´ara? 5.8. Feladat Hat´arozzuk meg az R sugar´ u g¨ombbe z´art elektron alap´allapot´aban az hr2 i ´ert´ek´et! 5.9. Feladat Ismeretes, hogy a H Hamiltonoper´ator b´armely Ψ saj´at¨ uggv´eny´ere hΨ | [H, A] | Ψi = 0 , ahol A tetsz˝oleges line´aris oper´ator. Az A = rp v´alaszt´assal bizony´ıtsuk be a kvantummechanikai viri´alt´etelt 2 p 2 Ψ Ψ − hΨ | r∇V (r) | Ψi = 0 , 2m ahol H =
p2 2m
+ V (r). Mit kapunk V (r) = Ars alak´ u potenci´al eset´en?
5.10. Feladat Kommut´aci´os rel´aci´ok seg´ıts´eg´evel vezess¨ uk le, hogy a hidrog´enatom | n`mi saj´ at´allapot´aban 1 1 , (5.76) n`m n`m = r a0 n 2 k¨ ovetkez´esk´eppen hn`m | V | n`mi = 2En
´es hn`m | T | n`mi = −En
valamint, hogy hn`m | r | n`mi = ahol a0 = ´ırtuk!
~2 mα
a0 2 3n − `(` + 1) 2
,
(5.77)
,
(5.78)
2
a Bohr-sug´ar, En = − 2a0αn2 = − 2ma~ 2 n2 ´es a potenci´alt V (r) = − αr alakban 0
Seg´ıts´ eg:. Vizsg´aljuk a [H, rpr ] ´es a [H, r2 pr ] kommut´atorokat! 5.11. Feladat Mivel a hidrog´enatom ψn`m saj´at´allapot´aban a baloldali kommut´ator v´arha´ o´ert´eke nyilv´anval´oan z´erus, fel´ırhatjuk, hogy hr−2 in`m = `(` + 1)a hr−3 in`m ,
(5.79)
ahol a = ~2 /mα ´es hrs in`m az rs oper´ator v´arhat´o ´ert´eke a ψn`m saj´at´allapotban. Hasonl´o gondolatmenet alapj´an, a [H, rs+1 pr ] kommut´ator c´elszer˝ u ´atalak´ıt´as´aval vezess¨ uk le az u ´n. Kramers–¨osszef¨ ugg´est: s s+1 s hr in`m − (2s + 1)a hrs−1 in`m + [(2` + 1)2 − s2 ]a2 hrs−2 in`m = 0 2 n 4 A fenti ¨osszef¨ ugg´as term´eszetesen csak s > −2` − 3 esetben ´ertelmezhet˝o. 108
!
(5.80)
Seg´ıts´ eg:. A levezet´es k¨ozben alkalmazzuk, hogy [pr , rs ] =
~ s−1 sr i
(5.81)
valamit bizony´ıtsuk, hogy [H, rs+1 ] = −
~2 s(s + 1) s−1 ~(s + 1) s r + r pr 2m im
,
(5.82)
ill. a v´eg´en haszn´aljuk ki az En`m = −α/(2 a n2 ) ¨osszef¨ ugg´est. 5.12. Feladat Mutassa meg, hogy k´et k¨olcs¨onhat´o r´eszecske Hamilton oper´atora, H (1, 2) =
p21 p2 + 2 + V (r1 − r2 ) 2m1 2m2
,
f¨ ol´ırhat´o mint H (1, 2) = ahol M = m1 + m2 ,
µ=
p2 P2 + + V (r) 2M 2µ
,
m1 m2 , m1 + m2
R=
m1 r1 + m2 r2 , m1 + m2
~ ∂ , i ∂R
p=
~ ∂ i ∂r
valamint P=
r = r1 − r2
.
5.13. Feladat A C60 molekula egy focilabda alak´ u, 60 db sz´enatomb´ol ´all´o kalitka, amelybe k¨ ul¨onb¨oz˝o atomokat z´arhatunk be. A belsej´ebe helyezett nitrog´en atom vegy´ert´ek elektronjainak a spinje S1 = 3/2, az egyszeresen ioniz´alt C−1 et rendszer 60 spinje S2 = 1/2. A k´ H1 ´es H2 Hamilton oper´atora felcser´elhet˝o az S1 ´es S2 spinoper´atorokkal, melyek term´eszetesen egym´assal is felcser´elhet˝oek. A k¨oz¨os rendszer alap´allapota 8-szorosan degener´alt, ha elhanyagoljuk a k¨oz¨ott¨ uk l´ev˝o k¨olcs¨onhat´ast (H12 = H1 + H2 ). Hogyan hasad fel az alap´allapot energi´aja, ha figyelembe vessz¨ uk a k´et rendszer k¨oz¨otti H12 = JS1 S2 alak´ u k¨olcs¨onhat´ast? Seg´ıts´ eg:. Mutassa meg ´es haszn´alja f¨ol, hogy [H12 , S] = 0 ´es [H12 , S2 ] = 0! 5.14. Feladat Legyen adva a k¨ovetkez˝o k´et, (´ un. Bell) k´etr´eszecske spin ´allapot: 1 1 1/2 1/2 −1/2 −1/2 ψ ± = √ χ1/2 (1)χ1/2 (2) ± χ1/2 (1)χ1/2 (2) ≡ √ (|↑, ↑i2 ± |↓, ↓i2 ) 2 2
(5.83)
a) Bizony´ıtsa be, hogy a fenti ´allapotok ortonorm´altak! b) A fenti ´allapotok saj´at´allapotai-e az S = S1z + S2z k´etr´eszecske spinoper´atornak? c) Mennyi a fenti ´allapotban lev˝o k´etr´eszecske rendszer spinj´enek z−ir´any´ u (´atlag)´ert´eke?
± ± ψ Sz ψ
109
d) Mennyi a fenti ´allapotban lev˝o k´etr´eszecske rendszer spinn´egyzet´enek ´atlag´ert´eke?
± 2 ± ψ S ψ 5.15. Feladat Az u ´.n. Moshinsky-atom eset´eben k´et egyforma r´eszecske mozog egy dimenzi´os harmonikus potenci´alban u ´gy, hogy egym´assal is harmonikus potenci´allal hatnak k¨ olcs¨on: 1 p2 p2 1 H = 1 + 2 + mΩ2 x21 + x22 + mω 2 (x1 − x2 )2 . 2m 2m 2 2 Mutassuk meg, hogy az ¨osszeg ´es k¨ ul¨onbs´eg koordin´at´ak bevezet´es´evel a Hamilton oper´ator szepar´alhat´o k´et f¨ uggetlen oper´ator ¨osszeg´ere. Adjuk meg a saj´at´allapotokat! T´etelezz¨ uk fel, hogy a r´eszecsk´ek S = 1/2 spin˝ u fermionok. Adjuk meg a szingulet (spin r´esz antiszimmetrikus) ´es triplet (spin r´esz szimmetrikus) ´allapotokat! 5.16. Feladat A Moshinsky atom eset´eben k´et harmonikus potenci´alban mozg´o r´eszecske harmonikus potenci´allal hat k¨olcs¨on egym´assal. A probl´ema Hamilton oper´ator´at a k¨ ovetkez˝ok´eppen adhatjuk meg: H=
1 p2 1 p21 + 2 + mΩ2 (r12 + r22 ) + mω 2 (r1 − r2 )2 2m 2m 2 2
(5.84)
Hat´ arozzuk meg a Hartree-Fock alap´allapoti energi´at!
5.2.2. Megold´ asok 5.1 Megold´ as Az oper´ator hermitikuss´ag´anak elegend˝o felt´etele: hg|pr f i = hpr g|f i . Fejts¨ uk ki a skal´arszorzatokat: Z∞ hg|pr f i =
~ r g (r) i 2 ∗
1 ∂r + r
~ f (r)dr = i
0
Z∞
~ r g (r)∂r f (r)dr + i 2 ∗
0
Z∞
rg ∗ (r)f (r)dr
0
∗ Z∞ Z∞ ∞ ~ ~ 2 ∗ ~ 2 ∗ r g (r)f (r) 0 + ∂r r g (r) f (r)dr + rg ∗ (r)f (r)dr = i i i 0
0
∗ Z∞ ∗ Z∞ ~ ~ 2 ∗ = r ∂r (g (r)) f (r)dr + rg ∗ (r)f (r)dr i i 0
0
∗ Z∞ ~ 1 = ∂r + f (r)dr = hpr g|f i . i r 0
5.2 Megold´ as 1. ~1 ~ ∂r rf (r) = ir i
1 f (r) + ∂r f (r) r 110
~ = i
1 + ∂r f (r) r
2. p2r
=
~1 ∂r r ir
2
2
= −~
1 ∂r r r
1 ∂r r r
1 = −~2 ∂r2 r r
3. −~
21
r
∂r2 r
21
= −~
r
21
∂r (∂r r) = −~
r
2
∂r (1 + r∂r ) = −~
1 1 ∂r + ∂r r∂r r r
4. 2
−~
1 1 ∂r + ∂r r∂r r r
= −~2
1 (r∂r + r∂r r∂r ) r2
5. 1 1 −~ 2 (r∂r + r∂r r∂r ) = −~2 2 r∂r + r∂r + r2 ∂r2 = −~2 r r 2
2 ∂r + ∂r2 r
´ 5.3 Megold´ as Irjuk fel a kommut´atorokat ´es haszn´aljuk fel L definici´oj´at: [Li , xk ] = εilj [xl pj , xk ] = εilj xl [pj , xk ] =
~ εilj δjk xl = i~εikl xl . i
Hasonl´oan, [Li , pk ] = εijl [xj pl , pk ] = εijl [xj , pk ]pl = i~εijl δjk pl = i~εikl pl . A (4.87) egyenletben bizony´ıtott [Li , f (r)] =
~ (r × ∇f (r))i i
azonoss´agnak megfelel˝oen: 1 ~ r ~ r × 2r = 0 , [L, 2 ] = r × 2 4 = 0 . i r i r 2 [Li , p ] = εijk [xj pk , pl pl ] = εijk ([xj , pl ]pk pl + pl [xj , pl ]pk ) = 2i~εijk δjl pk pl = 0 [L, r2 ] =
5.4 Megold´ as Az els˝o felcser´el´esi rel´aci´o meghat´aroz´as´ahoz hatassuk a kommut´atort Hilbert t´er egy f (r) elem´ere: ~ ∂ 1 ~ ∂ ~ ∂ ∂ [pr , r]f (r) = + , r f (r) = , r f (r) = rf (r) − r f (r) i ∂r r i ∂r i ∂r ∂r ~ ∂ ∂ ~ = f (r) + r f (r) − r f (r) = f (r) , i ∂r ∂r i teh´ at a kommut´ator: ~ . i A k¨ovetkez˝o kommut´atort hasonl´oan hat´arozhatjuk meg: ~ ∂ ~ ∂ ∂ [pr , F (r)] = , F (r) = F (r) − F (r) i ∂r i ∂r ∂r ~ ∂F (r) ∂ ∂ ~ ∂F (r) = + F (r) − F (r) = . i ∂r ∂r ∂r i ∂r [pr , r] =
(5.85) (5.86)
Az ¨osszef¨ ugg´est alkalmazva az rn f¨ uggv´enyre a h´atral´ev˝o felcsr´el´esi rel´aci´ot is igazolhatjuk. 111
5.5 Megold´ as A kvantummechanikai id˝o deriv´alt definici´oj´at felhaszn´alva: 2 2 h i i pr L α i r˙ = [H, r] = ,r + ,r ,r − ~ ~ 2m 2mr2 r Az L2 oper´ator felcser´elhet˝o az r oper´atorral, ´ıgy csak az els˝o tag marad meg: r˙ =
pr i 1 ([pr , r]pr + r[pr , r]) = . ~ 2m m
A radi´alis impulzus id˝oderiv´altj´at hasonl´oan hat´arozhatjuk meg: 2 h i i L α i p˙r = [H, pr ] = , pr , pr − ~ ~ 2mr2 r Az (5.85) egyenlet ~ ∂F i ∂r osszef¨ ugg´es´et felhaszn´alva az el˝oz˝o egyenletet a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel: ¨ [pr , F (r)] =
p˙r =
(5.87)
L2 α − mr3 r2
5.6 Megold´ as A rendszernek henger szimmetri´aja van ez´ert a probl´ema Hamilton oper´ atora felcser´elhet˝o az impulzusmomentum oper´ator Lz komponens´evel. Nyilv´anval´oan k¨ oz¨ os saj´at´allapotuk lesz, teh´at a megold´ast kereshetj¨ uk ψ(r, ϕ) = eiµϕ φ(r) alakban. A szabad r´eszecske Hamilton oper´atora henger koordin´at´akban a k¨ovetkez˝o lesz: ∂ 1 ∂2 ~2 1 ∂ r + 2 2 H=− 2m r ∂r ∂r r ∂ϕ Helyettes´ıts¨ uk be a hull´amf¨ uggv´enyt ´es ´ırjuk fel a radi´alis Schr¨odinger-egyenletet: ~2 1 ∂ ∂φ µ2 ~2 ∂ 2 φ 1 ∂φ µ2 − r − 2 =− + − 2 φ = Eφ 2m r ∂r ∂r r 2m ∂r2 r ∂r r Alak´ıtsuk tov´abb a Schr¨odinger-egyenletet: 2 ∂φ 2mE 2 2∂ φ 2 r +r + r −µ φ=0 ∂r2 ∂r ~2 Vezess¨ uk be a
r
2mE r ~2 v´ altoz´ot ´es haszn´aljuk fel az el˝oz˝o egyenletben: q=
q2
∂ 2φ ∂φ +q + q 2 − µ2 φ = 0 . 2 ∂q ∂q 112
(5.88)
Az el˝oz˝o differenci´alegyenletben felismerhetj¨ uk a Bessel-f´ele differenci´alegyenletet, amelynek –min˝o meglepet´es – a Bessel f¨ uggv´enyek a megold´asai: ! r 2mE ψ(r, ϕ) = eiµϕ Jµ r ~2 Term´eszetesen a k¨or¨on k´ıv¨ ul a hull´amf¨ uggv´enynek el kell t˝ unnie, hiszen itt v´egtelen nagy a potenci´al. Az R-n´el ´erv´enyes peremfelt´etel: ! r 2mE R =0. Jµ ~2 Az el˝oz˝o felt´etelb˝ol meghat´arozhatjuk a saj´at´allapotok energi´ait: Eiµ =
~2 x2iµ , 2mR2
ahol xiµ a Jµ Bessel f¨ uggv´eny i-ik z´erushelye. 5.7 Megold´ as A rendszer g¨ombszimmetri´aj´ab´ol k¨ovetkez˝oen a megold´ast egy radi´alis hull´ amf¨ uggv´eny ´es a g¨ombf¨ uggv´enyek szorzat´aban kereshetj¨ uk: ψ(r, ϑ, ϕ) = φ(r)Ylm (ϑ, ϕ) . A szabad r´eszecske Hamilton-oper´atora g¨ombi koordin´at´akban a k¨ovetkez˝o lesz: 2 ∂ 2 ∂ ~2 L2 + H=− + 2m ∂r2 r ∂r 2mr2 Helyettes´ıts¨ uk be a szorzat hull´amf¨ uggv´enyt ´es ´ırjuk fel az id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger-egyenletet: ~2 ∂ 2 φ 2 ∂φ l(l + 1) − + − φ = Eφ 2m ∂r2 r ∂r r2 Rendezz¨ uk ´at az el˝oz˝o egyenletet, 2∂
2
φ ∂φ r + 2r + 2 ∂r ∂r
Vezess¨ uk be a
2mE 2 r − l(l + 1) φ = 0 ~2 r
2mE r ~2 v´ altoz´ot ´es helyettes´ıts¨ uk be a Schr¨odinger-egyenletbe: q=
q2
(5.89)
∂ 2φ ∂φ + 2q + q 2 − l(l + 1) φ = 0 . 2 ∂q ∂q
A fenti egyenletben r´aismerhet¨ unk a g¨ombi Bessel-f¨ uggv´eny differenci´alegyenlet´ere. A saj´ at´ allapot teh´at a ! r 2mE ψ(r, ϑ, ϕ) = jl r Ylm (ϑ, ϕ) (5.90) 2 ~ 113
alakba ´ırhat´o fel. A hull´amf¨ uggv´enynek z´erusnak kell lennie a g¨omb¨on k´ıv¨ ul, ´es el kell t˝ unnie a g¨omb hat´ar´an: ! r 2mE jl R =0, ~2 amely felt´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy az energia saj´at´ert´ekek a k¨ovetkez˝ok´eppen ´all´ıthat´ok el˝o: Eil =
~2 x2il , 2mR2
ahol xil a jl szf´erikus Bessel-f¨ uggv´eny z´erushelyei. T´etelezz¨ uk fel, hogy a r´eszecske P nyom´ast fejt ki a g¨omb fal´ara. Ha ∆R-rel cs¨okkentj¨ uk a g¨omb t´erfogat´at, a rendszer energi´aja ∆E = P ∆R4πR2 ´ert´ekkel n¨ovekszik, vagyis P =−
1 ∂E ~2 x2il = . 4πR2 ∂R 4πmR5
5.8 Megold´ as Az (5.90) egyenlet szerint a g¨ombbe z´art r´eszecske alap´allapoti hull´amf¨ uggv´enye: r sin ( π r) =N πR , ψ0 = N j0 π R r R ahol N a norm´al´asi t´enyez˝o. Meghat´aroz´as´ahoz sz´am´ıtsuk ki a hull´amf¨ uggv´eny n´egyzet´enek integr´alj´at a g¨omb¨on bel¨ ul: 3 Z π Z R sin2 ( Rπ r) 2 R R3 −2 2 r dr = . N = sin (x)dx = ( Rπ r)2 π 2π 2 0 0 A v´ arhat´o ´ert´ek a k¨ovetkez˝o lesz: Z Z 2π 2 R sin2 ( Rπ r) 4 2R2 π 2 2 1 1 2 2 hr i = 3 r dr = 3 x sin (x)dx = R + . R 0 ( Rπ r)2 π 3 2π 2 0 5.9 Megold´ as El˝osz¨or hat´arozzuk meg a [H, rp] kommut´atort, ahol H=
p2 + V (r) : 2m
(5.91)
[H, ri pi ] = [H, ri ]pi + ri [H, pi ] . 1 1 ~ ~ pi [pj pj , ri ] = (pj [pj , ri ] + [pj , ri ]pj ) = δij pj = 2m 2m im im ~ ∂V [H, pi ] = [V (r), pi ] = − i ∂ri [H, ri ] =
Helyettes´ıts¨ uk be az el˝oz˝o kommut´atorokat a [H, rp] felcser´el´esi rel´aci´oba: ~ p2 [H, ri pi ] = − rV (r) i m Miut´an egy tetsz˝oleges oper´ator a Hamilton oper´atorral vett kommut´ator´anak a stacion´arius ´allapotokra vett v´arhat´o ´ert´eke elt˝ unik, igazoltuk az bizony´ıtand´o ´all´ıt´ast: 2 p 2 ψ ψ = hψ|r∇V |ψi . 2m 114
V (r) = Ars potenci´al eset´en r∇V = sArs , teh´at 2hψ|T |ψi = shψ|V |ψi , ahol T a kinetikus energia oper´atora. Harmonikus oszcill´ator eset´en s = 2, ´ıgy a kinetikus energia v´arhat´o ´ert´eke megegyezik a potenci´alis energia v´arhat´o ´ert´ek´evel, vagyis eredm´eny¨ unk ¨osszhangvan a 2.22. feladat eredm´eny´evel. 5.10 Megold´ as Az (5.5.) sz´am´ u feladat megold´as´ab´ol tudjuk, hogy: ~ pr [H, r] = im 2 ~ L α [H, pr ] = − i mr3 r2 Hat´ arozzuk meg a [H, rpr ] felcser´el´esi rel´aci´ot, amelynek a H saj´at´allapotain vett v´arhat´o ´ert´eke elt˝ unik: ~ p2r L2 ~ α α [H, rpr ] = [H, r]pr + r[H, pr ] = + = 2H + − i m mr2 r i r D E ~ α hn`m|2H|n`m, i + n`m n`m = 0 hn`m|[H, rpr ]|n`mi = i r Teh´ at D α E α −2En = 2 2 = n n 2n a r 0 1 1 n n = 2 . r n a0 Az hn`m|r|n`mi v´arhat´o ´ert´ek meghat´aroz´as´ahoz induljunk ki a [H, r2 pr ] felcser´el´esi rel´aci´ ob´ ol: [H, r2 pr ] = [H, r2 ]pr + r2 [H, pr ] = (r[H, r] + [H, r]r)pr + r2 [H, pr ] . Sz´ am´ıtsuk ki az el˝oz˝o egyenletben fell´ep˝o kommut´atorokat: ~ ~ ~ r[H, r] + [H, r]r = (rpr + pr r) = 2rpr + i i i ´es helyettes´ıts¨ uk be: L2 α ~ ~ ~ p2r ~ L2 2 [H, r p] = r4 + +2r − r + pr = 4rH − + 3α + pr i 2m 2mr2 r i i mr i A radi´alis impulzus oper´ator v´arhat´o ´ert´eke elt˝ unik, hiszen az oper´ator el˝o´all´ıthat´o a Hamilton-oper´ator ´es r kommut´atorak´ent. Term´eszetesen az eg´esz [H, r2 p] felcser´el´esi rel´ aci´o v´arhat´o ´ert´eke elt˝ unik: 1 `(` + 1) 4hn`m|r|n`miEn − n`m n`m + 3α = 0 m r 2 α ~ α`(` + 1) 2 2 hn`m|r|n`mi − + 3α = 0 n a0 mα n2 a0 2 `(` + 1) hn`m|r|n`mi − +3 = 0 2 n a0 n 2 a0 Teh´ at a0 hn`m|r|n`mi = 3n2 − `(` + 1) 2 115
5.11 Megold´ as Az (5.5.) feladatban a ~ [H, pr ] = i
L2 α − 2 3 mr r
(5.92)
osszef¨ ugg´est m´ar igazoltuk, haszn´aljuk fel ezt a [H, rs+1 pr ] felcser´el´esi rel´aci´o igazol´as´ara: ¨ [H, rs+1 pr ] = [H, rs+1 ]pr + rs+1 [H, pr ] ~s+1 s 1 1 2 s+1 [pr , r ] = pr [pr , rs+1 ] + [pr , rs+1 ]pr = (r pr + pr rs ) . 2m 2m i 2m Az utols´o l´ep´esben haszn´aljuk ki ism´et a [pr , rs ] felcser´el´esi rel´aci´oj´at: [H, rs+1 ] =
[H, rs+1 pr ] =
~s+1 s ~2 r pr − s(s + 1)rs−1 i m 2m
A [H, rs+1 pr ] kommut´ator az el˝oz˝oeket kihaszn´alva ´ıgy ´ırhat´o fel: 2 ~2 L2 s−2 ~ s pr s−1 s+1 − (s + 1)r + r − αr s(s + 1)rs−1 pr . [H, r pr ] = i m m 2m A kinetikus energia k´etszeres´et kifejezhetj¨ uk a Hamilton oper´ator seg´ıts´eg´evel: p2r L2 2α = 2H − + . m m r Helyettes´ıts¨ uk be az el˝oz˝o kommut´atorba: ~ ~ L2 s−2 s−1 s−1 s+1 s + (2s + 1)αr + s(s + 1)r pr [H, r pr ] = (s + 1)r 2H − s r i m 2mi Az utols´o tagot kifejezhetj¨ uk a [H, rs ] kommut´ator seg´ıts´eg´evel: ~ s+1 ~2 s(s2 − 1) s−2 s(s + 1)rs−1 pr = [H, rs ] + r . 2mi 2 4m Kihaszn´alva, hogy a Hamilton oper´ator ´es egy tetsz˝oleges oper´ator kommut´ator´anak a stacion´arius ´allapotokon vett v´arhat´o ´ert´eke elt˝ unik, a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´est kapjuk: hn`m|[H, rs+1 pr ]|n`mi = (s + 1)hrs i2En − s +
~2 l(l + 1)hrs−2 i + (2s + 1)αhrs−1 i m
~2 s(s2 − 1)hrs−2 i = 0 4m
Az el˝oz˝o egyenletet ´atrendezve a Kramer-¨ osszef¨ ugg´est kapjuk: −
s−2 s+1 s a s−1 2 2 hr i + (2s + 1)hr i − s (2` + 1) − s hr i = 0. n2 a 4
5.12 Megold´ as Az u ´j v´altoz´ok a k¨ovetkez˝oek legyenek: R = αr1 + βr2 r = γr1 + δr2 116
ahol α=
m1 , m1 + m2
β=
m2 , m1 + m2
γ=1,
δ = −1
´ Irjuk fel az impulzus oper´atorokat az u ´j v´altoz´okkal: ~ ∂R ∂ ∂r ∂ p1 = + = αP + γp i ∂r1 ∂R ∂r1 ∂r p2 = βP + δp Fejezz¨ uk ki a kinetikus energia oper´ator´at az u ´j impulzusokkal: p21 p22 1 1 + = α2 P 2 + γ 2 p2 + 2αγPp + β 2 P 2 + δ 2 p2 + 2βδPp . 2m1 2m2 2m1 2m2 Az egy¨ utthat´ok fenti v´alaszt´as´aval, amint arr´ol k¨onnyen meggy˝oz˝odhet¨ unk, 1 1 αγPp + βδPp = 0 , 2m1 2m2 ´ıgy a Hamilton oper´atort a k¨ovetkez˝o alakba ´ırhatjuk: 2 2 α β2 γ δ2 2 H= + + P + p2 + V (r) 2m1 2m2 2m1 2m2 Helyettes´ıts¨ uk be az α, β, γ, δ egy¨ utthat´okat: 1 1 1 1 2 P + + H= p2 + V (r) . 2(m1 + m2 ) 2 m1 m2 5.13 Megold´ as A k´et rendszer k¨olcs¨onhat´as´at le´ır´o Hamilton oper´atort a k¨ovetkez˝o alakba ´ırjuk ´at: J 2 S − S21 − S22 , H12 = JS1 S2 = 2 ahol S = S1 + S2 . Az S1 = 3/2 ´es S2 = 1/2 spinek ¨osszead´as´ab´ol S2 egy h´aromszorosan degener´alt S = 1 saj´at´allapot´at ´es S2 egy ¨otsz¨or¨osen degener´alt S = 2 saj´at´allapot´at all´ıthatjuk el˝o. Ezekben az ´allapotokban a rendszer energi´aja a k¨ovetkez˝o lesz: ´ ES = EN + EC60 +
J (S(S + 1) − S1 (S1 + 1) − S2 (S2 + 1)) . 2
Teh´ at E1 = EN + EC60 − 5/4J ´es E2 = EN + EC60 + 3/4J, a felhasad´as m´ert´eke pedig E2 − E1 = 2J. 5.14 Megold´ as a) El˝osz¨or sz´am´ıtsuk ki a k´et Bell ´allapot skal´arszorzatait: 1 (h↑, ↑ | ± h↓, ↓ |) (| ↑, ↑i ± | ↓, ↓i) = 1 2 1 hψ + |ψ − i = (h↑, ↑ | + h↓, ↓ |) (| ↑, ↑i − | ↓, ↓i) = 0 , 2 hψ ± |ψ ± i =
ahol kihaszn´altuk, hogy h↑, ↑ | ↑, ↑i = 1 , h↓, ↓ | ↓, ↓i = 1 , h↑, ↑ | ↓, ↓i = 0 . 117
b) Hat´arozzuk meg az S1z + S2z oper´ator hat´as´at a Bell ´allapotokra: (S1z + S2z ) (| ↑, ↑i ± | ↓, ↓i) = S1z (| ↑, ↑i ± | ↓, ↓i) + S2z (| ↑, ↑i ± | ↓, ↓i) 1 (| ↑, ↑i ∓ | ↓, ↓i) 2 1 S2z (| ↑, ↑i ± | ↓, ↓i) = (| ↑, ↑i ∓ | ↓, ↓i) 2 S1z (| ↑, ↑i ± | ↓, ↓i) =
Vagyis az S1z + S2z oper´ator az egyik bell ´allapotot ´eppen a m´asik Bell ´allapotba viszi ´at: (S1z + S2z ) |ψ ± i = |ψ ∓ i . c) Miut´an bel´attuk, hogy a k´et Bell ´allapot ortogon´alis egym´asra, k¨onnyen bizony´ıthatjuk, unik az ´allapotokon: hogy az S = S1z + S2z oper´ator v´arhat´o ´ert´eke elt˝ hψ ± |S1z + S2z |ψ ± i = hψ ± |ψ ∓ i = 0 . d) Az S2 = (S1 + S2 )2 oper´ator ´atlag´ert´ek´enek a meghat´aroz´as´ahoz ´ırjuk fel a Bell ´allapotokat az S2 saj´at´allapotai seg´ıts´eg´evel: 1 |ψ ± i = √ (|1, 1i ± |1, −1i) . 2 Nyilv´anval´o, hogy a Bell ´allapotok S = 1 saj´at´allapotai az S2 oper´atornak, ez´ert a v´arhat´o ´ert´eke megegyezik a saj´at´ert´ek´evel: hψ ± |S2 |ψ ± i = 2~2 . 5.15 Megold´ as Vezess¨ uk be az u ´j v´altoz´okat: X = x1 + x2 ,
x = x1 − x2 .
Az 5.12. feladat megold´asa szerint a kinetikus energi´at a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel az u ´j v´ altoz´okkal: P2 p2 p2 p21 + 2 = α2 + β 2 + α2 + β 2 , 2m 2m 2m 2m ahol az u ´j impulzusok: ~ ∂ ~ ∂ P = , p= . i ∂X i ∂x Jelen esetben az egy¨ utthat´ok α = β = γ = 1, δ = −1. Fejezz¨ uk ki a potenci´alis energi´at az u ´j v´altoz´okkal: 1 1 1 1 1 mω 2 x21 + x22 = mω 2 (X + x)2 + (X − x)2 = mω 2 X 2 + x2 2 2 4 2 2 ´ Irjuk fel a teljes Hamilton oper´atort az u ´j v´altoz´okkal: 2 ! 2 2 P2 1 Ω p 1 Ω ω2 H=2 + m +2 + m + x2 2m 2 2 2m 2 4 2 118
A Hamilton-oper´ator sz´etesett az u ´j v´altoz´okban k´et f¨ uggetlen harmonikus oszcill´ator Hamiltonoper´ ator´anak az o¨sszeg´ere r Ω Ω2 ω 2 ωX = ´es ωx = + (5.93) 2 4 2 karakterisztikus frekvenci´aval. A saj´at´allapotok energi´ai leolvashat´oak a Hamilton-oper´ator alakj´ab´ol: 1 1 EnX ,nx = 2~ωX nX + + 2~ωx nx + , 2 2 maguk a saj´at´allapotok pedig a harmonikus oszcill´ator megold´asok szorzataib´ol ´all´ıthat´oak el˝ o: x2 X2 − 2 − 2 x X 2X0 e Nnx Hnx e 2x0 , Ψ(X, x) = NnX HnX X0 x0 ahol r r ~ ~ X0 = ´es x0 = , (5.94) mωX mωx valamint Hn a Hermite-polinom. Ha figyelembe vesz¨ uk a r´eszecsk´ek spinj´et, akkor a teljes hull´ amf¨ uggv´enynek antiszimmetrikusnak kell lennie az x1 , x2 koordin´at´ak felcser´el´es´evel szemben. A szingulet ´allapot spin saj´atf¨ uggv´enye antiszimmetrikus, ez´ert a hull´amf¨ uggv´eny t´erbeli r´esz´enek szimmetrikusnak kell lennie. Az X v´altoz´o szimmetrikusan viselkedik a r´eszecsk´ek felcser´el´es´evel szemben, ez´ert a hull´amf¨ uggv´eny els˝o tagja mindig szimmetrikus. Az x k¨ ul¨onbs´egi koordin´ata anitiszimmetrikus a felcser´el´essel szemben, ez´ert a teljes hull´ amf¨ uggv´eny t´erbeli r´esze csak akkor lehet szimmetrikus, ha a m´asodik tag p´aros. A triplet hull´amf¨ uggv´eny eset´eben ford´ıtott a helyzet. Ebben az esetben a spin saj´atf¨ uggv´eny szimmetrikus ´es a t´erbeli r´esznek kell antiszimmetrikusnak lenni, amely csak akkor teljes¨ ul, ha a m´asdik tag p´aratlan. 5.16 Megold´ as Keress¨ uk az S = 0 szingulet alap´allapotot: 1 1 − 21 − 21 2 2 Φ(r1 , r2 ) = φ(r1 )φ(r2 ) χ 1 (1)χ 1 (2) − χ 1 (1)χ 1 (2) . 2
2
2
(5.95)
2
Miut´an szingulet ´allapotban a k´et r´eszecsk´enek ellenkez˝o spinje van, nincsen k¨oz¨ott¨ uk kicser´el˝od´es ´es a HF egyenletet a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel: 2 p 1 1 2 2 2 0 2 + mΩ r + mω hφ|(r − r ) |φi φi (r) = εi φi (r) (5.96) 2m 2 2 A HF egyenleteket ¨onkonzisztens iter´aci´oval oldhatjuk meg. Kezd˝o egyr´eszecske hull´amf¨ uggv´enynek v´alasszuk a k¨olcs¨onhat´as q mentes megold´ast. Ekkor x2
~ hφ|r|φi = 0, hφ|r2 |φi = 20 , ahol x0 = mΩ . Helyettes´ıts¨ uk be a HF egyenletbe: 2 p 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + mΩ r + mω x0 + mω r φi (r) = εi φi (r) (5.97) 2m 2 4 2 vagyis: 2 2 p 1 1 2 2 + m Ω + ω r φi (r) = (εi − mω 2 x20 )φi (r) (5.98) 2m 2 4 Az els˝o iter´aci´o ut´an konverg´al az ¨onkonzisztens elj´ar´as ´es egy olyan harmonikus oszcil√ 2 2 l´ atoe Schr¨odinger egyenlet´et kaptuk, amelynek saj´at frekvenci´aja ω0 = Ω + ω ´es az energi´aja eltol´odot 14 mω 2 x20 -tel.
