A kvantummechanika speci´alis fejezetei Jakov´ac Antal 2013 – utols´o jav´ıt´as: May 9, 2016
Contents 1 El˝ osz´ o
3
2 A kvantumelm´ elet fel´ ep´ıt´ ese 2.1 M´er´es a kvantumelm´eletben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 T´er ´es id˝ o a kvantumelm´eletben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Propag´ ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Kvantummechanikai le´ır´ as: hull´ amf¨ uggv´eny ´es propag´ator . . . 2.4.1 Egyetlen szabad r´eszecske p´eld´aja . . . . . . . . . . . . 2.4.2 K´et r´eszecske rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 T¨ obb r´eszecske rendszerek: megk¨ ul¨ onb¨oztethetetlens´eg ´es Gibbs ¨ 2.6 Osszefon´ odotts´ ag ´es m´er´es: Bell egyenl˝otlens´egek . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . paradoxon . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
3 5 5 7 9 10 11 11 12 12
3 R´ eszecsk´ ek eredete ´ es az 1D h´ ur kvant´ al´ asa 15 3.1 Kieg´esz´ıt´es: harmonikus oszcill´ ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 A h´ ur kvantumai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 A kvant´ alt h´ ur id˝ of¨ ugg´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 R´ eszecsk´ ek 4.1 T´erelm´eletek kvant´ al´ asa . . . . . . . . 4.2 A spin-statisztika t´etel . . . . . . . . . 4.3 (Bi) spinor mez˝ ok . . . . . . . . . . . . 4.4 Lorentz-vektormez˝ ok, m´ert´ekelm´eletek
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
5 A Hamilton oper´ ator diagonaliz´ al´ asa
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
22 22 23 24 25 27
6 Anyag ´ es sug´ arz´ as k¨ olcs¨ onhat´ asa 29 ´ 6.1 Atmenet atomi n´ıv´ ok k¨ oz¨ ott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.2 Az atomi energiaszintek ´es a sug´ arz´ as ´allapotainak hibridiz´aci´oja, Wigner-Weisskopf-modell . 33 7 R´ eszecske defin´ıci´ ok v´ altoz´ o k¨ or¨ ulm´ enyek 7.1 Klasszikus mez˝ o . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Id˝ of¨ ugg˝ o t¨ omegtag . . . . . . . . . . . . . 7.3 Unruh sug´ arz´ as . . . . . . . . . . . . . . .
k¨ oz¨ ott 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8 Parametrikus rezonancia 43 8.1 Stabilit´ as anal´ızis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.2 R´eszecskekelt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8.3 Kozmol´ ogiai alkalmaz´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 9 Schwinger effects and related staff
47
1
A Klasszikus t´ erelm´ eletek A.1 Lagrange-s˝ ur˝ us´eg . . . . . . A.2 Mozg´ asegyenletek . . . . . . A.3 Megmarad´ o´ aramok . . . . A.4 Szimmetria ´es megmarad´ as A.5 Energia-impulzus tenzor . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
49 49 50 50 50 52
B Relativisztikus t´ erelm´ eletek B.1 Relativit´ aselm´elet ism´etl´es . . . . . . . . . B.1.1 Szimmetria . . . . . . . . . . . . . B.1.2 P´eld´ ak Lorentz-transzform´ aci´okra B.1.3 Csoport-szerkezet . . . . . . . . . . B.1.4 Relativisztikus mechanika . . . . . B.2 Lorentz-csoport ´ abr´ azol´ asa mez˝ ok¨ on . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
53 53 53 54 54 55 55
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
C Megjegyz´ esek
58
2
1
El˝ osz´ o
Ez a jegyzet a kvantummechanika speci´ alis fejezetei illetve a sug´arz´as ´es anyag k¨olcs¨onhat´asa t´em´akban ki´ırt speci anyaga. Els˝ odleges c´elja az, hogy a kvantummechanikai alapismeretekre t´amaszkodva, els˝osorban a t´erelm´eletet szem el˝ ott tartva vizsg´ aljunk meg n´eh´any alkalmaz´asi ter¨ uletet. A kvantummechanika val´oj´aban az a speci´ alis kvantum rendszer, ahol a r´eszecskesz´am minden (ak´ar k¨ozb¨ uls˝o) ´allapotban r¨ogz´ıtett. Amikor ezen t´ ul akarunk l´epni, nagyon sok koncepcion´alis neh´ezs´eggel tal´aljuk magunkat szemben: mi a r´eszecske, mi a m´er´es, a k¨ olcs¨ onhat´ as. Hozz´ a kell tenn¨ unk, hogy a kvantumelm´elet de m´eg a kvantummechanika sem tekinthet˝o lez´art ter¨ uletnek. A t´em´ aval foglalkoz´ o fizikusok is elt´er˝ o n´ezeteket vallanak p´eld´aul a m´er´es, hull´amf¨ uggv´eny redukci´o, dekoherencia k´erd´es´er˝ ol. A c´elunk, hogy k¨ olcs¨ onhat´ o kvantum rendszereket ´ırjuk le, amelyek k´epesek a relativisztikus invarianci´ at is t¨ ukr¨ ozni. K¨ olcs¨ onhat´ as alatt azonban sokmindet ´erthet¨ unk • id˝ oben ´ alland´ o k¨ uls˝ o potenci´ al: a kvantummechanik´aban az egyed¨ ul megengedett k¨olcs¨onhat´as, hiszen ezzel megmarad a r´eszecskesz´ am. Relativit´aselm´eletben n´egyespotenci´alt kell alkalmaznunk, m´as sz´ oval egy klasszikus (azaz nem kvantumos, el˝ore megadott ´ert´ek˝ u) mez˝ot. • kvantumos k¨ ocs¨ onhat´ asok: r´eszecske kelt´es ´es elt¨ untet´est is lehets´eges. Ekkor m´ar a r´eszecsk´eket is kvantum mez˝ ok´ent kell le´ırni, ez vezet a kvantumt´erelm´elethez. A relativit´aselm´elet miatt kvantummechanik´ aban is automatikusan sokr´eszecske rendszer¨ unk van, m´eg v´akuumban is (l. Dirac tenger), emiatt a r¨ ogz´ıtett klasszikus mez˝ okkel val´o k¨olcs¨onhat´as is igen sok ´erdekes jelens´eghez vezethet (Klein paradoxon, r´eszecskekelt´es). • relativisztikus illetve sokr´eszecske rendszerek: a teljes kvantumos megfogalmaz´asban a k¨olcs¨onhat´ as is kvant´ alt. Val´ oj´ aban nincs arra bizony´ıt´as, hogy ´ıgy “kell” csin´alni, azonban a kauzalit´as ´es relativisztikus invariancia egyszerre legegyszer˝ ubben u ´gy realiz´alhat´o, ha lok´alis k¨olcs¨onhat´asaink vannak, ´es a k¨ olcs¨ onhat´ as is terjed a t´erben. Ebben a f´el´evben a f˝ o hangs´ uly a kvantummechanika-szer˝ u elm´eletek le´ır´as´an lesz, ami azonban r´eszecskesz´ am v´ altoz´ ashoz is vezethet.
2
A kvantumelm´ elet fel´ ep´ıt´ ese
N´ezz¨ uk meg most r¨ oviden, milyen is a kvantumelm´elet fel´ep´ıt´ese, olyan fogalmakkal, amelyek megfelel˝ oek lesznek majd a k´es˝ obbi, nem szigor´ uan r´eszecsk´ekre alapozott kvantumelm´elet sz´am´ara is. A k¨ovetkez˝okben a ¯h = 1 egys´egrendszert fogjuk haszn´ alni. Val´ oj´ aban a kvantumelm´elet ´es a klasszikus elm´eletek abban k¨ ul¨onb¨oznek, hogy az el˝obbi sz´etv´alasztja az ´ allapotot ´es a m´er´est. A klasszikus mechanik´ aban egy ´ allapotot m´er´esi eredm´enyekkel jellemzi. P´eld´aul egy szabad r´eszecsk´et a hely´evel ´es a sebess´eg´evel (impulzus´ aval) jellemzi. ´Igy alakul ki a f´azist´er, amely fogalmat a t¨obb r´eszecske rendszerekre ´es ´ıgy tetsz˝ oleges testre ki lehet terjeszteni. Minden fizikai mennyis´eget valamilyen m´odon ki kell fejezni a f´ azist´er v´ altoz´ oival, ´es akkor ezeknek is hat´arozott sz´am´ert´ek¨ uk lesz a rendszer tetsz˝oleges allapot´ ´ aban. Hasonl´ o m´ odon a mez˝ ot egy adott pontban jelemzett val´os sz´am(ok)kal, a mez˝o ´ert´ek´evel lehet megadni, s a m´erhet˝ o mennyis´egeket a mez˝ o ´ert´ek´evel kell kifejezni. A kvantumelm´eletben sz´etv´ alasztjuk a k´et fogalmat: az ´allapotot egy absztrakt t´er, az ´allapott´er elem´enek tekintj¨ uk. A kvantumelm´eletben az ´ allapott´er egy H komplex Hilbert t´er (azaz egy olyan komplex vektort´er, ahol ´ertelmezett egy skal´ arszorzat h.|.i, ´es az abb´ol sz´armaz´o ||.|| norm´ara a vektort´er teljes) egys´egnyi norm´ aj´ u elemei |ψi ∈ H, ahol hψ|ψi = 1. Szok´as a teljes Hilbert-teret ´allapott´ernek tekinteni, ekkor megfogalmazhatunk egy ekvivalenciarel´ aci´ ot, mely szerint k´et egym´assal ar´anyos (|ψi = c |ξi c ∈ R) elem ugyanazt a fizikai ´ allapotot jelenti (sug´ ar´ abr´azol´as). A Hilbert t´eren a |ψi ´allapothoz tartoz´o projektor Pψ = |ψi hψ|. Ezen projektorokon mint b´ azison ´ertelmezhet˝o egy algebra (egy´eb tulajdons´agokkal kib˝ov´ıtve egy C∗ algebra), ami fizikailag a s˝ ur˝ us´egm´ atrixok tere; ez tekinthet˝o az ´allapott´er kiterjeszt´es´enek. Mi azonban nem megy¨ unk el eddig: sz´ amunkra az ´allapotok tere Hilbert-t´er lesz.
3
Minden fizikai behat´ as megv´ altoztatja az ´allapotot, vagyis valamilyen U : H → H lek´epez´est jelent. Elv´ arjuk, hogy a lek´epzett Hilbert t´er az eredetivel izomorf legyen: ez akkor teljes¨ ulhet, ha a U lek´epz´es line´ aris1 , ´es egys´egnyi norm´ aj´ u´ allapotot egys´egnyi norm´aj´ u ´allapotba k´epez
1 = |U |ψi |2 = ψ|U † U |ψ , ∀ |ψi ⇒ U † U = 1. (1) Emiatt a fizikai behat´ ast csakis unit´er (antiunit´er) oper´ator ´ırhat le. A linearit´as miatt a hat´asn´al a z´ar´ojelet elhagyjuk 0 |ψi = U |ψi . (2) ´ Ertelmezhetj¨ uk a fizikai behat´ ast (transzform´aci´ot) az AH → H line´aris oper´atorokon is a k¨ovetkez˝ok´eppen A0 = U † AU.
(3)
hψ|A0 |ηi = hψ 0 |A|η 0 i .
(4)
Ez esetben ugyanis Fontos speci´ alis esetet jelentenek azok a transzform´aci´ok, azaz unit´er oper´atorok, amelyek egy (vagy t¨obb) val´ os param´etert˝ ol f¨ uggnek U (c), ´es csoportot alkotnak. A Lie csoportokn´ak felt´etelezz¨ uk a folytonoss´agot is (azaz ∀ε > 0 ∃U 0 , hogy ||U − U 0 || < ε valamilyen megfelel˝o norm´aban), valamint feltehetj¨ uk, hogy a param´eterez´es is folytonos. Egy param´eteres csoport pl. az ´allapot eltol´asa, vagy adott tengely k¨or¨ uli elforgat´ asa, t¨ obb param´eteres csoport az ´ altal´anos forgat´as. A csoport tulajdons´ag azt jelenti, hogy ∀ c1 , c2 param´eterre ∃c3 param´eter, hogy U (c1 )U (c2 ) = U (c3 ). Ezeknek a csoportoknak a standard param´eterez´ese a k¨ ovetkez˝ o felt´etelez´esekb˝ ol indul ki: • U (0) = 1 legyen • a folytonoss´ ag miatt U (dc) infinitezim´ alisan kis param´eterre az egys´eg k¨or¨ ul lesz: U (dc) = 1 − iT dc + O(dc2 ),
(5)
T neve (infinitezim´ alis) gener´ ator. Az unitarit´as miatt U † = 1 + iT † dc = U −1 = 1 + iT dc ⇒
T † = T,
(6)
a gener´ ator hermitikus. ´ ırva dc = c/n, azaz • U (dc)n a csoport eleme, ennek param´eter´et defini´ alom c = ndc-nak. At´ n iT c n→∞ −iT c −→ e U (c) = 1 − n
(7)
Ezt a rel´ aci´ ot u ´gy is szokt´ ak ´ırni, hogy ∂U (c) . T =i ∂c c=0
(8)
• T¨ obb (d) param´eter eset´en nem mindegy, milyen u ´ton ´erek el (c1 , . . . , cd )-ig. A szok´asos elj´ar´as, hogy az egyenes utat v´ alasztom: ha az egys´egelem k¨or¨ ul U (dca ) = 1 − iTa ca + O(c2 ) ⇒ U (dca )n ≡ U (ndca ).
(9)
U (ca ) = e−iTa ca .
(10)
Innen n → ∞ eset´en Infinitezim´ alis trf. hat´ as´ ara a hull´ amf¨ uggv´eny ill. az oper´atorok trf-ja: 0
|ψi = U (dc) |ψi = (1 − iT ∂c) |ψi = |ψi − iT |ψi dc, A0 = U † (dc) A U (dc) = (1 + iT ∂c)A(1 − iT ∂c) = A + i[T, A]dc,
(11)
azaz d |Ψi = −iT |Ψi dc, 1 Lehet
illetve
c∗ U
ˆ = i[T, O]dc. ˆ dO
(12)
antiline´ aris is, azaz U (c |ψi) = |ψi. M´ asik megjegyz´ es: a linearit´ ast olykor k´ ets´ egbe vonj´ ak; azonban eddig konzisztens kvantum le´ır´ ast csak line´ aris oper´ atorokkal lehetett megval´ os´ıtani.
4
2.1
M´ er´ es a kvantumelm´ eletben
Hab´ ar egy rendszerrel csak egyetlen dolog t¨ ort´enhet, az ´allapota valahogyan transzform´al´odik, m´egis besz´elhet¨ unk egy speci´ alis transzform´ aci´ or´ ol, ez a m´er´es. A m´er´es olyan behat´as, amely szinte v´altozatlanul hagyja a rendszert, azaz egy infinitezim´ alis transzform´ aci´ o kell legyen. A m´er´es sor´an az ilyen minim´alis befoly´as sor´ an bek¨ ovetkez˝ o v´ altoz´ asokat figyelj¨ uk, er˝ os´ıtj¨ uk fel, vagyis tulajdonk´eppen a gener´ator hat´as´at vizsg´aljuk. A transzform´ aci´ o gener´ ator´ at ez´ert m´er´esi oper´atornak nevezz¨ uk. ´ Altal´ aban is igaz, hogy b´ armilyen transzform´aci´o eset´en l´etezik olyan ´allapot, amely csup´an egy f´azisfaktorral transzform´ al´ odik, nevezetesen a gener´ ator saj´at´allapotai ilyenek. Ha T |ξa i = λa |ξa i
⇒ U |ξa i = e−iT c |ξa i = e−iλa c |ξa i .
(13)
A saj´ at´ert´ekek halmaz´ at az oper´ ator spektrum´ anak nevezz¨ uk. Mivel a gener´ator hermitikus, saj´at´ert´ekei val´ osak λ∗a = λa . A projektor felbont´ as szerint T b´armely f¨ uggv´enye kifejezhet˝o mint X f (T ) = f (λa ) |ξa i hξa | , (14) a
p´eld´ aul 1=
X
|ξa i hξa | ,
T =
a
X
λa |ξa i hξa | .
(15)
a
A saj´ at´ allapotokra hatva a m´er´esi oper´ ator helyettes´ıthet˝o egy sz´ammal: logikus teh´at azt mondani, hogy |ξa i ´ allapotban a m´er´es ´ert´eke λa . Mivel a lehets´eges saj´at´ert´ekek halmaza (az oper´ator spektruma) sokszor diszkr´et, ekkor a m´er´esnek csak bizonyos meghat´arozott ´ert´ekei lehetnek. Ha a rendszer |ψi ´ allapota nem saj´ at´ allapot, akkor nem kapunk hat´arozott ´ert´eket a m´er´esre. Itt egy olyan elvet kell alkalmaznunk, amely nem k¨ ovetkezik az el˝oz˝oekb˝oP l, ez a kvantumelm´elet m´er´esi posztul´ atuma. Az allapotot felbonthatjuk a m´er´es saj´ ´ at´ allapotai szerint |ψi = a va |ξa i, ahol a kifejt´esi egy¨ utthat´ok ´altal´aban komplexek va ∈ C. A m´er´esi posztul´ atum szerint pa = |va |2 annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a |ξa i-hoz tartoz´ o m´er´esi eredm´enyt, λa -t kapjuk a m´er´es eredm´enyek´ent. Ez konzisztens azzal, hogy a teljes val´osz´ın˝ us´eg X X pa = hψ|ξa i hξa |ψi = hψ|ψi = 1. (16) a
a
A m´er´es v´ arhat´ o ´ert´eke ebben az ´ allapotban hT i|ψi =
X a
* + X λa pa = ψ λa |ξa i hξa | ψ = hψ|T |ψi .
(17)
a
Mindez elfogadhat´ o ´es meg´erthet˝ o; azonban van a m´er´esi posztul´atumnak egy olyan, k´ıs´erletileg igazolhat´ o kit´etele, hogy a m´er´es ut´ an a rendszer saj´at´allapot´aba ker¨ ul. Ez azt mondja, hogy a m´er´es nem r´esze a kvantumos vil´ agnak, ami el´eg nehezen ´erthet˝o, hiszen a m´er˝oberendez´es r´eszei is a kvantumelm´eletnek kell, hogy engedelmeskedjenek. Nincsen konszenzus a fizikusok k¨oz¨ott arr´ol, mit is kell pontosan gondolni a m´er´es alatt. De k´et dolgot ´ all´ıthatunk biztosan. Az egyik, hogy a m´er´es megsz¨ unteti a kvantumelm´elet bels˝ o logik´ aj´ at, a m´ert objektum u ´j, v´eletlenszer˝ uen megv´alasztott kezd˝o´allapotb´ol folytatja az ´elet´et: ez a dekoherencia jelens´ege. A m´ asik az, hogy a m´er˝oberendez´es sokr´eszecske kvantum rendszer, u ´gyhogy ha a kvantumelm´elet magyar´ azatot akar adni a m´er´eselm´elet k´erd´eseire, akkor a sokr´eszecske rendszereket kell tanulm´ anyoznia. Val´ oj´ aban itt sok, a m´er´esi probl´em´aval anal´og k´erd´essel tal´alkozunk, p´eld´aul a spont´ an s´ert´essel vagy a termaliz´ aci´ oval. K´es˝ obb m´eg visszat´er¨ unk bizonyos m´ert´ekig ezekre a k´erd´esekre.
2.2
T´ er ´ es id˝ o a kvantumelm´ eletben
A kvantumelm´eletet u ´gy ´ep´ıtett¨ uk fel, hogy k¨ozben sem t´err˝ol, sem id˝or˝ol egy sz´ot sem ejtett¨ unk, m´ıg a klasszikus elm´elet fel´ep´ıt´es´enek legels˝ o elemei voltak. A kvantumelm´eletbe val´o beilleszt´es¨ uk a transzform´ aci´ ok ´es m´er´esek ´ertelmez´es´evel lehets´egesek.
5
Az id˝ o egy egy param´eteres inherens transzform´aci´oja a rendszer¨ unknek, azaz v´altoztatja a rendszer ´llapot´ a at. Ez´ert tartozik hozz´ a egy unit´er oper´ator, az id˝ofejleszt´es oper´atora U (t). Ezen oper´ator gener´ator´ at jel¨ olj¨ uk H-val, neve Hamilton oper´ ator. Ekkor ´ırhatjuk U (t) = e−iHt ,
|ψ, ti = e−iHt |ψi ,
A(t) = eiHt A e−iHt .
(18)
Kis id˝ ol´ep´es eset´en az infitezim´ alis transzform´aci´o alakj´ab´ol d |ψi = −iH |ψi , dt
(19)
ezt nevezz¨ uk Schr¨ odinger-egyenletnek. Az oper´atorokra pedig azt kapjuk, hogy dA = i[H, A]. dt
(20)
L´ athat´ oan az id˝ ofejl˝ od´es Schr¨ odinger egyenlete nem k¨ ul¨on egyenlet, csup´an annak a kifejez´ese, hogy l´etezik id˝ ofejleszt˝ o oper´ ator. A t´er eset´eben defini´ alhatunk egy helym´er˝o oper´atort, qˆ, valamint egy hely-eltol´as oper´atort pˆ. A kett˝ o viszony´ ara a t´er fizikai ´ertelmez´es´eb˝ ol az k¨ ovetkezik, hogy ha a teret eltoljuk dx-szel, akkor minden helym´er´es dx-szel mutat t¨ obbet, azaz dˆ q = dx. Teh´ at dˆ q = i[ˆ p, qˆ]dx = dx
⇒ [ˆ q , pˆ] = i.
(21)
Ez a Heisenberg-f´ele kvant´ al´ asi rel´ aci´ o. L´ athat´oan ez a kifejez´es sem k¨ ul¨on´all´o k¨ovetelm´eny, csup´an annak a kifejez˝ od´ese, hogy a t´er ´es a t´ereltol´ as egym´ assal meghat´arozott kapcsolatban ´all. Mivel itt nem haszn´altunk ki semmit a t´er reprezent´ aci´ oj´ ar´ ol, ez a megk¨ot´es ´altal´anos koordin´at´ak eset´en is igaz kell maradjon. A konkr´et fizikai rendszerekben ezek az oper´ atorok “b´azist” k´epeznek a fizikai megfigyelhet˝o oper´atorok k¨oz¨ ott, azaz minden megfigyelhet˝ o mennyis´eg qˆ ´es pˆ hermitikus f¨ uggv´enye. Ekkor a fenti kvant´al´asi felt´etel r¨ogz´ıti b´ armely k´et megfigyelhet˝ o mennyis´eg kommut´ator´at. Ha meg akarjuk tudni, milyen is a kifejez´ese H-nak ´es p-nek, akkor a k¨ovetkez˝o gondolatmenetet k¨ovethetj¨ uk. Egy transzform´ aci´ o sor´ an lehetnek megmarad´o mennyis´egek, amelyek nem v´altoztatj´ak ´ert´ek¨ uket a transzform´ aci´ o sor´ an. Ezekre teh´ at dA = i[T, A]dλ = 0, vagyis [T, A] = 0.
(22)
Egy oper´ atort biztosan tal´ alunk a megmarad´o oper´atorok k¨oz¨ott: ez maga a gener´ator T , hiszen [T, T ] = 0 mindig igaz. Vagyis ha a gener´ atort akarjuk megtal´alni, akkor a transzform´aci´o sor´an megmarad´o mennyis´egekre kell koncentr´ alni. Ha a transzform´aci´ohoz term´eszetes m´odon tartozik egy megmarad´o mennyis´eg, akkor azt azonos´ıthatjuk a transzform´ aci´ o gener´ator´aval. Azaz trf. gener´ atora ≡ trf. sor´an megmarad´o mennyis´eg. Az id˝ oeltol´ ashoz term´eszetes m´ odon tartozik az energia megmarad´asa (l. klasszikus mechanika, vagy a t´erelm´elet Noether-t´etele). Ez´ert a fenti azonos´ıt´assal azt mondhatjuk id˝ oeltol´ as gener´ atora (Hamilton-oper´ator) ≡ energia. Hasonl´ o m´ odon a t´ereltol´ ashoz term´eszetes m´odon tartozik az impulzus megmarad´asa (l. klasszikus mechanika, vagy a t´erelm´elet Noether-t´etele). Ez´ert a fenti azonos´ıt´as azt mondja t´ereltol´ as gener´atora ≡ impulzus. Mindez persze a klasszikus mechanik´ aban is ´erv´enyes, ´es ott igen sok rendszerre m´ar meghat´aroztuk annak Hamilton-f¨ uggv´eny´enek f¨ ugg´es´et a helyt˝ol ´es az impulzust´ol. Hogy a klasszikus mechanik´at k´epesek legy¨ unk le´ırni, a megfigyelhet˝ o mennyis´egek qˆ ´es pˆ-vel val´o kifejez´ese meg kell egyezzen a klasszikus k´eplettel, azonban rendez´esi bizonytalans´ agok lehetnek. Tartsuk azonban ´eszben, hogy a klasszikus mechanika k´epletei a teljes kvantum rendszernek csak k¨ ozel´ıt´esei, ez´ert a kvantum Hamilton oper´atorba a klasszikusan nulla tagok tetsz˝ oleges egy¨ utthat´ oval hozz´ aadhat´ ok. 6
2.3
Propag´ ator
A Schr¨ odinger egyenlet line´ aris parci´ alis differenci´alegyenlet egyenlet, azaz megoldhat´o a Green-f¨ uggv´eny technik´ aval. A megoldand´ o egyenlet ˆ |ψi = 0, (i∂t − H)
&
|ψ, ti = %(t) |ψ0 i ,
ahol %(t) = e−iHt
|ψ, t0 i = |ψ0 i .
(23)
Ennek megold´ asa ˆ
(24)
id˝ ofejleszt˝ o oper´ ator. Milyen az id˝ ofejleszt˝ o oper´ ator Fourier transzform´altja? Ehhez ´ırjuk fel az id˝ofejleszt˝o oper´atort a saj´ atenergia b´ azisban X X %(t) = |n, tihn, 0| = e−iEn t Pn , Pn = |ni hn| . (25) n
n
Ennek Fourier transzform´ altja %(ω) =
X
2πδ(ω − En )Pn ,
(26)
n
egy olyan oper´ ator, amely csak akkor nem nulla, ha a frekvenci´aval eltal´aljuk valamelyik energia saj´at´ert´eket, ott ´ert´eke ´eppen az arra az energia saj´ atalt´erre vett projektor. Ez´ert a %(ω) a probl´ema spektrum´ at szolg´ altatja, ´ıgy szokt´ ak spektr´ al-oper´ atornak is nevezni. Ha ennek a trace-´et vessz¨ ul, akkor X Tr %(ω) = 2πgn δ(ω − En ), (27) n
m´ ar f¨ uggv´eny, ahonnan az energia saj´ at´ert´ekek olvashat´ok le, gn a saj´at´ert´ek multiplicit´asa. Ez az ´ allapots˝ ur˝ us´eg kifejez´ese. Az id˝ ofejleszt˝ o oper´ atorn´ al el˝ o´ırhatjuk azt is, hogy az adott ´allapot az id˝ofejl˝od´es kezd˝o- vagy v´eg´allapota, ezzel a k´es˝ obbiekben gyakran haszn´ alt fogalmakhoz, a retard´ alt ´es avanzs´ alt Green-f¨ uggv´enyek defin´ıci´oj´ahoz jutunk: ˆ ˆ iGret (t) = Θ(t)e−iHt , iGav (t) = −Θ(−t)e−iHt , (28) A retard´ alt Green-f¨ uggv´ennyel t > t0 -ra |ψ, ti = iGret (t − t0 ) |ψ0 i ,
(29)
t < t0 eset´en pedig null´ at kapunk. Hasonl´ o formul´ak igazak t < t0 eset´en az avanzs´alt Green-f¨ uggv´enyekkel. A k´et Green-f¨ uggv´eny k¨ ul¨ onbs´ege iGret (t) − iGav (t) = %(t). (30) A Green-f¨ uggv´eny id˝ oderiv´ altj´ at v´eve ˆ ˆ i∂t iG(t) = i∂t Θ(t)e−iHt = iδ(t)1 + HiG(t),
(31)
ˆ (i∂t − H)G(t) = δ(t)1,
(32)
azaz ez indokolja a Green-f¨ uggv´eny elnevez´est. Ez a fajta fel´ır´as ¨osszhangban van azzal, hogy a kezd˝ofelt´etelt a differenci´ alegyenletbe belevehetj¨ uk: ugyanis ha ˆ |ψi = i |ψ0 i δ(t − t0 ) (i∂t − H)
|ψ, t = −∞i = 0,
(33)
akkor t = −∞-t˝ ol t = t0 -ig nincs forr´ astag, ´ıgy a megold´as nulla. t = t0 -n´al ugr´asa lesz az egyenletnek, amit onnan l´ athatunk, ha t0 − ε-t´ ol t0 + ε-ig integr´ aljuk a fenti egyenletet. Felt´etelezve, hogy sehol nem szingul´ aris a megold´ as, kapjuk: tZ 0 +ε
ˆ |ψi = i |ψ, t0 + εi − i |ψ, t0 − εi + O(ε) = dt (i∂t − H)
t0 −ε
tZ 0 +ε
dt i |ψ0 i δ(t − t0 ) = i |ψ0 i . t0 −ε
7
(34)
Mivel i |ψ, t0 − εi = 0, ε → 0 mellett ad´ odik, hogy |ψ, t0 i = |ψ0 i. Emiatt (33) val´oban egy kezdeti felt´etel probl´em´ at hat´ aroz meg. P A Green-f¨ uggv´enyt valamilyen b´ azisban fel´ırva Gab m´atrixelemeket kapunk. A a |ai Gab egy olyan allapot id˝ ´ ofejl˝ od´es´et ´ırja le, amely |bi-b˝ ol indult t = 0-n´al. Ez´ert a Green-f¨ uggv´eny tekinthet˝o a hull´amf¨ uggv´eny altal´ ´ anos´ıt´ as´ anak. A Green-f¨ uggv´eny egyenlet´et Fourier-transzform´alva kapjuk ˆ G(ω) ˆ (ω − H) = 1,
(35)
ˆ ˆ −1 . G(ω) = (ω − H)
(36)
azaz ¨ Onmag´ aban ez m´eg nem el´eg, mert ennek a megold´asnak p´olusai vannak, ´es el˝o kell ´ırnunk, mi legyen a p´ olussal, amikor az inverz Fourier transzform´aci´ot csin´aljuk. Hogy jobban l´assuk, mi is t¨ort´enik, ´ırjuk fel a ˆ saj´ jobb oldalt ism´et H atrendszer´eben ˆ G(ω) =
X n
1 Pn . ω − En
(37)
Egy f¨ uggv´enyt m´ ar tudunk inverz Fourier transzform´alni. Ha a nevez˝oh¨oz iε mennyis´eget adunk ε > 0-val, akkor Z∞ e−iωt dω = −iΘ(t)e−iEt . (38) 2π ω − E + iε −∞
Ez u ´gy l´ athat´ o, hogy ω = ωr + iωi v´ alaszt´ assal az exponens e−iωr t+ωi t . Emiatt t > 0-ra a kont´ ur lefel´e (ωi < 0) z´ arhat´ o, ahol van egy egys´egnyi reziduum´ u p´olus. Ennek j´arul´eka, a ford´ıtott k¨orbej´ar´as miatt −2πi. Ha t > 0, a kont´ ur felfel´e z´ arhat´ o, ahol nincs p´olus, az integr´al nulla. Megjegyezz¨ uk, hogy a kezdeti ˆ kell haszn´ felt´etelek fejleszt´es´eben iG-t alnunk, ekkor kiesik a −i faktor. A Θ megjelen´ese miatt kaptuk a retard´ alt megold´ast; ha −iε-t adtunk volna a nevez˝oh¨oz, akkor avanzs´ alt megold´ as lett volna az eredm´eny: ˆ + iε) = G ˆ ret (ω), G(ω
ˆ − iε) = G ˆ av (ω). G(ω
(39)
Ezeket a formul´ akat h´ıvjuk Landau el˝ o´ır´ asnak. Expliciten ki´ırva ˆ ret (ω) = iG
X n
i Pn , ω − En + iε
ˆ av (ω) = iG
X n
i Pn . ω − En − iε
(40)
A retard´ alt ´es avanzs´ alt megold´ as k¨ ul¨ onbs´ege ´eppen az id˝ofejleszt´est adta, l. (30). Ez Fourier b´azisban azt jelenti, hogy ˆ + iε) − iG(ω ˆ − iε). % = iG(ω (41) Ezt a kifejez´est egy f¨ uggv´eny diszkontinuit´ as´anak nevezz¨ uk: Disc f = f (ω + iε) − f (ω − iε),
(42)
ˆ %(ω) = Disc iG(ω).
