Kvantummechanika B. Bene Gyula docens ELTE TTK Fizikai Intézet, Elméleti Fizikai Tanszék október 13

Kvantummechanika B el˝oad´as fizika BSC hallgat´oknak Bene Gyula docens ELTE TTK Fizikai Int´ezet, Elm´eleti Fizikai Tansz´ek 2013. okt´ober 13.

Tartalomjegyz´ ek 1. h´ et 1.1. Bevezet´es. A kvantumelm´elet jelent˝os´ege ´es eredm´enyei. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A kvantumelm´elet el˝ozm´enyei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Az anyag atomos szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Az elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Radioaktivit´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Az atomok szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. H˝om´ers´ekleti sug´arz´as ´es a hat´askvantum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. A hat´askvantum els˝o alkalmaz´asai. Hull´amjelens´egek r´eszecsketulajdons´agai 1.2.7. Anyaghull´amok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. h´ et 2.1. A Bohr-elm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. A Bohr-elm´elet feltev´esei ´es alkalmaz´asuk a hidrog´enatomra 2.1.2. A Sommerfeld-f´ele kvantumfelt´etelek . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Az atomok m´agneses nyomat´eka . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Az elektron spinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. A Pauli-elv. A peri´odusos rendszer kvalitat´ıv ´ertelmez´ese. . . 2.1.6. A korrespondencia-elv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7. A Bohr-elm´elet korl´atai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

5 5 5 5 7 9 9 11 16 19

. . . . . . . .

20 20 22 24 26 28 29 31 31

3. h´ et 3.1. Fizikai mennyis´egek mint oper´atorok ´es m´erhet˝o ´ert´ekeik mint saj´at´ert´ekek . . . . . 3.1.1. Oper´atorok ´es saj´at´ert´ekeik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. A Heisenberg-f´ele felcser´el´esi t¨orv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. A line´aris harmonikus oszcill´ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Az impulzusmomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. A rot´ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Centr´alis er˝ot´erben mozg´o t¨omegpont energia-saj´at´ert´ekei ´es saj´atf¨ uggv´enyei 3.1.7. Merev fal´ u g¨ombbe z´art t¨omegpont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.8. H´aromdimenzi´os potenci´alv¨olgy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.9. A hidrog´enatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

33 33 33 39 41 43 50 51 51 51 51

4. h´ et 4.1. Fizikai a´llapot ´es dinamik´aja. A Schr¨odinger-egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. A dinamikai egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Az a´llapotf¨ uggv´eny fizikai jelent´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Stacion´arius a´llapotok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. A Heisenberg-f´ele hat´arozatlans´agi ¨osszef¨ ugg´esek . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. A fizikai mennyis´egek k¨oz´ep´ert´ek´enek id˝obeli v´altoz´asa. Az Ehrenfest-t´etel 4.1.6. Szabad t¨omegpont mozg´as´anak kvantummechanikai le´ır´asa . . . . . . . . . 4.1.7. A kvantummechanika kapcsolata a klasszikus mechanik´aval . . . . . . . . .

. . . . . . . .

53 53 53 53 54 55 58 59 60

. . . . . .

62 62 62 64 65 67 70

. . . . . . .

72 72 73 73 73 73 74 74

5. h´ et 5.1. Az elektronspin nemrelativisztikus elm´elete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Az impulzusmomentum saj´at´ert´ekprobl´em´aj´anak algebrai megold´asa 5.1.2. Az elektronspin oper´atora ´es saj´at´ert´ek-egyenlete . . . . . . . . . . . 5.1.3. Impulzusnyomat´ekok ¨osszead´asa: a teljes impulzusnyomat´ek . . . . . 5.1.4. Az elektrom´agneses t´erben mozg´o elektron Hamilton-oper´atora . . . . 5.1.5. Az elektron a´llapotegyenlete. A Pauli-egyenlet . . . . . . . . . . . . . 6. h´ et ¨ oz´esek elm´elete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Utk¨ 6.1.1. A hat´askeresztmetszet . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. A parci´alis hull´amok m´odszere . . . . . . . . . . 6.1.3. A kisenergi´aj´ u r´eszecsk´ek sz´or´od´asa . . . . . . . 6.1.4. A Born-k¨ozel´ıt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5. Rezonancia-jelens´egek a r´eszecsk´ek u ¨tk¨oz´es´en´el . 6.1.6. Alag´ ut-jelens´eg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

7. h´ et 7.1. Perturb´aci´osz´am´ıt´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Id˝of¨ uggetlen perturb´aci´osz´am´ıt´as . . . . . . . . . . 7.1.2. Id˝of¨ uggetlen perturb´aci´osz´am´ıt´as elfajul´as eset´en . 7.1.3. Id˝of¨ ugg˝o perturb´aci´osz´am´ıt´as . . . . . . . . . . . . 7.1.4. Elektrom´agneses sug´arz´as k¨olcs¨onhat´asa atomokkal 7.1.5. A t¨or´esmutat´o kvantumelm´elete . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

75 75 75 77 78 79 80

8. h´ et 8.1. A kvantummechanikai t¨obbtestprobl´ema. Atomok ´es molekul´ak elm´elete . . . . 8.1.1. Sok r´eszecsk´eb˝ol ´all´o kvantummechanikai rendszer le´ır´asa . . . . . . . . . 8.1.2. Azonos r´eszecsk´ek ´es a Pauli-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3. A h´eliumatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4. K¨ozel´ıt˝o m´odszerek atomok ´es molekul´ak energiaszintjeinek kisz´am´ıt´as´ara 8.1.5. Molekul´ak. A Born-Oppenheimer-k¨ozel´ıt´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6. A hidrog´en-molekula-ion (H2+ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.7. A hidrog´en-molekula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.8. A k´emiai k¨ot´es ´es a vegy´ert´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.9. A van der Waals-er˝ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

82 82 82 83 85 86 87 89 91 92 92

9. h´ et 9.1. Relativisztikus kvantummechanika. A Dirac-egyenlet . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. A speci´alis relativit´aselm´elet formalizmusa . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2. Az elektron relativisztikus kvantummechanikai le´ır´asa: Dirac-egyenlet 9.1.3. Szabad r´eszecske mozg´asa a Dirac-egyenlet alapj´an . . . . . . . . . . 9.1.4. A Dirac-egyenlet szimmetri´ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.5. Az elektron saj´at impulzusmomentuma (spinje) . . . . . . . . . . . . 9.1.6. T¨olt¨ott r´eszecske elektrom´agneses t´erben . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.7. Az elektron m´agneses nyomat´eka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.8. A hidrog´enatom energia-saj´at´ert´ekei a Dirac-egyenlet alapj´an . . . . 9.1.9. Spin-p´alya k¨olcs¨onhat´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

94 94 94 95 100 102 103 103 103 103 103

. . . . .

104 104 104 104 104 104

10.h´ et 10.1. Az elektrom´agneses t´er kvantumelm´elete . . . . . . . . . . . . 10.1.1. A sug´arz´asi t´er alapegyenletei kanonikus alakban . . . 10.1.2. A sug´arz´asi t´er kvant´al´asa . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3. Az elektrom´agneses sug´arz´asi t´er v´akuum-ingadoz´asa . 10.1.4. Az elektrom´agneses sug´arz´as k¨olcs¨onhat´asa atomokkal 3

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

10.1.5. A sz´ınk´epvonalak term´eszetes sz´eless´ege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.h´ et 11.1. P´alyaintegr´alok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. A legkisebb hat´as elve a klasszikus mechanik´aban ´ 11.1.2. Atmeneti val´osz´ın˝ us´egi amplitud´ok . . . . . . . . 11.1.3. P´alyaintegr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4. Klasszikus hat´areset nyeregpont-m´odszerrel . . . 11.1.5. P´alyaintegr´alok a kvantumt´erelm´eletben . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

105 105 105 105 105 105 105

12.h´ et 12.1. A m´er´es szerepe a kvantummechanik´aban. A koppenh´agai ´ertelmez´es. Kvantumparadoxonok. Dekoherencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1. A kvantummechanikai m´er´es posztul´atumai ´es a koppenh´agai ´ertelmez´es . . . 12.1.2. Le´ırhat´o-e kvantummechanikailag a m´er´esi folyamat? . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3. Az Einstein-Podolsky-Rosen-paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4. A Bell-egyenl˝otlens´eg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.5. Schr¨odinger macsk´aja: ´erv´enyes-e a szuperpoz´ıci´o elve makroszkopikus rendszerekre? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.6. R´eszrendszerek ´es a s˝ ur˝ us´egm´atrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.7. A Caldeira-Leggett-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.8. Dekoherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

13.h´ et 13.1. A kvantummechanika 13.1.1. . . . . . . . . 13.1.2. . . . . . . . . 13.1.3. . . . . . . . . 13.1.4. . . . . . . . . 13.1.5. . . . . . . . . 13.1.6. . . . . . . . . 13.1.7. . . . . . . . . 13.1.8. . . . . . . . .

107 107 107 107 107 107 107 107 107 107

modern alkalmaz´asi ter¨ uletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

106 106 106 106 106 106 106 106 106

1. 1.1.

h´ et Bevezet´ es. A kvantumelm´ elet jelent˝ os´ ege ´ es eredm´ enyei.

A modern fizika alapja. Atomfizika, szil´ardtestfizika (anyagtudom´any, l´ezer, tranzisztor, integr´alt a´ramk¨or, informatika, nanostrukt´ ur´ak), kvantumk´emia (gy´ogyszerkutat´as, vegyipar), molekul´aris biol´ogia (sejtm˝ uk¨od´es, feh´erj´ek, DNS, g´entechnol´ogia), magfizika (atombomba, atomer˝om˝ u, f´ uzi´os reaktor, csillagok energiatermel´ese), r´eszecskefizika (az anyag ma ismert legelemibb szerkezete, standard modell, r´eszecskegyors´ıt´ok, kozmol´ogia ´es asztrofizika).

1.2. 1.2.1.

A kvantumelm´ elet el˝ ozm´ enyei Az anyag atomos szerkezete

Dalton t¨orv´enye (t¨obbsz¨or¨os s´ ulyviszonyok t¨orv´enye). Faraday t¨orv´enyei: 1 QM m= 96485 n −19 23 (qe NA = 1.602 × 10 C × 6.022 × 10 = 96485C)

1. ´abra. John Dalton (1766-1844) ´es Michael Faraday (1791-1867)

5

Kinetikus g´azelm´elet. A molekul´ak m´eret´enek ´es az Avogadro-sz´amnak a meghat´aroz´asa (Loschmidt, 1865, Maxwell, 1870): G´azok diff´ uzi´os egy¨ utthat´oinak m´er´es´eb˝ol meghat´arozhat´o az l szabad u ´thossz, melyre 1 l∝ na 2 ´erv´enyes, ahol a = πR a molekula keresztmetszete, n a t´erfogategys´egben lev˝o molekul´ak sz´ama. Ha a g´azt cseppfoly´os´ıtj´ak, meghat´arozhat´o, hogy ugyanennyi ¨osszt¨omeg˝ u molekula mekkora teret t¨olt ki: szoros illeszked´est felt´eve v = Vf /Vg ∝ nR3 ∝ R/l. Ebb˝ol R ∝ v l, az Avogadro-sz´am pedig NA = nVmol ∝ Vmol /(l3 v 2 ).

2. ´abra. Johann Joseph Loschmidt (1821-1895) ´es James Clerk Maxwell (1831-1879) Statisztikus mechanika. A termodinamika t¨orv´enyeinek levezet´ese a molekul´akra alkalmazott klasszikus mechanika alapj´an.

3. ´abra. Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906)

6

Brown mozg´as. Einstein-Smoluchowski-elm´elet. Perrin k´ıs´erletei.

 |r(t + τ ) − r(t)|2 = 2dDτ D=

kB T 6πηr

4. a´bra. Albert Einstein (1879-1955), Marian Smoluchowski (1872-1917) ´es Jean Baptiste Perrin (1870-1942)

1.2.2.

Az elektron

Az elektron felfedez´ese ´es fajlagos t¨olt´es´enek meghat´aroz´asa (Thomson-k´ıs´erlet, 1897). e C = −1.759 × 1011 m kg

7

5. ´abra. A Thomson-k´ıs´erlet v´azlata ´es Joseph John Thomson (1856-1940) Az elektron t¨olt´es´enek meghat´aroz´asa (Millikan-k´ıs´erlet, 1913). e = −1.602 × 10−19 C

6. ´abra. A Millikan-k´ıs´erlet v´azlata ´es Robert Millikan (1868-1953)

8

1.2.3.

Radioaktivit´ as

α, β, γ sug´arz´as.

7. ´abra. Henri Becquerel (1852-1908), Marie Curie (1867-1934) ´es Pierre Curie (1859-1906)

1.2.4.

Az atomok szerkezete

Thomson-modell. L´en´ard k´ıs´erletei. Rutherford-sz´or´as. Zqe t¨olt´es˝ u atommagon E = m2 v02 energi´aj´ u, 2qe t¨olt´es˝ u α-r´eszecsk´ek sz´or´odnak. Felt´eve, hogy a sz´or´o atommag pontszer˝ u ´es t¨omege sokkal nagyobb, mint az α-r´esz´e, m 2 m 2 mr2 ˙ 2 2Zqe2 v = r˙ + φ + 2 0 2 2 4π0 r fejezi ki az energiamegmarad´ast ´es E=

J = mbv0 = mr2 φ˙ az impulzusmomentum-megmarad´ast. Ebb˝ol s r˙ =

  2Zqe2 Eb2 E− − 2 4π0 r r r 1 2E φ˙ = 2 b r m

2 m

amib˝ol a p´alya differenci´alegyenlete

9

dr = r2 dφ

s

1 1 2Zqe2 1 1 − 2 − 2 2 b 4π0 Eb r r

Ennek megold´asa 1/rmin

Z φ=π−2 0

dx q

1 b2

−

2Zqe2 1 x 4π0 Eb2

− x2

azaz ctg 2

φ 16π 2 20 E 2 2 =1+ b 2 Z 2 qe4

Differenci´alis sz´or´asi hat´askeresztmetszet: db Z 2 qe4 cos φ2 dσ = 2πb = dφ dφ 16π20 E 2 sin3 φ2 Ha A kereszmetszet˝ u nyal´ab esik h vastags´ag´ u c´elt´argyra (v´ekony lemez), melyben t´erfogategys´egenk´ent N atom van, ∆n = n sz´am´ u α-r´eszecske sz´or´odik φ ±

dφ 2

(N Ah)dσ dσ = nN h dφ A dφ

sz¨ogben.

8. ´abra. Ernest Rutherford (1871-1937)

10

1.2.5.

H˝ om´ ers´ ekleti sug´ arz´ as ´ es a hat´ askvantum

9. ´abra. William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907) Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light” (Lord Kelvin, 1900) ” Kirchoff t¨orv´enye: H˝om´ers´ekleti egyens´ ulyban l´ev˝o test abszorbci´os ´es emisszi´os egy¨ utthat´oinak ar´anya a h˝om´ers´eklet ´es a frekvencia univerz´alis f¨ uggv´enye. Abszol´ ut fekete test: minden r´aes˝o sug´arz´ast elnyel (az abszorbci´os egy¨ utthat´o ´ert´eke 1). Wien-f´ele eltol´od´asi t¨orv´eny: λmax T = 2.898 × 106 nm K Stefan-Boltzmann-t¨orv´eny: abszol´ ut fekete test sug´arz´as´anak intenzit´asa (energia´aram-s˝ ur˝ us´ege) J 4 −8 jE = σT , ahol σ = 5.6704 × 10 m2 s K 4

10. a´bra. Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), Wilhelm Wien (1864-1928) ´es Joˇzef Stefan (18351893)

11

A feketetest-sug´ arz´ as elm´ eleti t´ argyal´ asa Elektrom´agneses sug´arz´as l oldal´el˝ u kocka alak´ uu ¨regben: Maxwell-egyenletek az u ¨reg belsej´eben: 1 ∂E c2 ∂t ∂B ∇×E =− ∂t ∇E = 0

∇×B =

∇B = 0 Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy 1 ∂ 2E =0, ∇E = 0 c2 ∂t2 1 ∂ 2B ∇B = 0 4B − 2 2 = 0 , c ∂t az elektromos t´er tangenci´alis komponense ´es a m´agneses a falakon.  y = 0 vagy y = l ha ; Bx = 0, ha x = 0 vagy z = 0 vagy z = l  z = 0 vagy z = l ha ; By = 0, ha y = 0 vagy x = 0 vagy x = l  x = 0 vagy x = l ha ; Bz = 0, ha z = 0 vagy y = 0 vagy y = l 4E −

Hat´arfelt´etelek: komponense elt˝ unik Ex = 0, Ey = 0, Ez = 0,

Az egyenleteknek a hat´arfelt´eteleket kiel´eg´ıt˝o leg´altal´anosabb megold´asa Ex =

∞ X ∞ X ∞ X nx =1 ny =1 nx

Ey =

∞ X ∞ X ∞ X nx =1 ny =1 nx

Ez =

   x y z sin ny π sin nz π , qx,n (t) cos nx π l l l =1

   x y z qy,n (t) sin nx π cos ny π sin nz π , l l l =1

∞ X ∞ ∞ X X nx =1 ny =1 nx

   x y z qz,n (t) sin nx π sin ny π cos nz π , l l l =1 12

indukci´o norm´alis

x = l. y = l. z = l.