119
6. fejezet Ko o m´ odszerek a ¨zel´ıt˝ kvantummechanik´ aban 6.1. Elm´ elet 6.1.1. Vari´ aci´ os m´ odszer Leggyakrabban a rendszer alap´allapoti energi´aj´anak k¨ozel´ıt˝o meghat´aroz´as´ara szolg´alnak a vari´aci´os m´odszerek, melyek alapja a Ritz f´ele vari´aci´os elv: 6.1. T´ etel Legyen H egy alulr´ol korl´atos, hermitikus oper´ator, melynek legalacsonyabb saj´ at´ert´eke E0 ´es az ehhez tartoz´o saj´at´allapot |ϕ0 i. Ekkor b´armely |ψi ´allapotra az E [ψ] =
hψ| H |ψi hψ|ψi
(6.1)
funkcion´alra fenn´all, hogy E [ψ] ≥ E0 . Bizony´ıt´as. Legyen |ϕn i (n ∈ N) a H oper´ator teljes ortonorm´alt saj´atf¨ uggv´enyrendszere: P H |ϕn i = En |ϕn i ´es En ≥ E0 . Mivel b´armely |ψi a´llapot el˝oa´ll´ıthat´o |ψn i = cn |ϕn i n
line´arkombin´aci´oval, ez´ert |cn |2 En ≥ E [ψ] = nP |cn |2 P
|cn |2 E0 n = E0 . P |cn |2
P
n
(6.2)
n
A fenti t´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy ha |ψi valamely {λ1 , λ2 , . . . , λm } ∈ Λ ⊆ Rm param´eterek f¨ uggv´enye, akkor az E (λ1 , λ2 , . . . , λm ) ≡ E [ψ (λ1 , λ2 , . . . , λm )] f¨ uggv´enyre is igaz, hogy min E (λ1 , λ2 , . . . , λm ) ≥ E0 , Λ
´es a
∂E (λ1 , λ2 , . . . , λm ) =0 ∂λk 120
(k = 1, . . . , m)
(6.3)
(6.4)
egyenletrendszer {λ∗1 , λ∗2 , . . . , λ∗m }megold´as´aval nyert E (λ∗1 , λ∗2 , . . . , λ∗m ) ´ert´ek ´es |ψ (λ∗1 , λ∗2 , . . . , λ∗m )i hull´amf¨ uggv´eny az alap´allapoti energia ´es saj´atf¨ uggv´eny legjobb k¨ozel´ıt´ese a Λ param´etert´eren. Bizony´ıthat´o, hogy a param´eterek sz´am´anak n¨ovel´es´evel E (λ∗1 , λ∗2 , . . . , λ∗m ) monoton cs¨okken (´es egyre jobban k¨ozel´ıt E0 -hoz). 6.2. P´ elda A 2.4. feladat megold´as´ab´ol L = 2a helyettes´ıt´es ´es eltol´as ut´an ad´odik, hogy a v´egtelen magas egydimenzi´os potenci´aldoboz, 0 |x| < 0 V (x) = , (6.5) ∞ |x| ≥ a 2 2
~ π , E0 = 8ma alap´ allapota ϕ0 = √1a cos πx at´ert´ekkel. A ψ (±a) = 0 hat´arfelt´etelnek 2 saj´ 2a megfelel˝oen vezess¨ uk be a ψλ (x) = aλ − |x|λ (6.6)
vari´ aci´os f¨ uggv´enyt. Ekkor ~2 (λ + 1) (2λ + 1) hψλ | H |ψλ i = , hψλ |ψλ i 4ma2 (2λ − 1) √ ∂E (λ) ~2 4λ2 − 4λ − 5 1+ 6 = = 0 =⇒ λmin = ' 1.7247 ∂λ 4ma2 (2λ − 1) 2 E (λ) =
(6.7)
(6.8)
⇓ E (λmin ) = 1.00298
~2 π 2 = 1.00298 E0 . 8ma2
(6.9)
6.1.2. Stacion´ arius perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as Tegy¨ uk fel, hogy ismerj¨ uk a H0 Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ekeit ´es saj´atf¨ uggv´enyeit, H0 ϕ0n = En0 ϕ0n (n ∈ N) , (6.10) H0 =
X
En0 ϕ0n ϕ0n .
(6.11)
n
Keress¨ uk a H = H0 + W perturb´alt Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ek probl´em´aj´anak megold´as´at. Ehhez a klasszikus perturb´aci´osz´am´ıt´ashoz hasonl´oan (l´asd: Keszthelyi Tam´as: Mechanika jegyzete) bevezetj¨ uk a H (λ) = H0 + λW
(6.12)
oper´atort ´es a (H0 + λW ) |ψn i (λ) = En (λ) |ψn i (λ)
(n ∈ N)
saj´at´ert´ek egyenletet λ hatv´anyai szerinti sorfejt´essel pr´ob´aljuk megoldani. A lim |ψn i (λ) = ϕ0n λ→0
lim En (λ) = En0
λ→0
121
(6.13)
(6.14) (6.15)
hat´arfelt´etelek miatt a k¨ovetkez˝o alakot haszn´aljuk a hull´amf¨ uggv´enyre, |ψn (λ)i = ϕ0n + |δψn (λ)i ,
(6.16)
ahol lim |δψn (λ)i = 0 .
(6.17)
λ→0
A Rayleigh-Schr¨odinger-f´ele perturb´aci´osz´am´ıt´asban tov´abbi felt´etelk´ent megk¨ovetelj¨ uk, hogy a hull´amf¨ uggv´eny perturbat´ıv korrekci´oja legyen ortogon´alis a perturb´alatlan a´llapotra:
0 (6.18) ϕn |δψn (λ) = 0 . uggv´ennyel skal´arszorozva, A (6.13) egyenletetet a |ϕ0n i saj´atf¨
0 ϕn |H0 |ψn (λ) + λ ϕ0n |W |ψn (λ) = En (λ) ϕ0n |ψn (λ)
(6.19)
a (6.18) ortogonalit´asi felt´etelt felhaszn´alva jutunk az al´abbi ¨osszef¨ ugg´eshez,
En (λ) = En0 + λ ϕ0n |W |ψn (λ) .
(6.20)
A perturb´alt megold´ast ´es energia saj´at´ert´eket λ hatv´anyai szerint kifejtve, |δψn (λ)i =
∞ X
λk ψn(k)
´es
∞ X (0) 0 ψn ≡ ϕn =⇒ |ψn (λ)i = λk ψn(k)
(6.21)
k=0
k=1
´es En (λ) = En0 +
∞ X
λk En(k) ,
(6.22)
λk+1 ϕ0n |W |ψn(k)
(6.23)
k=1
majd ezeket a (6.20) egyenletbe helyettes´ıtve, ∞ X
λk En(k) =
k=1
∞ X k=0
kapjuk az energia korrekci´okra vonatkoz´o alapvet˝o ¨osszef¨ ugg´est,
En(k) = ϕ0n |W |ψn(k−1) (k = 1, 2, . . .) .
(6.24)
Innen azonnal ad´odik az els˝orend˝ u energiakorrekci´o:
En(1) = ϕ0n |W |ϕ0n .
(6.25)
M´ asodrend˝ u energiakorrekci´ o A saj´atf¨ uggv´eny korrekci´oinak kisz´am´ıt´as´ahoz r´eszletesebben meg kell vizsg´alnunk a (6.13) egyenlet λ szerinti sorfejt´es´et: ! ∞ ! ! ∞ ∞ X X X (6.26) (H0 + λW ) λk ψn(k) = λk En(k) λk ψn(k) k=0
k=0
122
k=0
⇓ ∞ X
λk
∞ X H0 ψn(k) + W ψn(k−1) = λk
k=1
k X
k=1
! En(l) ψn(k−l)
(6.27)
(k = 1, 2, . . .)
(6.28)
l=0
⇓ k (k) (k−1) X H0 ψn + W ψn = En(l) ψn(k−l) l=0
⇓ H0 −
En0
k (k) X ψn = −W ψn(k−1) + En(l) ψn(k−l) .
(6.29)
l=1
Ezen egyenlet megold´asa c´elj´ab´ol behelyettes´ıtj¨ uk H0 ´es az I identit´as oper´ator spektr´alfelbont´as´at, k X (k−1) X 0 (k) 0 0 0 Ei − En ϕi ϕi + (6.30) En(l) ψn(k−l) , ψn = −W ψn l=1
i(6=n)
D
(k)
E
ahol ϕ0n |ψn = 0 miatt a baloldalon az i = n tag nyilv´anval´oan elt˝ unik. A tov´abbiakban expliciten kihaszn´aljuk, hogy az n-ik saj´atf¨ uggv´eny nem-elfajult, ´ıgy bevezethet˝o a k¨ovetkez˝o oper´ator, X |ϕ0 i hϕ0 | i i , (6.31) Qn = Ei0 − En0 i(6=n)
melyet a (6.30) egyenletre hattatunk. Felhaszn´alva, hogy X X
ϕ0i ϕ0i ψn(k) = ψn(k) , Qn Ei0 − En0 ϕ0i ϕ0i ψn(k) = i(6=n)
(6.32)
i(6=n)
kapjuk a saj´atf¨ uggv´eny korrekci´oinak rekurzi´os rel´aci´oj´at: k (k) X ψn = −Qn W ψn(k−1) + En(l) Qn ψn(k−l) ,
(6.33)
l=1
mely az (6.24) egyenlettel egy¨ utt alkalmas, hogy az saj´atenergia ´es saj´atf¨ uggv´enyek korrekci´oit tetsz˝oleges rendben meghat´arozzuk. A saj´atf¨ uggv´eny els˝orend˝ u korrekci´oja k¨onnyen megkaphat´o, mivel az (6.33) egyenlet jobboldal´an csak az els˝o tagot kell tekinten¨ unk: X hϕ0 | W |ϕ0 i (1) i n 0 ψn = −Qn W ψn(0) = − ϕi , 0 0 Ei − En
(6.34)
i(6=n)
´es a saj´atenergia m´asodrend˝ u korrekci´o ja: X hϕ0 | W |ϕ0 i hϕ0 | W |ϕ0 i
n i i n En(2) = ϕ0n |W |ψn(1) = − . 0 0 Ei − En n(6=i)
123
(6.35)
Els˝ orend˝ u degener´ alt perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as Ha az n-ik saj´at´ert´ek M -szeresen degener´alt, akkor H0 spektr´alfelbont´as´at a H0 =
M X
En0 ϕ0nµ ϕ0nµ +
µ=1
X
Ei0 ϕ0i ϕ0i
(6.36)
0 i(Ei0 6=En )
alakban ´ırjuk fel. A nem elfajult esettel szemben az az alapvet˝o k¨ ul¨onbs´eg, hogy a nulladrend˝ u perturb´alt hull´amf¨ uggv´enyt a degener´alt perturb´alatlan saj´atf¨ uggv´enyek line´arkombin´aci´ojak´ent vessz¨ uk fel: M (0) X ψn = cµ ϕ0nµ .
(6.37)
µ=1
Az els˝orend˝ u kifejez´eseket,
|ψn (λ)i = ψn(0) + λ ψn(1) , ϕ0nµ |ψn(1) = 0 ,
(6.38)
En (λ) = En0 + λEn(1) ,
(6.39)
´es behelyettes´ıtve a (6.13) Schr¨odinger egyenletbe, (H0 + λW ) ψn(0) + λ ψn(1) = En0 + λEn(1) ψn(0) + λ ψn(1) ,
(6.40)
a λ-ban nulladrend˝ u tagok kiesnek, m´ıg az els˝orend˝ u tagokra fenn´all, hogy H0 ψn(1) + W ψn(0) = En0 ψn(1) + En(1) ψn(0) .
(6.41)
Kihaszn´alva, hogy a saj´atf¨ uggv´eny els˝orend˝ u korrekci´oja ortogon´alis a degener´alt perturb´alatlan alt´erre, a
0
ϕnµ |W |ψn(0) = En(1) ϕ0nµ |ψn(0) (µ = 1, . . . , M ) (6.42) egyenleteket nyerj¨ uk. Behelyettes´ıtve a (6.37) kifejt´est, a M X
0 ϕnµ |W |ϕ0nν cν = En(1) cµ
(6.43)
ν=1
⇓ M X
ϕ0nµ |W |ϕ0nν − En(1) δµν cν = 0
(6.44)
ν=1
egyenleteket kapjuk. Bevezetve a perturb´aci´o m´atrix´at, W11 W12
W21 W22 Wµν = ϕ0nµ |W |ϕ0nν , W = .. .
, WM M
124
(6.45)
´es a kifejt´esi egy¨ utthat´okb´ol k´epzett oszlopvektort, c1 c1 c = .. , . cM
(6.46)
az els˝orend˝ u energiakorrekci´ot a W c = En(1) c ,
(6.47)
det W − En(1) I = 0
(6.48)
saj´at´ert´ekegyenlet ill. a szekul´aris egyenlet megold´asai szolg´altatj´ak.
6.1.3. Id˝ ofu o perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as ¨ gg˝ Igen sok esetben (pl. be- ´es kikapcsol´asi jelens´egek, gerjeszt´es EM t´errel), a perturb´aci´o az id˝o explicit f¨ uggv´enye, H (t) = H0 + W (t) , (6.49) ez´ert az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger-egyenlet megold´asait kell keresn¨ unk: i~∂t |ψn (t)i = (H0 + W (t)) |ψn (t)i .
(6.50)
Felt´etelezz¨ uk, hogy valamely t0 id˝opont el˝ott W (t) = 0 ´es az ´allapot id˝ofejl˝od´ese H0 saj´at´allapot´ab´ol indul, lim |ψn (t)i = ϕ0n . (6.51) t→t0
Mivel H0 saj´at´allapotainak id˝of¨ ugg´ese, 0 ϕi (t) = e− ~i Ei0 t ϕ0i ,
(6.52)
c´elszer˝ u a |ψn (t)i megold´ast a |ψn (t)i =
X
i 0 e− ~ Ei t ci (t) ϕ0i ,
(6.53)
i
alakban felvenni, ahol a (6.51) hat´arfelt´etel miatt, lim ci (t) = δin .
t→t0
(6.54)
A hull´amf¨ uggv´eny kifejt´es´et behelyettes´ıtve az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger egyenletbe kapjuk, hogy X i 0 X 0 i 0 Ei0 ci (t) + i~c˙i (t) e− ~ Ei t ϕ0i = Ei + W (t) ci (t) e− ~ Ei t ϕ0i , (6.55) i
i
i (t) (ahol c˙i (t) = dcdt ), majd kihaszn´alva a perturb´alatlan stacion´arius saj´atf¨ uggv´enyek ortonorm´alts´ag´at, az X i 0 i 0 Ek0 ck (t) + i~c˙k (t) e− ~ Ek t = Ei0 δki + Wki (t) ci (t) e− ~ Ei t (6.56)
i
125
⇓ i~c˙k (t) =
X
Wki (t) ci (t) eiωki t
(6.57)
i
differenci´alegyenlethez jutunk, ahol
Wki (t) = ϕ0k W (t) ϕ0i
(6.58)
´es
Ek0 − Ei0 . (6.59) ~ A (6.51) kezdeti felt´etel figyelembev´etel´evel, a kifejt´esi egy¨ utthat´okra (t ≥ t0 ) a k¨ovetkez˝o integr´alegyenletet kapjuk: ωki =
1 X ck (t) = δkn + i~ i
Zt
Wki (τ ) ci (τ ) eiωki τ dτ .
(6.60)
t0
A megold´ast szukcessz´ıv approxim´aci´oval keress¨ uk. Nulladrendben: (0)
ck (t) = ck (t) = δkn ,
(6.61)
els˝orendben: (0)
(1)
(1)
(6.62)
Wkn (τ ) eiωkn τ dτ ,
(6.63)
ck (t) = ck (t) + ck (t) = δkn + ck (t) , (1) ck
1 X (t) = i~ i
Zt
(0) Wki (τ ) ci
1 (t) eiωki τ dτ = i~
t0
Zt t0
´es b´armely M -edrenben, ck (t) = δkn +
M X
(r)
ck (t) ,
(6.64)
r=1
(r) ck
1 X (t) = i~ i =
1 i~
Zt
(r−1)
Wki (τ ) ci
(τ ) eiωki τ dτ
(6.65)
t0
r X Z t i1 ,...,ir t 0
Zt1 dt1 t0
tr−1 Z dt2 . . . dtr Wki1 (t1 ) eiωki1 t1 . . . Wir−1 ir (t1 ) eiωir−1 ,ir tr . t0
(6.66) ´ Altal´ aban megel´egsz¨ unk az els˝orend˝ u megold´assal ´es azt vizsg´aljuk, milyen val´osz´ın˝ us´eggel tal´alhat´o a rendszer a t id˝opillanatban a k-ik saj´at´allapotban (k 6= n): t 2 Z 0 2 (1) 2 1 (1) iω τ Pn→k (t) = ϕk |ψn (t) = ck (t) = 2 Wkn (τ ) e kn dτ . ~ t0
126
(6.67)
Id˝ ofu o perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as alkalmaz´ asa, Fermi-f´ ele aranyszab´ aly ¨ gg˝ Id˝oben periodikusan v´altoz´o potenci´al (pl. elektromos t´er) hirtelen bekapcsol´asa eset´en a perturb´aci´o: (6.68) W (r, t) = Θ (t) e Er cos ωt = Θ (t) W (r) eiω t + e−iω t W (r) =
e Er , 2
(6.69)
´es a perturb´aci´o m´atrixelemei, Wkn (t) = Wkn eiω t + e−iω t ,
(6.70)
ahol
1
Wkn = ϕ0k W ϕ0n = e E ϕ0k r ϕ0n . 2 Az id˝of¨ ugg˝o r´eszt kiintegr´alva, Zt Wkn =
iωkn τ
Wkn (τ ) e
Zt dτ = Wkn
0
ei(ωkn +ω)τ + ei(ωkn −ω)τ dτ
(6.71)
(6.72)
0
ei(ωkn +ω)t − 1 ei(ωkn −ω)t − 1 = Wkn + i(ωkn + ω) i(ωkn − ω) i[ωkn −ω]t/2 sin [(ωkn − ω) t/2] i[ωkn +ω]t/2 sin [(ωkn + ω) t/2] +e , = Wkn e (ωkn + ω) /2 (ωkn − ω) /2
(6.73) (6.74)
az ´atmeneti val´osz´ın˝ us´egre az al´abbi kifejez´est kapjuk, 2 |Wkn |2 i[ωkn +ω]t/2 sin [(ωkn + ω) t/2] (1) i[ωkn −ω]t/2 sin [(ωkn − ω) t/2] Pn→k (t) = e + e . ~2 (ωkn + ω) /2 (ωkn − ω) /2 (6.75) Ha az a´tmeneti val´osz´ın˝ us´eget ω f¨ ugv´eny´eben vizsg´aljuk, akkor t 2π/ω eset´en k´et spektr´alis cs´ ucsot l´atunk: ω≈
ωkn =⇒ Ek0 ≈ En0 + ~ω −ωkn =⇒ Ek0 ≈ En0 − ~ω
abszorpci´o , induk´alt emisszi´o
(6.76)
2h . t
(6.77)
´es a cs´ ucsok f´el´ert´eksz´eless´ege, ∆ω = 4π/t =⇒ ∆E =
Ha 4π/t 2ωkn =⇒ t 2π/ωkn , a k´et spektr´alis cs´ ucs sz´etv´alik ´es az a´tmeneti val´osz´ın˝ us´eget fel´ırhatjuk a k´et j´arul´ek o¨sszegek´ent, |Wki |2 sin2 [(ωki + ω) t/2] sin2 [(ωki − ω) t/2] (1) Pi→k (t) = + (6.78) ~2 [(ωki + ω) /2]2 [(ωki − ω) /2]2 |Wki |2 sin2 [(ωki + ω) t/2] sin2 [(ωki − ω) t/2] 2 = + t . (6.79) ~2 [(ωki + ω) t/2]2 [(ωki − ω) t/2]2 127
Felhaszn´alva az Z∞
sin2 (αt) dα = y=αt πα2 t
−∞
Z∞
sin2 y sin2 (αt) = δ (α) , dy = π → lim t→∞ y2 πα2 t
(6.80)
−∞
azonoss´agot, (1) Pi→k
1 0 1 0 |Wki |2 0 0 t E − En + ~ω + δ E − En − ~ω π δ (t) = ~2 2~ k 2~ k 2π = |Wki |2 δ Ek0 − En0 + ~ω + δ Ek0 − En0 − ~ω t . ~
(6.81) (6.82)
Ezt az eredm´enyt nevezz¨ uk Fermi-f´ele aranyszab´alynak, miszerint az a´tmeneti val´osz´ın˝ us´eg line´arisan ar´anyos az eltelt id˝ovel, (1)
Pn→k (t) ≈ wn→k t ,
(6.83)
ahol az id˝oegys´egre jut´o ´atmeneti val´osz´ın˝ us´eg, wn→k =
2π |Wkn |2 δ Ek0 − En0 + ~ω + δ Ek0 − En0 − ~ω . ~
(6.84)
A t = 0 id˝opillanatban bekapcsolt konstans perturb´aci´ora, W (r, t) = W (r) Θ (t) , wn→k =
2π |Wkn |2 δ Ek0 − En0 , ~
(6.85)
azaz a perturb´aci´osz´am´ıt´as els˝o rendj´eben nem t¨ort´enik energia´atad´as a gerjeszt˝o t´er ´es a gerjesztett rendszer k¨oz¨ott.
128
6.2. Feladatok 6.2.1. P´ eld´ ak 6.1. Feladat Keress¨ uk meg a line´aris harmonikus oszcill´ator H=
p2 1 + mω 2 x2 2m 2
(6.86)
alap´ allapoti energi´aj´at ´es saj´at´allapot´at! Legyen a hull´amf¨ uggv´eny ψ(x) = N e−cx
2
(6.87)
alak´ u (c > 0)! Hat´arozzuk meg a c param´eter ´ert´ek´et ´es az energi´at vari´aci´os m´odszerrel! 6.2. Feladat Keress¨ uk meg a hidrog´enatom, H=
1 2 L α pr + − , 2 2m 2mr r
(6.88)
alap´ allapoti energi´aj´at ´es saj´at´allapot´at! Legyen a hull´amf¨ uggv´eny ψ(r) = N e−βr
(6.89)
alak´ u (β > 0)! Hat´arozzuk meg a β param´eter ´ert´ek´et ´es az energi´at vari´aci´os m´odszerrel! 6.3. Feladat V´egtelen m´ely egydimenzi´os potenci´alg¨od¨orh¨oz, ∞ ha |x| > a V0 (x) = 0 ha |x| ≤ a
(6.90)
a k¨ ovetkez˝o perturb´aci´o V1 (x) =
0 −V
ha |x| > b ha |x| ≤ b
(6.91)
t´ arsul (a > b > 0, V > 0). Hat´arozzuk meg az energia saj´at´ert´ekek eltol´od´as´at a perturb´ aci´ osz´em´ıt´as els˝o rendj´eben! Vizsg´aljuk a b = a, valamint a b << a esetet els˝o rendben! Vizsg´aljuk a V < 0 esetet is ´es a perturb´aci´osz´am´ıt´as alkalmazhat´os´ag´anak felt´etel´et is! Seg´ıts´ eg:. r ψn (x) =
nπx nπ 1 sin − a 2a 2
L = 2a
En =
~2 π 2 2 n 8ma2
(6.92)
6.4. Feladat A 6.3. feladatbeli perturb´al´o potenci´aln´al cs¨okkents¨ uk b ´ert´ek´et z´erushoz ´es a V ´ert´ek´et n¨ovelj¨ uk v´egtelen nagyra u ´gy, hogy k¨ozben a szorzatuk maradjon ´alland´o: K = V b. Ennek megfelel˝oen a perturb´al´o potenci´al Dirac-delta alak´ u lesz: V1 (x) = −Kδ(x).
(6.93)
Sz´ am´ıtsuk ki az energiaszintek els˝orend˝ u megv´altoz´as´at ´es vess¨ uk ¨ossze ezt az eredm´enyt a 2.8 megold´assal az alap´allapotra! 129
6.5. Feladat Tekints¨ unk egy k´etdimenzi´os harmonikus oszcill´atort, H=
p2y p2x 1 + + mω 2 (x2 + y 2 ) , 2m 2m 2
(6.94)
melyre W = 21 mω 2 αxy perturb´al´o potenci´al hat. Hogyan m´odosul az els˝o gerjesztett ´allapot energi´aja a perturb´aci´osz´ pam´ıt´as els˝o rendj´eben? (Haszn´aljuk a l´eptet˝o oper´atorokat, x = √x02 (a+ + a), ahol x0 = ~/mω) Hasonl´ıtsuk ¨ossze a fenti eredm´enyt a 2.18 egzakt megold´assal α << 1 hat´aresetben! 6.6. Feladat A perturb´aci´osz´am´ıt´as els˝o rendj´eben sz´am´ıtsuk ki a hidrog´enatom energiaszintjeinek felhasad´as´at, amennyiben figyelemmel vagyunk a mag v´eges m´eret´ere! H = H0 + V (r) ,
(6.95)
ahol
1 2 L2 α pr + (6.96) − 2 2m 2mr r a hidrog´enatom (perturb´alatlan) Hamilton-oper´atora, a perturb´al´o potenci´al pedig: H0 =
1. egy R sugar´ u vezet˝o g¨ombh¨oz tartoz´o ( V (r) = − Rα + αr , 0 < r < R, V (r) = 0, 0
r2 R2
,
0 < r < R,
(6.97)
(6.98)
0
Legyen R/a0 = 10−3 . Mely ´allapotok hasadnak fel? 6.7. Feladat Sz´am´ıtsuk ki hogyan hasad fel a hidrog´enatom spektruma, ha az elektronok le´ arny´ekolt (Yukawa) potenci´alban mozognak! Legyen a Yukawa-potenci´alban szerepl˝o α arny´ekol´asi t´enyez˝o igen kicsi, α−1 igen nagy! Fejts¨ ´ uk sorba a potenci´alt α-ban m´asod rendig! e2 V (r) = −k e−αr (6.99) r 6.8. Feladat Hat´arozza meg egy L ´elhossz´ us´ag´ u potenci´aldobozba, 0 ha (x, y, z) ∈ [0, L]3 V (x, y, z) = , ∞ egy´ebk´ent
(6.100)
z´ art m t¨omeg˝ u, e t¨olt´es˝ u r´eszecske energiaszintjeinek korrekci´oj´at a perturb´aci´o sz´am´ıt´as els˝ o rendj´eben, ha a dobozt z ir´any´ u, homog´en elektromos t´erbe helyezz¨ uk!
130
Seg´ıts´ eg:. ~2 π 2 n2x + n2y + n2z 2 2mL 23 n π n π n π 2 x y z = sin x sin y sin z L L L L En =
ψnx ,ny ,nz
V = −ezE
(6.101) (6.102) (6.103)
6.9. Feladat Egy S = 1 spin˝ u rendszer Hamilton-oper´atora legyen H0 = aSz + bSz2
(a, b > 0) .
(6.104)
Hat´ arozzuk meg az energiaszinteket! A rendszert B = Bn (n2 = 1) homog´en m´agneses t´erbe helyezve tekints¨ uk a 2µB B W = ωSn ω= ~
(6.105)
´ k¨ olcs¨onhat´ast perturb´aci´onak! Irjuk fel a perturb´aci´o m´atrix´at! Hat´arozzuk meg az energiaszintek korrekci´oj´at els˝o rendben, k¨ ul¨on¨os tekintettel az a = b esetre! p 6.10. Feladat Hogyan m´odosul a hidrog´enatom alap´allapot´anak, ψ100 (r) = 1/ πa30 exp(−r/a0 ), az energi´aja a perturb´aci´o sz´am´ıt´as els˝o rendj´eben, ha homog´en z-ir´any´ u m´agneses t´erbe helyezz¨ uk? Dolgozzunk szimmetrikus m´ert´ekben (A = 12 (−By, Bx, 0))! 6.11. Feladat Hogyan hasad fel a hidrog´enatom n=2-es f˝oh´eja homog´en, z ir´any´ u elektromos t´erben a perturb´aci´osz´am´ıt´as els˝o rendj´eben (els˝orend˝ u Stark effektus)? Sz´am´ıtsuk ki a felhasad´as m´ert´ek´et is! Seg´ıts´ eg:. r r exp − Y00 (ϑ, ϕ) , 1− 2a0 2a0 r r 2 exp − Y1m (ϑ, ϕ) , ψ21m (~r) = √ 3/2 2a 2a 3(2a0 ) 0 0 r 1 3 Y00 (ϑ, ϕ) = √ , Y10 (ϑ, ϕ) = cos(ϑ) , 4π 4π r r 3 3 −1 1 Y1 (ϑ, ϕ) = sin(ϑ) exp(−iϕ) , Y1 (ϑ, ϕ) = − sin(ϑ) exp(iϕ) , 8π 8π Z∞ n! α xn e−αx dx = n+1 , Enlm = − 2 . α 2n 2 ψ200 (~r) = (2a0 )3/2
0
6.12. Feladat Sz´am´ıtsuk ki az izotr´op, k´etdimenzi´os oszcill´ator alap´allapoti szuszceptibilit´ as´at mer˝oleges, B m´agnesest´erben els˝orend˝ u perturb´aci´osz´am´ıt´ast alkalmazva! Haszn´ aljunk szimmetrikus m´ert´eket! Oldjuk meg a probl´em´at egzaktul is, ´es vess¨ uk ¨ossze a k´et eredm´enyt! Milyen felt´etelt r´ohatunk ki a perturbat´ıv k¨ozel´ıt´es alkalmazhat´os´ag´ara? 131
6.13. Feladat Legyen adott egy k´et´allapot´ u rendszer: H0 = εσz . Vizsg´aljuk a V = Jσx alak´ u perturb´aci´ot! (σz ´es σx z ´es x ir´any´ u Pauli m´atrixokat jel¨olnek.) Sz´am´ıtsuk ki a legalacsonyabb rend˝ u korrekci´ot ´es vess¨ uk ¨ossze a H = H0 + V egzakt saj´atenergi´aival! 6.14. Feladat A s´ıkbeli rot´ator Hamilton oper´atora H0 =
L2z ~2 d2 =− 2Θ 2Θ dϕ2
(6.106)
Egy P elektromos dip´olmomentummal rendelkez˝o rot´atort helyezz¨ unk x ir´any´ u homog´en, E er˝ oss´eg˝ u elekromos t´erbe, H1 = −P E cos ϕ ! (6.107) Hat´ arozza meg a rot´ator energiaszintjeit a perturb´aci´osz´am´ıt´as m´asodik rendj´eig! 6.15. Feladat A t´erbeli rot´ator Hamilton oper´atora L2 . H0 = 2Θ
(6.108)
Egy P elektromos dip´olmomentummal rendelkez˝o rot´atort helyezz¨ unk z ir´any´ u homog´en, E er˝ oss´eg˝ u elekromos t´erbe, H1 = −P E cos ϑ ! (6.109) Hogyan m´odosul a rot´ator alap´allapoti energi´aja a perturb´aci´osz´am´ıt´as m´asodik rendj´eig! 6.16. Feladat Helyezz¨ unk egy h´aromdimenzi´os, izotr´op t´erbeli harmonikus oszcill´atort z ir´ any´ u. E er˝oss´eg˝ u elektromos t´erbe. Els˝orend˝ u pertrub´aci´o sz´am´ıt´as seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg a rendszer P polariz´alhat´os´ag´at (elektromos dipolmumentum´at) ´es χE elektromos szuszceptibilit´as´at! Seg´ıts´ eg:. P = e hΨ| x |Ψi ;
∂P χE = ∂E E=0
6.17. Feladat Adott egy centr´alis potenci´alban mozg´o elektron ` = 1 mell´ekkvantumsz´am´ u (hatszorosan degener´alt) energiaszintje. (0)
(0)
H0 ψ1mms (r) = E (0) ψ1mms (r)
,
(6.110)
(0)
s ahol ψ1mms (r) = R1 (r) Y1m (ϑ, ϕ) φm 1/2 . Hogyan hasad fel ez az energiaszint a H1 = ξ L S perturb´aci´o (spin-p´alya k¨olcs¨onhat´es) hat´as´ara? (A perturb´aci´osz´am´ıt´as els˝o rendje itt megegyezik az egzakt megold´assal.)
