Kvantummechanika II. 8. és 9. előadás

Kvantummechanika II.

KVANTUMMECHANIKA

„NINCS KIRÁLYI ÚT!”

8. és 9. előadás

Axiómák A.

A Schrödinger-egyenlet

 2 B. r , t  dV annak a valószínűségét adja, hogy a pontszerű elektron az helyvektor dV környezetében megtalálható.

C. Az állapotok szuperpozíciójának az elve.

Hullámokra ”működik”…

…és részecskékre?…

Állapotok szuperpozíciója I. E  E1  E2

EMH-ra láttuk: Inkoherens hullámokra:

I12  I1  I 2 I12  I1  I 2  2 I1I 2 cos 

Koherens hullámokra:

  c1  1  c 2   2

C60 molekula átalgsebesség 200 m/s rés szélessége 50nm

A C60 molekulával végzett kétréses kísérlet interferencia képe.

Állapotok szuperpozíciója II.   c1  1  c 2   2   2    Pr   r    r r 

P    c11  c 2  2  c11  c 2  2  

2



P  c1 1  c2  2  Re c1c21 2 2

2

2

2



P  c1 P1  c 2 P2  Re c1 c 2 1  2 2

2

Interferencia





Állapotok szuperpozíciója III.

A hullámfüggvény matematikai tulajdonságai 2   x   V x   x   E  x  2m 2m    2  V ( x)  E  

A harmonikus oszcillátor I. A ”kvantummechanika” Max Planck – al kezdődött (1900)

E  h

Klasszikus harmonikus oszcillátor:

1 2 1 E  mx  m 2 x 2 2 2 x(t )  a  sint    x(t )  a  cost   

1 E  m 2 a 2 2 A klasszikus oszcillátor energiája folytonosan változhat!!!

A harmonikus oszcillátor II. 2 d 2 1    m 2 x 2  E  2m dx 2 2

nullponti energia=alapállapoti energia

1  EnSCH   n     2 

A harmonikus oszcillátor III.

Alkalmazás: molekula rezgés, kristályrács rezgései, stb.

Az egydimenziós potenciáldoboz V0   V  x   0 

 x   0

ha x < 0 é s x > L ha 0  x  L

ha x < 0 vagy x > L

2     0   E 2m

x L

p 2  2 k 2  2 2 2 E   n 2 2m 2m 2mL

   k 2  2  o x   A sin  

 x   A sin kx 

Megtalálási valószínűség:

E  Eo n 2

Px x    n x  x  2

2 2   sin  n x x L  L 

Miért sárga a sárgarépa? Karotin molekula hossza kb. 2-3 nm

En  Eo  n 2

hv  3E0

E21  E2  E1  Eo (4  1)  3Eo

hc



 3E0

hc  3E0 L  2nm

Eo  E  2eV

 2 2 2mL2

  500nm A fehér fényből ezt nyeli el.

3D potenciáldoboz és az állapotok grafikus ábrázolása I.     

 2  2  2  2  2m  x y x 2

  x, y , z  

2

2

 n y 8  n x   sin x   sin 3 L  L   L

 2 2 2 2 2 E n  n  n x y z 2 2mL



 x, y, z  

c



b

  nz  y   sin z  L  

n x , n y , nz  1,2,3,...

 n y 8 n    sin x x   sin abc  a   b

 n   y   sin z z   c  

2 n2 2     nx y nz  E   2 2 2  2m a b c   2 2

a

   E 

3D potenciáldoboz és az állapotok grafikus ábrázolása II. 

nx

ny

nz

E

111

1

1

1

3E0

211

2

1

1

6E0

121

1

2

1

6E0

112

1

1

2

6E0

122

1

2

2

9E0

212

2

1

2

9E0

221

2

2

1

9E0

311

3

1

1

11E0

131

1

3

1

11E0

113

1

1

3

11E0

222

2

2

2

12E0



E  Eo nx2  n 2y  nz2



A kétdimenziós elektrongáz

2 n2 2     nx n y E   z 2m  a 2 b 2 c 2    2 2

c  a, b

Andre Geim 1958

Konstantin Novoselov 1974

E

Fizikai Nobel Díj 2010 „ … a kétdimenziós „grafénnel” kapcsolatos úttörő kísérleti munkásságukért.”

A szabadon mozgó elektron hullámfüggvénye Dobozba zárt részecske: Szabad részecske:

~x, t    x eit

 2  x   A sin  

L

~x, t    x  2

2

 x   A sin kx 

~x   Aeikx

~1x, t   Ae ikx eit  Aei (kx t ) ~2 x, t   Aeikx eit  Aei (kx t )



~x, t   ~1x, t  ~2 x, t   Aeit eikx  eikx P   

2

 A2 sin 2 kx

L

Értelmezés???



