A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika ´altal´anos formalizmusa

October 4, 2006 Jelen fejezet¨ unk c´elja bevezetni egy ´altal´ anos matematikai formalizmust amelynek seg´ıts´eg´evel a v´egtelen dimenzi´ os vektorterek eleg´ansan t´ argyalhat´ok. Az elemi kvantummechanika kurzus keret´eben l´ attuk, hogy egy tetsz˝ olges kvantummechanikai rendszer ´ allapot´at egy hull´ amf¨ uggv´ennyel tudtuk jellemezni. Ez a hull´ amf¨ uggv´eny egy v´egtelen dimenzi´ os vektort´ernek, az u ´ gynevezett L2 Hilbert t´ernek volt eleme. A kvantummechanika ´altal´ anos formalizmus´anak (m´ asn´even a Dirac formalizmus) keret´eben a kvantummechanikai rendszer ´allapot´at egy altal´ ´ anos, v´egtelen dimenzi´ os vektorral fogjuk le´ırni. Ennek a vektornak v´egtelen sok, k¨ ul¨onb¨ oz˝o reprezent´ aci´ oja lehet melyek k¨oz¨ ul az egyik speci´ alis reprezent´ aci´ o fogja megadni a hullamf¨ uggv´enyt. Feladatunk teh´at a kvantummechanik´ anak egy ´ altal´ anosabb megfogalmaz´asa (Dirac formalizmus) amely speci´ alis esetk´ent fogja tartalmazni az elemi kvantummechanik´ aban tanult hull´ ammechanik´ at is.

1

V´ egtelen dimenzi´ os vektorterek ´ altal´ anos formalizmusa

1.1

A ”bra” ´ es ”ket” vektorok

A lehets´eges kvantummechanikai ´allapotok ¨osszes´ege egy v´egtelen dimenzi´ os vektorteret defini´ al. Ezen t´erben egy vektor egy lehets´eges kvantummechanikai allapotnak felel meg. A v´egtelen dimenzi´ ´ os t´erben ´ertelmezett vektorokat r¨ oviden ’ket’ vektoroknak nevezz¨ uk. A megnevez´es az angol ’bracket’ (z´ar´ojel) sz´ob´ ol ered, amely sz´ ob´ ol k´et u ´ j fogalmat alkotott Dirac, amikor a vektorokat ’ket’nek, ´es a hozz´ ajuk rendelt ’du´alis’ vektorokat (k´es˝obb megl´ atjuk mik is ezek) ’bra’-nak nevezte el. Egy ’ket’ vektort a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırunk: |ai

(1)

A vektort´er elemei kommutat´ıv (Abel f´ele) csoportot alkotnak (|ai + |bi) + |ci = |ai + (|bi + |ci), ∃|0i : |0i + |ai = |ai + |0i = |ai, ∀|ai

(2) (3)

∀|ai : ∃(−|ai) : |ai + (−|ai) = |0i |ai + |bi = |bi + |ai,

(4) (5)

1

´es ´ertelmezett egy komplex skal´arral (λ ∈ C) val´o szorz´ as az al´abbi m´odon: λ(|ai + |bi) = λ|ai + λ|bi (λ1 + λ2 )|ai = λ1 |ai + λ2 |ai

(6) (7)

(λ1 λ2 )|ai = λ1 (λ2 |ai) 1|ai = |ai.

(8) (9)

A fentiek alapj´ an a k¨ovetkez˝o tulajdons´ agok bizony´ıthat´ok: 1. 0|ai = |0i Bizony´ıt´ as: λ|ai = (λ + 0)|ai = λ|ai + 0|ai

(10)

Mindk´et oldalhoz most hozz´ adva a −λ|ai ´ert´eket, azonnal k¨ovetkezik, hogy |0i = 0|ai

(11)

λ|ai = λ(|ai + |0i) = λ|ai + λ|0i → λ|0i = |0i

(12)

2. λ|0i = |0i Bizony´ıt´ as:

3. λ|ai = |0i → λ = 0 vagy |ai →= |0i A bizony´ıt´ as az el˝ obbiek alapj´an nyilv´anval´o! Definici´ o: A |a1 i, |a2 i, ..., |an i vektorok line´ arisan f¨ uggetlenek, hogyha fenn´all k¨ozt¨ uk a k¨ovetkez˝o ekvivalencia: N X

