Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László
I. I/1. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók 40%-ának az E épületben, 25%-ának a D épületben, a többieknek pedig a K épületben van vizsgája. (Mindenkinek csak egy vizsgája van.) Az E-ben 60%-os a bukási arány, a D-ben 30%, a K-ban pedig 20%-os. a) Rajzolja fel a valószínűségi fát! b) Véletlenszerűen kiválasztva egy hallgatót, mi a valószínűsége, hogy átment a vizsgáján? c) Egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató megbukott a vizsgáján, mi a valószínűsége, hogy az E épületben vizsgázott? I/2. Egy üzemben 3 gépsor gyárt egy adott terméket. Az első gépsor gyártja az összes termék 45%-át, a második 35%-át. Az első gépsor által előállított termékek 6%-a hibás, a másodiknál 4%, a harmadiknál 2% ez az arány. a) Rajzolja fel a valószínűségi fát! b) Véletlenszerűen kiválasztva egy terméket, mi a valószínűsége annak, hogy hibás? c) Egy véletlenszerűen kiválasztott termék nem hibás, mi a valószínűsége, hogy a harmadik gépsor gyártotta?
II. II/1. Adott a következő függvény: 2 , ha 1 x p f ( x) 3 x 0 egyébként a) A p paraméter milyen értéke esetén lesz f(x) függvény egy folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye? b) Határozza meg várható értékét! II/2. Egy folytonos eloszlású
valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:
p x , ha 0 x 4 0 egyébként a) Határozza meg p paraméter értékét! b) Írja fel és ábrázolja eloszlásfüggvényét F(x)-et! c) Határozza meg várható értékét! f ( x)
1
II/3. Egy folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: 54 x , ha 0 x 1 f ( x) 4 0 egyébként a) Írja fel és ábrázolja eloszlásfüggvényét F(x)-et! b) Határozza meg várható értékét!
II/4. Egy folytonos eloszlású
f ( x)
0 1
, ha
4 x 0
valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:
x 9
, ha 9 , ha
x 25 25
x
a) Írja fel és ábrázolja eloszlásfüggvényét F(x)-et! b) Bizonyítsa be, hogy f (x) valóban sűrűségfüggvény!
II/5. Egy folytonos eloszlású f ( x)
valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:
6 8 x 1 , ha 0 x 1 13 0 egyébként
a) Bizonyítsa be, hogy f (x) valóban sűrűségfüggvény! b) Számítsa ki a P(4,5 5) valószínűséget! II/6. Adott a F ( x)
valószínűségi változó a következő eloszlásfüggvénnyel: 0 ( x 4) 3 1
, ha x 4 , ha 4 x 5 , ha
5
x
a) Határozza meg sűrűségfüggvényét, f (x) -et! Majd ábrázolja F (x) -et és f (x) -et! 5) valószínűséget! b) Számítsa ki a P(4,5
II/7. Adott a F ( x)
valószínűségi változó a következő eloszlásfüggvénnyel: 0 , ha x 7 2 ( x 9) , ha 7 x 8 1 , ha 8 x
a) Határozza meg b) Határozza meg
sűrűségfüggvényét, f (x) -et! Majd ábrázolja F (x) -et és f (x) -et! várható értékét! 2
II/8. Adott a
valószínűségi változó a következő eloszlásfüggvénnyel: 0
F ( x)
25 x 2
, ha
x 0
, ha 0
1 5
x
1 x 5 a) Határozza meg és ábrázolja sűrűségfüggvényét, f (x) -et! b) Határozza meg várható értékét! 1
, ha
II/9. Egy folytonos eloszlású f ( x)
valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:
x 3 x 5
, ha , ha
0
, egyébként
3 x 4 4 x 5
a) Bizonyítsa be, hogy f (x) valóban sűrűségfüggvény! b)Számítsa ki a P(3,5 4) valószínűséget! c) Adja meg az eloszlásfüggvényt és grafikonját! II/10. Vizsgálja meg, hogy lehet-e valamely valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az 0 , ha x 1 0,4 , ha 1 x 2 f ( x) függvény! 0,2 , ha 2 x 5 1 , ha 5 x a) Amennyiben sűrűségfüggvény számítsa ki a várható értéket! b) Számítsa ki a P(1,5 4) valószínűséget!