1. Megold´as: Hat´arozza meg H1 hat´as´at a perturb´alatlan hull´amf¨ uggv´anyekre ´as ´ırja fel H1 m´atrix´at! A m´atrix igen egyszer˝ u strukt´ ur´aj´at szem el˝ott tartva oldja meg a szekul´aris egyenletet ´es hat´arozza meg az u ´j saj´atf¨ uggv´enyeket! 2. Megold´as: L´assa be, hogy [J 2 , H1 ] = 0 ´es [Jz , H1 ] = 0, ahol J = L + S ! Hat´arozza meg ez alapj´an H0 + H1 saj´atf¨ uggv´enyeit ´es sz´am´ıtsa ki az u ´j energiaszinteket!
132
6.18. Feladat Hidrog´enatomot egy kis¨ ul´es alatt l´ev˝o kondenz´ator lemezei k¨oz´e juttatunk. A k¨ uls˝o, z ir´any´ u elektromos t´er teh´at az E(t) = E0 e−t/τ Θ(t)
(6.111)
f¨ uggv´ennyel ´ırhat´o le. Milyen val´osz´ın˝ us´eggel gerjeszt˝odik az elektron az n=1-es ´allapotb´ol az n=2-es ´allapotba? Vizsg´aljuk meg a τ → ∞ hat´aresetet ´es vess¨ uk ¨ossze az eredm´enyt a Fermi-f´ele aranyszab´aly alkalmaz´as´aval kapott ´atmeneti val´osz´ın˝ us´eggel! 6.19. Feladat Egy e t¨olt´es˝ u line´aris harmonikus oszcill´atort 1 E (t) = E0 √ exp − (t/τ )2 π
(6.112)
id˝ oben v´altoz´o elektromos t´erbe tesz¨ unk. Az oszcill´ator t = −∞-ben alap´allapotban volt. Az id˝of¨ ugg˝o perturb´aci´osz´am´ıt´as els˝o rendj´eben mi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy az oszcill´ atort t = ∞-ben az els˝o gerjesztett ´allapotban tal´aljuk? 6.20. Feladat Egy q t¨olt´es˝ u r´eszecske line´aris harmonikus potenci´alban mozog, H=
1 p2x + mω 2 x2 . 2m 2
(6.113)
A t = 0 pillanatban (x ir´any´ u) homog´en elektromos teret kapcsolunk be, amit a t = t0 pillanatban kikapcsolunk. Sz´am´ıtsa ki a kezdetben alap´allapotban l´ev˝o r´eszecske valamely gerjesztett ´allapotba t¨ort´en˝o ´atmenet´enek val´osz´ın˝ us´eg´et az id˝of¨ ugg˝o perturb´aci´osz´am´ıt´as els˝ o rendj´eben t > t0 eset´en! 6.21. Feladat Egy egydimenzi´os, L ´elhossz´ us´ag´ u, v´egtelen m´ely potenci´al g¨od¨orben l´ev˝o r´eszecske alap´allapotban van. Mi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy a rendszer az n-ik gerjesztett allapotba ker¨ ´ ul, ha τ ideig E nagys´ag´ u homog´en elektromos teret kapcsolunk be? Seg´ıts´ eg:. r |ni =
nπ 2 sin x L L
En(0) =
~2 π 2 2 n 2mL2
(6.114)
6.22. Feladat Hat´arozzuk meg az id˝oben v´altoz´o, homog´en elektromos t´erbe helyezett, kezdetben az n-edik gerjesztett ´allapotban l´ev˝o harmonikus oszcill´ator P dip´olus momentum´ at ´es χE (ω) elektromos dinamikus szuszceptibilit´as´at (polariz´alhat´os´ag´at) az id˝of¨ ugg˝o perturb´aci´o sz´am´ıt´as els˝o rendj´eben! A perturb´al´o potenci´al E nagys´ag´ u t´erben a k¨ovetkez˝o alak´ u: eEx eαt sin(ωt) ha t < 0 V (x, t) = (6.115) eEx sin(ωt) ha t ≥ 0 A sz¨ uks´eges id˝ointegr´alok elv´egz´ese ut´an tekints¨ uk az α → 0 limeszt! Hasonl´ıtsuk ¨ossze az eredm´enyt ω → 0 eset´en az id˝of¨ uggetlen eset (6.16. feladat) megold´as´aval! Seg´ıts´ eg:. P (t) = e hψ(t)| x |ψ(t)i ahol P˜ (ω) a P (t) Fourier-transzform´altja. 133
∂ P˜ (ω) χE (ω) = ∂E E=0
(6.116)
6.23. Feladat Hat´arozzuk meg az id˝oben v´altoz´o, homog´en elektromos t´erbe helyezett, kezdetben az n-edik gerjesztett ´allapotban l´ev˝o harmonikus oszcill´ator P dip´olus momentum´ at ´es χE (ω) elektromos dinamikus szuszceptibilit´as´at (polariz´alhat´os´ag´at) az id˝of¨ ugg˝o perturb´aci´o sz´am´ıt´as els˝o rendj´eben! A perturb´al´o potenci´al E nagys´ag´ u t´erben a k¨ovetkez˝o alak´ u: 0 ha t < 0 V (x, t) = (6.117) −αt eE0 x e sin(ωt) ha t ≥ 0
6.2.2. Megold´ asok 6.1 Megold´ as N=
2c π
14 (6.118)
mω 2 c~2 + 8c 2m mω hEi minim´alis, ha c = 2~ , azaz hT i = hV i, teh´at hEi = hT i + hV i =
ψ(x) =
2c π
41
e−
mω 2 2 x ~
ill. hEi =
(6.119)
~ω = E0 2
(6.120)
6.2 Megold´ as ~2 2 hT i = − N 2m
Z∞
2 −βr
4πr e
2 d −βr d2 ~2 N 2 π + e dr = dr2 r dr 2mβ
(6.121)
0
Z∞ hV i = −α
1 πα 4πr2 e−2βr dr = − 2 r β
(6.122)
0
hHi = hT i + hV i =
hψ| ψi = N
2
Z∞
~2 N 2 π πα − 2 2mβ β
4πr2 e−2βr dr =
N 2π β2
(6.123)
(6.124)
0
hHi ~2 β 2 E[β] = = − βα hψ| ψi 2m dE[β] ~2 β = −α=0 dβ m
⇒
β=
(6.125) mα ~2
mα2 E0 = − 2 , 2~ amely eredm´eny megegyezik a hidrog´en alap´allapoti energi´aj´aval.
134
(6.126) (6.127)
6.3 Megold´ as
b = a : δE0 = V0
b (−1)n bnπ δEn = V0 − V0 sin a nπ a ( V0 2b , ha n = 2k b n a δE0 = V0 (1 − (−1) ) = a 0, ha n = 2k + 1
(6.128) (6.129)
Alkalmazhat´os´ag felt´etele: δE1 << E2 − E1 ⇒ V0 b <<
3~2 π 2 8ma
(6.130)
6.4 Megold´ as ( Z Z a nπx nπ − Ka , ha n = 2k + 1 K a K δEn = − − δ(x)dx = |ψ(x)|2 δ(x)dx = − sin2 a −a a −a 2a 2 0, ha n = 2k (6.131) Alkalmazhat´os´ag felt´etele: δE1 << E2 − E1 ⇒ K <<
3~2 π 2 8ma
(6.132)
Vess¨ uk ¨ossze ezt az eredm´enyt a 2.8 megold´assal az alap´allapotra! Az energia E = A k-ra pedig a (2.128) egyenletben azt kaptuk, hogy ka =
m Ka tan (ka) ~2
⇒
ka m = 2 Ka, tan (ka) ~
~2 k2 . 2m
(6.133)
ami egy transzcendens egyenlet. A megold´as az alap´allapotban ka ∈ [0 : π/2]. Kis K eset´en a jobb oldal pici, bal oldal π/2-n´el nulla, ´ıgy ek¨or¨ ul sorba fejtve k¨ozel´ıt˝o megold´ast kaphatunk k-ra: ka π π m π 2m ≈− ka − = 2 Ka ⇒ k= − 2 K (6.134) tan (ka) 2 2 ~ 2a ~ π Innen az energia K-ban els˝o rendig: E=
~2 k 2 ~2 π 2 K ≈ − 2 2m 8ma a
Mivel potenci´aldoboz eset´en az alap´allapot energi´aja els˝ orend˝ u perturb´aci´osz´am´ıt´as eredm´eny´evel.
~2 π 2 , 8ma2
(6.135) a fenti eredm´eny megegyezik az
6.5 Megold´ as Vezess¨ uk be az x ir´anyban n-edik, y ir´anyban m-edik egydimenzi´os gerjesztett ´allapot szorzat´ara az |n, mi jel¨ol´est! Vil´agos, hogy ekkor √ √ ax |n, mi = n |n − 1, mi ay |n, mi = m |n, m − 1i (6.136) Az x ´es y ir´any´ u kelt˝o ´es elt¨ untet˝o oper´atorokkal fel´ırva a Hamiltonit ´es a perturb´al´o potenci´alt: H0 = ~ω a†x ax + a†y ay + 1
W =
mω 2 αx20 † ax + ax a†y + ay 2 2
135
(6.137)
W m´atrixa a (|0, 1i , |1, 0i) b´azison: ~ωα W = 4
~ωα 0 1 = σx 1 0 4
(6.138)
~ωα 4
(6.139)
Ennek saj´at´ert´ekei: (1)
δE1 = ±
2δE1 =
~ωα 2
α 6= 0
α=0
A 2.18 p´elda v´egeredm´eny´et els˝orendig sorfejtve α-ban: r α 1 3 3 α 3 E10 = ~ω1 1 + = ~ω 1 + ≈ ~ω 1 + ⇒ δE = ~ωα 2 2 2 2 4 8 r 3 α 3 α 3 1 E01 = ~ω1 1 + = ~ω 1 − ≈ ~ω 1 − ⇒ δE = − ~ωα 2 2 2 2 4 8 Vagyis a perturbat´ıv eredm´eny ´es az egzakt megold´as α-ban els˝orend˝ u sorfejt´ese k¨oz¨ott egy 3 -es sz´orz´ofaktornyi k¨ ul¨onbs´eget tal´alunk. 2 6.6 Megold´ as (1)
δE1
1 = 3 πa0
ZR
− 2r
a0 4πr2 V (r) e|{z}
0
(6.140)
≈1
Itt kihaszn´altuk, hogy mivel R/a0 = 10−3 , az exponenci´alist helyettes´ıthetj¨ uk 1-gyel. Az eltol´ od´as a k´etf´ele potenci´al eset´en: 2 2α R az 1. esetben 5a0 a (1) 0 2 δE1 = (6.141) 2α R az 2. esetben 3a0 a0
(0)
(1)
E1 = E1 + δE1
2 (0) 4 1 − 5 aR0 E1 = 2 (0) 4 1 − 3 aR0 E1
136
az 1. esetben (6.142) a 2. esetben
6.7 Megold´ as A Yukawa potenci´al sorfejt´ese kis ´arny´ekol´as eset´en: e2 −αr e2 α2 r 2 e2 1 V (r) = −k e ≈ −k 1 − αr + = −k + αke2 − ke2 α2 r r r 2 r 2
(6.143)
Vagyis a perturb´al´o potenci´al az utols´o k´et tag, ennek v´arhat´o ´ert´ek´ere van sz¨ uks´eg¨ unk a hidrog´en n-edik saj´at´allapot´aban. Felhaszn´alva az (5.78) egynletet: 1 2 2 1 ~2 α2 2 αke − ke α r = αke2 − ke2 α2 hrin = αke2 − 3n2 − `(` + 1) (6.144) 2 2 4m n Az energia els˝orend˝ u kifejez´ese teh´at: (1)
En,` = −
~2 ~2 α 2 2 2 3n − `(` + 1) + αke − 2ma2 n2 4m
(6.145)
6.8 Megold´ as 8 δEn = − 3 eE L
ZL ZL ZL 0
0
n π 1 x 2 ny π 2 nz π dxdydz z sin x sin y sin z = − eEL L L L 2 2
0
(6.146) 6.9 Megold´ as Mivel a spin ´ert´eke 1, az Sˆ2 ´es Sˆz k¨oz¨os saj´atb´azis´an bevezethetj¨ uk az Sˆz saj´ at´ert´ekeivel c´ımk´ezett |−1i, |0i ´es |1i b´aziselemeket. Ebben a b´azisban H0 m´atrixa: b−a 0 0 E− = b − a 0 0 0 H0 = (6.147) ⇒ E0 = 0 0 0 b+a E+ = b + a A perturb´aci´o m´atrixa: √
− cos ϑ √2 W = ω S n = ω 2 sin ϑe−ıϕ 0
2 2
sin ϑeıϕ 0 √ 2 sin ϑeıϕ 2
0 √ 2 sin ϑe−ıϕ 2 cos ϑ
(6.148)
Vizsg´aljuk meg a ´es b h´arom ´ert´ek´et: • a 6= b 6= 0: E˜− = E− − ω cos ϑ, E˜0 = E0 , E˜+ = E+ + ω cos ϑ • a = 0, b 6= 0: Ekkor E+ = E− 6= E0 , vagyis ez az alt´er k´etszeresen degener´alt. Emiatt a − cos ϑ 0 ˜ W =ω 0 cos ϑ
(6.149)
m´atrix saj´at´ert´ekeit kell megkeresn¨ unk, ´ıgy a k¨ovetkez˝ore jutunk: E˜− = E− − ˜ ˜ ω cos ϑ = b − ω cos ϑ, E0 = E0 , E+ = E+ + ω cos ϑ = b + ω cos ϑ
137
• a = b 6= 0 Ekkor E− = E0 6= E0 , ´es E+ = 2a, vagyis ez az alt´er is k´etszeresen degener´alt. Emiatt a ! √ 2 −ıϕ − cos ϑ sin ϑe 2 ˜ =ω √ W (6.150) 2 ıϕ sin ϑe 0 2 √ m´atrix saj´at´ert´ekeit kell megkeresn¨ unk, ´ıgy a k¨ovetkez˝ore jutunk: E˜− = − ω2 cos ϑ − 2 − cos2 ϑ , √ E˜0 = − ω2 cos ϑ + 2 − cos2 ϑ , E˜+ = 2a 6.10 Megold´ as Szimmetrikus m´ert´ekben, azaz A = − B2 y, B2 x, 0 eset´en, 1 1 1 α 2 2 2 H= (px + qBy) + (py − qBx) + pz − − 2µB Sz B (6.151) 2m 2 2 r α 1 q2B 2 2 H= p2x + p2y + p2z − − µB Lz B − 2µB Sz B − (x + y 2 ) (6.152) 2 2m r 8m A perturb´al´o oper´ator: q2B 2 2 (x + y 2 ) 8m2 | {z }
W = −µB Lz B − µB Sz B −
(6.153)
r2 sin2 (ϑ)
Az els˝o rend˝ u energiakorrekci´o alap´allapotban E (1) = h100|W |100i :
δE
(1)
q2B 2 = −µB B hLz i −2µB B hSz i − | {z } 8m2 0
Z∞
Z2π dϕ
4 − a2r 4 e 0 r dr a30
Zπ
−π
|0 {z } 0
2 sin2 ϑ Y00 sin ϑdϑ = | {z } 1 4π
2π
(6.154) ±~µB B −
q2B 2 4 2π 3 2 8m a0
Z∞
r4 e
− a2r
0
dr
1 4π
0
δE (1) = ±~µB B −
Zπ
(1 − cos2 ϑ)d cos ϑ
−π 2 2 2 q B a0 4m2
(6.155)
(6.156)
6.11 Megold´ as A z ir´any´ u elektromos teret le´ır´o perturb´al´o potenci´al a k¨ovetkez˝o alak´ u: r 4π V = −(−e)Ez = eEz = eEr cos ϑ = eErY10 (ϑ, ϕ) (6.157) 3 Az Enlm energiaszint n = 2-re 4-szeresen elfajult (l = 0, m = 0; l = 1, m = −1, 0, 1). Megmutathat´o, hogy hn0 l0 m0 | z |nlmi 6= 0, ha n0 = n, l0 = l + 1, m0 = m. Emiatt bevezetve a V0 = −3a0 eE jel¨ol´est a (|200i , |210i , |21 − 1i , |211i) b´azison kifejtve a perturb´aci´o m´ atrixa: 0 V0 0 0 V0 0 0 0 ˜ (6.158) V = 0 0 0 0 ⇒ E2lm = 0, 0, ±V0 0 0 0 0 Vagyis a 4-szeres degener´aci´o felhasad egy k´etszeresen degener´alt, ´es k´et nem degener´alt n´ıv´ ora: 138
√1 2
|2, 1, ±1i , |2, 1, 0i
(|2, 0, 0i + |2, 1, 0i)
V0
2x
|2, 1, ±1i
|2, 0, 0i
V0
√1 2
(|2, 0, 0i − |2, 1, 0i)
E 6= 0
E =0
6.12 Megold´ as Az x − y s´ıkban fekv˝o oszcill´ator u. Ekkor eset´en a mer˝oleges t´er z ir´any´ ´ a Hamilton-oper´ator alakja: a szimmetrikus m´ert´ek szerint A = − B2 y, B2 x, 0 . Igy 2 2 eB eB 1 1 1 px + y + py − x + mω02 x2 + y 2 = (6.159) H= 2m 2 2m 2 2 1 1 px y − py x 1 ωc 2 2 2 2 2 2 2 px + py + mω0 x + y + ~ωc + m x + y2 (6.160) ~ 2{z 2 |2m {z2 } | } H0
V
Itt bevezett¨ uk az ωc = me B jel¨ol´est. Perturbat´ıvan kezelve a V -t sz¨ uks´eg¨ unk van a V alap(0) allapoti v´arhat´o ´ert´ek´ere az E0 = ~ω0 alap´allapoti energia eltol´od´as´anak kisz´am´ıt´as´ahoz: ´ 2 1 ωc ~e2 (1) 2 2 δE0 = h0| V |0i = ωc h0| Lz |0i + h0| mω0 r |0i = B2 (6.161) 2 | {z } | 2 {z 2ω 8m ω 0 0 } 0 1 (0) ~ω0 E = 2 2 0
Innen a m´agneses szuszceptibilit´as: (1)
χ=−
∂ 2 E0 ~e2 = − ∂B 2 4m2 ω0
(6.162)
Az alap´allapoti energi´at azonban ki tudjuk sz´amolni egzaktul is: ω 2 2 1 1 c 2 2 2 px + py + ωc Lz + m ω0 + H= x2 + y 2 2m 2 2
(6.163)
Mivel h0| Lz |0i = 0, r E0 = ~
ω02
+
ω 2 c
2
s = ~ω0
1+
ωc 2ω0
2 (6.164)
Innen teh´at ∂ 2 E0 χ=− = −~ω0 ∂B 2 B=0
2 4ω0 1 +
1
ωc 2ω0
e2 ~e2 = − 2 32 m2 B=0 4m2 ω0
(6.165)
Ami megegyezik a perturb´aci´osz´am´ıt´assal kapott eredm´ennyel. Ha a nem-perturbat´ıv energiakifejez´est els˝o rendig sorba fejtj¨ uk B szerint, akkor ´epp a perturbat´ıv eredm´enyt kapjuk. Vagyis perturbat´ıv kifejez´es olyan m´agneses terek eset´en is j´o, amikor ωc ω0 , teh´at 0 B mω . e 139
6.13 Megold´ as H0 =
ε 0 0 −ε
V =
0 J J 0
(6.166)
Vil´ agos, hogy H0 saj´at´ert´ekei E± = ±ε, saj´arvektorai pedig az (1, 0) ´es a (0, 1). Mindk´et ´ az els˝o nem elt˝ ´llapotban hV i = 0, hiszen V diagon´alis elemei null´ak. Igy a un˝o korrekci´o 2 J ˜ m´ asodrend˝ u, mellyel E± = ±ε ± 2ε . Egyszer˝ uen megadhatjuk azonban az egzakt mgol˜˜ = ±√ε2 + J 2 = d´ ast, ehhez csak a H + V saj´ a t´ e rt´ e keit kell meghat´ a roznunk, amik E ± 0 q J 2 ±ε 1 + ε . Ezt kis J eset´en els˝o rendig sorba fejtve ´epp a perturb´aci´osz´am´ıt´as eredm´eny´et kapjuk. 6.14 Megold´ as ~2 d2 H0 = − 2Θ dϕ2
Vm,m0
(0) Em
⇒
PE = − 2π
Z2π
1 ~2 m2 , ψm = √ eımϕ = 2Θ 2π
(m = 0, ±1, ±2, . . . )
(6.167)
0
eı(m −m)ϕ cos ϕdϕ =
0
PE = − 4π
Z2π
ı(m0 −m+1)ϕ
e
+e
ı(m0 −m−1)ϕ
( − P2E , ha m0 = m ± 1 dϕ = 0, egy´ebk´ent
0 (1)
Azaz Em = Vmm = 0, vagyis els˝o rendben nem kapunk korrekci´ot a m´asod rend a k¨ovetkez˝ ot adja: |Vm,m−1 |2 |Vm,m+1 |2 Θ (P E)2 (2) Em = 0 + (6.168) = 0 (0) (0) Em − Em−1 ~2 (4m2 − 1) Em − Em+1 2
Vagyis E0 = − Θ(P~2E) , E1 = (2)
(2)
Θ(P E)2 , 3~2
(2)
E2 =
Θ(P E)2 , 15~2
...
6.15 Megold´ as ~2 `(` + 1) , ψ`,m = Y`m (ϑ, ϕ) (` = 0, 1, . . . ; m = −` . . . `) 2Θ (6.169) r 4π V = −PE = −P E cos ϑ = − P EY10 (6.170) 3 A h`0 , m0 | V |`, mi m´atrixelem meghat´aroz´as´ahoz haszn´aljuk a 1 1 (` + 1 + m)(` + 1 − m) 2 m (` + m)(` − m) 2 m m cos ϑY` = Y`+1 + Y`−1 (6.171) (2` + 1)(2` + 3) (2` + 1)(2` − 1) H0 =
L2 2Θ
(0)
⇒ E`,m =
(1)
o ugg´est. Ebb˝ol vil´agos, hogy E`,m = h`, m| V |`, mi = 0, teh´at m´asodrendig kell elmen¨sszef¨ ´ a m´asodrend˝ n¨ unk. Az is vil´agos, hogy h`0 , m0 | V |`, mi = 6 0, ha `0 = ` ± 1 ´es m0 = m. Igy u k´eplet szumm´aja 2 tagg´a egyszer˝ us¨odik: (2)
E`,m =
|h` + 1, m| V |`, mi|2 |h` − 1, m| V |`, mi|2 (P E)2 `(` + 1) − 3m2 + = , ha ` ≥ 1 0 0 0 0 0 E`,m − E`+1,m E`,m − E`−1,m E`,m 2(2` − 1)(2` + 3) (6.172) 140
Az ` = 0 esetben (2)
E0,m =
|h1, 0| V |0, 0i|2 ~2 Θ (P E)2 2 = − |h1, 0| V |0, 0i| = − 2 Θ 3~2 0 − ~Θ
(6.173)
6.16 Megold´ as A perturb´alatlan Hamilton-oper´ator illetve a perturb´al´o elektromos potenci´al alakja:: r ~ 3 + + + W = eEz = eE a+ (6.174) H0 = ~ω0 ax ax + ay ay + az az + z + az 2 2mω0 Vil´ agos, hogy az els˝orend˝ u energiakorrekci´o z´erus: r ~ hnx ny nz | W |nx ny nz i = eE hnx ny nz | a+ z + az |nx ny nz i = 0 2mω0 Az alap´allapoti hull´amf¨ uggv´eny els˝orend˝ u korrekci´oja: E X hnx ny nz | W |0 0 0i (1) |nx ny nz i Ψ0 = − Enx ny nz − E0 n ,n ,n x
y
(6.175)
(6.176)
z
E E E E (0) (1) (0) ˜ + Ψ0 = Ψ0 = |0 0 0i alap´allapoti hull´amf¨ uggv´enyt k¨ozel´ıthetj¨ uk a Ψ A Ψ0 E D E E (0) (0) ˜ = 1 + O(E 2 ) norman´egyzet 1-t˝ol val´o ˜ Ψ mer˝oleges Ψ0 -re), ahol Ψ osszeggel ( Ψ0 ¨ elt´er´ese E-ben csak m´asodrend˝ u, ´ıgy elhagyhat´o az els˝orend˝ u sz´amol´askor. A P dil´olusmomentum kifejez´ese: E E D E D D D E ˜ (0) (1) (1) (0) (0) (1) ˜ = 2e< Ψ0 z Ψ0 P = e Ψ z Ψ = e Ψ0 z Ψ0 + Ψ0 z Ψ0 (6.177) D E X hnx ny nz | eEz |0 0 0i (0) (1) |nx ny nz i = Ψ0 z Ψ0 = − h0 0 0| z (nx + ny + nz )~ω0 n ,n ,n x
y
z
X hnx ny nz | z |0 0 0i h0 0 0| z |nx ny nz i = −eE = (n + n + n )~ω x y z 0 n ,n ,n x
= −eE
y
z
|h0 0 0| z |0 0 1i|2 eE ~ eE = = (0 + 0 + 1)~ω0 ~ω0 2mω0 2mω02
Teh´ at a polariz´aci´o illetve az elektromos szuszceptibilit´as: D E 2 e2 ˜ z Ψ ˜ = eE P = −e Ψ χ = − E 2mω02 2mω02
(6.178)
6.17 Megold´ as Keress¨ uk meg az H1 = ξ L S = ξ (Lx Sx + Ly Sy + Lz Sz ) oper´ator m´atrix´ at az ` = 1-hez tartoz´o alt´er k¨ovetkez˝o b´azis´an: |1, ↑i , |1, ↓i , |0, ↑i , |0, ↓i , |−1, ↑i , |−1, ↓i! Haszn´aljuk fel ehhez a k¨ovetkez˝o ` = 1 ´es s = 1/2 eset´en ´erv´enyes ¨osszef¨ ugg´eseket: Sx |↑i =
~ ~ ~ ~ ~ ~ |↓i , Sx |↓i = |↑i , Sy |↑i = i |↓i , Sy |↓i = −i |↑i , Sz |↑i = |↑i , Sz |↓i = − |↓i 2 2 2 2 2 2 (6.179) 141
p Lz |mi = ~m |mi , L± |mi = ~ 2 − m(m ± 1)
(6.180)
Mivel Sx ´es Sy a spinen forgat, az azonos spinekhez tartoz´o m´atrixelemekben csak Lz Sz szerepel: ~2 0 hm ↑| L S |m ↑i = hm ↑| ξLz Sz |m ↑i = ξ hm| Lz |m i h↑| Sz |↑i = m ξδm,m0 2 0
0
0
~2 0 m ξδm,m0 2 A k¨ ul¨onb¨oz˝o spinekhez tartoz´o m´atrixelemekben pedig az Lz Sz nem szerepel: hm ↓| ξL S |m0 ↓i = −
(6.181) (6.182)
~ ~ hm ↑| ξL S |m0 ↓i = ξ hm ↑| Lx Sx + Ly Sy |m0 ↓i = ξ hm| Lx − i Ly |m0 i = 2 2 2p ~ ~ 2 − m0 (m0 − 1)δm,m0 −1 = ξ hm| L− |m0 i = ξ 2 2 hm ↓| ξL S |m0 ↑i = ξ Teh´ at a H1 = ξ L S oper´ator m´atrixa: ~ ξLS = ξ 2 2
~2 p 2 − m0 (m0 + 1)δm,m0 +1 2
1 0 √0 0 0 0 0 √ −1 2 0 0 0 2 0 0 √0 0 0 0 0 0 √0 2 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 0 1
(6.183)
A m´atrix blokkdiagon´alis, ´ıgy el´eg csak a 4 diagon´alis blokkot k¨ ul¨on diagonaliz´alnunk. Ezalapj´an a saj´at´ert´ekek ´es a hozz´ajuk tartoz´o saj´atf¨ uggv´enyek: q 2 ~2 ~2 ξ: |1, ↑i ξ: |0, ↓i + √13 |−1, ↑i 2 2 3 q q ~2 2 2 2 √1 |1, ↓i √1 |0, ↓i − (6.184) −~ ξ : ξ : |0, ↑i + |−1, ↑i 2 3 3 3 q3 ~2 −~2 ξ : √13 |0, ↑i − 23 |1, ↓i ξ: |−1, ↓i 2 4-szeres ~2 ξ 2
6-szoros 2-szeres
−~2 ξ
ξ 6= 0
ξ=0
6.18 Megold´ as Id˝of¨ ugg˝o perturb´aci´osz´am´ıt´as els˝o rendj´eben az ´atmeneti val´osz´ın˝ us´eg: t 2 Z (0) (0) ı 0 1 E −E t (1) 0 0 i Pi→f (t) = 2 hf | V (t ) |ii e ~ f dt (6.185) ~ 0
142
t (0) (0) /~ Itt V (t) = −eE0 ze− τ , |f i = ψ2,`,m ´es |ii = ψ1,0,0 , teh´at (bevezetve az ωf i = Ef − Ei jel¨ ol´est) 2 2 Z t 2 2 0 e E0 (1) − tτ ıωf i t0 0 Pi→f (t) = 2 hψ2,`,m | z |ψ1,0,0 i e e (6.186) dt {z } ~ | 0 zf i {z } | g(t)
Sz´ am´ıtsuk ki el˝osz¨or zf i -t: ψ1,0,0 (r) = 2
z a0
23
− az
e r
r) = Y10 (ˆ
0
1 ψ2,`,m (r) = R2,` (r)Y`m (ˆ r) r r 4π 0 ⇒ z= rY (ˆ r) 3 1
Y00 (ˆ r)
3 z 4π r
(6.187) (6.188)
A sz¨og szerinti integr´al´as a k¨ovetkez˝ot adja: r Z Z 4π 1 1 m 0 0 Y` (ˆ r)Y1 (ˆ r)Y0 (ˆ r)dΩ = √ Y`m (ˆ r)Y10 (ˆ r)dΩ = √ δ`,1 δm,0 (6.189) 3 3 3 32 zr zr − 2a0 2r √ esettel kell e Emiatt a radi´alis r´esz integr´al´as´an´al csak az R2,1 (r) = 3 2az 0 2a0 t¨ or˝ odn¨ unk:
2 hψ2,1,0 | z |ψ1,0,0 i = √ 3
z 2a0
23
z 1 √ 2 2a0 3
z a0
32 Z∞
zr − azr − 2a
drr4 e
0
e
0
=
|0
{z } Z∞ 5 dxx4 e−x ( 2a3z0 ) |0
2 = √ 3
z 2a0
23
z 1 √ 2 2a0 3
z a0
32
2a0 3z
{z
4!=24
5 24 =
} a0 28 1 √ z 2 35
M´ ar csak az id˝of¨ ugg˝o g(t) tag sz´amol´asa van h´atra: t 2 Z 2 1 1 1 0 − −ıω t − −ıω t 0 ( ) ( ) g(t) = e τ f i dt = − 1 1 − e τ f i = − ıω f i τ 0 2 τ −2 τt − τt = 1+e − 2e cos ωf i t 1 + ωf2i τ 2 lim g(t) =
t→∞
τ2 1 + ωf2i τ 2
Teh´ at P2`m→100 (t → ∞) = δ`,1 δm,0 0.555
ea 2 0
z~
E02
143
τ2 1 τ2 2 = |V | fi 1 + ωf2i τ 2 ~2 1 + ωf2i τ 2
(6.190)
Ha vessz¨ uk a τ → ∞ hat´aresetet, akkor az egy V (t) = −eE0 zΘ(t), l´epcs˝oszer˝ uen bekapcsolt perturb´aci´onak felel meg, ami |Vf i |2 Pf i (t → ∞) = 2 2 (6.191) ~ ωf i eredm´enyt ad. Mivel a perturb´aci´o t > 0-ra id˝of¨ uggetlen, ´erdekes lehet az id˝of¨ uggetlen pertub´aci´osz´am´ıt´as eredm´enye is, mely m´asodrendben a D (0) (0) E 2 ψ V ψ i f 2 Pf i = |cif | = (6.192) (0) (0) Ef − Ei eredm´enyre vezet, mely l´athat´oan egyezik az id˝of¨ ugg˝o perturb´aci´o limeszek´ent kapott eredm´ennyel. Ha azonban a Fermi-f´ele aranyszab´alyb´ol szeretn´enk sz´amolni, akkor Pf i =
2π (0) (0) |Vf i |2 δ(Ef − Ei )t ~
(6.193)
az eredm´eny, ami t → ∞ limeszben diverg´al, ´ıgy rossz eredm´eny. 6.19 Megold´ as Az oszcill´atorra hat´o perturb´al´o potenci´al V (t) = −exE(t) alak´ u. A perturb´aci´osz´am´ıt´as els˝o rendj´eben: ∞ 2 Z 1 − ~ı (E0 −E1 )t dt (6.194) P0→1 = 2 h0| V (t) |1i e ~ −∞
A V01 m´atrixelem sz´amol´asakor a t´er- ´es id˝of¨ ugg˝o r´eszek sz´etv´alaszthat´oak, ´ıgy a t´erszer˝ u ´ a k¨ovetkez˝oket kell kisz´amolnunk (felhaszn´alva, hogy r´esz kivihet˝o az id˝ointegr´al el´e. Igy ~ω = E0 − E1 , ´es bevezetve y = t/τ -t): r ~ − eE0 h0| x |1i = −eE0 (6.195) 2mω 1 √ π
Z∞
Z∞
τ e−( ) e−ıωt dt = √ π t τ
2
−∞
τ = √ π
−∞ Z∞
2
e−y e−ıωτ y dy = 2
2
ωτ ωτ e−(y+ı 2 ) dye−( 2 ) =
−∞ 2
ωτ = τ e−( 2 )
Ezeket felhaszn´alva: P0→1 =
e2 E02 τ 2 − ω2 τ 2 e 2 . 2m~ω
(6.196)
6.20 Megold´ as A perturb´al´o potenci´al: V (t) = −qxE0 , ha 0 ≤ t ≤ t0 144
(6.197)
Az ´ atmeneti val´osz´ın˝ us´eg valamelyik n-edik gerjesztett ´alapotba: t 2 Z 0 (0) (0) ı 1 En −E0 t0 0 0 ~ P (0 → n) = 2 hn| V (t ) |0i e dt ~
(6.198)
0
Az integr´alban szerepl˝o m´atrixelem: r 0
hn| V (t ) |0i = −qE0 hn| x |0i = −qE0
~ hn| a + a† |0i = −qE0 2mω0
r
~ δn,1 2mω0
Azaz P (0 → n) = 0, ha n 6= 1. t 2 Z 0 2 2 q 2 E02 ~ sin2 (ω0 t0 ) 2q 2 E02 q E0 ~ ıω0 t0 0 sin2 (ω0 t0 ) = = P (0 → 1) = e dt 4 2 3 2 ~ 2mω0 ~2 2mω ~ ω mω 0 0 0
(6.199)
(6.200)
0
6.21 Megold´ as 2 τ Z (0) 0 (0) ı 1 t −E E n 0 0 1 P (1 → n) = 2 hn| V (t ) |1i e ~ dt ~
(6.201)
0
Az integr´alban szerepl˝o m´atrixelem: ZL r nπ r 2 π 2 4Ln (1 + (−1)n ) 0 hn| V (t ) |1i = −(−e)E0 sin x x sin x dx = eE0 L L L L π 2 (n2 − 1)2 0
(6.202) Az id˝ointegr´al: τ 2 Z (0) (0) 0 ı 4m2 L4 ~π 2 E −E t n 0 1 e~ = dt [1 − cos (ω τ )] , ahol ω = (n2 − 1) n n 2 2 2 2 2 ~ π (n − 1) 2mL 0 (6.203) Teh´ at e2 E02 m2 L6 128n2 (1 + (−1)n ) ~π 2 2 P (1 → n) = 1 − cos (n − 1)τ , (6.204) ~4 π 6 (n2 − 1)6 2mL2 azaz P (1 → n) = 0, ha n p´aratlan. 6.22 Megold´ as Legyen az oszcill´ator kezdetben az n-edik gerjesztett ´allapotban. A |ψ(t)i ´llapot els˝orend˝ a u k¨ozel´ıt´es´ehez sz¨ uks´eg¨ unk van a lehets´eges ´atmeneti r´at´akra, melyek csak onmagukba, illetve a szomsz´edos ´allpotokba nem null´ak els˝o rendben: ¨ c(1) n,n (t) = 1 r Zt 1√ ~ 0 (1) cn,n+1 (t) = n+1 eE F (t0 )eıω0 t dt0 ı~ 2mω0
(6.205) (6.206)
−∞
(1)
cn,n−1 (t) =
r
1√ n ı~
~ eE 2mω0 145
Zt −∞
0
F (t0 )e−ıω0 t dt0
(6.207)
Itt bevezett¨ uk az
( eαt sin ωt , ha t < 0 F (t) = sin ωt , ha t > 0
(6.208)
jel¨ ol´est. Vil´agos, hogy az ´atmeneti r´at´ak sz´amol´as´ahoz id˝of¨ ugg˝o r´eszben szerepl˝o al´abbi integr´alokat kell kisz´amolnunk: Zt
F (t0 )e±ıω0 dt0 =
−∞
Z0 lim
α→0 −∞
Z0
t0
e(α±ıω0
)t0
sin ωt0 dt0 +
−∞
(α±ıω0 )t0
e
Zt
0
e±ıω0 t sin ωt0 dt0
(6.209)
0
1 sin ωt dt = lim α→0 2ı 0
1 1 − α + ıω ± ıω0 α − ıω ± ıω0
=−
ω2
ω − ω02 (6.210)
Zt
0
e±ıω0 t sin ωt0 dt0 = −
0
1 eı(ω±ω0 )t 1 e−ı(ω∓ω0 )t 1 1 1 1 − + + 2 ω ± ω0 2 ω ∓ ω0 2 ω ± ω0 2 ω ∓ ω0 | {z }
(6.211)
ω 2 ω 2 −ω0
Zt lim
α→0 −∞
0
F (t0 )e±ıω0 t dt0 = −
1 eı(ω±ω0 )t 1 e−ı(ω∓ω0 )t − 2 ω ± ω0 2 ω ∓ ω0
(6.212)
Ennek felhaszn´al´as´aval az α → 0 limeszben 1 3 1 (1) (1) |ψ(t)i = e−ıω0 (n+ 2 )t |ni + e−ıω0 (n+ 2 )t cn,n+1 (t) |n + 1i + e−ıω0 (n− 2 )t cn,n−1 (t) |n − 1i = (1) (1) −ıω0 (n+ 21 )t −ıω0 t ıω0 t |ni + cn,n+1 (t)e |n + 1i + cn,n−1 (t)e |n − 1i = e
Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o seg´edmnnyis´egeket: s eE (n + 1)~ 1 (1) (1) c˜n,n+1 (t) = cn,n+1 (t)e−ıω0 t = (ıω cos ωt + ω0 sin ωt) 2 ~ 2mω0 ω − ω02
(6.213)
r 1 eE n~ (ıω cos ωt − ω0 sin ωt) (6.214) = = 2 ~ 2mω0 ω − ω02 2 2 (1) (1) A hψ(t)| ψ(t)i = 1 + c˜n,n−1 (t) + c˜n,n+1 (t) 6= 1, a korrekci´o azonban E-ben m´asodrend˝ u, ´ıgy a polariz´aci´ora azt kapjuk els˝o rendben, hogy:
P (t) = ψ (1) (t) ex ψ (1) (t) = (6.215) (1) c˜n,n−1 (t)
(1) cn,n−1 (t)eıω0 t
(1)
(1)∗
c˜n,n+1 (t) hn| ex |n + 1i + c˜n,n+1 (t) hn + 1| ex |ni + (1) +˜ cn,n−1 (t) hn| ex |n
s (1) 2e<˜ cn,n+1 (t)
− 1i +
(1)∗ c˜n,n+1 (t) hn
r
(n + 1)~ (1) + 2e<˜ cn,n−1 (t) 2mω0
146
− 1| ex |ni =
n~ e2 E sin ωt = 2mω0 m ω 2 − ω02
(6.216) (6.217) (6.218)
Vagyis P (t) szinuszosan f¨ ugg az id˝ot˝ol, ´ıgy P (ω) ´epp a szinuszos tagot megel˝oz˝o f¨ uggv´eny, ´ıgy a dinamikus szuszceptibilit´as χE (ω) =
e2 1 2 m ω − ω02
(6.219)
Vegy¨ uk ´eszre, hogy az eredm´eny f¨ uggetlen n-t˝ol, vagyis az ¨osszes gerjesztett ´allapot ugyanannyira polariz´alhat´o! Az ω → 0 limeszben az eredm´eny megegyezik a 6.16 megold´asban tal´ alhat´o id˝of¨ uggetlen eset eredm´eny´evel. 6.23 Megold´ as A perturb´al´o potenci´al alakja: ( −eE0 xe−αt sin ωt, ha t ≥ 0 V (t) = 0, ha t < 0. Innen az ´atmeneti val´osz´ın˝ us´egek: t 2 Z 1 n t0 0 −αt0 0 i Em −E sin ωt e ~ Pn→m (t) = 2 dt E0 e hm| x |ni e ~
(6.220)
(6.221)
0
Mivel
r ~ √ ~ √ n + 1 δm,n+1 + n δm,n−1 (6.222) hm| x |ni = 2mω 2mω csak Pn→n+1 ´es Pn→n−1 nem nulla els˝o rendben. Ezen val´osz´ın˝ us´egek alakja t → ∞-ben: ∞ 2 Z 2 2 e E0 0 0 0 −αt 0 iω t (n + 1) dt e Pn→n+1 (t) = sin ωt e 0 = 2m~ω 0 2 Z∞ 2 2 1 e E0 0 (−α+i(ω0 +ω))t0 (−α+i(ω0 −ω))t0 (n + 1) = dt e −e = 2m~ω 2i 0 1 2 1 1 e2 E02 = (n + 1) − = 2m~ω 2i α − i(ω0 + ω) α − i(ω0 − ω) 2 e2 E02 ω = = (n + 1) 2 2 2 2m~ω α + ω − ω0 − 2iαω0 e2 E02 ω2 = (n + 1) 2 2m~ω (α2 + ω 2 − ω02 ) + 4α2 ω02 r
Pn→n−1 (t) =
e2 E02 ω2 n 2m~ω (α2 + ω 2 − ω02 )2 + 4α2 ω 2
Ekkor v´eve az α → 0 hat´aresetet: Pn→n+1 (t) =
e2 E02 ω2 (n + 1) 2 2m~ω (ω 2 − ω02 )
Pn→n−1 (t) =
e2 E02 ω2 n 2m~ω (ω 2 − ω02 )2
Vegy¨ uk ´eszre, hogy a t → ∞ ´es α → 0 limeszt nem cser´elhetj¨ uk fel!