λi |ai i = |0i ⇔ λ1 = λ2 = ... = λN = 0

(13)

i=1

A ’ket’ vektorok sokas´ aga egy line´aris vektorteret ´ertelmez. A vektort´ er dimenzi´ oja a legnagyobb sz´am´ u line´arisan f¨ uggetlen ’ket’ vektorok sz´ama. Legyen ǫ egy N dimenzi´ os vektort´er (minket ´altal´ aban a v´egtelen dimenzi´ os vektorterek ´erdekelnek). Ebben a vektort´erben ´ertelmezhet˝o egy b´ azisvektor sokas´ ag amelynek seg´ıts´eg´evel (p´eld´ aul az amelyet az el˝obb arra haszn´altunk hogy a vektort´er dimenzi´ oj´ at defini´ aljuk) kifejezhetj¨ uk a vektort´ernek minden vektor´ at, vagyis: ∀|ai, ∃λ1 , λ2 , ..., λN , |ai =

N X

λi |ai i

(14)

i=1

Hogyha most ebben a vektort´erben vesz¨ unk egy kisebb sz´amoss´ag´ u, egym´ at´ol f¨ uggetlen vektorokb´ ol ´ all´ o halmazt, akkor ezen halmaz az ǫ vektort´eren egy ǫ′ alteret defini´ al. Vegy¨ unk egy n < N vektorb´ol ´all´ o b´ azist, ekkor |a1 i, |a2 i, ...|an i vektorok a k¨ovetkez˝o alteret defini´ alj´ak:

2

∀|ai ∈ ǫ′ , ∃λ1 , λ2 , ..., λn , |ai =

n X

λi |ai i

(15)

i=1

K´et |ai ´es |bi ”ket” vektor k¨oz¨ott ´ertelmez¨ unk egy (|ai, |bi) = λ ∈ C egy m˝ uveletet a k¨ovetkez˝o axiom´ak alapj´an: (|ai, |bi) = (|bi, |ai)∗

(16)

(|ai, |bi + |ci) = (|ai, |bi) + (|ai, |ci) λ(|ai, |bi) = (|ai, λ|bi)

(17) (18)

(|ai, |ai) ∈ R+ ; ...(|ai, |ai) = 0 ≡ |ai = |0i

(19)

A fenti tulajdons´ agokkal rendelkez˝o m˝ uveletet skal´aris szorzatnak nevezz¨ uk. A skal´ a ris szorzat seg´ ıts´ e g´ e vel ´ e rtelmezz¨ u k az |ai vektor norm´ a j´ a t mint p (|ai, |ai). Azonnal bizony´ıthat´ o, hogy (|0i, |ai) = 0. Bizony´ıthat´o ugyanakkor a Schwartz f´ ele egyenl˝ otlens´ eg |(|bi, |ai|)|2 ≤ (|bi, |bi)(|ai, |ai),

(20)

ahol az egyenl˝ os´eg akkor ´ all fenn, hogyha |ai = α|bi. Definici´ o: K´et vektor |ai ´es |bi ortogon´ alis (egym´asra mer˝oleges), hogyha (|ai, |bi) = 0. A mer˝olegess´eg definici´ oj´ at ki lehet terjeszteni alterekre is, ǫ ´es ǫ′ egym´ asra mer˝oleges alt´er, hogyha minden vektor az egyik alt´erb˝ ol mer˝oleges minden vektorra a m´asik alt´erb˝ ol. Ebben az esetben a k´et alt´ernek nem lehet egy k¨oz¨os vektora sem (a 0 norm´aj´ u vektort´ol eltekintve). Hogyha van egy ǫ1 -es alter¨ unk akkor defini´ alhatunk egy komplement´ aris alteret a k¨ovetkez˝o tulajdons´ agokkal ǫ1 −→ ǫ⊥ 1

(21)

ǫ1 ⊥ǫ⊥ 1 ǫ⊥ = ǫ, 1

(23)

ǫ1 ⊕

(22)

ahol a ⊕ m˝ uvelet a direkt ¨osszeget jel˝oli. K´et alt´er direkt ¨osszege azt jelenti, hogy a k´et alt´er b´ azisvektorainak a halmaz´at egyes´ıtj¨ uk, ´es ezen b´ azisvektor sokas´ ag gener´ alja a direkt ¨ osszegk´ent kapott u ´ j alteret. Azonnal bel´ athat´o, hogy az ǫ t´ernek minden vektora felbonthat´ o a k´et alt´erb˝ ol vett komponensek ¨ osszeg´ere |ai = |a1 i + |a⊥ 1 i, |a⊥ 1i

ǫ⊥ 1.