Az alagúteffektus I.

x1

   x dx  0 2





2   x  dx  0

x2

Aei (kx t ) Cei ( kx t )

Bei (kx t )

C R A

B T A

2

2

Az alagúteffektus II.

E 0 Elektromos tér

E0

Hidegemisszió

Lézer-indukált ionizáció

Az alagúteffektus III.

Leo Esaki (1925-) Nobel-díj:1973 Egyetemi Tanulmányit Tokióban végezte. Doktori dolgozata a Sony cégnél, 1957-ben folytatott kísérleti munkájának a feldolgozása és értékelése volt. Ez az erősen adalékolt germánium p-n átmenetében létrehozott alagúteffektusról szólt. Ezek az eredmények alapozták meg az „alagútdióda” létrejöttét. A megosztott Nobel díjat:

STM

Fém-félvezető dióda 1938 Walter Hermann Schottky Német kutató fizikus (1886-1976)

fém

szigetelő

fém

„a félvezetőkben lévő alagút-jelenségekkel kapcsolatos kísérleti felfedezésekért” kapta 1973-ban.

Partnerei (I.Giaever és B.D.Josephson) a szupravezetőkben zajló alagúteffektusokkal kapcsolatos kísérleti és elméleti munkát végeztek.

potenciálgát = szigetelő

A H-atom I.

Kémia 9. oszt.

A H-atom II.  e2 1  2          E   4 0 r  2m    n,l , m  En  

L   l l  1 Lz  mL

13.6eV n2

l  0, 1, 2,...(n  1)

ml  0,  1,  2,...  l

2  P(r )   4,3,1

Az elektronspin Stern–Gerlach-kísérlet

 n,l , m  n,l , m, s

A Heisenberg-féle határozatlansági reláció

 xp  2

Δx

Et 

 2

Gerjesztés élettartama → nívó kiszélesedése

Isten nem kockázik… De igen…!!!

Mikroszkóp felbontása:

0.61 x  sin  A foton által meglökött elektron impulzusbizonytalansága:

p  p sin  

h



sin 

Csak szemléltetés, nem bizonyítás!!!

Koherens fény 1.

Lézer nyaláb: (monokromatikus és a fázis rögzített)

Na-gőz lámpa: (Spektrál lámpa, véletlen fázis)

Napfény:

Koherens fény 2.

 c f  1 Véletlen fázis!

Discrét spektrum!

Rögzített fázis!

Koherens fény 3.

Burkoló függvény: f(t)

Lézerimpulzus (”egy lövés”)

Folytonos spektrum

 c  c c Int(t)

c: fénysebesség

F(ω)

Δt

Δω

t Gauss imp.

ΔtΔf  1

ω

The light absorption and emission, the two-lewel system Bohr-model: In the process of spontaneous emission an electron "spontaneously” (i.e. without any outside influence) decays from a higher energy level to a lower one.

absorption Absorption is the process by which a photon is absorbed by the atom, causing an electron to jump from a lower energy level to a higher one.

emission

The distribution of energy An example: It is admitted, that the temperature of the air is constant. Let’s determine the density of particles as a function of altitude!

P(h+h) h+h

h

Let’s consider a thin air layer with top and bottom area of A and thickness of h. The net force by the pressure:

F  AP(h)  P(h  h) ()

h

P(h)

The air layer is in equilibrium, because:

F  mgnAh

()

Where m is the mass of a molecule and n is the density of particles. It comes from (+) and (++), (and we can use the ideal gas law, too: P=nkT):

dn mg  n dh kT

The general form:

n  noe

 E pot / kT

The solution:

n  noemgh / kT

2D resonator:

The black-body radiation III.

b a

y b 1D resonator: (Lecture 3.) mirrors

x

Ex, t   2E0sinkxcost  k n

π a

where n  1, 2, 3, ...

k x  nx

π π and k y  n y a b

k 

2 n 2x n y  2 2

a

b

a

    E x x , y   2 E0 cos nx x  sin n y y  a  b      E y x , y   2 E0 sin nx x  cos n y y  a  b 

k  k x2  k y2

where n x and n y  1, 2, 3, ...

3D resonator:

k 

n 2x 2



n 2y 2



n 2z

a b c2 where n x , n y , n z  1, 2, 3, ...

The black-body radiation IV. k 

n 2x a

2



n 2y b

2



n 2z c2

a=b=c

k



n 2x  n 2y  n 2z

a

n  n 2x  n 2y  n 2z kc 2 n  a c c

k



n

2a c

a

n

1 4n3 8a3 3 Degree of freedom: Vn  2  8 3 3c3

Equipartition theorem: ½kT (energy/degree of freedom) polarization states

continuous variable !!!

n  1



dn Volume



8 2 c

3

d equipartition theorem

dE 8 2  kT 3 d c (++)

The black-body radiation V.