(43)
azaz Konkr´etan esetben: Disc
1 1 1 −2iε ε→0 = − = 2 −→ −2πiδ(x). x x + iε x − iε x + ε2
(44)
Emiatt visszakaptuk (26) alakot %(ω) =
X
2πδ(ω − En )Pn .
n
A propag´ atror diszkontinuit´ asa teh´ at az ´ allapots˝ ur˝ us´eg.
8
(45)
2.4
Kvantummechanikai le´ır´ as: hull´ amf¨ uggv´ eny ´ es propag´ ator
A kvantummechanika az a kvantumelm´elet, ahol egy r´eszecske t´erbeli poz´ıci´oj´anak qˆ m´er´esi oper´atora ´es a t´ereltol´ as (impulzus) pˆ oper´ atora az a “b´azis”, amelyek szerint minden m´as oper´ator kifejezhet˝o. A kvantummechanika nem teljes, mert mez˝ ok nem szerepelhetnek benne: p´eld´aul az elektromos t´er m´er´esi oper´ atora nem eleme a fent defini´ alt oper´ atorseregnek. A kvantummechanik´ aban az ´ allapotokat leggyakrabban a poz´ıci´o m´er´es oper´ator saj´at´allapotainak b´azis´ aban fejtik ki. Ez a hull´ amf¨ uggv´eny: qˆ |xi = x |xi ⇒ ψ(x) = hx|ψi . (46) ´ Altal´ aban feltessz¨ uk, hogy a helym´er´es folytonos spektrummal rendelkezik, azaz x ∈ R. A hely saj´at´allapot hull´ amf¨ uggv´enye hx|x0 i = δ(x − x0 ) (47) nem norm´ alhat´ o´ allapot. A helym´er´es oper´ ator´ anak hat´ asa a hull´ amf¨ uggv´enyen hx|ˆ q |ψi = x hx|ψi = xψ(x).
(48)
A helym´er´es teh´ at a hely saj´ at´ert´ekkel val´ o szorz´assal reprezent´alhat´o. Az impulzus a t´ereltol´ ast gener´ alja, azaz ˆ ˆ eipa qˆe−ipa = qˆ + a.
(49)
Ezt alkalmazva egy hely saj´ at´ allapotra ˆ ˆ ˆ qˆe−ipa |xi = e−ipa (ˆ q + a) |xi = (x + a)e−ipa |xi
ˆ ⇒ e−ipa |xi = |x + ai .
(50)
Emiatt azt´ an
ipa x|e ˆ |ψ = hx + a|ψi = ψ(x + a).
(51)
Ezt sorba fejtve, ´es az a szerinti rendeket megfeleltetve egyms´anak l´athatjuk, hogy hx|(iˆ p)n |ψi = ∂xn ψ(x).
(52)
Ez az egyenlet azt jelenti, hogy maga iˆ p reprezent´alhat´o mint deriv´al´as iˆ p ⇒
∂.
(53)
Megjegyezz¨ uk, hogy ha pˆ saj´ at´ allapotai pˆ |pi = p |pi
⇒
− i∂x hx|pi = p hx|pi
⇒
hx|pi = eipx .
(54)
Ez a saj´ at´ allapot sem norm´ alhat´ o. Ebben a b´azisban pˆ ´ırhat´o fel u ´gy, mint szorz´asoper´ator, ´es a helym´er´es lesz i∂p . Az impulzus “hull´ amf¨ uggv´eny” ´es a hely hull´amf¨ uggv´eny egym´ashoz val´o viszonya Z Z ψ(p) = hp|ψi = dx hp|xi hx|ψi = dxe−ipx ψ(x), (55) Fourier transzform´ aci´ o. Ezek ut´ an minden oper´ ator, ami qˆ ´es pˆ f¨ uggv´enye mint differenci´aloper´ator ´ırhat´o fel, amely x ´es −i∂x f¨ uggv´enye. A Schr¨ odinger-egyenlet alakja teh´at (i∂t − H(−i∂, x))ψ(t, x) = iψ0 (x)δ(t).
(56)
A Green-f¨ uggv´eny (propag´ ator) defin´ıci´ oja (i∂t − H(−i∂, x))G(t, x) = δ(t)δ(x).
(57)
Ebben az alakban fel´ırva G val´ oban egy f¨ uggv´eny. A Hamilton oper´ator ´altal´aban tartalmaz egy kinetikus ´es egy potenci´ al tagot, ez´ert a Green-f¨ uggv´eny komplik´alt, analitikusan nem meghat´arozhat´o kifejez´es. Ha 9
hi´ anyzik a potenci´ al tag (vagyis a Hamilton-oper´ator eltol´as invari´ans), akkor id˝o- ´es t´erbeli Fourier transzform´ aci´ ot v´egezhet¨ unk el: (ω − Ek )G(ω, k) = 1 ⇒ Gret (ω, k) =
1 . ω − Ek + iε
(58)
Ez u ´gy is felfoghat´ o, mint a Green-f¨ uggv´eny mint opr´ator kifejt´ese impulzus b´azisban. A spektrum a Green-f¨ uggv´eny diszkontinuit´asak´ent ´all el˝o, % most egy f¨ uggv´eny (spektr´alf¨ uggv´eny). A fenti p´eld´ an´ al a spektr´ alf¨ uggv´eny %(ω, k) = 2πδ(ω − Ek ) (59) egyetlen energiaszintet tartalmaz minden k-ra. Az ´allapots˝ ur˝ us´eg a spektr´alf¨ uggv´eny spurja; hely illetve impulzus reprezent´ aci´ oban Z 3 X d k %(ω, k), (60) Tr %(ω) = %(ω, x, x) = V %(ω, x = 0) = V 3 (2π) x mivel eltol´ as-invari´ ans a rendszer. 2.4.1
Egyetlen szabad r´ eszecske p´ eld´ aja 2
k , ez egyben impulzus saj´at´allapot is p = k impulzussal. Szabad nemrelativisztikus r´eszecske eset´en Ek = 2m ˆ Mivel az impulzus megmarad´ o mennyis´eg [ˆ p, H] = 0, van k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´enyrendszer. Az id˝ofejleszt˝ o oper´ atort az impulzus saj´ atf¨ uggv´enyekkel fel´ırva Z 3 d k −iEk t ˆ −iHt %ˆ(t) = e = e |ki hk| , (61) (2π)3
Fourier transzform´ altja Z %ˆ(ω) =
d3 k (2π)δ(ω − Ek ) |ki hk| . (2π)3
(62)
Ahogy az ´ altal´ anos elm´eletb˝ ol v´ arjuk, az eredm´eny Dirac-delt´aval szorzott projektorok ¨osszege (integr´alja), a Dirac-delt´ ak a lehets´eges energisszintekn´el tal´alhat´ok. A retard´alt propag´ator m´atrix Z 3 d k 1 ˆ G(ω) = |ki hk| , (63) (2π)3 ω − Ek + iε ennek diszkontinuit´ asa %ˆ. Egy adott impulzus eset´en lehets´eges energiaszinteket leolvasva: %(ω, k) = (2π)δ(ω − Ek ),
(64)
ez egyetlen energiaszintet jelent minden impulzusra. Ha az ¨ osszel lehets´eges energiaszintet (multuplicit´assal egy¨ utt) meg akarjuk tudni, akkor a teljes ´allapots˝ ur˝ us´eget kell felvenn¨ unk Z 3 m√ d k k2 )= 2mω, (65) %(ω, x = 0) = (2π)δ(ω − (2π)3 2m π az ´ allapots˝ ur˝ us´eg gy¨ ok¨ osen emelkedik. Hasonl´o eredm´enyt kapunk relativisztikus esetben, ahol E 2 = k 2 +m2 (c = 1 egys´egrendszerben): Z 3 p d k ωp 2 2 + m2 ) = %(ω, x = 0) = (2π)δ(ω − k ω − m2 . (66) (2π)3 π Amennyiben a rendszer nem teljesen eltol´as invar´ans, azonban a t´ereltol´asra lassan v´altozik a potenci´ al, akkor a fenti kifejez´es valamennyire helyf¨ ug˝o lesz: ez akkor a lok´alis ´allapots˝ ur˝ us´eg. P´aszt´az´o elektronmikroszk´ opn´ al (scanning electron mikroscope, SEM) a p´aszt´az´o t˝ u hegye ´es a fel¨ ulet k¨oz¨otti ´atmeneti val´ osz´ın˝ us´eg, azaz a mikroszk´ opon ´ atfoly´ o´ aram I ∼ T (ω, x)%(ω, x) ar´anyos a v´eg´allapotok %(ω, x) sz´am´ aval 10
´es a T (ω) ´ atmeneti val´ osz´ın˝ us´eggel2 . Az ´ aram megv´altozik, ha az ´atmeneti (alagutaz´asi) val´osz´ın˝ us´eg v´ altozik, vagy a lok´ alis ´ allapots˝ ur˝ us´eg v´ altozik. Az ´atfoly´o ´aramot m´erve, vagy atomer˝o-elektronmikroszk´opn´ al (atomic force mikroscope, AFM) a t˝ u hegye ´es a fel¨ ulet k¨oz¨ott hat´o er˝ot m´erve eg´eszen atomi m´eretekig terjed˝ o felbont´ as ´erhet˝ o el. 2.4.2
K´ et r´ eszecske rendszer
ˆ =H ˆ1 +H ˆ 2 , ahol H ˆ 1,2 = Ha k´et elt´er˝ o t¨ omeg˝ u f¨ uggetlen r´eszecsk´enk van, akkor a Hamilton oper´ator H Mind pˆ1 , mind pˆ2 megmarad´ o mennyis´eg, ezek saj´atvektoraival jellemezhetj¨ uk a rendszert: Z 3 d k1 d3 k2 −i(E1 +E2 )t ˆ %ˆ(t) = e−iHt = e |k1 , k2 i hk1 , k2 | , (2π)3 (2π)3 Fourier t´erben
Z %ˆ(ω) =
d3 k1 d3 k2 (2π)δ(ω − E1 − E2 ) |k1 , k2 i hk1 , k2 | . (2π)3 (2π)3
p21,2 2m1,2 .
(67)
(68)
Megadott k1 ´es k2 eset´en, az egy r´eszecske rendszerhez hasonl´oan, most is csak egyetlen energiaszintet kapunk. Sok esetben azonban nem tudjuk a k´et impulzust k¨ ul¨on kontroll´alni, csak az ¨osszimpulzust. A k´et r´eszecske ´ allapotokat jellemzhetj¨ uk az ¨ osszimpulzussal ´es mondjuk az egyik impulzus´aval Z 3 d p d3 k (2π)δ(ω − E1 (k) − E2 (p − k)) |p; ki hp; k| . (69) %ˆ(ω) = (2π)3 (2π)3 Ilyenkor ´ertelmes feltenni azt a k´erd´est, hogy mekkora az ´allapots˝ ur˝ us´eg egy adott ¨osszimpulzus eset´en: ezt parci´ alis sp´ urk´epz´essel kaphatjuk meg: Z 3 d k %(ω, p) = hp |Trk %ˆ(ω)| pi = (2π)δ(ω − E1 (k) − E2 (p − k)). (70) (2π)3 B´ ar ez az integr´ al ´ altal´ anosan is elv´egezhet˝ o, n´ezz¨ uk csak a p = 0 rendszert, ekkor form´alisan ugyanaz az integr´ al j¨ on ki, mint kor´ abban az egy r´eszecske teljes ´allapots˝ ur˝ us´egn´el Z 3 k2 M√ d k 2M ω, (71) (2π)δ(ω − ) = %(ω, p = 0) = (2π)3 2M π m2 ahol M = mm11+m reduk´ alt t¨ omeg. Az ´ allapots˝ ur˝ us´eg itt is gy¨ok¨osen indul. 2 Ha a k´et r´eszecske k¨ oz¨ otti potenci´ al fontos szerepet j´atszik, akkor az ´allapots˝ ur˝ us´eg egyre jobban torzul. Legjelent˝ osebb v´ altoz´ as, ha l´eteznek k¨ ot¨ ott a´llapotok: ezek az ´allapots˝ ur˝ us´egben a negat´ıv energi´as r´esz´en megjelen˝ o diszkr´et Dirac-delt´ akk´ent jelentkeznek.
2.4.3
Perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as
A Green-f¨ uggv´ennyel perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ ast is v´egezhet¨ unk. Tegy¨ uk fel, hogy ismerj¨ uk a Green-f¨ uggv´eny´et ˆ 0 Hamilton oper´ ˆ =H ˆ 0 + Vˆ . Ekkor frekvencia-t´erben egy H atornak, ´es H ˆ 0 − Vˆ )G ˆ=1 (ω − H ˆ −1 − Vˆ )G ˆ=1 (G
ˆ 0 )G ˆ0 = 1 (ω − H
0
ˆ −1 = G ˆ −1 − Vˆ G 0 ˆ ˆ ˆ 0 Vˆ G ˆ G = G0 + G
ˆ=G ˆ0 + G ˆ Vˆ G ˆ0 G ˆ=G ˆ0 + G ˆ 0 Vˆ G ˆ0 + G ˆ 0 Vˆ G ˆ 0 Vˆ G ˆ0 + . . . G ˆ 0 (Vˆ G ˆ 0 )n . G A k´et utols´ o kifejez´est szokt´ ak Schwinger-Dyson sornak nevezni. R 2e 2
(72)
A pontos k´ epletet a Landauer-B¨ uttiker formula adja meg IAB = h dE%(E)f 0 (E)T (E), ahol %(E) az ´ allapots˝ ur˝ us´ eg, f (E) az eloszl´ asf¨ uggv´ eny, T (E) az ´ atmeneti val´ osz´ın˝ us´ eg. A 2e a vezet˝ o k´ e pess´ e g kvantuma. h
11
2.5
T¨ obb r´ eszecske rendszerek: megk¨ ul¨ onb¨ oztethetetlens´ eg ´ es Gibbs paradoxon
Amikor a t¨ obb r´eszecske rendszerek le´ır´ as´ ara t¨oreksz¨ unk, akkor legels˝o gondolatunk az, hogy egym´ast´ ol f¨ uggetlen egy r´eszecske rendszereket tekint¨ unk. Ilyen azonban a tapasztalat szerint nincsen, csak abban az esetben, ha valami kvantumsz´ am (azaz megmarad´o mennyis´eg saj´at´ert´eke) szerint megk¨ ul¨onb¨oztethet˝ o a´llapotokr´ ol van sz´ o. K´et ´ allapot, amely ugyanazokkal a kvantumsz´amokkal rendelkezik, egym´ast´ol megk¨ ul¨ onb¨ oztethetetlen. Erre nagyon egyszer˝ u k´ıs´erleti tapasztalatot id´ezhet¨ unk. Sok g´az k¨ozel´ıthet˝o elegend˝oen nagy pontoss´ aggal szabad g´ azzal, azaz az ¨ osszetev˝ oik nemigen hatnak k¨olcs¨on egym´assal. Ebben az esetben a statisztikus fizik´ ab´ ol arra gondoln´ ank, hogy az ´allapot¨osszegben mindegyik r´eszecske ugyanakkora j´arul´ekot ad, mintha egyed¨ ul lenne: 3/2 Z 3 3 mT d pd x − p2 2mT = V e , (73) Z1 = (2π)3 2π ´es Z = Z1N .
(74)
3 mT F = −N T ln Z1 = −N T ln V − N T log . 2 2π
(75)
Ekkor a szabadenergia Z = e−F/T k´eplet alapj´an
Ez a kifejez´es azonban nem extenz´ıv! Ha k´etszer akkora t´erfogatot vesz¨ unk k´etszer akkora r´eszecskesz´ammal, akkor F (2N, 2V ) = 2F (N, V ) − 2N T ln 2. Akkor lesz csak extenz´ıv a szabadenergia (azaz a teljes termodinamika), ha azok a konfigur´ aci´ ok, amelyek a r´eszecsk´ek k¨ ul¨onb¨oz˝o helyzet´ehez tartoznak, egyetlen ´allapottal jellemezhet˝ ok. Ekkor Z=
1 N Z N! 1
⇒ F = −N T ln
V 3 − N T (log T + const.), N 2
(76)
ez m´ ar extenz´ıv kifejez´es. Mindez azt jelenti, hogy a g´ az N darab ¨ osszetev˝oje nem k¨ ul¨on´all´o entit´as, hanem a t¨obbiekkel egyl´enyeg˝ u, vel¨ uk ¨ osszefon´ odott dolog. Nincs k¨ ul¨ on hull´ amf¨ uggv´enye, csak az N r´eszecsk´enek egyszerre lehet hull´amf¨ uggv´enye. Ha k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o g´ azunk van, akkor azok molekul´ai persze megk¨ ul¨onb¨oztethet˝oek. Ebben az esetben az els˝ o formula helyes eredm´enyt szolg´ altat, ´es ha mindk´et g´az t´erfogat´at k´etszeres´ere n¨ovelj¨ uk (azaz a k´et g´ azt ¨ osszekeverj¨ uk), akkor a szabad energia −2N T ln 2-vel v´altozik; mivel S = − ∂F , az entr´ o pi´ aban 2N ln 2 ∂T v´ altoz´ as t¨ ort´enik. Ez a kever´esi entr´ opia. A r´eszecsk´ek megk¨ ul¨ onb¨ oztethetetlens´eg´ere sz´amos egy´eb bizony´ıt´ek is rendelkez´es¨ unkre ´all, p´eld´aul az elektronok fermion term´eszete, ami miatt egy atomp´aly´ara csak (a k´etf´ele spinbe´all´as miatt) k´et elektron ker¨ ulhet. A fotonok kollekt´ıv viselked´es´enek k¨ovetkezm´enye p´eld´aul a l´ezer el˝o´all´ıt´as´anak lehet˝os´ege. Azonban arra vonatkoz´ oan, hogy a megk¨ ul¨onb¨oztethetetlens´eggel kapcsolatban nem teljesen ´ert¨ unk valamit, vonatkozik a Gibbs paradoxon. Gibbs azt a gondolatk´ıs´erletet v´egezte el, hogy k´etfajta g´azt A-t ´es B-t kevert ¨ ossze, amelynek molekul´ ait u ´gy k¨ ul¨ onb¨oztette meg, hogy r´ajuk kis “z´aszl´ocsk´at” helyezett. Ezut´an a z´ aszl´ ocsk´ akat egyre kisebbre vette. Mindaddig, am´ıg a z´aszl´ok l´atszanak, addig a r´eszecsk´ek megk¨ ul¨onb¨oztethet˝ oek, mikor azonban a z´ aszl´ ocsk´ ak elt˝ unnek, akkor a k´et g´az r´eszecsk´ei megk¨ ul¨onb¨oztethetetlenek lesznek. Ennek m´erhet˝ o k¨ ovetkezm´enyei lehetnek, p´eld´ aul ha k´emiai reakci´o v´eg´allapot´aban A ´es B is el˝ofordulhat, akkor a reakci´ o´ alland´ o a v´eg´ allapotok sz´ am´ anak f¨ uggv´eny´eben v´altozik. Ez azt jelenti, hogy nemanalitikus m´odon f¨ ugg egy fizikai mennyis´eg valamilyen folytonosan v´altoz´o bels˝o tulajdons´agt´ol. Ezt a k´ıs´erletet persze nem lehet elv´egezni, ennek ellen´ere minden egy´eb ter¨ uleten m˝ uk¨odik a Gibbs altal haszn´ ´ alt gondolatsor. A f˝ o probl´ema val´oj´aban nem az, hogy a r´eszecsk´ek megk¨ ul¨onb¨oztethet˝ oek vagy megk¨ ul¨ onb¨ oztethetetlenek, hanem a fenti gondolatk´ıs´erletben azt kell megval´os´ıtanunk, hogy az egyik le´ır´ asb´ ol a m´ asikba egy param´eter v´ altoztat´ as´aval kell ´att´ern¨ unk. Mikor a r´eszecsk´eket defini´aljuk kelt˝ o ´es elt¨ untet˝ o oper´ atorok seg´ıts´eg´evel, ism´et visszat´er¨ unk erre a probl´em´ara.
2.6
¨ Osszefon´ odotts´ ag ´ es m´ er´ es: Bell egyenl˝ otlens´ egek
Az ¨ osszefon´ odotts´ ag felt´etelez´es´enek van egy furcsa k¨ovetkezm´enye, nevezetesen akkor is “tudnak egym´asr´ ol” egy g´ az molekul´ ai, amikor azok t´erszer˝ uen, azaz kauz´alisan elv´alasztottak. Err˝ol sz´ol Einstein, Podolsky ´es 12
Rosen 1935-ben publik´ alt, ´es k´es˝ obb nevezetess´e v´alt cikke. Ebben a m´er´esi saj´at´allapotba t¨ort´en˝o beugr´ as ´es a kauzalit´ as ellentmond´ asoss´ ag´ at t´ argyalt´ ak. A k´erd´esr˝ol r´eszletesebben olvashatunk [1] k¨onyvben. Egy k´es˝ obbi ´ atfogalmaz´ asban a felvet´es ´ıgy hangozhat: kelts¨ unk nulla impulzusmomentum´ u kezd˝o´allapotb´ ol k´et spinnel rendelkez˝ o r´eszecsk´et, amelyek elt´ avolodnak egym´ast´ol, ´ıgy semmik´eppen nem kommunik´alhatnak. Ha ezut´ an megm´erj¨ uk valamilyen tengelyre n´ezve az egyik r´eszecske spinj´et, akkor biztosak lehet¨ unk benne, hogy a m´ asik r´eszecsk´en v´egzett m´er´es az ellent´etes eredm´enyt szolg´altatja. A paradoxon az, hogy hogyan mondhatta el az egyik r´eszecske, hogy ˝ ot m´ar detekt´alt´ak, ´es ez´ert a m´asiknak hat´arozott ´ert´ekkel kell rendelkeznie? L´ atsz´ olag ez s´erti a relativit´ aselm´eletet, a maxim´alis sebess´eg˝ u inform´aci´oterjed´es elv´et. Einstein´ek ezt lehetetlennek tartott´ ak, ez´ert azt kellett felt´etelezni¨ uk, hogy a hat´arozott spin´allapot m´ar akkor l´etrej¨ on, amikor a k´et r´eszecske m´eg kauz´ alis kapcsolatban volt. Ez a rejtett param´eter sz´amunkra csak a m´er´es pillanat´ aban der¨ ul ki. Az els˝ o megjegyz´es az, hogy az ´ervel´es nem teljesen korrekt, ugyanis ha megm´erj¨ uk az els˝o r´eszecsk´et, akkor ugyan tudjuk, hogy milyen lesz a m´ asik ´allapota, azonban semmif´ele inform´aci´ot nem tudunk k¨oz¨ olni a m´ asik berendez´essel. Emiatt nem vagyunk ellentmond´asban a relativit´aselm´elet rendszer´evel. A kvantummechanika magyar´ azata szerint a k´et r´eszecske nem k¨ ul¨on entit´as, azoknak csak egy k¨oz¨ os, ¨ osszefon´ odott ´ allapota van. Ennek ellen´ere igen k¨ ul¨on¨osnek hangzik, hogy a m´er´esi saj´at´allapotba val´ o beugr´ as egyszerre t¨ ort´enik meg a teljes t´erben. Ez´ert nem irre´alis k´ıs´erletileg is megvizsg´alni a rejtett param´eterek szerep´et. Hogy mit is ´erdemes m´erni, arra Bell tett el˝osz¨or javaslatot 1964-ben. K´es˝obb jav´ıtottak a javaslaton, mai form´ aj´ aban a k¨ ovetkez˝ ok´eppen n´ez ki. Vegy¨ unk k´et elektront, amelynek spinje egy adott tengelyre n´ezve lehet |↑i ´es |↓i. V´egezz¨ uk el a k¨ ovetkez˝ o m´er´est: az egyik elektront megm´erj¨ uk a ´es a0 ir´any´ u spin-detektorokkal, 0 a m´ asikat b ´es b ir´ any´ u detektorokkal. Ez u ´gy ´ertend˝o, hogy sok k´ıs´erletet v´egz¨ unk, n´emelyiket az els˝ o ´es m´ asodik detektor a illetve b be´ all´ as´ aval, m´asokat a0 illetve b, a illetve b0 ´es a0 illetve b0 be´all´asokkal. Legyen egy-egy adott k´ıs´erletben • az a ir´ anyra vett m´er´es eredm´enye x1 , • az a0 ir´ anyra vett m´er´es eredm´enye x01 , • a b ir´ anyra vett m´er´es eredm´enye x2 , • a b0 ir´ anyra vett m´er´es eredm´enye x02 , ezek ´ert´eke ±1 lehet. A m´er´esek eredm´eny´et ´atlagoljuk. Miut´an nincs kit¨ untetett ir´any, mindegyik m´er´es a´tlaga ¨ onmag´ aban nulla: hx1 i = hx01 i = hx2 i = hx02 i = 0. (77) Ugyanakkor k´et m´er´es korrel´ aci´ oja nem lesz ´altal´aban nulla. K´epezz¨ unk n´egy ilyen korrel´atort: Sa,b = hx1 x2 i ,
Sa0 ,b = hx01 x2 i ,
Sa,b0 = hx1 x02 i ,
Sa0 ,b0 = hx01 x02 i ,
(78)
illetve ezekb˝ ol a S = Sa,b + Sa0 ,b − Sa,b0 + Sa0 ,b0
(79)
mennyis´eget. Tegy¨ uk fel, hogy van valamilyen rejtett param´eter a rendszerben, amely bizonyos eloszl´ast k¨ovet. Ebben az esetben az ´ atlagol´ ast a rejtett param´eterre kell v´egezni. Ekkor S = hx1 x2 − x1 x02 + x01 x2 + x01 x02 iλ = hx1 (x2 − x02 )iλ + hx01 (x2 + x02 )iλ .
(80)
A l´enyeges felismer´es az, hogy mivel minden konkr´et m´er´esben x2 = ±1 ´es x02 = ±1, ez´ert k´et eset lehet: ul mindig vagy x2 − x02 = ´es x2 + x02 = ±2, vagy x2 − x02 = ±2 ´es x2 + x02 = 0. Emiatt a fenti k´et tag k¨oz¨ csak az egyik ad j´ arul´ekot, a m´ asik nem. Azaz minden konkr´et m´er´esben 2|x1 |, vagy 0 0 0 0 |x1 x2 − x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 | = < 2. (81) 2|x01 | Emiatt fel´ırhatjuk |S| < h|x1 x2 − x1 x02 + x01 x2 + x01 x02 |i < 2. 13
(82)
Ez a Bell-egyenl˝ otlens´eg, amely a rejtett param´eter felt´etelez´es´en alapul. Ha a v´ arhat´ o ´ert´eket a kvantummechanika hat´arozza meg, akkor x1 ´es x2 k¨oz¨os m´er´ese nem x1 ´es x2 ´ert´ek´enek szorzata. Ilyenkor ´ allapotokkal, ´es a rajtuk v´egzett m´er´esekkel kell dolgoznunk. Amikor kibocs´ atjuk a k´et elektront nulla ¨ osszimpulzusmomentummal, akkor ´allapotuk 1 |Ψi = √ [|↑1 ↓2 i − |↓1 ↑2 i] 2
(83)
hull´ amf¨ uggv´ennyel ´ırhat´ o le. A negat´ıv el˝ ojel az elektronok fermionikus tulajdons´aga miatt van, fotonokra pozit´ıv el˝ ojelet kellene ´ırnunk. A m´er˝ o oper´ ator egy a polariz´ aci´ o eset´en aσ, ahol σi -k a Pauli-m´atrixok 0, 1 0, −i 1, 0 σ1 = , σ2 = , σ3 = . (84) 1, 0 i, 0 0, −1 V´ alasszuk a halad´ as tengely´et z-nek, a polariz´aci´o legyen mer˝oleges erre a tengelyre, azaz a = (cos ϕ, sin ϕ, 0). Ekkor 0 cos ϕ − i sin ϕ 0 e−iϕ aσ = = . (85) cos ϕ + i sin ϕ 0 eiϕ 0 ˆ = (aσ1 )(bσ2 ) oper´atorral t¨ort´enik, ahol σ1 az els˝o, σ2 a m´asodik r´eszecske Az egy¨ uttes korrel´ aci´ o m´er´ese M Hilbert-ter´en hat. A (83) ´ allapoton az a ´es b polariz´aci´os koincidencia m´er´es eredm´enye Sa,b = hΨ |(aσ1 )(bσ2 )| Ψi = E D E D E D Ei 1 hD ˆ | ↑↓ − ↑↓ |M ˆ | ↓↑ − ↓↑ |M ˆ | ↑↓ + ↓↑ |M ˆ | ↓↑ = ↑↓ |M = 2 1 = − e−iϕa eiϕb + eiϕa e−iϕb = − cos(ϕa − ϕb ) = −ab. 2
(86)
Ez´ert a (79)-ben szerepl˝ o korrel´ ator abszol´ ut ´ert´ek´ere |S| = |ab + a0 b − ab0 + a0 b0 |.