147
7. fejezet Sz´ or´ aselm´ elet 7.1. Elm´ elet 7.1.1. Kontinuit´ asi egyenlet, val´ osz´ın˝ us´ egi ´ arams˝ ur˝ us´ eg Az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger-egyenletet, ∂ψ (r, t) = i~ ∂t
~2 − ∆ + V (r, t) ψ (r, t) , 2m
ψ ∗ -gal beszorozva, ill. a konjug´alt egyenletet, ∂ψ ∗ (r, t) ~2 − i~ = − ∆ + V (r, t) ψ ∗ (r, t) , ∂t 2m
(7.1)
(7.2)
ψ-vel beszorozva, majd a k´et egyenletet egym´asb´ol kivonva az ~2 ∂ψ (r, t) ∂ψ ∗ (r, t) ∗ + ψ (r, t) = (ψ (r, t) ∆ψ ∗ (r, t) − ψ ∗ (r, t) ∆ψ (r, t)) i~ ψ (r, t) ∂t ∂t 2m (7.3) egyenletet kapjuk. Mindk´et oldalt teljes deriv´altt´a alak´ıtva, egy kontinuit´asi egyenlethez jutunk: ∂ρ (r, t) + div j (r, t) = 0 , (7.4) ∂t ahol a (2.22) egyenlettel ¨osszhangban ρ (r, t) = ψ ∗ (r, t) ψ (r, t) = |ψ (r, t)|2
(7.5)
a r´eszecske megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´ege ´es j (r, t) =
i~ (ψ (r, t) ∇ψ ∗ (r, t) − ψ ∗ (r, t) ∇ψ (r, t)) 2m
a megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´egi ´arams˝ ur˝ us´eg.
148
(7.6)
7.1.2. H´ aromdimenzi´ os potenci´ alsz´ or´ as Egy sz´or´ask´ıs´erletben a r´eszecskeforr´as ´altal kibocs´ajtott r´eszecsk´ek valamely rendszeren (targeten) kereszt¨ ul mozognak, majd azokat detektorokkal fogjuk be. A bej¨ov˝o ´es tov´abbhalad´o r´eszecsk´ek a´rams˝ ur˝ us´eg´enek ill. ¨ossz´aram´anak (intenzit´as´anak) ar´any´ab´ol tehet¨ unk meg´allap´ıt´asokat a target szerkezet´ere ´es elektron´allapotaira vonatkoz´oan. Ehhez a feladathoz egy halad´o r´eszecsk´et le´ır´o v´eges kiterjed´es˝ u hull´amcsomag id˝ofejl˝od´es´et kell k¨ovetn¨ unk az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger egyenlet megold´as´an kereszt¨ ul. Egy hull´amcsomag mindig kifejthet˝o s´ıkhull´am b´azison (Fourier-transzform´aci´o): 1 ψ (r) = √ 2π
Z∞
A(k)eikr dk
(7.7)
−∞
Mivel mind a Schr¨odinger-egyenlet, mind a Fourier-transzform´aci´o line´aris, elegend˝o az egyenleteket egyetlen Fourier-komponensre megoldani, ezt k¨ovet˝oen megkaphat´o az eredeti hull´amcsomagunkra vonatkoz´o megold´as inverz Fourier-transzform´aci´oval. Ez´ert mi most megel´egsz¨ unk egy s´ıkhull´am sz´or´as´anak a le´ır´as´aval. A s´ıkhull´amok nem norm´alhat´oak, ´ıgy gyakran hivatkozunk majd arra, hogy a sz´or´asi ´allapotok nem norm´alhat´oak, ami az axi´om´akkal ¨osszevetve l´atsz´olag sok helyen gondot okozhat. Ilyenkor tartsuk ´eszben, a s´ıkhull´am el˝otti norm´al´ofaktor” val´oj´aban egy Fourier-kifejt´es egy komponense, ” ´es seg´ıts´eg´evel egy norm´alhat´o hull´amcsomagot a´ll´ıthatunk el˝o. Emellett a val´odi k´ıs´erletekn´el sosincs v´egtelen t´erben mozg´o r´eszecske, a k´ıs´erleti elrendez´esek mindig be vannak z´arva egy potenci´aldobozba (a labor fala), ami szabad esetben kvant´altt´a teszi a hull´amsz´am ´ert´ek´et. Ha azonban a potenci´aldoboz nagyon nagy, akkor egyr´eszt a v´egtelen t´er j´o k¨ozel´ıt´es lesz, m´asr´eszt a k ´ert´ekek nagyon k¨ozel esnek. Ekkor j´o k¨ozel´ıt´essel vehetj¨ uk o˝ket folytonosnak, ´es dolgozhatunk egyszer˝ uen s´ıkhull´amokkal azon az a´ron, hogy nem norm´alhat´o hull´amf¨ uggv´enyeket kell kezeln¨ unk (pl. 8.1.5 fejezet). Ezut´an a kis kit´er˝o ut´an t´erj¨ unk vissza a kor´abbi gondolatmenet¨ unkh¨oz. A targett˝ol elegend˝oen t´avol szabad megold´ast t´etelez¨ unk fel, azaz az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger-egyenlet i~∂t ψ0 (r, t) = H0 ψ0 (r, t) =
p2 ψ0 (r, t) 2m
(7.8)
alak´ u, melynek s´ıkhull´am megold´asa E
ψ0 (r, t) = A ei(kr− ~ t) , ahol E=
~2 k2 >0, 2m
(7.9)
(7.10)
´es a bej¨ov˝o r´eszecske´aram-s˝ ur˝ us´eg j0 = |A|2
~k . m
(7.11)
Rugalmas sz´or´as (potenci´alsz´or´as) eset´en a targetet egy V (r) id˝of¨ uggetlen potenci´allal ´ırjuk le, melyr˝ol legal´abb azt kell felt´etelezn¨ unk, hogy a v´egtelenben 1/r-n´el gyorsabban cseng le, azaz lim rV (r) = 0. Az id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger-egyenlet, r→∞
i~∂t ψ (r, t) = (H0 + V (r)) ψ (r, t) 149
(7.12)
E energi´aj´ u megold´as´at keress¨ uk, E
ψ (r, t) = ψ (r) e−i ~ t ,
(7.13)
ez´ert az id˝of¨ ugg˝o probl´ema megold´asa visszavezethet˝o a (H0 + V (r)) ψ (r) = Eψ (r)
(7.14)
stacion´arius probl´ema megold´as´ara. Lippmann-Schwinger egyenlet A sz´or´asprobl´ema megold´as´at bontsuk fel a bej¨ov˝o r´eszecske ψ0 (r) hull´amf¨ uggv´eny´enek ´es a sz´or´as k¨ovetkezt´eben fell´ep˝o ψsz (r) hull´amf¨ uggv´eny ¨osszeg´ere: ψ (r) = ψ0 (r) + ψsz (r) .
(7.15)
Ezt a Schr¨odinger-egyenletbe be´ırva, (H0 + V (r)) (ψ0 (r) + ψsz (r)) = E (ψ0 (r) + ψsz (r)) ,
(7.16)
kihaszn´alva, hogy H0 ψ0 (r) = Eψ0 (r), (H0 + V (r)) ψsz (r) + V (r) ψ0 (r) = E ψsz (r) ,
(7.17)
majd ´atrendezve, nyerj¨ uk a (H0 − E) ψsz (r) = −V (r) ψ (r)
(7.18)
egyenletet. A fenti egyenlet megold´as´ara bevezetj¨ uk a Green-f¨ uggv´enyt, melyet (koordin´ata-reprezent´aci´oban) a k¨ovetkez˝o egyenlet defini´al, (H0 (r) − E) G0 (r, r0 , E) = −δ (r − r0 ) .
(7.19)
A Green-f¨ uggv´eny ´eppen H0 spektrum´an, E > 0, nem ´ertelmezhet˝o, de a komplex s´ıkon fel¨ ulr˝ol ill. alulr´ol k¨ozel´ıtve hat´arozott (de k¨ ul¨onb¨oz˝o) hat´ar´ert´ekekkel rendelkezik, 0
0 0 G± 0 (r, r , E) ≡ lim G0 (r, r , E ± iε) = − ε→0
ahol k =
m e±ik|r−r | , 2π~2 |r − r0 |
(7.20)
√ 2mE/~.
A sz´ort hul´amf¨ uggv´enyt a Green-f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel a k¨ovetkez˝o integr´allal fejezhetj¨ uk ki, Z 0 0 ± 0 3 0 ± ψsz (r) = G± (7.21) 0 (r, r , E) V (r ) ψ (r ) d r , ill. a sz´or´asprobl´ema teljes hull´amf¨ uggv´enye eleget tesz a Z ± 0 0 ± 0 3 0 ψ (r) = ψ0 (r) + G± 0 (r, r , E) V (r ) ψ (r ) d r
(7.22)
Lippmann-Schwinger-egyenletnek. Ez az integr´alegyenlet ekvivalens a Schr¨odinger-egyenlettel u ´gy, hogy expliciten tartalmazza a lim ψ ± (r) = ψ0 (r) hat´arfelt´etelt is. Mivel az orig´ob´ol r→∞
kifut´o g¨ombhull´am alakja ei(kr−Et/~) /r, sz´or´ask´ıs´erletek le´ır´as´aban a ’+’ esetet tekintj¨ uk ´es a tov´abbiakban ezt k¨ ul¨on nem jel¨olj¨ uk. 150
Born k¨ ozel´ıt´ es A (7.22) Lippmann-Schwinger-egyenlet megold´as´at szukcessz´ıv approxim´aci´oval keress¨ uk: ψ (0) (r) = ψ0 (r) , ψ (1) (r) = ψ0 (r) +
(7.23) Z
G0 (r, r0 , E) V (r0 ) ψ (0) (r0 ) d3 r0
.. .
(7.24) (7.25)
ψ (k+1) (r) = ψ0 (r) +
Z
G0 (r, r0 , E) V (r0 ) ψ (k) (r0 ) d3 r0
.. .
(7.26) (7.27)
Ezt nevezz¨ uk Born-sorozatnak. F˝ok´ent gyenge sz´or´as eset´eben, megel´egsz¨ unk az els˝orend˝ u k¨ozel´ıt´essel, amit egyszer˝ uen Born-k¨ozel´ıt´esnek nevez¨ unk: Z ψ (r) ' ψ0 (r) + G0 (r, r0 , E) V (r0 ) ψ0 (r0 ) d3 r0 . (7.28) Sz´ or´ asamplit´ ud´ o´ es hat´ askeresztmetszet Mivel a detektort ´altal´aban messze helyezz¨ uk el a targett˝ol, a hull´amf¨ uggv´eny aszimptotikus alakj´at keress¨ uk. Alkalmazzuk az |r − r0 | → 0 r − r r
r r0 r
(7.29)
k¨ozel´ıt´est ´es vezess¨ uk be a kf = k rr hull´amsz´amvektort. A Green-f¨ uggv´eny aszimptotikus alakja: 0 m eikr−kf r 0 , (7.30) G0 (r, r , E) → 0 − r r 2π~2 r amit behelyettes´ıtve a (7.28) egyenletbe ´es kihaszn´alva a bees˝o s´ıkhull´am (7.9) alakj´at, az eikr ikr ψ (r) → 0 A e + f (q) (7.31) r r r ahol q = k − kf ´es f (q) a sz´or´asamplit´ ud´o, Z m 0 V (r0 ) eiqr d3 r0 . f (q) = − 2 2π~
(7.32)
A q vektor helyett, r¨ogz´ıtett energia mellett, a sz´or´asamplit´ ud´o v´altoz´oinak v´alaszthatjuk a detektor ir´any´at jellemz˝o ϑ ´es ϕ g¨ombi pol´arkoordin´at´akat, f (ϑ, ϕ). Az (ϑ, ϕ) ir´anyban elehelyezked˝o, dΩ t´ersz¨oget befog´o detektorba ´erkez˝o r´eszecsk´ek id˝oegys´egre jut´o mennyis´eg´et a koontinuit´asi egyenlet ´es a Gauss-t´etel felhaszn´al´as´aval a k¨ovetkez˝ok´eppen fejezhetj¨ uk ki, dN (ϑ, ϕ; dΩ) r = j (r) r2 dΩ . dt r 151
(7.33)
Ugyanezen mennyis´eg jellemz´es´ere haszn´aljuk a differenci´alis hat´askeresztmetszetet, dN (ϑ, ϕ; dΩ) dσ (ϑ, ϕ) = j0 dΩ , dt dΩ
(7.34)
ahol j0 a bees˝o r´eszecsk´ek id˝oegys´egre jut´o fluxusa. A fentiekb˝ol a dσ (ϑ, ϕ) r rj (r) = dΩ j0
(7.35)
ugg´est nyerj¨ uk. ¨osszef¨ A (7.31) aszimptotikus hull´amf¨ uggv´eny alapj´an a val´osz´ın˝ us´egi ´arams˝ ur˝ us´eg, j = j0 + jsz + jint ,
(7.36)
ahol j0 = ~ |A|2 k/m, jsz
~ |A|2 |f (ϑ, ϕ)|2 Im =− m
eikr e−ikr ∇ r r
~ |A|2 k r ' |f (ϑ, ϕ)|2 3 , m r
(7.37)
´es bel´athat´o, hogy aszimptotikus limeszben az jint interferencia tag csak az el˝oresz´or´as (ˆ r = k) eset´en ad j´arul´ekot. Mivel a bees˝o r´eszecske´aram trivi´alis j´arul´ekot ad a diffe(ϑ,ϕ) = r2 kˆ r = r2 cos ϑ, a szok´asos defin´ıci´o szerint renci´alis hat´askeresztmetszethez, dσ0dΩ csup´an a sz´ort r´eszecsk´ek hat´askeresztmetszet´et tekintj¨ uk, amire a nevezetes dσ (ϑ, ϕ) = |f (ϑ, ϕ)|2 dΩ
(7.38)
R dΩ, kisz´am´ıt´as´an´al ugg´est kapjuk. A teljes sz´or´asi hat´askeresztmetszet, σ = dσ(ϑ,ϕ) ¨osszef¨ dΩ m´ar figyelembe kell venni az interferenciatagot ´es levezethet˝o az u ´n. optikai t´etel : σ=
4π Im f (0) . k
(7.39)
Alakfaktor ´ es szerkezeti t´ enyez˝ o A differenci´alis hat´askeresztmetszet sz´am´ıt´as´ara teh´at a Z 2 dσ (q) m2 iqr 3 = 2 4 V (r) e d r dΩ 4π ~
(7.40)
kifejez´est haszn´aljuk. Tekints¨ unk egy azonos atomokb´ol vagy molekul´akb´ol a´ll´o ¨osszetett targetet ´es az Ri vektorok jel¨olj´ek a sz´or´ocentrumok poz´ıci´ovektorait. Ekkor a a targetpotenci´al a V0 (r) individu´alis sz´or´opotenci´al seg´ıts´eg´evel a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o fel, V (r) =
N X
V0 (r − Ri ) ,
(7.41)
i=1
ahol N a szor´ocentrumok sz´am´at jel¨oli. A target sz´or´asamplit´ ud´oja: f (q) = f0 (q)
N X i=1
152
eiqRi ,
(7.42)
ahol bevezett¨ uk az individu´alis sz´or´ocentrum sz´or´asi amplit´ ud´oj´at, amit alakfaktor nak h´ıvunk: Z m f0 (q) = − V0 (r) eiqr d3 r . (7.43) 2 2π~ K¨ovetkez´esk´eppen, a differenci´alis hat´askeresztmetszet fel´ırhat´o a σ (q) = σ0 (q) S (q)
(7.44)
szorzatalakban, ahol σ0 (q) = |f0 (q)|2 egy sz´or´ocentrum differenci´alis hat´askeresztmetszete ´es X S (q) = eiq(Ri −Rj ) (7.45) i,j
a (statikus) szerkezeti t´enyez˝o, melynek m´er´ese inform´aci´ot szolg´altat az atomok (molekul´ak) t´erbeli eloszl´as´ar´ol a targeten bel¨ ul.
7.1.3. Parci´ alis hull´ amok m´ odszere F˝ok´ent v´eges kiterjed´es˝ u ´es (k¨ozel) g¨ombszimmetrikus sz´or´opotenci´al eset´en, V (r > S) = 0, ´erdemes haszn´alni a sz´or´asamplitud´ok ´es hat´askeresztmetszet sz´am´ıt´as´ara a parci´alis hull´amok m´odszer´et. Itt a Green-f¨ uggv´eny al´abbi kifejt´es´et haszn´aljuk: G0 (r, r0 , E) = −ik
2m X ∗ m j` (kr< ) h+ r) Y`m (ˆ r0 ) , ` (kr> ) Y` (ˆ 2 ~ `,m
(7.46)
√ ahol k = 2mE/~, r< = min (r, r0 ), r> = max (r, r0 ), valamint j` (x) , n` (x) ´es h± ` (x) = j` (x) ± in` (x) rendre a g¨ombi Bessel- , Neumann- ´es Hankel-f¨ uggv´enyek ´es Y`m (ˆ r) a komplex g¨ombharmonikusok. Jegyezz¨ uk fel a k¨ovetkez˝o aszimptotikus alakokat: j` (x) → x1 sin x − ` π2 n` (x) → − x1 cos x − ` π2 h± (x) → = (∓i)`+1 exp(±ix) . ` x x→∞ x→∞ x→∞ (7.47) Behelyettes´ıt´es ut´an a (7.22) Lippmann-Schwinger-egyenlet alakja r > S eset´en, X m ψ (r) = eikr + ik i` h+ r) c`m , (7.48) ` (kr) Y` (ˆ `,m
ahol c`m
2mi−` =− 2 ~
Z
r)∗ V (r) ψ (r) d3 r . j` (kr) Y`m (ˆ
Felhaszn´alva az X Xp ˆ∗ = eikr = 4π i` j` (kr) Y`m (ˆ r) Y`m (k) 4π (2` + 1)i` j` (kr) Y`0 (ˆ r) , k=kˆ z
`,m
kifejt´est
Y`m (ˆ z)
= δm,0
q
2`+1 4π
(7.49)
r≤S
(7.50)
`
, ψ (r) parci´alis hull´amokra bonthat´o:
ψ (r) =
X
R`m (r) Y`m (ˆ r) ,
`,m
153
(7.51)
´es a radi´alis hull´amf¨ uggv´enyekre vonatkoz´o Lippmann-Schwinger-egyenlet: p R`m (r) = 4π (2` + 1)i` j` (kr) δm,0 + i`+1 kh+ ` (kr) c`m , Z 2mi−` S j` (kr) V (r) R`m (r) r2 dr . c`m = − 2 ~ 0
(7.52) (7.53)
A fenti k´et egyenlet szukcessz´ıv megold´as´ab´ol azonnal l´athat´o, hogy R`m (r) ´es c`m csup´an m = 0-ra k¨ ul¨onb¨oznek z´erust´ol, azaz X ψ (r) = R` (r) P` (cos ϑ) , (7.54) `
r) = ahol felhaszn´altuk, hogy Y`0 (ˆ
q
(cos ϑ) (P` a Legendre polinomokat jel¨oli),
ik j` (kr) + p h+ ` (kr) c` 4π (2` + 1)
R` (r) = (2` + 1) i` ´es
2`+1 P` 4π
2mi−` c` = − 2 ~
Z
! ,
(7.55)
S
j` (kr) V (r) R` (r) r2 dr .
(7.56)
0
A Hankel-f¨ uggv´eny aszimptotikus alakj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy ψ (r) ' eikr + f (ϑ) r→∞
eikr , r
(7.57)
´es a sz´or´asamplitud´ora a r f (ϑ) =
X `
2` + 1 c` P` (cos ϑ) , 4π
kifejt´est kapjuk. Innen a teljes sz´or´asi hat´askeresztmetszet, Z X σ = dΩ |f (ϑ, ϕ)|2 = |c` |2 .
(7.58)
(7.59)
`
Mivel P` (1) = 1, az optikai t´etel ´ertelm´eben, ! p X 4π (2` + 1) 2 |c` | − Im c` = 0 , k ` aminek megold´asa parci´alis komponensenk´ent: p 4π (2` + 1) iδ` c` = e sin δ` k
(δ` ∈ R) .
(7.60)
(7.61)
A δ` param´etert f´azistol´asnak nevezz¨ uk, ugyanis iδ` (kr) = j (kr) 1 + ie sin δ − n` (kr) eiδ` sin δ` R` (r) ∼ j` (kr) + ieiδ` sin δ` h+ ` ` ` 1 π ∼ j` (kr) cos δ` − n` (kr) sin δ` → sin kr − ` + δ` , (7.62) r→∞ kr 2 154
azaz aszimptotikusan a parci´alis hull´am f´azisa ´eppen δ` -lel tol´odik el a sz´or´as n´elk¨ uli esethez k´epest. A f´azistol´asok meghat´arozhat´ok a radi´alis hull´amf¨ uggv´eny ill. a deriv´alt illeszt´es´evel az r = S g¨ombsug´arn´al. Seg´ıts´eg¨ ukkel a sz´or´asamplitud´o ´es a teljes hat´askeresztmetszet k¨onnyen meghat´arozhat´o: f (ϑ) =
1X (2` + 1) eiδ` sin δ` P` (cos ϑ) , k `
´es σ=
(7.63)
4π X (2` + 1) sin2 δ` . k2 `
(7.64)
7.1.4. Egydimenzi´ os sz´ or´ as, alag´ uteffektus Sz´amos esetben (pl. kv´azi-egydimenzi´os rendszerek, k´etdimenzi´os transzl´aci´oszimmetri´aval rendelkez˝o hat´arfel¨ uletek) az elektronok sz´or´od´as´at j´o k¨ozel´ıt´essel a ~2 d2 + V (x) − E ψ (x) = 0 (7.65) − 2m dx2 egydimenzi´os Schr¨odinger-egyenlettel ´ırhatjuk le. Egy balr´ol jobbra halad´o (x = −∞ → x = ∞) s´ıkhull´am t´erf¨ ugg˝o r´esze eikx , m´ıg a ford´ıtott ir´anyban halad´o´e e−ikx . A megfelel˝o hat´arfelt´etel mellett keress¨ uk a (7.65) egyenlet megold´as´at u ´gy, hogy a potenci´al (v´eges) szakad´asain´al a hull´amf¨ uggv´enyt ´es annak deriv´altj´at folytonosan illesztj¨ uk. P´eldak´ent tekints¨ uk a v´eges n´egysz¨og alak´ u potenci´alfal eset´et:
0 V0 > 0 V (x) = 0
I. tartom´any x ≤ −a II. tartom´any − a < x ≤ 0 . III. tartom´any x>0
(7.66)
2 2
k . Az I. tartom´anyban a hull´amf¨ uggLegyen a balr´ol bej¨ov˝o r´eszecske energi´aja E = ~2m v´eny a bej¨ov˝o ´es visszaver˝od˝o hull´am line´arkombin´aci´oja,
ψI (x) = Aeikx + Be−ikx ,
(7.67)
m´ıg a III. tartom´anyban csak ´athalad´o hull´am van: ψIII (x) = Ceikx .
(7.68)
Az I. tartom´anyban a val´osz´ın˝ us´egi a´rams˝ ur˝ us´eg, ~k ~k ~ dψI (x) ~ = |A|2 Im ψI∗ (x) − |B|2 + Im iB ∗ Ae2ikx − iA∗ Be−2ikx , jI (x) = m dx m m m| {z } 0
(7.69) ami teh´at a bej¨ov˝o ´es visszaver˝od˝o (reflekt´alt) hull´am ´arams˝ ur˝ us´eg´enek o¨sszege: jI = ji + jr , ~k ~k ji = |A|2 jr = − |B|2 . m m 155
(7.70) (7.71)
A visszaver˝od´esi (reflexi´os) egy¨ utthat´o a k´et a´rams˝ ur˝ us´eg ar´anya, 2 −jr B R= = . ji A
(7.72)
A III. tartom´anyban az ´arams˝ ur˝ us´eg, jIII = jt = |C|2
~k , m
(7.73)
mellyel az ´athalad´asi (transzmisszi´os) egy¨ utthat´o defini´alhat´o: 2 jt C (7.74) T = = . ji A R Mivel a II. tartom´anyban nem keletkezik r´eszecsket¨obblet, dtd II dxρ (x, t) = 0, a kontinuit´asi egyenletb˝ol k¨ovetkezik, hogy ji + jr = jt , (7.75) amib˝ol a reflexi´os ´es transzmisszi´os t´enyez˝o k¨oz¨otti alapvet˝o ¨osszef¨ ugg´es ad´odik, R+T =1.