Max Planck (Nobel-prize, 1918)

Rayleigh-Jeans law:

dE 8 2  kT 3 d c

Solution (1900): The respective definite unit, , of The energy of a energy should be mode is quantized!! proportional to the respective E  h characteristic oscillation frequency The energy of a mode with of the hypothetical frequency  : oscillator (  =h ).

En  nh

?

n  1, 2, 3, ...

The energy-distribution :

h 3 g  A   h  exp   1  k BT 

The black-body radiation VI. E2  E1     N2 / N kT   e  N /N   1   

We have seen: (lecture 2.)

E

E2  E1    N  2 kT   e N   1   

N2

E2

  More levels:   

N

e n

o kT



1 -

o

1  e kT



Ei  E j kT

  & 1 pn   n 



Let’s admit, that the energy of an EMW mode:

where : n  1, 2, 3,...

The average energy of an EMW mode:

Geometric progression:

-n

pi e pj

E  n o ( )

N1

E1

Probability of occupation (of energy level): P2=N2/N & P1=N1/N & (N1+N2=N)

 ( ) 



 ne

n

 n

-

-

n kT

n

e kT



-n

n o e kT

 n

 n

o

-n

o

e kT

The black-body radiation VII.



 -n o n o e kT 

o   n kT    e d o kT  e  d (1 / kT )    -  o 2  n    kT 1 - e  o   lim  ( )  lim   kT   o  o 0  o 0 e kT  1 classical physics

n

o

 ( )  e

o

kT

1

Quantum physics:  ( )  kT

h

dE  e

h

KT

&  o  h

8 2 3 c 1

Stefan–Boltzmann law

o

Vd

Wien's law

Max Planck did not speak about quantized photon energy!!! Einstein did!!!



dE 8 2  kT (++: unit volume) 3 d c

A lézer: kétnívós rendszer E  

N2

N2

E

abszorpció

spontán emisszió

dN12  B12 g N1dt

  A21N 2 dt dN 21

Termikus egyensúly:

  dN21  dN12  dN21

Einstein együtthatók:

E  

N1

N1

B12  B21

Indukált emisszió: 1917 Einstein

A21 h 3  3 B12 c

A21, B12 , B21 Nagy energiájú fotonok esetén a spontán emisszió dominál!

A21  1 gB12 Lehetetlen lézert építeni?

N2

N1 indukált emisszió

  B21g N 2dt dN 21 h   N  2 kT  N e  1 

    

h 3 g  A   h  exp   1  k BT 

The maser Maser: Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation Maser oscillations rely on the stimulated emission between two hyperfine energy levels of atomic hydrogen. The hydrogen maser which is currently used as an atomic frequency standard. (The first ammonia maser: 1953.) H-maser:

frequency = 1,420,405,752 Hz E

A21 h  gB12 kT

A21 1 gB12

E2 E1

E2  E1    N  2 kT   e N   1   

N2

N1

The probability of stimulated emission is greater than the probability of spontaneous emission.

N

The ammonia (NH3) maser 1. (The first ammonia maser was demonstrated in 1953.)

 p

 p

The electric dipole moment of the ammonia molecule:

 p

The ammonia (NH3) maser 2.

  Electric dipole moment: p  q 

+q

 

Couple of forces acting on the electric dipole moment in uniform electric field:

The torque of F1 and F2 (couple of forces) acting on the electric dipole moment:

M  dqEsin  pEsin

   M  pE

-q

The ammonia (NH3) maser 3. The work done on the electric dipole moment as it was rotated at the angle of φ from the equilibrium position:



General formula:



W



W



M ( )d

0

    p E sin  d  p E  cos  0  pE (1  cos  )

0

The work done (on the dipole moment) is the change in potential energy of the electric dipole moment. The zero point of the potential energy can be chosen arbitrary, so the potential energy of an electric dipole moment in uniform electric field can be given by the following formula:

  U  pE

(scalar product!)

The ammonia (NH3) maser 4. Electric field

 p

 p

 E E

E absorption

E2

E1

N2

N1 emission

The reflection of electromagnetic wave ???

x

z

conductor plate

y

The electric field inside of the conductor is zero (the volume net charge is zero).

 Enet

Boundary cond.:

  E1t  E2t  E1t  E2t

 E2

 E1

The reflected wave has a phase-shift of  rad.