(87)
A fontos itt az, hogy a korrel´ ator lehet negat´ıv is. P´eld´aul ha a, b, a0 ´es b0 egym´assal mindig 45◦ -os sz¨oget bez´ ar´ o vektorok, akkor 1 1 1 1 (88) ab = √ , a0 b = √ , ab0 = − √ , a0 b0 = √ , 2 2 2 2 teh´ at
√ |S| = 2 2 > 2.
(89)
Ez azt jelenti, hogy a kvantum rendszeren v´egzett m´er´essel eld¨onthet˝o, hogy volt-e rejtett param´eter a rendszerben vagy sem. Ezut´ an k´ıs´erleteket kell v´egezn¨ unk a Bell-egyenl˝otlens´egek kim´er´es´ere. Ezt t¨obben megtett´ek, p´eld´aul A. Aspect 1982-ben [2]. A k´ıs´erletekn´el vigy´ azni kell arra, hogy a m´erend˝o objektumok korrel´aci´oja ne s´er¨ ulj¨ on, azaz ne legyen olyan k¨ uls˝ o k¨ or¨ ulm´eny, amely “megm´eri” a detekt´aland´o r´eszecsk´et miel˝ott az az ´altalunk szerkeszetett detektorba ´erkezne. A k´ıs´erletek meggy˝oz˝oen bizony´ıtj´ak a Bell-egyenl˝otlens´egek s´er¨ ul´es´et, azaz a rejtett param´eterek hi´ any´ at. Jelenleg is v´egeznek Bell-teszteket, pl. [3]. Ebben a k´ıs´erletben a forr´as egy krist´aly´atmenet volt (spontaneous parametric downconversion (SPDC)), a k´et nagy koherenci´aj´ u fotont 29 km-re utaztatt´ak, ott detekt´ alt´ ak. A detektorban a detekt´ al´ asi sz¨ oget a fotonok rep¨ ul´ese alatt v´alasztotta ki egy v´eletlensz´amgener´ ator. A k´ıs´erlet c´elja a “lok´ alis realizmus” megc´ afol´asa, azaz hogy aannak a bizony´ıt´asa, hogy a kvantum m´er´esek nem ¨ osszeegyeztethet˝ ok azzal a vil´ agk´eppel, amely szerint a f´enyn´el gyorsabban semmi nem mehet (lok´alis), ´es hogy a m´erend˝ o objektumnak van saj´ at, m´er˝oberendez´est˝ol f¨ uggetlen fizikai tulajdons´aga (realizmus). A m´er´es u ´gy lett megkonstru´ alva, hogy a lehets´eges ellen´erveket (loopholes) a legjobban kiv´edje. Ilyenek p´eld´ aul a lokalit´ asi ´erv, amely szerint ha van arra lehet˝os´eg, hogy a m´er´esr˝ol a m´erend˝o objektumok “tudom´ ast szerezzenek”, akkor m´eg lok´ alisan megt¨ort´enhet a m´er´es, err˝ol csak k´es˝obb szerz¨ unk tudom´ast. M´ asik probl´ema lehet, hogy ha a m´er´esek szisztematikusan k¨ovetik egym´ast, akkor az el˝oz˝o m´er´esb˝ol m´ar k¨ovetkezik 14
a k¨ ovetkez˝ o, ism´et van id˝ o a lok´ alis m´er´esre. Esetleg csak bizonyos esetekben s´er¨ ul a Bell-egyenl˝otlens´eg, de glob´ alisan nem, ha viszont nem detekt´ alunk elegend˝oen sok r´eszecsk´et, akkor rossz mintav´alaszt´as miatt kaphatunk s´er¨ ul´est. A szerz˝ ok mindezeket gondosan kik¨ usz¨ob¨olve a Bell egyenl˝otlens´egek s´er¨ ul´es´et 11.5 σ jel/zaj ar´ annyal tudt´ ak demonstr´ alni: ezek szerint csup´an ∼ 10−31 annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a vil´agban teljes¨ ul a Bell-egyenl˝ otlens´eg, ´es a m´er˝ oberendez´es csak v´eletlen¨ ul m´ert ett˝ol elt´er˝o ´ert´eket. Meg kell jegyezn¨ unk, hogy a fenti m´er´esek csak a lok´alis rejtett param´eterek l´et´et z´arja ki. Amennyiben a r´eszecsk´ek ´es a detektorok rendszer´et ¨ osszefog´oan egy z´art kvantum rendszernek tekintj¨ uk, akkor azt egy determinisztikus k¨ oz¨ os Schr¨ odinger-egyenlet ´ırja le. Ennek kezd˝o´allapota meghat´arozza a v´eg´allapotot, azaz r¨ ogt¨ on az elej´en “meg van hat´ arozva” a korrel´aci´os m´er´esek eredm´enye. A kezd˝o´allapot azonban a detektorok ´es a m´erend˝ o r´eszecske k¨ oz¨ os saj´ atf¨ uggv´enyrendszer´et jelenti, nem csak a r´eszecske hull´amf¨ uggv´eny´et.
3
R´ eszecsk´ ek eredete ´ es az 1D h´ ur kvant´ al´ asa
A val´ odi r´eszecsk´ek teh´ at sok esetben ¨ osszefon´odott ´allapotot alkotnak, a r´eszecsk´ek maguk megk¨ ul¨onb¨oztethetetlenek. Hogyan lehet ilyen rendszert konstru´ alni, ahol nem kell k´ezzel betenni a hull´amf¨ uggv´eny (anti-)szimmetri´aj´ at? Tekints¨ unk ehhez egy rug´ okkal ¨ osszek¨ ot¨ ott t¨omegpontokb´ol ´all´o l´ancot, ahol a rug´ok kezdeti hossza ∆x0 , nyugalomban az aktu´ alis hossz ∆x ´es a rug´ ok direkci´os ereje D. Vagyis a rug´ok el˝ofesz´ıtettek F = D(∆x − ∆x0 ) = αD∆x,
∆x0 = (1 − α)∆x.
(90)
A rendszer dinamik´ aj´ anak le´ır´ as´ ahoz minden (i.) pontban vegy¨ unk fel egy koordin´atarendszert, a v´ızszintes kit´er´es ui , a f¨ ugg˝ oleges yi ´es zi . A szomsz´edos t¨omegpontok k¨oz¨otti t´avols´ag " 2 2 2 # ∆yi ∆zi ∆ui 2 2 2 2 2 + + (91) ∆`i = (∆x + ui+1 − ui ) + (yi+1 − yi ) + (zi+1 − zi ) = ∆x 1+ ∆x ∆x ∆x A teljes rendszer Lagrange-f¨ uggv´enye X 1 1 L= mi (u˙ 2i + y˙ i2 + z˙i2 ) − Di (∆`i − ∆x0 )2 − V (ui , yi , zi ) , 2 2 i
(92)
ahol V valamilyen lok´ alis potenci´ al (pl. gravit´aci´os er˝ot´er). Jel¨ol´es: Vi = v∆x ´es mi = %i ∆x. A potenci´ al tag: " # # " 2 2 ∆` 1 1 ∆x ∆` F i 0 i Ui = Di (∆`i −∆x0 )2 +V (ui , yi , zi ) = ∆x Di ∆x − − 1 + α + vi . + vi = ∆x 2 2 ∆x ∆x 2α ∆x (93) Itt 2 2 !1/2 2 ∆`i ∆ui ∆yi ∆ui 1 ∆yi = 1+ + =1+ + + ..., (94) ∆x ∆x ∆x ∆x 2 ∆x kvadratikus rendig kifejtve. Emiatt
∆`i −1+α ∆x
2 =
∆ui 1 α+ + ∆x 2
∆yi ∆x
2 !2
∆ui = α + 2α + ∆x 2
∆ui ∆x
2
+α
∆yi ∆x
2 + ...
(95)
P Az els˝ o tag konstanst ad, a m´ asodik tag i ∆ui = 0-t ad a Lagrange-f¨ uggv´enyben. A marad´ekot vissza´ırva " # 2 2 X 1 F ∆ui F ∆yi 2 2 L = ∆x %i (u˙ i + y˙ i ) − − − vi + . . . (96) 2 2α ∆x 2 ∆x i Vannak m´eg tov´ abbi tagok, de a kit´er´esek legalacsonyabb rendj´eben ezek a tagok maradnak. Vegy¨ unk konstans %i ´ert´eket.
15
∆x → 0 limeszben integr´ alt kapunk, ha bevezetj¨ uk a Lagrange-s˝ ur˝ us´eget: Li . ∆x
L= Ekkor
Z L=
Z dx L =
dx
(97)
F F 1 2 2 %(u˙ 2 + y˙ 2 ) − (∂x u) − (∂x y) − v + . . . 2 2α 2
(98)
K´et (ill. h´ arom) Lagrange-f¨ uggv´eny ¨ osszeg´et kaptuk, amelyek k¨oz¨ott nincs k¨olcs¨onhat´as, legal´abbis legalacsonyabb rendben. Az egyik transzverz´ alis m´ odus egyenlete Z 1 2 F 2 (99) Ly = dx %y˙ − (∂x y) − v . 2 2 Klasszikusan v = 0-n´ al a mozg´ asegyenlet %∂t2 y − F ∂x2 y = 0,
(100)
megold´ asa s´ıkhull´ amok ¨ osszege y=e
−iωt+ikx
=e
ik(x− ω k t)
2
,
ω % = Fk
2
ω ⇒ c= = k
s
F . %
(101)
Csin´ aljunk n´eh´ any ´ atsk´ al´ az´ ast s
√ Φ=
F y,
Ezzel
τ=
Z Ly =
F t = ct %
⇒
∂Φ √ = % y. ˙ ∂τ
1 1 2 2 dx (∂τ Φ) − (∂x Φ) − v . 2 2
(102)
(103)
Az ´ atsk´ al´ azott mozg´ asegyenletb˝ ol m´ ar hi´ anyzik c. (∂τ2 − ∂x2 )y + v 0 = 0 ⇒ ∂ 2 y + v 0 = 0.
(104)
Pr´ ob´ aljuk megkvant´ alni a rendszert. Az eredeti szabads´agi fokok nyelv´en (ezek Descartes rendszert alkotnak) ∂L pi = = mi y˙ i ⇒ [ˆ yi , pˆj ] = i¯hδij . (105) ∂ y˙ i Most sk´ al´ azzuk ´ at az eredeti szabads´ agi fokokat: yi = CYi
⇒ Pi =
∂L = Cpi ∂ Y˙ i
⇒
[Yˆi , Pˆj ] = [ˆ yi , pˆj ] = i¯hδij .
(106)
Ez azt jelenti, hogy a szabads´ agi fokok ´ atsk´al´az´asa nem v´altoztat a kvant´al´asi felt´etelen. Ugyanakkor a Lagrange-f¨ uggv´eny ´ atsk´ al´ az´ as´ anak hat´ asa L=
L ∆x
⇒ πi =
∂L 1 = pi ∂ y˙ i ∆x
⇒ [ˆ yi , π ˆi ] = i¯h
δij . ∆x
(107)
Ha az indexekb˝ ol t´erv´ altoz´ ot csin´ alunk, azaz x = i∆x jel¨ol´essel y(x) = yi , akkor a jobb oldal Dirac-delt´ahoz tart, hiszen X δij = 1. (108) ∆x ∆x i Vagyis amikor a Lagrange-s˝ ur˝ us´egb˝ ol k´epzett deriv´altakb´ol sz´armaztatunk kvant´al´ast, akkor a jobb oldalon Dirac-delt´ at kell ´ırni. 16
Most induljunk ki (103) egyenletb˝ ol: ∂L = ∂t Φ(t, x), ˙ x) ∂ Φ(t,
(109)
ˆ x), Π(t, ˆ y)] = i¯hδ(x − y). [Φ(t,
(110)
Π(t, x) = ezzel Most folytassuk u ´gy, hogy feltessz¨ uk, hogy
v(Φ) =
M2 2 Φ . 2
(111)
L´ athat´ oan M nem az eredeti t¨ omegekkel, ink´ abb az eredeti potenci´allal van kapcsolatban. Ekkor a Lagrange´es a Hamilton-f¨ uggv´enyek alakja: 1 M2 2 L = (∂µ Φ)2 − Φ , (112) 2 2 ´es Z X 1 M2 2 1 Φ . (113) H= pi qi − L → (Π∂t Φ − L) ⇒ H = Π2 + (∂x Φ)2 + 2 2 2 i A mozg´ asegyenlet 2 (∂02 − ∂X + M 2 )Φ(t, x) = 0,
(∂02 + k 2 + M 2 )Φ(t, k) = (∂02 + ωk2 )Φ(t, k) = 0,
(114)
ωk2 = k 2 + M 2 .
(115)
ahol defini´ altuk a Ez a jel¨ ol´es olyan, mint egy relativisztikus diszperzi´os rel´aci´o (hiszen az id˝o ´atsk´al´az´as´aval c = 1-re t´ert¨ unk at). A t´erbeli Fourier transzform´ ´ aci´ o ut´ an m´ar teljesen u ´gy n´ez ki a mozg´asegyenlet, mint sok egym´ast´ ol f¨ uggetlen harmonikus oszcill´ ator ¨ osszess´ege, ahol a saj´atfrekvenci´ak ωk -k. A rendszer kvant´ al´ asa a (110) alapj´ an t¨ ort´enik. Fizikailag a h´ ur kit´er´es ´es annak konjug´alt impulzusa helyett a kit´er´es m´er´ese ´es kit´er´es megv´ altoztat´asa oper´aci´okat alkalmazzuk. Mivel a rendszer nagyon hasonl´ıt a harmonikus oszcill´ atorra, a kvant´ al´ asn´al az ott alkalmazott m´odszert ´erdemes k¨ovetni. Az egyetlen neh´ezs´eg, amit figyelembe kell venni, hogy most nem a f¨ uggetlen m´odusok hermitikus oper´atorok, hanem a val´ os t´erbeli mez˝ ok. ´Igy az eredeti Φ, Π v´ altoz´ok helyett a k¨ovetkez˝o m´odon vezetj¨ uk be a kelt˝o ´es elt¨ untet˝ o oper´ atorokat Z dk 1 ikx ˆ √ Φ(t, x) = a ˆk e + a ˆ†k e−ikx 2π 2ωk r Z ωk ikx dk ˆ Π(t, x) = (−i) a ˆk e − a ˆ†k e−ikx . (116) 2π 2 Az inverz rel´ aci´ ok r
i ˆ ˆ dxe Φ+ Π a ˆk = ωk r Z ωk i ˆ † ikx ˆ a ˆk = dxe Φ− Π . 2 ωk ωk 2
Z
−ikx
Ezek kommut´ aci´ os rel´ aci´ oj´ ara kapjuk r Z ωk ωq ˆx + i Π ˆ x, Φ ˆy − i Π ˆ y ] = 2πδ(k − q). [ˆ ak , a ˆ†q ] = dxdy e−ikx+iqy [Φ 2 ωk ωq
(117)
(118)
A Hamilton-oper´ atort is kifejezhetj¨ uk ezekkel az oper´atorokkal. A fentihez hasonl´o sz´amol´as ut´an kapjuk Z Z Z dk dk ωk ˆ = dk ωk a H ˆ†k a ˆk + a ˆ†k a ˆk = ωk a ˆ†k a ˆk + 2πδ(0). (119) 2π 2 2π 2π 2 17
A m´ asodik tag az oszcill´ atorok nullponti energi´aj´anak megfelel˝oje kontinuum esetre. Val´oban, diszkr´et esetben Z Z 1X dk ikx = 2πδ(0) = L, (120) ↔ , valamint dx e 2π L i x=0 ez´ert
Z
X ωi dk ωk 1 X ωi 2πδ(0) ↔ L= . 2π 2 L i 2 2 i
(121)
Csakhogy am´ıg egyetlen oszcill´ ator eset´eben lehetett ´ervelni amellett, hogy a nullponti energia m´erhet˝o, itt semmik´eppen nem ´ertelmezhet˝ o ez a tag fizikailag. El˝osz¨oris ez egy konstans j´erul´ek az energi´ahoz, m´arpedig csak energiak¨ ul¨ onbs´egek m´erhet˝ ok. Igazi kontinuum esetben vagy v´egtelen t´erfogat eset´eben a v´egtelen sok m´ odus v´egtelen energi´ at jelent, hasonl´ oan a klasszikus Reileigh instabilit´ashoz. Elvileg, ha valami korl´atozza a m´ odusok sz´ am´ at, p´eld´ aul l´etezik legkisebb lehets´eges hull´amhossz, akkor v´eges ´ert´eket kapunk, amely elvileg m´erhet˝ o lehetne. Az egyik megnyilv´ anul´ asi form´aja lehetne a nullponti energi´anak a v´akuum energi´aja, azaz a kozmol´ ogiai s¨ ot´et energia, amely a kozmol´ ogiai standard modell szerint val´oban l´etezik, ´es a vil´aegyetem energias˝ ur˝ us´eg´enek kb 70%-´ at teszi ki. Azonban b´armely ´esszer˝ u becsl´es a legkisebb hull´amhosszra, sok-sok nagys´ agrenddel (azaz 1040 -t˝ ol 10120 faktorig) ad nagyobb ´ert´eket a kozmol´ogiai konstansra, mint a k´ıs´erleti ´ert´ek. A m´ asik lehets´eges effektus a Casimir effektus lenne: adott energias˝ ur˝ us´eg eset´en a V t´erfogat energi´ aja %E V , ekkor egy v´eges t´erfogatba z´ art v´ akuum a doboz fal´ara er˝ovel hat. Ekkor nem az energia abszol´ ut ´ert´ek´et m´erj¨ uk ki, hanem a v´ altoz´ as´ at. B´ ar el´eg bizarr gondolat a v´akuumot dobozba z´arni, ez a vonz´oer˝ o val´ oban kim´erhet˝ o; azonban m´ as magyar´ azat (spont´an t¨olt´esmegoszt´as) ugyanilyen eredm´enyt ad. V´egeredm´enyben azt kell mondanunk, hogy a nullponti energia nem megfelel˝oen al´at´amasztott fogalom, val´ oj´ aban m´eg az “igazi” kvantummechanikai rendszerek eset´eben sem. Az egyik legfontosabb kritika ellene, hogy val´ oj´ aban a kvantum Hamiltonb´ ol kellene kiindulnunk, nem pedig a klasszikus megfelel˝oj´eb˝ol. A kvantum Hamilton f¨ uggv´eny pedig tartalmazhat olyan tagot, amelynek klasszikus hat´aresete nulla. P´eld´ aul kvadratikus rendig 1 kvantumosan, −iˆ q pˆ + iˆ pqˆ → (122) 0 klasszikusan. Miut´ an csup´ an a klasszikus Hamilton-f¨ uggv´enyb˝ol tudunk kiindulni, nem vehetj¨ uk komolyan a konstans tagok megjelen´es´et a kvadratikus elm´eletben. A Hamilton oper´ ator alakja a ˆ† -tel ´es a ˆ-val kifejezve most m´ar ponotsan f¨ uggetlen harmonikus oszcill´atorok osszeg´enek felel meg. Ism´etl´esk´ent n´ezz¨ ¨ uk meg az egy szabads´agi fok´ u harmonikus oszcill´ator megold´as´at.
3.1
Kieg´ esz´ıt´ es: harmonikus oszcill´ ator
A kvantummechanika l´enyeg´eben egyetlen megoldhat´o probl´em´aja a harmonikus oszcill´ator, ´es az abb´ ol sz´ armaztathat´ o potenci´ alok. Erre ω2 2 1 q . (123) H = p2 + 2 2 Bevezetj¨ uk a kelt˝ o-elt¨ untet˝ o oper´ atorokat: r 1 ω † q = √ (a + a ), p = −i (a − a† ) ⇒ [q, p] = i[a, a† ] = i ⇒ [a, a† ] = 1. (124) 2 2ω Kifejezve H-t p2 = −
ω 2 a − aa† − a† a + (a† )2 , 2
q2 =
1 a2 + aa† + a† a + (a† )2 2ω
⇒
Jel¨ olj¨ uk H saj´ atvektorait |ni-nel, saj´ at´ert´ekeit En -nel. Mivel b´armely ´allapotban 1 2 hΨ |H| Ψi = ω |a |Ψi| + > 0, 2
18
1 H = ω a† a + . (125) 2
(126)
ez´ert valamennyi saj´ at´ert´eke pozit´ıv. Emiatt van legkisebb saj´at´ert´ek: E0 , a hozz´a tartoz´o saj´atvektort jel¨ olj¨ uk |0i-nak. Mivel [a† a, a] = −a ⇒ [H, a] = −ωa, [H, a† ] = ωa† , (127) ez´ert Ha |ni = aH |ni + [H, a] |ni = (E − ω)a |ni .
(128)
Vagyis a |ni is saj´ atvektor, saj´ at´ert´eke E − ω. Viszont E0 − ω nem lehet saj´at´ert´ek, ez´ert a |0i = 0 ⇒ M´ asr´eszt Ha† |ni = (En + ω)a† |ni
H |0i =
ω |0i 2
⇒ E0 =
ω . 2
(129)
a† |ni is saj´atvektor, saj´at´ert´eke En + ω. Ez´ert 1 En = n + ω, |ni ∼ (a† )n |0i . 2 ⇒
(130)
Az ar´ anyoss´ agi t´enyez˝ oh¨ oz |ni =
1 † 1 a |n − 1i = a |n + 1i . αn βn+1
(131)
Ezzel, felt´eve, hogy minden saj´ at´ allapot norm´alt: hn − 1|a|ni = βn = αn .
(132)
M´ asr´eszt hn|ni =
1
1 2 1
n − 1|aa† |n − 1 = 2 n − 1|a† a + 1|n − 1 = 2 (αn−1 +1) = 1 2 αn αn αn
2 ⇒ αn2 = αn−1 +1
⇒ αn2 = n. (133)
Teh´ at
3.2
1 |ni = √ (a† )n |0i . n!
(134)
A h´ ur kvantumai
Ennek az anal´ızisnek a pontos m´ as´ at kell a h´ ur eset´en is k¨ovetni. Feltessz¨ uk, hogy van egy olyan ´allapot, amelyet minden a ˆk oper´ ator elt¨ untet: ez lesz a v´akuum´allapot |0i. Ebb˝ol el˝o´all´ıthat´o kelt˝o oper´atorok seg´ıts´eg´evel egy ´ altal´ anos |k1 , n1 ; k2 , n2 ; . . . ka , na i = √
1 (a† )n1 (a†k2 )n2 . . . (a†k2 )n2 |0i . n1 !n2 ! . . . na ! k1
(135)
Itt a ki hull´ amsz´ am´ u´ allapotban ni gerjeszt´es van. A kelt˝o oper´atorok felcser´elhet˝os´ege miatt |. . . ; ki , ni ; . . . kj , nj ; . . .i = |. . . ; kj , nj ; . . . ki , ni ; . . .i ,
(136)
vagyis a gerjeszt´esek sorrendje nem sz´ am´ıt. Ugyanezen okn´ al fogva n ˆk = a ˆ†k a ˆk oper´ atorok felcser´elnek a ˆq ´es a ˆ†q tetsz˝oleges f¨ uggv´eny´evel, ha k 6= q. Emiatt n ˆ k |k1 , n1 ; k2 , n2 ; . . . ka , na i = nk |k1 , n1 ; k2 , n2 ; . . . ka , na i . (137) Ha a k m´ odust nem gerjesztett¨ uk, akkor persze nk = 0-t kapunk. Mindenesetre ´ıgy kaptunk v´egtelen sok egym´ assal felcser´el˝ o mennyis´eget. A fenti oper´atorok ¨osszege a “r´eszecskesz´am oper´ator” Z ˆ = dk a ˆ† a ˆk , (138) N 2π k erre ˆ |k1 , n1 ; k2 , n2 ; . . . ka , na i = N
X i
19
ni |k1 , n1 ; k2 , n2 ; . . . ka , na i .
(139)
R¨ ogz´ıtve az ¨ osszes r´eszecske sz´ am´ at a teljes Hilbert-t´er fel´ırhat´o, mint fix r´eszecskesz´am´ u alrendszerek direkt o¨sszege H = H0 ⊕ H0 ⊕ . . . H0 ⊕ . . . , (140) ez a Fock-t´er konstrukci´ o. A fentiek miatt a (135) ´ allapot energia saj´at´allapot: ˆ |k1 , n1 ; k2 , n2 ; . . . ka , na i = H
a X
ni ωki |k1 , n1 ; k2 , n2 ; . . . ka , na i .
(141)
i=1
ˆ kit´er´eshez kanonikusan konjug´alt Π ˆ oper´atort kell n´ezni, Ha az impulzust is tudni akarjuk, akkor nem a Φ hiszen az a h´ ur ir´ any´ u kit´er´es´ert felel˝ os. Az imulzus azonban a fizikai t´er x → x + ∆x eltol´as´anak gener´atora ˆ = i[Pˆ , Φ] ˆ = ∂ Φ. ˆ kell legyen. Erre a terek v´ altoz´ asa Φ(x) → Φ(x + ∆x). Infinitezim´alis transzform´aci´okra δ Φ ´ All´ıt´ as az, hogy ez az oper´ ator Z ˆ ˆ Pˆ = dy Π(y)∂ Φ(y). (142) Bizony´ıt´ as: mivel [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, ez´ert Z Z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i[Pˆ , Φ(x)] = dy i[Π(y)∂ Φ(y), Φ(x)] = dy i[Π(y), Φ(x)]∂ Φ(y) = ∂ Φ(x), ˆ ˆ ˆ ˆ hiszen i[Π(y), Φ(x)] = δ(x − y), m´ıg [Φ(y), Φ(x)] = 0, ez´ert a deriv´altra is ugyanez igaz. Be´ırva a kelt˝ o- ´es elt¨ untet˝ o oper´ atorokat r Z Z −ikx ωq dk dq ˆ ˆ ˆ (−i)(−ik) a ˆq e−iqx − a ˆ†q eiqx a ˆk e −a ˆ†k eikx = P = dy Π(y)∂ Φ(y) = dy 2π 2π 4ωk Z Z dk k dk † = a ˆk a ˆ†k + a kˆ a a ˆ†k a ˆk . ˆk = 2π 2 2π k Emiatt (135) alatt l´etrehozott ´ allapot impulzus saj´at´allapot is: X Pˆ |k1 , n1 ; k2 , n2 ; . . . ka , na i = ni ki |k1 , n1 ; k2 , n2 ; . . . ka , na i .
(143)
(144)
(145)
i
Mindennek alapj´ an a (135) ´ allapot olyan, mint egy f¨ uggetlen kvantum r´eszecsk´ekb˝ol ´all´o g´az, ahol a gerjeszt´esek jelentik a r´eszecsk´eket. Az egyes r´eszecsk´ekre relativisztikus energia-impulzus ¨osszef¨ ugg´es (diszeprzi´ os rel´ aci´ o) ´erv´enyes. A gerjeszt´esek cser´ej´ere nem kapunk u ´j ´allapotot, ez mag´ab´ol a konstrukci´ob´ ol k¨ ovetkezik! Jelen esetben a g´ az r´eszecsk´ei bozonok, felcser´el´es¨ ukre ugyanazt az ´allapotot kapjuk. A teljes energia ´es impulzus a r´eszecsk´ek energi´ aj´ anak illetve impulzus´anak ¨osszege. Mivel a r´eszecsk´ek hat´ arozott impulzussal rendelkeznek, hely¨ uk teljesen hat´arozatlan. A pontszer˝ u gerjeszt´es ebben a rendszerben a h´ ur egy pontban val´o kit´er´ıt´es´evel kaphat´o. A kit´er´es m´er˝o oper´atora teh´ at a pontszer˝ u r´eszecske m´er˝ o oper´ ator´ aval kapcsolhat´o ¨ossze. Ez´ert ˆ |xi = Φ(x) |0i .