´es ∞ X ∞ X ∞    X y z l(ny q˙z,n (t) − nz q˙y,n (t)) x cos ny π cos nz π , Bx = sin nx π πc2 n2 l l l n =1 n =1 n =1 x

y

x

∞ X ∞ X ∞    X l(nz q˙x,n (t) − nx q˙z,n (t)) y z x By = sin ny π cos nz π , cos nx π πc2 n2 l l l n =1 n =1 n =1 x

y

x

∞ X ∞ X ∞    X l(nx q˙y,n (t) − ny q˙x,n (t)) y z x Bz = cos ny π sin nz π , cos nx π πc2 n2 l l l n =1 n =1 n =1 x

y

x

ha nqn = 0 (transzverz´alis hull´amok). Emiatt m´odusonk´ent k´et f¨ uggetlen amplitud´o van: (2) (2) qn (t) = qn(1) (t)e(1) n + qn (t)en (r)

Itt en -ek (r=1,2) a polariz´aci´os egys´egvektorok: ne(r) n = 0,

(s) e(r) n en = δrs

(r)

A qn (t) amplitud´ok a harmonikus oszcill´ator mozg´asegyenlet´et el´eg´ıtik ki: q¨n(r) (t) + ωn2 qn(r) (t) = 0 ahol

πc q 2 nx + n2y + n2z ωn = l

a rezg´es k¨orfrekvenci´aja. A sug´arz´as teljes energi´aja 

Z U=

dV

0 2 0 c2 2 E + B 2 2

 =

2 XX
l3 0 (r)2 2 (r)2 q ˙ (t) + ω q (t) n n n 16ωn2 n r=1

A klasszikus statisztikus mechanika szerint egy ilyen rendszerre alkalmazhat´o lenne az ekvipart´ıci´ o kB T t´etele: minden n´egyzetes taghoz (szabads´agi fok) 2 energia tartozna. A v´egtelen sz´am´ u m´odusra ¨osszegezve ´ıgy azonban v´egtelent kapn´ank az energi´ara: ez az u ´n. ultraibolya katasztr´ofa”. ” Adott frekvenci´aj´ u m´odusok sz´ama (minden frekvenci´ahoz k´et m´odus tartozik, amelyek egym´asra mer˝oleges polariz´aci´oj´ uak): 13

1 l3 2 8πl3 2 2 2d n → 2 4πn dn = 2 3 ω dω = 3 ν dν 8 π c c Ha az ekvipart´ıci´o t´etele ´erv´enyes volna, akkor a spektr´alis s˝ ur˝ us´eg 3

8π kB T ν 2 c3 lenne (Rayleigh-Jeans-t¨orv´eny). Ez kis frekvenci´akon j´o k¨ozel´ıt´est ad, de nagy frekvenci´akon hib´as. Kvantumhipot´ ezis (Planck, 1900) Az oszcill´atorok energi´aja nem folytonosan v´altozik, hanem mindig egy diszkr´et ´ert´ek eg´esz sz´am´ u t¨ obbsz¨ or¨ ose, amely pedig ar´anyos a frekvenci´aval: u(ν) =

Uj (ν) = j hν

j = 0, 1, 2, 3, ...

A h = 6.62 × 10−34 Js mennyis´eg (Planck-´alland´o vagy hat´askvantum) u ´j term´eszeti ´alland´o.

11. ´abra. Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) Adott frekvenci´aj´ u oszcill´ator energi´aj´anak v´arhat´o ´ert´eke (´atlaga): P∞ U¯ (ν) =

− kj hν T

j=0

j hνe

P∞

j=0

e

− kj hν BT

hν

B

= e

hν kB T

−1

Kis frekvenci´akra ez kB T -hez tart (ekvipart´ıci´o), nagy frekvenci´akra azonban exponenci´alisan tart null´ahoz. Ennek seg´ıts´eg´evel a spektr´als˝ ur˝ us´eg (Planck-t¨orv´eny): u(ν) =

8πh ν3 hν c3 e kB T − 1 14

Teljes energias˝ ur˝ us´eg: Z

∞

u(ν)dν =

u= 0

4 8π 5 kB T4 15h3 c3

Egyezik a Stefan-Boltzmann-t¨orv´ennyel! Hol van a spektrum maximuma? d du(ν) = dν dν

3

8πh ν hν 3 c e kB T − 1

! =0

Ebb˝ol hν

3(e kB T − 1) −

hν khνT e B =0 kB T

Az egyenlet gy¨oke hνm = 2.82... kB T Wien-f´ele eltol´od´asi t¨orv´eny.

15

1.2.6.

A hat´ askvantum els˝ o alkalmaz´ asai. Hull´ amjelens´ egek r´ eszecsketulajdons´ agai

Szil´ ardtestek fajh˝ oje. Klasszikus statisztikus fizika: Dulong-Petit-szab´aly (szil´ard anyagok fajh˝oje 3kB ). Val´oj´aban o¨sszhangban a termodinamika III. f˝ot´etel´evel - a fajh˝o alacsony h˝om´ers´ekleten null´ahoz tart. Magyar´azat: a r´acsrezg´esek energi´aja kvant´alt (fononok). Emiatt egy ν frekvenci´aj´ u oszcill´ator energi´aja T h˝omers´ekleten nem kB T , hanem hν hν

e kB T − 1 Figyelembe v´eve a r´acsrezg´esek spektrum´at, ebb˝ol alacsony h˝om´ers´ekleten U ∝ T 4 k¨ovetkezik, teh´at ∝ T 3 . (Max Born ´es K´arm´an T´odor, 1913). a fajh˝o c = N1 dU dT

12. ´abra. Max Born (1882-1970) ´es K´arm´an T´odor (1881-1963)

16

Fotonok. A f´ enyelektromos jelens´ eg. F´enyelektromos jelens´eg: ultraibolya f´eny hat´as´ara alk´alif´emekb˝ol elektronok l´epnek ki. A klasszikus elektrodinamika alapj´an a jelens´eg nem magyar´azhat´o (a klasszikus elm´elet szerint napokba telne, m´ıg az elektron a sz¨ uks´eges energi´at ¨osszegy˝ ujti, m´ıg val´oj´aban a kil´ep´es azonnal bek¨ovetkezik). L´en´ard k´ıs´erletei: a kil´ep˝o elektronok sebess´eg´et a f´eny frekvenci´aja, sz´amukat a f´eny intenzit´asa hat´arozza meg. Einstein magyar´azata a fotonk´ep seg´ıts´eg´evel. Foton: hν energia, λh impulzus. 1 hν = A + mv 2 2 A: kil´ep´esi munka

13. ´abra. L´en´ard F¨ ul¨op (Philipp Eduard Anton Lenard, 1862-1947) ´es Albert Einstein (1879-1955)

17

Compton-effektus. Grafitra es˝o r¨ontgensug´arz´as hull´amhossza megv´altozik a sz´or´as sz¨og´et˝ol f¨ ugg˝oen. Magyar´azat: a fotonok az elektronokkal rugalmasan u ¨tk¨oznek ´es ennek sor´an energi´ajuk ´es impulzusuk megv´altozik. Impulzusmegmarad´as: pf = p0f cos φ + pe cos θ p0f sin φ = pe sin θ Energiamegmarad´as: pf c + me c2 = p0f c +

p m2e c4 + p2e c2

A fentiekb˝ol me c(pf − p0f ) = pf p0f (1 − cos φ) ad´odik, azaz (λ = h/p miatt) λ0 − λ =

h (1 − cos φ) me c

14. ´abra. Arthur Holly Compton (1892-1962)

18

1.2.7.

Anyaghull´ amok

de Broglie: A hull´amtulajdons´agokkal (diffrakci´o) rendelkez˝o f´eny oszthatatlan r´eszecskek´ent viselkedhet. Ford´ıtva, a r´eszecsketulajdons´agokkal rendelkez˝o elektron is viselkedhet hull´amk´ent. Hull´amhossz: h λ= p Frekvencia: E h Davisson-Germer k´ıs´erlet: lass´ u elektronok nikkelkrist´alyon diffrakci´ot szenvednek. A diffrakci´os k´epb˝ol a hull´amhossz meghat´arozhat´o, ´es az teljes ¨osszhangban van de Broglie elm´elet´evel. ν=

15. ´abra. Eletrondiffrakci´os k´ep transzmisszi´os elektronmikroszk´opban

16. ´abra. Prince Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987), Clinton Joseph Davisson (1881-1958) ´es George Paget Thomson (1892-1975)

19

2. 2.1.

h´ et A Bohr-elm´ elet

Vonalas sz´ınk´ep. Bohr-modell. Franck-Hertz-k´ıs´erlet.

17. ´abra. Niels Bohr (1885-1962), James Franck (1882-1964) ´es Gustav Ludwig Hertz (1882-1975)

20

18. ´abra. A Nap abszorbci´os sz´ınk´epe

21

19. ´abra. A hidrog´en, a h´elium ´es a neon emisszi´os sz´ınk´epe

2.1.1.

A Bohr-elm´ elet feltev´ esei ´ es alkalmaz´ asuk a hidrog´ enatomra

1. Csak azok a p´aly´ak megengedettek, melyeknek az impulzusmomentuma ~ = h/(2π) eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose. me v r = n~ 2. A megengedett p´aly´an kering˝o elektron nem bocs´ajt ki sug´arz´ast. Sug´arz´as akkor k¨ovetkezik be, ha az elektron magasabb energi´aj´ u megengedett p´aly´ar´ol alacsonyabb energi´aj´ u megengedett p´aly´ara ugrik. 3. Frekvenciafelt´etel: Ek − Ev = hν Alkalmaz´as a hidrog´enatomra: me

qe2 v2 = r 4π0 r2

rn =

4π0 ~2 2 n qe2 me

1 q2 q2 E = me v 2 − e = − e 2 4π0 r 8π0 r 22

νn,n0

qe4 me 1 En = − 32π 2 20 ~2 n2   1 qe4 me 1 − = 64π 3 20 ~2 n2 n02

Rydberg-´alland´o R=

qe4 me 64π 3 20 ~2

Pontosabb ´ert´ek a reduk´alt t¨omeggel: m0e =

me me 1+ m m

R0 =

R me 1+ m m

Franck-Hertz-k´ıs´erlet: higanyg˝ozzel t¨olt¨ott kat´odsug´arcs˝oben az atomi energiaszintek k¨ozti k¨ ul¨onbs´egeknek megfelel˝o an´odfesz¨ ults´egekn´el rugalmatlan sz´or´as k¨ovetkezik be ´es az an´od´aram lecs¨okken.

20. ´abra. A Franck-Hertz-k´ıs´erlet v´azlata

23

2.1.2.

A Sommerfeld-f´ ele kvantumfelt´ etelek

A spektrum finomszerkezete: a sz´ınk´epvonalak val´oj´aban t¨obb k¨ozeli vonalb´ol a´llnak. Ellipszisp´aly´ak kvant´al´asa (Sommerfeld): Kanonikus impulzusok: ∂L ∂L ; pφ = pr = ∂ r˙ ∂ φ˙ Itt L a Lagrange-f¨ uggv´eny: L=

Zqe2 me 2 (r˙ + r2 φ˙ 2 ) + 2 4π0 r

Sommerfeld-f´ele kvantumfelt´etelek: I pr dr = nr h I pφ dφ = k h nr : radi´alis kvantumsz´am, k: azimut´alis kvantumsz´am. Mell´ekkvantumsz´am: l =k−1 Alkalmaz´as hidrog´enatomra: pr = me r˙ pφ = me r2 φ˙ E = −cRh

1 (nr + k)2

F˝okvantumsz´am: n = nr + k Az ellipszisek f´eltengelyei: a = n2

4π0 ~2 me qe2

b=a k = 0 nem megengedett (magba es´es). 24

k n

Ebb˝ol m´eg nem k¨ovetkezik a finomszerkezet. Azt relativisztikus effektusok okozz´ak (ide´ertve a spin-p´alya k¨olcs¨onhat´ast ´es a potenci´alis energia relativisztikus korrekci´oj´at is). 

E − m e c2 =

q2 E+ e 4π0 r

2

− p2 c2 = m2e c4

p m2e c4 + p2 c2 − me c2 −

p2 q2 p4 qe2 ≈ − e − 4π0 r 2me 4π0 r 8m3e c2

A relativisztikus korrekci´o megsz¨ unteti az elfajul´ast, ´es az energia f¨ uggni fog a mell´ekkvantumsz´amt´ol. Az els˝o korrekci´o nagys´agrendje: En p4 − 3 2 ≈α 2 8me c 4n Finomszerkezeti a´lland´o: qe2 1 ≈ 4π0 ~c 137 A t´erbeli helyzet teljes megad´as´ahoz h´arom kvantumfelt´etel sz¨ uks´eges: α=

L=

Zqe2 me 2 (r˙ + r2 θ˙2 + r2 sin2 θψ˙ 2 ) + 2 4π0 r pr = me r˙ pθ = me r2 θ˙ pψ = me r2 sin2 θψ˙ I pr dr = nr h I pθ dθ = nθ h I pψ dψ = m h

Mivel ψ ciklikus koordin´ata, pψ , az impulzusmomentum z komponense mozg´as´alland´o, ez´ert pψ = m

h =m~ 2π

25

m:

−k, ..., −1, 0, 1, ..., k

(a Bohr-elm´eletnek ez a k¨ovetkeztet´ese pontatlan!) Adott n ´es k eset´en 2k + 1 t´erbeli helyzet.lehets´eges. k = nθ + |m| n = nr + nθ + |m|

21. ´abra. Arnold Sommerfeld (1868-1951)

2.1.3.

Az atomok m´ agneses nyomat´ eka

n norm´alvektor´ u A ter¨ uletet hat´arol´o g¨orbe ment´en foly´o I a´ram m´agneses momentuma M =AIn Atomi p´alya eset´en I=

qe v qe = T 2πr

ez´ert a m´agneses momentum nagys´aga |M | =

qe v πr2 qe me v r qe = = m~ 2πr 2 me 2 me

Vektori´alis alakban: M =−

qe N 2 me

26

ahol N az impulzusmomentum. Bohr-magneton: µB =

qe ~ 2 me

A sz´ınk´epvonalak felhasad´asa m´agneses t´erben (Zeeman-effektus): Um = −M B En,m = −

R h c qe ~ B m − n2 2 me

22. ´abra. Pieter Zeeman (1865-1943)

27

2.1.4.

Az elektron spinje

Einstein-de Haas-effektus (1915).

23. ´abra. K´ıs´erleti berendez´es az Einstein-de Haas effektus m´er´es´ere, Wander Johannes de Haas (1878-1960) A m´agneses momentum kvant´alts´aga (Stern-Gerlach-k´ıs´erlet, 1922).

24. ´abra. a Stern-Gerlach-k´ıs´erlet v´azlata, Otto Stern (1888-1969) ´es Walther Gerlach (1889-1979) Inhomog´en m´agneses t´erben a m´agneses dip´olra er˝o hat: F = ∇(M B) A Stern-Gerlach-k´ıs´erlet tov´abbi jelent˝os´ege: Rabi-oszcill´aci´ok, m´agneses magrezonancia, NMR tomogr´afia, atom´ora, m´ezer Stern-Gerlach-k´ıs´erlet ez¨ usttel (1922) ´es hidrog´ennel (1927): az atomnyal´ab k´et sug´arra v´alik sz´et. Magyar´azat (Goudsmit ´es Uhlenbeck,1926 ): az elektronnak ~/2 nagys´ag´ u saj´at impulzusmomentuma van. 28

25. ´abra. Samuel Abraham Goudsmit (1902-1978) ´es George Eugene Uhlenbeck (1900-1988) 2.1.5.

A Pauli-elv. A peri´ odusos rendszer kvalitat´ıv ´ ertelmez´ ese.

Az atomi elektronoknak l´etezik egy negyedik kvantumsz´ama ´es egy atomon bel¨ ul k´et elektronnak nem lehet mind a n´egy kvantumsz´ama azonos (kiz´ar´asi elv, 1925). A spin felfedez´ese ut´an a negyedik kvantumsz´amot a spinnel azonos´ıtott´ak. F˝okvantumsz´am: n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... (K, L, M, N, O, P, Q), mell´ekkvantumsz´am: l = 0, 1, 2, ..., n − 1 (s,p,d,f,g), m´agneses kvantumsz´am: m = −l, ...0, 1, .., l, spinkvantumsz´am: s = ± 12 .

26. ´abra. Wolfgang Ernst Pauli (1900-1958)

29

Peri´odusos rendszer (Mengyelejev, 1869). Hidrog´enatom alap´allapota: egy elektron az 1s ´allapotban. H´eliumatom: k´et elektron (ellent´etes spinnel) az 1s a´llapotban (jel¨ol´es: 1s2 ). L´ıtium: 1s2 2s1 Berillium: 1s2 2s2 B´or: 1s2 2s2 2p1

27. ´abra. A k´emiai elemek peri´odusos rendszere

30

28. ´abra. Dmitrij Ivanovics Mengyelejev (1834-1907)

2.1.6.

A korrespondencia-elv.

Hat´aresetben a kvantummechanikai t¨orv´enyek a megfelel˝o klasszikus mechanikai t¨orv´enyekbe mennek a´t. Pl. |n − n0 |  n eset´en   1 2 1 − 2 ≈ Rc 3 (n − n0 ) νn,n0 = Rc 02 n n n m´asr´eszt a kering´es klasszikus frekvenci´aja 2 n3 A korrespondencia-elv seg´ıts´eg´evel meghat´arozhat´o az emisszi´os spektrumvonalak intenzit´asa ´es polariz´aci´oja. Tiltott ´atmenetek, kiv´alaszt´asi szab´alyok (pl. δl = ±1). νnkl = Rc

2.1.7.

A Bohr-elm´ elet korl´ atai

• A h´eliumatomra hib´as eredm´enyt ad (kaotikus dinamika, nem integr´alhat´o rendszer). • A spektrumvonalak finomszerkezete m´ar a hidrog´enatom eset´en is pontatlan. • A spektr´alis intenzit´as kisz´am´ıt´asa csak a korrespondenciaelv seg´ıts´eg´evel lehets´eges. p • Az impulzusmomentum kvant´al´asa hib´as (val´oj´aban l(l + 1)~ az impulzusmomentum nagys´aga). • A kovalens k¨ot´est nem tudja ´ertelmezni.

31

• Nem veszi figyelembe az elektronok k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´ast, ez´ert a peri´odusos rendszer egyes r´eszletei (alh´ajak t¨olt˝od´es´enek sorrendje) a Bohr-elm´elet alapj´an nem ´ertelmezhet˝ok.

32

3.

h´ et

3.1.

Fizikai mennyis´ egek mint oper´ atorok ´ es m´ erhet˝ o´ ert´ ekeik mint saj´ at´ ert´ ekek

29. ´abra. Werner Heisenberg (1901-1976), Erwin Schr¨odinger (1887-1961) ´es Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)

3.1.1.