The resonator (of electromagnetic wave) Two electromagnetic waves are traveling to the opposite direction: Boundary conditions: E(x=0)=0 és E(x=L)=0 Linear superposition of waves: standing wave

E0sint  kx  E0sint  kx  2E0sinkxcost  k n

π a

x

where n  1, 2, 3, ...

c 1  2 L and f1   mirrors  2L c The n-th (harmonic wavelength and frequency) mode: f  2L I 2L c c n  and f n  n  nf1 n n 2L The fundamental mode:

c

f

The laser 1. Laser: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation We have seen: E

A21 h  gB12 kT

A21  1 gB12

E2 E1

Absorption:

E2  E1     N2 kT   e N   1   

dN12  B12 g N1dt Stimulated emission:

N2

  B21g N 2dt dN 21

N1 N

The conditions of the light amplification by stimulated emission: 1. Population inversion:

N 2  N1

2. Three (or more) level system: E3

E2 E1

The laser 2.

The detailed investigation has shown, that in the stimulated emission the induced photon has the same frequency and phase as the incident photon. The population inversion is required for laser operation, but it cannot be achieved by the group of atoms with two energy-levels when they are in thermal equilibrium. To achieve non-equilibrium conditions, an indirect method of populating the excited state must be used.

h pump  h laser

The solution:

 2   3

(three level system)

 3   4 , 2

(four level system)

Lifetime of the atom on energy level(s) E2, E3 and E4:

 2 ,  3 , 4

The laser 3. Optical cavities are surrounding the gain medium and providing feedback of the laser light. Light confined in the (stable) cavity reflect multiple times producing standing waves for certain resonance frequencies.

The laser 4. ”The Nobel Prize for physics is in 1964. given for the invention of the maser and the laser. Maser stands for microwave amplification by stimulated emission of radiation, and the word laser is obtained by replacing microwave by light.” (The Nobel-prize winners: N. G. Basov, A. Prokhorov, C. H. Townes)

The energy level system of ruby

Holography 1.

Holography: lensless photography Interference pattern (on holoplate):

1st step: Exposition

I  I o  I r  E o E*r  E r E*o 2nd step: developement (chemical process)

The transmission of the hologram:

h(x, y)  h o  t  I(x, y)

Ref: reference beam (plane wave of spherical wave) Obj: object wave (reflected from the 3D object)

Hologram: the recorded interference pattern

Holography 2.

Interference pattern (on holoplate):

I  I o  I r  E o E*r  E r E*o

3rd step: Reconstruction

Amplitude transmission: Object wave!!!

h(x, y)  h o  t  I(x, y) Reconstruction:

E r h  h o E r  E r t(I o  I r )  E o E r  E 2r E*o 2

Real image

Off axis holography: Virtual image

Real, virtual, undiffracted waves are spatially separated

Holography 3.

Digital holography 1.

+

=

The resolution of a holographic plate: 5000 lines/mm

Camera

Chip type

Number of pixels

Pixel size [m2]

Frames per second

Dynamic range

max for =633nm

Roper Sci. MegaPlus 1.4i

FT

1017* 1035

6.8 * 6.8

6.9

8 bit

2.7°

Roper Sci. Megaplus 16.8i

FT

4096* 4096

9*9

0.47

8 bit

2.0°

Roper Sci. Megaplus ES 1.0

IT

1008* 1018

9*9

30

8 or 10 bit

2.0°

Roper Sci. Megaplus 4.0

IT

2048* 2048

7.4 * 7.4

30

8 or 12 bit

2.45°

Hamamatsu C8484-01

PSI

1344* 1024

6.45 * 6.45

8.3

12 bit

2.81°

Duncan DT1100

PS

1392* 1040

4.65 * 4.65

12

8 or 12 bit

3.9°

FT: full frame: interline transfer, PSI: progressive scan interline, PS: progressive scan

Holography 4.

Digital holography 2.

”In-line” arrangement

3D shape measurement:

Holography 5.

Digital holography 3.

Gábor Dénes (Dennis Gabor): a Hungarian electrical engineer and physicist, he invented the holography. He received the 1971 Nobel Prize in Physics.

Holography 6.

Digital holography 4. A computer-generated hologram:

Holography 7. X-ray, neutron, electron holography Source: an atom

Source: atom Reference wave: primary wave (the original wave) Object wave: secondary waves scattered from the neighbor atoms Computer generated reconstruction

Az első lézer Első lézer: 1960

gáz-lézer

félvezető-lézer szilárdtest-lézer Lézerintenzitás: Legrövidebb impulzus:  5fs attoszekundumos imp.

1960: 1010 W/cm2 1980: 1015 W/cm2 2000: 1020 W/cm2 2015: ELI 1025 W/cm2

A kvantumradír D1 D2

D1

D1 D2

D2

P2 P2 P1 P1

D1 tükör

D2

polarizátorok

P2

Lézer

B.S.

Detektorok

B.S.

tükör

P1 B.S.: nyalábosztó (beam splitter)



 45o 

 45o

nyalábtágító

Lézer

B.S.

B.S. tükör

Lézer-tápegység

Polarizáció-beállító (polarizáció-sík forgató)