(7.76)
A II. tartom´anyban a Schr¨odinger-egyenlet a´ltal´anos megold´asa ψII (x) = F eiαx + Ge−iαx ,
(7.77)
ahol, ~2 α2 . 2m
E − V0 =
(7.78)
A B, C, F ´es G param´eterek mehat´aroz´as´ara ´ırjuk fel az illeszt´esi egyenleteket:
ψI (−a) = ψII (−a) =⇒ Ae−ika + Beika = F e−iαa + Geiαa ψI0
(−a) =
0 ψII
−ika
(−a) =⇒ Ake
− Bke
ika
= F αe
−iαa
− Gαe
(7.79) iαa
(7.80)
⇓ (I) A (α + k) e−ika + B (α − k) eika = 2F αe−iαa
(7.81)
(II) A (α − k) e−ika + B (α + k) eika = 2Gαeiαa ,
(7.82)
ψII (0) = ψIII (0) =⇒ F + G = C 0 0 (0) = ψIII (0) =⇒ (F − G) α = kC ψII
(7.83) (7.84)
valamint,
⇓
156
(III) 2F α = C (α + k) (IV ) 2Gα = C (α − k) .
(7.85) (7.86)
A megjel¨olt n´egy egyenlet tov´abbi kombin´al´as´aval a k¨ovetkez˝o eredm´enyek kaphat´ok: B (k 2 − α2 ) (1 − e2iαa ) −2ika = e A (k + α)2 − (k − α)2 e2iαa C 4kα i(α−k)a = 2 2 2iαa e A (k + α) − (k − α) e ⇓ −1 4k 2 α2 R= 1+ (k 2 − α2 )2 sin2 αa !−1 2 (k 2 − α2 ) sin2 αa T = 1+ , 4k 2 α2
(7.87) (7.88)
(7.89)
(7.90)
amib˝ol l´athat´o, hogy erre a konkr´et esetre is teljes¨ ul a (7.76) egyenl˝os´eg. Vizsg´aljuk meg pontosabban a transzmisszi´os egy¨ utthat´ot: q −1 2 2m 2 sin V (E − V )a 0 0 ~2 T = 1 + . 4E (E − V0 ) ´ Erdekes, hogy az energi´aval fel¨ ulr˝ol k¨ozel´ıtve V0 -hoz, −1 mV0 a2 lim T = 1 + <1, E→V0 +0 2~2
(7.91)
(7.92)
teh´at a klasszikus sz´or´assal ellent´etben (R = 0 ´es T = 1 ´ert´ekeket v´arn´ank), z´erust´ol k¨ ul¨onb¨ozik a reflexi´os t´enyez˝o. T¨ok´eletes ´athalad´ast ´eszlel¨ unk viszont a En = V0 +
n2 ~2 π 2 (n = 1, 2, . . .) 2ma2
(7.93)
diszkr´et energia´ert´ekekn´el. Ha az energia kisebb, mint a potenci´alfal magass´aga (E < V0 ) , q −1 2 2m 2 V0 sinh (V0 − E)a ~2 T = 1 + > 0, 4E (V0 − E)
(7.94)
azaz ism´etelten ellent´etben a klasszikus elv´ar´assal, mindig van a´thalad´o q intenzit´as. Ezt h´ıvjuk alag´ uteffektusnak. Az energiaf¨ ugg˝o lecseng´esi hosszhoz λ = 1/ 2m (V − E) 0 ~2 k´epest sz´eles barrier eset´en, az ´athalad´asi egy¨ utthat´ot exponenci´alis f¨ uggv´eny ´ırja le: ! r 16E (V0 − E) 8m T ≈ exp − (V0 − E)a . (7.95) 2 V0 ~2 A transzmisszi´o V0 -t´ol val´o f¨ ugg´ese az al´abbi a´br´an l´athat´o: 157
158
7.2. Feladatok 7.2.1. P´ eld´ ak 7.1. Feladat Sz´am´ıtsa ki a balr´ol bees˝o egydimenzi´os s´ıkhull´am T ´athalad´asi ´es R visszaver˝ od´esi egy¨ utthat´oj´at a V0 ha x ≥ 0 V (x) = (7.96) 0 ha x < 0 potenci´alg´aton! Mennyi ezek ¨osszege? Diszkut´alja k¨ ul¨on a k¨ovetkez˝o eseteket: a) V0 > E b) 0 < E < V0 7.2. Feladat Sz´am´ıtsuk ki a visszaver˝od´esi ´es ´athatol´asi egy¨ utthat´okat az egydimenzi´os V (x) = Kδ(x)
(7.97)
Dirac-delta potenci´al eset´ere! Milyen kapcsolatban vannak ezek vonz´o potenci´al eset´en a k¨ ot¨ ott ´allapottal? 7.3. Feladat Adott a k¨ovetkez˝o egydimenzi´os potenci´al: K δ(x + a) ha x < 0 V (x) = ∞ ha x > 0
,
(7.98)
ahol K > 0 ´es a > 0. Sz´am´ıtsa ki egy balr´ol bees˝o s´ıkhull´am R visszaver˝od´esi t´enyez˝oj´et ill. a δ–potenci´alon ´athalad´o hull´am amplit´ ud´oj´at! Milyen energi´akn´al vannak R lok´alis minimumhelyei (rezonanci´ak), amit virtu´alis energiaszinteknek nevez¨ unk? Mi R ´ert´eke ezeken az energi´akon? ´ 7.4. Feladat Irjuk le a V (x) = −
∞ X
Kδ(x − ka)
(7.99)
k=−∞
egydimenzi´os periodikus potenci´alt´erben mozg´o r´eszecske lehets´eges k¨ot¨ott ill. sz´or´as´allapoti energia´ert´ekeit a K > 0 v´alaszt´asa mellett! Seg´ıts´ eg:. Vizsg´aljuk meg, hogy milyen felt´etelt r´o ki a hull´amf¨ uggv´enyre az a-val val´o eltol´ asi invariancia! Tekints¨ unk ezut´an el˝osz¨or egy N darab Dirac-delt´ab´ol ´all´o v´eges l´ ancot periodikus peremfelt´etellel: Ψ(x + N a) = Ψ(x). Oldjuk meg egy Delta-potenci´al k´et oldal´an vett hull´amf¨ uggv´enyre fel´ırhat´o peremfelt´etelekb˝ol kapott egyenleteket, majd vizsg´aljuk ezek megoldhat´os´agi tartom´any´at. 7.5. Feladat Adott egy V (r) g¨ombszimmetrikus potenci´al, melyre fenn´all, hogy V (r) = 0, ha r ≥ R. Valamely E > 0 energi´ara tekints¨ uk ismertnek a Schr¨odinger-egyenlet parci´alis megold´as´at, ~2 ∆ + V (r) Ψ`m (E, r) = EΨ`m (E, r) (r ≤ R) , (7.100) − 2m 159
ahol Ψ`m (E, r) = R` (E, r) Y`m (ϑ, ϕ). Vezesse le az `-ik parci´alis hull´am f´azistol´as´anak meghat´aroz´as´ara szolg´al´o o¨sszef¨ ugg´est (tan δ` (E))! Keress¨ uk a megold´ast r > R eset´en az R` (E, r) ∼ j` (kr) cos δ` (E) − n` (kr) sin δ` (E)
(7.101)
alakban! 7.6. Feladat A parci´alis hull´amok m´odszere alapj´an sz´am´ıtsuk ki egy ’merev’ goly´o parci´ alis f´azistol´asait! Hat´arozzuk meg a teljes hat´askeresztmetszetet a) alacsony energi´as hat´aresetben, b) nagyenergi´as hat´aresetben! 7.7. Feladat A parci´alis hull´amok m´odszere alapj´an sz´am´ıtsa ki a V (r) = Kδ(r − R)
(7.102)
(δ–h´ej) potenci´alra a parci´alis f´azistol´asokat! Seg´ıts´ eg:. Haszn´aljuk fel, hogy szef´erikus Bessel- ´es Neumann-f¨ uggv´enyek u ´n. Wronskidetermin´ansa: 1 j`0 (x)n` (x) − j` (x)n0` (x) = 2 . (7.103) x 7.8. Feladat Vizsg´aljuk a puha goly´on, −V0 ha V (r) = 0 ha
r≤a . r>a
(7.104)
val´ o sz´or´od´ast! a) Sz´am´ıtsa ki az ` = 0 impulzusmomentum saj´at´ert´ekhez tartoz´o parci´alis f´azistol´as tangens´et! b) Mekkora a teljes hat´askeresztmetszet az alacsony energi´as (Ea2 → 0) hat´aresetben? c) Hogyan kaphatjuk meg a fenti eredm´eny alapj´an a merev g¨omb, (V0 → −∞, azaz er˝os tasz´ıt´o potenci´al) alacsony energi´as teljes hat´askeresztmetszet´et? (σ = 4πa2 ) 7.9. Feladat Sz´am´ıtsuk ki els˝o rend˝ u Born k¨ozel´ıt´esben a sz´or´asamplit´ ud´ot, valamint a differenci´alis ´es teljes hat´askeresztmetszetet! A c) esetben (Yukawa-potenci´al) diszkut´aljuk a Coulomb-sz´or´as eset´et! 2
− r2 r0
a) V (r) = V0 e
b) V (r) = V0 e
− rr
−
0
r
c) V (r) = αr e r0 ( V0 , ha r < r0 d) V (r) = 0, ha r > r0 160
7.2.2. Megold´ asok 7.1 Megold´ as a) El˝osz¨or tekintsuk azt az esetet, amikor a bees˝o s´ıkhull´am energi´aja magasabb a potenci´alg´atn´al! Ilyenkor a balr´ol, x → −∞ fel˝ol ´erkez˝o ´es a potenci´alg´aton visszaver˝or˝o hull´am alakja ψ1 (x) = Aeiαx + Be−iαx , ha x < 0,
(7.105)
illetve a l´epcs˝o oldal´an az ´athalad´o s´ıkhull´am alakja ψ2 (x) = Ceiβx , ha x ≥ 0,
(7.106)
ahol a k´et tartom´anyban a hull´amsz´am ´ert´eke r r 2mE 2m α= β= (E − V0 ). 2 ~ ~2
(7.107)
A s´ıkhull´am illetve deriv´altj´anak folytonoss´aga ψ1 (0) = ψ2 (0) ⇒ A + B = C ψ10 (0) = ψ20 (0) ⇒ iα(A − B) = iβC miatt a B ´es C egy¨ utthat´okat az al´abbiak szerint lehet kifejezni B=
α−β A α+β
illetve
C=
2α A. α+β
(7.108)
Ezek alapj´an meghat´arozzuk a bees˝o, a visszaver˝od˝o illetve az ´athalad´o hull´amhoz rendelhet˝o ´arams˝ ur˝ us´eget. Megmutatjuk, hogy az ´arams˝ ur˝ us´egek eset´en a visszavert ´es a tov´abb halad´o ´ert´ek ¨osszege megegyezik a bees˝o´evel. A bees˝o, a visszavert illetve az ´athalad´o ´arams˝ ur˝ us´egek rendre ji =
~α |A|2 , m
jr = −
~α |B|2 , m
jt =
~β |C|2 , m
Az visszavert illetve ´athalad´o ´arams˝ ur˝ us´egeket a bees˝oh¨oz viszony´ıtva 2 jr |B|2 α − β β |C|2 4αβ jt R=− = , T = = 2 = 2 = ji α+β ji α |A| (α + β)2 |A|
(7.109)
(7.110)
amib˝ol k¨onnyen bel´athat´o, hogy T +R=
2α α+β
2
β (α − β)2 + = 1. α (α + β)2
(7.111)
Vezess¨ unk be egy u ´j v´altoz´ot a potenci´alg´at ´es az energia viszony´ara, v = V0 /E, mert mind R, mind pedig T kifejezhet˝o ezzel a param´eterrel √ 1− 1−v 2 √ √ B= A , illetve C = A. (7.112) 1+ 1−v 1+ 1−v 161
b) Tekints¨ uk most azt az esetet, amikor a bees˝o hull´am energi´aja kisebb a potenci´alg´at magass´ag´an´al, 0 < E < V0 . Ekkor a megfelel˝o megold´asok ψ1 (x) = Aeiαx + Be−iαx , ha x < 0, ψ2 (x) = Ce−βx , ha x ≥ 0, ahol
r
2mE α= ~2 A hull´amf¨ uggv´enyek folytonoss´ag´ab´ol
r β=
2m (V0 − E). ~2
A + B = Ciα(A − B) = −βC, amib˝ol B=
iα + β A iα − β
illetve
C=
2iα A, iα − β
(7.113)
(7.114)
(7.115)
(7.116)
ahonnan j´ol l´atszik, hogy R = 1 illetve jt = 0 ⇒ T = 0. Az R reflexi´os t´enyez˝o menete a 7.1 ´abr´an l´athat´o
7.1. a´bra. R reflexi´os egy¨ utthat´o V0 f¨ uggv´eny´eben v´egtelen sz´eles potenci´aldoboz eset´en.
7.2 Megold´ as A delta potenci´alra balr´ol bees˝o, visszaver˝od˝o illetve jobbra ´athalad´o hull´ amok, a k¨ovetkez˝o alak´ uak ψ1 (x) = Aeikx + Be−ikx , ha x < 0
ψ2 (x) = Ceikx , ha x > 0,
(7.117)
melynek folytonoss´agi felt´etele illetve a delta-f¨ uggv´eny deriv´altjai k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´est le´ır´o (2.122) egyenlet szerint A+B =C
illetve
ik(C − A + B) = −
162
2mK C, ~2
(7.118)
aminek a γ = 2mKa/~2 helyettes´ıt´essel iγ A 2 − iγ
illetve
C=
2 A. 2 − iγ
(7.119)
γ2 |B|2 = 4 + γ2 |A|2
illetve
T =
4 |C|2 , 2 = 4 + γ2 |A|
(7.120)
B= Innen R=
Vagyis R + T = 1 teljes¨ ul. Fontos megjegyezni, hogy mind a visszaver˝od´esi, B, mind pedig az ´ athalad´asi, C, egy¨ utthat´o diverg´al, ha iγ = 2, azaz, ha mK 2 E=− 2 , 2~
(7.121)
vagyis a k¨ot¨ott ´allapot energi´aj´an´al. p 7.3 Megold´ as A balr´ol bees˝o ´es visszavert, k = 2mE/~2 hull´amsz´am´ u s´ıkhull´am szuperpoz´ıci´oja ψ1 (x) = Aeikx + Be−ikx , ha x < −a, (7.122) m´ıg a delta potenci´al ´es a v´egtelen fal k¨oz¨ott ψ2 (x) = C sin(kx), ha − a < x < 0,
(7.123)
v´eg¨ ul a pozit´ıv f´elt´erben a megold´as a v´egtelen potenci´alfal miatt azonosan z´erus. Ennek megfelel˝oen a megold´as az x = −a pontban folytonos, Ae−ika + Beika = −C sin(ka)
(7.124)
illetve ´erv´enyes r´a a delta-potenci´al eset´en a deriv´altakra megismert (2.122) egyenlet szerinti ¨osszef¨ ugg´es Ck cos ka − ik(Ae−ika − Beika ) =
2mK C sin ka, ~2
Szorozzuk be mindk´et oldalt a-val, vezess¨ uk be az α = ka, illetve a γ = ´es rendezz¨ uk ´at az egyenletet: C(α cos α − γa sin α) = iα(Ae−ika − Beika )
(7.125) 2mK ~2
mennyis´egeket, (7.126)
A (7.124) egyenletb˝ol behelyettes´ıtve C-t, bevezetve a β = α cot α−γa mennyis´eget, illetve kifejezve B-t ´es C-t kapjuk a k¨ovetkez˝ot: B=
iα + β −2iα e A, iα − β
C=
4α A (iα − β)(e2iα − 1)
(7.127)
Az a´rams˝ ur˝ us´egek vizsg´alat´ab´ol: R=
|B|2 = 1, |A|2
jt = 0 ⇒ T = 0
(7.128)
Vagyis term´eszetesen a v´egtelen potenci´alfal miatt nincs folyamatos r´eszecske´aram jobbra, teljes a visszaver˝od´es stacion´arius esetben. A delta-potenci´al illetve a v´egtelen fal k¨oz¨otti 163
t´err´eszben a megold´as C egy¨ utthat´oja bizonyos esetekben azonban diverg´alhat is. A nevez˝ oben lev˝o iα − β sosem lehet z´erus, de bizonyos k ´ert´ekekn´el a m´asik t´enyez˝o, e2iα − 1, igen. Ennek felt´etele, hogy α = ka = nπ eg´esz n-ek eset´en. Ilyenkor a k meghat´aroz´as´ab´ol E=
~2 π 2 2 n, 2ma2
(7.129)
amelyek a rezon´ans sz´or´od´ask´ent a rendszer virtu´alis energiaszintjeik´ent viselkednek. 7.4 Megold´ as A V (x) = −
∞ P
γδ(x − na) egy periodikus potenci´al, teh´at V (x + a) =
n=−∞
V (x). Azaz a-val elmozdulva ugyan azt l´atjuk, ´ıgy minden m´erhet˝o mennyis´egnek periodikusnak kell lennie a szerint. Teh´at x-ben ´es x + a-ban a hull´amf¨ uggv´eny ´ert´eke maximum ıϕ egy glob´alis f´azisfaktorban t´erhet el: ψ(x + a) = e ψ(x). Tekints¨ unk el˝osz¨or egy v´eges N darab Dirac-delt´ab´ol ´all´o l´ancot periodikus peremfelt´etellel: Ψ(x + N a) = Ψ(x). Ekkor ϕ = Ka alakot v´alasztva K=
2π n, ahol n = 0, ±1, ±2, . . . Na
(7.130)
A probl´ema k¨ot¨ott ´allapotai γ < 0, sz´or´asi ´allapotai γ > 0 v´alaszt´assal kaphat´oak meg. Mindk´et esetben a periodikuss´ag miatt elegend˝ p o egy cell´ara (egy Dirac-delta k´et oldal´ara) vizsg´alni a probl´em´at. Bevezetve az α = 2m |E| /~2 mennyis´eget a k¨ovetkez˝ot kapjuk k¨ ot¨ ott ´allapotokra: Ψ(x) = Aeαx + Be−αx , ha − a < x < 0 αx−αa+iϕ −αx+αa+iϕ Ψ(x) = Ae + Be , ha 0 < x < a p Sz´ or´asi ´allapotokra bevezetve k = 2m |E| /~2 -t, azaz α = ik mellett:
Ψ(x) = e
−iKa
Ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), [A sin(k(x + a)) + B cos(k(x + a))] ,
ha − a < x < 0 ha 0 < x < a
Mindk´et esetben kihaszn´alva, hogy Ψ(x) folytonos x = 0-ban, illetve hogy Ψ0 megv´altoz´asa ∆Ψ0 = − 2mγ Ψ(0). A megold´asokat ide behelyettes´ıtve k¨ot¨ott ´allapotokra a ~2 cos ϕ = cosh(αa) − kifejez´est kapjuk, ahol β =
2mγ , ~2
β sinh(αa) 2α
(7.131)
sz´or´asi ´allapotokra pedig a
cos(Ka) = cos(ka) −
β sin(ka) 2k
(7.132)
formul´at. Mindk´et esetben a bal oldalon szerepl˝o koszinusz f¨ uggv´eny korl´atoss´aga ´ırja el˝o, hogy mely αa illetve ka intervallumokban l´etezik megold´as (s´av) vagy pedig tiltott a megold´ as (gap). A megold´asok N n¨ovel´es´evel egyre s˝ ur˝ us¨odnek a s´avban, az N → ∞ limeszben pedig kit¨oltik a teljes s´avot. Ha most a Dirac-delt´akat atomi potenci´alok k¨ozel´ıt´es´enek tekintj¨ uk, akkor l´athatjuk, hogy a modell ´epp krist´alyos rendbe (szil´ard halmaz´allapot) ´allt atomok k¨oz¨ott mozg´o elektronokra ad modellt. Ez az egyik legegyszer˝ ubb, s´avokb´ol ´es ezek k¨ ozti gapekb˝ol ´all´o modellje a szil´ard anyagoknak. 164
7.5 Megold´ as A teret k´et tartom´anyra oszthatjuk aszerint, hogy a potenci´al hol v´egtelen, illetve hol 0: r), ha r ≥ R, ψ> (r) = R` (r)Y`m (ˆ
ψ< (r), ha x < R
Innen r ≥ R eset´en a k¨ovetkez˝o radi´alis Schr¨odinger-egyenletet kapjuk: 2 d `(` + 1) 2 d 2mE 2 2 + k − + R (r) = 0, ahol k = ` dr2 r dr r2 ~2
(7.133)
(7.134)
Keress¨ uk a radi´alis hull´amf¨ uggv´enyt a k¨ovetkez˝o alakban: R` (r) = A` (k)j` (kr) + B` (k)n` (kr)
(7.135)
Ez az r → ∞ limeszben `π B` (k) `π A` (k) sin kr − + cos kr − (7.136) R` (r → ∞) = kr 2 kr 2 p alak´ u. Bevezetve C` (k) = A2` (k) + B`2 (k) valamint cos δ` (k) = A` (k)/C` (k) ´es sin δ` (k) = B` (k)/C` (k) v´altoz´okat azt kapjuk, hogy R` (r → ∞) =
C` (k) `π sin(kr − − δ` (k)) kr 2
(7.137)
Vagyis R` (r) a k¨ ovetkez˝o alak´ u: R` (r) = C` (k) [cos δ` (k)j` (kr) − sin δ` (k)n` (kr)]
(7.138)
D` (k) = C` (k) cos δ` (k)-t bevezetve: R` (r) = D` (k) [j` (kr) − tan δ` (k)n` (kr)]
(7.139)
7.6 Megold´ as Mivel r < R eset´en a potenci´al v´egtelen, ebben a tartom´anyban a hull´ amf¨ uggv´eny z´erus. A (7.139) ¨osszef´egst felhaszn´alva az r = R-n´el ´erv´enyes folytonoss´agi felt´etelb˝ol a k¨ovetkez˝ot kapjuk: tan δ` (k) = Mivel
j` (kR) n` (kR)
sin(kR) cos(kR) n0 (kR) = kR kR tan δ0 (k) = − tan(kR) ⇒ δ0 (k) = −kR
j0 (kR) =
(7.140)
(7.141) (7.142)
a) Tekints¨ uk a kis energi´as hat´aresetet: E → 0 ⇒ k → 0. j` (kR) →
(kR)` + O (kR)`+2 (2` + 1)!!
(7.143)
n` (kR) →
(2` − 1)!! −`+1 + O (kR) (kR)`+1
(7.144)
165
Teh´at
(kR)2`+1 tan δ` (k) → + O (kR)2`+3 (2` − 1)!! · (2` + 1)!!
(7.145)
Azaz tan2 δ` (k) (kR)4`+2 4`+6 + O (kR) sin δ` (k) = ≈ 2 1 + tan2 δ` (k) ((2` − 1)!! · (2` + 1)!!) 2
(7.146)
Az `-es tag hozz´aj´arul´asa teh´at a hat´askeresztmetszethez: 4π 4π(2` + 1) 4` 4`+2 4`+4 2 , k R + O (k) (2` + 1) sin δ (k) = ` 2 k2 ((2` − 1)!! · (2` + 1)!!) (7.147) mely ` 6= 0 esetben k → 0 limeszben elt˝ unik. Azaz σ` (k) =
σ` (0) = 4πR2 δ`,0
(7.148)
´ a teljes hat´askerezstmetszet: Igy tot
σ (0) =
∞ X
σ` (0) = 4πR2
(7.149)
`=0
b) Tekints¨ uk most a nagy energi´as limeszt: E → ∞ ⇒ k → ∞. Tudjuk, hogy sin x − `π cos x − `π 2 2 j` (x) → ´es n` (x) → − ,ha x → ∞ x x
(7.150)
Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen
`π tan δ` (k) = − tan kR − 2
⇒ δ` (k) = −kR +
`π 2
(7.151)
`max 4π X `π 2 σ (k) = (2` + 1) sin − kR = k 2 `=0 2 4π 2 2 π 2 π 2 = sin (kR) + sin − kR + 2 sin − kR + sin (π − kR) + k2 2 2 tot
2 `π (` + 1)π 2 +(` + 1) sin − kR + sin − kR = 2 2 | {z } cos2 ( `π −kR) 2 `max 4π X 4π `max (`max + 1) 2π`2max = ` = ≈ k 2 `=0 k2 2 k2
A k → ∞ limeszt vegy¨ uk u ´gy, hogy a fenti szumma ¨osszegz´esekor legyen `max = kR, ´ıgy σ tot (k → ∞) = 2πR2 (7.152) 166
7.7 Megold´ as ψ1 (r) = j` (kr), ha r < R
ψ2 (r) = j` (kr) − tan δ` n` (kr), ha x > 0,
(7.153)
Peremfelt´etelek: ψ1 (R) = ψ2 (R) 2mK ψ20 (R) − ψ10 (R) = ψ12 (R) ~2
(ψ(R) folytonos) (ψ 0 (R) folytonos)
Azaz: j` (kR) = j` (kR) − tan(δ` )n` (kR) 2mK j` (kR) kj`0 (kR) − k tan(δ` )n0` (kR) − kj`0 (kR) = ~2
(7.154) (7.155)
Ebb˝ ol ´atrendez´es ut´an a k´et egyenletet elosztva egym´assal: kj`0 (kR) − k tan(δ` )n0` (kR) 2mK j`0 (kR) = + ` j` (kR) − tan(δ` )n` (kR) ~2 j` (kR)
(7.156)
N´emi ´atalak´ıt´as ut´an ebb˝ol megkaphatjuk, hogy 2mK 2 2mK j (kR) k tan δ` (j`0 (kR)n` (kR) − n0` (kR)j` (kR)) + tan δ` 2 n` (kR)j` (kR) = {z } | ~ ~2 ` 1 k 2 R2
(7.157)
~2 + n` (kR)j` (kR) tan δ` = j`2 (kR) 2mKk 2 R2 tan δ` =
~2 2mKk2 R2
j`2 (kR) + n` (kR)j` (kR)
(7.158) (7.159)
7.8 Megold´ as a) T´argyaljuk el˝osz¨or a V0 > 0 (vonz´o potenci´al) esetet. A radi´alis Schr¨odinger-egyenlet a k¨ovetkez˝o alak´ u: 2 d 2m `(` + 1) + 2 (E − V (r)) − R` (r) = 0 (7.160) dr2 ~ r2 Ez az ` = 0 esetben az a-n´al kisebb illetve nagyobb t´avols´ag eset´en: d2 R01 (r) 2m + 2 (E + V0 ) R01 (r) = 0, ha r < a dr2 |~ {z }
⇒ R01 (r) = A sin(Kr) (7.161)
K2
d2 R02 (r) 2mE + 2 R02 (r) = 0, ha r > a dr2 |~ {z }
⇒ R02 (r) = B sin(kr + δ0 )
(7.162)
AK cos(Ka) = Bk cos(ka + δ0 )
(7.163)
k2
R ´es R0 folytonoss´ag´ab´ol kapjuk, hogy: A sin(Ka) = B sin(ka + δ0 )
illetve 167
Innen: tan(ka + δ0 ) =
k tan(Ka) K
(7.164)
M´asfel˝ol viszont tan(ka + δ0 ) =
sin(ka) cos(δ0 ) + cos(ka) sin(δ0 ) tan(ka) + tan(δ0 ) = cos(ka) cos(δ0 ) − sin(ka) sin(δ0 ) 1 − tan(ka) tan(δ0 )
(7.165)
A k´et egyenlet ¨osszevet´es´eb˝ol ´atrendez´es ut´an ad´odik, hogy tan(δ0 ) =
k tan(Ka) − K tan(ka) K + k tan(Ka) tan(ka)
(7.166)
b) Bevezetve a κ2 = 2mV0 /~2 jel¨ol´est, a kis energi´as limeszben (tan(ka)-t ka-val k¨ozel´ıtve): 1 δ0 ≈ tan(δ0 ) ≈ ka tan(κa) − 1 (7.167) κa ´ a hat´askeresztmetszetre a k¨ovetkez˝ot kapjuk: Igy 2 1 2 σ0 = 4πa 1 − tan(κa) κa
(7.168)
Rezonancia sz´or´asr´ol besz´el¨ unk, ha ez diverg´al, mely a k¨ovetkez˝o V0 ´ert´ekn´el k¨ovetkezik be: κa = (2n + 1)
π 2
2 2mV0 a2 2π = (2n + 1) ~2 4 ~2 π 2 (2n + 1)2 V0 = 8ma2
κ2 a2 =
(7.169) (7.170) (7.171)
c) Tekints¨ uk ezek ut´an a V0 < 0 (tasz´ıt´o potenci´al) eset´et: Ekkor nincs m´as dolgunk, mint p a sz´or´asi hat´askeresztmetszet formul´aj´aban κ hely´ebe iκ-t ´ırni (κ = 2mV0 /~2 ). Mivel tan(iκa) tanh(κa) = (7.172) iκa κa σ0 kifejez´ese a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti: 2 1 2 σ0 = 4πa 1 − tanh(κa) (7.173) κa Ekkor a |V0 | → ∞ limeszben κa → ∞ ez´ert lim σ0 = 4πa2
|V0 |→∞
168
(7.174)
7.9 Megold´ as a) m f (ϑ, ϕ) = − 2π~2 R∞
Mivel
2
dxe
− x2 r0
eıqx x =
√
Z Z Z
−x
dx dy dz V0 e πr0 e−
2 r2 qx 0 4
2 +y 2 +z 2 eı(qx x+qy y+qz z) 2 r0
(7.175)
, a h´armasintegr´al k¨onnyen ki´ert´ekelhet˝o:
−∞
√ mV0 r03 π − q2 r02 f (ϑ, ϕ) = − e 4 2~2
(7.176)
Innen:
m2 V02 r06 π − q2 r02 e 2 , 4~4 ahol a koszinusz t´etel alapj´an q 2 = 2k 2 (1 − cos(ϑ)): σ(ϑ, ϕ) = |f (ϑ, ϕ)|2 =
q
=
k
−
(7.177)
k
k
f
kf ϑ Azaz val´oj´aban f (ϑ, ϕ) = f (ϑ), ´ıgy σ(ϑ, ϕ) = σ(ϑ). A teljes hat´askeresztmetszet: Z Z Z Z σtot = dΩ σ(Ω) = dϑ sin ϑ} dϕ σ(ϑ) = 2π d(cos ϑ)σ(cos ϑ) = (7.178) | {z d(cos ϑ)
m2 V02 r06 π 2 2~4
Z1
2 2 (1−x)
dxe−r0 k
=
m2 V02 r04 π 2 −2r02 k2 1 − e 2~4 k 2
(7.179)
−1
b) Az el˝oz˝o r´eszben l´attuk, hogy b´ar a potenci´al g¨ombszimmetrikus volt, k m´egis kijel¨ol egy ir´anyt, ami miatt csak hengerszimmetria lesz, ´ıgy f = f (ϑ) alakja (q ´es r sz¨og´et Θ-val jel¨olve) g¨ombszimmetrikus potenci´al eset´en: Z Z Z m dr dϕ dΘ sin Θ} eıqr cos Θ V (r) = (7.180) f (ϑ) = − | {z 2π~2 | {z } d(cos Θ) {z } 2π | sin qr qr
−
m 4π 2π~2
Z
drr2 V (r)
sin qr 2m = − 2 4π qr ~q
Z dr rV (r) sin qr
(7.181)
2mV0 2r03 ~2 (1 + q 2 r02 )2
(7.182)
r
´ V (r) = V0 e− r0 -t helyettes´ıtve: Igy 2mV0 f (ϑ) = − 2 ~q
Z∞ dr re
− rr
0
0
169
sin qr = −
σ(ϑ) = −
16m2 V02 r06 ~4 (1 + q 2 r02 )
4,
(7.183)
ahol q 2 = 2k 2 (1 − cos ϑ). Ezt kiintegr´alva:
σtot = −
64π 3
mV0 r0 3 ~2
2
2 8mV0 r03 π, ha kr0 → 0 16(kr0 ) + 12(kr0 ) + 3 ~2 2 = 2 3 16π mV0 r0 π, ha kr >> 1 (1 + 4(kr0 )2 ) 0 2 4
2
3
k~
(7.184) − rr
c) Yukawa-potenci´al eset´en: V (r) = αr e 2mα f (ϑ) = − 2 ~q
0
:
Z∞ dr re
− rr
0
sin qr = −
0
σ(ϑ) =
2mα r02 ~2 1 + q 2 r02
4m2 α2 r04 ~4 (1 + q 2 r02 )2
(7.185)
(7.186)
Az r0 → ∞ hat´aresetben Coulomb-potenci´alt kapunk, ekkor figyelembe v´eve, hogy 2 k2 , illetve hogy q 2 = 4k 2 sin2 ϑ2 a σ(ϑ) kifejez´ese ´epp a Rutherford-sz´or´asi E = ~2m formul´at adja: α2 lim σ(ϑ) = (7.187) r0 →0 4E sin2 ϑ2 A teljes hat´askeresztmetszet: 4mαr02 2 16m π, ha k → 0 ~2 = = 4 2 2 ~ (1 + 4(kr0 ) ) 4π2 mαr 0 , ha k → ∞ k ~2 2
σtot
α2 r04 π
d) Utolj´ara pedig tekints¨ uk a puha goly´ot, ahol ( V0 , ha r < r0 V (r) = 0, ha r > r0
2mV0 f (ϑ) = − 2 ~q
Zr0 dr r sin qr = − 0
σ(ϑ) =
4m2 V02 (sin qr0 − qr0 cos qr0 )2 ~4 q 6
Innen σtot
2π = 2 k
2mV0 (sin qr0 − qr0 cos qr0 ) ~2 q 3
mV0 ~2
2
(sin qr0 − qr0 cos qr0 )2
170
(7.188)
(7.189)
(7.190)
(7.191)
(7.192)
8. fejezet Mozg´ as elektrom´ agneses t´ erben 8.1. Elm´ elet 8.1.1. A kinetikus impulzus csererel´ aci´ oi Az elektrom´agneses t´er klasszikus t´argyal´as´aban bevezetj¨ uk a φ (r, t) skal´arpotenci´alt ´es az A (r, t) vektorpotenci´alt, melyekb˝ol az E elektromos t´erer˝os´egvektor ´es B m´agneses indukci´ovektor sz´armaztathat´ok, E=−
∂A − ∇φ , ∂t
(8.1)
´es B=∇×A.