(24)

ahol |a1 i ∈ ǫ1 ´es ∈ Bevezetj¨ uk most az ǫ vektort´er du´ alis ter´et (ǫ∗ ), melynek elemei ha| tipus´ u ∗ ”bra” vektorok. Az ǫ ´es ǫ vektorterek teljesen izomorf, ´es az ǫ vektort´er minden

3

|ai elem´enek egy´ertelm˝ uen megfelel az ǫ∗ vektort´ernek egy ha|. A k´et vektort´er elemei k¨oz¨ott ´ertelmezhet˝ o egy m˝ uvelet, amelyre: ha|bi = (|ai, |bi).

(25)

Ezen ¨ osszef¨ ugg´es az, amelynek seg´ıts´eg´evel egy´ertelm˝ u megfeleltet´est l´etes´ıt¨ unk az ǫ ´es ǫ∗ vektort´er elemei k¨oz¨ott. A fenti megfeleltet´es alapj´an az ¨osszead´as ´es a skal´ arral val´ o szorz´ as sor´ an kapott ”ket” vektoroknak az ǫ∗ vektort´eren a k¨ovetkez˝o elemek felenek meg: λ|ai → λ∗ ha|

(26)

|ai + |bi → ha| + hb|

(27)

A k¨ovetkez˝okben a skal´aris szorzatot mindig a ”bra” ´es ”ket” vektorok seg´ıts´eg´evel fogjuk fel´ırni, vagyis a hb|ai jel˝ol´est fogjuk haszn´alni.

1.2

Oper´ atorok

Az oper´ ator egy olyan f¨ uggv´eny amelynek mind az ´ertelmez´esi tartom´anya, mind az ´ert´ekk´eszlete a line´aris vektort´er ˆ = |bi; |ai, |bi ∈ ǫ A|ai

(28)

Az oper´ atorokat egy kalappal jel¨olj¨ uk, ´es a ’ket’ vektorok bal oldal´ an hatnak. A line´ aris oper´ atorra igaz, hogy: ˆ ˆ + λ2 A|bi ˆ 1 |ai + λ2 |bi) −→ λ1 A|ai A(λ

(29)

A kvantummechanika keret´eben mi csak line´aris oper´atorokkal dolgozunk. ´ ˆ Ertelmezz¨ uk az identikus oper´ atort: I: ˆ = |ai, ∀|ai ∈ ǫ I|ai

(30)

Az oper´ atorok k¨oz¨ott ´ertelmezz¨ uk a szorz´ as (vagy ¨osszetev´es) m˝ uvelet´et. ˆ k´et line´aris oper´ ˆ szint´en egy line´aris oper´atort Ha Aˆ s B ator, akkor Cˆ = Aˆ · B eredm´enyez, amelyre igaz, hogy: ˆ ˆ B|ai) ˆ ∀|ai ∈ ǫ, C|ai = A(

(31)

Az oper´ atorok szorz´ asa ´altal´ aban nem kommutat´ıv (felcser´elhet˝o), vagyis altal´ ´ aban: ˆ 6= B ˆ Aˆ AˆB

(32)

ˆ = B ˆ A) ˆ komAzon oper´ atorokat amelyekre a szorz´ as felcser´elhet˝o (AˆB mut´ al´ o oper´ atoroknak nevezz¨ uk. ˆ −→ |bi ´es B|bi ˆ −→ |ai minden Az inverz oper´ ator fogalma: Hogyha A|ai ˆ ˆ |ai-ra az ǫ-b´ol, akkor azt mondjuk, hogy B az A inverze. Ekkor

4

ˆ =B ˆ Aˆ = Iˆ AˆB (33) −1 −1 ˆ ˆ ˆ ˆ ´es az A inverz´et u ´ gy jel˝ olj¨ uk, hogy A . (teh´ at B = A ). Megjegyzend˝o, ˆ hogy nem minden oper´ atornak van inverze. Hogyha van k´et oper´ator, Aˆ ´es B amelyeknek van inverze, akkor igaz a k¨ovetkez˝o egyenl˝ os´eg: ˆ −1 = B ˆ −1 Aˆ−1 (AˆB)