(146)
Ez a k´eplet u ´gy is megindokolhat´ o, hogy ha a hat´arozott impulzus´ u egy r´eszecske ´allapot |ki ∼ ak |0i, akkor R R a pontszer˝ u r´eszecske ´ allapot ∼ dk eikx |ki ∼ dk eikx a†k |0i. Felhaszn´alva, hogy ak |0i = 0, norm´al´as erej´eig ˆ maga Φ(x) egy pontszer˝ u r´eszecsk´et kelt a v´ akuumb´ol. Ezek ut´ an a hat´ arozott impulzus´ u egy r´eszecske ´allapot hull´amf¨ uggv´enye (116) felhaszn´al´as´aval Z
dk 1 ˆ √ h0|Φ(x)|pi = eikx 0|ˆ ak a ˆ†p |0 ∼ eipx , (147) 2π 2ωk s´ıkhull´ am. Egy gyakran haszn´ alt norm´ al´ as szerint p 2ωp a†p |0i ,
(148)
ipx ˆ h0|Φ(x)|pi . phys = e
(149)
|piphys = erre
Az ilyen v´ akuum ´es valamilyen m´ asik ´ allapot k¨oz¨otti m´atrixelemet szok´as form faktornak h´ıvni. 20
3.3
A kvant´ alt h´ ur id˝ of¨ ugg´ ese
Hogy a propag´ atort meghat´ arozzuk, sz¨ uks´eg¨ unk lesz a rendszer id˝ofejl˝od´es´enek meghat´aroz´as´ara. A t´erelm´eletben legink´ abb Heisenberg k´epet szoktak haszn´ alni, vagyis az id˝of¨ ugg´est az oper´atorokhoz rendelj¨ uk. Kezdj¨ uk el˝ osz¨ or a kit´er´est m´er˝ o ´es kit´er´ıt˝ o oper´ atorokkal. A kanonikus kommut´aci´os rel´aci´okat (110) haszn´ alva l´ athat´ o, hogy ˆ = i[H, ˆ Φ] = Π, ˆ ˆ = i[H, ˆ Π] = (∂x2 − M 2 )Π. ˆ ∂t Φ ∂t Π (150) Ez azt jelenti, hogy a t´eroper´ ator a klasszikus mozg´asegyenleteknek tesz eleget. Val´oj´aban ez mindig igaz, ´es a Poisson z´ ar´ ojelek ´es a kommut´ ator k¨ oz¨ otti szoros kapcsolat k¨ovetkezm´enye. Fourier-t´erben a mozg´asegyenlet ˆ k) = 0, (∂02 + ωk2 )Φ(t,
(151)
innen a ˆ = t0 , k) = Φ(t ˆ 0 , k), Φ(t
ˆ = t0 , k) = Π(t ˆ 0 , k) ∂t Φ(t
(152)
kezdeti felt´etelekkel kapjuk ˆ k) = Φ(t ˆ 0 , k) cos ωk (t − t0 ) + Π(t ˆ 0 , k) sin ωk (t − t0 ) . Φ(t, ωk
(153)
A fenti kifejez´es mindk´et tagj´ at lehet a retard´alt propag´atornak ´ertelmezni. Szok´asosan a m´asodik tagot szokt´ ak venni, az els˝ o ennek id˝ oderiv´ altja. Sz´oval Gret (t, k) = −Θ(t)
sin ωk t . ωk
(154)
A spektr´ al f¨ uggv´eny pedig az iGret (t) = Θ(t)%(t) ¨osszef¨ ugg´esb˝ol (l. (28) egyenlet) %(t, k) = −i A kvant´ al´ asi rel´ aci´ o miatt
sin ωk t . ωk
(155)
E D ˆ ˆ %(t, x) = 0 [Φ(t, x), Φ(0)] 0 .
(156)
´ Altal´ aban ezt az alakot lehet haszn´ alni a spektrum felder´ıt´es´ere. Frekvencia t´erben ezek a mennyis´egek: Gret (k0 , k) =
1 , (k0 + iε)2 − ωk2
%(k0 , k) =
2π (δ(k0 − ωk ) − δ(k0 + ωk )) = 2π sgn(k0 )δ(k02 − ωk2 ). (157) 2ωk
L´ athat´ o m´ odon a spektrumban k´et vonal jelent meg, egy a pozit´ıv, a m´asik a negat´ıv frekvenci´akon. Ez ˆ mozg´asegyenlete kvadratikus volt. A kvadratikus mozg´asegyenlet k¨ ozvetlen¨ ul annak a k¨ ovetkezm´enye, hogy Φ ˆ r´eszecsk´et kelteni ´es elt¨ m´ asik k¨ ovetkezm´enye volt az is, hogy Φ untetni is tud. A negat´ıv frekvenci´akon megjelen˝ o spektrumvonal teh´ at a r´eszecske elt¨ untet´essel kapcsolhat´o ¨ossze. A negat´ıv frekvencia azt is jelenti, hogy eik0 t = e−ik0 (−t) , azaz mintha pozit´ıv frekvenci´as r´eszecske haladna visszafel´e az id˝oben. uk ˝oket. A negat´ıv frekvenci´ an´ al megjelen˝ o gerjeszt´eseket antir´eszecsk´enek nevezz¨ uk, ´es |pi-vel jel¨olj¨ A fenti gondolatok szerint az antir´eszecsk´ek id˝oben visszafel´e halad´o r´eszecsk´ekkel azonos´ıthat´ok, vagyis fizikailag hp| ´ allapottal. Az azonos´ıt´ as miatt |pi ∼ hp| . (158) Az eredeti |pi ´ allapotb´ ol kiindulva a fenti ´ allapotokat k¨ ul¨onb¨oz˝o oper´aci´ok seg´ıts´eg´evel hajthatjuk v´egre |pi = C |pi ,
hp| = T |−pi ,
|−pi = P |pi .
(159)
Itt az els˝ o a “t¨ olt´est¨ ukr¨ oz´es”, a m´ asodik az id˝ot¨ ukr¨oz´es (ek¨ozben az impulzus is megfordul), a harmadik a megford´ıtott impulzus visszaford´ıt´ as´ ara a t´ert¨ ukr¨oz´es. A (158) azt jelenti, hogy e h´arom oper´aci´o egy¨ uttes hat´ asa az egys´egoper´ atorral ar´ anyos CT P ∼ 1. (160) 21
Ez a CTP t´etel, ´es minden olyan kvantum rendszerben, ahol a r´eszecske elt¨ untet´ese ´es kelt´ese ugyanazon fizikai folyamat eredm´enye, teljes¨ ulni kell. A h´ ur eset´eben persze nincs k¨ ul¨ on fizikai ´allapot az antir´eszecsk´eknek, ez´ert itt a r´eszecsk´ek ´es an¨ tir´eszecsk´ek ugyanazok, m´ as sz´ oval minden r´eszecske ¨onmaga antir´eszecsk´eje. Osszetettebb rendszerekben azonban a k´etf´ele ´ allapot k¨ ul¨ onb¨ ozik. A kelt˝ o ´es elt¨ untet˝ o oper´ atorok id˝ of¨ ugg´es´et is kidolgozhtajuk: ˆ ak ] = −iωk ak ∂t ak = i[H,
⇒ ak (t) = ak e−iωk t .
(161)
A pontszer˝ u kezd˝ o´ allapotb´ ol ind´ıtott hull´ amf¨ uggv´eny D E ˆ x)Φ(t ˆ 0 , x0 )|0 i∆(t, x, t0 , x0 ) = hx, t|x0 , t0 i = 0|Φ(t,
(162)
a t´er-m´er˝ o oper´ ator korrel´ aci´ os f¨ uggv´enye lesz. Mivel a rendszer t´er- ´es id˝oeltol´as invari´ans, csak a t´er- ´es ˆ (116) k´eplet´ebe id˝ oargumentumok k¨ ul¨ onbs´eg´et˝ ol f¨ ugg a propag´ator ∆(t − t0 , x − x0 ). Behelyettes´ıtve a Φ Z i∆(t, x) =
Z D E 1 dk e−iωk t+ikx dk dq p ˆq + a ˆ†q 0 = ˆk e−iωk t+ikx + a ˆ†k eiωk t−ikx a 0 a . 2π 2π 4ωk ωq 2π 2ωk
Fourier-t´erben teh´ at i∆(t, k) =
e−iωk t , 2ωk
i∆(k0 , k) =
1 2πδ(k0 − ωk ). 2ωk
Ez a spektrum pozit´ıv energi´ as fel´et adja meg. Egy speci´ alis propag´ atort kapunk akkor, ha t > t0 -ra a r´eszecske t0 -b´ol indul, de t < t0 -ra t-b˝ol: D E D E ˆ x)Φ(t ˆ 0 , x0 )|0 + Θ(t0 − t) 0|Φ(t ˆ 0 , x0 )Φ(t, ˆ x)|0 . iGF (t, x) = Θ(t − t0 ) 0|Φ(t,
(163)
(164)
(165)
Ez a kauz´ alis, vagy Feynman-propag´ ator. Fourier-t´erben GF (k0 , k) =
4
1 . k02 − ωk2 + iε
(166)
R´ eszecsk´ ek
A rezg˝ o h´ ur gondolatmenet´et ´ altal´ anos´ıtva a r´eszecsk´eket matematikailag ´altal´aban is valamilyen mez˝ o kvant´ al´ as ut´ ani energia- ´es impulzus saj´ at´ allapot´anak k´epzelj¨ uk el. Van azonban n´eh´any szempont, amit a kvant´ al´ asn´ al figyelembe kell venni.
4.1
T´ erelm´ eletek kvant´ al´ asa
A t´erelm´eletek kvant´ al´ asakor ugyan´ ugy j´ arunk el, mint b´armely m´as rendszern´el: sz´etv´alasztjuk a konfigur´ aci´ ok mint ´ allapotok reprezent´ aci´ oj´ at az ´allapotokon v´egezhet˝o m´er´esekt˝ol. A mez˝o´allapotot teh´ at ˆ valamilyen absztrakt Hilbert-t´er elem k´epviseli, m´ıg a mez˝o ´ert´ekei m´er´esb˝ol k¨ovetkeznek: Ψ(x) mez˝ oˆ m´er´esi oper´ ator ´es Π(x) mez˝ o-eltol´ asi oper´ ator v´arhat´o ´ert´ekei a rendszer ´allapot´aban. Hogy hol m´erem a mez˝ ot, azaz x ´ert´eke most teljes m´ert´ekben egy index szerep´et j´atssza. A t´erelm´eletekben legink´ abb ˆ Heisenberg-k´epet alkalmazunk, azaz az oper´ atorokhoz t´ars´ıtjuk az id˝of¨ ugg´est. ´Igy besz´elhet¨ unk Ψ(x) t´erid˝ o mez˝ of¨ uggv´enyr˝ ol (x = (t, x)). A kvant´ al´ asi felt´etelhez azonban a t´er defin´ıci´oja sz¨ uks´eges, ugyanis azt kell kihaszn´alni, hogy az impulzus gener´ alja a t´er eltol´ asait. Az impulzus ugyanakkor a t´ereltol´asokhoz tartoz´o megmarad´o mennyis´eg, ami a t´erelm´eletekben az energia-impulzus tenzor (450) impulzus r´esze kell legyen. Megmutathat´o, hogy ´altal´anos t´erelm´eletekben is a h´ ur eset´en kapott alak form´aja megmarad: Z ∂L ˆ α (x)∂i Ψ ˆ α (x), Pˆi = dd x Π ahol Πα = . (167) ˙α ∂Ψ
22
Infinitezim´ alis t´er-eltol´ as hat´ as´ ara δΨ(t, x) = Ψ(t, x + dx) − Ψ(t, x) = dxi ∂i Ψ(t, x) + O(dx2 ).
(168)
Ezt gener´ alja az impulzus; a (12) k´eplet alapj´an, u ¨gyelve az indexek fel- ´es leh´ uz´as´ara is: Z δΨ(t, x) = i[Pi (t), Ψ(t, x)]dxi = i d3 y [Π(t, y)∂i Ψ(t, y), Ψ(t, x)]dxi = dxi ∂i Ψ(t, x).
(169)
Ezt k´et konzisztens kvant´ al´ as tudja teljes´ıteni. Mivel [AB, C] = ABC −CAB = A(BC +αCB)−(αAC +CA)B =
A[B, C] + [A, C]B, A{B, C} − {A, C}B,
ha α = −1 (170) ha α = 1,
Ez´ert lehets´eges kommut´ atorral vagy antikommut´atorral kvant´alni: [Ψ(t, x), Π(t, y)] = iδ(x − y),
[Ψ(t, x), Ψ(t, y)] = 0,
{Ψ(t, x), Π(t, y)} = iδ(x − y),
vagy
{Ψ(t, x), Ψ(t, y)} = 0.
(171)
Az el˝ obbieket nevezz¨ uk bozonoknak, az ut´ obbiakat fermionoknak. Fontos, hogy a kvant´al´as egy idej˝ u oper´ atorokra vonatkozik. Az id˝ ofejl˝ od´est az infinitezim´ alis id˝ o-eltol´as gener´ator´aval ´all´ıthatjuk el˝o, ez a Hamilton-oper´ator. ol R Ett˝ elv´ arjuk, hogy megegyezzen az id˝ o-eltol´ as sor´an el˝o´all´o megmarad´o mennyis´eggel, vagyis E = d3 x T 00 energi´ aval.
4.2
A spin-statisztika t´ etel
Az impulzus ´es a mez˝ o felcser´el´es´ere vagy kommut´atort vagy antikommut´atort kell haszn´alni. A spinstatisztika t´etel szerint eg´esz spin˝ u r´eszecsk´ekre kommut´atort, f´eleg´esz spin˝ uekre antikommut´atort kell haszn´ alni. Hogy meg´erts¨ uk a t´etel l´enyeg´et, vizsg´ aljuk meg a permut´aci´ok ´es forgat´asok kapcsolat´at egy feles spin˝ u allapot eset´en: ´ Vegy¨ unk k´et elektront az x = (x0 , 0, 0) ´es az x = (−x0 , 0, 0) helyen az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert s ´allapotban, mindkett˝ o sipnje legyen z ir´ any´ u, felfel´e mutat´o. A k¨oz¨os hull´amf¨ uggv´enyt vegy¨ uk egyel˝ore k´et hull´amf¨ uggv´eny szorzat´ anak, azaz Ψ12 (t, x, x0 ) = |↑i ⊗ |↑i Ψs (t, x − x0 , y, z)Ψs (t, x0 + x0 , y 0 , z 0 ). (172) Mi t¨ ort´enik a k¨ oz¨ os saj´ atf¨ uggv´ennyel, ha megcser´elj¨ uk a k´et r´eszecsk´et? A k´et r´eszecske felcser´el´ese ebben a speci´ alis esetben el´erhet˝ ou ´gy is, hogy z tengely k¨or¨ ul elforgatom a rendszert 180◦ -kal3 ! Ekkor (x, y, z) → (−x, −y, z), de mivel s ´ allapotban voltak a r´eszecsk´eim, a hull´amf¨ uggv´eny t´erbeli r´esze nem v´altozik – att´ ol eltekintve, hogy most x − x0 helyett x + x0 jelenik meg. A hull´amf¨ uggv´eny azonban m´eg spinor indexekkel is rendelkezik, azaz ott is forgatni kell. A forgat´ast v´egz˝o oper´ator − iπ 2 e 0 −i 0 − iπ σ 3 ˆ = O=e 2 = (173) iπ 0 i 0 e2 azaz a felfel´e mutat´ o spint egyszer˝ uen i-vel szorozza. Ez´ert a r´eszecsk´ek felcser´el´ese ut´an kapott hull´amf¨ uggv´eny Ψ21 (t, x, x0 ) = − |↑i ⊗ |↑i Ψs (t, x + x0 , y, z)Ψs (t, x0 − x0 , y 0 , z 0 ) = −Ψ12 (t, x0 , x),
(174)
vagyis kaptunk egy extra −1 faktort. Bozonikus esetben a 180◦ -kal val´o elforgat´as oper´atora ±1-et ad, ami k´et azonos hull´ amf¨ uggv´eny eset´eben mindig 1-re eg´esz´ıti ki egym´ast. Ennek alapj´ an teh´ at a r´eszecsk´eket kelt˝ o oper´atoroknak antikommut´alniuk kell. Mivel a kommut´atorb´ ol, ahogy l´ attuk, kommut´ al´ o r´eszecsk´eket kapunk, ez´ert antikommut´atort kell venn¨ unk: {Ψα (t, x), Πβ (t, x0 )} = iδαβ δ(x − x0 ) ⇒
{Ψ(t, x), Ψ† (t, x0 )} = δαβ δ(x − x0 ).
(175)
3 Ehhez legal´ abb k´ et dimenzi´ os t´ er kell; 1D rendszerekben a statisztika nem k¨ ot˝ odik a forgat´ asokhoz, ´ıgy nem igaz a spinstatisztika t´ etel sem. Lehetnek pl. egzotikus statisztik´ aj´ u “anyonok”
23
4.3
(Bi) spinor mez˝ ok
A val´ os´ agban megjelen˝ o r´eszecsk´ekre megk¨ ot´es, hogy ha Lorentz-transzform´aci´ot v´egz¨ unk a rendszeren, akkor az u ´j, trenszform´ alt koordin´ atarendszerben is ugyanolyan t´ıpus´ u r´eszecsk´eket l´assunk. Ez azt jelenti, hogy a r´eszecsk´eket reprezent´ al´ o mez˝ ok a Lorentz csoport ´abr´azol´asai kell, hogy legyenek. A Lorentz csoport olyan M → M line´ aris lek´epz´asekb˝ol ´all, amelyekre x0 = Λx n´egyeshossza invari´ ans ν 0 2 2 0µ µ ν (x ) = x . Indexesen ki´ırva x = Λ.ν x , ´es a hossz invarianci´aj´anak felt´etele x0 x0ν = xν xν . Innen k¨ ovetkezik, hogy Λµ.ρ Λν.σ gµν = gρσ , Λ.ν% Λν.σ = δσ% , (Λ−1 )%.ν = Λ.ν% . (176) Itt g µν = diag(−1, 1, 1, 1) metrikus tenzor. B˝ ovebben a csoportszerkezetr˝ol ´es az ´ab´arzol´asair´ol a B f¨ uggel´ekben olvashatunk. Az ott tal´ alhat´ o anal´ızis eredm´enye az, hogy a Lorentz csoport legegyszer˝ ubb (alap) ´abr´azol´asa egy Ψ : M → C 2 mez˝ on val´ osul meg a i (177) L = e− 2 (ωi +iui )σi m´ atrix seg´ıts´eg´evel, ahol σi -ka Pauli m´ atrixok. Fizikailag ωi a h´arom tengely k¨or¨ uli forgat´ast jelenti, ez a nemrelativisztikus eset SO(3) szinnemtri´ aja eset´en is megtal´alhat´o. Az ui -k a boost (mozg´o vonatkoztat´ asi rendszerre val´ o´ att´er´es) param´eterei, pontosabban az adott ir´any´ u eltol´as rapidit´asa: tanh u = v/c. Ezek nem unit´er lek´epz´est val´ os´ıtanak meg: ez a boost hat´as´ara egym´asba alakul´o negyesvektorok transzform´aci´oj´ ara jellemz˝ o. Ez a m´ atrix egys´egnyi determin´ ans´ u, hiszen i ln det L = Tr ln L = − (ωi + iui ) Tr σi = 0. 2
(178)
´ Altal´ aban, ha V egy ´ abr´ azol´ as, akkor V, V ∗ , V T −1 , V †−1 T −1
mind ´ abr´ azol´ asok. Most L
(179)
´es L unit´er ekvivalensek az egys´egnyi determin´ans miatt:
εij det L = εi0 j 0 Lii0 Ljj 0
⇒ (iε)†ki Lii0 (iε)i0 j 0 LTj0 j = δkj
⇒ LT −1 = (iε)† L(iε),
(180)
hiszen (iε)† = (iε)−1 = (iε), unit´er m´ atrix. ´Igy k´et f¨ uggetlen v´alaszt´asunk van: L vagy L† −1 . Ez a k´et m´ atrix a Lorentz-csoport k´et ´ abr´ azol´ as´ anak felel meg, nevezz¨ uk a hozz´ajuk tartoz´o tereket ΨL ´es ΨR -nek. Ezekre Ψ0R = LΨR , Ψ0L = L†−1 ΨL . (181) Ezek a Weyl-spinorok. A k´et transzform´ aci´ o viszonya: i
L†−1 = e− 2 (ωi −iui )σi = L|ωi →ωi ,ui →−ui ,
(182)
azaz nem v´ altozik a forgat´ as, de el˝ ojelet v´ alt a mozg´o vonatkoztat´asi rendszer sebess´ege. Ez pontosan a t´ert¨ ukr¨ oz´es hat´ asa: teh´ at P t´ert¨ ukr¨ oz´es olyan kell legyen, hogy P LP = L†−1
⇒ P ΨL = ΨR ,
P ΨR = ΨL .
(183)
Ha teh´ at a t´ert¨ ukr¨ oz´est is ´ abr´ azolni akarjuk, akkor a ΨL ´es ΨR terek egy¨ uttes´et kell kezelni. Ezek a bispinorok: ΨL 01 Ψ= , P = . (184) ΨR 10 Val´ oj´ aban a fenti alak a Weyl-reprezent´ aci´ o, a Dirac ´altal eredetileg javasolt alak ennek unit´er transzform´ altja. Hogy egy invari´ ans Lagrange-f¨ uggv´enyt tudjunk fel´ep´ıteni n´ezz¨ uk meg, el˝osz¨or a k¨ovetkez˝o kifejez´est n´ezz¨ uk meg (Ψ∗R ΨL )0 = Ψ∗R L† L†−1 ΨL = Ψ∗R ΨL , (185) azaz el˝ o tudtunk ´ all´ıtani egy Lorentz-invari´ ans kombin´aci´ot. Hasonl´oan Ψ∗L ΨR is invari´ans. 24
A m´ asik invari´ ans megtal´ al´ as´ ahoz bebizony´ıthat´o, hogy L† σ ¯ µ L (ahol σ ¯ µ = σµ ), ´es L−1 σ ¯ µ L−1† az eredeti µ σ ¯ illetve σ Lorentz transzform´ altjai. Emiatt µ
Ψ∗R σ ¯ µ i∂µ ΨR ,
Ψ∗L σ µ i∂µ ΨL
(186)
invari´ ansok, azaz a Lagrange-f¨ uggv´eny r´esz´et k´epezhetik. Szok´ as bevezetni a Dirac-m´ atrixokat ´es a Dirac-adjung´altat 0 σ ¯µ 01 † µ 0 ¯ Ψ = Ψ γ0 , γ = ⇒ γ = = P, σµ 0 10
i
γ =
0 σi −σi 0
.
(187)
Ezekre igaz (Clifford-algebra) {γ µ , γ ν } = 2g µν .
(188)
Ilyen m´ odon a L-R szimmetrikus, azaz t´ert¨ ukr¨oz´es-invari´ans Lagrange-f¨ uggv´eny u ´gy ´ırhat´o, mint ¯ / Ψ − mΨΨ, ¯ L = Ψi∂
(189)
a Dirac-f´ele Lagrange-f¨ uggv´eny (val´ oj´ aban k´et egy¨ utthat´ot vezethett¨ unk volna be, de a terek norm´al´as´ aval az egyiket 1-nek v´ alaszthatjuk). Az ebb˝ ol sz´ armaz´o mozg´asegyenlet a ∂µ
∂L ∂L = 0 = ¯ = (i∂/ − m)Ψ, ¯ ∂∂µ Ψ ∂Ψ
(190)
a Dirac-egyenlet.
4.4
Lorentz-vektormez˝ ok, m´ ert´ ekelm´ eletek
A Lorentz-csoport csoport defini´ al´ o´ abr´ azol´ asa az Aµ Lorentz-vektormez˝okh¨oz vezet. Ezek transzform´al´od´ asa a Lorentz-csoport alatt: µ A0 = Λµ.ν Aν . (191) Milyen Lorentz invari´ ans kombin´ aci´ o szerkeszthet˝o ezekb˝ol? Haszn´alhatjuk a ∂µ deriv´al´ast, is, ´ıgy lehet p´eld´ aul: Aµ Aµ , ∂µ Aµ , ∂µ Aν ∂ µ Aν . (192) Ezek mindegyike szerepelhet a Lagrange-f¨ uggv´enyben. Kiemelked˝o szerepe van azonban a k¨ovetkez˝o kombin´ aci´ onak: 1 L = − Fµν F µν , ahol Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , (193) 4 ez ´ırja le az elektrom´ agneses t´er Lagrange f¨ uggv´eny´et. Kifejtve 1 L = − (∂µ Aν ∂ µ Aν − ∂µ Aν ∂ ν Aµ ) . 2
(194)
K´epezhetj¨ uk az elektromos ´es m´ agneses t´erer˝oss´egeket F 0i = Ei ´es F ij = εijk Bk alapj´an. ´Igy a fenti alak L=
1 E2 − B2 . 2
(195)
A mozg´ asegyenletek: ∂L ∂L − ∂µ = ∂µ F µν = 0 ⇒ ∂Aν ∂∂µ Aν
div E = 0,
∂0 E − rot B = 0,
(196)
szabad (forr´ asmentes) Maxwell egyenletek. A marad´ek k´et Maxwell egyenlet: ∂µ F˜ µν = 0,
ahol F˜ µν = εµν%σ F%σ ,
(197)
ahol εµν%σ teljesen antiszimmetrikus. A fenti egyenlet val´oj´aban azonoss´ag (Bianchi), ami ε antiszimmetri´ aja illetve a vegyes parci´ alis deriv´ altak szimmetri´aja miatt teljes¨ ul. 25
A fenti Lagrange f¨ uggv´enynek van egy k¨ ul¨onleges szimmetri´aja: ha δAµ (x) = ∂µ α(x) helyf¨ ugg˝ o (m´ert´ek) transzfrom´ aci´ o, akkor a t´erer˝ oss´egtenzor v´ altoz´asa δFµν = ∂µ δAν − ∂ν δAµ = 0.
(198)
Vagyis a terek mozg´ as´ at meghat´ aroz´ o Lagrange-f¨ uggv´eny m´ert´ekinvari´ans. Az energia-impulzus tenzor kifejez´ese Tµν = ∂ν A%
1 ∂L − gµν L = ∂ν A% F%µ + gµν F F. µ % ∂(∂ A ) 4
(199)
Ez nem szimmetrikus µ-ν-ben; azonban hozz´aadhatjuk ∂ % (Aν F%µ ) ⇒
∂ µ ∂ % (Aν F%µ ) = 0,
(200)
hiszen F antiszimmetrikus µ-ν-ben, m´ıg a vegyes deriv´alt szimmetrikus. Ez´ert a szimmertikus energiaimpulzus tenzor alakja: 0 1 (201) T¯µν = g %% Fν%0 F%µ + gµν F F. 4 Speci´ alisan 1 E2 + B2 . (202) T¯00 = 2 Mivel a t´er spinje 1, ez´ert bozon, vagyis kommut´atorral kell kvant´alni. Ilyet m´ar l´attunk kor´abban a skal´ ar t´er eset´en. El˝ osz¨ or meg kell mondani a kanonikusan konjug´alt momentumot: Πµ =
∂L = −∂0 Aµ + ∂µ A0 ∂∂ 0 Aµ
⇒
Π0 ≡ 0!
(203)
Ez annak a k¨ ovetkezm´enye, hogy a Lagrange-f¨ uggv´eny m´ert´ekinvari´ans. Ez´ert nem r´ohatjuk ki a [A0 , Π0 ] = iδ kommut´ aci´ os rel´ aci´ ot! Hogy orvosoljuk a bajt, m´ert´eket kell r¨ ogz´ıten¨ unk. A klasszikus Lorenz-m´ert´ek eset´en ∂µ Aµ = 0.
(204)
0 1 1 1 1 L = − ∂µ Aν ∂ µ Aν = (−g νν )∂µ Aν ∂ µ Aν 0 = − ∂µ A0 ∂ µ A0 + ∂µ Ai ∂ µ Ai . 2 2 2 2
(205)
Ezzel a Lagrange-f¨ uggv´eny alakja
L´ athat´ oan az Ai terek teljesen olyanok, mint 3 f¨ uggetlen m = 0 t¨omeg˝ u skal´art´er. Az A0 t´er el˝ojele azonban k¨ ul¨ onb¨ ozik – ez az az ´ ar amit fizetn¨ unk kell a m´ert´ekr¨ogz´ıt´es´ert. Most m´ar defini´alhat´ok a kanonikusan konjug´ alt impulzusok Πµ = −∂0 Aµ ⇒ Π0 = −∂0 A0 , Πi = ∂0 Ai . (206) A kommut´ aci´ os rel´ aci´ ok teh´ at [Aµ (t, x), Πν (t, y)] = iδµν δ(x − y) ⇒ [Aµ (t, x), A˙ ν (t, y)] = −igµν δ(x − y),
(207)
a t¨ obbi nulla. Lehet a Coulomb m´ert´eket is r¨ ogz´ıteni: divA = 0, 0
(208)
az A pedig a t¨ olt´ess˝ ur˝ us´egb˝ ol k¨ ovetkezik a klasszikus kifejez´essel: ennek nincs dinamik´aja, azaz nem tekintj¨ uk kvantumt´ernek. Emiatt nem probl´ema, hogy hozz´a nem tartozik kanonikusan konjug´alt impulzus. Ekkor csak k´et szabads´ agi fok marad meg, ezeket kell kvant´alni, amelyek megfelelnek az elektrom´agneses sug´ arz´ as transzverz´ alis komponenseinek. A Lagrange f¨ uggv´enyben megmarad: 1 µ L = ∂µ Ai ∂ Ai . (209) 2 divA=0 26
5
A Hamilton oper´ ator diagonaliz´ al´ asa
H´ arom elm´eletet ismert¨ unk meg, ezek Lagrange f¨ uggv´enye 1 ((∂µ Φ)2 − m2 Φ2 ) 2 ¯ µ γ µ − m)Ψ L = Ψ(i∂ 1 1 L = ∂µ Ai ∂ µ Ai − ∂µ A0 ∂ µ A0 2 2
L=
(210)
A kanonikusan konjug´ alt impulzusok Π = Φ˙ illetve Π = iΨ† . A Hamilton f¨ uggv´enyek alakja ezzel: 1 2 1 Π + Φ(−∂i2 + m2 )Φ 2 2 i ¯ H = Ψ(i∂i γ − m)Ψ ≡ Ψ† hΨ.
H=
(211)
A m´ert´ekt´er Hamilton f¨ uggv´enye a skal´ arf¨ uggv´enyekb˝ol k¨ovetkezik. Tulajdonk´eppen a skal´ar elm´eleteket is at´ırhatjuk a fermionikus alakra, ha bevezetj¨ ´ uk a h2 = −4 + m2
(212)
differenci´ aloper´ atort, ´es r Ψ=
h i Φ+ √ Π 2 2h
(213)
jel¨ ol´est. Ekkor H = Ψ† hΨ.