Oper´ atorok ´ es saj´ at´ ert´ ekeik

Az atomi jelens´egekre jellemz˝oek a diszkr´et (nem folytonos) energiaszintek ill. a diszkr´et impulzusmomentumvet¨ uletek. A fizikai mennyis´egeknek a kvantummechanik´aban hermitikus line´aris oper´atorok felelnek meg, melyek skal´arszorzattal ell´atott komplex vektort´eren (Hilbert-t´er) vannak ´ertelmezve. Az oper´atorok saj´at´ert´ekei szolg´altatj´ak a fizikai mennyis´eg m´er´essel kaphat´o ´ert´ekeit. P´elda: a spinkomponensek oper´atorai v´eges m´atrixk´ent adhat´ok meg, melyek a k´etdimenzi´os komplex vektort´eren hatnak.   ~ 0 1 ˆ Sx = 2 1 0   ~ 0 −i ˆ Sy = i 0 2   ~ 1 0 ˆ Sz = 2 0 −1 Az impulzusmomentum n´egyzete: ~2 Sˆ2 = Sˆx2 + Sˆy2 + Sˆz2 = 4 33



3 0 0 3



Saj´at´ert´ekek meghat´aroz´asa: Sˆx v = sx v ~ 2



0 1 1 0



−sx ~ 2



   u u = sx v v    ~ u 2 =0 v −sx

Homog´en line´aris egyenletrendszer megoldhat´os´ag´anak felt´etele a determin´ans elt˝ un´ese:    2 ~ ~ −sx 2 2 det = sx − =0 ~ −sx 2 2 teh´at a saj´at´ert´ekek sx = ±

~ 2

Hasonl´oan a m´asik k´et komponens eset´en:    2 ~ −sy −i ~2 2 =0 det = sy − ~ i 2 −sy 2 ~ 2   2 ~ 0 2 =0 = sz − − ~2 − sz 2 sy = ±

 det

~ 2

− sz 0

sz = ±

~ 2

V´eg¨ ul Sˆ2 saj´at´ert´ekei: Sˆ2 v = s2 v  det

3~2 4

− s2 0 3~2 0 − 4 − s2 34



 =

3~2 s − 4 2

2 =0

3 s2 = ~2 4 Komplex vektorokra ´ es m´ atrixokra vonatkoz´ o alapvet˝ o defin´ıci´ ok ´ es t´ etelek: Vektor (Matematikai ´ertelemben) N dimenzi´os komplex vektor:    V = 



V1 V2 .. .

   , 

Vj ∈ C

VN ¨ Osszead´ as (A + B)j = Aj + Bj Sz´ ammal val´ o szorz´ as (cV )j = c Vj Vektort´ er ha V1 ∈ V ´es V2 ∈ V

akkor c1 V1 + c2 V2 ∈ V ahol c1 , c2 ∈ C

Line´ aris f¨ uggetlens´ eg V1 ´es V2 line´arisan f¨ uggetlenek (akkor ´es csak akkor), ha c1 V1 + c2 V2 = 0 =⇒ c1 = c2 = 0 Transzpon´ alt VT =

V1 V2 . . . VN




V†=

V1∗ V2∗ . . . VN∗




Adjung´ alt (Riesz-t´etel) Itt ∗ a komplex konjug´altat jelenti. Skal´ arszorzat (Komplex euklideszi t´er) †

(A, B) = A B =

N X

A∗j Bj

j=1

Emiatt (B, A) = (AB)∗ 35

Hilbert-t´ er: teljes euklideszi t´ er. Teljess´eg: Cauchy-sorozatok konvergensek ´es a hat´ar´ert´ek¨ uk is eleme a t´ernek. Ortonorm´ alt b´ azis, szepar´ abilis Hilbert-t´ er ej ∈ H ,

(ej , ek ) = δjk

u ´gy, hogy ∀ V ∈ H eset´en ∃ cj ∈ C u ´gy, hogy

X

cj e j = V

j

Ekkor cj = (ej , V ) M´ atrix

   a = [aij ] =  

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

aN 1 aN 2 (aV )i =

N X

. . . a1N . . . a2N .. .. . . . . . aN N

aij Vj

j=1

Egys´ egm´ atrix    1= 

1 0 .. .

0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 0 ... 1

    

¨ Osszeg (a + b)ij = aij + bij Szorzat (ab)ij =

N X

aik bkj

k=1

´ Altal´ aban ab 6= ba Kommut´ ator [a, b] = ab − ba 36

    

Inverz a−1 a = aa−1 = 1 Determin´ ans deta =

X

(−1)P a1i1 a2i2 ...aN iN

i1 ,i2 ,...,iN

det(ab) = (deta)(detb) Homog´en line´aris egyenletrendszer megoldhat´os´agi felt´etele: aV = 0 megold´asa akkor ´es csak akkor ∃ , ha deta = 0 Transzpon´ alt aTij = aji Adjung´ alt a†ij = a∗ji (ab)† = b† a† ¨ Onadjung´ alt (hermitikus) m´ atrix (Fizikai mennyis´eg) h = h† Unit´ er m´ atrix (Szimmetriatranszform´aci´o) u−1 = u† Unit´er m´atrixszal v´egzett transzform´aci´o meg˝orzi a skal´arszorzatot. (uA, uB) = (uA)† uB = A† u† uB = A† B Hasonl´ os´ agi transzform´ aci´ o a0 = sas−1 Saj´ at´ ert´ ek-egyenlet aV = aV Itt a a saj´at´ert´ek, V a saj´atvektor. Karakterisztikus egyenlet: det(a − a1) = 0 37

Hermitikus m´ atrix saj´ at´ ert´ ekei val´ osak, k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o saj´ at´ ert´ ekekhez tartoz´ o saj´ atvektorai ortogon´ alisak hV = hV V † hV = hV † V Adjung´alva: V † h† V = h∗ V † V Teh´at h = h∗ . hV1 = h1 V1 V2† h = h2 V2† V2† hV1 = h1 V2† V1 V2† hV1 = h2 V2† V1 Mivel h1 6= h2 , V2† V1 = 0. A saj´atvektorok teljes b´azist alkotnak. A saj´atvektorai b´azis´an a hermitikus m´atrix diagon´alis. A norm´alt saj´atvektorokb´ol unit´er m´atrix k´epezhet˝o. Az ezzel elv´egzett hasonl´os´agi transzform´aci´o a hermitikus m´atrixot diagon´alis alakra hozza. Felcser´ elhet˝ o hermitikus m´ atrixoknak van k¨ oz¨ os saj´ atvektor-rendszere. Legyenek a ´es b felcser´elhet˝o hermitikus m´atrixok. Ekkor aV = aV baV = a(bV ) = a(bV ) Ha a egyszeres saj´at´ert´ek, bV = bV (Ha a t¨obbsz¨or¨os saj´at´ert´ek, akkor b a megfelel˝o alteret o¨nmag´ara k´epezi le, emiatt V megv´alaszthat´o u ´gy, hogy b saj´atvektora legyen) Elfajult saj´ at´ ert´ ekek. Ha a ´es b nem felcser´elhet˝o hermitikus m´atrixok, de mindkett˝o felcser´elhet˝o a c hermitikus m´atrixszal, akkor c-nek van elfajult saj´at´ert´eke (t¨obb saj´atvektor tartozik egy saj´at´ert´ekhez). Ui. cV = cV 38

c(aV ) = c(aV ) c(bV ) = c(bV ) De minden saj´atvektorra aV = const. × bV nem teljes¨ ulhet, mert akkor a ´es b felcser´elhet˝o volna. 3.1.2.

A Heisenberg-f´ ele felcser´ el´ esi t¨ orv´ enyek

Poisson-z´ar´ojelek a klasszikus mechanik´aban: {f (q, p), g(q, p)} =

X ∂f ∂g ∂f ∂g − ∂qj ∂pj ∂pj ∂qj j

Ha f = qk ´es g = pl , akkor {qk , pl )} = δkl A Heisenberg-f´ele felcser´el´esi t¨orv´enyek [ˆ qk , pˆl ] = i~δkl ˆ1 Oper´atorok koordin´atareprezent´aci´oban. Hilbert-t´er: n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek. A koordin´ata oper´atora: xˆ = x Az impulzus oper´atora: pˆx = −i~

∂ ∂x

Vektori´alisan: rˆ = r pˆ = −i~∇ skal´arszorzat: Z (f, g) =

f ∗ (r)g(r)dV

Hidrog´enatom alap´allapota. Az energia oper´atora: qe2 ~2 qe2 1 2 ˆ pˆ − =− 4− H= 2me 4π0 r 2me 4π0 r 39

Pol´arkoordin´at´akban:  2  2  2 2 ~ ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ qe2 2 ∂ ˆ H=− + + − + + ctgϑ 2me ∂r2 r ∂r r2 ∂ϑ2 ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2 4π0 r Keress¨ unk exp (−a r) alak´ u saj´atf¨ uggv´enyt! 2 2 2 ˆ exp (−a r) = − ~ a2 exp (−a r) + ~ 2a exp (−a r) − qe exp (−a r) H 2me 2me r 4π0 r Ez akkor lesz a pr´obaf¨ uggv´eny sz´amszorosa, ha

a=

qe2 me 4π0 ~2

Ekkor H exp (−a r) = −

~2 a2 exp (−a r) 2me

Teh´at a saj´at´ert´ek qe4 me E0 = − 32π 2 20 ~2 Oper´atorok m´atrix reprezent´aci´oja. Impulzusreprezent´aci´o. Korl´atos ´es nem korl´atos oper´atorok. Dirac-f´ele absztrakt jel¨ol´esm´od. Bra ´es ket vektorok < φ| ,

|ψ >

skal´arszorzat: < φ|ψ > oper´ator m´atrixeleme: < φ|O|ψ >

40

3.1.3.

A line´ aris harmonikus oszcill´ ator

Klasszikus formul´ak: Kit´er´essel ar´anyos visszat´er´ıt˝o er˝o (kis rezg´es): m

d2 x = −Dx dt2

A mozg´asegyenlet megold´asa: r x = x0 cos(ωt + δ) ,

ω=

D m

Energia (Hamilton-f¨ uggv´eny) H=

mω 2 2 p2 + x 2m 2

Kvantummechanikai t´argyal´asm´od: Energiaoper´ator koordin´atareprezent´aci´oban: 2 2 2 ˆ = − ~ d + mω x2 H 2m dx2 2

Saj´at´ert´ek-egyenlet: −

~2 d2 ψ mω 2 2 + x ψ = Eψ 2m dx2 2

´ dimenzi´otlan v´altoz´ok: Uj, 2E k= , ~ω

r ξ=

mω x ~

Saj´at´ert´ek-egyenlet dimenzi´otlan´ıtott alakban:
d2 ψ + k − ξ2 ψ = 0 2 dξ Megold´as Sommerfeld-f´ele polinom-m´odszerrel: Aszimptotikus megold´as (nagy ξ-re): d2 ψ ≈ ξ2ψ 2 dξ

41

 2 ξ ψ = exp − 2  2 uk: A pontos megold´ast ψ = (polinom) × exp − ξ2 alakban keress¨ !  2 n X ξ j ψ= cj ξ exp − 2 j=0 ! !  2  2 n n X X ξ dψ ξ j j−1 = cj ξ (−ξ) exp − + jcj ξ exp − dξ 2 2 j=0 j=0 d2 ψ = dξ 2 +

!  2  2 n X ξ ξ j j−1 2 cj ξ ξ exp − +2 jcj ξ − (−ξ) exp − 2 2 j=0 j=0 !   n 2 X ξ j(j − 1)cj ξ j−2 exp − 2 j=0

n X

!

n X

! jcj ξ j−1 ξ =

n X

j=0 n X

j=0

j(j − 1)cj ξ

j=0

jcj ξ j

j−2

n−2 X = (j + 2)(j + 1)cj+2 ξ j j=0

Teh´at a saj´at´ert´ekegyenletb˝ol n−2 X j=0

(j + 2)(j + 1)cj+2 ξ j +

n X

(k − (2j + 1)) cj ξ j = 0

j=0

Ebb˝ol j = n eset´en k = 2n + 1 azaz

  1 ~ω En = n + 2 ξ2

ψn = e− 2 Hn (ξ) Hn (ξ): Hermite-polinom d2 Hn dHn − 2ξ + 2nHn = 0 2 dξ dξ 42

n X j=0

! cj ξ

j

 2 ξ exp − 2

3.1.4.

Az impulzusmomentum

A klasszikus mechanik´aban az impulzusmomentum megmarad´asa a forg´asi invariancia k¨ovetkezm´enye. A kvantummechanik´aban az impulzusmomentum oper´atora a v´egtelen kis elforgat´as oper´ator´aval ar´anyos. ˆ = rˆ × pˆ = −i~r × ∇ L (bizony´ıtand´ o, hogy hermitikus)

Val´oban, δφ sz¨og˝ u elforgat´as sor´an a helyvektor v´altoz´asa δr = δφ × r, ´ıgy egy ψ(r) f¨ uggv´eny megv´altoz´asa δψ(r) = ψ(r + δr) − ψ(r) ≈ (δr∇)ψ = (δφ × r)∇ψ = δφ(r × ∇)ψ forg´asi invariancia ⇐⇒ az impulzusmomentum oper´atora felcser´elhet˝o az energia oper´ator´aval ˆ = Eψ Hψ ˆ Lψ ˆ = E Lψ ˆ H ˆ = E Lψ ˆ Hψ ˆ L Az impulzusmomentum-komponensek felcser´el´esi szab´alyai: ˆj , L ˆ k ] = jmn rˆm pˆn kst rˆs pˆt − kst rˆs pˆt jmn rˆm pˆn = jmn kst (ˆ [L rm pˆn rˆs pˆt − rˆs pˆt rˆm pˆn ) = jmn kst (ˆ rm (−i~δns + rˆs pˆn )ˆ pt − rˆs (−i~δmt + rˆm pˆt )ˆ pn ) = −i~ˆ rm pˆt (jms kst − jst kms ) Mivel pedig jms kst = jms tks = δjt δmk − δjk δmt ill. jst kms = tjs kms = δtk δjm − δtm δjk v´eg¨ ul ˆj , L ˆ k ] = −i~ˆ ˆs [L rm pˆt (δjt δmk − δtk δjm ) = −i~jks stm rˆm pˆt = i~jks L P´alyamomentum ´es spinmomentum [Sˆj , Sˆk ] = i~jkt Sˆt Tov´abb´a ˆj , L ˆ 2] = 0 , [L 43

[Sˆj , Sˆ2 ] = 0

ui. ˆj L ˆkL ˆk − L ˆkL ˆkL ˆj ˆj , L ˆ 2 ] = [L ˆj , L ˆ 2k ] = L [L    ˆn + L ˆkL ˆj L ˆk − L ˆ k i~kjn L ˆn + L ˆj L ˆk = i~jkn L     ˆ nL ˆ k − kjn L ˆkL ˆ n = i~jkn L ˆ nL ˆk + L ˆkL ˆn = 0 = i~ jkn L 

ˆ nL ˆk + L ˆkL ˆ n ugyanezekben az indexekmivel jkn a k, n o¨sszegz˝o indexekben antiszimmetrikus, m´ıg L ben szimmetrikus (a teljes kifejez´es emiatt egyenl˝o o¨nmaga −1-szeres´evel, teh´at nulla). Az impulzusmomentum saj´ at´ ert´ ekei ´ es saj´ atf¨ uggv´ enyei ˆ z -nek ´es L ˆ 2 -nek. A felcser´el´esi szab´alyok alapj´an k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´eny-rendszere van pl. L Impulzusmomentum-komponensek kifejez´ese der´eksz¨og˝ u koordin´at´akban:   ∂ ∂ ˆ −z Lx = −i~ y ∂z ∂y   ∂ ∂ ˆ Ly = −i~ z −x ∂x ∂z   ∂ ∂ ˆ −y Lz = −i~ x ∂y ∂x
ˆ 2 = −~2 r2 4 − (r∇)2 − r∇ L Impulzusmomentum-komponensek kifejez´ese g¨ombi pol´arkoordin´at´akban:   ∂ ∂ ˆ x = −i~ − sin ϕ L − cos ϕ ctgϑ ∂ϑ ∂ϕ   ∂ ∂ ˆ y = −i~ cos ϕ L − sin ϕ ctgϑ ∂ϑ ∂ϕ ˆ z = −i~ ∂ L ∂ϕ  ∂2 ∂ 1 ∂2 + ctgϑ + ∂ϑ2 ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2 Az impulzusmomentum b´armely komponense ´es az impulzusmomentum n´egyzete felcser´elhet˝ok, ez´ert l´etezik k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´eny-rendszer¨ uk. A k¨ ul¨onb¨oz˝o komponensek nem cser´elhet˝ok fel (⇒ 2 ˆ ˆ elfajul´as), ez´ert pl. Lz ´es L k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´enyeit kereshetj¨ uk meg. ˆ 2 = −~2 L



44

ˆ z ψ = lz ψ L ˆ 2 ψ = L2 ψ L Itt lz ´es L2 a saj´at´ert´ekek (val´os sz´amok), m´ıg ψ a k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´eny. Be´ırva a pol´arkoordin´at´as ˆ alakot Lz saj´at´ert´ek-egyenlet´ebe: −i~

∂ψ = lz ψ ∂ϕ

Ennek megold´asa (az integr´aci´os a´lland´o csak ϕ vonatkoz´as´aban a´lland´o, ϑ-t´ol f¨ ugghet):   lz ψ = Θ(ϑ) exp i ϕ ~ mivel pedig ψ-nek 2π szerint periodikusnak kell lennie ϕ-ben (hiszen ϕ ´es ϕ + 2π ugyanaz a t´erbeli pont, ha r ´es ϑ v´altozatlan), lz = m~ (m eg´esz sz´am) ´es ψ = Θ(ϑ)eimϕ ˆ 2 saj´at´ert´ek-egyenlet´ebe. Kapjuk: Ezt behelyettes´ıtj¨ uk L   2 ∂ m2 ∂ 2 + ctgϑ − Θ(ϑ)eimϕ = L2 Θ(ϑ)eimϕ −~ 2 2 ∂ϑ ∂ϑ sin ϑ egyszer˝ us´ıtve: 

d m2 L2 d2 + ctgϑ − + dϑ2 dϑ sin2 ϑ ~2

 Θ(ϑ) = 0

(Mivel Θ csak ϑ f¨ uggv´enye, k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletet kell megoldanunk.) Felhaszn´aljuk a d d2 d 1 d sin ϑ = 2 + ctgϑ sin ϑ dϑ dϑ dϑ dϑ azonoss´agot: 

L2 1 d d m2 sin ϑ − + sin ϑ dϑ dϑ sin2 ϑ ~2

´es bevezetj¨ uk a ξ = cos ϑ 45

 Θ(ϑ) = 0

u ´j v´altoz´ot. Mivel dξ = − sin ϑdϑ, 1 d d =− sin ϑ dϑ dξ ´es sin ϑ

d d d = − sin2 ϑ = −(1 − ξ 2 ) dϑ dξ dξ

Ezzel a saj´at´ert´ek-egyenlet: d dξ



dΘ (1 − ξ ) dξ 2



 +

L2 m2 − ~2 1 − ξ2

 Θ=0

Ennek az egyenletnek ξ = ±1 szingul´aris pontjai. Ezek k¨ozel´eben a megold´as (1 − ξ 2 ) valamilyen m2 hatv´any´aval kell hogy elt˝ unj¨on, hogy a szingul´aris 1−ξ enyez˝ot kompenz´alja. Keress¨ uk teh´at az 2 t´ 2 a aszimptotikus (azaz |ξ| ≈ 1 eset´en k¨ozel´ıt˝oleg ´erv´enyes) megold´ast Θ = (1 − ξ ) alakban.  