(34) ˆ Ismerve az A oper´ ator hat´as´at a ’ket’ vektorokra, a skal´aris szorzat seg´ıts´eg´evel ´ertelmezhetj¨ uk a hat´ as´ at a ’bra’ vektorokra is: ˆ ˆ ˆ hb|(A|ai) = (hb|A)|ai = hb|A|ai; ∀|ai ∈ ǫ, ∀hb| ∈ ǫ∗

(35) ˆ Ahol hb|A|ai teh´ at csak jel˝ol´esi konvenci´ o. Az el˝ obb elmondottak alapj´an a k¨ovetkez˝o n´eh´ any azonnali egyenletet lehet fel´ırni. Ha |ai ∈ ǫ ´es λ ∈ C : ˆ ˆ ˆ = λhc|Aˆ (λA)|ai = λ(A|ai) −→ hc|(λA) ˆ = (Aˆ + B)|ai ˆ ˆ + B|ai ˆ ˆ = hc|Aˆ + hc|B ˆ S|ai = A|ai −→ hc|Sˆ = hc|(Aˆ + B) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ P |ai = (AB)|ai = A(B|ai) −→ hc|P = hc|(AB) = (hc|A)B

(36) (37) (38)

A ’bra’ vektorok mindig az oper´atorok jobb oldal´ an, a ’ket’ vektorok pedig mindig az oper´ atorok bal oldal´ an tal´ alhat´oak. Egy l´enyeges oper´ ator csoport az |aihb| t´ıpus´ u oper´atorok. Ez az oper´ator hathat u ´ gy egy ”bra” mint egy ”ket” vektorra a k¨ovetkez˝o m´odon: (|aihb|)|vi = |ai(hb|vi) = λ|ai hv|(|aihb|) = (hv|ai)hb| = λ′ hb| 1.2.1

(39) (40)

Adjung´ alt oper´ ator

Egy tetsz˝ oleges Aˆ oper´ atorhoz hozz´ arendelhetj¨ uk a k¨ovetkez˝o adjung´ alt oper´atort:

u ´ gy, hogy ∀|ai ∈ ǫ:

Aˆ −→ Aˆ+

(41)

ˆ = |bi ⇒ ha|Aˆ+ = hb| A|ai

(42)

Az adjung´ alt oper´ atorra a k¨ovetkez˝o tulajdons´ agokat lehet bebizony´ıtani: (Aˆ+ )+ = Aˆ ˆ + = Aˆ+ + B ˆ+ (Aˆ + B) ˆ + = λ∗ Aˆ+ (λA)

(44) (45)

ˆ +=B ˆ + Aˆ+ (AˆB)

(46)

(43)

Az oper´ atorok adjung´ al´ asa a sz´amok komplex konjug´ al´ as´aval ekvivalens m˝ uvelet. ¨ Osszetett mennyis´egek konjug´ al´as´ara egy egyszer˝ u t¨orv´eny¨ unk van: 5

• a komplex sz´ amokat komplex konjug´ altjukkal • a ’ket’ vektorokat ’bra’-val • a ’bra’vektorokat ’ket’-el • az oper´ atorokat az adjung´ altjukkal helyettes´ıtj¨ uk, majd az eg´esz ¨osszetett mennyis´eget ford´ıtott sorrendben ´ırjuk. P´elda: ˆ = AˆB|uihv| ˆ ˆ + = Cˆ + |vihu|B ˆ + Aˆ+ L Cˆ −→ L ˆ ˆ ˆ + Aˆ+ |ai = AˆB|uihv| C|wi −→ ha| = hw|Cˆ + |vihu|B ˆ ˆ ˆ + Aˆ+ |ti µ = ht|AˆB|uihv| C|wi −→ µ∗ = hw|Cˆ + |vihu|B

(47) (48) (49) (50)

1.2.2

¨ Onadjung´ alt (vagy Hermitikus) oper´ ator

Egy ¨ onadjung´ alt (vagy hermitikus) oper´atorra igaz, hogy: ˆ=Q ˆ+ Q

(51)

L´eteznek antihermitikus oper´atorok is. Egy oper´ator antihermitikus ha: ˆ = −Q ˆ+ Q

(52)