(214)
Feltessz¨ uk teh´ at, hogy ez a kifejez´es adja meg a Hamilton s˝ ur˝ us´eget tesz˝oleges kvadratikus elm´elet eset´en. A kvant´ al´ ashoz: ˆ α (x), Π ˆ β (y)]± = iδ(x − y), [Φ
ˆ α (x), Φ ˆ β (y)]± = [Π ˆ α (x), Π ˆ β (y)]± = 0, [Φ
(215)
ˆ α (x), Ψ ˆ β (y)]± = [Ψ ˆ †α (x), Ψ ˆ † (y)]± = 0, [Ψ β
(216)
ami ´ atfogalmazhat´ o ˆ α (x), Ψ ˆ † (y)]± = δ(x − y), [Ψ β
ami igaz mind a fermionikis mind a bozonikus esetre. ´ Erdemes bevezetni az elt¨ untet˝ o oper´ atort: ˆ α (x) = Ψ
X Z d3 k eikx uαrk a ˆrk , 3 (2π) r
ahol uαrk minden k-ra teljes ortogon´ alis rendszert alkotnak X X u∗αrk uβrk = δαβ , u∗αrk uαsk = δrs . r
(217)
(218)
α
Az inverz rel´ aci´ o ekkor a ˆrk =
XZ
ˆ α (x). d3 xe−ikx u∗αrk Ψ
(219)
α
Emiatt [ˆ ark , a ˆsq ]± = [ˆ a†rk , a ˆ†sq ]± = 0.
[ˆ ark , a ˆ†sq ]± = (2π)3 δ(k − q),
Be´ırva ezt az alakot a Hamilton oper´ atorba Z Z 3 3 † ∗ ˆ = d3 xH ˆ = d3 x d k d q e−ikx a H ˆ u hαβ eiqx uβsq a ˆsq . αrk rk (2π)3 (2π)3 27
(220)
(221)
Figyelembe v´eve, hogy hαβ deriv´ altat tartalmaz, ez a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti Z 3 d k † ∗ ˆ a ˆ u hαβk uβsk a ˆsk . H= (2π)3 rk αrk
(222)
V´ alasszuk az u vektorokat ωk saj´ atvektor´ anak hαβk uβsk = Esk uβsk .
(223)
Ez val´ oj´ aban val´ os id˝ oben kifejezve u ´gy is ´ırhat´o, mint u(t) = ue−iEt ,
(i∂t − h)u = 0,
vagyis u a kvantummechanikai energia saj´ atf¨ uggv´eny. Az ortogonalit´ast kihaszn´alva ekkor Z 3 X d k ˆ = H Erk a ˆ†rk a ˆrk . (2π)3 r
(224)
(225)
A Hamilton oper´ ator alakja most m´ ar megegyezik a harmonikus oszcill´atorok egy¨ uttes´evel, ez´ert megold´ as´ ahoz ugyanazon eszk¨ oz¨ oket haszn´ aljuk, mint a h´ urn´al. L´etezik egy v´akuum |0i, amelyre a ˆsk |0i = 0 ∀a. A r´eszecsk´ allapotokat a |Ψi = |k1 , n1 , s1 ; . . . ki , ni , si ; . . .i = N1 (ˆ a†s1 k1 )n1 . . . Ni (ˆ a†si ki )ni . . . |0i
(226)
m´ odon k´epezz¨ uk, ahol Ni norm´ al´ asi faktorok. Fermionok eset´en (a† )2 = 0, emiatt ni = 0, 1 lehet. A h´ urn´ al l´ atottak alapj´ an ez az ´ allapot energia ´es impulzus saj´at´allapot: ! ! X X ˆ ˆ H |Ψi = ni Eri ki |Ψi , P |Ψi = ni ki |Ψi . (227) i
i
√ Relativisztikus esetben a Hamilton oper´ ator magf¨ uggv´eny´enek csak k´et saj´at´ert´eke lehet: Ek = ± k2 + m2 . Bozonikus esetben csak a pozit´ıv gy¨ ok marad, hiszen az eredeti Hamilton oper´atorb´ol csak a formai hasonl´ os´ ag miatt vontunk gy¨ ok¨ ot. A fermionikus esetben azonban h 4 × 4-es m´atrix. Ennek k´et pozit´ıv ´es k´et negat´ıv energia saj´ at´ert´eke van, ezek mindegyike 2D-s alt´er, vagyis ezt m´eg fel kell bontani r = 1, 2 vektorokkal. A pozit´ıv energi´ as alt´er felbont´ as´ahoz haszn´aljuk az urk illetve ark , a negat´ıv energi´as alt´erhez vrk ´es ¯brk jel¨ ol´est. Ekkor az energia Z 3 X † d k ˆ = H Ek (ark ark − ¯b†rk¯brk ). (228) 3 (2π) r Ezzel az a probl´ema, hogy a ¯b† -ek ´ altal el˝ o´ all´ıtott ´allapotok energi´aja negat´ıv, ´es tetsz˝olegesen nagy negat´ıv energi´ at el˝ o lehet ezzel ´ all´ıtani. Ha van valamilyen k¨olcs¨onhat´as, p´eld´aul fotont lehet kisug´arozni, akkor a negat´ıv energi´ as ´ allapotok egyre jobban bet¨olt˝odnek, ´es ek¨ozben energi´at sug´arzunk ki. A fent defini´ alt v´ akuum teh´ at nem stabil. A megold´ as az lehet, hogy u ´j v´ akuumot defini´alunk, ahol minden negat´ıv energi´as ´allapot be van t¨oltve: Y ¯b† |0i = |0i , (229) rq Dt r,q
az index jelent´ese “Dirac-tenger”. Mivel (¯b† )2 = 0, ez´ert erre a v´akuumra ¯b† |0i = 0 ∀s, k. Dt sk
(230)
Emiatt a ¯b†sk val´ oj´ aban elt¨ untet˝ o oper´ atork´ent hat a Dirac tenger v´akuumon. Bevezethet¨ unk teh´at bsk = ¯b†sk † u ´j jel¨ ol´est, ennek megfelel˝ oen bsk = ¯bsk . Ezek ugyanolyan antikommut´aci´os rel´aci´oval rendelkeznek, {bsk , b†rq } = {¯b†sk , ¯brq } = (2π)3 δ(k − q). 28
(231)
Vagyis ha bsk az elt¨ untet˝ o oper´ ator, b†sk r´eszecsk´et kelt: ezek az antir´eszecsk´ek. A Hamilton oper´ ator kifejez´ese: Z 3 Z 3 X † X † d k d k † ˆ E E (a a − b b ) = (ark ark + b†rk brk ) + konstans. (232) H= k k rk rk rk rk 3 (2π)3 (2π) r r A konstans energia a Dirac tenger v´ akuum ´es az eredeti v´akuum energiak¨ ul¨onbs´ege. Az u ´j, Dirac tenger v´ akuum felett m´ ar pozit´ıv energi´ as minden gerjeszt´es. Egy r´eszecske eset´en |k, ri = a†rk |0iDt ,
|k, ri = b†rk |0iDt .
(233)
V´eg¨ ulis teh´ at a kelt˝ o- elt¨ untet˝ o oper´ atorok seg´ıts´eg´evel fel´ırt t´eroper´atorok alakja, visszat´erve az eredeti jel¨ ol´esre, ´es a szok´ asos norm´ al´ ast illetve impulzuskioszt´ast haszn´alva: Z 3 1 ikx d k −ikx † ˆ √ e a + e a Φ(x) = k k (2π)3 2ωk Z 3 X 1 d k ikx −ikx ˆb† ˆ α (x) = √ Ψ e u a ˆ + e v αrk rk αrk rk (2π)3 2ωk r=1,2 Z 3 d k 1 X ikx i −ikx ∗i † √ e ε a ˆ + e ε a ˆ (234) Aˆi (x) = tk tk tk tk . (2π)3 2k t=1,2 Az utols´ o sorban a Coulomb-m´ert´ekben ´erv´enyes kifejez´est ´ırtuk fel. A divA = 0 felt´etel teljes´ıt´es´ehez a polariz´ aci´ os m´ atrixra ki εitk = 0 (235) felt´etel kell teljes¨ ulj¨ on. Mindezek ut´ an minden a term´eszetben el˝ofordul´o r´eszecsk´et a fenti m´odon kell le´ırni. A r´eszecske defin´ıci´ o, u ´gy t˝ unik, ezzel lez´ arhat´ o.
6
Anyag ´ es sug´ arz´ as k¨ olcs¨ onhat´ asa
Hogyan k´epes k¨ olcs¨ onhatni anyag, azaz a fermiont´er, ´es a sug´arz´as, azaz a fotont´er? Ehhez fel kell ´ırni a Lagrange-f¨ uggv´enyt, amely tartalmazza a fermion- ´es a fotonteret is, ´es Lorentz invari´ans. Ilyen tagb´ ol sokf´ele lehet, azonban van egy elv, amely ler¨ogz´ıti, milyen m´odon kell a k¨olcs¨onhat´ ast megkeresni. A Dirac-f´ele Lagrange-f¨ uggv´enynek van egy glob´alis U (1) szimmetri´aja, ami azt jelenti, hogy ¯ 0 = eieα Ψ ¯ Ψ
Ψ0 = e−ieα Ψ,
(236)
transzform´ aci´ o hat´ as´ ara ugyanaz marad a Lagrange f¨ uggv´eny. Ha azonban α helyf¨ ugg˝o (lok´alis transzform´ aci´ o), akkor a Lagrange-f¨ uggv´eny nem marad invari´ans ¯ 0 (i/ ¯ µ ∂µ − m)e−ieα Ψ = L + eΨγ ¯ µ Ψ∂µ α. L0 = Ψ ∂ − m)Ψ0 = eieα Ψ(iγ
(237)
Ha azonban megv´ altoztatjuk a deriv´ al´ ast egy u ´j t´er bevezet´es´evel
akkor
i∂µ → i∇µ = i∂µ − eAµ ,
(238)
¯ 0 (i∇ ¯ µ ∂µ − eγ µ A0 − m)e−ieα Ψ = L + eΨγ ¯ µ Ψ(∂µ α − δAµ ). L0 = Ψ / − m)Ψ0 = eieα Ψ(iγ µ
(239)
A0µ = Aµ + ∂µ α,
(240)
0
Ha teh´ at akkor a Lagrange-f¨ uggv´eny lok´ alisan is invari´ ans marad. Ha teh´ at megk¨ ovetelj¨ uk, hogy egy glob´alis szimmetri´aval rendelkez˝o szabad r´eszecsk´eket le´ır´o modell szimmetri´ aja lok´ alis legyen, akkor ezt u ´gy tehetj¨ uk meg, hogy bevezet¨ unk (´altal´anosan a szimmetria 29
minden gener´ ator´ ahoz) egy m´ert´ekteret, amellyel a deriv´al´ast kovari´ans deriv´altt´a tessz¨ uk. Ilyen m´odon k¨ olcs¨ onhat´ ast gener´ alunk a r´eszecske ´es a m´ert´ekt´er k¨oz¨ott. Ez a m´ert´ekelv (gauge-elv), a glob´alis szimmetria ´ t˝ “gauge-el´ese”. Ugy unik, az Univerzumban megjelen˝o ¨osszes k¨olcs¨onhat´ast helyesen ´ırhatjuk le a m´ert´ekelv seg´ıts´eg´evel. Az elektromos k¨ olcs¨ onhat´ ashoz az U(1) szimmetri´at kellet gauge-elni, a gyenge k¨olcs¨onhat´ashoz az SU(2) csoportot (´ızek), az er˝ os k¨ olcs¨ onhat´ashoz az SU(3) csoportot (sz´ınek), a gravit´aci´ohoz a Lorenztcsoportot. A kapott Lagrange-f¨ uggv´enyhez hozz´ aadhatjuk a m´ert´ekt´er m´ar l´atott szabad alakj´at 1 ¯ d − m)Ψ − ieAµ Ψγ ¯ µ Ψ. L = − Fµν F µν + Ψ(i/ 4
(241)
Ez a kvantum-elektrodinamika (QED) Lagrange-f¨ uggv´enye. Ebben az elm´eletben a m´ert´ekt´er az elektrom´ agneses n´egyes´ aramhoz kapcsol´ odik. Val´oban, a Dirac-egyenlet miatt (i∂µ γ µ − m)Ψ = 0 ⇒
¯ = 0, − i∂ µ Ψ† 㵆 − mΨ† = 0 ⇒ (−i∂µ γ µ − m)Ψ
(242)
mert γ0 㵆 γ0 = γµ , a {γµ , γν } = 2gµν ¨ osszef¨ ugg´es miatt. Ennek k¨ovetkezm´enye ¯ µ γ µ − m)Ψ − [(−i∂µ γ µ − m)Ψ]Ψ ¯ = i∂µ (Ψγ ¯ µ Ψ), 0 = Ψ(i∂
(243)
vagyis m´erlegegyenletet kaptunk r´ a (megmarad´o ´aram). A nulladik komponens eΨ† Ψ = e|Ψ|2 = % az elektron megtal´ al´ asi val´ osz´ın˝ us´ege a t¨ olt´es´evel s´ ulyozva: ez a t¨olt´ess˝ ur˝ us´eg. Ha az anyagteret nem kvantum-t´erelm´elettel, hanem kvantummmechanik´aval akarjuk le´ırni, ugyanezt a formul´ at haszn´ aljuk: a k¨ olcs¨ onhat´ ashoz a m´ert´ekt´er az elektromos n´egyes´aramhoz csatol´odik. Mivel a n´egyes´ aram klasszikus mechanik´ aban j µ = e(c, v), (244) ez´ert a k¨ olcs¨ onhat´ asi tag (c = 1) rendszerben Lkh = −eΦ + evA.
(245)
p L = −m 1 − v 2 − eΦ + evA.
(246)
A teljes Lagrange-f¨ uggv´eny Coulomb-m´ert´eket haszn´ alva Φ → 0. A kanonikusan konjug´alt impulzus pi =
∂L mvi =√ + eAi . ∂vi 1 − v2
(247)
A sebess´eg kifejez´ese v2 =
p˜2 , m2 + p˜2
p˜i = pi − eAi .
(248)
Emiatt a Hamilton-f¨ uggv´eny Coulomb-m´ert´ekben H = pv − L = √
p p mv 2 m + evA + m 1 − v 2 − evA = √ = p˜2 + m2 . 1 − v2 1 − v2
(249)
Ez pontosan olyan, mint egy szabad r´eszecske Hamilton-f¨ uggv´enye, csak az impulzust kell m´odos´ıtani. A m´ert´ek-elv klasszikus megfelel˝ oje teh´ at az, hogy a szabad elm´elet impulzus´at helyettes´ıteni kell a m´ert´ekt´errel eltolt impulzussal p → p − eA. (250) Nemrelativisztikus esetben teh´ at H=
1 p2 e e2 2 (p − eA)2 = − (pA + Ap) + A , 2m 2m 2m 2m
(251)
ahol figyelt¨ unk arra, hogy kvantummechanik´aban nem felcser´elhet˝o p ´es A. A k¨olcs¨onhat´asi Hamiltonoper´ ator teh´ at e (pA + Ap) . (252) HI = − 2m 30
Ekvivalens megfogalmaz´ as: a Lagrange-f¨ uggv´enyben egy teljes id˝oderiv´alt klasszikusan nem sz´am´ıt. Emiatt a ´t lehet ´ırni ˙ → exE, ˙ = e∂t (xA) − exA L → exA (253) ˙ hiszen Coulomb-m´ert´ekben E = −A. Ebben a megk¨ozel´ıt´esben a k¨olcs¨onhat´asi Hamilton-oper´ator HI = −exE
(254)
dip´ ol-k¨ olcs¨ onhat´ as. Atomi m´eretek eset´en az elektromos t´er helyf¨ ugg´ese elhanyagolhat´o; ekkor Coulomb m´ert´ekben (ahol E = −∂t A), ´es val´ os polariz´ aci´ os vektorokat v´alasztva ´ırhatjuk Z 3 r X k d k ˆi . (255) a ˆtk e−ikt − a ˆ†tk eikt εitk x HI = −ie 3 (2π) 2 t=1,2
6.1
´ Atmenet atomi n´ıv´ ok k¨ oz¨ ott
´ A Hamilton oper´ ator ´ all egy szabad id˝ ofejl˝od´est le´ır´o oper´atorb´ol, ´es egy k¨olcs¨onhat´asb´ol. Erdemes az ut´ obbit lev´ alasztani: a Schr¨ odinger egyenletben a szabad id˝ofejl˝od´est ecpliciten kihaszn´aljuk Ψ = e−iH0 t ψ,
ı∂t Ψ = (H0 + HI )Ψ,
(256)
ezzel i∂t Ψ = H0 Ψ + e−iH0 t i∂t ψ = H0 Ψ + HI e−iH0 t ψ,
(257)
azaz i∂t ψ = HI (t)ψ,
ahol HI (t) = eiH0 t HI e−iH0 t .
(258)
Szukcessz´ıv approxim´ aci´ ot haszn´ alunk, azaz egy olyan sorozatot, ahol i∂t ψ (n+1) = HI (t)ψ (n) ,
(259)
a ψ (0) = |ii kezdeti ´ allapotb´ ol kiindulva. Az els˝o rend ψ
(1)
Zt (t) = −i
dt0 HI (t0 ) |ii .
(260)
dt0 hf |HI (t0 )|ii .
(261)
0
Ennek ´ atfed´ese egy hf | ´ allapottal: Zt hf, t|i, 0i = −i 0
Ha −∞ ´es ∞ k¨ oz¨ ott veszem, akkor a teljes ´ atmeneti amplit´ ud´ot kapom: ez az S-m´atrix: Z∞ Sf i = hf, ∞|i, −∞i = −i
dt0 hf |HI (t0 )|ii .
(262)
−∞
Tekints¨ unk egy atomot, amelynek k´et ´ allapota van: |ai alap´allapot ´es |gi gerjesztett ´allapot. A gerjesztett ´llapotb´ a ol az alap´ allapotba val´ o ´ atmenet sor´an kibocs´at´odik egy foton (felt´etelez´es¨ unk alapj´an), azaz a fotont´er |n, q, αi ´ allapotb´ ol |n + 1, q, αi ´ allapotba ker¨ ul valamilyen hull´amsz´amra ´es polariz´aci´ora. Ennek atmeneti amplit´ ´ ud´ oja Z∞ Sf i = −i
dt0 hf |HI (t0 )|ii =
−∞ Z∞
= −e −∞
0
dt
Z
d3 k (2π)3
r
E k X i D εtk n + 1, q, α|ˆ atk e−ikt − a ˆ†tk eikt |n, q, α ha|ˆ xi (t)|gi . 2 t=1,2 31
(263)
Az els˝ o m´ atrixelem D
E √ n + 1, q, α|ˆ atk e−ikt − a ˆ†tk eikt |n, q, α = −eiqt n + 1(2π)3 δ(k − q)δtα .
(264)
a m´ asodik m´ atrixelem
ha|ˆ xi (t)|gi = a|eiH0 t x ˆi e−iH0 t |g = e−i(Eg −Ea )t ha|ˆ xi |gi .
(265)
Mindent ¨ osszevetve r Sf i = e
√ q i εαq ha|ˆ xi |gi n + 1 2
Z∞
√ dt0 e−i(Eg −Ea −q)t = gαq n + 1 (2π)δ(Eg − Ea − q),
(266)
−∞
ahol
r gαq = e
q i ε ha|ˆ xi |gi . 2 αq
(267)
Az ´ atmeneti val´ osz´ın˝ us´eg k´eplet´eben δ(E)2 fordul el˝o. Ennek ´ertelmez´es´ehez Z∞ δ(E) =
dt e−iEt
⇒ δ(E)2 = δ(E)δ(0) = tδ(E),
(268)
−∞
ahol t az ´ atmenet ideje. ´Igy id˝ oegys´egre sz´ am´ıtott ´atmeneti val´osz´ın˝ us´eget tudunk sz´amolni: wf i =
|Sf i |2 = (2π)δ(Eg − Ea − q)|gα,q |2 (n + 1). t
(269)
Ha megvan az ´ atmeneti val´ osz´ın˝ us´eg, kisz´amolhatjuk a kisug´arzott teljes´ıtm´enyt is, vagyis az id˝oegys´eg alatt kisug´ arzott energi´ at. Miut´ an minden hull´amsz´am ´es minden polariz´aci´o megengedett: Z P=
r 2 Z X q i d3 q X d3 q qwf i (α, q) = q (2π)δ(Eg − Ea − q) e ε ha|ˆ xi |gi (nq + 1). (2π)3 α=1,2 (2π)3 α=1,2 2 αq
A polariz´ aci´ ora val´ o¨ osszegz´es, di = ha|ˆ xi |gi jel¨ol´essel ! X X 2 j ∗ εiαq di = d∗i ˆ⊗q ˆ )d = sin2 θ|d|2 , ε∗i αq εαq dj = d (1 − q α=1,2
(270)
(271)
α=1,2
ahol felhaszn´ altuk, hogy a polariz´ aci´ o mer˝ oleges ir´any´ u lehet. Ekkor e2 |d|2 P= 8π 2
Z∞ Z 4 dq q dΩ δ(∆E − q) sin2 θ(nq + 1).
(272)
0
Innen
dP e2 |d|2 ∆E 4 = (nq + 1) sin2 θ. dΩ 8π 2 Ez n = 0-ra az elektrodinamika dip´ olsug´ arz´ as k´eplet´evel egyez˝o eredm´eny, amennyiben azonos´ıtjuk pi = 2e|di |,
ω = ∆E.
(273)
(274)
Ekkor SI egys´egekben (Z0 = µ0 c = 376.7 Ω v´akuumimpedancia) dP Z0 p2 ω 4 = (nq + 1) sin2 θ. dΩ 32π 2 c2 32
(275)
A klasszikus k´eplethez k´epest megjent egy n + 1 szorz´o, ahol n a q = ∆E nagys´ag´ u, Ω ir´any´ u impulzussal rendelkez˝ o fotonok sz´ ama. Az n = 0 klasszikus k´eplet a spont´ an emisszi´ ot ´ırja le. Kvantumosan a t¨obbi foton hat´ as´ ara gyorsabban t¨ ort´enik meg az ´ atmenet, nagyobb lesz a kisug´arzott teljes´ıtm´eny: az n faktor az induk´ alt emisszi´ onak felel meg. Ha n = 0, akkor elv´egezhetj¨ uk a t´ersz¨ og integr´alt: P=
Z0 p2 ω 4 , 12πc2
mert Z
Z1
2
dΩ sin θ = 2π
dx (1 − x2 ) =
(276)
8π . 3
(277)
−1
6.2
Az atomi energiaszintek ´ es a sug´ arz´ as ´ allapotainak hibridiz´ aci´ oja, WignerWeisskopf-modell
Ha nem csak els˝ o rendben akarjuk meg´ allap´ıtani az ´atmenetet, akkor az eredeti nemk¨olcs¨onhat´o atomi energia-saj´ at´ allapotok ´es a fotonok rendszer´eben fel kell ´ırni a teljes Hamilton oper´atort, ´es diagonaliz´ alni kell azt. Hogy ezt lehet˝ ov´e tegy¨ uk, a helym´er´es oper´ator´at fel kell ´ırnunk az atomi energia´allapotok ter´eben. Felt´eve, hogy |ai ´es |gi ´ allapotokban hˆ xi = 0 (azaz ugyanott van a s´ ulypontjuk), a helym´er´es oper´atora val´ oj´ aban ´ atvisz a |ai ´es |gi ´ allapotok k¨ oz¨ ott: 0 xag ˆ a,g = , xag = ha|ˆ x|gi . (278) x 0 x∗ag Az atomi energiaszintek m´ atrixa, az alap´ allapoti energi´at null´ara tolva 0 0 ˆ H0 a,g = . 0 ∆E Ezt a k´et oper´ atort le´ırhatjuk az atomi n´ıv´ ok kelt˝o-elt¨ untet˝o oper´atoraval: 0 1 0 0 † c= , c = , 0 0 1 0
(279)
(280)
ezzel ˆ 0 = ∆Ec† c, H
ˆ a,g = xag c + x∗ag c† . x
(281)
A szabad fotonok Hamilton-oper´ atora ˆ ph = H
Z
d3 k X † katk atk . (2π)3 t
A k¨ olcs¨ onhat´ asi Hamilton-oper´ atort el´eg t = x = 0-ban fel´ırni (l. (255)) Z 3 d k X † ∗ † ˆ I = −i H a ˆ − a ˆ tk tk (gtk c + gtk c ). (2π)3 t=1,2
(282)
(283)
Az ac tag elt¨ untet egy fotont, ´es alap´ allapotba viszi az atomot, ez´ert – a kor´abbi anal´ızis szerint – egy 2πδ(∆E + k) Dirac-delt´ ara vezet, amely soha nem teljes¨ ulhet. Ez´ert ezt (´es a neki megfelel˝o a† c† ) tagot elhagyhatjuk fizikai alkalmaz´ asokban. A teljes Hamilton-oper´ator teh´at u ´gy ´ırhat´o, mint Z 3 X Z 3 d k d k X ∗ † † † † ˆ = H ka a + ∆Ec c − i g c a ˆ − g cˆ a (284) tk tk tk tk tk tk . (2π)3 t (2π)3 t=1,2
33
Ez a teljes id˝ ofejl˝ od´est le´ır´ o Hamilton-oper´ ator. A mozg´asegyenletek Heisenberg-k´epben: Z 3 d k X ∗ g atk c˙ = −i∆Ec − (2π)3 t=1,2 tk a˙ tk = −ikatk + gtk c.
(285)
Ez egy line´ aris egyenletrendszer, amit meg lehet oldani egzaktul. Id˝obeli Fourier-transzform´aci´ot v´egezve kapjuk Z 3 d k X ∗ ig atk 0 = (ω − ∆E)c + (2π)3 t=1,2 tk 0 = (ω − k)atk − igtk c.
(286)
A m´ asodik egyenletet az els˝ obe vissza´ırva kapjuk Z 0=
ω − ∆E −
d3 k X |gtk |2 (2π)3 t=1,2 ω − k
! c.
(287)
A gerjesztett ´ allapot hull´ amf¨ uggv´enye |g, ti = c† (t) |ai, ennek ´atfed´ese a gerjesztett ´allapottal
hg, t|gi = a|c(t)c† (0)|a , hg, 0|gi = 1,
(288)
ennek megold´ asa a retard´ alt propag´ ator (ret) Gcc† (ω)
†
= a|cc |a =
Z ω − ∆E −
d3 k X |gtk |2 (2π)3 t=1,2 ω − k
!−1
(289) ω→ω+iε
Ezt ´ırhatjuk u ´gy is, mint (ret) Gcc† (ω)
1 = ω − ∆E − Σ(ω)
ahol
Z Σ(ω) =
(290) ω→ω+iε
d3 k X |gtk |2 . (2π)3 t=1,2 ω − k
(291)
Grafikus szeml´eletet´es. . . A retard´ alt propag´ ator diszkontinuit´ asa adja meg a a saj´atenergi´ak spektrum´at: (ret)
%(ω) = Disc iGcc† (ω) = −2 Im Gcc† (ω + iε) =
−2 Im Σ . (ω − ∆E − Re Σ)2 + ( Im Σ)2
(292)
A spektrum, azaz ´ allapots˝ ur˝ us´eg most teh´ at nem egyetlen energiaszintb˝ol ´all, hanem egy cs´ ucsos g¨orbe, amelyiknek maximuma az ω = ∆E + Re Σ(ω) megold´as´an´al van. Jel¨olj¨ uk ezt ∆E 0 -vel: ez lesz a m´odos´ıtott (ret) gerjeszt´esi energia. Ha Im Σ → 0+ , akkor Disc iGcc† (ω) ∼ δ(ω−∆E 0 ) lenne; ha Im Σ kicsi, akkor ugyan nem Dirac-delta az eredm´eny, de gyorsan v´ altozik. J´o k¨ozel´ıt´essel ez´ert ω hely´ere ∆E 0 ´ırhat´o, γ := − Im Σ(∆E 0 ). Ekkor a f¨ uggv´eny egy Lorentz-g¨ orbe lesz %(ω) =
2γ , (ω − ∆E 0 )2 + γ 2
amelynek f´el´ert´eksz´eless´ege ´eppen γ. Kisz´ amolva Z 3 Z 3 d k X |gtk |2 d k X γ = − Im Σ(∆E 0 ) = − Im = |gtk |2 πδ(δE 0 − k). 3 0 (2π) t=1,2 δE − k + iε (2π)3 t=1,2
34
(293)
(294)
Ezt a sz´ amol´ ast m´ ar elv´egezt¨ uk kor´ abban γ=
d2 (∆E 0 )3 . 6π
(295)
Val´ os id˝ ore Fourier-transzform´ aci´ ot kell v´egezn¨ unk: Z∞ %(t) =
0 dω −iωt 1 1 e − = e−i∆E t−γt . 0 0 2πi ω − ∆E − iγ ω − ∆E + iγ
(296)
−∞
A gerjesztett ´ allapot id˝ of¨ ugg´ese teh´ at exponsneci´alis boml´ast mutat, a boml´as id˝o´alland´oja a Lorentz-g¨orbe sz´eless´ege.
7
R´ eszecske defin´ıci´ ok v´ altoz´ o k¨ or¨ ulm´ enyek k¨ oz¨ ott
Azzal a probl´em´ aval, hogy a r´eszecsk´ek megsem teljesen olyanok, mint a klasszikus t¨omegpontok, akkor szembes¨ ul¨ unk, ha valamilyen m´ odon pr´ oba al´a helyezz¨ uk a rendszert, azaz k¨olcs¨onhat´asba hozzuk valamivel. Ebben a fejezetben a legegyszer˝ ubb k¨ olcs¨ onhat´asokat vizsg´aljuk, amikor a r´eszecske k¨ornyezet´et klasszikus m´ odon v´ altoztatjuk.
7.1
Klasszikus mez˝ o
A k¨ olcs¨ onhat´ asok k¨ oz¨ ott a legegyszer˝ ubb, ha a Lagrange f¨ uggv´enyhez egy line´aris tagot adunk. N´ezz¨ uk csak skal´ ar bozonokra az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert: L=
1 Φ(−∂ 2 − m2 )Φ + JΦ, 2
(297)
´es J(x) k´ıv¨ ulr˝ ol megadott f¨ uggv´eny, a k¨ uls˝ o forr´ astag. A klasszikus mozg´asegyenlet: (∂ 2 + m2 )Φ = J.
(298)
Ez a rendszer is egzaktul megoldhat´ o, azonban k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o strat´egi´at k¨ovethet¨ unk. Mindk´et esetben korrekt az elj´ ar´ as, azonban a r´eszecsketartalom k¨ ul¨onb¨oz˝o. Klasszikus h´ att´ er Az els˝ o m´ odszerben a kvant´al´as el˝ott fel´ırom a teret mint Φ(x) = Φ0 (x) + ϕ(x).