d d d 2 dΘ (1 − ξ ) = (1 − ξ 2 )(−2aξ)(1 − ξ 2 )a−1 = (−2aξ)(1 − ξ 2 )a dξ dξ dξ dξ 2 a 2 2 2 a−1 2 = −2a(1 − ξ ) + 4a ξ (1 − ξ ) = −(2a + 4a )(1 − ξ 2 )a + 4a2 (1 − ξ 2 )a−1 2

m 2 2 a−1 tagot kompenz´alnia, |ξ| ≈ 1 eset´en a m´asodik tag domin´al. Ennek kell a − 1−ξ 2 Θ = −m (1 − ξ ) teh´at 4a2 = m2 ´Igy teh´at az aszimptotikus megold´as

Θa = (1 − ξ 2 )

|m| 2

A Sommerfeld-f´ele polinom-m´odszerrel keress¨ uk a pontos saj´atf¨ uggv´enyt: 2

Θ = (1 − ξ )

|m| 2

k X

cj ξ j

j=0

(1 − ξ 2 )

d dξ

k k X |m| X |m| dΘ = −|m|ξ(1 − ξ 2 ) 2 cj ξ j + (1 − ξ 2 ) 2 +1 jcj ξ j−1 dξ j=0 j=0

  k k k X |m| X |m| |m| X 2 dΘ (1 − ξ ) = −|m|(1 − ξ 2 ) 2 cj ξ j + m2 ξ 2 (1 − ξ 2 ) 2 −1 cj ξ j − |m|ξ(1 − ξ 2 ) 2 jcj ξ j−1 dξ j=0 j=0 j=0 2

−(|m| + 2)ξ(1 − ξ )

|m| 2

k X j=0

46

jcj ξ

j−1

2

+ (1 − ξ )

|m| +1 2

k X j=0

j(j − 1)cj ξ j−2

d dξ

" k     2   2 X L2 |m| dΘ L m 2 2 2 (1 − ξ ) + Θ = (1 − ξ ) − − (|m| + j)(|m| + j + 1) cj ξ j 2 d−ξ ~2 1 − ξ2 ~ j=0 # k−2 X + (j + 2)(j + 1)cj+2 ξ j j=0

Ennek a kifejez´esnek az elt˝ un´es´eb˝ol j = k eset´en L2 = (|m| + k)(|m| + k + 1) ~2 k¨ovetkezik, vagy (l = |m| + k jel¨ol´essel, l ≥ |m|): L2 = l(l + 1)~2 Saj´atf¨ uggv´enyek: ψlm = (1 − ξ 2 )

|m| 2

Plm (ξ)e−imϕ

Plm (ξ): csatolt Legendre-polinom (l − |m| fok´ u). A saj´atf¨ uggv´eny meghat´aroz´asa m´as m´odszerrel: l = |m| eset´en k = 0, teh´at l

Θl,−l (ϑ) = (1 − ξ 2 ) 2 = sinl ϑ ´es ´ıgy ψl,−l (ϑ, ϕ) = sinl ϑe−ilϕ A t¨obbi saj´atf¨ uggv´eny: A felcser´el´esi rel´aci´ok szerint ˆz, L ˆ x ] = i~L ˆy [L ˆ z , iL ˆ y ] = ~L ˆx [L Emiatt ˆ z , (L ˆ x + iL ˆ y )] = ~(L ˆ x + iL ˆy) [L vagy ˆ z (L ˆ x + iL ˆ y ) − (L ˆ x + iL ˆ y )L ˆ z = ~(L ˆ x + iL ˆy) L Alkalmazva mindk´et oldalt a ψlm saj´atf¨ uggv´enyre: ˆ z (L ˆ x + iL ˆ y )ψlm − (L ˆ x + iL ˆ y )m~ψlm = ~(L ˆ x + iL ˆ y )ψlm L 47

Teh´at

    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Lz (Lx + iLy )ψlm = (m + 1)~ (Lx + iLy )ψlm

ˆ x + iL ˆ y felcser´elhet˝o L ˆ 2 -tel, teh´at M´asr´eszt L     2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L (Lx + iLy )ψlm = l(l + 1)~ (Lx + iLy )ψlm Ezek szerint ˆ x + iL ˆ y )ψlm ψl,m+1 ∝ (L ˆ+ = L ˆ x + iL ˆ y : l´eptet˝o oper´ator (emisszi´os oper´ator). Nem hermitikus! L   ∂ ∂ iϕ ˆ + = ~e + ictgϑ L ∂ϑ ∂ϕ Ezzel teh´at 

iϕ

ψlm = e



∂ ∂ + ictgϑ ∂ϑ ∂ϕ

m+l

sinl ϑe−ilϕ

A norm´alt saj´atf¨ uggv´enyek az u ´n. g¨ombf¨ uggv´enyek: Ylm = (−1)

m+|m| 2

l

i



2l + 1 (l − |m|)! 4π (l + |m|)!

1/2

|m|

sin|m| ϑPl (cos ϑ)eimϕ

vagy expliciten: s Ylm = (−i)l

1 dl−m 2l + 1 (l + m)! sin2l ϑeimϕ 4π (l − m)! 2l l! sinm ϑ (d cos ϑ)l−m ˆ z Ylm = m~Ylm L ˆ 2 Ylm = l(l + 1)~2 Ylm L

Z

2π

Z dϕ

0

π ∗ dϑ sin ϑ Ylm (ϑ, ϕ)Yl0 m0 (ϑ, ϕ) = δll0 δmm0

0

48

30. ´abra. Az l = 1 ´es l = 2 mell´ekkvantumsz´am´ u g¨ombf¨ uggv´enyek

49

3.1.5.

A rot´ ator

Forg´o molekul´ak sz´ınk´epe (rot´aci´os sz´ınk´ep). Mozg´o t¨omegpont energi´aja r = a´lland´o eset´en: Klasszikusan L2 = (r × p)2 = r 2 p2 − (rp)2 azaz L2 = r 2 p2 − r 2 p2r ´es ´ıgy H=

p2 L2 p2 = r + 2µ 2µ 2µr2

Kvantummechanikailag   2  ~2 ~2 ∂ 2 2 ∂ 1 ∂ 1 ∂2 pˆ2 ∂ ˆ =− 4=− + + + ctgϑ + H= 2µ 2µ 2µ ∂r2 r ∂r r2 ∂ϑ2 ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2 − ~2 − 2µr2



~2 4ψ(ϑ, ϕ) = Eψ(ϑ, ϕ) 2µ

∂ 2ψ ∂ψ 1 ∂ 2ψ + ctgϑ + ∂ϑ2 ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2

ˆ2 L ψ = Eψ , 2µr2

El =

 = Eψ

~2 l(l + 1) 2µr2

31. ´abra. A sz´enmonoxid (CO) ´es a s´osav (HCl) molekula rezg´esi ´es forg´asi spektruma (infrav¨or¨os abszorbci´os spektrum)

50

3.1.6.

Centr´ alis er˝ ot´ erben mozg´ o t¨ omegpont energia-saj´ at´ ert´ ekei ´ es saj´ atf¨ uggv´ enyei  2  pˆ + V (r) ψ = Eψ 2µ   2  ~2 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂2 2 ∂ ∂ − + + ψ + V (r)ψ = Eψ + + ctgϑ 2µ ∂r2 r ∂r r2 ∂ϑ2 ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2 ˆ felcser´elhet˝o L ˆ z -vel ´es L ˆ 2 -tel. A g¨ombszimmetria k¨ovetkezt´eben H ψ = Rl (r)Ylm (ϑ, ϕ) 2µ d2 R(r) 2 dR(r) l(l + 1) + − R(r) + 2 (E − V (r)) R(r) = 0 2 2 dr r dr r ~

3.1.7.

Merev fal´ u g¨ ombbe z´ art t¨ omegpont  0, ha r < a V (r) = +∞, ha r ≥ a

3.1.8.

H´ aromdimenzi´ os potenci´ alv¨ olgy  −V0 , ha r < a V (r) = 0, ha r ≥ a

3.1.9.

A hidrog´ enatom V (r) = −

qe2 4π0 r

K¨ot¨ott ´allapotok: E < 0 Atomi hosszegys´eg: ~ r0 = p 2µ|E| Dimenzi´otlan v´altoz´o ´es param´eter: ξ=2

r , r0

E=

µqe2 r0 4π0 ~2

A dimenzi´otlan´ıtott saj´at´ert´ek-egyenlet (id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger-egyenlet):   d2 R 2 dR 1 E l(l + 1) + + − + − R=0 dξ 2 ξ dξ 4 ξ ξ2 51

K¨ozel´ıt˝o megold´as nagy ξ-re: ξ

R = e− 2 K¨ozel´ıt˝o megold´as kis ξ-re: R = ξl Pontos megold´as: − 2ξ l

ξ

R=e

p X

cj ξ j

j=0

Behelyettes´ıtve: p X

j

(E − l − j − 1)cj ξ +

j=0

p−1 X

(j + 1)(2(l + 1) + j)cj+1 ξ j = 0

j=0

E =l+p+1 n = l + p + 1 jel¨ol´essel (p ≥ 0 miatt n ≥ l + 1) E=−

µqe4 1 2 2 2 2 32π 0 ~ n

´ Altal´ anos´ıtott Laguerre-polinomok.

52

4. 4.1. 4.1.1.

h´ et Fizikai ´ allapot ´ es dinamik´ aja. A Schr¨ odinger-egyenlet A dinamikai egyenlet     ˆ tˆ − tˆ −H ˆ = −i~ˆ1 −H ˆ = i~ ∂ H ∂t

tˆ = t , 2

ˆ = − ~ 4 + V (x, y, z) H 2µ Id˝ot˝ol f¨ ugg˝o Schr¨odinger-egyenlet: i~ 4.1.2.

∂ψ ˆ = Hψ ∂t

Az ´ allapotf¨ uggv´ eny fizikai jelent´ ese ~2 ∂ψ = − 4ψ + V (x, y, z)ψ i~ ∂t 2µ i~ψ ∗

~2 ∂ψ = − ψ ∗ 4ψ + V (x, y, z)ψ ∗ ψ ∂t 2µ

−i~ψ ∗ i~

∂ψ ~2 = − ψ4ψ ∗ + V (x, y, z)ψ ∗ ψ ∂t 2µ

~2 ∂ψ ∗ ψ = − (ψ ∗ 4ψ − ψ4ψ ∗ ) ∂t 2µ

ψ ∗ 4ψ − ψ4ψ ∗ = ψ ∗ ∇∇ψ − ψ∇∇ψ ∗ = ∇ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) Kontinuit´asi egyenlet:

∂ψ ∗ ψ +∇ ∂t



i~ [ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ] 2µ ρ = ψ∗ψ

j=

i~ [ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ] 2µ ∂ρ + ∇j = 0 ∂t

53

 =0

d − dt

I

Z ρdV =

jdf

V

F

ˆ k >= ok |ψk > O|ψ < ψj |ψk >= δjk X |ψ >= ck |ψk > k

Val´osz´ın˝ us´eg: wk = |ck |2 = | < ψk |ψ > |2 V´arhat´o ´ert´ek: ¯= O

X

wk ok =

ˆ > < ψ|ψk > ok < ψk |ψ >=< ψ|O|ψ

k

k

X

X

|ψk > ok < ψk |ψj >=

X

k

4.1.3.

|ψk > ok δjk = oj |ψj >

k

Stacion´ arius ´ allapotok ˆ j >= Ej |ψj > H|ψ X |ψ(t) >= cj (t)|ψj > j

i~

X

ˆ c˙j |ψj >= H

X

j

cj |ψj >=

j

X

cj Ej |ψj >

j

i~c˙j = Ej cj i

cj = cj (0)e− ~ Ej t X i |ψ(t) >= cj (0)e− ~ Ej t |ψj > j

Stacion´arius a´llapot: i

e− ~ Ej t |ψj > Stacion´arius a´llapotban a val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg ´alland´o: |ψ|2 = |ψj |2

54

4.1.4.

A Heisenberg-f´ ele hat´ arozatlans´ agi o ¨sszef¨ ugg´ esek

Nem felcser´elhet˝o oper´atoroknak nincs k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´eny-rendszere. (pl. koordin´ata ´es impulzus, impulzusmomentum x ´es y komponense) Sz´or´asn´egyzet:  2 X X

¯ 2= ¯ 2 < ψk |ψ >=< ψ| O ˆ−O ¯ |ψ > (∆O)2 = wk ok − O < ψ|ψk > ok − O k

k

h

i ˆ B ˆ = iCˆ A,

Aˆ0 = Aˆ − A¯ ˆ0 = B ˆ −B ¯ B h i ˆ 0 = iCˆ Aˆ0 , B (∆A)2 =< ψ|Aˆ02 |ψ >=< ψa |ψa > |ψa >= Aˆ0 |ψ > ˆ 02 |ψ >=< ψb |ψb > (∆B)2 =< ψ|B ˆ 0 |ψ > |ψb >= B Cauchy-Schwartz-Bunyakovszkij-f´ele egyenl˝otlens´eg: < ψa |ψa >< ψb |ψb > ≥ |< ψa |ψb >|2 ˆ 0 |ψ >< ψ|B ˆ 0 Aˆ0 |ψ > |< ψa |ψb >|2 =< ψa |ψb >< ψb |ψa >=< ψ|Aˆ0 B 1  ˆ0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ0   ˆ0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ0  0 ˆ0 ˆ AB +BA + AB −BA AB = 2 1  ˆ0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ0   ˆ0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ0  0 ˆ0 ˆ BA = AB +BA − AB −BA 2  2  2  1  2 1  0 ˆ0 0 ˆ0 0 ˆ0 0 ˆ0 0 ˆ0 0 ˆ0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ > < ψ|A B |ψ >< ψ|B A |ψ >= ≥ < ψ|A B + B A |ψ > − < ψ|A B − B A |ψ > < ψ|C|ψ 4 4 V´eg¨ ul teh´at 1 ∆A∆B ≥ C¯ 2 Mivel [ˆ x, pˆx ] = i~ˆ1 55

~ 2 Heisenberg gondolatk´ıs´erlete: a mikroszk´op felbont´asa a haszn´alt f´eny hull´amhossz´anak nagys´agrendj´ebe esik, pontosabban  ny´ıl´assz¨og˝ u f´enynyal´ab eset´en ∆x∆px ≥

∆x =

λ 2 sin 2

Ekkor azonban a m´ert r´eszecsk´en sz´or´od´o foton  h ≈ 2 sin λ 2 nagys´ag´ u impulzust ad a´t a r´eszecsk´enek, ekkora lesz teh´at ∆px . Ezzel ∆x∆px ≈ h Az energia-id˝o hat´arozatlans´agi rel´aci´o. ∆t∆E ≥

~ 2

Bohr-Einstein-vita.

32. ´abra. Albert Einstein ´es Niels Bohr a br¨ usszeli Solvay konferenci´an

56

Gondolatk´ıs´erlet a dobozba z´art sug´arz´assal.

33. ´abra. Az energia ´es id˝o k¨oz¨otti hat´arozatlans´agi rel´aci´o megker¨ ul´es´ere” Einstein ´altal javasolt ” szerkezet (Bohr rajza) A mutat´o helyzet´enek ∆x pontoss´ag´ u meghat´aroz´asa ∆p ≥

~ 2∆x

m´ert´ek˝ u pontatlans´agot okoz a doboz impulzus´aban. Ha a m´erlegel´es id˝otartama T , akkor a dobozra hat´o er˝oben ez ~ ∆p ≥ ∆F = T 2T ∆x pontatlans´aghoz vezet. Emiatt a t¨omeg m´er´ese legfeljebb olyan ∆m pontoss´ag´ u lehet, melyre ∆mg = ∆F , azaz ∆m ≥

~ 2gT ∆x

Az energia bizonytalans´aga ezzel ∆E = ∆mc2 ≥

~c2 2gT ∆x

M´asr´eszr˝ol azonban az a´ltal´anos relativit´aselm´elet szerint ∆x nagys´ag´ u elmozdul´as g neh´ezs´egi gyorsul´ashoz tartoz´o gravit´aci´os t´erben T id˝o alatt az o´ra olyan ∆T nagys´ag´ u siet´es´ehez (vagy k´es´es´ehez, az elmozdul´as ir´any´at´ol f¨ ugg˝oen) vezet, melyre ∆T =

g∆x T . c2 57

Emiatt a hely m´er´es´enek hib´aja ´es a m´er´es v´eges id˝otartama az id˝o m´er´es´eben hib´ahoz vezet. Az el˝oz˝o k´et o¨sszef¨ ugg´esb˝ol ∆x -et kik¨ usz¨ob¨olve kapjuk, hogy ∆E ≥

~ , 2∆T

o¨sszhangban az energia ´es id˝o k¨oz¨otti hat´arozatlans´agi rel´aci´oval. 4.1.5.

A fizikai mennyis´ egek k¨ oz´ ep´ ert´ ek´ enek id˝ obeli v´ altoz´ asa. Az Ehrenfest-t´ etel     ˆ d ¯ d ˆ >= d < ψ| O|ψ ˆ d |ψ > ˆ > + < ψ| ∂ O |ψ > + < ψ|O O= < ψ|O|ψ dt dt dt ∂t dt

ˆ ˆ i d ¯ ˆ O|ψ ˆ > + < ψ| ∂ O |ψ > − i < ψ|O ˆ H|ψ ˆ >=< ψ| ∂ O |ψ > + i < ψ|[H, ˆ O]|ψ ˆ O = < ψ|H > dt ~ ∂t ~ ∂t ~ A koordin´at´ara ´es az impulzusra alkalmazva: d i ˆ rˆ]|ψ > r¯ = < ψ|[H, dt ~ d i ˆ p]|ψ p¯ = < ψ|[H, ˆ > dt ~ Ha

2 ˆ = pˆ + V (ˆ H r) 2µ

ˆ rˆ] = [H,

1 2 i~ [ˆ p , rˆ] = − pˆ 2µ µ

´es ˆ p] [H, ˆ = [V (ˆ r ), p] ˆ = i~∇V (ˆ r ) ≡ −i~F (ˆ r) ezzel

d < ψ|p|ψ ˆ > r¯ = dt µ d p¯ =< ψ|F (ˆ r )|ψ > dt

58

4.1.6.