N´eh´ any fontos t´etel a hermitikus oper´atorokkal kapcsolatban (javasoljuk, hogy ezen t´eteleket gyakorlatk´ent igazoljuk): • B´armely l´ıne´ aris oper´ ator fel´ırhat´ o egy hermitikus ´es egy antihermitikus oper´ ator ¨ osszegek´ent: ∀Pˆ , Pˆ = LˆH + LˆA (53) • Hermitikus oper´ atorok line´aris kombin´aci´ oja szint´en hermitikus oper´ator • K´et hermitikus oper´ ator szorzata (Qˆ1 Qˆ2 ) is hermitikus oper´ator, hogyha a k´et oper´ ator kommut´ al ( vagyis hogyha [Qˆ1 , Qˆ2 ] = Qˆ1 Qˆ2 − Qˆ2 Qˆ1 = 0) ∗ ˆ hermitikus, hb|Q|ai ˆ ˆ • Hogyha Q = (ha|Q|bi) , minden |ai ∈ ǫ ´es hb| ∈ ǫ∗ eset´en.

ˆ hermitikus oper´ator pozit´ıv definit, hogyha ∀|ai ∈ ǫ Definici´ o: egy H ˆ ˆ hermitikus oper´atorra igaz az eset´en ha|H|ai ≥ 0. Egy pozit´ıv definit H altal´ ´ anos´ıtott Schwartz f´ele egyenl˝ otlens´eg: 2 ˆ ˆ ˆ |hb|H|ai| ≤ hb|H|biha| H|ai

ˆ ˆ Az egyenl˝ os´eg akkor ´ all fenn, hogyha H|ai = αH|bi, ahol α ∈ C.

6

(54)

1.2.3

Unit´ er oper´ atorok

ˆ egy unit´er oper´ U ator, hogyha: ˆ −1 = U ˆ+ U

(55)

ˆU ˆ+ = U ˆ +U ˆ = Iˆ U

(56)

Ebben az esetben:

Egy azonnal bizony´ıthat´o t´etel ´ertelm´eben k´et unit´er oper´ator szorzata is unit´er oper´ ator. Az unit´er oper´ator meg˝ orzi a skal´aris szorzatot, vagyis: ˆ +U ˆ |bi > ha|bi = haU

(57)

ˆ U] ˆ = 0 azonnal bizony´ıthat´o, hogy: Ugyanakkor ha [A, ˆ AˆU ˆ + = Aˆ U

1.3

(58)

Saj´ atvektorok, saj´ at´ ert´ ekek

ˆ u Tekints¨ unk egy line´aris oper´atort (A) ´ gy, hogy: ˆ = a|ai A|ai

(59)

Ha a fenti egyenl˝ os´eg igaz akkor |ai az Aˆ oper´ator saj´atvektora, a pedig az ehhez a saj´ atvektorhoz tartoz´ o saj´at´ert´ek. Egy saj´atvektorhoz mindig csak egy saj´ at´ert´ek tartozhat, azonban egy saj´at´ert´ekhez t¨ obb saj´atvektor is tartozhat. Hogyha azonos saj´ at´ert´ekhez t¨ obb saj´atvektor tartozik, ezt a saj´at´ert´eket elfajult saj´ at´ert´eknek nevezz¨ uk Hogyha Aˆ hermitikus oper´ator, igazak a k¨ovetkez˝o kijelent´esek (gyakorlatk´ent javasoljuk ezeknek a bizony´ıt´as´at): • Aˆ saj´ at´ert´ekei val´ osak • A k¨ ul¨onb¨ oz˝o saj´ at´ert´ekekhez tartoz´ o saj´atvektorok mer˝olegesek egym´ asra • A ’bra’ ´es a ’ket’ vektorokban fel´ırt egyenlet saj´atvektorai ´es saj´at´ert´ekei ˆ = a|ai akkor ha|Aˆ = ha|a. egym´ asnak megfelel˝ oek, vagyis ha A|ai • Egy pozit´ıvan defini´ alt hermitikus oper´ator saj´at´ert´ekei nem-negat´ıvak (vagyis ezek ≥ 0). 1.3.1

B´ azisvektorok, reprezent´ aci´ ok

Az |a1 i,|a2 i,|a3 i,...,|aN i vektorok egy ortonorm´alt b´ azist alkotnak az ǫ vektort´eren, hogyha teljes´ıtik az ortonorm´alts´ag (ortogonalit´ as + norm´alts´ag) ´es a teljess´eg felt´etel´et. Ortonorm´ alts´ ag: hai |aj i = δij (60) 7