(299)
Ezt be´ırva a Lagrange-f¨ uggv´enybe, felhaszn´ alva, hogy teljes divergenci´ak eldobhat´ok: L=
1 1 Φ0 (−∂ 2 − m2 )Φ0 + φ(−∂ 2 − m2 )Φ0 + φ(−∂ 2 − m2 )φ + J(Φ0 + ϕ). 2 2
(300)
V´ alasszuk (∂ 2 + m2 )Φ0 = J, ezzel
(301)
1 1 ϕ(−∂ 2 − m2 )ϕ + Φ0 J. (302) 2 2 Itt a m´ asodik tag k´ıv¨ ulr˝ ol adott, nem befoly´ asolja a ϕ rendszer dinamik´aj´at. A kvant´al´askor teh´at ugyanazt ˜ az rendszert kell megadni, mint forr´ as n´elk¨ uli esetben. Defini´alhatunk egy v´akuumot |0i-t, illetve az ezen † ˜ ´ertelmezett elt¨ untet˝ o oper´ atorokat bk -kat: bk |0i = 0. Az bk oper´atorok a kelt˝o oper´atorok. L=
35
Eredeti kvant´ al´ as A m´ asik lehet˝ os´eg, hogy egyben kezelve a rendszert a Φ-t kvant´alom. Ekkor a Lagrange- ´es Hamilton-f¨ uggv´eny alakja Z Z 1 m2 2 1 2 1 m2 2 3 µ 3 2 L= d x (∂µ Φ)(∂ Φ) − Φ + JΦ , Π + (∇Φ) + Φ − JΦ . (303) H= d x 2 2 2 2 2 Ugyan´ ugy bevezetve a kelt˝ o- elt¨ untet˝ o oper´ atorokat mint kor´abban, a J-t tartalmaz´o tag: Z 3 Z Z 3 1 1 d p d p ipx † −ipx p p a e J(t, x) + a e J(t, x) = − ap Jp∗ + a†p Jp . − d3 x p p 3 3 (2π) (2π) 2ωp 2ωp
(304)
A teljes Hamilton-oper´ ator teh´ at: Z H=
d3 p (2π)3
ωp a†p ap
Jp∗ Jp − ap p − a†p p 2ωp 2ωp
Bevezetve Jp ηp = q 2ωp3
Z bp = ap − ηp
⇒
H=
! .
d3 p ωp b†p bp + |ηp |2 . 3 (2π)
(305)
(306)
˜ Ism´et megkaptuk egy szabad rendszer Hamilton-oper´ator´at. A v´akuum´allapot, amelyet az el˝obb |0i-val jel¨ olt¨ unk, s amelyet a bk oper´ atorok elt¨ untetnek most rel´aci´oba hozhat´o az eredeti v´akuummal: ˜ = 0 ⇒ ap |0i ˜ = ηp |0i, ˜ bp |0i
(307)
ez teh´ at a-k saj´ at´ allapotai. Ezeket h´ıvjuk koherens a ´llapotoknak, amelyek teh´at egy´altal´an nem egy-reszecske allapotok. Egy adott impulzus eset´en a norm´alt koherens ´allapot ´ a |ηi = η |ηi
⇒
1
2
|ηi = e− 2 |η|
∞ X 2 † 1 ηn √ |ni = e− 2 |η| eηa |0i , n! n=0
a teljes koherens ´ allapot ezek direkt szorzata, azaz Z 3 d p 1 2 † ˜ = exp |0i |η | + η a |0i . − p p p (2π)3 2
(308)
(309)
A klasszikus mez˝ o teh´ at a r´eszecsk´ek szempontj´ab´ol egy koherens ´allapotnak felel meg, ahol az n-r´eszecske 2 allapot megfigyel´es´enek val´ ´ osz´ın˝ us´ege | hη|ni |2 = e−|η| |η|2n /n! Poisson-eloszl´ast mutat minden impulzusra. A k´et le´ır´ as ekvivalens, nincs arra m´ od, hogy meg´allap´ıtsuk, vajon melyik a helyes, azaz mennyi r´eszecs´et tal´ alunk a klasszikus mez˝ oben. Vagyis a r´eszecske defin´ıci´o f¨ ugg att´ol, hogyan defini´alom ˝oket. Ha a forr´ as id˝ of¨ uggetlen, a klasszikus mez˝o ´es a koherens param´eter k¨ozvetlen¨ ul ¨osszef¨ ugg: r Jp ωp Φp . (310) Φ0 (p) = 2 ⇒ ηp = ωp 2 Ha a forr´ as id˝ of¨ ugg˝ o, akkor nincs ennyire k¨ ozveten kapcsolat, csak azt tudjuk, hogy q (∂t2 + ωp2 )Φ0 (t, p) = Jp (t) = 2ωp3 ηp .
(311)
Ha egy rendszert v´ akuum´ allapot´ ab´ ol ind´ıtok, ´es a fenti forr´assal kit´er´ıtem, akkor val´oj´aban η(t)-t defini´ alok, vagyis v´egig koherens ´ alapotokat kapok. Ugyanakkor az eredeti r´eszecsk´ek nyelv´en az id˝of¨ ugg˝o forr´ as r´eszecsk´eket hoz l´etre.
36
7.2
Id˝ of¨ ugg˝ o t¨ omegtag
Az id˝ of¨ ugg´es m´ odos´ıthatja a Lagrange-f¨ uggv´eny param´etereit is. Ez az eset gyakrabban fordul el˝o, mint a kor´ abbi, ilyen t¨ obbek k¨ oz¨ ott k¨ uls˝ o er˝ ot´erbe t´erbe helyezett r´eszecske esete, de erre majd l´atunk k¨ ul¨onf´ele alkalmaz´ asokat. Tekints¨ unk egy komplex skal´ arteret, amelynek a saj´atfrekvenci´aja valamilyen id˝of¨ ugg´est mutat. Miel˝ ott ezt a rendszert megvizsg´ aln´ ank, r¨ oviden n´ezz¨ uk meg a fix egy¨ utthat´os komplex skal´art´er kvant´al´as´at. A klasszikus Lagrange-f¨ uggv´eny: L = (∂µ Φ)∗ (∂µ Φ) − m2 Φ∗ Φ,
Φ ∈ C.
(312)
Amikor kvant´ aljuk Φ-b˝ ol oper´ ator lesz, de nem ¨onadjung´alt. A kanonikusan konjug´ alt impulzusok Π = ∂t Φ† ,
Π† = ∂t Φ,
(313)
a Hamilton-s˝ ur˝ us´eg H = Π† Π + (∇Φ)† (∇Φ) + m2 Φ† Φ.
(314)
(∂ 2 + ωk2 )Φk = 0,
(315)
A mozg´ asegyenletek Fourier-t´erben ahol
ωk2
2
2
= k + m . Hamiltoni formalizmusban: ∂t Φk = Π†k ,
∂t Π†k = −ωk2 Φk .
(316)
A teret fel´ırhatjuk val´ os ´es k´epzetes r´esz ¨ osszegek´ent 1 Φ = √ (Φ1 + iΦ2 ), 2
1 Π† = ∂t Φ = √ (Π1 + iΠ2 ), 2
(317)
ekkor
1 1 ((∂µ Φ1 )2 − m2 Φ21 ) + ((∂µ Φ2 )2 − m2 Φ22 ). (318) 2 2 Ez k´et k¨ oz¨ ons´eges szabad skal´ art´er Lagrange-f¨ uggv´eny´enek ¨osszege. A kvant´al´as teh´at a szok´asos m´odon megy: bevezethetj¨ uk a v´ akuumot |0i, amelyet a1k ´es a2k elt¨ untet, ´es amelyen a†1k ´es a†2k hoz l´etre ´allapotokat. A t´eroper´ atorok kifejez´ese Z 3 1 d k √ Φ1,2 (x) = a1,2,k + a†1,2,−k e−ikx 3 (2π) 2ωk r Z 3 ωk d k † (−i) a − a e−ikx . (319) Π1,2 (x) = 1,2,k 1,2,−k (2π)3 2 L=
A Hamilton-oper´ ator alakja Z 3 Z d3 k d k † † H= ω a a + a a ωk a†k ak + b†k bk . k 1k 1k 2k 2k = 3 3 (2π) (2π)
(320)
Vissza´ırva az eredeti alakba ´eszrevehetj¨ uk, hogy megjelenik k´et kombin´aci´o; ezeket ejl¨olj¨ uk a k¨ovetkez˝ok´epp: ak =
a1k + ia2k √ , 2
bk =
a1k + ia2k √ . 2
(321)
Ezek ugyanazon felcser´el´esi rel´ aci´ okat tudj´ ak, mint az eredeti oper´atorok [ak , a†q ] = (2π)2 δ(k − q),
[bk , b†q ] = (2π)2 δ(k − q),
37
[ak , b†q ] = [ak , aq ] = [bk , bq ] = 0.
(322)
Ezzel 1 d3 k † −ikx √ a + b k −k e (2π)3 2ωk r Z 3 d k ωk Π† (x) = (−i) ak − b†−k e−ikx . 3 (2π) 2 Z
Φ(x) =
(323)
A Hamilton-oper´ ator alakja most Z H=
d3 k † † ω a a + b b . k k k k k (2π)3
(324)
Mindezid´ aig igaz marad minden akkor is, ha ωk (t) id˝of¨ ugg˝o, a Hamilton-oper´atort diagonaliz´alhatjuk a fenti m´ odon. A Heisenberg k´epben az oper´ atorok lesznek id˝of¨ ugg˝ok; a r´ajuk vonatkoz´o mozg´asegyenletek (316) alapj´ an r 1 ωk † ∂t √ (ak + b−k ) = −i (ak − b†−k ) 2 2ωk r ωk 1 † (ak − b−k ) = −ωk2 √ ∂t −i (ak + b†−k ), (325) 2 2ωk ebb˝ ol ∂t ak = −iωk ak +
ω˙ k † b , 2ωk −k
∂t b†k = iωk b†k +
ω˙ k ak . 2ωk
(326)
L´ athat´ o m´ odon, ha ω˙ 6= 0, akkor ¨ osszekeveredik az ak ´es a b†−k ! ´Irjuk a k¨ovetkez˝o m´odon fel a megold´ast ak (t) = αk (t)ak + βk∗ (t)b†−k ,
b†−k (t) = βk (t)ak + αk∗ (t)b†−k .
(327)
Ezeket a kifejez´eseket h´ıvj´ ak Bogoljubov-transzform´ aci´ onak. Az egy¨ utthat´okra vonatkoz´o differenci´alegyenletek: ∂t αk = −iωk αk +
ω˙ k βk , 2ωk
∂t βk = iωk βk +
ω˙ k αk . 2ωk
Ha a Bogoljubov-transzform´ alt alakot vissza´ırjuk a t´eropr´atorba, akkor Z 3 d k Φ(x) = fk (t)ak + fk∗ (t)b†−k e−ikx , 3 (2π) ahol
αk + βk fk = √ ; 2ωk
ezt az alakot h´ıvj´ ak m´ oduskifejt´esnek. A kanonikusan konjug´alt t´er: Z 3 d k Π† (x) = (−i) gk (t)ak − gk∗ (t)b†−k e−ikx , 3 (2π) p ˙ azaz gk = if˙k . Ennek alapj´an ahol gk = (αk − βk ) ωk /2. M´ asr´eszt azonban Π† = Φ, αk = √
−i βk = √ (f˙k + iωk fk ). 2ωk
i (f˙k − iωk fk ), 2ωk
(328)
(329)
(330)
(331)
(332)
´ Eszrevehetj¨ uk, hogy a i∂t ∓ ωk a pozit´ıv/negat´ıv energi´as id˝ofejl˝od´esre vet´ıt. A Φ mozg´ asegyenlet´eb˝ ol k¨ ovetkez˝ oen f¨k (t) + ωk2 fk (t) = 0. Praktikusan az ember el˝ osz¨ or fk -t hat´ arozza meg, ebb˝ol lehet αk -t ´es βk -t kisz´amolni. 38
(333)
Most sz´ amoljuk ki a r´eszecskesz´ amot! Amennyiben H id˝of¨ ugg˝o, akkor a H-val val´o felcser´elhet˝os´eg nem jelent megmarad´ ast. Azonban ha H id˝ ofejl˝ od´ese meg´all, akkor m´ar ´ertelmes ez a k´erd´es. Vagyis ha egy stabil helyzetb˝ ol valamilyen id˝ ofejl˝ od´es ut´ an ism´et stabil helyzetbe ker¨ ul¨ unk, meghat´arozhatjuk a r´eszecskesz´ am v´ altoz´ ast. A r´eszecsk´ekre: E E D D (334) 0 a†k (t)ak (t) 0 = 0 (αk∗ (t)a†k + βk (t)b−k )(αk (t)ak + βk∗ (t)b†−k ) 0 . Mivel h0|a†k (t)ak (t)|0i = V nak , ´ıgy a s˝ ur˝ us´egekre kapjuk: nak (t) = |αk (t)|2 nak + |βk (t)|2 (1 + nak + nbk ).
(335)
Speci´ alisan, ha v´ akuumb´ ol indultunk: f˙k2 + ωk2 fk2 . 2ωk
nak (t) = |βk (t)|2 =
7.3
(336)
Unruh sug´ arz´ as
Tekints¨ unk egy egyenletesen gyorsul´ o relativisztikus megfigyel˝ot. A n´egyesgyorsul´as kifejez´ese duµ = gµ , dτ
(337)
ahol uµ a n´egyessebess´eg, τ a saj´ atid˝ o, g µ a n´egysgyorsul´as, mind n´egyesvektorok. Akkor egyenletes a gyorµ sul´ as, ha g egy r¨ ogz´ıtett n´egyesvektor adott koordin´atarendszerbe val´o transzform´aci´oja. A n´egyessebess´eg valamely k¨ uls˝ o vonatkoztat´ asi rendszerb˝ ol (c = 1 egys´egrendszert haszn´alva) uµ = (γ, γv),
γ2 =
1 , 1 − v2
(338)
dt . γ
(339)
a saj´ atid˝ o pedig dτ =
p
1 − v 2 dt =
Mivel −2γ −3 dγ = −2dvv ´ıgy gµ =
⇒
dv dγ = γ3v , dt dt
(340)
duµ duµ ˙ γ 2 v˙ + γ 4 v(v v)). ˙ =γ = (γ 4 v v, dτ dt
(341)
Teh´ at v = 0 mellett g0µ = (0, g).
(342)
Ha egyenletes a gyorsul´ as, akkor m´ as koordin´atarendszerben ennek a g0 -nak a Lorentz transzform´altj´at kell l´ atnunk. 1D-s esetet tekintve g00 = (γvg, γg), (343) vagyis a 0. komponensre fel´ırt differenci´ alegyenlet: γ 4 v v˙ = γg
⇒
dv = g(1 − v 2 )3/2 dt
(344)
Ennek megold´ asa √
v = g(t − t0 ) ⇒ 1 − v2
v=p
g(t − t0 ) 1 + g 2 (t − t0 )2
.
(345)
Ezt a kifejez´est is fel lehet integr´ alni. Az eredm´eny t=
1 sinh gτ + t0 , g
x= 39
1 (cosh gτ − 1) + x0 , g
(346)
hiszen v=
dx/dτ sinh gτ sinh gτ dx = = =p , dt dt/dτ cosh gτ 1 + sinh2 gτ
ahonnan t kifejez´es´et felhaszn´ alva ad´ odik az eredm´eny. Mellesleg expliciten is ki lehet fejezni r 1 1 x = x0 + + t2 − . g2 g
(347)
(348)
A fenti k´epletek egyetlen gyorsul´ o t¨ omegpontra vonatkoznak. Ebb˝ol gyorsul´o megfigyel˝ot sokf´elek´eppen csin´ alhatunk. Szok´ asosan a k¨ ovetkez˝ o v´ alaszt´assal ´elnek: 1 t = egξ sinh gτ g (349) (τ, ξ) 7→ (t, x), 1 x = egξ cosh gτ, g ezek a Rindler-koordin´ at´ ak. Ez a koordin´ at´az´as konform, azaz sz¨ogtart´o. Az u ´j b´azisvektorok az eredeti rendszerb˝ ol n´ezve gξ gξ dr dr e cosh gτ e sinh gτ 1 e0µ = = = , e = ⇒ e0µ e1µ = 0, (350) µ egξ sinh gτ egξ cosh gτ dτ dξ azaz mer˝ oleges koordin´ at´ az´ as. A fenti param´eterez´es a Minkowski t´erbeli pol´arkoordin´at´aknak felelnek meg. Most azonban nem fedik le a teljes t´erid˝ ot, annak csup´an a negyed´eben vannak ´ertelmezve. Ennek ellen´ere ebben a negyedben teljes kvantumt´erelm´eletet ´ep´ıthet¨ unk fel. Azt k´erdezz¨ uk, hogy ha egy Rindler-megfigyel˝onk van, akkor milyen lesz a v´akuum´allapota az eredeti, Minkowski megfigyel˝ o sz´ am´ ara. Fizikailag kvalitat´ıve az t¨ort´enik, hogy a v´akuumb´ol r¨ovid id˝ore “k¨olcs¨ on lehet venni” energi´ at, δt ideig δE = 1/δt energia vehet˝o el. Ennyi id˝o alatt egy ´all´o rendszer δv = δtg sebess´egre tesz szert, azaz a mozg´ asi energi´ aja 21 mδt2 g 2 lesz. Ha ez fedezni k´epes a k¨olcs¨onvett energi´ at, 1 2 3 odi lehet. azaz E = 2 mg , akkor a r´eszecske val´ Vil´ agos m´ odon itt id˝ of¨ ugg˝ o esetr˝ ol van sz´o, azaz a Bogoljubov-m´odszert haszn´alhatjuk. A t´er, skal´art´er l´ev´en, nem transzform´ al´ odik a gyorsul´ as hat´ as´ara, azaz a Rindler megfigyel˝o ´altal fel´ırt skal´art´er a Minkowski t´er ´ atkoordin´ at´ az´ asa. Most haszn´ aljunk val´ os skal´arteret az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert. A Minkowski t´erben a mozg´ asegyenletek megold´asa Z∞
ˆ M (t, x) = Φ
−∞
dk 1 −iωk t+ikx √ ak e + a†k eiωk t−ikx . 2π 2ωk
(351)
Emiatt a Rindler megfigyel˝ o t´eroper´ atora: ˆ g (τ, ξ) = Φ ˆ M (t(τ, ξ), x(τ, ξ)). Φ A v´ akuum anal´ızis´ehez Fourier transzform´ aci´ot v´egz¨ unk Z ˆ g (τ, ξ) = d` B` (τ )ei`ξ , Φ 2π azaz
Z∞ B` (τ ) =
−i`ξ
Z∞
dξ e −∞
−∞
dk 1 −iωk t(τ,ξ)+ikx(τ,ξ) √ ak e + a†k eiωk t(τ,ξ)−ikx(τ,ξ) . 2π 2ωk
(352)
(353)
(354)
Az anal´ızist m = 0 esetre v´egezz¨ uk, de a v´eges t¨omeg˝ u esetre is hasonl´o eredm´enyeket kapunk. A k integr´ alt bontsuk fel pozit´ıv ´es negat´ıv r´eszekre. Z∞ B` (τ ) = −∞
dξ e−i`ξ
Z∞ 0
dk 1 ik(x−t) √ ak e + a†k e−ik(x−t) + a−k e−ik(x+t) + a†k eik(x+t) . 2π 2k 40
(355)
Ez a fel´ır´ as megfelel balra fut´ o eik(x+t) ´es jobbra fut´o eik(x−t) s´ıkhull´amok szerinti kifejt´esnek (f´enyk´ up koordin´ at´ az´ as). Mivel 1 (356) x ± t = eg(ξ±τ ) , g ez´ert a jobbra illetve balra fut´ o hull´ amok a Rindler rendszerben is megjelennek. Vissza´ırva Z∞ B` (τ ) = 0
i dk 1 h ¯ R,` (τ )a† + GL,` (τ )a−k + G ¯ L,` (τ )a† , √ GR,` (τ )ak + G k −k 2π 2k
(357)
ahol az egy¨ utthat´ ok kisz´ am´ıthat´ ok a k¨ ovetkez˝o formula seg´ıts´eg´evel 1 Z∞ Z∞ z = egξ , ξ = g ln z, 1 Z∞ gξ ` 1 −i` −i g` −1 isz i g` −i`ξ ise dξ e e = z ∈ [0, ∞], = dvv −i g −1 e−v Γ( dzz e = (−is) )= g g g dz/(gz) = dξ −∞ 0 0 ` 1 −i` 1 `π ` −i` = (−is)i g Γ( ) = e 2g si g Γ( ). (358) g g g g Amit kapunk Z∞ GR,` (τ ) =
¯ R,` (τ ) = G
−∞ Z∞ −∞ Z∞
GL,` (τ ) =
¯ L,` (τ ) = G
−∞ Z∞
k
dξ e−i`ξ ei g e
g(ξ−τ )
`
−i` ), g
`
`π
= g −i g −1 e 2g −i`τ k i g Γ(
k
g(ξ−τ )
= g −i g −1 e− 2g −i`τ k i g Γ(
k
g(ξ+τ )
= g −i g −1 e− 2g +i`τ k i g Γ(
dξ e−i`ξ e−i g e
dξ e−i`ξ e−i g e
k
dξ e−i`ξ ei g e
g(ξ+τ )
`
`
`π
`
`
`π
`
`
`π
= g −i g −1 e 2g +i`τ k i g Γ(
−i` ), g −i` ), g
−i` ). g
(359)
−∞
Bevezethet¨ unk u ´j kelt˝ o- ´es elt¨ untet˝ o oper´atorokat d` =
Z∞ ` dk √ k i g ak , 2πkg
h` =
0
Z∞ ` dk √ k i g a−k , 2πkg
(360)
0
ezekre [d` , d†r ]
Z∞ =
dk √ 2πkg
0
Z∞
` r dq 1 √ k i g q −i g [ak , a†q ] = g 2πqg
0
Z∞ Z∞ dk − gi (r−`) k = dz e−i(r−`)z = 2πδ(r − `), k 0
(361)
−∞
ahol bevezett¨ uk a gz = ln k v´ altoz´ ot. A d ´es h v´altoz´ok egym´assal kommut´alnak, mert az egyik pozit´ıv, a m´ asik negat´ıv impulzusokat haszn´ al. Ugyanakkor d ´es h v´akuuma m´eg mindig a Minkowski v´akuum. Ezek ut´ an `
B` (τ ) =
1
i `π `π `π g −i g − 2 −i` h `π √ Γ( ) e 2g −i`τ d` + e− 2g −i`τ d†−` + e− 2g +i`τ h` + e 2g +i`τ h†−` . g 4π
(362)
Vagyis a teljes kifejez´es Rindler koordin´ at´ akban ˆ g (τ, ξ) = Φ
Z∞
i `π `π `π `π d` h R` e 2g d` ei`(ξ−τ ) + R`∗ e 2g d†` e−i`(ξ−τ ) + R` e− 2g h` ei`(ξ+τ ) + R`∗ e− 2g h†` e−i`(ξ+τ ) 2π
−∞
41
(363)
ahol
`
R` =
1
g −i g − 2 −i` √ Γ( ). g 4π
(364)
´ Erdekes megfigyelni, hogy megmaradt a s´ıkhull´am alak, azaz ∼ ei`(ξ±t) marad az id˝of¨ ugg´es: ez annak a k¨ ovetkezm´enye, hogy a koordin´ ata-transzform´aci´o ortogon´alis volt, azaz ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 − → − 2, 2 2 2 ∂t ∂x ∂τ ∂ξ
(365)
´ıgy a megold´ as tov´ abbra is s´ıkhull´ amok szerint kifejthet˝ o. Azonban a pozit´ıv ´es negat´ıv energi´ak ¨osszekeverednek, √ ami onnan is l´ atszik, hogy a norm´ al´ as nem 1/ 2`, mint a k¨oz¨ons´eges Minkowski esetben. A s´ıkhull´am kifejez´es miatt azonban amikor ki akarjuk sz´ amolni α-t ´es β-t a (332) k´epletben, akkor a τ szerinti id˝oderiv´ alt egyszer˝ uen ±i`-et ad. Amit kapunk a d` ´es d†` egy¨ utthat´oib´ol √ α` =
√ `π β` = − 2`e− 2g R`∗ .
`π
2`e 2g R` ,
Innen |β` |2 =
(366)
i` −i` ` − `π e g Γ( )Γ( ). 2πg g g
(367)
A Gamma-f¨ uggv´enyek speci´ alis tulajdons´ agait felhaszn´alva Γ(z)Γ(1 − z) =
Γ(1 + z) = zΓ(z), azaz
|β` |2 =
` − `π e g 2πg
i` g
π sin πz
⇒
Γ(z)Γ(−z) =
−π , z sin πz
−π 1 = 2π` . i`π sin g e g −1
(368)
(369)
Mivel a fenti kifejez´es a v´ akuumban tal´ alhat´o r´eszecsk´ek sz´am´at jelenti, a fenti k´eplet alapj´an azt kaptuk, hogy a gyorsul´ o rendszer v´ akuuma val´ oj´ aban u ´gy n´ez ki, mintha TU =
g 2π
(370)
h˝ om´ers´eklet˝ u fekete test lenne! Ez az Unruh effektus. A kelt˝ o ´es elt¨ untet˝ o oper´ atorok viszony´ at is lehet elemezni, ehhez `-ben is pozit´ıv ´es negat´ıv tengelyt kell v´ alasztani. Bevezethet˝ ok a k¨ ovetkez˝ o oper´ atorok: `π
`π
`π † ¯b` = R` e `π 2g h + R∗ e− 2g d . ` ` `
`π
h` ∼ e 2g ¯b` − e− 2g b†` .
(372)
`π (¯b` − e− 2g b†` ) |0iM = 0.
(373)
b` = R` e 2g d` + R`∗ e− 2g h†` , Innen
`π
`π
d` ∼ e 2g b` − e− 2g ¯b†` ,
`π
(371)
A Minkowski v´ akuumot elt¨ unteti d ´es h, ez´ert `π
(b` − e− 2g ¯b†` ) |0iM = 0,
Innen a Minkowski v´ akuum r¨ ovid sz´ amol´ as ut´an (l. 0710.5373 cikk az arxiv.org honlapon) p Y X |0iM = Ci e−πni `i /g |ni i ⊗ |ni i, Ci = 1 − e−2π`i /g . i
(374)
ni
Kik¨ usz¨ ob¨ olve a |ni i ´ allapotokat egy tiszt´ an termikus alap´allapotot kapunk. A gravit´ aci´ o egyik alapelve (ekvivalencia-elv), hogy a gravit´aci´os gyorsul´as megk¨ ul¨onb¨oztethetetlen az inerci´ alis gyorsul´ ast´ ol. Emiatt amit itt elmondtunk alkalmazhat´o gravit´aci´os er˝ot´erre is. A gravit´aci´os t´er teh´ at a s´ık v´ akuumhoz k´epest r´eszecsk´ekkel van teli, amit ki is sug´aroz. Mivel a gravit´aci´os gyorsul´as g=
GM R2
⇒ 42
TU =
2πR2 . GM
(375)
A F¨ oldr˝ ol ez a sug´ arz´ as rendk´ıv¨ ul kicsi. Fekete lyukak eset´en a gravit´ aci´ os t´er akkora, hogy az esem´enyhorizontr´ol a f´enysebess´eg kellene a sz¨ok´esi sebess´eghez. Nemrelativisztikus k¨ ozel´ıt´essel a sz¨ok´esi sebess´eg 1 mM G mv 2 = 2 R
⇒ R=
2M G v2
⇒ Rhor =
2M G c=1 −→ 2M G. c2
(376)
Annak ellen´ere, hogy a nemrelativisztikus k´eplet teljesen alkalmatlan ennek a sz´am´ıt´as´ara, a k´eplet m´egis helyes. A gravit´ aci´ os t´er az esem´enyhorizonton ghor =
1 1 = . 4GM 2R
(377)
g 1 = . 2π 4πR
(378)
Emiatt a fekete lyuk h˝ om´ers´eklete TH =
Ez a Hawking-sug´ arz´ as. Az, hogy a fekete lyuk val´ oj´ aban egyben egy termodinamikai fekete test, a gyorsul´as ´es a h˝om´ers´eklet pedig l´enyeg´eben ugyanaz a fogalom, messzire vezet˝o k¨ovetkeztet´eseket eredm´enyez. Ha ugyanis a t¨omeget az energi´ aval azonos´ıtjuk, akkor a fenti rel´ aci´o alapj´an T =
1 8πGM
⇒
E=M =
1 . 8πGT
(379)
A szabadenergia (β = 1/T jel¨ ol´essel E=
∂βF ∂β
⇒ F =
1 . 16πGT
(380)
az entr´ opia pedig 1 πR2 A ∂F = = = , (381) 2 ∂T 16πGT G 4G ahol A a fekete lyuk horizontj´ anak fel¨ ulete. Ez a Bekenstein-Hawking entr´opia k´eplete. A fekete lyuk fajh˝ oje negat´ıv c = ∂S/∂T ∼ −1/T 3 , ez´ert a fekete lyuk nem stabil k´epz˝odm´eny, t¨omeg´et elsug´ arozza. Ugyanakkor csillag m´eret˝ u fekete lyukak sug´arz´as ´altal gyakorlatilag nem tudnak elt˝ unni. S=−
8
Parametrikus rezonancia
Vizsg´ aljuk meg azt a Lagrange-f¨ uggv´enyt, amely nem szabad r´eszecsk´eket ´ır le, azaz nem kvadratikus, hanem a r´eszecsk´ek k¨ olcs¨ onhat´ as´ at is tartalmazza. A legegyszer˝ ubb ilyen v´alaszt´as a L=
1 λ Φ(−∂ 2 − m2 )Φ − Φ4 2 24
(382)
Lagrange-f¨ uggv´ennyel le´ırhat´ o Φ4 -modell. A modell igen gazdag jelens´egk¨or le´ır´as´ara alkalmazhat´o, mi most egy speci´ alis r´eszletre vegyunk k´ıv´ ancsiak: ind´ıtsuk el a rendszert t´erben homog´en koherens ´allapot´ab´ ol, ´es vizsg´ aljuk meg, mi t¨ ort´enik vele az id˝ o m´ ul´as´aval. Ehhez a mindig a legegyszer˝ ubb k¨ozel´ıt´est, azaz az effektusokat m´eg visszaad´ o legalacsonyabb rend˝ u alak megtart´as´at alkalmazzuk. Mint l´ attuk, a t´erben homog´en koherens ´allapot egy Φ0 klasszikus mez˝ovel ekvivalens. Ekkor a kvantum mez˝ o a Φ = ϕ + Φ0 felbont´ asb´ ol kaphat´o. A kezdeti felt´etel szerint teh´at ϕ v´akuum´ab´ol indulunk. Felt´etelezhetj¨ uk, hogy a klasszikus h´ att´er, mivel t´erf¨ uggetlen m´odon indult, k´es˝obb is t´erf¨ uggetlen marad. A hat´ asf¨ uggv´enybe vissza´ırva a h´ att´er + fluktu´ac´o alakot: Z δS ˜ 0 , ϕ]. + S[Φ (383) S[Φ0 + ϕ] = S[Φ0 ] + ϕ δΦ0 Az els˝ o tag csak a klasszikus teret tartalmazza, ez´ert a fluktu´aci´o szempontj´ab´ol konstans. A m´asodik tag nulla lesz, ha Φ0 a klasszikus mozg´ asegyenleteket teljes´ıti, azaz δS λ 0= = −∂ 2 − m2 − Φ20 Φ0 . (384) δΦ0 6 43
A fluktu´ aci´ okra teh´ at csak a harmadik tag vonatkozik: ˜ 0 , ϕ] = 1 ϕ(−∂ 2 − m2 )ϕ − λ ϕ4 − λ (Φ0 + ϕ)4 − Φ4 − 4ϕΦ3 = L[Φ 0 0 2 24 24 1 λ λ λ = ϕ(−∂ 2 − m2 − Φ20 )ϕ − Φ0 ϕ3 − ϕ4 . 2 2 6 24
(385)
Most minden¨ utt, ahol lehet, kvadratikus k¨ozel´ıt´est alkalmazunk. A Φ0 mozg´asegyenlete eszerint ¨ 0 = −m2 Φ0 Φ
⇒
Φ0 (t) = Φ0 cos mt,
(386)
λ 2 Φ )ϕ = 0. 2 0
(387)
a fluktu´ aci´ okra vonatkoz´ o oper´ ator egyenlet pedig (∂ 2 + m2 +
A fluktu´ aci´ okat a kezdeti id˝ opontban felvett kelt˝o-elt¨ untet˝o oper´atorok seg´ıts´eg´evel fejezz¨ uk ki, azaz m´odusf¨ uggv´eny kifejt´est alkalmazunk (329) Z 3 d k † ∗ f (t)a + f (t)a e−ikx . (388) ϕ(t, x) = k k k −k (2π)3 Az egy¨ utthat´ okra vonatkoz´ o egyenletek: λ f¨k (t) + k 2 + m2 + Φ20 (t) fk (t) = 0. 2
(389)
Be´ırva ide a Φ0 konkr´et alakj´ at (386)-b´ ol: λΦ20 f¨k (t) + k 2 + m2 + cos2 (mt) fk (t) = 0, 2
(390)
ami, felhaszn´ alva a cos 2mt = 2 cos2 mt − 1 azonoss´agot, ´ırhat´o u ´gy, mint λΦ20 λΦ20 f¨k (t) + k 2 + m2 + + cos(2mt) fk (t) = 0. 4 4 Ezek ut´ an a z = mt,
M=
1 m2
k 2 + m2 +
λΦ20 4
,
2q =
λΦ20 4m2
(391)
(392)
helyettes´ıt´essel kapjuk a fk00 (z) + (M + 2q cos(2z)) fk (z) = 0
(393)
egyenletet. Ez a Mathieu-egyenlet.