Szabad t¨ omegpont mozg´ as´ anak kvantummechanikai le´ır´ asa

´Irjuk fel a ~2 ~ ∂ψ − 4ψ = 0 i ∂t 2µ Schr¨odinger-egyenlet megold´as´at n´egydimenzi´os Fourier-integr´al alakj´aban (az ´altal´anoss´agot ez nem csorb´ıtja)! Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ ˜ k)e−iωt+ikr dkz ψ(ω, dky dkx dω ψ= −∞

Az egyenletbe behelyettes´ıtve Z ∞ Z ∞ Z dω dkx −∞

−∞

−∞

−∞

−∞

∞

Z

∞

dky

−∞

 dkz

−∞

~2 k 2 −~ω + 2µ



˜ k) = 0 ψ(ω,

Ez csak u ´gy teljes¨ ulhet, ha   2 2 ~ k ˜ k) ∝ δ −~ω + ψ(ω, 2µ (az ar´anyoss´agi t´enyez˝o k f¨ uggv´enye lehet) ez´ert az a´ltal´anos megold´as   Z ∞ Z ∞ Z ∞ ~k 2 t ψ= dkx dky dkz f (k) exp −i + ikr 2µ −∞ −∞ −∞ Ez s´ıkhull´amok szuperpoz´ıci´oja. E = ~ω =

~2 k 2 p2 = 2µ 2µ

Dirac-delt´ara norm´alt s´ıkhull´amok (ezek egyben stacion´arius a´llapotok, energia- ´es impulzus-saj´at´allapotok is) koordin´atareprezent´aci´oban:   p2 t pr 1 ψp (r) = −i +i 3 exp 2µ~ ~ (2π~) 2 Val´oban, pψ ˆ p (r) = −i~∇ψp (r) = pψp (r) Tov´abb´a

Z

∞

dxeik x = 2πδ(k) ,

−∞

59

miatt

Z

d3 rψp (r)ψp0 (r) = δ 3 (p − p0 )

Itt δ 3 (p) = δ(px )δ(py )δ(pz ). Matematikai kit´er˝o: Legyen f (x) val´os f¨ uggv´eny, melyre Z

∞

dxf (x) = 1 −∞

Ekkor

1 x f a→0 |a| a

δ(x) = lim

B´armely Dirac-delt´ara vonatkoz´o azonoss´agot ennek az ¨osszef¨ ugg´esnek az alapj´an lehet elv´egezni. P´elda: √ Z ∞ Z ∞ Z ∞ 2 2 2 π − k2 −a2 (x−i k2 ) − k 2 ik x ik x −a2 x2 2a 4a = lim e 4a dxe = lim dxe e dxe = 2πδ(k) = lim a→0 a→0 −∞ a→0 −∞ |a| −∞ A hull´amf¨ uggv´eny impulzusreprezent´aci´oban: Z ψ(p, t) =< ψp |ψ >= ezzel ψ(r) =

3

d

rψp∗ (r)ψ(r)

Z

1 3

(2π~) 2

 =

2π ~

 32 f

p2 t exp −i ~ 2µ~

p





  pr p2 t +i d pψ(p, 0) exp −i 2µ~ ~ 3

Interferencia. 4.1.7.

A kvantummechanika kapcsolata a klasszikus mechanik´ aval

~ ∂ψ ˆ =0 + Hψ i ∂t 2 ˆ = − ~ 4 + V (x, y, z) H 2µ Klasszikus hat´areset: az a t´avols´ag, amin a potenci´al ´eszrevehet˝oen megv´altozik, sokkal nagyobb a hull´amhosszn´al (v.¨o. geometriai optika, eikon´al-egyenlet) ψ = A(x, y, z, t)ei 60

S(x,y,z,t) ~

Itt A ´es S val´os f¨ uggv´enyek (amplitud´o ´es f´azis). A

A ~ ~ ~2 ∂S ~ ∂A + + (∇S)2 + A4S + ∇S∇A − 4A + V A = 0 ∂t i ∂t 2µ 2iµ iµ 2µ

A val´os ´es k´epzetes r´eszeket sz´etv´alasztva: ∂S 1 ~2 + (∇S)2 − 4A + V = 0 ∂t 2µ 2µA ∂A 1 1 + A4S + ∇S∇A = 0 ∂t 2µ µ ~ → 0 eset´en a Hamilton-Jacobi-egyenletet kapjuk. A hull´ amf¨ uggv´ eny sz´ etfoly´ asa Szabad mozg´ast v´egz˝o r´eszecske:   Z p2 t pr 1 3 d pψ(p, 0) exp −i +i ψ(r, t) = 3 2µ~ ~ (2π~) 2 Legyen   µvr r2 ψ(r, 0) = . − 2 +i 3 exp 4σ ~ (2πσ 2 ) 4 1

Ekkor ψ(p, 0) =

Z

1 3

(2π~) 2

pr  d rψ(r, 0) exp −i = ~ 

3



2σ 2 π~2

 43

σ 2 (p − µv)2 exp − ~2 



´es  ψ(r, t) =

2π σ +

i~t 2µσ

2 !− 34

 

2iσ 2 µv ~

 r− exp −  4 σ2 +

i~t 2µ

2  −

 σ 2 µ2 v 2   ~2

Kaotikus rendszerek a klasszikus mechanik´aban: kett˝os inga, Szinaj-bili´ard, l¨okd¨os¨ott rot´ator

61

5.

h´ et

5.1.

Az elektronspin nemrelativisztikus elm´ elete

ˆ p´alya-pulzusmomentum A saj´at impulzusmomentummal is rendelkez˝o elektron teljes impulzusmomentuma az L ˆ spinmomentum o¨sszege. ´es az S 5.1.1.

Az impulzusmomentum saj´ at´ ert´ ekprobl´ em´ aj´ anak algebrai megold´ asa h i Jˆk , Jˆl = i~klm Jˆm h i 2 ˆ ˆ Jk , J = 0 , Jˆ2 = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2

Legyenek a |j, mi norm´alt a´llapotok Jˆz ´es Jˆ2 k¨oz¨os saj´at´allapotai. Jˆz | j, mi = Jz (m) |j, mi Jˆ2 | j, mi = J 2 (j) | j, mi Legyen Jˆ+ = Jˆx + iJˆy ´es Jˆ− = Jˆ+† = Jˆx − iJˆy h h

i Jˆ+ , Jˆ2 = 0 ,

h i Jˆ− , Jˆ2 = 0

i h i h i Jˆ+ , Jˆz = Jˆx , Jˆz + i Jˆy , Jˆz = −i~Jˆy − ~Jˆx = −~Jˆ+ Jˆ+ Jˆz − Jˆz Jˆ+ = −~Jˆ+ ,

Jˆz Jˆ+ = Jˆ+ Jˆz + ~Jˆ+

Jˆz Jˆ+ |j, mi = Jˆ+ Jˆz |j, mi + ~Jˆ+ | j, mi = (Jz (m) + ~) Jˆ+ |j, mi Jˆz Jˆ− = Jˆ− Jˆz − ~Jˆ− ,

Jˆz Jˆ− |j, mi = (Jz (m) − ~) Jˆ− | j, mi Ha Jˆ+ |j, mi nem nulla, akkor Jz (m) + ~ is saj´at´ert´eke Jˆz -nek, ha pedig Jˆ− |j, mi nem nulla, akkor Jz (m) − ~ is saj´at´ert´eke Jˆz -nek. Azonban h ψ| (Jˆ2 − Jˆz2 ) |ψi = h ψ| (Jˆx2 + Jˆy2 ) |ψi ≥ 0 62

ez´ert |ψi = | j, mi eset´en J 2 (j) ≥ Jz (m)2 Emiatt valamilyen m = mmax eset´en Jˆ+ | j, mmax i = 0 Hogyan lehets´eges ez? 2 ˆ † J+ |j, mi = h j, m| Jˆ+ Jˆ+ | j, mi = h j, m| Jˆ− Jˆ+ |j, mi      = h j, m| Jˆx − iJˆy Jˆx + iJˆy | j, mi = h j, m| Jˆx2 + Jˆy2 + i(Jˆx Jˆy − Jˆx Jˆy ) |j, mi   = h j, m| Jˆ2 − Jˆz2 − ~Jˆz | j, mi = J 2 (j) − Jz2 (m) − ~Jz (m) Teh´at Jˆ+ | j, mmax i = 0 ⇒ J 2 (j) − Jz2 (mmax ) − ~Jz (mmax ) = 0 Jz (mmax ) mellett saj´at´ert´ekek Jz (mmax ) − ~, Jz (mmax ) − 2~, Jz (mmax ) − 3~ stb., a hozz´ajuk tartoz´o Jˆ− |j, mmax >, Jˆ−2 |j, mmax >, Jˆ−3 |j, mmax > stb. saj´at´allapotokkal. Valamilyen k eg´esz sz´amra azonban Jˆ− Jˆk |j, mmax i = 0 −

kell hogy legyen, mert k¨ ul¨onben Jˆz -nek tetsz˝olegesen nagy abszol´ ut ´ert´ek˝ u saj´at´ert´ekei lenn´enek. 2 ˆ † J− |j, mi = h j, m| Jˆ− Jˆ− |j, mi = hj, m| Jˆ+ Jˆ− |j, mi      2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = hj, m| Jx + iJy Jx − iJy |j, mi = hj, m| Jx + Jy − i(Jx Jy − Jx Jy ) |j, mi   = h j, m| Jˆ2 − Jˆz2 + ~Jˆz |j, mi = J 2 (j) − Jz2 (m) + ~Jz (m) Teh´at Jˆ− Jˆ−k |j, mmax i = 0 ⇒ J 2 (j) − (Jz (mmax ) − k~)2 + ~ (Jz (mmax ) − k~) = 0 Az el˝obbi egyenlettel o¨sszevetve k~ 2   k k 2 J (j) = + 1 ~2 2 2 Jz (mmax ) =

´es

valamint Jz (m) = m~ , Jˆ2 saj´at´allapotainak j index´et szok´asosan a

k 2

k k k m = − , − + 1, ..., 2 2 2 sz´ammal azonos´ıtjuk. 63

5.1.2.

Az elektronspin oper´ atora ´ es saj´ at´ ert´ ek-egyenlete   ~ 0 1 ˆ Sx = 2 1 0   ~ 0 −i ˆ Sy = i 0 2   ~ 1 0 ˆ Sz = 2 0 −1   ~2 3 0 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S = Sx + Sy + Sz = 0 3 4        ~ 1 ~ 1 0 1 1 ˆ Sz = = 0 0 2 0 −1 2 0        ~ 1 0 ~ 0 0 0 ˆ Sz = =− 1 1 2 0 −1 2 1         2 2 ~ 3~ 1 3 0 1 1 2 Sˆ = = 0 0 3 0 0 4 4        2 2 ~ 3~ 0 3 0 0 0 2 Sˆ = = 1 0 3 1 1 4 4 1 3~2 = ~2 s(s + 1) , s = 4 2    1 1 1 , 2 2 = 0    1 1 0 ,− 2 2 = 1   0 1 ˆ ˆ ˆ S+ = Sx + iSy = ~ 0 0   0 0 ˆ ˆ ˆ S− = Sx − iSy = ~ 1 0     1 1 0 1 1 ˆ =~ =0 S+ , 0 0 0 2 2 64

       1 1 1 1 0 1 0 1 =~ =~ = ~ , Sˆ+ , − 0 0 1 0 2 2 2 2        1 1 1 1 0 0 1 0 =~ =~ = ~ , − Sˆ− , 1 0 0 1 2 2 2 2     1 1 0 0 0 ˆ S− , − =~ =0 1 0 1 2 2 Az elektron anom´alis m´agneses momentuma: MS = −

qe S µe

MzS = ±

qe ~ 2µe

A z komponens saj´at´ert´ekei

A teljes m´agneses momentum Mz = MzL + MzS = − 5.1.3.

qe (m + 2sz ) 2µe

Impulzusnyomat´ ekok o ¨sszead´ asa: a teljes impulzusnyomat´ ek ˆ+S ˆ Jˆ = L

ˆ ´es S ˆ k¨ L ul¨onb¨oz˝o Hilbert-t´eren hatnak, ez´ert egym´assal felcser´elhet˝ok. i h Jˆk , Jˆl = i~klm Jˆm h i Jˆk , Jˆ2 = 0 ,

 2 ˆ 2 + Sˆ2 + L ˆ + Sˆ− + L ˆ − Sˆ+ ˆ+S ˆ =L Jˆ2 = L h i ˆ ˆ ˆm Lk , Ll = i~klm L h i ˆk, L ˆ2 = 0 L h i Sˆk , Sˆl = i~klm Sˆm h i Sˆk , Sˆ2 = 0 65

Egym´assal k¨olcs¨on¨osen felcser´elhet˝o oper´atorok: ˆ z , Sˆz , L ˆ 2 , Sˆ2 Jˆz , L vagy ˆ 2 , Sˆ2 Jˆz , Jˆ2 , L Mindk´et oper´atorhalmaz saj´at´allapotai ugyanazt a Hilbert-teret fesz´ıtik ki. Az els˝o esetben a k¨oz¨os saj´at´allapot-rendszer | l, m, s, sz i = |l, mi ⊗ | s, sz i Ekkor ˆ 2 |l, m, s, sz i = l(l + 1)~2 |l, m, s, sz i L ˆ z | l, m, s, sz i = m~ |J, M, l, si L Sˆ2 |l, m, s, sz i = s(s + 1)~2 | l, m, s, sz i Sˆz | l, m, s, sz i = sz ~ |J, M, l, si V´eg¨ ul Jˆz saj´at´ert´eke M ~, ahol M = m + sz A p´alyamomentum eset´en koordin´atareprezent´aci´ot, a spinmomentum eset´en impulzusmomentumreprezent´aci´ot haszn´alva:    1 1 Y (ϑ, ϕ) lm l, m, , = 0 2 2 A m´asodik esetben a saj´at´allapotok |J, M, l, si ami azt jelenti, hogy Jˆ2 |J, M, l, si = J(J + 1)~2 | J, M, l, si Jˆz | J, M, l, si = M ~ | J, M, l, si ˆ 2 |J, M, l, si = l(l + 1)~2 |J, M, l, si L Sˆ2 | J, M, l, si = s(s + 1)~2 | J, M, l, si Adott l ´es s eset´eben mi lehet J ´ert´eke? Ha M = −l − s: | l, −l, s, −si = |J, −J, l, si ,

J =l+s

Ha M = −l − s + 1: | l, −l + 1, s, −si ´es |l, −l, s, −s + 1i 66

ugyanazt az alteret fesz´ıtik ki, mint |J, −J + 1, l, si , ahol J = l + s ´es |J, −J, l, si , ahol J = l + s − 1 Ahogy M -et n¨ovelj¨ uk, a lehets´eges saj´at´allapotok sz´ama mindaddig n¨ovekszik, m´ıg M + l + s < 2min(l, s). Minden u ´jabb a´llapot u ´jabb lehets´eges J ´ert´eket jelent. A legkisebb lehets´eges J ezek szerint Jmin = l + s − 2min(l, s) = |l − s| teh´at J lehets´eges ´ert´ekei J = |l − s|, |l − s| + 1, ..., l + s Val´oban, az ´allapotok teljes sz´ama l+s X

(2J + 1) = (2l + 1)(2s + 1)

J=|l−s|

5.1.4.

Az elektrom´ agneses t´ erben mozg´ o elektron Hamilton-oper´ atora

E elektromos ´es B m´agneses t´erben mozg´o klasszikus t¨omegpontra a F = q(E + v × B) Lorentz-er˝o hat. Ha bevezetj¨ uk az A vektorpotenci´alt ´es a φ skal´arpotenci´alt a B =∇×A ´es

∂A ∂t o¨sszef¨ ugg´esekkel, akkor a Hamilton-f¨ uggv´eny (az energia a koordin´at´akkal ´es impulzusokkal kifejezve) E = −∇φ −

H=

(p − qA)2 + qφ 2µ

Ennek mint´aj´ara a kvantummechanik´aban  ˆ = H

2 ˆ pˆ − q A 2µ

67

+ q φˆ

M´ert´ektranszform´aci´o:

∂ξ ∂t T¨olt¨ott r´eszecsk´enek az elektrom´agneses t´errel val´o k¨olcs¨onhat´asa a m´ert´ekelm´eletek (v.¨o. standard modell) a´ltal´anos s´em´aja szerint is sz´armaztathat´o: A → A + ∇ξ ,

φ → φ−

• Adott egy anyagi rendszer egzakt glob´alis szimmetri´aja. Jelen esetben ez a szimmetria a komplex hull´amf¨ uggv´eny f´azis´anak tetsz˝oleges megv´alaszt´as´at jelenti. ψ → ψeiδ • A glob´alis szimmetria lok´aliss´a tehet˝o (most δ = δ(r, t)), ha a deriv´altakat m´ert´ekterek bevezet´es´evel kovari´anss´a tessz¨ uk. A f´azis deriv´altj´at a m´ert´ekt´er m´ert´ektranszform´aci´oja kompenz´alja. Jelen esetben a m´ert´ekt´er a n´egyespotenci´al (a skal´arpotenci´al ´es a vektorpotenci´al). ∇ → ∇ + QA ,

∂ ∂ = − Qφ ∂t ∂t

(Itt Q = −iq/~ a q t¨olt´essel ar´anyos mennyis´eg.) (∇ + QA) ψeiδ(r,t) = (∇ψ) eiδ(r,t) + ψeiδ(r,t) i∇δ(r, t) + QAψeiδ(r,t)     i = ∇ψ + Q A + ∇δ(r, t) ψ eiδ(r,t) Q • A m´ert´ekt´er fizikai mez˝o. A lok´alis szimmetria k¨ovetelm´enye teh´at egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a m´ert´ekt´errel val´o k¨olcs¨onhat´ast. A vagy B a fizikailag l´etez˝o mez˝o? Az Aharonov-Bohm-effektus. Interferencia k´et r´esen: • Elektrom´agneses t´er n´elk¨ ul az interfer´al´o hull´amok legyenek ψ1 ill. ψ2 . K¨ozel´ıthetj¨ uk ezeket pl. s´ıkhull´ammal: ψ1 = eik1 r ψ2 = eik2 r ahol k1 ´es k2 nagys´aga azonos, ir´anya k¨ ul¨onb¨oz˝o. • Bekapcsoljuk a m´agneses teret. Tegy¨ uk fel, hogy a t¨olt¨ott r´eszecske a t´er nem egyszeresen o¨sszef¨ ugg˝o tartom´any´aban mozoghat u ´gy, hogy ott a m´agneses indukci´o nulla. A k¨ozbez´art tartom´anyokban van m´agneses indukci´o, ez´ert egy ilyen tartom´any k¨or¨ ul integr´alva I Z Z Ads = ∇ × A df = Bdf 6= 0 Ez ´eppen a m´agneses fluxus. 68

  R   R r r • M´agneses t´er jelenl´et´eben ψ1 exp i ~q r0 Ads ill. ψ2 exp i ~q r0 Ads lesznek a megold´as. A hull´amok f´azisk¨ ul¨onbs´ege I q Ads ~ ´ert´ekkel megv´altozik. Ahol B null´at´ol k¨ ul¨onb¨ozik, ott a r´eszecske megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´ege nulla. A m´agneses t´er jelenl´ete m´egis m´erhet˝o v´altoz´ast okoz. Fluxuskvant´al´as szupravezet˝o gy˝ ur˝ uben: a szupravezet˝o belsej´eben mind az elektromos, mind a m´agneses t´er nulla. Emiatt a m´agneses t´er bekapcsol´asakor a f´azisk¨ ul¨onbs´egek csak 2π eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨os´evel v´altozhatnak: I q Ads = 2nπ ~ (q = −2qe a Cooper-p´arok t¨olt´ese) Fluxuskvantum: Φ0 =

69

h 2qe

5.1.5.