(8.2)
A klasszikus Hamilton-f¨ uggv´eny nem-relativisztikus k¨ozel´ıt´esben, (p − qA)2 + qφ , (8.3) H= 2m ahol p az helykoordin´at´akhoz konjug´alt kanonikus impulzus. C´elszer˝ u bevezetni a K kinetikus impulzust, K = p − qA , (8.4) mely a r´eszecske v sebess´eg´evel K = mv kapcsolatban a´ll. A kvantummechanikai t´argyal´as alapja a kanonikus kvant´al´as, mely szerint a helykoordin´at´ahoz ´es a kanonikus impulzushoz rendelt oper´atorok az al´abbi csererel´aci´okat el´eg´ıtik ki, ~ [pi , xj ] = δij . (8.5) i Koordin´ata reprezent´aci´oban teh´at megtartjuk a ~ ∇ (8.6) i defin´ıci´ot ´es, a potenci´aloknak megfelel˝o szorz´asoper´atotokat bevezetve, a kinetikus impulzus ~ K = ∇ − qA . (8.7) i p=
171
8.1. T´ etel A kinetikus impulzus oper´atorok felcser´el´esi rel´aci´oja, [Ki , Kj ] = i~q εijk Bk .
(8.8)
Bizony´ıt´as. [Ki , Kj ] = i~q ([∂i , Aj ] + [Ai , ∂j ]) = i~q (∂i Aj − Aj ∂i + Ai ∂j − ∂j Ai ) ∂Aj ∂Ai = i~q − = i~q εijk Bk . ∂xi ∂xj
(8.9)
A fenti csererel´aci´okat nyilv´anval´oan ´at´ırhatjuk a K × K = i~q B ,
(8.10)
alakban. A kinetikus impulzus ´es a koordin´ata oper´atorok felcser´el´esi rel´aci´oja: [Ki , xj ] = [pi , xj ] =
~ δij . i
(8.11)
8.1.2. A Hamilton oper´ ator A k¨ovetkez˝okben a Hamilton-oper´ator alakj´at vizsg´aljuk koordin´atareprezent´aci´oban: 2 1 ~ H= ∇ − qA + qφ (8.12) 2m i ~2 i~q q2 2 =− ∆ + qφ + (∇A + A∇) + A . (8.13) 2m 2m 2m A k¨ovetkez˝o ´atalak´ıt´assal, ∂i Ai + Ai ∂i =
∂Ai + 2Ai ∂i =⇒ ∇A + A∇ = divA + 2A∇ , ∂xi
(8.14)
´es Coulomb-m´ert´ek et (divA = 0) haszn´alva kapjuk az al´abbi Hamilton-oper´atort, H=−
~2 i~q q2 2 ∆ + qφ + A∇ + A , 2m m 2m
(8.15)
mely az utols´o k´et addit´ıv tagban k¨ ul¨onb¨ozik a szok´asos (nem-relativisztikus) Hamiltonoper´atort´ol. Param´ agneses k¨ olcs¨ onhat´ as Homog´en (t´erben a´lland´o nagys´ag´ u ´es ir´any´ u) m´agneses t´er eset´en haszn´aljuk az u ´n. szimmetrikus m´ert´ek et, 1 A= B×r. (8.16) 2 172
Ekkor a (8.15) Hamilton-oper´ator harmadik tagja, i~q i~q q i~q A∇ = (B × r) ∇ = (r × ∇) B = − (r × p) B m 2m 2m 2m q =− LB = −ML B , 2m
(8.17)
alakra hozhat´o, ahol a r´eszecske m´agneses momentum oper´atora, ML =
L q L = −µB , 2m ~
(8.18)
e~ ahol elektronra µB = 2m = 9.27 × 10−24 J/T a Bohr-magneton (e az elemi t¨olt´es, m az elektron t¨omege). A spin figyelembev´etel´evel az u ´n. Pauli param´agneses tagnak,
Hpara = − (ML + 2MS ) B =
µB (L + 2S) B , ~
(8.19)
mellyel a k¨oz¨ons´eges ´es anom´alis Zeemann effektus magyar´azhat´o. Diam´ agneses k¨ olcs¨ onhat´ as A (8.15) Hamilton-oper´ator utols´o tagja, q 2 B2 2 q2 2 q2 q2 2 2 A = (B × r)2 = r B − (rB)2 = x + y2 , 2m 8m 8m 8m
(8.20)
az u ´n. Langevin diam´agneses tag, ahol az utols´o kijez´est z ir´any´ u m´agneses t´er eset´eben kapjuk. Ez a legt¨obb esetben elhanyagolhat´o a param´agneses j´arul´ekhoz k´epest: az atomi energiaszinteken fell´ep˝o diam´agneses korrekci´o 10−14 B [T] nagys´agrend˝ u. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a param´agneses j´arul´ek az elektron µ = − µ~B hL + 2Si permanens m´ agneses momentum´anak a m´agneses indukci´o ir´any´aba val´o fordul´asa miatt l´ep f¨ol. Ezzel szemben a Langevin-diam´agness´eg a m´agneses t´er hat´as´ara induk´alt m´agneses momentummal kapcsolatos,
2 e2 ∂ (B × r) ∂Edia =− µdia = − ∂B 8m ∂B 2 e e2 B 2 =− hr2 iB − hr (rB)i = − hx + y 2 iez , (8.21) 4m 4m amely teh´at a k¨ uls˝o m´agneses t´er nagys´ag´aval egyenes ar´anyos, de vele ellent´etes ir´any´ u. A line´aris v´alaszelm´elet ´ertelm´eben bevezethetj¨ uk a diam´agneses szuszceptibilit´as tenzort, χdia = −
e2 hr2 iI − hr ◦ ri 4m
(ahol I a 3 × 3-as egys´egm´atrix), mellyel a k¨ovetkez˝o kifejez´eseket kapjuk: µdia = χdia B ´es
1 1 δEdia = − B µdia = − B χdia B . 2 2 173
8.1.3. Kontinuit´ asi egyenlet Induljunk ki az ´altal´anos i~∂t ψ = −
~2 q2 2 i~q ∆ψ + A ψ+ (∇A + A∇) ψ + qφψ 2m 2m 2m
(8.22)
id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger-egyenletb˝ol. A fenti egyenletet konjug´alva, − i~∂t ψ ∗ = −
~2 q 2 2 ∗ i~q ∆ψ ∗ + Aψ − (∇A + A∇) ψ ∗ + qφψ ∗ , 2m 2m 2m
(8.23)
majd az els˝o egyenletet ψ ∗ -gal, a m´asodikat ψ-vel beszorozva ´es az ´ıgy nyert k´et egyenletet egym´asb´ol kivonva kapjuk, hogy ~2 (ψ ∗ ∆ψ − ψ∆ψ ∗ ) i~ (ψ ∂t ψ + ψ∂t ψ ) = − 2m i~q ∗ + (ψ (∇A + A∇) ψ + ψ (∇A + A∇) ψ ∗ ) . 2m ∗
∗
(8.24)
A fenti egyenlet mindk´et oldal´at teljes deriv´altt´a alak´ıtva, ψ ∗ ∂t ψ + ψ∂t ψ ∗ = ∂t (ψ ∗ ψ) , ψ ∗ ∆ψ − ψ∆ψ ∗ = ∇ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) , ψ ∗ (∇A + A∇) ψ + ψ (∇A + A∇) ψ ∗ = 2∇ (A ψ ∗ ψ) , jutunk a kontinuit´asi egyenlethez, ∂t ρ + ∇ j = 0 ,
(8.25)
ahol a megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg, ρ = ψ∗ψ ,
(8.26)
´es a val´osz´ın˝ us´egi a´rams˝ ur˝ us´eg, j=
i~ q (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ) − A ψ ∗ ψ . 2m m
(8.27)
L´athat´o, hogy a val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg kifejez´ese megegyezik az elektrom´agneses t´er (vektorpotenci´al) n´elk¨ ul levezetett eredm´ennyel, a val´osz´ın˝ us´egi ´arams˝ ur˝ us´egben viszont expliciten megjelenik a vektorpotenci´al hat´asa. Ezt u ´gy tudjuk ´ertelmezni, hogy az ´arams˝ ur˝ us´eget a sebess´eg t´er- ´es id˝obeli eloszl´as´aval azonos´ıtjuk a ψ a´llapotban, j = Re (ψ ∗ vψ) =
1 1 q Re (ψ ∗ Kψ) = Re (ψ ∗ pψ) − A ψ ∗ ψ , m m m
ami nyilv´anval´oan azonos a (8.27) kifejez´essel.
174
(8.28)
8.1.4. A hull´ amfu eny m´ ert´ ektranszform´ aci´ o ¨ ggv´ A (8.1) elektromos t´erer˝oss´eg ´es a (8.2) m´agneses indukci´o az A0 (r, t) = A (r, t) + ∇Λ (r, t)
φ0 (r, t) = φ (r, t) − ∂t Λ (r, t)
m´ert´ektranszform´aci´oval szemben invari´ans. Az " # 2 1 ~ i~∂t ψ = ∇ − qA + qφ ψ 2m i id˝of¨ ugg˝o Schr¨odinger-egyenlet a fenti m´ert´ektranszform´aci´o hat´as´ara a " # 2 1 ~ i~∂t ψ 0 = ∇ − qA0 + qφ0 ψ 0 2m i # " 2 ~ 1 = ∇ − qA − q∇Λ + qφ − q∂t Λ ψ 0 2m i
(8.29)
(8.30)
(8.31)
alak´ u lesz. 8.2. T´ etel Ha ψ a (8.30) egyenlet megold´asa, akkor iq
ψ0 = e ~ Λ ψ
(8.32)
kiel´eg´ıti a (8.31) egyenletet. Ez´ert ψ 0 -t a ψ hull´amf¨ uggv´eny m´ert´ektranszform´altj´anak nevezz¨ uk. Bizony´ıt´as. Az iq iq i~∂t e ~ Λ ψ = e ~ Λ (i~∂t − q∂t Λ) ψ
(8.33)
azonoss´agot behelyettes´ıtve a (8.31) egyenletbe, majd n´emi ´atrendez´es ut´an kapjuk a k¨ovetkez˝o egyenletet, ! 2 iq iq 1 − Λ ~ i~∂t ψ = e ~ ∇ − qA − q∇Λ e ~ Λ + qφ ψ . (8.34) 2m i Felhaszn´alva az − ~i f (r)
e
i ~ ~ ∇ + g (r) − ∇f (r) e ~ f (r) = ∇ + g (r) i i
ill. e
− ~i f (r)
~ ∇ + g (r) − ∇f (r) i
2 e
i f (r) ~
=
2 ~ ∇ + g (r) i
(8.35)
(8.36)
azonoss´agokat, az f (r) = qΛ (r, t) ´es g (r) = −qA (r, t) v´alaszt´assal l´athat´o, hogy a (8.34) egyenlet identikus az (8.30) Schr¨odinger-egyenlettel.
175
8.3. P´ elda Tekints¨ unk id˝oben ´alland´o tereket: ∂t Λ (r, t) = 0 ´es φ0 (r) = φ (r) .
(8.37)
Valamely r0 referenciapontot v´alasztva, a m´ert´ektranszform´alt vektorpotenci´alt kiintegr´alhatjuk, Zr Zr 0 (8.38) A (s) ds = A (s) ds + Λ (r) − Λ (r0 ) . r0
r0
Z´erus m´agneses t´er eset´en megv´alaszthatjuk a m´ert´ektranszform´aci´ot u ´gy, hogy a vektorpotenci´al is z´erus legyen, Zr (8.39) Λ (r) = − A (s) ds , r0
ahol a Λ (r0 ) = 0 integr´al´asi konstants r¨ogz´ıtett¨ uk. Nyilv´anval´o, hogy a fenti konstrukci´o csak rot´aci´omentes vektorpotenci´al (azaz z´erus m´agneses t´er) eset´en ´ertelmes, hiszen ez biztos´ıtja Λ (r) egy´ertelm˝ us´eg´et. Ezenfel¨ ul meg kell k¨oveteln¨ unk, hogy a B = 0-val jellemzett t´ertartom´any (jel¨olj¨ uk ezt Ω0 -lal) egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o. Ha ugyanis Ω0 k¨orbefog egy olyan ΩB t´ertartom´anyt, ahol B 6= 0, akkor Λ (r) csak a k¨orbe¨olelt fluxus, I ΦB = A (s) ds (8.40) eg´esz-sz´amszoros´aig meghat´arozott. Legyen r ∈ Ω0 eset´en a vektorpotenci´al A (r), a hull´ amf¨ uggv´enyt pedig jel¨olj¨ uk ψB (r, t)-vel. Amennyiben a m´agneses t´er az ΩB tartom´anyban (teh´ at minden¨ utt) z´erus, a vektorpotenci´al z´erusnak v´alaszthat´o, a hull´amf¨ uggv´eny pedig legyen ψ0 (r, t). Ekkor a hull´amf¨ uggv´enyek k¨oz¨ott fenn´allnak a ψ0 (r, t) = e
iq Λ(r) ~
− iq ~
ψB (r, t) = e
illetve a ψB (r, t) = e
iq ~
Rr
Rr r0
A(s)ds
ψB (r, t) ,
(8.41)
A(s)ds
ψ0 (r, t) ,
r0
(8.42)
o ugg´esek. ¨sszef¨
8.1.5. Mozg´ as homog´ en m´ agneses t´ erben: a Landau n´ıv´ ok Homog´en m´agneses t´erben egy t¨olt¨ott r´eszecske a t´erre mer˝oleges s´ıkban ωc =
|q| B m
(8.43)
u ´n. ciklotron (k¨or)frekvenci´aval k¨ormozg´ast v´egez. A Bohr-Sommerfeld kvant´al´asi felt´etel alapj´an, I Lz dϕ = 2πmR2 ωc = hn (n = 1, 2, . . .) ,
176
(8.44)
a r´eszecske a harmonikus oszcill´atorhoz hasonl´o kvant´alt energian´ıv´okkal rendelkezik: 1 1 En = mR2 ωc2 = n~ωc . 2 2
(8.45)
A kvantummechanikai t´argyal´asban vegy¨ uk fel koordin´atarendszer¨ unk z tengely´et B ir´any´aban: B = (0, 0, B) . Szimmetrikus m´ert´eket haszn´alva a vektorpotenci´al 1 1 (8.46) A = − By, Bx, 0 , 2 2 a kinetikus impulzus pedig
eB eB K = (Kx , Ky , Kz ) = px − y, py + x, pz 2 2 mωc mωc = px − y, py + x, pz 2 2
(8.47) (8.48)
alak´ u (elektronra q = −e !) ´es fenn´all a ~ mωc i
(8.49)
1 p2 Kx2 + Ky2 + z 2m 2m
(8.50)
[Kx , Ky ] = i~eB = csererel´aci´o. A H= Hamilton oper´ator saj´atf¨ uggv´enyei,
ψ (r) = ϕk (x, y) eikz alakban ´ırhat´ok, ahol k ∈ R ´es a ϕk (x, y) f¨ uggv´eny teljes´ıti az 1 ~2 k 2 2 2 Kx + Ky ϕk (x, y) = E − ϕk (x, y) 2m 2m
(8.51)
(8.52)
saj´at´ert´ekegyenletet. Bevezetve az X=
Ky Ky = eB mωc
´es P = Kx
(8.53)
oper´atorokat, a (8.49) csererel´aci´ob´ol egyr´eszt k¨ovetkezik, hogy [P, X] =
~ i
,
m´asr´eszt pedig (8.52) egyenlet a 2 P 1 ~2 k 2 2 2 + mωc X ϕk (x, y) = E − ϕk (x, y) 2m 2 2m
(8.54)
(8.55)
oszcill´ator egyenletbe megy ´at. A harmonikus oszcil´atorra alkalmazott algebrai megold´as (l´asd: 2.1.4 fejezet) alapj´an bevezethetj¨ uk az 1 i a= √ X+ P (8.56) mωc 2LH 177
´es
1 a =√ 2LH †
i P X− mωc
(8.57)
l´eptet˝ooper´atorokat, ahol r LH =
~ = mωc
r
~ 25.66 =p nm eB B [T ]
(8.58)
az u ´n. m´agneses hossz. Szokv´anyos terek eset´en a m´agneses hossz t¨obb nagys´agrenddel nagyobb az atomi t´avols´agokn´al. A Hamilton-oper´ator nyilv´anval´oan a 1 P2 p2z 1 p2 2 2 + H = mωc X + + = ~ωc a a + + z (8.59) 2 2m 2m 2 2m alakot ¨olti. K¨ovetkez´esk´eppen a saj´atenergi´ak, 1 ~2 k 2 E = En,k = ~ωc n + + , 2 2m
(8.60)
ahol az n = 0, 1, 2, . . . index az u ´n. Landau-n´ıv´okat jel¨olik. A kvantummechanikai probl´ema megoldhat´o az aszimetrikus (´ un. Landau-) m´ert´ek ben A = (−By, 0, 0) ,
(8.61)
is. A megold´as 1 y − kx L2H 2 2 ψn,kx ,kz (x, y, z) ∼ exp (ikz z) exp (ikx x) exp − 2 y − kx LH , Hn 2LH LH (8.62) alak´ u, ahol Hn Hermite-polinom. Innen is l´athat´o, hogy a hull´amf¨ uggv´eny karakterisztikus kiterjed´ese az y ir´anyban LH .
Tekints¨ unk egy z ir´anyban igen v´ekony mint´at u ´gy, hogy kz csak z´erus ´ert´ek˝ u lehet Az elektron energi´aja nem f¨ ugg a kx kvantumsz´amt´ol, ez´ert a Landau-n´ıv´ok elfajultak. Ha a k´etdimenzi´os mint´ank v´eges (Lx , Ly ) kiterjed´es˝ u, akkor kx lehets´eges ´ert´ekei, kx =
2π m Lx
(m ∈ N) .
(8.63)
Mivel y ir´anyban a Landau-p´aly´ak kx L2H t´avols´agban helyezkednek el egym´ast´ol, a Landau n´ıv´ok M degener´alts´ag´at az hat´arozza meg, hogy mekkora kx maxim´alis ´ert´eke: L2H
ABe 2π Lx Ly Φ M = Ly =⇒ M = = = , 2 Lx 2πLH h Φ0 | {z }
(8.64)
max kx
ahol A = Lx Ly a minta fel¨ ulete, Φ = AB a m´agneses indukci´o fluxusa a mint´an ´es Φ0 = he az elemi fluxus. Ezt u ´gy is megfogalmazhatjuk, hogy egy Landau-p´alya egy elemi fluxust k´epvisel ´es a mint´aban kialakul´o Landau-p´aly´ak sz´ama a fluxussal egyenes ar´anyban n˝o.
178
8.2. Feladatok 8.2.1. P´ eld´ ak 8.1. Feladat Szimmetrikus m´ert´eket haszn´alva mutassa meg, hogy a homog´en, z-ir´any´ u m´ agneses t´erben mozg´o szabad r´eszecske Hamilton-oper´atora felcser´elhet˝o az impulzusmomentum oper´ator z-komponens´evel! Bx , , 0 Seg´ıts´ eg:. A = − By 2 2 8.2. Feladat Hat´arozza meg az L impulzusmomentum oper´ator kvantummechanikai id˝oderiv´altj´at a µB p2 + V (r) + (L + 2S) B H= 2m ~ Hamilton oper´atorral jellemzett remdszerben, ahol B egy konstans m´agneses indukci´o! Mikor lesz L mozg´as´alland´o? 8.3. Feladat Bizony´ıtsa be, hogy a j (r, t) =
q ~ (Ψ∗ (r, t) ∇Ψ (r, t) − Ψ (r, t) ∇Ψ∗ (r, t)) − A (r, t) Ψ∗ (r, t) Ψ (r, t) 2mi mc
val´ osz´ın˝ us´egi ´arams˝ ur˝ us´eg invari´ans a
0
Ψ (r, t) = Ψ (r, t) exp
iq Λ (r, t) ~c
m´ert´ektranszform´aci´ora! 8.4. Feladat Hat´arozzuk meg a H=2
µB SB ~
1 (s = ± ) 2
(8.65)
Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ekeit ´es saj´at´allapotait B tetsz˝oleges ir´anya eset´en! 8.5. Feladat Tegy¨ uk fel, hogy ismerj¨ uk a (H0 + µB Bσ) ψ = Eψ stacion´arius Pauli-Schr¨odinger egyenlet megold´as´at, ahol H0 diagon´alis a spinv´atoz´okban ´es B egy homog´en (kicser´el˝od´esi) m´agneses t´er. Forgassuk el a m´agneses teret n tengely k¨ or¨ ul ϕ sz¨oggel, B0 = R(ϕ, n)B ! L´assuk be, hogy ekkor a Pauli-Schr¨odinger-egyenlet megold´asa ψ 0 = U (ϕ, n)ψ , ahol
i U (ϕ, n) = exp − ϕSn ~
179
ϕ = exp −i ϕσn . 2
Seg´ıts´ eg:. Vizsg´aljuk meg hogyan v´altozik B egy kis ∆ϕ sz¨og˝ u forgat´asra. A megold´asban haszn´aljuk ki, hogy σ vektoroper´ator, azaz [σi , σj ] = 2iijk σk . 8.6. Feladat Oldjuk meg a homog´en, z ir´any´ u m´agneses t´erbe helyezett h´aromdimenzi´os harmonikus oszcill´ator saj´at´ert´ekprobl´em´aj´at! Seg´ıts´ eg:. Haszn´aljon szimmetrikus m´ert´eket, A = 12 (−By, Bx, 0), ´es bizony´ıtsa be, hogy ´ fel a teljes Hamilton-oper´atort a harmonikus a Hamilton oper´ator felcser´elhet˝o Lz -vel! Irja oszcill´ator l´eptet˝o oper´atoraival, ´es diagonaliz´alja Lz m´atrix´at az x − y alt´erben. 8.7. Feladat Tekints¨ unk egy k´etdimenzi´os peri´odikus potenci´alban mozg´o q t¨olt´es˝ u r´eszecske Hamilton oper´ator´at homog´en, a s´ıkra mer˝oleges m´agneses t´erben H=
1 Kx2 + Ky2 + qφ (x, y) 2m
,
(8.66)
ahol, amennyiben az elemi cella egy a ´es b oldal´ u t´eglalap, φ (x + na, y + mb) = φ (x, y)
(n, m ∈ Z)
,
(8.67)
´es a (−By, 0, 0) Landau m´ert´ekben Kx = px + qBy ,
Ky = py
.
(8.68)
Bizony´ıtsuk be, hogy egy elemi cell´ara es˝o fluxus csakis a Φ0 = h/q elemi fluxus eg´eszsz´am´ u t¨ obbsz¨or¨ose lehet. Seg´ıts´ eg:. Defini´aljuk az X (a) = exp
i aKx ~
Y (b) = exp
i bKy ~
(8.69)
oper´ atorokat, mutassuk, meg hogy felcser´elhet˝oek a Hamilton-oper´atorral! Haszn´aljuk az 1.3. feladatban bizony´ıtott Baker-Campbell-Hausdorff formul´at: 1 (8.70) exp (A + B) = exp (A) exp (B) exp − [A, B] 2 8.8. Feladat Oldjuk meg a homog´en, z ir´any´ u m´agneses t´erben mozg´o szabad elektron saj´ at´ert´ekprobl´em´aj´at az A = (−By, 0, 0) valamint az A = (0, Bx, 0) Landau-m´ert´ekeket haszn´alva! Milyen (unit´er) transzform´aci´o k¨oti ¨ossze a k´et saj´atf¨ uggv´eny rendszert? 8.9. Feladat A k¨orp´alya k¨oz´eppontj´anak klasszikus ´ertelmez´ese alapj´an konstru´aljuk meg a Landau-szinteken bel¨ ul l´eptet˝o oper´atorokat! 8.10. Feladat Egy egydimenzi´os harmonikus oszcill´ator alap´allapotban van. A t = 0 pillanatban homog´en elektromos teret kapcsolunk be. Hat´arozzuk meg az id˝of¨ ugg˝o hull´amf¨ uggv´enyt a bekapcsol´as ut´an! Seg´ıts´ eg:. Alak´ıtsuk a potenci´alt teljes n´egyzett´e, majd vezess¨ unk x ir´anyban eltolt kelt˝o ´es elt¨ untet˝o oper´atorokat. Haszn´aljuk ki, hogy a rendszer t = 0-ban az alap´allapotban volt! 180
8.2.2. Megold´ asok 8.1 Megold´ as A Hamilton-oper´ator alakja a kovetkez˝o: 1 e 2 1 e 2 1 2 H= px + By + py − Bx + p 2m 2 2m 2 2m z Bevezetve az ω =
eB 2m
(8.71)
Larmor-frekvenci´at ´atrendez´es ut´an:
e2 B 2 2 2 eB 1 p2 1 1 p2x + p2y + p2z + (x +y )+ (ypx −xpy ) = + mω 2 (x2 +y 2 )− ωLz (8.72) 2m 8m 4m 2m 2 2 L´ athat´o, hogy az els˝o k´et tag egy x − y s´ıkban fekv˝o harmonikus oszcill´atort ´ır le, feladatunk az, hogy err˝ol a tagr´ol mutassuk meg, hogy kommut´al Lz -vel, hiszen az utols´o tag ny´ılv´anval´oan kommut´al. Ehhez k´et megold´ast is adunk: ´ • Irjuk ´at a Hamilton-oper´ator els˝o k´et tagj´at g¨ombi koordin´at´akba: 1 ~2 1 ∂ L2 ~2 1 2 2 2 2 ∂ ∆ + mω r sin ϑ = − r + H0 = − + mω 2 r2 sin2 ϑ 2 2 2m 2 2m r ∂r ∂r 2mr 2 (8.73) ~ ∂ 2 Mivel Lz = i ∂ϕ , a fenti k´epletben pedig semmi sem f¨ ugg ϕ-t˝ol, valamint [L , Lz ] = 0, ny´ılv´anval´o, hogy [H, Lz ] = 0 ´ • Irjuk fel H0 -t a harmonikus oszcill´ator kelt˝o ´es elt¨ untet˝o oper´atoraival: H0 =
1 2 pz + ~ω a†x ax + a†y ay + 1 2m
(8.74)
Mivel [p2z , Lz ] = 0, a l´eptet˝o-oper´atorok kommut´aci´os rel´aci´oi ´es a 3.6. feladat eredm´enye alapj´an bel´athat´o, hogy [H0 , Lz ] = 0 8.2 Megold´ as dL i = [H, L] , dt ~ teh´ at feladatunk a [H, L] kisz´am´ıt´asa, melyet tagonk´ent v´egz¨ unk: 2 hµ i p B [H, L] = , L + [V (r), L] + (L + 2S)B, L 2m ~ 2 p 1 1 , Li = [p` p` , Li ] = (p` [p` , Li ] + [p` , Li ] p` ) = 0, 2m 2m 2m
(8.75)
(8.76) (8.77)
mivel ~ ~ p` [p` , Li ] = p` εijk [p` , xj pk ] = p` εilk pk = εilk p` pk = 0 i i A m´asodik tag a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti:
(8.78)
[V (r), Li ] = εijk [V (r), xj pk ] = εijk xj [V (r), pk ] + [V (r), xj ] pk = i~ (r × ∇V (r))i | {z } | {z } − ~i ∂k V (r)
0
(8.79) 181
Az utols´o tag k´et r´esze:
µB µB µB µB [LB, Li ] = [Lk Bk , Li ] = Lk [Bk , Li ] + [Lk , Li ] Bk = i~ (L × B)i (8.80) | {z } | {z } ~ ~ ~ ~ 0
i~εki` L` Bk
2µB 2µB [SB, Li ] = [Sk Bk , Li ] = 0 ~ ~ Teh´ at az eredm´eny: dL i µB µB = i~ (r × ∇V (r)) + i~ (L × B) = − (r × ∇V (r)) − (L × B) dt ~ ~ ~
(8.81)
(8.82)
Centr´alis potenci´al eset´en az els˝o tag elt˝ unik, ekkor L||B eset´en dL/dt = 0, vagyis L mozg´as´alland´o. 8.3 Megold´ as M´ert´ektranszform´aci´o hat´as´ara: iq
Ψ(r, t) = Ψ0 (r, t)e− ~ Λ(r,t)
A = A0 − ∇Λ(r, t)
(8.83)
Az a´rams˝ ur˝ us´egben szerepl˝o tagok: iq iq 0 Ψ ∇Λe− ~ Λ ~ iq iq iq ∇Ψ∗ = ∇Ψ0∗ e ~ Λ + Ψ0∗ ∇Λe ~ Λ ~ iq
∇Ψ = ∇Ψ0 e− ~ Λ −
(8.84) (8.85)
Azaz iq 0 2 |Ψ | ∇Λ ~ iq 2 Ψ∗ ∇Ψ = Ψ0∗ ∇Ψ0 − |Ψ0 | ∇Λ ~ Ψ∇Ψ∗ = Ψ0 ∇Ψ0∗ +
(8.86) (8.87)
Innen i~ q (Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗ ∇Ψ) − A |Ψ|2 = 2m m i~ 2iq q q i~ 2 2 0 0 2 (Ψ0 ∇Ψ0∗ − Ψ0∗ ∇Ψ0 ) + |Ψ | ∇Λ − A0 |Ψ0 | + ∇Λ |Ψ | 2m 2m ~ m m j=
(8.88) (8.89)
´ 8.4 Megold´ as Irjuk fel B-t ´es S-t a k¨ovetkez˝o alakban: B = Bn
S=
~ σ, 2
(8.90)
ahol n egys´egvektor, σi pedig az i-edik Pauli-m´atrix. A Hamilton-oper´ator alakja: H=2
µB SB = µB Bσn ~
(8.91)
Vagyis a σn m´atrix saj´at´ert´ekeit ´es saj´atvektorait kell meghat´aroznunk. Ekkor n-et g¨ombikoordin´at´akban fel´ırva (n = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ)): cos ϑ sin ϑe−iϕ σn = (8.92) sin ϑeiϕ − cos ϕ 182
Ennek saj´at´ert´ekei ´es saj´atvektorai: e−iϕ cossinϑ+1 ϑ |1i = 1 −iϕ cos ϑ−1 e sin ϑ |−1i = 1
λ=1 λ = −1
(8.93) (8.94)
Azaz a Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ekei ε12 = ±µB B, saj´atvektorai pedig a |±1i vektorok. 8.5 Megold´ as Forgassuk el a B vektort egy ∆ϕ kis sz¨oggel: Bi0 = Bi + (n × B)i ∆ϕ
(8.95)
Ekkor a Bi0 σi szorzat a k¨ovetkez˝o alakba ´ırhat´o: Bi0 σi = Bi σi + εijk nj Bk σi ∆ϕ = Bi σi − Bi εijk nj σk ∆ϕ = Bi σi0
(8.96)
Vagyis B val´os t´erbeli elforgat´asa felfoghat´o egy spint´erbeli σ → σ 0 transzform´aci´onak is. Vizsg´aljuk meg ezen spint´erbeli transzform´aci´ot els˝o rendig ∆ϕ-ben: i i σi0 = σi − εijk σk nj ∆ϕ = σi + σi σj nj ∆ϕ − σj nj σi ∆ϕ = | {z } 2 2
(8.97)
− i [σi ,σj ]
2 i i = I − σj nj ∆ϕ σi I + σj nj ∆ϕ 2 2
(8.98)
Bel´ athat´o, hogy v´eges ϕ sz¨oggel val´o forgat´as eset´en a z´ar´ojelben ´all´o kifejez´esek hely´ere a megfelel˝o exponenci´alis f¨ uggv´enyt kell ´ırni: i
i
i
i
σ 0 = e− 2 σnϕ σe 2 σnϕ = e− ~ Snϕ σe ~ Snϕ = U σU −1 ,
(8.99)
i
ahol U = e− ~ Snϕ . Vil´agos, hogy ekkor i
ψ 0 = U ψ = e− ~ Snϕ ψ
(8.100)
8.6 Megold´ as 1 1 (p − eA)2 + mω02 x2 + y 2 + z 2 = 2m 2 2 2 2 eB B e pz 1 1 1 2 2 2 2 2 px + py + + mω0 z + + mω0 x2 + y 2 − xpy − ypx 2m 2 2m 8m 2 2m | {z } | {z } Lz H=
(8.101) (8.102)
Hxy 2
Bevezetve az ωc = eB ´es az ω12 = ω02 + ω4c jel¨ol´eseket, valamint a harmonikus oszcill´ator m kelt˝ o ´es elt¨ untet˝o oper´atorait, illetve felhaszn´alva a 3.6. feladat eredm´eny´et: ~ωc † 1 † (8.103) H = ~ω0 az az + + ~ω1 a†x ax + a†y ay + 1 − ax ay + a†y ax 2 2i Vil´ agos, hogy Lz felcser´elhet˝o az els˝o taggal, hiszen Lz x ´es y-t´ol f¨ ugg˝o oper´atorokb´ol ´all, m´ıg a Hamiltoni els˝o tagja csak z-t˝ol f¨ ugg. Az utols´o tag Lz -vel ar´anyos, ´ıgy ezzel is 183
kommut´al. A k¨oz´eps˝o Hxy tagr´ol pedig egyszer˝ uen megmutathat´o, hogy szint´en kommut´al Lz -vel, emiatt l´etezik k¨oz¨os saj´atb´azisa Hxy -nak ´es Lz -nek. Hxy spektruma degener´alt, minden N = nx + ny esetben N + 1-szeres a degener´aci´o. V´arhat´o teh´at, hogy Lz ezt a degenr´aci´ot has´ıtja fel, diagonaliz´aljuk Lz m´atrix´at egy adott N -hez tartoz´o alt´eren! Csak k´et m´atrixelem nem z´erus: √ p √ √ hnx + 1, ny − 1| a+ ny nx + 1 hnx − 1, ny + 1| a+ nx ny + 1 x ay |nx , ny i = y ax |nx , ny i = (8.104) nx , ny ´es N = nx + ny hely´ere vezess¨ uk be az ` ´es m kvantumsz´amokat: nx − ny nx + ny m := 2 2 nx = ` + m ny = ` − m N = 2`
(8.105)
` :=
(8.106)
Teh´ at a m´atrixelemek az L+ ´es L− impulzusoper´ator l´eptet˝o oper´atorok saj´at´ert´ekei: p p √ √ ny nx + 1 = (` − m)(` + m + 1) = `(` + 1) − m(m + 1) (8.107) p p √ p nx ny + 1 = (` + m)(` − m + 1) = `(` + 1) − m(m − 1) (8.108) Innen ~ ~ hm0 | L+ + L− |mi = hm0 | 2Ly |mi (8.109) i i Teh´ at Hxy egy degener´alt alter´eben Lz m´atrixelemei ´epp 2Ly m´atrixelemeinek felelnek meg az u ´j ` ´es m kvantumsz´amokban. Az Lz m´atrix´anak ~mz saj´at´ert´ekei teh´at hm0 | Lz |mi =
~mz = 2~my ,
my = −`, . . . , ` = −
ahol
N N ,..., 2 2
(8.110)
A teljes Hamiltoni saj´at´ert´ekei teh´at: e~ 1 Enz ,N,mz = ~ω0 nz + Bmz + ~ω1 (N + 1) − 2 2m N N nz = 0, 1, 2, . . . N = 0, 1, 2, . . . mz = − . . . 2 2
(8.111) (8.112)
(0, 0, 1) (1, 0, 0), (0, 1, 0)
~ωc
(0, 0, 0) B 6= 0
B=0 8.7 Megold´ as Defini´aljuk a X (a) = exp
i aKx ~
= exp 184
i iq apx exp Bay ~ ~
(8.113)
´es az
Y (b) = exp
i bKy ~
(8.114)
transzl´aci´os oper´atorokat. Egyr´eszt
~qB Kx , Ky2 = [Kx , Ky ] Ky − Ky [Kx , Ky ] = − (Ky − Ky ) = 0 i
(8.115)
´es ugyan´ıgy Ky , Kx2 = 0 ,
(8.116)
X (a) , Ky2 = Y (b) , Kx2 = 0 .