Teljess´eg: N X

|ai ihai | = Iˆ

(61)

i=1

Ezen m´asodik felt´etelhez u ´ gy jutunk, hogy megk¨ ovetelj¨ uk, hogy minden vektort kifejezhess¨ unk a b´ azisvektorok seg´ıts´eg´evel (m´ ak´epp kifejezve megl´ atjuk, hogy ez a k´eplet azt jelenti hogy a b´ azisvektorok ter´ere val´o vet´ıt´es az identikus oper´ ator kell legyen). A teljess´eg felt´etel´et azonnal bel´athatjuk: ∀|ki ∈ ǫ, |ki =

N X

λi |ai i

(62)

i=1

Beszorozva a fenti egyenletet balr´ol az hai | vektorokkal, azonnal k¨ovetkezik, hogy λi = hai |ki,

(63)

´es ezt behelyetes´ıtve a kiindul´ o egyenlet¨ unkbe: |ki =

N X

N X |ai ihai |)|ki hai |ki|ai i = (

(64)

i=1

i=1

A fenti egyenletb˝ ol azonnal k¨ovetkezik a teljess´eg felt´etele. A v´alasztott b´ asizvektorok ismeret´eben b´ armely |ki vektor jellemezhet˝ o teh´at a λi koordin´ at´akkal. Azt mondjuk, hogy az |ai i b´ azisvektorok egy reprezent´ aci´ ot alkotnak. N´eh´ any fontosabb megjegyz´es: • Lehet b´ azisr´ ol besz´elni egy ǫ′ alt´eren is. • Az ortogonalit´as ´es ortonorm´alts´ag fogalma kiterjeszthet˝ o nem norm´alhat´o vektorokra is (nem norm´alhat´o b´ azisvektorokkal tal´ alkozunk p´eld´ aul amikor a b´ azisvektorokat jellemz˝ o index folytonosan v´altozik). Ebben az esetben az ortonorm´alts´ ag felt´etele: ha(r)|a(r′ )i = δ(r − r′ )

(65)

• Ha egy hermitikus oper´ator saj´atvektorai egy b´ azist alkotnak a vektorter¨ unk¨ on akkor az oper´ atort megfigyelhet˝ onek nevezz¨ uk. (A hermitikus oper´ator saj´ atvektoraib´ol egy ortonorm´alt sorozat ´ep´ıthet˝o. Ez k¨ovetkezik az eddigi t´eteleinkb˝ ol, l´ asd az 1. r´eszben tanult Gramm-Schmidt f´ele ortogonaliz´ al´ asi elj´ ar´ ast. Ezen sorozat teljess´ege a vektort´erben azonban nem bizony´ıthat´ o´ altal´ anosan.)

8

1.4

Vet´ıt˝ o oper´ atorok (Projekci´ os oper´ atorok)

⊥ Legyen ǫR egy alt´er az ǫ vektort´eren. Legyen |aR i ∈ ǫR ´es |a⊥ R i ∈ ǫR . Ekkor ⊥ ∀|ai ∈ ǫ, |ai = |aR i + |aR i. Azt mondjuk, hogy |aR i az |ai vet¨ ulete (proˆ jekci´ oja) az ǫR -re. Ezt a vet¨ uletet egy PR vet´ıt˝o oper´atorral kapjuk meg: PˆR |ai = |aR i. PˆR teh´ at az ǫR -re vet´ıt˝o oper´ator. T´etelk´ent kijelentj¨ uk, hogy PˆR egy hermitikus oper´ator. A t´etel bizony´ıt´asa azonnali. Legyen: + PˆR |ai = |aR i ⇒ ha|PˆR = haR | (66)

A vet´ıt˝ o oper´ ator ´es a skal´aris szorzat tulajdons´ agait felhaszn´alva: ha|PˆR |bi = ha|bR i = haR |bR i = haR |bi ⇒ ha|PˆR = haR |, ∀ha|

(67) (68)

Felhaszn´alva a (66) ´es (68) egyenleteket azonnal k¨ovetkezik, hogy: +

⇒ PˆR = PˆR

(69)

Egy m´asik fontos t´etel is azonnal bel´athat´o. Ha egym´ as ut´ an t¨ obbsz¨or vet´ıt¨ unk egy PˆR oper´ atorral, ugyanazt az eredm´enyt kapjuk: 2 ∀|ai ∈ ǫ, PˆR |ai = PˆR |aR i = |aR i