Az elektron ´ allapotegyenlete. A Pauli-egyenlet q2 2 ˆ = 1 pˆ2 − q (pA H ˆ + Ap) ˆ + A + q φˆ 2µ 2µ 2µ pA ˆ − Apˆ = −i~∇A

Homog´en m´agneses t´erben 1 A= B×r 2 ´ırhat´o. Ekkor ∇A = 0 ´es q2 ˆ = 1 pˆ2 − q B (r × p) H ˆ + (B × r)2 + q φˆ 2µ 2µ 8µ 2 ˆ = 1 pˆ2 − q B L ˆ + q (B × r)2 + q φˆ H 2µ 2µ 8µ 2 ˆ = 1 pˆ2 − B M ˆ L + q (B × r)2 + q φˆ H 2µ 8µ

A spinnel kapcsolatos m´agneses nyomat´ekkal egy¨ utt:   q2 1 2 L S ˆ ˆ ˆ H= pˆ − B M + M + (B × r)2 + q φˆ 2µ 8µ azaz   q2 q 1 2 ˆ ˆ ˆ pˆ − B L + 2S + (B × r)2 + q φˆ H= 2µ 2µ 8µ Pauli-egyenlet:   ~ ∂Ψ ~2 q q2 ˆ =0 ˆ ˆ − 4Ψ − B L + 2S Ψ + (B × r)2 Ψ + q φΨ i ∂t 2µ 2µ 8µ

70

Spin-p´alya k¨olcs¨onhat´as: Esp = M S (v × E) E = −∇φ = − Esp = −

r dφ r dr

1 dφ S 1 dφ S M (v × r) = M L µr dr µr dr MS =

q S µ

Esp =

q dφ ˆ ˆ SL µ2 r dr

Esp =

q dφ ˆ ˆ SL 2µ2 r dr

Helyesen (ld. Dirac-egyenlet):

  2 ˆ =− ~ 4− q B L ˆ + 2S ˆ + q dφ S ˆL ˆ + q (B × r)2 + q φˆ H 2µ 2µ 2µ2 r dr 8µ

71

6. 6.1.

h´ et ¨ oz´ Utk¨ esek elm´ elete

A k¨olcs¨onhat´asokra vonatkoz´o tud´asunk jelent˝os r´eszben az egym´assal u ¨tk¨oz˝o r´eszecsk´ek tanulm´anyoz´as´ab´ol ered. A sz´or´od´o r´eszek sz´ama ´es sz¨og szerinti eloszl´asa alapj´an nagy pontoss´aggal ellen˝orizhet˝ok a k¨olcs¨onhat´asra tett feltev´esek. Rutherford-sz´or´as R´eszecskegyors´ıt´ok

34. ´abra. CERN, a LEP (Large Electron-Positron collider) mad´art´avlatb´ol.

35. ´abra. CERN, LEP. A gyors´ıt´ocs˝o alag´ utja.

72

6.1.1.

A hat´ askeresztmetszet

6.1.2.

A parci´ alis hull´ amok m´ odszere

6.1.3.

A kisenergi´ aj´ u r´ eszecsk´ ek sz´ or´ od´ asa

6.1.4.

A Born-k¨ ozel´ıt´ es

Az E energi´aj´ u potenci´alsz´or´ast le´ır´o Schr¨odinger-egyenlet: 4ψ + A k2 =

2µE ~2

´es U (r) =

2µV (r) ~2

2µ (E − V (r)) ψ = 0 ~2

jel¨ol´esekkel:
4ψ + k 2 − U (r) ψ = 0

Nagy energi´an a potenci´alis energia kicsi a teljes energi´ahoz k´epest, ez´ert U (r) hat´as´at kis korrekci´onak tekintj¨ uk. A korrekci´ok nagys´agrendj´enek sz´amon tart´as´ara bevezetj¨ uk a λ param´etert (v¨o. perturb´aci´osz´am´ıt´as):
4ψ + k 2 − λU (r) ψ = 0 ψ = eikz + λψ1 + λ2 ψ2 + ... Felt´etelezz¨ uk, hogy az egyenletnek λ-ban analitikus megold´asa l´etezik, ha λ ∈ [0, 1]. A fizikai megold´ast λ = 1 helyettes´ıt´essel kapjuk. λ hatv´anyait ¨osszegy˝ ujtve ad´odik, hogy

 
 4 + k 2 eikz + λ 4 + k 2 ψ1 − U (r)eikz + λ2 4 + k 2 ψ2 − U (r)ψ1 + ... λ0 egy¨ utthat´oja:
4 + k 2 eikz = 0 , ami teljes¨ ul. λ1 egy¨ utthat´oja:
4 + k 2 ψ1 = U (r)eikz Ez a ψ1 f¨ uggv´enyre vonatkoz´o Helmholtz-egyenlet. A v´egtelenben elt˝ un˝o megold´asa: Z ik|r−r 0 | 1 0 3 0e dr U (r0 )eikz ψ1 = − 0 4π |r − r | Helyezz¨ uk az orig´ot a sz´or´ocentrumba! Felt´eve, hogy a potenci´al r¨ovid hat´ot´avols´ag´ u, az integr´alhoz csak az a tartom´any ad l´enyeges j´arul´ekot, ahol |r 0 |  |r| 73

Ekkor viszont |r − r 0 | ≈ r −

rr 0 r

´es   0 eikr rr 0 eik|r−r | ≈ exp ik |r − r 0 | r r M´asr´eszt kz 0 = kr 0 rr 0 k = k0 r 0 r ´ıgy 1 eikr ψ1 = − 4π r

Z

d3 r 0 exp (i(k − k)r 0 ) U (r0 )

6.1.5.

Rezonancia-jelens´ egek a r´ eszecsk´ ek u ¨ tk¨ oz´ es´ en´ el

6.1.6.

Alag´ ut-jelens´ eg

74

7. 7.1.

h´ et Perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as

Az id˝of¨ ugg˝o vagy id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger-egyenlet gyakran nem oldhat´o meg egzakt, analitikus form´aban. Emiatt nagy jelent˝os´ege van a k¨ozel´ıt˝o ill. numerikus megold´asi m´odszereknek. Az egyik legelterjedtebb ´es legt¨obbsz¨or alkalmazott k¨ozel´ıt˝o megold´asi elj´ar´as a perturb´aci´osz´am´ıt´as ( per” turb´aci´o”=”kis zavar”). Ilyenkor a megoldand´o feladat megold´as´at valamilyen - lehet˝oleg att´ol csak kev´ess´e k¨ ul¨onb¨oz˝o - m´asik, egzaktul megoldhat´o probl´ema ismert megold´as´ab´ol kiindulva keress¨ uk. Ez a m´odszer sokszor hat´ekony, ha az ismert kiindul´asi feladat ´es a megoldand´o feladat megold´asai hasonl´o jelleg˝ uek. (M´as esetekben el˝ofordul viszont, hogy a megold´asok jellege alapvet˝oen elt´er. Emiatt nem lehet pl. a k¨olcs¨onhat´as perturbat´ıv figyelembev´etel´evel eljutni a szabad elektronok probl´em´aj´anak megold´as´at´ol a szupravezet´es jelens´eg´eig.) 7.1.1.

Id˝ of¨ uggetlen perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as

ˆ (0) Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ek-probl´em´aj´anak teljes megold´as´at, Tegy¨ uk fel pl., hogy ismerj¨ uk a H azaz a   ˆ (0) φ(0) H = En(0) φ(0) n n E (0) (0) ˆ =H ˆ (0) + saj´at´allapotokat. Keress¨ uk a H saj´at´ert´ek-egyenletet kiel´eg´ıt˝o En saj´at´ert´ekeket ´es φn ˆ (1) Hamilton-oper´ator En saj´at´ert´ekeit ´es |φn i saj´at´allapotait. Bevezetj¨ H uk az  perturb´aci´os pa(0) (1) ˆ ˆ ˆ ram´etert ´es felt´etelezz¨ uk, hogy a H() = H +H Hamilton-oper´ ator saj´at´ert´ekei ´es saj´atf¨ uggv´enyei E (0) (0) -ban analitikus m´odon mennek ´at En -b´ol En -be ill. φn -b´ol | φn i -be, ha  0-t´ol 1-ig v´altozik ˆ = 0) = H ˆ (0) ´es H( ˆ = 1) = H). ˆ Ekkor a (l´athat´oan H( ˆ |φn ()i = En () | φn ()i H() saj´at´ert´ek-egyenlet mindk´et oldal´at az  perturb´aci´os param´eter szerint Taylor-sorba fejtj¨ uk ´es a sorfejt´es egyes rendjeiben a saj´at´ert´ek ´es a saj´at´allapot sorfejt´esi egy¨ utthat´oira ad´od´o egyenleteket sorra megoldjuk. Ezzel megkapjuk En ()-t ´es | φn ()i-t  szerinti Taylor-sor form´aj´aban, melybe  = 1-et helyettes´ıtve kapjuk az eredeti saj´at´ert´ek-feladat megold´as´at. Ha a teljes Taylor-sort siker¨ ul meghat´arozni, ´es az konvergens az  = 1 helyen, akkor a megold´as egzakt. Gyakorlatban t¨obbnyire a sor egyes rendjeit vagy egyes tagok j´arul´ekainak teljes sor´at lehet meghat´arozni, ez´ert a perturb´aci´osz´am´ıt´as k¨ozel´ıt˝o m´odszer. A fent le´ırtak alapj´an kisz´am´ıtjuk a saj´at´ert´ekek ´es a saj´at´allapotok k´et els˝o korrekci´oj´at. En () =

∞ X

En(j) j = En(0) + En(1)  + En(2) 2 + ...

j=0

75

| φn ()i =

∞ X

   (0)  + ... + 2 φ(2) = φn +  φ(1) j φ(j) n n n

j=0



ˆ (0) + H ˆ (1) H

   

  
φ(0) +  φ(1) + 2 φ(2) + ... = En(0) + En(1)  + En(2) 2 + ... φ(0) +  φ(1) + 2 φ(2) + ... n n n n n n

Nulladrend:   ˆ (0) φ(0) H = En(0) φ(0) n n Els˝o rend:   
ˆ (1) φ(0) −H = En(1) φ(0) H (0) − En(0) φ(1) n n n M´asodrend:
    (2) (0) (1) (1) (1) (1) ˆ H (0) − En(0) φ(2) = E φ + E φ − H φn n n n n n k-adrend:
 H (0) − En(0) φ(k) = ( alacsonyabb (0, 1, .., k-1) rend˝ u j´arul´ekok) n A nulladrend megold´as´at feltev´es szerint ismerj¨ uk. Tegy¨ uk fel, hogy csak k¨ot¨ott ´allapotok vannak ´es azok 1-re norm´altak:

(0) (0)  φn φn = 1 Az els˝o rend megold´asa: • Az egyenletet balr´ol ´ert´ek´et:

D



(0) φn -lal

(1)

szorozva a baloldalon null´at kapunk. Ez meghat´arozza En (1) (0) 

ˆ φn H En(1) = φ(0) n

D



(0) φj -lal

• Az egyenletet balr´ol D E (0) (1) a φj φn vet¨ uletet:

(0)

szorozzuk (j 6= n). Felt´eve, hogy Ej D

D

 (0) φj φ(1) =− n

(0)

6= En , ebb˝ol megkapjuk

E (0) ˆ (1) (0) φj H φn (0)

(0)

Ej − En

E (1) • A vet¨ uletet az egyenlet nem hat´arozza meg (ez a hat´arozatlans´ag a norm´al´asi φn t´enyez˝o tetsz˝oleges volt´anak k¨ovetkezm´enye), ezt null´anak v´alasztjuk. Ekkor az a´llapot norm´aja els˝o rendben v´altozatlan. D

(0) φn

76

E (0) • Mivel φj -ok teljes rendszert alkotnak, D X (1)  φn = −



E (1) (0) ˆ E H φn (0) φ j (0) (0) Ej − En

(0) φj

j6=n

A magasabb rendek egyenleteinek megold´asa sor´an ugyanezeket a l´ep´eseket k¨ovetj¨ uk. Ilyen m´odon kapjuk az energiasaj´at´ert´ek m´asodrend˝ u korrekci´oj´ara: D E (0) ˆ (1) (0) 2 X φj H φn En(2) = − (0) (0) Ej − En j6=n Az alap´allapot eset´en ez mindig negat´ıv. 7.1.2.

Id˝ of¨ uggetlen perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as elfajul´ as eset´ en

Elfajul´as (degener´aci´o): k¨ ul¨onb¨oz˝o saj´at´allapotokhoz tartoz´o saj´at´ert´ekek egyenl˝oek. V´eletlen elfajul´as ´es szimmetri´aval kapcsolatos elfajul´as. E (0) (0) Legyenek az En -hoz tartoz´o (ortonorm´alt) elfajult ´allapotok φn,i -k, teh´at E E (0) (0) (0) (0) ˆ H φn,i = En φn,i E (0) Term´eszetesen a nulladrend˝ u egyenletet a φn,i a´llapotok b´armely line´aris kombin´aci´oja is kiel´eg´ıti. ˆ (1) ) megsz¨ A perturb´aci´o (azaz H untetheti a degener´aci´ot, teh´at a |φn,i i a´llapotokhoz k¨ ul¨onb¨oz˝o En,i energi´ak tartozhatnak. Ekkor az  → 0 hat´aresetben az |φn,i ()i a´llapotok j´ol meghat´arozott line´aris kombin´aci´okat v´alasztanak ki. Legyenek ezek X (0) E | φn,i (0)i = aij φn,i j

Itt aij unit´er m´atrix, m´erete az elfajult saj´at´ert´ekhez tartoz´o line´arisan f¨ uggetlen a´llapotok sz´am´aval egyenl˝o. Az energiaszintek ´es energi´ak sorfejt´ese  szerint: (1)

(2)

En,i () = En(0) + En,i  + En,i 2 + ... E E (1) (2) |φn,i ()i = | φn,i (0)i +  φn,i + 2 φn,i + ... 77

A saj´at´ert´ekegyenlet -ban els˝o rend˝ u korrekci´oja:
(1) E (1) ˆ (1) | φn,i (0)i H (0) − En(0) φn,i = En,i |φn,i (0)i − H Szorozzuk meg ezt balr´ol a

D



(0) φn,j

a´llapottal! Az egyenlet baloldala elt˝ unik, a jobboldalb´ol pedig

XD

E (0) ˆ (1) (0) (1) φn,j H φ n,k aik = En,i aij

k

D E (1) (0) ˆ (1) (0) L´athat´oan En,i a φn,j H φn,k m´atrix saj´at´ert´eke, aij pedig (r¨ogz´ıtett i-re) a saj´atvektora. Hidrog´enatom elektromos t´erben: a Stark-effektus 2 2 ˆ = pˆ − qe − qe Ez H 2µ 4π0 r

Parit´as, line´aris ´es nemline´aris Stark-effektus

36. ´abra. A line´aris Stark-effektus. Johannes Stark (1874-1957)

7.1.3.

Id˝ of¨ ugg˝ o perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as

  ∂ |ψi ˆ (0) + H ˆ (1) (t) |ψi = H ∂t Mint az id˝of¨ uggetlen esetben, ez´ uttal is bevezetj¨ uk az  perturb´aci´os param´etert ´es az i~

i~

  ∂ | ψi ˆ (0) + H ˆ (1) (t) |ψi = H ∂t 78

egyenlet megold´as´at  szerint sorbafejtj¨ uk:   | ψi = ψ (0) +  ψ (1) + ... Nulladrend:

  ∂ ψ (0) ˆ (0) ψ (0) =H i~ ∂t   (1)   ∂ (0) ˆ ˆ (1) ψ (0) ψ i~ − H =H ∂t

Els˝o rend:

Periodikus perturb´aci´o: ˆ (1)

H

 (t) =

ˆ ±iωt ha 0 ≤ t ≤ τ Ke 0, ha t < 0, t > τ

´ Atmeneti val´osz´ın˝ us´eg: Wnm (τ ) =

2π |Knm |2 τ δ (En − Em ± ~ω) ~

Folytonos v´eg´allapotok eset´en: W (τ ) = 7.1.4.

2π |Knm |2 τ ρ (Em ± ~ω) ~

Elektrom´ agneses sug´ arz´ as k¨ olcs¨ onhat´ asa atomokkal  2 ˆ pˆ − q A ˆ = H + q φˆ 2µ

Coulomb-m´ert´ekben (∇A = 0): pˆ2 qe2 qe qe2 2 ˆ H= − − Apˆ + A 2µ 4π0 r µ 2µ 2 2 ˆ (0) = pˆ − qe H 2µ 4π0 r ˆ (1) = − qe Apˆ H µ

Elektrom´agneses hull´am:
1 A = eA0 cos(kr − ωt) = eA0 e−ikr eiωt + eikr e−iωt 2 79

7.1.5.

A t¨ or´ esmutat´ o kvantumelm´ elete

Eml´ekeztet˝o (klasszikus elektrodinamika): ∇×E =−

∂B ∂t

∇B = 0 0 c2 ∇ × B = jk +

∂D ∂t

∇D = ρ D = 0 E D = 0 E + P P : polariz´aci´o, a t´erfogategys´eg dip´olmomentuma P = 0 χE =1+χ  = n2 Atom dip´olmomentuma: d = αElok 1 P Elok = E + 30   1 P = Nd = Nα E + P 30 P =

χ=

Nα E α 1− N 30 1

Nα 0 α −N 30

n2 − 1 Nα = 2 n +2 30 Ha n ≈ 1: n2 = 1 +

80

Nα 0

ill. n=1+

Nα 20

Az α atomi polariz´alhat´os´ag kisz´am´ıt´asa: Ψ(t) = ψm e

−iωm t

 i(ωnm +ω)t  iaqe X e ei(ωnm −ω)t − ωnm ynm + ψn e−iωn t 2~ n ωnm + ω ωnm − ω d¯ = qe h Ψ| r | Ψi

81

8.

h´ et

8.1. 8.1.1.