(8.117)
ez´ert M´ asr´eszt
iq X (a) φ (x, y) ψ (x, y) = exp Bay φ (x + a, y) ψ (x + a, y) = ~ iq = exp Bay φ (x, y) ψ (x + a, y) ~ illetve
φ (x, y) X (a) ψ (x, y) = exp
iq Bay φ (x, y) ψ (x + a, y) ~
,
(8.118)
(8.119)
k¨ ovetkez´esk´eppen [X (a) , φ] = [Y (b) , φ] = 0
.
(8.120)
A fentiekb˝ol nyilv´anval´oan k¨ovetkezik, hogy [X (a) , H] = [Y (b) , H] = 0 .
(8.121)
H saj´atf¨ uggv´enyei ez´ert nyilv´anval´oan X (a) ´es Y (b) saj´atf¨ uggv´enyei is, Hψ = Eψ =⇒ X (a) ψ = x (a) ψ
,
Y (b) ψ = y (b) ψ
π π ≤ kx ≤ , a a π π , − ≤ ky ≤ b b −
x (a) = exp (ikx a) y (b) = exp (iky b)
,
(8.122)
(8.123) (8.124)
ez´ert X (a) Y (b) ψ = x (a) y (b) ψ = Y (b) X (a) ψ
.
(8.125)
Ugyanakkor
i iq i (Y (b) X (a) ψ) (x, y) = exp bpy exp Bay exp apx ψ (x, y) ~ ~c ~ iq = exp Ba (y + b) ψ (x + a, y + b) (8.126) ~
185
´es
iq i i (X (a) Y (b) ψ) (x, y) = exp Bay exp apx exp bpy ψ (x, y) ~ ~ ~ iq exp Bay ψ (x + a, y + b) , (8.127) ~ X (a) ´es Y (b) felcser´elhet˝os´ege miatt azonban Φ exp 2πi =1 Φ0 ahol Φ = abB teh´ at
´es
Φ =n Φ0
h q
Φ0 =
(8.128)
.
(n ∈ N) .
(8.129)
(8.130)
8.8 Megold´ as A = (−By, 0, 0)
(8.131)
Egyszer˝ u ´atalak´ıt´asok ut´an a Schr¨odinger-egyenlet a k¨ovetkez˝o alakot o¨lti (q = −e): " # 2 ~2 eB 2 2 y − ∂y + ∂z ψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z) (8.132) i∂x + 2m ~ ansatz: ψ (x, y, z) = exp (ikz z) exp (ikx x) ϕ (y) Behelyettes´ıt´es ut´an: " # 2 ~2 eB ~2 2 ~2 kz2 y − kx − ∂ ϕ (y) = E − ϕ (y) 2m ~ 2m y 2m p p Felhaszn´alva, hogy ωc = eB/mc ´es LH = ~/mωc = ~c/eB, az ~2 2 ~2 kz2 1 2 2 mωc (y − y0 ) − ∂ ϕ (y) = E − ϕ (y) 2 2m y 2m
(8.133)
(8.134)
(8.135)
oszcill´atoregyenletet kapjuk, ahol y0 = kx L2H . K¨ovetkez´esk´eppen a saj´at´ert´ekek ´es saj´atf¨ uggv´enyek: En,kx ,kz = ~ωc
1 n+ 2
+
~2 2 k 2m z
(8.136)
1 1 y − kx L2H 2 2 ψn,kx ,kz (x, y, z) = Nn exp (ikz z) exp (ikx x) √ exp − 2 y − kx LH Hn 2LH LH LH (8.137) √ −1/2 n ahol Nn = (2 n! π) a norm´al´asi egy¨ utthat´o. 186
.
Ugyan´ıgy a A0 = (0, Bx, 0)
(8.138)
vektorpotenci´allal: ~2 2m
"
eB i∂y − x ~c
#
2 −
∂x2
+
∂z2
ψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
ψ (x, y, z) = exp (ikz z) exp (iky y) ϕ (x) # 2 ~2 eB ~2 kz2 ~2 2 x + ky − ∂ ϕ (x) = E − ϕ (x) 2m ~c 2m x 2m 1 ~2 2 ~2 kz2 2 2 mωc (x − x0 ) − ∂ ϕ (x) = E − ϕ (x) 2 2m x 2m
(8.139) (8.140)
"
(8.141) (8.142)
oszcill´atoregyenletet kapjuk, ahol x0 = −ky L2H . K¨ovetkez´esk´eppen a saj´at´ert´ekek ´es saj´atf¨ uggv´enyek: 1 ~2 2 (8.143) k + En,ky ,kz = ~ωc n + 2 2m z 1 x + kx L2H 1 0 2 2 ψn,ky ,kz (x, y, z) = Nn exp (ikz z) exp (iky y) √ exp − 2 x + ky LH Hn 2LH LH LH (8.144) A k´et m´ert´ek k¨oz¨ott ´att´erhet¨ unk egy m´ert´ektranszform´aci´oval, ami a hull´amf¨ uggv´enyre n´ezve egy unit´er transzform´aci´ot jelent: A0 = A + ∇Λ
(8.145)
Λ (r) = Bxy
(8.146)
Ekkor fenn kell, hogy ´alljon: Z ie 0 dky cn,kx ,ky ψn,ky ,kz (r) = ψn,kx ,kz (r) exp − Λ (r) c~
(8.147)
azaz ie cn,kx ,ky = d (r) exp − Λ (r) ψn,kx ,kz (r) c~ Z Z N2 = n dxdy exp −iky y + ikx x − ixy/L2H LH 1 x + ky L2H 2 2 exp − 2 x + ky LH Hn 2LH LH 1 y − kx L2H 2 2 exp − 2 y − kx LH Hn 2LH LH Z
3
0 r ψn,k y ,kz
∗
187
(8.148) (8.149)
.
Bevezetve az ξx = x/LH , ξy = y/LH , qx = kx LH , valamint qy = ky LH v´altoz´okat Z Z 2 cn,kx ,ky = Nn LH dξx dξy exp (−iqy ξy + iqx ξx − iξx ξy ) 1 1 2 2 exp − (ξx + qy ) − (ξy − qx ) Hn (ξx + qy ) Hn (ξy − qx ) 2 2 Z Z = Nn2 L2H dξx dξy exp (−iqy (ξy + qx ) + iqx (ξx − qy ) − i (ξx − qy ) (ξy + qx )) 1 2 1 2 exp − ξx − ξy Hn (ξx ) Hn (ξy ) 2 2 Mivel: −iqy (ξy + qx ) + iqx (ξx − qy ) − i (ξx − qy ) (ξy + qx ) = −iqx qy − iξx ξy Z Z 1 2 1 2 2 −iqx qy cn,kx ,ky = Nn LH e dξx dξy exp (−iξx ξy ) exp − ξx − ξy Hn (ξx ) Hn (ξy ) 2 2 (8.150) ´ ıt´ 8.4. All´ as √
Z 1 2 1 2 2π exp − ξy Hn (ξy ) = dξx exp (iξx ξy ) exp − ξx Hn (ξx ) 2 2
(8.151)
Bizony´ıt´as. A harmonikus oszcill´ator Schr¨odinger-egyenlete koordin´atareprezent´aci´oban 1 ~2 d2 2 2 + mω x ψ (x) = Eψ (x) , − (8.152) 2m dx2 2 impulzusreprezent´aci´oban
mik¨ozben
1 d2 p2 − ~2 mω 2 2 2m 2 dp
ψe (p) = E ψe (p) ,
r Z 1 ipx ψe (p) = dx exp ψ (x) h ~
(8.153)
.
(8.154)
A megold´asok x2 x 1 ψn (x) = Nn √ exp − 2 Hn x0 2x0 x0 ahol
r x0 =
valamint
~ mω
,
1 p2 p ψn (p) = Nn √ exp − 2 Hn p0 2p0 p0
ahol
,
(8.155)
(8.156)
,
(8.157)
√ p0 =
~mω
188
.
(8.158)
K¨ovetkez´esk´eppen r Z 1 1 p2 p 1 x2 x ipx =√ exp − 2 Hn , dx exp √ exp − 2 Hn p0 2p0 p0 x0 h ~ 2x0 x0 (8.159) amib˝ol x p ξx = , ξy = (8.160) x0 p0 helyettes´ıt´essel r Z 1 2 x0 p 0 1 2 exp − ξy Hn (ξy ) = dξx exp (iξx ξy ) exp − ξx Hn (ξx ) , (8.161) 2 h 2 | {z } √ 1/ 2π
ami ekvivalens az a´ll´ıt´assal. ´ teh´at, a Hermite polinomok normaintegr´alj´at felhaszn´alva: Igy Z ∞ √ 2 dξ exp −ξ 2 Hn (ξ)2 cn,kx ,ky = 2πLH exp (−iqx qy ) Nn −∞ | {z } =1 √ = 2πLH exp −ikx ky /L2H .
(8.162)
8.9 Megold´ as A klasszikus k¨ormozg´as x = x0 + r cos ωc t
,
y = y0 + r sin ωc t
(8.163)
vx = −rωc sin ωc t
,
vy = rωc cos ωc t
(8.164)
alapj´an a p´alya k¨oz´eppontj´anak helykoordin´at´ai Ky vy =x− ωc mωc vx Kx y0 = y − r sin ωc t = y + =y+ ωc mωc
x0 = x − r cos ωc t = x −
(8.165) (8.166)
melyekhez a megfelel˝o oper´atorokat rendelhetj¨ uk. Fenn´allnak a k¨ovetkez˝o csererel´aci´ok [x0 , y0 ] = iL2H [x0 , H] = [y0 , H] = 0 ahol LH =
(8.167) (8.168)
p ~/mωc , illetve ωc = qB/m. Ugyanis
~ [Kx , Ky ] = −q ([px , Ay ] + [Ax , py ]) = −q (∂x Ay − ∂y Ax ) = i~qB = i~mωc i
(8.169)
miatt [x0 , y0 ] =
1 1 1 i~ [x, Kx ] − [y, Ky ] − 2 2 [Ky , Kx ] = = iL2H mωc | {z } mωc | {z } m ωc | {z } mωc i~
−i~mωc
i~
189
,
(8.170)
valamint ~ Ky , Kx2 = [Ky , Kx ] Kx + Kx [Ky , Kx ] = 2mωc Kx i ~ x, Kx2 = [x, Kx ] Kx + Kx [x, Kx ] = − 2Kx i
(8.171) (8.172)
´es innen ~ ~ Ky 1 2 2 , Kx + Ky = − Kx + Kx = 0 . [x0 , H] = x + mωc 2m im im
(8.173)
Ez´ert x0 ´es y0 megmarad´o mennyis´egek. Ugyanakkor defini´alhat´ok a b=
1 √ (x0 + iy0 ) LH 2
,
b† =
1 √ (x0 − iy0 ) LH 2
(8.174)
l´eptet˝ooper´atorok, melyekre † −i b, b = 2 [x0 , y0 ] = 1 LH
,
(8.175)
´es [b, H] = b† , H = 0 .
(8.176)
Ez´ert a b ´es b† oper´atorok H saj´atalter´en bel¨ ul l´eptetnek. Mivel Ky 2~ [Kx , x0 ] = Kx , x − = mωc i Kx [Kx , y0 ] = Kx , y + =0 mωc 2~ Kx = [Ky , y0 ] = Ky , y − mωc i Ky [Ky , x0 ] = Ky , x + =0 , mωc k¨ ovetkezik, hogy
(8.177) (8.178) (8.179) (8.180)
1 1 [Kx + iKy , x0 + iy0 ] 2 2LH mωc 1 1 ~ ~ = 2 −2 =0 2L2H mωc i i
[a, b] =
(8.181)
´es hasonl´oan † † a ,b = 0 ,
(8.182)
viszont
† † 1 2~ a, b = a , b = 2 = −2i LH imωc Egy ´altal´anos Landau-´allapot teh´at 1 H |n, mi = ~ωc n + |n, mi 2 n † m 1 1 |n, mi = √ √ a† b |0, 0i n! m! 190
.
(8.183)
(8.184) .
(8.185)
8.10 Megold´ as El˝osz¨or oldjuk meg a harmonikus oszcill´ator probl´em´at homog´en elektromos t´er jelenl´et´eben! p2 m + ω 2 x2 + Eqx 2m 2 2 m 2 Eq p2 E 2q2 + ω x+ H = − 2m 2 mω 2 2mω 2
H =
(8.186) (8.187)
Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝o mennyis´egeket: d=
Eq , mω 2
E0 =
E 2q2 . 2mω 2
A bevezetett mennyis´egekkel a (8.187) sz´am´ u egyenletet a k¨ovetkez´o form´aba ´ırhatjuk: H=
m p2 + ω 2 (x + d)2 − E0 . 2m 2
A fenti Hamilton oper´ator spektruma a k¨ uls˝o t´er n´elk¨ uli oper´ator spektrum´at´ol csak egy E0 eltol´ asban k¨ ul¨onb¨ozik, a saj´at´allapotaik pedik d-vel tol´odnak el. A k¨ uls˝o t´er n´elk¨ uli harmonikus oszcill´ator l´eptet˝o oper´atorai seg´ıts´eg´evel fel´ırhatjuk a homog´en k¨ uls˝o t´er jelenl´et´eben 0 d d is a l´eptet˝o oper´atorokat: a0 = a + √2x , a† = a† + √2x . Az alap´allapoti hull´amf¨ uggv´eny 0 0 d-vel eltol´odik: i 1 1 0n |ni0 = √ a† |0i0 = √ (a† + d)n e ~ dp |0i . (8.188) n! n! Kezdetben a rendszer t´er n´elk¨ uli harmonikus oszcill´ator alap´allapot´aban van. Ezt skal´arisan szorozva a t´er jelenl´et´eben l´ev˝o Hamilton oper´ator saj´at´allapotaival megkaphatjuk a szuperpon´alt ´allapot egy¨ utthat´oit: d n i dp 1 ) e ~ |0i . h0|ni0 = h0| √ (a† + √ 2x0 n! Fejezz¨ uk ki az impuzus oper´atort az eltol´as oper´atorban a l´eptet˝o oper´atorok seg´ıts´eg´evel: d
i
e ~ dp = e x0
(a−a† )
(8.189)
Haszn´aljuk a 1.3. feladatban szerepl˝o Baker-Campbell-Haussdorff formul´at: eA+B = [A,B] eA eB e 2 , amely csak akkor ´erv´enyes ha a [A, [A, B] = [B, [A, B] = 0 felt´etel teljes¨ ul. A mi eset¨ unkben [a, a† ] = 1, ´ıgy az eltol´as oper´ator´at a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel: e
d (a−a† ) x0
−
=e
d2 4x2 0
− xd a†
e
0
d
a
e x0 .
Teh´ at 1 d n i dp h0|ni0 = h0| √ (a† + √ ) e ~ |0i 2x0 n! n−j n 2 X 1 − 4xd 2 n d j − d a† d a √ = √ e 0 h0| (−a† ) e x0 e x0 |0i . j 2x0 n! j=0
191
(8.190)
A jobboldali els˝o exponenci´alis tag sorfejt´es´eben csak a nulladrend˝ u tag marad meg, hiszen az az alap´allapotra hat, a m´asodik exponenci´alisban ´es az o¨sszegz´esban is csak a nulladrend˝ u tagok sz´am´ıtanak az ortogonalit´as miatt: n d2 − 2 1 d 0 √ h0|ni = √ e 4x0 . 2x0 n! A kifejt´esi egy¨ utthat´ok n´egyzet¨osszege egys´egnyi kell, hogy legyen! −
e
hiszen az ¨osszegz´es ´eppen a e
d2 x2 0
d2 2x2 0
2 n ∞ X 1 d = 1, 2 n! 2x 0 n=0
f¨ uggv´eny sora.
A hull´amf¨ uggv´eny a homog´en elektromos t´er bekapcsol´as´anak a pillanat´aban a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti: n d2 ∞ X − 2 d 1 √ √ |φi = e 4x0 |ni0 (8.191) 2x0 n! n=0 Az egyes saj´at´allapotok id˝ofejl˝od´es´et egyszer˝ uen megadhatjuk a saj´atenergi´ak ismeret´eben: i
ϕn (t) = e ~ εn t ,
(8.192)
ennek megfelel˝oen a (8.191) hull´amf¨ uggv´eny id˝ofejl˝od´es´et a k¨ovetkez˝ok´eppen adhatjuk meg: φ(t) = e
− −i( ω 2
E0 )t ~
n d2 ∞ X − 2 1 d √ √ e 4x0 |ni0 e−inωt . 2x0 n! n=0
192
9. fejezet Relativisztikus kvantummechanika 9.1. Elm´ elet 9.1.1. Lorentz-transzform´ aci´ o Az eddigiekt˝ol elt´er˝oen ebben a fejezetben a relativisztikus t´argyal´ashoz jobban illeszked˝o CGS egys´egrendszert haszn´aljuk. A n´egydimenzi´os t´erid˝o-vektorokra (Minkowski-t´er) az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert az (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x, y, z, ict) = (x, ict) jel¨ol´est alkalmazzuk. Az xµ xµ = x21 + x22 + x33 + x44 = x2 −c2 t2 , norm´at megtart´o a = {aµν } homog´en Lorentz-transzform´aci´ora x0µ = aµν xν hogy aT a = I ⇐⇒ aµν aµρ = δνρ .
(9.1)
fenn´all, (9.2)
Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy det (a) = ±1. Val´odi ill. nem val´odi Lorentz transzform´aci´or´ol besz´el¨ unk, ha det (a) = 1 ill. −1. Az ε infinitezim´alis Lorentz transzform´aci´ora, amit az ε a = e ¨osszef¨ ugg´essel defini´alunk, az εT = −ε ⇐⇒ εµν = −ενµ , (εij ∈ R , ha i, j = 1, 2, 3 , εj4 ∈ = , ha j = 1, 2, 3)
(9.3) (9.4)
rel´aci´o teljes¨ ul. A homog´en Lorentz-transzform´aci´okat hat szabad param´eterrel ´ırhatjuk le (h´arom param´eter a koordin´atatengelyek relat´ıv orient´aci´oj´at, h´arom param´eter pedig a k´et inerciarendszer relat´ıv sebess´eg´et hat´arozza meg.) A Hamilton-f¨ uggv´eny, r H (r, p,t) =
2 q m2 c4 + c2 p − A (r, t) + qφ (r, t) , c
(9.5)
ahol m a r´eszecske nyugalmi t¨omege, φ (r, t) a skal´arpotenci´al ´es A (r, t) a vektorpotenci´al. A fenti ¨osszef¨ ugg´est a´t´ırhatjuk a Kµ Kµ = −m2 c2 ,
(9.6) Lorentz-invari´ans alakba, ahol Kµ = pµ − qc Aµ a n´egyes kinetikus impulzus, pµ = p, i Hc a n´egyes kanonikus impulzus ´es Aµ = (A, iφ) a n´egyespotenci´al. 193
9.1.2. A Klein-Gordon-egyenlet A kanonikus kvant´al´as szellem´eben meg˝orizz¨ uk a koordin´ata ´es a kanonikus impulzus oper´atorok felcser´el´esi rel´aci´oj´at, [pµ , xν ] =
~ δµν , i
(9.7)
ez´ert koordin´ata reprezent´aci´oban a n´egyesimpulzus oper´atort a k¨ovetkez˝ok´eppen definia´ljuk, ~ ~ ~ ∇, − ∂t . (9.8) pµ = ∂ µ = i i c Innen a kinetikus impulzus oper´atora ~ q i Kµ = ∇ − A, (i~∂t − qφ) , i c c
(9.9)
amit form´alisan behelyettes´ıtve a Lorentz-invari´ans (9.6) egyenletbe a Klein-Gordon egyenletet nyerj¨ uk: # " 2 q 1 ~ ∇ − A − 2 (i~∂t − qφ)2 ψ (r, t) = −m2 c2 ψ (r, t) . (9.10) i c c Szabad r´eszecsk´ere a fenti egyenlet a 1 2 ∆ − 2 ∂t ψ (r, t) = κ2 ψ (r, t) c
(9.11)
alakra reduk´al´odik, ahol κ = mc/~ a Compton hull´amsz´am. Az egyenlet megold´asa a i (pr − Et) (9.12) ψ (r, t) = N exp ~ s´ıkhull´am, ahol a (9.5) egyenletnek megfelel˝oen teljes¨ ul az E 2 = c2 p2 + m2 c4 rel´aci´o. A Klein-Gordon-egyenlet a hidrog´enatom energiaspektrum´anak finomszerkezet´ere a k´ıs´erleteknek ellentmond´o predikci´ot ad. Az egyenletb˝ol levezethet˝o kontinuit´asi egyenletben a megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´egre a ρ (r, t) =
~ Im (ψ (r, t) ∂t ψ ∗ (r, t)) mc2
(9.13)
kifejez´es ad´odik, mely negat´ıv ´ert´eket is felvehet. A hull´amf¨ uggv´eny skal´ar volta miatt nincsen lehet˝os´eg spin ´ertelmez´es´ere sem, ´ıgy a Klein-Gordon-egyenlet a nulla spin˝ u r´eszecsk´ek (pl. π-mezonok) t´eregyenlete.
9.1.3. A Dirac egyenlet Paul Dirac nyom´an (1928) a hull´amf¨ uggv´eny mozg´asegyenlet´eben pµ line´aris funkcion´alj´at engedj¨ uk meg, ($ + γµ pµ ) ψ = 0 , (9.14) 194
ahol az $ ´es γµ oper´atorok felcser´elhet˝ok a pµ oper´atorokkal. Ezt u ´gy interpret´alhatjuk, hogy a |ψi hull´amf¨ uggv´eny a n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek Hilbert-ter´enek (ahol a pµ oper´atorok hatnak) ´es egy u ´j szabads´agi fokokat reprezent´al´o Hilbert-t´er (ahol az $ ´es γµ oper´atorok hatnak) direktszorzat´anak eleme. Szeretn´enk ugyanakkor, ha ´erv´enyben maradna a relativisztikus energia-impulzus ¨osszef¨ ugg´es, amit a k¨ovetkez˝o kvantummechanikai v´arhat´o ´ert´ek fejez ki, hψ| pµ pµ + m2 c2 I |ψi = 0 , (9.15) ahol I az el˝obb eml´ıtett u ´j Hilbert t´er egys´egoper´atora. Felt´etelezve, hogy a γµ oper´atorok hermitikusak, n´emi algebrai a´talak´ıt´as ut´an az $ = −i mc I egyenl˝os´eg ´es a γµ γν + γν γµ = 2δµν ,
(9.16)
antikommut´ator rel´aci´ok k¨ovetkeznek (Clifford-algebra). 9.1. T´ etel A γµ oper´atorok v´eges, n dimenzi´os ´abr´azol´asaira fenn´all, hogy n p´aros. Bizony´ıt´as. (i) Bel´athat´o, hogy b´armely γµ oper´ator nyoma z´erus. Ugyanis µ 6= ν eset´en, Trγµ = Trγµ γν2 = Trγν γµ γν = −Trγν2 γµ = −Trγµ ,
(9.17)
ahol felhaszn´altuk a nyomk´epz´es ciklikus tulajdons´ag´at. (ii) Mivel γµ2 = I, γµ lehets´eges saj´at´ert´ekei 1 vagy −1. T´etelezz¨ uk fel, hogy m saj´at´ert´ek 1 ´es n − m saj´at´ert´ek −1. Ekkor, Trγµ = m − (n − m) = 2m − n = 0 ,
(9.18)
teh´at n p´aros. Csoportelm´eleti m´odszerekkel is bel´athat´o, hogy n minim´alis ´ert´eke n´egy. A γµ oper´atorok egy lehets´eges 4 × 4-es m´atrixreprezent´aci´oja (standard ´abr´azol´as): I2 0 0 −σj γj = i (j = 1, 2, 3) ´es γ4 = , (9.19) σj 0 0 −I2 ahol σj a szok´asos Pauli m´atrixok ´es I2 a 2×2-es egys´egm´atrix. A Dirac egyenletben szerepl˝o hull´amf¨ uggv´enyek k¨ovetkez´esk´eppen n´egykomponens˝ uek: ψ1 (r, t) ψ2 (r, t) (9.20) ψ (r, t) = ψ3 (r, t) . ψ4 (r, t)
195
9.1.4. A Dirac-f´ ele Hamilton-oper´ ator Dirac egyenlete teh´at szabad r´eszecsk´ere, (γµ pµ − imc) ψ = 0
(9.21)
(γµ ∂µ + κ) ψ = 0
(9.22)
vagy alak´ u. Posztul´aljuk, hogy elektrom´agneses t´er jelenl´ete eset´en a Dirac-egyenletbe a pµ kanonikus impulzusok helyett a Kµ kinetikus impulzusok ´ırhat´ok: (γµ Kµ − imc) ψ = 0 .
(9.23)
K¨onnyen bel´athat´o, hogy a hull´amf¨ uggv´eny
0
ψ = ψ exp
iq Λ ~c
(9.24)
transzform´aci´oj´aval a Dirac egyenlet invari´ans a 1 A0 = A + ∇Λ, φ0 = φ − ∂t Λ −→ c m´ert´ektranszform´aci´o val szemben!
A0µ = Aµ + ∂µ Λ
A Kµ oper´atorok ismert alakj´at behelyettes´ıtve a (9.23) egyenletbe kapjuk, hogy q iq ~ γ p − A + γ4 − ∂t − φ − imc ψ = 0 , c c c melyet ciγ4 −gyel balr´ol szorozva, i h q 2 ciγ4 γ p − A + (−i~∂t + qφ) + γ4 mc ψ = 0 , c majd az id˝o szerinti deriv´altat k¨ ul¨on kezelve nyerj¨ uk a k¨ovetkez˝o egyenletet, h i q 2 i~∂t ψ = ciγ4 γ p − A + qφ + γ4 mc ψ . c Vezess¨ uk be az α ≡ iγ4 γ ´es β ≡ γ4 m´atrixokat. Az αk m´atrixok alakja, I2 0 0 −σk 0 σk 2 αk = i = , 0 −I2 σk 0 σk 0
(9.25)
(9.26)
(9.27)
(9.28)
(9.29)
m´ıg nyilv´anval´oan β=
I2 0 0 −I2
.
(9.30)
Az u ´j m´atrixokkal a Dirac egyenlet az i~∂t ψ = Hψ
(9.31)
alakot o¨lti, ahol a relativisztikus Hamilton-oper´ator, q (9.32) H = c α p − A + qφ + βmc2 , c mely az α ´es β m´atrixok ismeret´eben nyilv´anval´oan hermitikus. Id˝of¨ uggetlen potenci´alok eset´eben, a stacion´arius hull´amf¨ uggv´enyt ψ (r, t) = ψ (r) exp − ~i Et alakban keresve a Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ek probl´em´aj´ahoz, azaz az id˝ot˝ol f¨ uggetlen Dirac-egyenlethez jutunk h i q Hψ (r) = cα p − A + qφ + βmc2 ψ (r) = Eψ (r) . (9.33) c 196
A kontinuit´ asi egyenlet Induljunk ki a Dirac-egyenlet q i~∂t ψ = c α p − A ψ + qφψ + βmc2 ψ c
(9.34)
alakj´ab´ol. Az adjung´alt egyenlet: q − i~∂t ψ † = −c α p + A ψ † α + qφψ † + mc2 ψ † β , c
(9.35)
ahol (9.36) ψ † = (ψ1∗ , ψ2∗ , ψ3∗ , ψ4∗ ) , ∗ ´es felhaszn´altuk, hogy (pψ)† = ~i ∇ψ1 , . . . = − ~i ∇ψ1∗ , . . . = −pψ † . Az els˝o egyenletet ψ † -szal balr´ol, a m´asodikat ψ-vel jobbr´ol beszorozva, majd az ´ıgy nyert k´et egyenletet egym´asb´ol kivonva kapjuk, hogy (9.37) i~ ψ † ∂t ψ + ∂t ψ † ψ = c ψ † αpψ + pψ † αψ ⇓ † ∂t ψ ψ + ∇ cψ + αψ = 0 , (9.38) amib˝ol a megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´eg ´es a´rams˝ ur˝ us´eg megfelel˝o defin´ıci´oj´aval, ρ = ψ † ψ ´es j = cψ † αψ ,
(9.39)
∂t ρ + div j = 0
(9.40)
a kontinuit´asi egyenlet kaphat´o. Nyilv´anval´o, hogy ρ pozit´ıv definit, teh´at a Dirac-egyenlet a´ltal le´ırt r´eszecsk´ere alkalmazhat´o a kvantummechanika val´osz´ın˝ us´egi ´ertelmez´ese. A jµ = (j, icρ) = icψ † γ4 γµ ψ
(9.41)
n´egyes ´arams˝ ur˝ us´egvektorral a kontinuit´asi egyenlet a kovari´ans ∂µ jµ = 0
(9.42)
alakban ´ırhat´o, azaz tetsz˝oleges inerciarendszerben ´erv´enyes.