8.1
Stabilit´ as anal´ızis
N´ezz¨ uk meg r¨ oviden, mit is tudunk mondani egy ilyen jelleg˝ u egyenletr˝ol. R´eszeletesebb inform´aci´ot kaphatunk • www.emba.uvm.edu/~jyang/teaching/Floquet_theory_Ward.pdf oldalon • tesi.cab.unipd.it/47187/1/Tesi_Ilaria_Panardo.pdf oldalon • http://dlmf.nist.gov/28 oldalon • a google-ba be´ırva a “matthieu equation floquet analysis” szavakat.
44
Az egyik legfontosabb gondolat Floquet nev´ehez f˝ uz˝odik. R¨oviden az elv az, hogy ha a potenci´al periodikus z → z + π szerint, akkor a differenci´ alegyenletnek van egy nπ-vel val´o diszkr´et eltol´asi invarianci´ aja. Ez a diszkr´et csoport ´ abr´ azol´ odik a megold´ asokon, a saj´at´ert´ekek jellemzik a megold´asokat. R´eszletesebben: tegy¨ uk fel, hogy f1 ´es f2 k´et line´arisan f¨ uggetlen megold´as, amelyeket a c´elszer˝ us´eg kedv´e´ert u ´gy inicializ´ alunk, hogy f1 (0) = 1,
f10 (0) = 0,
f2 (0) = 0,
f20 (0) = 1.
(394)
Ekkor minden megold´ as fel´ırhat´ o mint f (z) = c1 f1 (z) + c2 f2 (z).
(395)
Viszont a differenci´ alegyenlet ugyan´ ugy n´ez ki z + π-t ber´ırva, azaz f (z + π) is megold´as, ami kifejthet˝ o t¨ obbf´ele m´ odon: f (z + π) = c1 f1 (z + π) + c2 f2 (z + π), f (z + π) = h1 f1 (z) + h2 f2 (z), f1 (z + π) = A1 f1 (z) + A2 f2 (z), f2 (z + π) = B1 f1 (z) + B2 f2 (z).
(396)
Az utols´ o k´et egyenlet z = 0-ban azt adja, felhaszn´alva f1,2 -re vonatkoz´o kezdeti felt´eteleket, hogy f1 (π) = A1 ,
f10 (π) = A2 ,
f2 (π) = B1 ,
f20 (π) = B2 .
A fenti egyenletek egym´ asba helyettes´ıtve azt adj´ak, hogy f1 (π) f10 (π) c1 h1 = . f2 (π) f20 (π) c2 h2
(397)
(398)
Keress¨ unk olyan megold´ ast, amelyre h1 = µc1 ´es h2 = µc2 igaz. Ekkor f (z + π) = µf (z) ⇒ f (z + nπ) = µn f (z),
(399)
´es µ a fenti m´ atrix saj´ at´ert´eke. A megold´ as teh´at stabil, ha |µ| = 1, lecseng, ha |µ| < 1, ´es felrobban, ha |µ| > 1. Fel´ırva a saj´ at´ert´ekegyenletet f1 (π) − µ f10 (π) = µ2 − µ(f1 (π) + f20 (π)) + W (π), 0= (400) f2 (π) f20 (π) − µ ahol W (z) a m´ atrix determin´ ansa z id˝ oben: W (z) = f1 (z)f20 (z) − f2 (z)f10 (z).
(401)
Megfigyelhetj¨ uk, hogy ha f 00 + X(z)f = 0, ahol X(z) tetsz˝oleges f¨ uggv´eny, akkor W 0 (z) = f1 (z)f200 (z) − f2 (z)f100 (z) = 0,
(402)
emiatt W (z) = W (0) = 1. Emiatt a saj´ at´ert´ekegyenlet µ2 − 2φµ + 1 = 0,
ahol
2φ = f1 (π) + f20 (π).
(403)
B´ ar φ ´ert´eke a konkr´et megold´ asokt´ ol f¨ ugg, azt elmondhatjuk ´altal´anosan, hogy k´et saj´at´ert´ek lesz: µ1 ´es µ2 . Ezekre igaz µ1 µ2 = 1, µ1 + µ2 = 2φ. (404) ´Irjuk a k´et saj´ at´ert´eket exponenci´ alis alakba µ1,2 = eν1,2 π ,
(405)
ekkor ν1 + ν2 = 0,
cosh ν1 = φ.
Teh´ at: 45
(406)
|φ| < 1 esetben ν1,2 tiszt´ an k´epzetes, azaz µ1 = ei|ν1 |π ´es µ2 = µ∗1 . Ekkor |µ1,2 | = 1 ´es a megold´as stabil. |φ| > 1 esetben ν1 val´ os ´es ν2 = −ν1 . Emiatt µ2 = 1/µ1 , ´es mindkett˝o val´os: az egyik megold´as teh´at lecseng, a m´ asik exponenci´ alisan n˝ o, azaz instabil megold´ast kapunk. |φ| = 1 esetben ν1 = ν2 = 0 vagy ±i, azaz µ1 = µ2 = ±1. Ekkor a megold´as (399) alapj´an π-ben periodikus vagy antiperiodikus. Mivel a Mathieu-egyenletben az egyenlet folytonosan f¨ ugg q-t´ol, ´ıgy elv´arhat´o, hogy φ(q) is folytonos f¨ uggv´eny legyen. Ez viszont azt jelenti, hogy a stabilit´ asi ´es instabilit´asi tartom´anyokat a π-ben periodikus megold´asok v´ alasztj´ ak el egym´ ast´ ol! Emiatt elegend˝ o el˝ osz¨ or a π-ben periodikus megold´asokat t´argyalni. Ezekre fel´ırhat´o egy Fourier-sor: ∞ X
f (z) =
f˜(z) =
c2n e2inz ,
n=−∞
∞ X
c2n+1 ei(2n+1)z .
(407)
n=−∞
Most csak az els˝ o esetet n´ezz¨ uk, a m´ asodikra ugyanez elmondhat´o. Be´ırjuk a Mathieu-egyenletbe, ´es felhaszn´ aljuk, hogy f 00 (z) =
∞ X
(−4n2 )c2n e2inz ,
n=−∞
2q cos 2zf (z) =
∞ X
qc2n e
2i(n+1)z
2i(n−1)z
+e
n=−∞
=
∞ X
q(c2(n−1) + c2(n+1) )e2inz ,
(408)
n=−∞
vagyis a c egy¨ utthat´ ok kiel´eg´ıtik a (M − 4n2 )c2n + q(c2(n−1) + c2(n+1) ) = 0
(409)
egyenletet, m´egpedig u ´gy, hogy a megold´ asul kapott f¨ uggv´enyek L2 t´erben legyenek. Ez a szok´asos saj´at´ert´ekprobl´em´ aknak megfelel˝ oen bizonyos M (q) ´ert´ekekn´el teljes¨ ul csak. Numerikusan elj´arhatunk u ´gy, hogy a fenti rekurzi´ ot egy v´eges n = N sz´ amn´ al befejezz¨ uk, ´es ki´ert´ekelj¨ uk a lehets´eges saj´at´ert´ekeket, majd N -t n¨ ovelj¨ uk. Az eredm´eny¨ ul kapott f¨ uggv´enyeket z-ben val´o periodikuss´aguk illetve antiperiodikuss´aguk szerint nevezik el. Az f -b˝ ol kapott saj´ atv¨ uggv´enyeket ce2m (z, q) (elliptikus koszinusz) illetve se2m (z, q) (elliptikus szinusz), az f˜-b˝ ol kapottakat pedig ce2m+1 (z, q) illetve se2m+1 (z, q) m´odon jel¨olik. Ezek, ahogy fent mondtuk, π szerint periodikusak illetve antiperiodikusak, ´es cem (z, q = 0) = cos mz ´es sem (z, q = 0) = sin mz hat´aresetek igazak r´ ajuk. A megfelel˝ o saj´ at´ert´ekek jel¨ ol´ese: cem -hez am ´es sem -hez bm saj´at´ert´ekek tartoznak. A saj´at´ert´ekek q-f¨ ugg´ese l´ athat´ oa1´ abr´ an.
Figure 1: A Mathieu-egyenlet π szerint (anti)periodikus megold´asaihoz tartoz´o saj´at´ert´ekek, ´es a stabilit´ asi tartom´ anyok. Forr´ as: “http://dlmf.nist.gov/28.17”.
46
A saj´ at´ert´ekek q = 0-n´ al M = am = bm = 4m2 , ami leolvashat´o a (409) egyenletb˝ol, vagy k¨ozvetlen¨ ul a (393) Mathieu-egyenletb˝ ol, amely ekkor a harmonikus oszcill´ator egyenlete lesz. Az is l´athat´o innen, hogy a q = 0 vonal mindig stabil megold´ asokat ad. Hozz´av´eve azt, hogy a π-ben periodikus megold´asok a stabil ´es az instabil tartom´ anyokat v´ alasztj´ ak el, kapjuk a 1 ´abr´an l´athat´o stabilit´asi tartom´anyokat.
8.2
R´ eszecskekelt´ es
Ha stabil megold´ asaink vannak, akkor ez megfelel valamilyen megv´altozott diszperzi´os rel´aci´oval rendelkez˝ o r´eszecsk´enek. Ha a β Bogoljubov-egy¨ utthat´o nem is lesz nulla, hiszen ott az eredeti diszerpzi´os rel´aci´ ot haszn´ aljuk, de |β|2 korl´ atos marad, ´es periodikusan null´aba t´er vissza. Ilyenkor az eredeti v´akuum k¨ozel´ıt˝ oleg v´ akuum marad tov´ abbra is. Ha azonban instabil megold´ asunk van, azaz fk (t) ∼ eνt , akkor β ∼ eνt ´es a r´eszecskesz´am exponenci´alisan 2 2νt n¨ ovekszik nk (t) = |βk | ∼ e . A numerikus szimul´aci´ok szerint (l. [4]) kis q mellett a r´eszecskesz´ am logaritmusa folytonosan n˝ o, m´ıg nagy q-k mellett id˝onk´ent megugrik.
8.3
Kozmol´ ogiai alkalmaz´ as
A kozmol´ ogiai infl´ aci´ o t¨ obb kozmol´ ogiai paradoxon felold´as´ara sz¨ uletett konstrukci´o (l. [5]). Nagy vonalakban a homog´en izotr´ op Univerzumot a Robertson-Walker metrika ´ırja le dr2 2 2 2 2 + r dΩ , (410) ds = dt − R (t) 1 − kr2 amely geometriailag egy 4-es g¨ ombnek (k = 1), hiperboloidnak (k = −1) illetve s´ıknak (k = 0) felel meg. A sk´ alaparam´etert jelent˝ o R(t) f¨ uggv´enyt az Einstein egyenletek hat´arozz´ak meg (Friedmann-egyenletek): ¨ R 4πG =− (ε + 3p), R 3
k 8πG R˙ 2 + 2 = ε, 2 R R 3
(411)
ahol G a gravit´ aci´ os konstant, ε az energias˝ ur˝ us´eg ´es p a nyom´as, amely az energia-impulzus tenzor f˝o´atl´oj´aban elhelyezked˝ o elemeknek felelnek meg, azaz T00 = ε ´es Tii = p (az izotropit´as miatt ez i-f¨ uggetlen, ´es nincsenek nem diagon´ alis elemek). Amennyiben az energia-impulzus tenzor egy klasszikus skal´art´erb˝ol sz´armazik, ahol konstans Φ0 klasszikus mez˝ onk van, akkor (446) alapj´ an Tµν = ∂ν Φ
∂L − gµν L ∂(∂ µ Φ)
⇒ Tµν = gµν V (Φ0 ).
(412)
Innen az ad´ odik, hogy ε = V (Φ0 ), de p = −V (Φ0 ) (azaz negat´ıv nyom´ast k´epvisel), emiatt ε + 3p = −2V (Φ0 ) < 0. Teh´ at a m´ asodik Friedmann-egyenlet alapj´an ¨ = H 2R R
⇒
R(t) = R(0)eHt ,
ahol H 2 =
8πG V (Φ0 ). 3
(413)
Az Univerzum teh´ at exponenci´ alisan felf´ uv´ odik: ez az infl´aci´o. A fenti elemz´es szigor´ uan v´eve csak akkor ´erv´enyes, ha Φ0 konstans, ekkor az exponenci´alisan felf´ uv´ od´ o szakasz soha nem ´erne v´eget. Ez´ert a legt¨ obb infl´aci´o modellben a skal´art´ernek valami dinamik´aja van. A. Linde u ´j infl´ aci´ os modellje szerint [6] p´eld´ aul elegend˝o, ha a skal´art´er egyszer˝ uen egy n´egyzetes potenci´alban leg¨ ord¨ ul. Ha van egy csek´ely negyedfok´ u tag is, akkor ´eppen a kor´abban t´argyalt modellt kapjuk. Ekkor az oszcill´ al´ o skal´ art´er saj´ at (´es egy´eb) r´eszecsk´eihez kapcsol´odva energi´aj´at r´eszecskekelt´esre ford´ıtja, ´es ilym´ odon az infl´ aci´ o id˝ oszak u ´gy ´er v´eget, hogy a skal´art´er a potenci´alja minimum´aban megnyugszik, m´ıg az Univerzum megtelik a parametrikus rezonancia ´altal keltett r´eszecsk´ekkel (´ ujraf˝ ut´es, reheating).
9
Schwinger effects and related staff
We want to study the complex scalar field theory in external electromagnetic field L = (iDµ Φ)∗ (iDµ Φ) − m2 Φ∗ Φ, 47
iDµ = i∂µ − eAµ .
(414)
Under an U (1) rotation the fields transform as Φ0 = eieα Φ,
A0µ = Aµ − ∂µ α.
(415)
Then iDµ0 Φ0 = (i∂µ − eA0µ )eieα Φ = eieα (i∂µ − e∂µ α − eAµ + e∂µ α)Φ = eieα iDµ Φ,
(416)
and so the Lagrangian is invariant. Reorganizing the above Lagrangian we find L = [−i∂µ Φ∗ − eAµ Φ∗ ][i∂µ Φ − eAµ Φ] − m2 Φ∗ Φ = Φ∗ (−∂ 2 − m2 − 2ieAµ ∂ µ − ie(∂µ Aµ ) + e2 Aµ Aµ )Φ. (417) We will use Lorenz gauge ∂µ Aµ = 0, then L = Φ∗ (−∂ 2 − m2 − 2ieAµ ∂ µ + e2 Aµ Aµ )Φ.
(418)
(−∂ 2 − m2 − 2ieAµ ∂ µ + e2 Aµ Aµ )Φ = 0,
(419)
The equations of motion and initial conditions. Let us take a pure electric E field on the z direction. The corresponding gauge field is A3 = −Et, the others are zero. This laso satisfies the Lorenz gauge condition, since ∂3 t = 0. Then we find (∂ 2 + m2 + 2ieEt∂3 + e2 E 2 t2 )Φ(x) = 0.
(420)
Perform Fourier transformation in the spatial momenta, where we effectively have ∂i → ipi : (∂t2 + p2 + m2 − 2eEtp3 + e2 E 2 t2 )Φ(t, p) = 0, (∂t2 + p2⊥ + m2 + (eEt − p3 )2 )Φ(t, p) = 0.
(421)
In this differential equation p3 is a parameter. We can make a shift in time t → t + eE/p3 , while the time derivative remains the same. Then we arrive (∂t2 + p2⊥ + m2 + e2 E 2 t2 )Φ(t, p) = 0.
(422)
We will denote 2 ω⊥ = p2⊥ + m2 ,
Ω2 (t) = p2⊥ + m2 + e2 E 2 t2 ,
(423)
and find (∂t2 + Ω(t)2 )Φ(t, p) = 0.
48
(424)
F¨ uggel´ ekek A
Klasszikus t´ erelm´ eletek
A rezg˝ o h´ ur rendszer´eben az az ´erdekes, hogy nem raktunk bele szabad r´eszecsk´eket, v´eg¨ ul m´egis megjelentek, mint az energia saj´ at´ allapotai. R´ aad´ asul ¨onm˝ uk¨od˝oen, minden k¨ ul¨on felt´etel n´elk¨ ul tudt´ak teljes´ıteni a r´eszecsk´ek permut´ aci´ oj´ ara vonatkoz´ o elv´ ar´asunkat, amit a kvantummechanik´aban csak a t¨obbr´eszecske hul´ amf¨ uggv´enyre kir´ ott konstrukci´ okkal (l. Slater determin´ans) lehetett megkapni. Emiatt term´eszetes arra gondolni, hogy a val´ os´ agban megfigyelhet˝ o r´eszecsk´ek valamilyen folytonos “k¨ozeg”, azaz mez˝o kvant´al´as´an´ al megjelen˝ o´ allapotok. N´ezz¨ uk meg teh´ at ´ altal´anosan a mez˝ok elm´elet´et ´es a mez˝ok kvant´al´as´anak felt´eteleit a h´ urn´ al l´ atottak alapj´ an. A klasszikus t´erelm´elet alapobjektuma a mez˝ o: def.: Mez˝ o: Ψ : M → V, a Minkowski-t´err˝ol valamilyen vektort´erbe k´epez˝o f¨ uggv´eny; valamely alkalmas koordin´ at´ az´ assal komponensei: Ψi (x) ≡ Ψi (t, x). P´eld´ ak: • p(t, x) illetve T (t, x) nyom´ as illetve h˝ om´ers´eklet-mez˝o: itt V ≡ R
⇒ skal´ar mez˝o
• E(t, x), B(t, x) elektromos mez˝ o ´es m´ agneses indukci´o mez˝o, vagy v(t, x) sebess´eg-mez˝o: itt V ≡ R3 ⇒ vektormez˝ o.
A.1
Lagrange-s˝ ur˝ us´ eg
Hogy az ´ altal´ anos t´erelm´elet le´ır´ as´ at megkapjuk, el˝osz¨or felosztjuk a teret kis cell´akra, k¨oz´eppontjukat jel¨ olje xi , ´es vessz¨ uk a cella k¨ oz´eppontj´ anak ´ert´ek´et: Ψi (t) = Ψ(t, xi ). Ezzel egy v´eges sok szabads´agi fok´ u rendszert kapunk, amelyet a mechanika elvei szerint ´ep´ıt¨ unk fel. L Lagrange f¨ uggv´eny t¨obb szabads´agi fok eset´en L(q˙i , qi , t) f¨ uggv´eny, ahol i = 1 . . . N . Ez m´eg t´ ul ´altal´anos. Lok´ alisnak nevezz¨ uk a sok szabads´agi fok´ u rendszert, ha qi csak a szomsz´edaival hat k¨ olcs¨on, ´es a Lagrange-f¨ uggv´eny fel´ırhat´o mint X (2) X (1) L= Li (qi , qj , t) + Li (q˙i , qi , t), (425) i
hi,ji
ahol hi, ji ≡ szomsz´edok, ´es i > j (hogy ne sz´amoljunk dupl´an). Ha i, j t´erbeli cell´akat jel¨ol, mint el˝obb, akkor ´ırhatjuk a t´erbeli feloszt´ ast finom´ıtva qj − qi = a∇q(xi ) + . . .. A magasabbrend˝ u tagokat elhagyva ¨ teh´ at L2 (qi , ∇qi , t). Osszefoglal´ o jel¨ ol´essel bevezetj¨ok a n´egyes deriv´ a ltat: ∂ = (∂ , ∇). µ t P A feloszt´ as finom´ıt´ as´ aval a szumm´ ak integr´alokk´a ´ırhat´ok ´at: eben bevezetj¨ uk az F (x) = i Fi eset´ Fi , x ∈ δVi l´epcs˝ of¨ uggv´enyt, amelyre Z Z X F (x) 1 3 d x F (x) ≡ d3 x F(x) ⇒ F(x) = lim (426) Fi = δV →0 δV δV i s˝ ur˝ us´eg. ´Igy lok´ alis t´erelm´eleteket jellemz˝ o Lagrange-f¨ uggv´eny fel´ırhat´o mint Z L = d3 x L(Ψ(t, x), ∂µ Ψ(t, x), t, x) Lagrange s˝ ur˝ us´eg integr´ alja A hat´ as alakja
⇒
L csak els˝ o deriv´ altakat tartalmaz. Z Z S = dt L = d4 x L(Ψ(x), ∂µ Ψ(x), x)
t-ben ´es x-ben teljesen szimmetrikus alakba ´ırhat´o.
49
(427)
(428)
A.2
Mozg´ asegyenletek
Legkisebb hat´ as elve: a megval´ osul´ o p´ aly´ an´ al a hat´as minim´alis, vagyis a hat´as vari´aci´oja nulla. Vizsg´aljuk ez´ert a Lagrange s˝ ur˝ us´eg mez˝ ok szerinti vari´ aci´oj´at: Z Z ∂L ∂L S[Ψ + δΨ] = d4 x L(Ψ + δΨ, ∂µ Ψ + ∂µ δΨ, x) = S[Ψ] + d4 x δΨ + ∂µ Ψ = ∂Ψ ∂(∂µ Ψ) Z ∂L ∂L − ∂µ , (429) = S[Ψ] + d4 x δΨ ∂Ψ ∂(∂µ Ψ) ahol az utols´ o l´ep´esn´el parci´ alisan integr´ altunk, ´es eldobtuk a v´egtelenben fell´ep˝o fel¨ uleti tagokat. A hat´ as sz´els˝ o´ert´eke ott van, ahol δS = 0 minden vari´aci´ora. Ekkor az integr´alban δΨ egy¨ utthat´oja el kell t˝ unj¨on ∂L ∂L − ∂µ = 0, ∂Ψ ∂(∂µ Ψ)
(430)
megegyezik a m´ asik eredm´ennyel.
A.3
Megmarad´ o´ aramok
M´ıg mechanik´ aban egy Q mennyis´eg megmarad´asa azt jelentette, hogy Q(t) = Q(0), egy % mez˝o eset´en a lok´ alis mennyis´egek nem maradnak meg, mert m´as helyre ´atmehetnek. M´egis megmarad´asr´ol besz´elhet¨ unk olyan ´ertelemben, hogy egy tetsz˝ oleges V t´erfogatban R R 3 d x%(t + dt, x) = d3 x%(t, x)+ (falon t´avoz´o %). V
V
µ
Bevezetve j = (%, j) jel¨ ol´est, ahol j a %-hoz tartoz´o ´aram, V → 0 limeszben a k¨ovetkez˝o m´erlegegyenlethez jutunk: %˙ + ∇j = 0 ⇒ ∂µ j µ = 0. (431) R µ 0 j neve megmarad´ o´ aram. A t´enylegesen megmarad´o mennyis´eg Q = dV j , a teljes t´erre integr´alva, hiszen Z Z I Q˙ = dV ∂0 j 0 = − dV div j = − dF j = 0, (432) ∞
mert a v´egtelenben nincsenek ´ aramok.
A.4
Szimmetria ´ es megmarad´ as
A mechanik´ aban l´ attuk, hogy egy szimmetria k¨ovetelm´eny mennyire megszor´ıtja a hat´as lehets´eges alakj´ at. A t´erid˝ o relativisztikus invari´ ans: milyen hat´as-funkcion´alok konzisztensek ezzel? Hogy ezt megv´alaszoljuk, el˝ osz¨ or a Lorentz-transzform´ aci´ ok hat´ as´ at n´ezz¨ uk meg mez˝ok¨on. Kezdj¨ uk egy szeml´eletes p´eld´ aval: ha adott egy sebess´egmez˝o (pl. ´araml´asn´al), ´es forgat´ast v´egzek a rendszeren, mi t¨ ort´enik a mez˝ ovel? Egyr´eszt a sebess´egek helye megv´altozik, m´asr´eszt viszont a sebess´egek ir´ anya is v´ altozik! Ez azt mutatja, hogy egy ´altal´anos R transzform´aci´o hat´asa k´et r´eszb˝ol tev˝odik ¨ossze: egyr´eszt a t´erid˝ o transzform´ aci´ oj´ ab´ ol, RM : M → M, m´asr´eszt a “bels˝o t´er” V transzform´aci´oj´ab´ol RV : V → V ⇒ R = RM × RV . A Fig. 2 ´ abr´an l´athat´o, hogy a teljes hat´as u ´gy ´all´ıthat´o el˝o, hogy el˝osz¨ or x 7→ x0 , majd az u ´j helyen v 7→ v0 . Teh´ at v0 (RM (x)) = RV (v(x)) ⇒
−1 v0 (x) = RV (v(RM (x))).
(433)
A k´es˝ obbiekben nem k¨ ul¨ onb¨ oztetj¨ uk meg jel¨ol´esben RV -t ´es RM -et, ´es az ´ır´asm´od: v0 (x) = R(v(R−1 (x))) lesz. def.: Line´ aris transzform´ aci´ o: RM ´es RV is line´aris. Ekkor mindkett˝o egy-egy m´atrixxal ´ırhat´o fel, ekkor v0 (x) = Rv(R−1 x).
50
x’ v’ R V
v
RM x v
Figure 2: Vektormez˝o ´altal´anos transzform´aci´oja A Lorentz csoport elemei folytonos line´ aris transzform´aci´ok. Egy transzform´ aci´ o akkor szimmetria, ha a transzform´alt mez˝oh¨oz az eredetivel azonos hat´asf¨ uggv´eny tartozik: S[Ψ] = S[R(Ψ)]. Ekkor a transzform´alt mez˝o k¨or¨ uli vari´aci´ora igaz ¯ ¯ − S[Ψ] = δS δΨ, ¯ δS[R(Ψ)] = S[R(Ψ) + δΨ] − S[R(Ψ)] = S[R(Ψ + δΨ)] − S[R(Ψ)] = S[Ψ + δΨ]
(434)
¯ = δΨ m´ ¯ itt δR(Ψ)δΨ odon vezett¨ uk be δΨ-t. Ha teh´at Ψ kiel´eg´ıtette a mozg´asegyenleteket, akkor δS = 0, ekkor viszont δS[R(Ψ)] = 0 is igaz, azaz R(Ψ) is kiel´eg´ıti a mozg´asegyenleteket. T´ etel: (Noether-t´etel) Minden folytonos szimmetri´ahoz tartozik egy megmarad´o ´aram. Bizony´ıt´ as.: Jel¨ olj¨ uk a folytonos transzform´aci´ot Rτ -val. R0 ≡ 1 az egys´egtranszform´aci´o legyen. Infinitezim´ alis transzform´ aci´ on´ al (Rδτ ) a v´altoz´as line´aris δτ -ban. Ez´ert a mez˝ok¨on hatva fel´ırhat´o: Rδτ : Ψ(x) 7→ Ψ0 (x) = Ψ(x) + δΨ(x) = Ψ(x) + δτ ∆Ψ(x).