A kvantummechanikai t¨ obbtestprobl´ ema. elm´ elete

Atomok ´ es molekul´ ak

Sok r´ eszecsk´ eb˝ ol ´ all´ o kvantummechanikai rendszer le´ır´ asa Ψ = Ψ (t, x1 , y1 , z1 , ..., xN , yN , zN ; s1 , ..., sN ) ∂Ψ ˆ = HΨ ∂t ˆ =E ˆk + Vˆ + U ˆ H i~

ˆk : kinetikus energia, Vˆ : potenci´alis energia k¨ ˆ : r´eszecsk´ek k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´asi E uls˝o t´erben, U energia N X ~2 ˆk = 4l − E 2µ l l=1 ∂2 ∂2 ∂2 4l = + 2+ 2 ∂x2l ∂yl ∂zl Vˆ = Vˆ1 (r1 ) + Vˆ2 (r2 ) + ...VˆN (rN ) =

N X

Vˆl (rl )

l=1 N N 1X X ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ukl (rk − rl ) U = U12 (r1 − r2 ) + U13 (r1 − r3 ) + ... + UN −1,N (rN −1 − rN ) = 2 k=1 l=1,l6=k

ˆ = H

N X l=1

−

N N N X ~2 1X X ˆ Vˆl (rl ) + Ukl (rk − rl ) 4l + 2µl 2 l=1 k=1 l=1,l6=k

Id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger-egyenlet (v.¨o. stacion´arius a´llapotok): " N # N N N X ~2 X X X 1 ˆkl (rk − rl ) ψ = Eψ − 4l + U Vˆl (rl ) + 2µ 2 l l=1 k=1 l=1,l6=k l=1 ψ = ψ (x1 , y1 , z1 , ..., xN , yN , zN ; s1 , ..., sN ): energia-saj´at´allapot. A Hamilton-oper´ator nem f¨ ugg a spinv´altoz´okt´ol, ez´ert az energia-saj´atf¨ uggv´eny szorzat alak´ u: ψ (x1 , y1 , z1 , ..., xN , yN , zN ; s1 , ..., sN ) = Φ (x1 , y1 , z1 , ..., xN , yN , zN ) χ (s1 , ..., sN ) 82

ahol

"

N X l=1

8.1.2.

2

−

~ 4l + 2µl

N X

Vˆl (rl ) +

l=1

N N 1X X

2

# ˆkl (rk − rl ) Φ = EΦ U

k=1 l=1,l6=k

Azonos r´ eszecsk´ ek ´ es a Pauli-elv ξk = (xk , yk , zk , sk ) Vˆi (ξi ) = Vˆ (ξi ) ˆjk (ξj , ξk ) = U ˆ (ξj , ξk ) U  X k−1 N X N  2 X ~ ˆ = Uˆ (ξk , ξj ) H − 4l + Vˆ (ξl ) + 2µ k=1 j=1 l=1

Azonos r´eszecsk´ek megk¨ ul¨onb¨oztethetetlenek: • a hat´arozatlans´agi rel´aci´o miatt nem lehet o˝ket nyomon k¨ovetni ´es ´ıgy kor´abbi o¨nmagukkal azonos´ıtani, ´ıgy egyedis´eg¨ uk megsz˝ unik • ezzel ¨osszhangban semmilyen m´erhet˝o mennyis´eg v´arhat´o ´ert´eke ill. m´ert ´ert´ek´enek val´osz´ın˝ us´ege nem v´altozik, ha k´et azonos r´eszecsk´et a rendszerben felcser´el¨ unk. • ez ut´obbi azt jelenti, hogy azonos r´eszecsk´ek rendszer´enek hull´amf¨ uggv´enye k´et r´eszecske feliα cser´el´esekor csak egy konstans, egys´egnyi abszol´ ut ´ert´ek˝ u K = e komplex sz´ammal szorz´odhat. Ψ (x1 , . . . , ξl , ξk , . . . , ξN ) = KΨ (x1 , . . . , ξk , ξl , . . . , ξN ) Ψ (x1 , . . . , ξk , ξl , . . . , ξN ) = KΨ (x1 , . . . , ξl , ξk , . . . , ξN ) Ψ (x1 , . . . , ξl , ξk , . . . , ξN ) = K 2 Ψ (x1 , . . . , ξl , ξk , . . . , ξN ) Teh´at K2 = 1 ⇒

K = ±1

Teh´at azonos r´eszecsk´ek rendszer´enek hull´amf¨ uggv´enye k´et r´eszecske felcser´el´esekor vagy nem v´altozik (bozonok [foton, π-mezok, K-mezon stb.]), Ψ (x1 , . . . , ξl , ξk , . . . , ξN ) = Ψ (x1 , . . . , ξk , ξl , . . . , ξN ) vagy el˝ojelet v´alt (fermionok [elektron, proton, neutron, kvarkok, neutrin´ok stb.]). Ψ (x1 , . . . , ξl , ξk , . . . , ξN ) = −Ψ (x1 , . . . , ξk , ξl , . . . , ξN ) 83

Azonos r´eszecsk´ek energiasaj´at´allapotai k¨olcs¨onhat´asmentes esetben (perturb´aci´osz´am´ıt´as nulladik k¨ozel´ıt´ese, ha a r´eszecsk´ek k¨olcs¨onhat´as´at perturb´aci´onak tekinthetj¨ uk): ˆ (0) = H

N X

ˆ (0) (l) H

l=1

Itt H (0) (l) az l-edik r´eszecske Hamilton-oper´atora: 2

ˆ (0) (l) = − ~ 4l + V (ξl ) H 2µ Ha ˆ (0) (l)φk (ξl ) = Ek φk (ξl ) H akkor ˆ (0) ψ = Eψ H megold´asa: ψ = φk1 (ξ1 )φk2 (ξ2 ) . . . φkN (ξN ) ´es E = Ek1 + Ek2 + . . . + EkN Ugyanehhez a saj´at´ert´ekhez tartozik a φk1 (ξ2 )φk2 (ξ1 ) . . . φkN (ξN ) saj´atf¨ uggv´eny is, vagy a´ltal´aban φk1 (ξj1 )φk2 (ξj2 ) . . . φkN (ξjN ) ahol j1 , j2 , . . . , jN az 1, 2, . . . , N sz´amok permut´aci´oja. Szimmetrikus hull´amf¨ uggv´eny (bozonok): X ψ= φk1 (ξj1 )φk2 (ξj2 ) . . . φkN (ξjN ) j1 ,j2 ,...,jN

Antiszimmetrikus hull´amf¨ uggv´eny (fermionok): X ψ= (−1)P φk1 (ξj1 )φk2 (ξj2 ) . . . φkN (ξjN ) j1 ,j2 ,...,jN

84

Itt P a permut´aci´o p´aross´aga (h´any p´ar cser´ej´evel lehet az adott j1 , j2 , . . . , jN permut´aci´ot az 1, 2, . . . , N sorrendb˝ol megkapni). Ez ´eppen a determin´ans defin´ıci´oja. Slater-determin´ans (norm´al´asi t´enyez˝ovel): φk (ξ1 ) φk (ξ2 ) . . . φk (ξN ) 1 1 1 φ (ξ ) φ (ξ ) . . . φ (ξ ) 1 k2 1 k2 2 k2 N √ Ψ= .. .. .. ... . . . N! φkN (ξ1 ) φkN (ξ2 ) . . . φkN (ξN )

37. ´abra. John Clark Slater (1900-1976)

8.1.3.

A h´ eliumatom 2 2 2 2 2 ˆ = − ~ 41 − 2qe − ~ 42 − 2qe + qe H 2µ 4π0 r1 2µ 4π0 r2 4π0 r12

r12 = |r1 − r2 | Az energia-saj´at´ert´ekek ´es saj´atf¨ uggv´enyek meghat´aroz´asa perturb´aci´osz´am´ıt´assal: 2 2 2 2 ˆ (0) = − ~ 41 − 2qe − ~ 42 − 2qe H 2µ 4π0 r1 2µ 4π0 r2

ˆ (1) = H Nulladrend˝ u megold´as: 1 φk1 (ξ1 ) φk1 (ξ2 ) (0) Ψ =√ 2 φk2 (ξ1 ) φk2 (ξ2 )

qe2 4π0 r12

= √1 (φk1 (ξ1 )φk2 (ξ2 ) − φk2 (ξ1 )φk1 (ξ2 )) 2 85

8.1.4.

K¨ ozel´ıt˝ o m´ odszerek atomok ´ es molekul´ ak energiaszintjeinek kisz´ am´ıt´ as´ ara

Vari´ aci´ os elj´ ar´ as Ha |Ψi tetsz˝oleges norm´alt a´llapot ´es E0 az alap´allapot enegi´aja (legkisebb energiasaj´at´ert´ek), akkor ˆ | Ψi ≥ E0 hΨ| H Ha ui. |Ψi -t a |Φn i energiasaj´at´allapotok szerint kifejtj¨ uk, | Ψi =

∞ X

cn | Φn i

n=0

´es ezzel ˆ |Ψi = hΨ| H

XX j

k

ˆ |Φk i = c∗j ck h Φj | H

XX j

k

c∗j ck Ej δjk =

X j

|cj |2 Ej ≥

X

|cj |2 E0 = E0

j

Ha teh´at a |Ψi a´llapotra felt´etelez¨ unk valamilyen, szabad param´etereket tartalmaz´o koordin´atareprezent´aci´obeli f¨ uggv´enyalakot (Ansatz-ot), ´es a param´eterek f¨ uggv´eny´eben minimaliz´aljuk az energia v´arhat´o ´ert´ek´et ebben az ´allapotban, akkor az alap´allapoti energia ill. az alap´allapoti hull´amf¨ uggv´eny egy k¨ozel´ıt´es´ehez jutunk (Ritz-f´ele vari´aci´os m´odszer).

38. ´abra. Walter Ritz (1878-1909). A Ritz-f´ele vari´aci´os m´odszer mellett az o˝ nev´et o˝rzi a hidrog´en spektrumvonalait megad´o Rydberg-Ritz-formula is.

86

Hartree-Fock-k¨ ozel´ıt´ es A vari´aci´os m´odszert alkalmazhatjuk m´as m´odon is: f¨ uggetlenr´eszecske-hull´amf¨ uggv´enyt ´ırunk fel (Slater-determin´ans), melyben az egyr´eszecske-hull´amf¨ uggv´enyeket az energia v´arhat´o ´ert´ek´enek minimum´ab´ol hat´arozzuk meg.

39. ´abra. Douglas Rayner Hartree (1897-1958) ´es Vlagyimir Alekszandrovics Fok (1898-1974) Thomas-Fermi elj´ ar´ as Az elektronok eloszl´asa (az atommaggal egy¨ utt) effekt´ıv elektromos potenci´alteret kelt. Ebben az effekt´ıv t´erben az elektronok eloszl´as´at kv´aziklasszikus k¨ozel´ıt´es alapj´an hat´arozzuk meg.

40. ´abra. Llewellyn Hilleth Thomas (1903-1992) ´es Enrico Fermi (1901-1954) Modern statisztikus m´odszer (f˝oleg szil´ardtestfizik´aban): a pszeudopotenci´ alok m´ odszere (HohenbergKohn-t´etelek, Kohn-Sham m´odszer, lok´alis s˝ ur˝ us´eg k¨ozel´ıt´es). 8.1.5.

Molekul´ ak. A Born-Oppenheimer-k¨ ozel´ıt´ es
µ 1/4 Born-Oppenheimer-k¨ozel´ıt´es: sorfejt´es az η = M param´eter szerint. Elektronok energi´aja m´ar 2 nulladrendben is j´arul´ekot ad, a rezg´esi energia η -tel, a forg´asi energia η 4 -nel ar´anyos. 87

41. ´abra. Max Born (1882-1970) ´es Robert Oppenheimer (1904-1967) Ne sz´am´ u elektron ´es Nm sz´am´ u atommag alkotta molekula eset´en ˆ =H ˆ0 + H ˆ1 H ˆ0 = H

Ne X

N

N

N

j−1

N

n−1

e X m e X m X X X X Zn qe2 Zn Zl qe2 qe2 ~2 + + − 4r j − 2µ 4π0 |rj − Rn | j=2 k=1 4π0 |rj − rk | n=2 l=1 4π0 |Rn − Rl | j=1 n=1 j=1

ˆ1 = H

Nm X

~2 − 4Rn 2Mn n=1

Id˝of¨ uggetlen Schr¨odinger-egyenlet: ˆ HΨ(R, r) = EΨ(R, r) A Born-Oppenheimer k¨ozel´ıt´es nulladrendj´eben az energia-saj´atf¨ uggv´enyek alakja Ψ(R, r) = Φ(R)φ(R, r) ahol ˆ 0 φ(R, r) = (R)φ(R, r) H   ˆ 1 + (R) Φ(R) = EΦ(R) H

88

8.1.6.

A hidrog´ en-molekula-ion (H2+ )

42. ´abra. T´avols´agok jel¨ol´ese a hidrog´en-molekula-ionban. A,B: atommagok, 1: elektron   2 2 1 1 ~ q 1 e ˆ 0 = − 41 − + − H 2µ 4π0 rA1 rB1 R Molekulap´aly´ak: itt a k´etcentrum´ u vonz´o potenci´alban t¨ort´en˝o mozg´asnak megfelel˝o energiasaj´at´allapotok (egzakt analitikus megold´as l´etezik). Molekulap´aly´ak k¨ozel´ıt´ese atomi p´aly´ak line´aris kombin´aci´oj´aval (LCAO-m´odszer): φ(R, r) = C (φ100 (r1 − RA ) + kφ100 (r1 − RB )) = C (φ100 (rA1 ) + kφ100 (rB1 )) Itt C = C(k) norm´al´o faktor, k pedig vari´aci´os param´eter.   Z 2 2 3 C 1 + k + 2k d r1 φ100 (rA1 )φ100 (rB1 ) = 1 Az energia v´arhat´o ´ert´eke:    Z 2 2 q q 1 e e 2 2 3 2 ˆ 0 |φi = + C (1 + k ) E100 − d r1 φ100 (rA1 ) hφ| H 4π0 R 4π0 rB1   Z Z qe2 1 3 3 +2k E100 d r1 φ100 (rA1 )φ100 (rB1 ) − d r1 φ100 (rA1 )φ100 (rB1 ) 4π0 rB1 E100 = −

µqe4 32π 2 20 ~2

89

Minimaliz´al´as k f¨ uggv´eny´eben: d ˆ 0 |φ i ∝ (1 − k 2 ) h φ| H dk teh´at k = 1 vagy k = −1. Az el˝obbi felel meg a minimumnak. Ekkor az elektron val´osz´ın˝ us´egeloszl´asa |φ(R, r)|2 ∝ φ2100 (rA1 ) + φ2100 (rB1 ) + 2φ100 (rA1 )φ100 (rB1 ) ami pozit´ıv marad az atommagok k¨oz¨ott (k¨ot˝o molekulap´alya), m´ıg k = −1 eset´en a felez˝os´ıkban a val´osz´ın˝ us´egeloszl´as nulla (nem k¨ot˝o molekulap´alya). 2 ˆ 0 |φi = qe (R) = hφ| H 4π0 R     R 3 R 3 R 3 qe2 qe2 1 1 + E d r φ (r )φ (r ) − d r φ (r )φ (r ) E100 − d r1 φ2100 (rA1 ) 4π 100 1 100 A1 100 B1 1 100 A1 100 B1 4π0 rB1 0 rB1 R + 1 + d3 r1 φ100 (rA1 )φ100 (rB1 )

Minimum l´etez´ese a magt´avols´ag f¨ uggv´eny´eben.

90

8.1.7.

A hidrog´ en-molekula

43. ´abra. T´avols´agok jel¨ol´ese a hidrog´en-molekul´aban. A,B: atommagok, 1,2: elektronok   2 2 2 1 1 1 1 1 ~ ~ q 1 e ˆ 0 = − 41 − + + + − − H 42 − 2µ 2µ 4π0 rA1 rA2 rB1 rB2 r12 R ˆ 0 φ(R, ξ) = (R)φ(R, ξ) H Itt az atommagok R t´avols´aga csak param´eterk´ent szerepel. A ξ v´altoz´o az elektron-koordin´at´ak ´es ˆ 0 Hamilton-oper´ator spinf¨ spinv´altoz´ok o¨sszefoglal´o jel¨ol´ese. Mivel a H uggetlen, φ(R, ξ) = φ0 (R, r)χ(s1 , s2 ) K¨ozel´ıts¨ uk φ(R, ξ)-t az el˝obbi k¨ozel´ıt˝o molekulap´aly´akb´ol fel´ep´ıtett Slater-determin´anssal! (C ism´et norm´al´asi t´enyez˝o) (φ100 (rA1 ) + φ100 (rB1 )) α(s1 ) (φ100 (rA2 ) + φ100 (rB2 )) α(s2 ) φ(R, ξ) = C (φ100 (rA1 ) + φ100 (rB1 )) β(s1 ) (φ100 (rA2 ) + φ100 (rB2 )) β(s2 ) = C [φ100 (rA1 ) + φ100 (rB1 )] [φ100 (rA2 ) + φ100 (rB2 )] [α(s1 )β(s2 ) − α(s2 )β(s1 )] ˆ 0 |φ i (R) = h φ| H itt is minimumot ad a magt´avols´ag f¨ uggv´eny´eben.

91

8.1.8.

A k´ emiai k¨ ot´ es ´ es a vegy´ ert´ ek

A vegy´ert´ek az egyazon k¨ot˝o molekulap´aly´an helyet foglal´o spinszingletet alkot´o elektronp´arnak felel meg. Molekulaszerkezeti sz´amol´asok: vari´aci´os m´odszer pl. Gauss-f¨ uggv´enyek line´aris kombin´aci´oj´aval. 8.1.9.

A van der Waals-er˝ ok V (R) = −

A R6

V (R) = −

B R5

(nemrelativisztikus van der Waals er˝o) ill.