(70)

2 PˆR = PˆR

(71)

vagyis:

Ezen eredm´enyt fel lehet haszn´alni arra, hogy defini´ aljuk a projekci´os oper´atorokat. (´ altal´ aban ezzel az ¨ osszef¨ ugg´essel defini´ alj´ak a projektorokat) Egy tov´abbi fontos t´etel kijelenti, hogy a projektorok saj´at´ert´ekei 0 vagy 1. A bizony´ıt´ as szint´en azonnali, ´es a k¨ovetkez˝o l´ep´esek szerint t¨ ort´enik: 2 PˆR |ui = α|ui; → PˆR |ui = αPˆR |ui = α2 |ui 2

PˆR = PˆR ; → α2 − α = 0 ⇒ α ∈ {0, 1}

(72) (73)

Az α = 1-hez tartoz´ o saj´atvektor az ǫR -b˝ol, az α = 0-hoz tartoz´ o az ǫ⊥ ol R -b˝ van. N´eh´ any p´elda projektorokra: 1. Legyen |ni ∈ ǫ, hn|ni = 1. Hogyha |ai ∈ ǫ, akkor |ai = |an i + |a⊥ n i, ahol ⊥ |an i = c|ni ´es hn|a⊥ i = 0. Ekkor hn|ai = hn|a i + hn|a i = hn|a n ni = n n chn|ni = c, vagyis |an i = hn|ai|ni = |nihn|ai, teh´at Pˆn = |nihn|. Ez egy element´ aris egydimenzi´os t´erre vet´ıt˝o projektor. 2. Legyen |a1 i,|a2 i, ..., |aN i egy b´ azis amely az ǫ1 alteret gener´alja. A Pˆ1 = PN ator az ǫ1 alt´erre vet´ıt˝o projektor. i=1 |ai ihai | oper´ 9

3. Legyen Aˆ egy hermitikus oper´ator, melynek saj´atvektorai legyenek |ai i ˆ i i = ai |ai i). Az ǫ vektort´er legyen az |ai i ’ket’-ek ´altal gener´alt t´er. (A|a P Ekkor Pˆ = ni=1 |ai ihai | az ǫ-ra vet´ıt˝o oper´ator. Hogyha Aˆ megfigyelhet˝o ˆ akkor ǫ = ǫ∞ ´es Pˆ = I. ˆ ni i = an |ani i, i = 1, ..., s(n), 4. Legyen az Aˆ spektruma r´eszben elfajult: A|a Ps(n) s(n) az an saj´ at´ert´ek elfajul´asi foka. Pˆ = i=1 |ani ihani | az ǫn alt´erre vet´ıt˝ o oper´ ator. (Az ǫn alteret az |ani i vektorok gener´alj´ak.) Azonnal P∞ Ps(n) P bel´ athat´o, hogy: Pˆ = n=1 i=1 |ani ihani | = Iˆ = n Pˆn . Ha |vi ∈ ǫ, P P at´ai az Aˆ |vi = n,i λni |ani i. A λni a |vi koordin´ n,i |ani ihani |vi = megfigyelhet˝ o reprezent´ aci´ oj´ aban (λni = hani |vi). Azonnal bizony´ ıthatjuk P a Parseval-f´ele ¨ osszef¨ ugg´est: hv|vi = hv|Pˆ |vi = hv|a iha ni ni |vi = n,i P 2 n,i |hv|ani i| . 1.4.1

Az Aˆ megfigyelhet˝ o oper´ ator spektr´ alis reprezent´ aci´ oja

´ Ertelmezhetj¨ uk egy tetsz˝ oleges Aˆ megfigyelhet˝o oper´ator spektr´ alis reprezent´ aci´ oj´ at. Ha Aˆ megfigyelhet˝ o oper´ ator akkor fel´ırhatjuk, hogy: ˆ ni i = an |ani i A|a X |ani ihani | = Iˆ Pˆ =

(74) (75)

n,i

AˆPˆ =

X

ˆ ni ihani | = A|a

X n

an

X

an |ani ihani | =

(76)

an Pˆn = AˆPˆ = Aˆ

(77)

n,i

n,i

=

X

|ani ihani | =

X n

i

A fenti egyenlet alapj´ an defini´ aljuk az Aˆ oper´ator spektr´ alis reprezent´ aci´ oj´ at, mint: X Aˆ = (78) an Pˆn n

10