9.1.5. A Dirac-egyenlet Lorentz-invarianci´ aja Homog´en Lorentz-transzform´aci´o, x0µ = aµν xν , ∂µ0 = aµν ∂ν , A0µ (x0 ) = aµν Aν (x) , hat´as´ara a
γµ
q ~ ∂µ − Aµ (x) − imc ψ (x) = 0 . i c
197
(9.43)
(9.44)
Dirac-egyenlet a k¨ovetkez˝ok´eppen transzform´al´odik: iq 0 0 0 γµ ∂µ − Aµ (x ) − imc ψ 0 (x0 ) = ~c iq γµ aµν ∂µ − Aµ (x) − imc ψ 0 (x0 ) = 0 , ~c
(9.45) (9.46)
ahol ψ 0 (x0 ) a transzform´alt hull´amf¨ uggv´eny. Jel¨olj¨ uk T -vel a transzform´aci´o ´abr´azol´as´at a n´egydimenzi´os Hilbert t´eren, mely ´ertelemszer˝ uen a γµ -hez hasonl´oan 4 × 4-es m´atrix. A hull´amf¨ uggv´eny transzform´aci´oj´at, ψ 0 (x0 ) = T ψ (x) , be´ırva a (9.46) egyenletbe, iq γµ aµν ∂µ − Aµ (x) T − imcT ψ (x) = 0 , ~c majd a (9.44) egyenlet seg´ıts´eg´evel elimin´alva az imcT ψ (x) tagot, a iq (T γµ − γν aνµ T ) ∂µ − Aµ (x) ψ (x) = 0 ~c
(9.47)
(9.48)
(9.49)
egyenletet kapjuk. Tetsz˝oleges hull´amf¨ uggv´eny ´es n´egyespotenci´al eset´en ez csak u ´gy teljes¨ ulhet, ha megk¨ovetelj¨ uk a T γµ − γν aνµ T 7 =0
(9.50)
T γµ T −1 = γν aνµ .
(9.51)
egyenl˝os´eget, azaz −1
T
Kihaszn´alva, hogy a = a , a fenti ¨osszef¨ ugg´es a´t´ırhat´o a T
−1
γµ T = aµν γν
(9.52)
alakra. Ez a γν m´atrixok (oper´ator ´ert´ek˝ u vektorok) transzform´aci´os szab´alya. Bel´athat´o, hogy a (9.51) egyenlet megold´asa: 1
T = e 4 εµν γµ γν .
(9.53)
Mivel 1 1 1 εµν γµ γν = εµν γµ γν + ενµ γν γµ 4 8 8 1 1 = εµν (γµ γν − γν γµ ) = εµν [γµ , γν ] 8 8 a T transzform´aci´o a
i
T = e ~ Sµν εµν
(9.54) (9.55)
(9.56)
form´aban is ´ırhat´o, ahol ~ [γµ , γν ] , 8i a hull´amf¨ uggv´eny Lorentz-transzform´aci´oj´anak infinitezim´alis gener´atora. Sµν =
198
(9.57)
9.1.6. Fizikai mennyis´ egek Lorentz-transzform´ aci´ oja Az O hermitikus oper´atorral megadott fizikai mennyis´egnek egy adott ψ a´llapotban a Minkowski-t´eren ´ertelmezett s˝ ur˝ us´ege, O (x) = ψ (x)† Oψ (x) .
(9.58)
O (x) Lorentz-transzform´aci´oval szembeni viselked´es´enek vizsg´alat´ahoz c´elszer˝ u bevezetni a hull´amf¨ uggv´eny Dirac-adjung´altj´at, ψ (x) = ψ (x)† γ4 ,
(9.59)
O (x) = ψ (x) γ4 O ψ (x) .
(9.60)
mellyel ´Igy pl. a val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg ´es az ´arams˝ ur˝ us´eg ill. a n´egyes ´arams˝ ur˝ us´eg rendre a % (x) = ψ (x) γ4 ψ (x) , jk (x) = icψ (x) γk ψ (x) (k = 1, 2, 3) , jµ (x) = j (x) , ic% (x) = icψ (x) γµ ψ (x) ,
(9.61) (9.62)
form´aban ´ırhat´ok. Bel´athat´o, hogy a Lorentz-transzform´aci´o (9.53) a´br´azol´as´ara fenn´all a k¨ovetkez˝o: T + γ4 = γ4 T −1 .
(9.63)
Emiatt az O (x) s˝ ur˝ us´eg transzform´altja: O0 (x0 ) = ψ 0 (x)+ O ψ 0 (x0 ) = [T ψ (x)]+ OT ψ (x) = ψ (x)+ T + OT ψ (x) = ψ (x)+ T + γ4 γ4 OT ψ (x) = ψ (x)+ γ4 T −1 γ4 OT ψ (x) = ψ (x) T −1 γ4 OT ψ (x) .
(9.64)
A (9.51) ´es (9.64) egyenletek alapj´an, jµ0 (x0 ) = icψ (x) T −1 γµ T
ψ (x)
= icψ (x) (aµν γν ) ψ (x) = aµν icψ (x) γν ψ (x) = aµν jν (x) ,
(9.65)
teh´at a n´egyes a´rams˝ ur˝ us´eg vektork´ent transzform´al´odik.
9.1.7. T´ erbeli forgat´ asok ´ es a spin Az n egys´egvektorral defini´alt tengely k¨or¨ uli ϕ sz¨og˝ u t´erbeli forgat´as m´atrixa, R (ϕ, n) = exp (−inXϕ) ,
(9.66)
ahol (Xk )ij = −iεijk 199
(k = 1, 2, 3) .
(9.67)
Az infinitezim´alis Lorentz-transzform´aci´o m´atrixa teh´at, εij = εijk nk ϕ
(i, j = 1, 2, 3) , εµ4 = ε4µ = 0
(µ = 1, 2, 3, 4) ,
(9.68)
melynek a´br´azol´asa a 4-dimenzi´os Hilbert-t´eren, 1 1 i τ = εµν γµ γν = − εijk γj γk nk ϕ = − nSϕ , 4 4 ~ ahol Si = −
i~ ijk γj γk , 4
(9.69)
vagy ~ ~ ~ S1 = − iγ2 γ3 , S2 = − iγ3 γ1 , S3 = − iγ1 γ2 , 2 2 2 N´ezz¨ uk meg az Si m´atrixok felcser´el´esi rel´aci´oit: 2 2 i~ i~ [S1 , S2 ] = [γ2 γ3 , γ3 γ1 ] = (γ2 γ3 γ3 γ1 − γ3 γ1 γ2 γ3 ) 2 2 2 i~ = −2 γ1 γ2 = i~S3 , 2
(9.70)
(9.71) (9.72)
´es ugyan´ıgy, [S2 , S3 ] = i~S1 , [S3 , S1 ] = i~S2
(9.73)
[Si , Sj ] = i~εijk Sk .
(9.74)
azaz A t´erbeli forgat´asok S infinitezim´alis gener´atora teh´at egy impulzus momentum oper´ator, amit spinnek nevez¨ unk. Mi ennek a spinnek az ´ert´eke? S12
~2 ~2 = − γ2 γ3 γ2 γ3 = I 4 4
(9.75)
´es ugyan´ıgy S22 = S32 =
~2 I, 4
(9.76)
teh´at
1 3~2 I = ~2 s (s + 1) I =⇒ s = . (9.77) 4 2 A Dirac-egyenlet a´ltal le´ırt hull´amf¨ uggv´eny komponenseit a t´erbeli forgat´asok hat´as´ara egy 12 -es saj´at´ert´ek˝ u impulzusmomentum (spin) oper´ator transzform´alja. Ezt u ´gy ´ertel1 mezz¨ uk, hogy az elektron s = 2 spinnel rendelkezik. S2 =
A γµ m´atrixok standard a´br´azol´asait haszn´alva k¨onnyen bel´athat´o, hogy S= ahol
Σ=
~ Σ, 2
σ 0 0 σ 200
(9.78) .
(9.79)
A hull´amf¨ uggv´eny transzform´aci´oja t´erbeli forgat´asra teh´at, i 0 ψ (R (ϕ, n) r, t) = exp − nSϕ ψ (r, t) ~ illetve
i ψ (r, t) = exp − nSϕ ~ 0
(9.80)
ψ (R (−ϕ, n) r, t) .
(9.81)
i ψ (R (−ϕ, n) r, t) = exp − nLϕ ψ (r, t) , ~
(9.82)
A 4.1.1 fejezetben bizony´ıtottuk, hogy
ahol L = r × p a (p´alya)perd¨ ulet oper´atora, ez´ert a n´egykomponens˝ u hull´amf¨ uggv´eny (teljes) transzform´aci´oja a t´erbeli forgat´asokkal szemben, i 0 ψ (r, t) = exp − nJϕ ψ (r, t) , (9.83) ~ azaz a relativisztikus kvantumelm´eletben a t´erbeli forgat´asok infinitezim´alis gener´atora a J=L+S
(9.84)
teljes impulzusmomentum oper´ator.
9.1.8. A szabad elektron Z´erus vektor- ´es skal´arpotenci´al eset´en a (9.33) egyenlet, mc2 I2 cσˆ p ψ (r) = W ψ (r) , cσˆ p −mc2 I2
(9.85)
megold´as´at kereshetj¨ uk a
i
ψ (r) = U e ~ pr
u1 u2 i pr ~ = u3 e u4
(9.86)
s´ıkhull´am alakban. Behelyettes´ıt´es ut´an a H (p) U = W U m´atrix saj´at´ert´ekegyenletet kapjuk, ahol mc2 I2 cσp H (p) = . cσp −mc2 I2
(9.87)
(9.88)
Nemtrivi´alis (U 6= 0) megold´as csak akkor l´etezik, ha a szekul´aris m´atrix determin´ansa, det (W − H (p)), elt˝ unik. Kihaszn´alva a (σp) (σp) = p2 I2 azonoss´agot, (9.89) W − mc2 W + mc2 − c2 p2 = 0 . 201
Innen a szabad r´eszecske energi´aja a W =±
p m2 c4 + c2 p2
(9.90)
´ert´ekeket veheti fel. R¨oviden megjegyezz¨ uk, hogy p = 0 eset´en (´all´o r´eszecske) mindk´et pozit´ıv ´es mindk´et negat´ıv energi´as megold´asokb´ol a koordin´atarendszer b´armely tengely´ere vonatkoztatva hat´arozott, ±~/2 spin˝ u ´allapotok keverhet˝ok ki, hiszen [H (0) , Σ] = 0 .
(9.91)
´Igy a hull´amf¨ uggv´eny n´egy komponens´et interpret´alhatjuk u ´gy is, mint elektron fel spin, elektron le spin, pozitron fel spin ´es pozitron le spin komponens. Mozg´o r´eszecske eset´en (p 6= 0) , mc2 I2 ~cσp σp 0 , =0, (9.92) ~cσp −mc2 I2 0 σp ez´ert a megold´asok a h=
Σp p
(9.93)
´ is megfogalmazhatjuk, hogy u ´n. helicit´asoper´ator saj´at´ert´ekeivel (±1) indexelhet˝ok. Ugy ekkor a spinnek a halad´as ir´any´ara es˝o vet¨ ulete vesz fel ±~/2 ´ert´eket.
9.1.9. A nem-relativisztikus ko es ¨zel´ıt´ Id˝of¨ uggetlen potenci´alok eset´eben a cαK + qφ + βmc2 ψ = W ψ
(9.94)
stacion´arius Dirac egyenlet megold´as´at bontsuk fel k´et (egyenk´ent k´et-komponens˝ u) r´eszre, χ ψ= , (9.95) ϕ ahol χ ´es ϕ az u ´n. nagy- ´es kiskomponens. A (9.94) egyenletet komponensenk´ent fel´ırva, W − mc2 − qφ χ − cσKϕ = 0 , (9.96) 2 W + mc − qφ ϕ − cσKχ = 0 , (9.97) a m´asodik egyenletb˝ol a ϕ kiskomponens kifejezhet˝o, −1 ϕ = W + mc2 − qφ cσKχ .
(9.98)
A szabad r´eszecske megold´asok mint´aj´ara, a pozit´ıv energi´as megold´ast vizsg´alva alkalmazhatjuk a W + mc2 − qφ ' 2mc2 k¨ozel´ıt´est: ϕ=
1 σKχ . 2mc 202
(9.99)
Ezt visszahelyettes´ıtve a (9.96) egyenletbe ´es haszn´alva a E = W − mc2 jel¨ol´est, valamint alkalmazva a σl σk = δlk +iεlkj σj ´es K×K = − ~q B o¨sszef¨ ugg´eseket, a χ nagykomponensre ic a szok´asos Pauli-Schr¨odinger-egyenletet kapjuk a spin-param´agneses j´arul´ekot is bele´ertve, E χ = HP χ ,
(9.100)
ahol a Pauli-Schr¨odinger Hamilton-oper´ator, HP =
1 2 ~q K + qφ + σB . 2m 2mc
(9.101)
A spin-m´ agnesezetts´ egi ´ arams˝ ur˝ us´ eg Ebben a k¨ozel´ıt´esben a relativisztikus val´osz´ın˝ us´egi ´arams˝ ur˝ us´eg a j = cψ † αψ = c χ† σϕ + ϕ† σχ h i 1 † = χ σ (σK) χ + (Kχ)† σ σχ , 2m
(9.102)
alakban ´ırhat´o, mely a Pauli m´atrixok algebr´aj´at haszn´alva k´et r´eszre bonthat´o: j = jnr + jm , ahol
1 † χ Kχ + (Kχ)† χ 2m
(9.104)
i † χ (K × σ) χ − (Kχ)† × σχ . 2m
(9.105)
jnr = ´es jm =
(9.103)
K = ~i ∇− qc A behelyettes´ıt´essel a jnr ≡
~ q † χ† ∇χ − ∇χ† χ − χ Aχ , 2im mc
(9.106)
kifejez´est nyerj¨ uk, ami val´oban megegyezik a nemrelativisztikus eredm´ennyel (l. 8 Fejezet). Az a´rams˝ ur˝ us´eg m´asodik tagj´ab´ol a val´os vektorpotenci´al elt˝ unik ´es ~ † χ (∇ × σ) χ + ∇χ† × σχ i ~ c ∇ × χ† σχ = − rot χ† Msp χ , = 2m e
jm =
(9.107)
~e ahol Msp = − 2mc σ a spin-m´agnesezetts´eg oper´atora. A val´osz´ın˝ us´egi a´rams˝ ur˝ us´eg ezen r´esze teh´at a spin-m´agnesezetts´eg s˝ ur˝ us´eg rot´aci´oj´aval ar´anyos, ez´ert divargenciamentes ´es nem jelenik meg a kontinuit´asi egyenletben.
203
A Hamilton-oper´ ator relativisztikus korrekci´ oi A hull´amf¨ uggv´eny kiskomponens´enek (9.98) kifejez´es´eben alkalmazott sorfejt´esben tov´abbl´epve, 1 E − qφ ϕ' 1− cσKχ , (9.108) 2mc2 2mc2 majd im´etelten visszahelyettes´ıtve a (9.96) egyenletbe, n´emi ´atrendez´es ut´an a nagykomponensre az 1 σK (E − qφ) σK χ 4m2 c2 1 ' HP χ − σK (HP − qφ) σK χ , 4m2 c2
Eχ = HP χ −
(9.109) (9.110)
egyenletet nyerj¨ uk, melyben a Pauli-Schr¨odinger Hamilton-oper´ator mellett megjelenik 2 egy 1/c -tel ar´anyos korrekci´o. A r´eszletes levezet´est mell˝ozve, melyben a kiskomponens norm´aj´at is 1/c2 rendben figyelembevessz¨ uk, a k¨ovetkez˝o saj´at´ert´ekegyenlethez jutunk: (HP + HM + HD + Hsp ) χ = Eχ ,
(9.111)
ahol
1 K4 , (9.112) 3 2 8m c a kinetikus energia relativisztikus t¨omegn¨oveked´es k¨ovetkezt´eben fell´ep˝o korrekci´oja, HM = −
HD =
~2 ∆ (qφ) , 8m2 c2
(9.113)
a Darwin-tag, mely a potenci´alis energia klasszikus anal´ogi´aval nem rendelkez˝o korrekci´oja ´es ~q (9.114) Hsp = − 2 2 σ (E × K) 4m c a spin-p´alya k¨olcs¨onhat´as. Ez ut´obbi elnevez´est legink´abb u ´gy ´erthetj¨ uk meg, hogy centr´alis potenci´alra az elektromos t´erer˝oss´eg, E = −∇φ (r) = −
dφ (r) r , dr r
(9.115)
´es a kinetikus impulzus kifejez´es´eben a − qc A tagot elhanyagolva a Hsp =
~q 1 dφ (r) q 1 dφ (r) σ (r × p) = LS , 2 2 4m c r dr 2m2 c2 r dr
(9.116)
kifejez´es ad´odik. A spin-p´alya k¨olcs¨onhat´asnak els˝osorban nagyobb rendsz´am´ u elemek eset´en ill. szil´ardtestekben a k¨ot¨ott (atommaghoz k¨ozeli) p´aly´ak spin-p´alya j = ` ± 12 felhasad´as´aban van szerepe. M´agneses anyagokban ugyancsak els˝osorban a spin-p´alya k¨olcs¨onhat´as felel˝os az u ´n. m´agneses anizotr´opia jelens´eg´e´ert.
204
9.2. Feladatok 9.2.1. P´ eld´ ak 9.1. Feladat Bizony´ıtsa be, hogy (γµ γν )2 = −I jel¨ oli!
(µ 6= ν), ahol γµ a Dirac m´atrixokat
9.2. Feladat Bizony´ıtsuk be, hogy ~ dJ = (r × ∇(qφ)) , dt i
(9.117)
ahol J = L + S ´es S = ~2 Σ. Haszn´aljuk a relativisztikus Hamilton oper´ator H = cαp + βmc2 + qφ
(9.118)
alakj´at! 9.3. Feladat Tekints¨ unk egy elektrom´agneses t´erben mozg´o m t¨omeg˝ u, q t¨olt´es˝ u relativisztikus r´eszecsk´et A kvantummechanikai id˝oderiv´alt seg´ıts´eg´evel mutassa meg, hogy a sebess´eg oper´ator dr v≡ = cα dt valamint dK q F≡ = v × B + qE . dt c Seg´ıts´ eg:.
dO dt
=
i ~
[H, O] +
∂O , ∂t
B = rot A, E = −∇φ −
1 ∂A c ∂t
9.4. Feladat Vezess¨ uk le a Zitterbewegung” jelens´eg´et! Vizsg´aljunk egy szabadon mozg´o ” relativisztikus r´eszecsk´et, ´es sz´am´ıtsuk ki a sebess´eg oper´ator id˝oderiv´altj´at! Oldjuk meg a kapott els˝orend˝ u k¨oz¨ons´eges (oper´ator ´ert´ek˝ u) differenci´alegyenletet, majd a hely oper´atort hat´arozzuk meg ennek id˝ointegr´aljak´ent! Milyen u ´j tag jelenik meg az egyens vonal´ u egyenletes mozg´ast le´ır´o r´esz mellett? Adjunk nagys´agrandi becsl´est megjelen˝o u ´j id˝o-´es hosszsk´al´akra! Seg´ıts´ eg:. A levezet´eskor haszn´aljuk fel az α ´es β m´atrixok anitkommut´atorait: {αk , α` } = 2δk,` , {αk , β} = 0. Vezess¨ uk be a Vk = c2 pk H −1 (szabad r´eszecsk´ere) id˝of¨ uggetlen oper´atort! 9.5. Feladat Klein paradoxon: Vizsg´aljuk meg, hogy hogyan sz´or´odik egy relativisztikus kvantuumechanika szerint mozg´o r´eszecske egy v´egtelen sz´eles V0 magas potenci´all´epcs˝on: 1 ( 0 i pz 0, ha x < 0 e ~ , (9.119) V (x) = Ψi = A pc 2 V0 , ha x > 0 E+mc 0 ahol Ψi a bej¨ov˝o r´eszecske hull´amf¨ uggv´enye. Sz´am´ıtsuk ki a reflexi´os ´es transzmisszi´os egy¨ utthat´okat. Mik ezek lehets´eges ´ert´eke V0 f¨ uggv´eny´eben? 205
9.2.2. Megold´ asok 9.1 Megold´ as Tekints¨ uk el˝osz¨or a µ 6= ν = 1, 2, 3 esetet: 0 −σµ 0 −σν σµ σν 0 iσλ 0 γµ γν = i i = = σµ 0 σν 0 0 σµ σν 0 iσλ
(9.120)
Mivel σµ2 = I2
2
(γµ γν ) =
iσλ 0 0 iσλ
2
=−
I2 0 0 I2
= −I4
(9.121)
Ha ν = 4, akkor 2 2 0 −σµ I2 0 0 σµ I2 0 2 (γµ γ4 ) = i =− =− = −I4 σµ 0 0 −I2 σµ 0 0 I2 (9.122) 9.2 Megold´ as Z´erus vektorpotenci´alt v´eve a Hamilton oper´ator H = cαp + βmc2 + qφ
(9.123)
alak´ u. Ekkor [H, Li ] = [cαp + qφ, εijk xj pk ]
,
(9.124)
hiszen Li kommut´al βmc2 -tel. (Az Li oper´ator a n´egyesvektorok ter´en egys´egoper´atork´ent hat, ez´ert val´oj´aban Li ⊗ I-t kellene ´ırnunk.) A fenti kommut´atort k´et r´eszre bontva, [cαl pl , εijk xj pk ] = cεijk αl [pl , xj pk ] = cεijk αl ([pl , xj ]pk − xj [pl , pk ]) | {z } | {z } 0
~ δ i lj
=
~c (α × p)i i
(9.125)
[qφ, εijk xj pk ] = qεijk [φ, xj pk ] = qεijk ([φ, xj ]pk − xj [φ, pk ]) | {z } | {z } 0
=
~q (r × ∇φ)i i
− ~i ∂k φ
,
(9.126)
kapjuk, hogy ~ [c (α × p) + q (r × ∇φ)] , (9.127) i melyb˝ol centr´alis potenci´alra csak a m´asodik tag t˝ unik el. Relativisztikus esetben centr´alis potenci´alra a p´alya-impulzusmomentum nem mozg´as´alland´o! [H, L] =
Bizony´ıtjuk, hogy centr´alis potenci´al eset´en a teljes impulzusmomentum J=L+S
(9.128)
mozg´as´alland´o, ahol ~ ~ S= Σ= 2 2
206
σ 0 0 σ
(9.129)
a spin-oper´ator. Ugyanis [H, Si ] =
~c ~c [αl pl , Σi ] = pl [αl , Σi ] = 2 2
~c = pl 2
~c = pl 2
=−
0 σl σl 0
σi 0 0 σi
0 [σl , σi ] [σl , σi ] 0
~c (α × p)i i
−
σi 0 0 σi
= i~cεlik pl
0 σk σk 0
0 σl σl 0
.
(9.130)
´ıgy teh´at dJ ~q = (r × ∇φ) dt i ami centr´alis potenci´alra val´oban z´erus.
,
(9.131)
9.3 Megold´ as A sebess´eg oper´ator kifejez´ese: i i d xk = [H, xk ] = cαK + βmc2 + qφ, xk = dt ~ ~ i i = c [αK, xk ] = cα` [K` , xk ] = cα` δk` = cαk | {z } ~ ~
vk =
~ δ i k`
Az er˝o oper´ator alakja: Fj =
i ∂Kj i d i Kj = [H, Kj ] + = cαi [Ki , Kj ] + q [Φ, Kj ] = | {z } ~ dt ~ ∂t ~
(9.132)
− ~i εijk Bk
∂Aj ∂Aj = − cαi εijk Bk − q(∇Φ)j − q = − εijk vi Bk −q(∇Φ)j − q = |{z} | {z } ∂t ∂t
(9.133)
= q(v × B)j + qEj
(9.134)
vi
−(v×B)j
Vagyis ´epp a Lorentz er˝ot kapjuk. 9.4 Megold´ as Tekints¨ uk a szabad r´eszecske Heisenberg-k´epbeli sebess´egoper´ator´anak (9.132) alakj´at, ´es n´ezz¨ uk meg ennek az id˝oderiv´altj´at: ic d i ic vk = [H, vk ] = cα` p` + βmc2 , αk = cp` [α` , αk ] + mc2 [β, αk ] dt ~ ~ ~
(9.135)
Az ebben megjelen˝o kommut´atorok: [α` , αk ] = α` αk − αk α` = α` αk + αk α` − 2αk α` = 2δk` I2 − 2αk α` [β, αk ] = βαk − αk β = βαk + αk β − 2αk β = −2αk β 207
(9.136) (9.137)
Teh´ at
2ic d ic cpk − αk cp` α` + mc2 β (9.138) vk = cp` (2δk` I2 − 2αk α` ) − 2mc2 αk β = dt ~ ~ {z } | H
Tekints¨ uk most a speci´alis relativit´as impulzus ´es energia kifejez´es´et: mc2 E=q 2 1 − Vc2
mV p= q , 2 1 − Vc2
⇒
V=
c2 p , E
(9.139)
ahol V a relativisztikus r´eszecske sebess´ege. Vezess¨ uk most be ennek mint´aj´ara a Vˆk = ˆ −1 oper´atort, mely mivel csak pˆ-t ´es H-t ˆ tartalmazza, kommut´al H-val, ˆ c2 pˆk H ´ıgy id˝oben alland´o. Ezzel ´ d d 2i vk = (vk − Vk ) = − (vk − Vk ) H (9.140) dt dt ~ A differenci´alegyenlet megold´asa: vk (t) − Vk = (vk (0) − Vk ) e−i
2H t ~
vk (t) = Vk + (vk (0) − Vk ) e−iΩt ,
⇒
(9.141)
ahol bevezett¨ uk az Ω = 2H frekvencia dimenzi´oj´ u oper´atort. A speci´alis relativi´aselm´eletb˝ol ~ egyszer˝ uen csak vk = Vk -t v´arn´ank, azonban a relativisztikus kvantummechanika ett˝ol elt´er˝o eredm´enyt ad. A konstans tagra r´arak´odik egy Ω frekvenci´aval rezg˝o tag is. A koordin´ata oper´atort id˝obeli integr´al´assal kapjuk: xk (t) = xk (0) + Vk t + (vk (0) − Vk ) iΩ−1 e−iΩt − 1 , (9.142) ahol az egyenesvonal´ u egyenletes mozg´ast le´ır´o els˝o k´et tag mellett megjelent az Ω frekvenci´aj´ u rezeg´es, melyet Erwin Schr¨odinger nyom´an Zitterbewegung”-nak (remegve moz” g´ as) nevez¨ unk. Az Ω frekvencia ´ert´ek´ere nagys´agrendi becsl´est adhatunk, ha kis sebess´egek eset´en az elektron energi´aj´at a nyugalmi energi´aval me c2 = 511keV k¨ozel´ıtj¨ uk, ´ıgy ˜ = 1021 Hz-et kapunk, ami jelenleg k´ıs´erletileg nem m´erhet˝o tartom´any. A ZitterbewegΩ ~ ˚ = λc ∼ 10−13 m = 10−3 A, ung amplit´ ud´oja pedig a k¨ovetkez˝ok´epp becs¨ ulhet˝o: A ∼ VΩ˜ ∼ mc vagyis a hidrog´enatom m´eret´enek ezrede, amely szint´en a m´er´esi lehet˝os´egeinket meghalad´ o hosszsk´ala. Megjegyezz¨ uk m´eg, hogy a zitterez´est” ad´o tag v´arhat´o ´ert´eke elt˝ unik ” kiz´ ar´olag pozit´ıv (elektron) vagy kiz´ar´olag negat´ıv (pozitron) energi´as energiasaj´at´allapotokb´ ol kikevert ´allapotokban. 9.5 Megold´ as Osszuk a tartom´anyt 2 r´eszre: I: z<0
II : z > 0
E 2 = p2 + m2 c4 ⇓ (cα3 pz + βmc2 ) Ψ = EΨ
(E − V0 )2 = p02 + m2 c4 ⇓ 2 (cα3 pz + βmc ) Ψ = (E − V0 )Ψ
(9.143)
Megjegyezz¨ uk, hogy E − mc2 < V0 < E + mc2 eset´en p02 < 0, teh´at p0 = i=p0 . A balr´ol bees˝ o hull´am Ψi : 1 0 i pz ~ Ψi = A (9.144) pc 2 e , E+mc 0 208
ami teljes´ıti az I tartom´any Dirac-egyenlet´et. Legyen a balra men˝o visszavert hull´am Ψr , illetve a jobbra men˝o transzmitt´alt Ψt . Keress¨ uk ezeket is s´ıkhull´am alakban: 1 1 0 −i pz i p0 z 0 e ~ e ~ 0c Ψr = B Ψ = C (9.145) −pc t p 2 2 E+mc E−V0 +mc 0 0 z = 0-n´al a hull´amf¨ uggv´eny folytonoss´ag´ab´ol a k¨ovetkez˝o k´et egyenletet kapjuk: ( A+B =C pc pc p0 c A − E+mc 2 B = E−V +mc2 C E+mc2 0
(9.146)
A m´asodik egyenletet tov´abbalak´ıtva: pc p0 c p0 c (A − B) = C = − C E + mc2 E − V0 + mc2 V0 − E − mc2 A−B =−
p0 E + mc2 C p V0 − E − mc2 | {z }
(9.147) (9.148)
r
A peremfelt´etelekb˝ol azt kapjuk teh´at, hogy ( A+B =C A − B = −rC Innen
(9.149)
( A = C 1−r 2 B = C 1+r 2
Azaz
(
B A C A
= =
(9.150)
1+r 1−r 2 1−r
(9.151)
Ellen˝orz´es¨ ul a j = cΨ† α3 Ψ ´arams˝ ur˝ us´egek: 2pc2 , ji = |A| E + mc2 2
−2pc2 jr = |B| , E + mc2 2
2
(9.152)
Innen a (7.72) ´es (7.74) egyenletekben defini´alt reflexi´os ´es transzmisszi´os egy¨ utthat´o: 2 jr |B|2 1 + r jt |C|2
|1 + r|2 1− |1 − r|2
!
= ji
4
= jt
(9.154)
Vagy m´ask´epp ´ırva 1 + r 2 − 4
(9.155)
Teh´ at teljes¨ ul a kontinuit´asi egyenlet. Alak´ıtsuk r kifejez´es´et tov´abb: r p0 E + mc2 (V0 − E)2 − m2 c4 E + mc2 r = = · = p V0 − E − mc2 E 2 − m 2 c4 V0 − E − mc2 s s (V0 − E)2 − m2 c4 (E + mc2 )2 [V0 − (E − mc2 )](E + mc2 ) · = ± = ± E 2 − m2 c4 (V0 − E − mc2 )2 [V0 − (E + mc2 )](E − mc2 ) V0 k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekei mellett meghat´arozhatjuk r, R illetve T lehets´eges ´ert´ekeit, amelyeket a 9.1 t´abl´azatban foglaltunk o¨ssze, R v´altoz´asa V0 f¨ uggv´eny´eben pedig a 9.1 ´abr´an l´athat´o.
nincs sz´or´as norm´al sz´or´as teljes visszaver˝od´es magas l´epcs˝o v´egtelen l´epcs˝o
V0 0 0 < V0 < E − mc2 V0 = E − mc2 E − mc2 < V0 < E + mc2 V0 = E + mc2 E + mc2 < V0
r −1 −1 < r < 0 0 ir0 q0
r> q
V0 → ∞
R 0 0
E+mc2 E−mc2
E+mc2 E−mc2
T 1 0
R>1 √
2 √ 2 2 √E+mc +√E−mc E+mc2 − E−mc2
√
−
4 (E+mc2 )(E−mc2 ) √ √ 2 ( E+mc2 − E−mc2 )
9.1. t´abl´azat.
Az E − mc2 < V0 < E + mc2 tartom´anyban p0 = i=p0 , azaz a jobb oldalon egy exponencialisan elhal´o evaneszcens hull´am van csak. Vil´agos, hogy V0 > E + mc2 eset´en R > 1. Ez ´ u ´gy lehets´eges, hogy ebben a tartom´anyban olyan nagy energi´aj´ u a potenci´alg´at, hogy k´epes p´arkelt´esre. Elektron-pozitron p´arok keletkezhetnek, ´ıgy lehets´eges, hogy t¨obb elektron ver˝ odik vissza, mint amennyi bement. Ek¨ozben pozitronok haladnak a potenci´alg´at alatt jobbra, ´ıgy a transzmissz´os egy¨ utthat´o negat´ıv.
210
T <0
9.1. a´bra. Az R reflexi´os egy¨ utthat´o a V0 f¨ uggv´eny´eben relativisztikus (fekete folytonos vonal) ´es nem relativisztikus (z¨old szaggatott vonal, l´asd: 7.1 feladat)
211
Irodalomjegyz´ ek [1] Apagyi Barnab´as: Kvantummechanika (M˝ uegyetemi Kiad´o, Budapest, 1996). [2] F. Constantinescu ´es Eugen Magyari: Kvantummechanika, Feladatok (Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1972). [3] G´alfi L´aszl´o, R´acz Zolt´an: Elm´eleti Fizika P´eldat´ar 3. (Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1983). [4] Petz D´enes: Lin´aris anal´ızis (Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 2002). [5] L. E. Ballentine: Quantum Mechanics: A modern development (World Scientific, Singapore, 1998). [6] A. Messiah: Quantum Mechanics I. & II. (Elsevier, Amsterdam, 1991). [7] L. D. Landau, E. M. Lifsic: Elm´eleti Fizika III. Kvantummechanika, Nemrelativisztikus elm´elet (Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1978).
212