(relativisztikus van der Waals er˝o, v.¨o. Casimir-effektus) ˆ0 = H ˆA + H ˆB + H ˆ0 H 2 2 ˆ A = − ~ 41 − q e 1 H 2µ 4π0 rA1 2 2 ˆ B = − ~ 42 − q e 1 H 2µ 4π0 rB2   qe2 1 1 1 1 0 ˆ H = + − − 4π0 R r12 rA2 rB1

V (R) = (R) Az (R) alap´allapoti energia meghat´aroz´as´at perturb´aci´osz´am´ıt´assal v´egezz¨ uk. Nulladrend: φ(0) n = φn1 l1 m1 (rA1 )φn2 l2 m2 (rB2 ) (R)(0) n = En1 l1 m1 + En2 l2 m2 (0)

(R)0 = 2E100 Ekkor rA2 ≈ rB1 ≈ r12 ≈ R  rA1 , rB2

92

ˆ 0 -t sorbafejtj¨ Ez´ert H uk rA1 ´es rB2 szerint: ˆ0 = H

  3 (rA1 R) (rB2 R) qe2 rA1 rB2 − 4π0 R3 R2

Ha R z ir´any´ u: ˆ0 = H

qe2 [xA1 xB2 + yA1 yB2 − zA1 zB2 ] 4π0 R3

Els˝o rend: 0 (0) 

ˆ φ =0 (R)(1) = φ(0) H M´asodrend: (R)(2) =

X n

0 2 |H0n | (0) (R)0

−

(0) (R)n

=−

A R6

44. ´abra. Johannes Diderik van der Waals (1837-1923)

93

9.

h´ et

9.1.

Relativisztikus kvantummechanika. A Dirac-egyenlet

45. ´abra. Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) ´es Albert Einstein (1879-1955)

9.1.1.

A speci´ alis relativit´ aselm´ elet formalizmusa

Ha a K inerciarendszerben k´et esem´eny id˝ok¨ ul¨onbs´ege t, helyvektoraik k¨ ul¨onbs´ege r, a K’ inercia0 rendszerben pedig ugyanezen k´et esem´eny id˝ok¨ ul¨onbs´ege t , helyvektoraik k¨ ul¨onbs´ege r 0 , akkor c2 t2 − r 2 = c2 t02 − r 02 Az s2 = c2 t2 − r 2 ´ıvhossz invari´ans mennyis´eg. A k´et inerciarendszerbeli t´er- ´es id˝okoordin´at´akat a Lorentz-transzform´aci´o kapcsolja ¨ossze (´altal´anos ´ertelemben Lorentz-(vagy Poincar´e)-transzform´aci´o a koordin´at´ak minden olyan line´aris transzform´aci´oja, amely az ´ıvhosszat meg˝orzi). Metrikus tenzor: s2 = gik xi xk x0 = ct ,

x1 = x , x2 = y ,  1 0 0 0  0 −1 0 0 gik =   0 0 −1 0 0 0 0 −1

Lorentz-transzform´aci´o: x0i = Λij xj 94

x3 = z    

Einstein-f´ele P n´emaindex-konvenci´o: k´etszer el˝ofordul´o indexekre automatikusan o¨sszegz´es ´ertend˝o, i azaz Ai B ≡ 3i=0 Ai B i . s2 = gik x0i x0k = gik Λij Λkl xj xl = gjl xj xl gjl = gik Λij Λkl M´atrixjel¨ol´essel: g = ΛT gΛ Kontravari´ans ´es kovari´ans n´egyesvektorok: Kontravari´ans n´egyesvektor komponensei (index fent) u ´gy transzform´al´odnak (K-r´ol K’-re a´tt´erve), i mint az x t´erid˝o-komponensek: ∂x0i j A = Λij Aj ∂xj Kovari´ans n´egyesvektor komponensei (index lent) u ´gy transzform´al´odnak (K-r´ol K’-re ´att´erve), ahogy a skal´arterek n´egyesgradiense: A0i =




∂Φ ∂xj ∂Φ ∂Φ ∂Φ −1 T j ∂Φ −1 j −1 j ∂Φ = = = Λ = gΛg = gik Λkl g lj j Λ i i i 0i j 0i j j j ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
ik g ik := g−1
j A0i = gΛg−1 i Aj Ai = gik Ak Ai = g ik Ak 9.1.2.

Az elektron relativisztikus kvantummechanikai le´ır´ asa: Dirac-egyenlet

A relativit´aselm´eletben az impulzus ´es az energia n´egyesvektort alkotnak: p0 =

E , c

p1 = px ,

p2 = py ,

p3 = pz

E2 − p 2 = µ 2 c2 c2 A kvantumelm´eletben a fizikai mennyis´egeknek oper´atorok felelnek meg, koordin´atareprezent´aci´oban gik pi pk =

pˆk = i~ 95

∂ ∂xk

ill.

∂ ∂xj Ezzel a Schr¨odinger-egyenlet relativisztikus megfelel˝oje a Klein-Gordon- (vagy Schr¨odinger-Gordon-) egyenlet volna: ~2 ∂ 2 Ψ − 2 2 + ~2 4Ψ = µ2 c2 Ψ c ∂t A Schr¨odinger-egyenlet szerint l´etezik megmarad´o val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg (|Ψ|2 ). A Klein-Gordonegyenlet eset´en is van megmarad´o mennyis´eg, de az nem pozit´ıv definit, ´ıgy nem ´ertelmezhet˝o val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´egk´ent:   ∂Ψ∗ i~ ∗ ∂Ψ −Ψ Ψ ρ= 2µc2 ∂t ∂t pˆk = g kj i~

A probl´ema oka, hogy az egyenlet m´asodrend˝ u (m´ıg a Schr¨odinger-egyenlet az id˝o szerint csak els˝o deriv´altat tartalmaz). Tov´abbi neh´ezs´egek: a spin relativisztikus ´ertelmez´ese problematikus, hib´as finomszerkezet ad´odik a hidrog´en spektrum´ara. Megold´as: t´er ´es id˝o szerinti els˝o deriv´altakat tartalmaz´o egyenlet, amelynek Hamilton-oper´atora a Klein-Gordon-egyenletbeli oper´ator n´egyzetgy¨oke: ∂Ψ ˆ = HΨ ∂t p ˆ = µ2 c4 − c2 ~2 4 H i~

Ahhoz, hogy a gy¨okvon´as eredm´enye els˝o deriv´altak line´aris kombin´aci´oja legyen, n´egykomponens˝ u ˆ hull´amf¨ uggv´eny bevezet´ese sz¨ uks´eges. Ekkor ugyanis H m´atrix a komponensekre n´ezve, a gy¨okjel alatt szint´en oper´atorok m´atrixa szerepel, ekkor pedig a gy¨okvon´as v´egrehajthat´o. 2 × 2-es m´atrixokra p´elda: p (a2 + b2 + c2 )1 = aσx + bσy + cσz ahol σx , σy , σz a Pauli-f´ele spinm´atrixok:  σx =





0 −i i 0





1 0 0 −1



σy = σz =

0 1 1 0

96

Antikommut´ator: {σj , σk } := σj σk + σk σj = 2δjk 1 ˆ = α0 µc2 + H

3 X

  ∂ α −i~c j ∂x j=1 j

Itt α0 , α1 , α2 , α3 4 × 4-es m´atrixok, melyekre teljes¨ ul, hogy  j k α , α = 2δjk 1 Ilyen tulajdons´ag´ u hermitikus m´atrixok csakugyan l´eteznek, pl.   0 0 1 0    0 0 0 1  0 1 0  α = =  1 0 0 0  1 0 0 1 0 0   0 0 0 1    1 0 0 0  σx 0 1  α = =  0 −σx 0 0 0 −1  0 0 −1 0   0 −i 0 0    i 0 0 0  σy 0  α2 = =  0 0 0 i  0 −σy 0 0 −i 0   1 0 0 0    0 −1 0 0  σz 0  α3 = =  0 0 −σz 0 −1 0  0 0 0 1 Tetsz˝oleges 4 × 4-es unit´er U m´atrixszal v´egzett hasonl´os´agi transzform´aci´o az antikommut´atort meg˝orzi, ez´ert α0j = Uαj U† is haszn´alhat´o a fenti αj -k helyett. Dirac-egyenlet: "  # 3 X ∂Ψ ∂ = α0 µc2 + αj −i~c j i~ Ψ ∂t ∂x j=1 97

M´ask´eppen: 0 ∂Ψ

i~α

∂ct

+ i~

3 X

α0 αj

j=1

∂Ψ = µcΨ ∂xj

Legyen 

0    0 0 1 γ 0 = α0 = =  1 0 1 0     0 −σx γ 1 = α0 α1 = =  σx 0

0 0 0 1 0 0 0 1



0  0 0 −σy = γ 2 = α0 α2 =  σy 0 0 i  0    0 0 −σ z γ 3 = α0 α3 = =  σz 0 1 0 



Ekkor a Dirac-egyenlet alakja i~γ j

∂Ψ = µcΨ ∂xj

vagyis γ j pˆj Ψ = µcΨ ill. γj pˆj Ψ = µcΨ ahol γj = gjk γ k Mindezekben a k´epletekben 

 Ψ1 (t, x, y, z)  Ψ2 (t, x, y, z)   Ψ=  Ψ3 (t, x, y, z)  Ψ4 (t, x, y, z) 98

1 0 0 0

 0 1   0  0

 0 0 −1 0  0 −1  1 0 0  0 0 0  0 0 i 0 −i 0   −i 0 0  0 0 0  0 −1 0 0 1  0  0 0 0  0 0 −1

Vigy´azat, Ψ nem n´egyesvektor (m´ask´epp transzform´al´odik)! A Dirac-f´ele gamma-m´atrixok tulajdons´agai: 

γ j , γ k = 2g jk 1

A haszn´alt metrika-konvenci´o mellett γ 0 hermitikus (¨onadjung´alt), m´ıg γ 1 , γ 2 , γ 3 antihermitikus ˆ hermitikus) (adjung´al´askor el˝ojelet v´alt). (megjegyz´es: H Tetsz˝oleges 4 × 4-es unit´er U m´atrixszal v´egzett hasonl´os´agi transzform´aci´o az antikommut´atort meg˝orzi, ez´ert γ 0j = Uγ j U† is haszn´alhat´o a fenti γ j -k helyett. Az ´allapotvektor adjung´altja: Ψ† =

Ψ∗1 (t, x, y, z) Ψ∗2 (t, x, y, z) Ψ∗3 (t, x, y, z) Ψ∗4 (t, x, y, z)




Az ´allapotvektor Dirac-konjug´altja: Ψ = Ψ† γ 0 =

Ψ∗3 (t, x, y, z) Ψ∗4 (t, x, y, z) Ψ∗1 (t, x, y, z) Ψ∗2 (t, x, y, z) i~γ j −i~ −i~

∂Ψ = µcΨ ∂xj

∂Ψ† j † γ = µcΨ† j ∂x

∂Ψ† j † 0 γ γ = µcΨ† γ 0 ∂xj

−i~

∂Ψ† 0 j γ γ = µcΨ† γ 0 ∂xj

−i~

∂Ψ j γ = µcΨ ∂xj


∂ Ψγ j Ψ = 0 j ∂x Kontinuit´asi egyenlet (megmarad´asi t´etel k¨ovetkezik bel˝ole): ∂ρ + ∇j = 0 ∂t 99




Val´osz´ın˝ us´egs˝ ur˝ us´eg (pozit´ıv definit): ρ = Ψγ 0 Ψ = Ψ† γ 0 γ 0 Ψ = Ψ† Ψ =

4 X

|Ψn |2

n=1

Val´osz´ın˝ us´egi ´aram: j k = Ψγ k Ψ k = 1, 2, 3 9.1.3.

Szabad r´ eszecske mozg´ asa a Dirac-egyenlet alapj´ an

z ir´anyban mozg´o elektronra: 

 u1    u2  Et p z z  Ψ=  u3  exp i ~ − i ~ u4 Itt uj -k konstansok. A Dirac-egyenlet ekkor:  

E 0 γ − pz γ 3 c



  u1  u2     = µc   u3   u4

 u1 u2   u3  u4

vagy null´ara reduk´alva: 

   

E c

 u 1    u2  E 0 3  γ − pz γ − µc1   u3  = 0 c u4  −µc 0 Ec − pz 0 u1 E   0 −µc 0 c + p z   u2 + pz 0 −µc 0   u3 E u4 0 c − pz 0 −µc

´ Atrendezve:

100

  =0 

   

E c

−µc + pz 0 0

E c

− pz −µc 0 0

E c

0 0 −µc − pz

 0 u1  u3 0   + p z   u2 u4 −µc

E c

  =0 

A megoldhat´os´ag felt´etele a m´atrix determin´ans´anak elt˝ un´ese: −µc E − pz 0 0  c E 2 2 + pz E −µc 0 0 2 2 2 c = µ c − + pz = 0 0 0 −µc Ec + pz c2 0 0 Ec − pz −µc Ez teh´at ´eppen a relativisztikus E 2 − p2z c2 = µ2 c4 o¨sszef¨ ugg´es fenn´all´asakor teljes¨ ul. K´et line´arisan f¨ uggetlen megold´as l´etezik: (1)

u1 =

E c

− pz µc

(1)

(1)

(1)

u3 = 1 u2 = 0 u4 = 0

azaz



E −pz c



µc

u

(1)

  = 

 0   1  0

´es (2)

(2)

(2)

(2)

u1 = 0 u3 = 0 u2 = 1 u4 = azaz

 u

(2)

  = 

0 1 0 E −pz c

E c

− pz µc

    

µc E −pz c

Kis sebess´egek eset´en µc = 1 − vc . Negat´ıv energi´as megold´asok ⇒ pozitron (bet¨olt¨ott negat´ıv energi´aj´ u a´llapotok ter´eben lyuk”, ” azaz u ¨res a´llapot) 101

9.1.4.

A Dirac-egyenlet szimmetri´ ai

Tetsz˝oleges kis t´erid˝obeli forgat´as (Lorentz-transzform´aci´o): x0i = Λij xj Λ=1+λ x0i = xi + λij xj g = ΛT gΛ ⇒ λT g + gλ = 0 ⇒ (gλ)T = −gλ Ekkor a n´egykomponens˝ u Ψ a´llapotvektor is transzform´al´odik: Ψ0 = Ψ + WΨ Itt W egyel˝ore ismeretlen, infinitezim´alisan kis komponensekkel rendelkez˝o 4 × 4-es m´atrix. A kovariancia k¨ovetelm´eny´eb˝ol hat´arozzuk meg: ∂Ψ0 i~γ = µcΨ0 0j ∂x   ∂ ∂ k i~γ j − λ (1 + W) Ψ = µc (1 + W) Ψ ∂xj ∂xk j
∂ (1 − W) i~ γ j − λj k γ k (1 + W) Ψ = µcΨ ∂xj j

Ebb˝ol γ j W − Wγ j = λj k γ k eset´en k¨ovetkezik, hogy ∂Ψ = µcΨ ∂xj 1 1 W = λrs γ r γ s ≡ grl λls γ r γ s 4 4 1 Ψ0 = Ψ + λrs γ r γ s Ψ 4 1 1 1 Ψ0 = Ψ + Ψ† λrs γ s† γ r† γ 0 = Ψ + Ψ† γ 0 λrs γ s γ r = Ψ − Ψ λrs γ r γ s = Ψ − ΨW 4 4 4
Ψ0 γ j Ψ0 = Ψ (1 − W) γ j (1 + W) Ψ = Ψγ j Ψ + Ψ γ j W − Wγ j Ψ i~γ j

Ψ0 γ j Ψ0 = Ψγ j Ψ + λj k Ψγ k Ψ 102

ΨΨ skal´ar, Ψγ j γ k Ψ k´etindexes tenzor. γ 5 = γ 0γ 1γ 2γ 3 Ψγ 5 Ψ pszeudoskal´ar, Ψγ 5 γ j Ψ pszeudovektor. T´ert¨ ukr¨oz´esi szimmetria: x00 = x0

x01 = −x1 i~γ j

x02 = −x2

x03 = −x3

∂Ψ0 = µcΨ0 ∂x0j

Ψ0 = γ 0 Ψ 9.1.5.

Az elektron saj´ at impulzusmomentuma (spinje)

A hull´amf¨ uggv´eny megv´altoz´as infinitezim´alis elforgat´askor:  i ˆ Lz + Sˆz δϑΨ(x0 ) Ψ0 (x0 ) − Ψ(x0 ) = ~ ~ Sˆz = γ 1 γ 2 2 ´ Altal´ aban ~ Sˆj = jkl γ k γ l 2 9.1.6.

T¨ olt¨ ott r´ eszecske elektrom´ agneses t´ erben

i~γ j



pj → pj − qe Aj  ∂ iqe + Aj Ψ = µcΨ ∂xj ~

9.1.7.

Az elektron m´ agneses nyomat´ eka

9.1.8.

A hidrog´ enatom energia-saj´ at´ ert´ ekei a Dirac-egyenlet alapj´ an

9.1.9.

Spin-p´ alya k¨ olcs¨ onhat´ as

103

10.

h´ et

10.1.

Az elektrom´ agneses t´ er kvantumelm´ elete

10.1.1.

A sug´ arz´ asi t´ er alapegyenletei kanonikus alakban

10.1.2.

A sug´ arz´ asi t´ er kvant´ al´ asa

10.1.3.

Az elektrom´ agneses sug´ arz´ asi t´ er v´ akuum-ingadoz´ asa

10.1.4.

Az elektrom´ agneses sug´ arz´ as k¨ olcs¨ onhat´ asa atomokkal

10.1.5.

A sz´ınk´ epvonalak term´ eszetes sz´ eless´ ege

104

11.

h´ et

11.1.

P´ alyaintegr´ alok

11.1.1.

A legkisebb hat´ as elve a klasszikus mechanik´ aban

11.1.2.

´ Atmeneti val´ osz´ın˝ us´ egi amplitud´ ok

11.1.3.

P´ alyaintegr´ al

11.1.4.

Klasszikus hat´ areset nyeregpont-m´ odszerrel

11.1.5.

P´ alyaintegr´ alok a kvantumt´ erelm´ eletben

105

12.

h´ et

12.1.

A m´ er´ es szerepe a kvantummechanik´ aban. A koppenh´ agai ´ ertelmez´ es. Kvantumparadoxonok. Dekoherencia.

12.1.1.

A kvantummechanikai m´ er´ es posztul´ atumai ´ es a koppenh´ agai ´ ertelmez´ es

12.1.2.

Le´ırhat´ o-e kvantummechanikailag a m´ er´ esi folyamat?

12.1.3.

Az Einstein-Podolsky-Rosen-paradoxon

12.1.4.

A Bell-egyenl˝ otlens´ eg

12.1.5.

Schr¨ odinger macsk´ aja: ´ erv´ enyes-e a szuperpoz´ıci´ o elve makroszkopikus rendszerekre?

12.1.6.

R´ eszrendszerek ´ es a s˝ ur˝ us´ egm´ atrix

12.1.7.

A Caldeira-Leggett-modell

12.1.8.

Dekoherencia

106

13. 13.1.

h´ et A kvantummechanika modern alkalmaz´ asi ter¨ uletei

l´ezerek, kvantumoptika, szil´ardtestek s´avszerkezete, kvantumfolyad´ekok 13.1.1. 13.1.2. 13.1.3. 13.1.4. 13.1.5. 13.1.6. 13.1.7. 13.1.8.

107