(435)
Szimmetriatranszform´ aci´ o eset´en S[Ψ0 ] = S[Ψ]. M´ odos´ıtsuk a fenti transzform´ aci´ ot u ´gy, hogy δτ -t helyf¨ ugg˝ ov´e tessz¨ uk! Ekkor teh´at δΨ(x) = δτ (x)∆Ψ(x).
(436)
Az ´ıgy kapott transzform´ aci´ ora k´etf´elek´eppen n´ezhet¨ unk r´a. Egyr´eszt Ψ(x) infinitezim´alis v´altoz´ as a “p´ aly´ an”, ´ıgy annak vari´ aci´ oj´ at adja. Mivel a hat´as a val´odi mozg´asok k¨or¨ uli kis vari´aci´okra (els˝ o rendben) nem v´ altozik, ´ıgy minden transzform´aci´ora igaz, hogy δS = 0, (437) δτ Ψ0 ahol Ψ0 a mozg´ asegyenlet megold´ asa. M´ asr´eszt fel´ırhatjuk a hat´ as v´ altoz´ as´ at. Tudjuk azonban azt is, hogy ha δτ (x) → δτ helyf¨ uggetlen lenne, akkor a hat´ as nem v´ altozna (szimmetria!). Emiatt δS ar´anyos lesz δτ deriv´altjaival. Parci´ alis integr´ al´ asokkal azonban minden δτ -ra hat´o deriv´alt ´ath´ar´ıthat´o az egy¨ utthat´oj´ara, m´ıg v´eg¨ ul az els˝ o deriv´ alt marad Z Z δS = − d4 xK µ (x)∂µ δτ (x) = d4 x∂µ K µ (x)δτ (x). (438) Ezt ¨ osszevetve (437) egyenlettel: δS = ∂µ K µ (x) ⇒ ∂µ K µ (x) = 0, δτ (x) Ψ0 vagyis K µ megmarad´ o´ aram.
51
(439)
A.5
Energia-impulzus tenzor
Speci´ alis p´eldak´ent tekints¨ uk a t´erid˝ o eltol´ asokat: x → x + a, ahol a =const, valamint RV = 1. Mez˝ ore hatva Ψ0 (x + a) = Ψ(x) ⇒ Ψ0 (x) = Ψ(x − a). Mikor szimmetria? Ha S[Ψ] = S[Ψ0 ]! V´ alasszuk az integr´al´asi v´altoz´onak x0 -t: Z Z S[Ψ0 ] = d4 x0 L(Ψ0 (x0 ), ∂µ0 Ψ0 (x0 ), x0 ) = d4 x L(Ψ(x), ∂µ Ψ(x), x + a). (440) Ez akkor egyezik S[Ψ]-vel ∀ Ψ-re, ha L nem f¨ ugg expliciten x-t˝ol. Mi a megmarad´ o mennyis´eg? Ehhez x0 = x + a(x), ´es vizsg´aljuk S[Ψ0 ]-t: Z Z µ ∂x0 L(Ψ(x), ∂µ0 Ψ(x)). S[Ψ0 ] = d4 x0 L(Ψ0 (x0 ), ∂µ0 Ψ0 (x0 ), x0 ) = d4 x det ∂xν Ehhez: ∂µ0 Ψ(x) = µ
∂xν ∂ν Ψ(x). ∂x0 µ
(441)
(442)
µ
A deriv´ alt m´ atrix x0 = xµ + aµ (x) illetve xµ ≈ x0 − aµ (x0 ) alapj´an: µ
∂x0 = δνµ + ∂ν aµ ∂xν
⇒
∂xν = δνµ − ∂µ aν + O(a2 ). ∂x0 µ
A determin´ anshoz 1 + ∂0 a0 ∂1 a0 . . . ∂0 a1 1 + ∂1 a1 = (1 + ∂0 a0 )(1 + ∂1 a1 ) . . . + O(a2 ) = 1 + ∂µ aµ + O(a2 ). .. . V´eg¨ ul teh´ at Z Z 0 4 µ ν 4 S[Ψ ] = d x (1 + ∂µ a )L(Ψ(x), ∂µ Ψ(x) − ∂µ a ∂ν Ψ(x)) = S[Ψ] + d x ∂µ aµ L − ∂µ aν ∂ν Ψ Val´ oban csak ∂a-t´ ol f¨ ugg! A kor´ abbiak alapj´an a megmarad´o ´aram Z ∂L δS = d4 x∂µ aν T.µν ⇒ Tµν = ∂ν Ψ − gµν L ∂(∂ µ Ψ)
⇒ ∂ µ Tµν = 0,
(443)
(444)
∂L . ∂(∂µ Ψ) (445)
(446)
vagyis minden µ-re van egy megmarad´ o´ aram, ez az energia-impulzus tenzor. A fenti form´aban nem minden esetben garant´ alt a szimmetrikuss´ aga, azonban minden esetben szimmetrikuss´a tehet˝o. Energia
Energia ≡ id˝ oeltol´ as gener´ atora ≡ az id˝oeltol´asra megmarad´o mennyis´eg, emiatt Z Z 3 00 E = d x T (t, x) = d3 x ε(t, x) ⇒ ε(t, x) = T 00 (t, x)
(447)
az energias˝ ur˝ us´eg. Bevezetve a kanonikusan konjug´alt impulzust a szok´asos ∂L = Π(x) ˙ ∂ Ψ(x)
(448)
˙ − L, ε = ΠΨ
(449)
k´eplettel, az energias´ ar´ as´eg ´ırhat´ ou ´gy, mint
ami teljesen anal´ og a klasszikus mechanika k´eplet´evel.
52
Impulzus
Impulzus ≡ t´ereltol´ as gener´ atora ≡ a t´ereltol´asra megmarad´o mennyis´eg, ezzel Z Z Pi = d3 x T 0i (t, x) = d3 x p(t, x) ⇒ p = T 0i = Π∂ i Ψ,
(450)
ahol p az impulzuss˝ ur˝ us´eg.
B
Relativisztikus t´ erelm´ eletek
A term´eszetben el˝ ofordul´ o t´erelm´eleteket legink´abb a szimmetri´ai korl´atozz´ak. Mivel a t´erid˝o Lorentzinvari´ ans, ez´ert a t´erelm´eletek is Lorentz-invari´ans alak´ uak kell legyenek.
B.1
Relativit´ aselm´ elet ism´ etl´ es
def.: M Minkowski t´er 4 dimenzi´ os val´ os vekort´er, elemei az esem´enyek. Koordin´at´az´as (megfigyel˝o) felbontja t´erre ´es id˝ ore: x = (t, x) ≡ xµ . A rajta ´ertelmezett skal´ aris szorzat u · v = u0 v0 − uv. Innen sz´armaz´o metrika |x|2 ≡ x2 = t2 − x2 . def.: M-en ´ertelmezett metrikus tenzor 1 0 0 0 0 −1 0 0 gµν = 0 0 −1 0 0 0 0 −1
⇒ u·v =
X
uµ gµν v ν ≡ ugv.
(451)
µν
def.: M∗ du´ alis t´er elemei v¯ : M → R line´ aris lek´epz´esek. M∗ is 4D vektort´er, koordin´at´az´askor elemeit als´ o indexxel jel¨ olj¨ uk v¯µ . P def.: Einstein konvenci´ o: als´ o ´es fels˝ o indexeket automatikusan szumm´azzuk: aµ bµ ≡ µ aµ bµ . M∗ azonos´ıthat´ o M-mel: g¯ : M → M ∗ ,
v 7→ v¯,
hogy
v¯(x) = v · x
∀x ∈ M
⇒ u ¯µ = gµν uν ,
(452)
vagyis g¯ ≡ g, a metrikus tenzorral lehet azonos´ıtani M-et ´es M∗ -ot. Inverz lek´epz´es: g −1 : M ∗ → M,
v¯ 7→ v,
v µ = g µν v¯ν
0
⇒ gµµ0 g µ ν = δµν .
(453)
Ha van egy line´ aris X : M → M lek´epz´es, annak inverze is X −1 : M → M , transzpon´altja X T : M ∗ → M ∗ , defin´ıci´ o szerint v¯M x = (M T v) x ⇒ B.1.1
v¯µ M.µν xν = (M T ).νµ vµ xν
⇒ (M T )µ.ν = Mν. µ .
(454)
Szimmetria
A Minkowski t´er szimmetri´ aja olyan line´ aris Λ : M → M, ahol x 7→ x0 = Λx lek´epz´es (Lorentz-transzform´ aci´ o), komponensekben µ x0 = Λµ.ν xν (455) amely a skal´ ar szorzatot b´ek´en hagyja: u0 · v 0 = u · v
∀ u, v ∈ M,
azaz
uΛT gΛv = ugv.
(456)
Ha ez igaz minden u, v-re, akkor ´ırhatjuk ΛT gΛ = g
vagy 53
Λ−1 = gΛT g.
(457)
Komponens jel¨ ol´esben Λµ.ρ Λν.σ gµν = gρσ ,
Λ.ν% Λν.σ = δσ% ,
(Λ−1 )%.ν = Λ.ν%
(458)
x ¯µ = Λ.ν µ xν ,
(459)
A du´ alis t´eren gener´ al´ od´ o transzform´ aci´ o x ¯0 = gx0 = gΛx = gΛg¯ x
vagy
azaz az index g-vel val´ o h´ uz´ as´ aval konzisztens. A Lorentz-trf-k param´etereinek sz´ ama: 4×4-es val´os m´atrixban 16 szabad param´eter van, a fenti megk¨ ot´es egy szimmetrikus m´ atrixot ad, ebben 10 param´eter van ⇒ 6 szabad val´os param´eter van. Ebb˝ ol 3 forgat´ as, 3 boost. B.1.2
P´ eld´ ak Lorentz-transzform´ aci´ okra
A k¨ ovetkez˝ o m´ atrix
cosh η sinh η sinh η cosh η Λ= 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(460)
Lorentz-transzform´ aci´ o, mert (csak a 2 × 2-es r´eszt ki´ırva) 1 0 cosh η sinh η 1 0 cosh η − sinh η T gΛ g = = = Λ−1 . 0 −1 sinh η cosh η 0 −1 − sinh η cosh η Mint t´erid˝ o transzform´ aci´ o ez u ´gy hat, hogy 0 t cosh η sinh η t t cosh η + x sinh η = = . x0 sinh η cosh η x x cosh η + t sinh η
(461)
(462)
Fizikailag: K 0 koordin´ atarendszer, amely a t´erid˝ot (t0 , x0 ) koordin´at´akkal jellemzi, ´es K koordin´atarendszer, amelyben a koordin´ at´ ak (t, x), a vil´ agot (azaz a fizikai t¨orv´enyeket) ugyanolyannak l´atja. K 0 koordin´atarendszer 0 k¨ oz´eppontj´ anak mozg´ asa K -b˝ ol le´ırva x0 = 0, K-b´ol le´ırva x = vt, ahol v a K 0 rendszer sebess´ege K-hoz k´epest. A fentiek miatt x0 = 0 = x cosh η+t sinh η
⇒ x = −t tanh η = vt ⇒
tanh η = −v,
cosh η = √
1 , 1 − v2
sinh η = √ (463)
azaz Λ= √
1 1 − v2
1 −v −v 1
.
(464)
M´ asik speci´ alis p´elda a Λ = g, hiszen erre fenn´all gΛT g = ggg = g = Λ−1 . Fizikailag ez t0 = t, x0 = −x transzform´ aci´ ot jelenti, azaz t´ert¨ ukr¨ oz´es. Hasonl´oan Λ = −g az id˝ot¨ ukr¨oz´es, szint´en Lorentz-trf. V´eg¨ ul Λ = 1 egys´egtrf ´es Λ = −1 t´erid˝ o t¨ ukr¨ oz´es is speci´alis Lorentz-trf. B.1.3
Csoport-szerkezet
A Lorentz-trf-k csoportot alkotnak jel¨ olj¨ uk L-lel. Bizony´ıt´ashoz Λ = 1 Lorentz-trf, ha Λ ∈ L, azaz gΛT g = −1 −1 T Λ , akkor inverzet v´eve g(Λ ) g = Λ, azaz Λ−1 ∈ L. Ha Λ1 , Λ2 ∈ L, akkor g(Λ1 Λ2 )T g = gΛ2 T g gΛ1 T g = Λ2 −1 Λ1 −1 = (Λ1 Λ2 )−1
⇒ Λ1 Λ2 ∈ L.
(465)
L 6 param´eteres folytonos csoport (Lie-csoport), azonban nem ¨osszef¨ ugg˝o. Ugyanis det(ΛT gΛ) = −(det Λ)2 = det g = −1
54
⇒
det Λ = ±1.
(466)
−v , 1 − v2
A +1 ´es −1 elemek nem k¨ othet˝ ok folytonosan ¨ossze. M´asr´eszt g00 = 1 = Λµ.0 Λν.0 gµν = (Λ0.0 )2 − (Λi.0 )2
⇒ (Λ0.0 )2 = 1 + (Λi.0 )2
⇒
|Λ0.0 | ≥ 1,
valamint |Λ0.0 | ≥ |Λi.0 | (467)
ism´et a Λ0.0 > 1 ´es a Λ0.0 < −1 elemek nem k¨ othet˝ok ¨ossze folytonosan. A sz´etes˝ o r´eszeket Lαβ -val jel¨ olj¨ uk, ahol α = sgn det Λ, ´es β = sgn Λ0.0 . Ha Λ1 ∈ Lα1 β1 ´es Λ2 ∈ Lα2 β2 , akkor Λ1 Λ2 ∈ Lα1 α2 ,β1 β2 . Bizony´ıt´ ashoz det Λ1 Λ2 = det Λ1 det Λ2 = α1 α2 . M´asr´eszt, |Λ0.0 | = |(Λ−1 )0.0 | ≥ |(Λ−1 )i.0 | = |Λ0.i | ⇒ sgn(Λ1 Λ2 )0.0 = sgn (Λ1 )0.0 (Λ2 )0.0 + (Λ1 )0.i (Λ2 )i.0 = sgn(Λ1 )0.0 (Λ2 )0.0 = sgn(Λ1 )0.0 sgn(Λ2 )0.0 = β (468) 1 β2 . Ez´ert L++ val´ odi r´eszcsoport. B.1.4
Relativisztikus mechanika
Mechanika megfogalmaz´ as´ ahoz a legkisebb hat´as elv´et tartjuk szem el˝ott. Vizsg´aljunk k´et r¨ogz´ıtett v´egpont (x1 = (t1 , x1 ) ´es x2 = (t2 , x2 )) k¨ oz¨ ott mozg´ o (´altal´anos´ıtott) t¨omegpontot. Felvesz¨ unk egy tetsz˝oleges p´aly´ at a k´et v´egpont k¨ oz¨ ott: x = q(t). Ehhez hozz´asrendel¨ unk egy skal´ar f¨ uggv´enyt S[q; x1 , x2 ], mely a p´ alya funkcion´ alja. Fizikai mozg´ asra a legkisebb hat´as elve szerint S[q] minim´alis. Re´ alis (kauz´ alis) fizikai rendszerekre ∃L(q(t), q(t), ˙ t) Lagrange-f¨ uggv´eny, hogy Zt2 S[q; x1 , x2 ] = dt L(q(t), q(t), ˙ t).
(469)
t1
Szimmetria: vagy¨ unk R : M → M lek´epz´est, amely t 7→ t0 ≡ R0 (t) ´es x 7→ R(x). Ezt kiterjeszthetj¨ uk 0 a p´ aly´ akra R[q](t ) = R(q(t)) m´ odon. Ez a lek´epz´es szimmetri´aja a mechanikai rendszernek, ha b´armely p´ aly´ ara S[q] = S[R[q]]. Ebb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy ha q(t) megval´osul´o mozg´ast ´ır le, akkor R[q](t) is megval´osul´ o p´ alya. P´elda: centr´ alis er˝ ot´erben egy p´ alya elforgatottja ugyanazt a hat´asf¨ uggv´enyt adja (szimmetria), ez´ert az elforgatott megold´ as tov´ abbra is megold´ as marad. Az eltolt megold´asra ez nem igaz. Fizikai elv: val´ odi fizikai rendszerekben nem lehet t¨obb k¨ uls˝o strukt´ ura, mint a t´erid˝oben mag´aban ⇒ a fizikai rendszereknek szimmetri´ aja lesz a t´erid˝o szimmetri´aja. Relativit´aselm´eletre: minden val´ odi fizikai rendszer Lorentz-invari´ ans kell legyen, azaz S[q] = S[Λq] igaz kell maradjon. Szabad t¨omegpontra ez l´enyg´eben ler¨ ogz´ıti a hat´ asf¨ uggv´eny lehets´eges alakj´at: ar´anyos a p´alya ´ıvhossz´aval: Z Z p (470) S[q] = −m ds[q] = −m dt 1 − v 2 , ahol vi = q˙i . Az impulzus pi =
∂L mvi =√ . ∂vi 1 − v2
(471)
A mechanik´ ara megfogalmazott elvek, kis m´odos´ıt´asokkal, ´atvihet˝ok a kvantumt´erelm´eleti rendszerekre.
B.2
Lorentz-csoport ´ abr´ azol´ asa mez˝ ok¨ on
Mez˝ ok¨ on a transzform´ aci´ ok k¨ uls˝ o ´es bels˝ o r´eszre bomlanak. Legyen Ψ : M → V , ekkor ΛΨ : M → V , ahol (ΛΨ)(x) = D(Λ)Ψ(Λ−1 x).
(472)
El fogjuk v´ arni a hat´ ast´ ol, hogy ez a transzform´aci´o szimmetria legyen, azaz S[ΛΨ] = S[Ψ].
(473)
Mivel k´et Lorentz-transzform´ aci´ o egym´ as ut´an hattatva is Lorentz transzform´aci´ot ad Λ1 Λ2 = Λ3 , ez´ert (Λ1 Λ2 Ψ)(x) = D(Λ1 Λ2 )Ψ((Λ1 Λ2 )−1 x) = (Λ3 Ψ)(x) = D(Λ3 )Ψ(Λ−1 3 x), 55
(474)
azaz D(Λ1 Λ2 ) = D(Λ3 ),
(475)
a D lek´epz´es a Lorenzt-csoport ´ abr´ azol´ as´ at adja. A Lorentz-csoportnak k´et ´ abr´ azol´ asa viszonylag mag´at´ol ´ertet˝od˝o: amikor V = R, ekkor D ≡ 1. Ez a skal´ ar ´ abr´ azol´ as, a megfelel˝ o mez˝ o a skal´ armez˝ o Φ : M → R.
(476)
Az ebb˝ ol k´epezhet˝ o invari´ ansok Φ hatv´ anyai, valamint a ∂µ deriv´altakb´ol mint n´egyesvektorokb´ol k´epzett invari´ ans kombin´ aci´ ok. Kvadratikus szintig a t´er k´et lehet˝os´eg¨ unk van (teljes divergenci´akat nem sz´am´ıtva): Φ2 ´es (∂µ Φ)2 . Ezek tetsz˝ oleges egy¨ utthat´ oval szerepelhetnek a Lagrange f¨ uggv´enyben. A t´er norm´al´as´ aval az egyik egy¨ utthat´ o egys´egnyiv´e tehet˝ o, azaz a leg´altal´anosabb Lagrange-f¨ uggv´eny: L=
m2 2 1 (∂µ Φ)2 − Φ . 2 2
(477)
A m´ asik ´ abr´ azol´ as a defini´ al´ o ´ abr´ azol´ as, amikor V = M (legal´abbis izomorf, azaz V ∼ R4 ), akkor D(Λ) = Λ. Ez adja a (n´egyes)vektor mez˝ ot; komponensekben: Aµ : M → R 4 .
(478)
Erre k´es˝ obb m´eg visszat´er¨ unk. Ezen fel¨ ul, csak´ ugy, mint a 3D forgat´ asok eset´eben, vannak spinor´abr´azol´asok. Ennek megkonstru´al´ asa a forg´ asok spinor´ ab´ arzol´ as´ anak kidolgoz´ as´ aval anal´og. Az alapt´er a 2 × 2-es hermitikus m´atrixok tere lesz, jel¨ olj¨ uk ezt H2 -vel. Ez n´egy dimenzi´ os, b´ azisnak vehetj¨ uk a 10 01 0 −i 1 0 σ0 = , σ1 = , σ2 = , σ3 = , (479) 01 10 i 0 0 −1 azaz a Pauli-m´ atrixok (i = 1, 2, 3) mell´e bevessz¨ uk az egys´egm´atrixot. Mivel a Minkowsi-t´er is n´egy dimenzi´ o, l´etezik a k´et t´er k¨ oz¨ ott egy bijekci´ o 0 x + x3 x1 − ix2 xµ 7→ xµ σµ = . (480) x1 + ix2 x0 − x3 Mivel Tr σµ σν = 2δµν , ´ıgy a ford´ıtott rel´ aci´ o h 7→ 21 Tr hσµ . Ennek a bijekci´onak ´erdekes tulajdons´aga, hogy µ 2 det(x σµ ) = x , a n´egyes-hossz. Ha a Lorentz-csoport M -en hatni tudott, a bijekci´o seg´ıts´eg´evel ´atvihetj¨ uk H2 -re is a hat´as´at. Egy altal´ ´ anos line´ aris transzform´ aci´ o H2 -n ´ırhat´ ou ´gy, mint h 7→ LhR, ahol L ´es R tetsz˝oleges 2 × 2-es m´atrixok. Ha hermitikusb´ ol hermitikus m´ atrixba kell k´epezz¨ unk, akkor R = L† : h 7→ LhL† .
(481) 2
A Lorentz-transzform´ aci´ ok hossztart´ o lek´epz´esek, azaz ha x0 = Λx, akkor x0 = x2 . A bijekci´o ut´ an 0 2 det h = | det L| det h. Mivel egy f´ azisfaktor elt´er´es ugyanazt a transzform´aci´ot adja h-n, ez´ert v´alaszthatjuk det L = 1-et. Vagyis a Lorentz-transzform´ aci´ok megfelelnek olyan (481) lek´epz´esnek, ahol L 2 × 2-es (invert´ alhat´ o), egys´egnyi determin´ ans´ u m´ atrixok. Az N × N -es komplex m´atrixok csoportja L(N, C), az egys´egnyi determin´ ans jele S (special), azaz a Lorentz-csoport izomorf az SL(2, C)-vel. A bijekci´o lehet˝os´eget ad arra, hogy a fenti L-b˝ ol kital´ aljuk a Lorentz-transzform´aci´ot: µ
h0 = x0 σµ = Λµ.ν xν σµ = LhL† = xν Lσν L†
⇒ Λµ.ν =
1 Tr Lσν L† σµ . 2
(482)
i
Egy 2 × 2 m´ atrix param´eterez´es´ehez v´ alaszthatjuk e− 2 (ωµ +iuµ )σµ alakot, ami megfelel a m´atrix logaritmusa kifejt´es´enek a σµ b´ azisban. Ha az egys´egnyi determin´ans felt´etel´et is teljes´ıteni akarjuk, akkor Tr ln L = ln det L = 0 miatt Tr σµ = 0 kell, azaz maradnak a Pauli-m´atrixok. Vagyis i
L = e− 2 (ωi +iui )σi . 56
(483)
Fizikailag ωi a h´ arom forgat´ ast jelenti. Ezt l´athatjuk onnan, hogy ha kihagyjuk a nulladik komponenst, minden ugyan´ıgy v´egigvihet˝ o, csak SL(2, C) helyett SU (2) lesz a transzform´aci´o. Az ui -k nem unit´er lek´epz´est val´ os´ıtanak meg: ez a boost hat´ as´ ara egym´asba alakul´o negyesvektorok transzform´aci´oj´ara jellemz˝ o. Vagyis ui jellemzi a boost-ot. Ez a fenti L term´eszetes m´ odon hat a 2D-´os komplex vektorokon. Tulajdonk´eppen egy L-b˝ol k´etfajta ´ abr´ ´ azol´ as is ad´ odik. Altal´ aban, ha V egy ´ abr´azol´as, akkor V, V ∗ , V T −1 , V †−1
(484)
mind ´ abr´ azol´ asok. Most LT −1 ´es L unit´er ekvivalensek az egys´egnyi determin´ans miatt: εij det L = εi0 j 0 Lii0 Ljj 0
⇒ (iε)†ki Lii0 (iε)i0 j 0 LTj0 j = δkj
⇒ LT −1 = (iε)† L(iε),
(485)
hiszen (iε)† = (iε)−1 = (iε), unit´er m´ atrix. ´Igy k´et v´alaszt´asunk van: L vagy L† −1 . Ez a k´et ´abr´azol´as k´et 2 C t´eren hat: v´ alasszunk ΨL ´es ΨR ∈ C 2 vektorokat, ezekre Ψ0R = LΨR ,
Ψ0L = L†−1 ΨL .
(486)
Ezek a Weyl-spinorok. A k´et transzform´ aci´ o viszonya: i
L†−1 = e− 2 (ωi −iui )σi = L|ωi →ωi ,ui →−ui .
(487)
Ez pontosan a t´ert¨ ukr¨ oz´es hat´ asa: teh´ at P t´ert¨ ukr¨oz´es olyan kell legyen, hogy P LP = L†−1
⇒
P ΨL = ΨR ,
P ΨR = ΨL .
(488)
Ha teh´ at a t´ert¨ ukr¨ oz´est is ´ abr´ azolni akarjuk, akkor a ΨL ´es ΨR terek egy¨ uttes´et kell kezelni. Ezek a bispinorok: ΨL 01 Ψ= , P = . (489) ΨR 10 Val´ oj´ aban a fenti alak a Weyl-reprezent´ aci´ o, a Dirac ´altal eredetileg javasolt alak ennek unit´er transzform´ altja. Hogy egy invari´ ans Lagrange-f¨ uggv´enyt tudjunk fel´ep´ıteni n´ezz¨ uk meg, el˝osz¨or a k¨ovetkez˝o kifejez´est n´ezz¨ uk meg (Ψ∗R ΨL )0 = Ψ∗R L† L†−1 ΨL = Ψ∗R ΨL , (490) azaz el˝ o tudtunk ´ all´ıtani egy Lorentz-invari´ ans kombin´aci´ot. Hasonl´oan Ψ∗L ΨR is invari´ans. † N´ezz¨ uk most meg, mi lesz L σµ L. Mivel ez is egy hermitikus m´atrix, kifejthet˝o a σν -k b´azis´aban L† σµ L = fµν σν
⇒
fµν =
1 † L σµ Lσν = Λµ.ν . 2
(491)
Ez azt mutatja, hogy σ ¯ µ = σµ n´egyesvektor-oper´ator: L¯ σ µ L† = Λµ.ν σ ¯ν .
(492)
M´ asr´eszt (482)-b˝ ol k¨ ovetkez˝ oen Lσν L† = Λµ.ν σµ
⇒
L−1 σµ L†−1 = Λ.ν µ σν .
(493)
Vagyis azt ´ırhatjuk, hogy (Ψ∗R σ ¯ µ ΨR )0 = Ψ∗R L† σ ¯ µ LΨR = Λµ.ν Ψ∗R σ ¯ ν ΨR , (Ψ∗L σµ ΨL )0 = Ψ∗L L−1 σµ (L−1 )† ΨL = Λ.µν Ψ∗L σν ΨL ,
(494)
vagyis ezek a kombin´ aci´ ok n´egyesvektorok. N´egyesvektorok ¨osszeejt´ese m´asik n´egyesvektorral skal´art ad; p´eld´ aul Ψ∗R σ ¯ µ i∂µ ΨR , Ψ∗L σ µ i∂µ ΨL (495) 57
invari´ ansok, azaz a Lagrange-f¨ uggv´eny r´esz´et k´epezhetik. Szok´ as bevezetni a Dirac-m´ atrixokat ´es a Dirac-adjung´altat 0 σ ¯µ 01 † µ 0 ¯ Ψ = Ψ γ0 , γ = ⇒ γ = = P, σµ 0 10
i
γ =
0 σi −σi 0
.
(496)
Ezekre igaz (Clifford-algebra) {γ µ , γ ν } = 2g µν .
(497)
Ilyen m´ odon a L-R szimmetrikus, azaz t´ert¨ ukr¨oz´es-invari´ans Lagrange-f¨ uggv´eny u ´gy ´ırhat´o, mint ¯ / Ψ − mΨΨ, ¯ L = Ψi∂
(498)
a Dirac-f´ele Lagrange-f¨ uggv´eny (val´ oj´ aban k´et egy¨ utthat´ot vezethett¨ unk volna be, de a terek norm´al´as´ aval az egyiket 1-nek v´ alaszthatjuk). Az ebb˝ ol sz´ armaz´o mozg´asegyenlet a ∂µ
∂L ∂L = 0 = ¯ = (i∂/ − m)Ψ, ¯ ∂∂µ Ψ ∂Ψ
(499)
a Dirac-egyenlet.
C
Megjegyz´ esek
CN -en hat´ o v´eges unit´er csoport neve U (N ), ennek n = N 2 gener´atora van. Speci´alisan megk¨ovetelve a det U = 1 felt´etelt kapjuk az SU (N ) csoportokat, N 2 − 1 gener´atorral. Ez esetben 0 = ln det U = Tr ln U = −ica Tr Ta
⇒
Tr Ta = 0.
(500)
N × N -es m´ atrixok eset´en a spurtalan hermitikus m´atrixok sz´ama N 2 − 1, pont megfelel˝o.
References [1] Geszti Tam´ as, Kvantummechanika (Typotex, 2014) [2] A. Aspect, J. Dalibard, and G. Roger, Phys. Rev. Lett., 49, 1804 (1982). [3] M. Giustina et. al., “Significant-loophole-free test of Bell’s theorem with entangled photons”, Phys. Rev. Lett. 115, 250401 (2015), arXiv:1511.03190v2 [quant-ph] [4] L. Kofman, A. D. Linde and A. A. Starobinsky, Phys. Rev. D 56, 3258 (1997) [hep-ph/9704452]. [5] E. W. Kolb and M. S. Turner, Front. Phys. 69, 1 (1990). [6] A.D. Linde, Phys. Lett. 108B, 389 (1982).
58