III. III/1. a1) Az ismeretlen eloszlású valószínűségi változó várható értéke 6,25, a szórása 2,5. Legalább mennyi a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéktől legfeljebb 3-mal tér el? a2) Mennyi ez a valószínűség, ha Poisson eloszlást követ változatlan várható értékkel és szórással? 3; x2 1; x3 4 . b) A valószínűségi változó lehetséges értékei: x1 A megfelelő valószínűségek: p1 0,6; p2 0,3; p3 0,1 . b1) Rajzolja fel eloszlását; határozza meg az eloszlásfüggvényt és ábrázolja! 7 3 valószínűségi változó várható értékét és szórását! b2) Számítsa ki az
3
III/2. a1) Az ismeretlen eloszlású valószínűségi változó várható értéke 12, a szórása 3. Adjon becslést a P(8 16) valószínűségre! a2) Mennyi a P(11 14) valószínűség, ha binomiális eloszlást követ változatlan várható értékkel és szórással? b) A valószínűségi változó lehetséges értékei: x1 1; x2 2; x3 8 . A megfelelő valószínűségek: p1 0,3; p2 0,4; p3 0,3 . b1) Rajzolja fel eloszlását; határozza meg az eloszlásfüggvényt és ábrázolja! b2) Számítsa ki az valószínűségi változó várható értékét és szórását c) Hűtőgépek műszaki átvétele során három gépet ellenőriznek. Jelentse A, B ill. C rendre azt az eseményt, hogy az első, második illetve a harmadik gép hibás. Mit jelentenek a következő események c1) ( A B) C c2) A
B
C
III/3. a1) A szöveteken található szövési hibák Poisson-eloszlást követnek. 12 méterenként átlagosan 3 hiba található. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy 1 méteres darabot vizsgálva legalább 2 hibát találunk? a2) Tudjuk, hogy az A véletlen esemény valószínűsége p=P(A)=0,2. Hány kísérletet kell elvégezni ahhoz, ha azt akarjuk, hogy az esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága a valószínűséget 0,05-nél kisebb hibával, legalább 95%-os valószínűséggel közelítse meg? b1) Adott a valószínűségi változó a következő eloszlásfüggvénnyel:
F ( x)
0 1 3 5 6 1
Írja fel
, ha
x
4
, ha
4
x 1
, ha , ha
1 x 8 8
x
eloszlását és ábrázolja azt! Számítsa ki M ( ) -t és D( ) -t!
III/4. valószínűségi változó binomiális eloszlású. Várható értéke 20, szórása 2. a1) Határozza meg valószínűségi változó paramétereit! 2) valószínűséget! a2) Számítsa ki a P( b) Tudjuk, hogy az A véletlen esemény valószínűsége p=P(A)=0,24. Hány kísérletet kell elvégezni ahhoz, ha azt akarjuk, hogy az esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága a valószínűséget 0,08-nél kisebb hibával, legalább 99%-os valószínűséggel közelítse meg? c1) Egy 30 fős csoport tagjai között 6db nyereményt sorsolnak ki. Hányféleképpen végződhet a sorsolás, ha a nyeremények egyformák és egy személy csak egy nyereményt nyerhet? c2) Ha a nyeremények különbözőek és egy személy több nyereményt is nyerhet? 4
III/5. a) Egy előrejelzési módszer hibája (megfelelő egységben mérve) egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [ 3;4] intervallumon. Mi a valószínűsége annak, hogy a hiba nagysága a várható értéktől nem tér el nagyobb mértékben a szórás 1,5-szeresénél? b) Egy szabályos kockával dobásokat végzünk. Hány dobást kell elvégezni ahhoz, ha azt 1 akarjuk, hogy a 6-os dobás relatív gyakorisága az valószínűséget 0,04-nél kisebb hibával, 6 legalább 92%-os valószínűséggel közelítse meg? c1) Egy 40 elemű alapsokaságban 10 selejt található. Visszatevéssel kiveszünk 7 elemet. Mennyi a valószínűsége, hogy a mintában pontosan 4 selejt található? c2) Mennyi az előbbi valószínűség visszatevés nélküli mintavétel esetén?
III/6. a) Egy ToiToi-ban a két látogató érkezése között eltelt idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 15 perc várható értékkel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két látogató érkezése között legalább 10, de legfeljebb 20 perc telik el? b) Adott egy kétdimenziós eloszlás a következő táblázattal:
3
5
7
-1
0,1
0,2
0,1
6
0,2
0,3
0,1
Határozza meg a peremeloszlás-függvényeket és az együttes eloszlásfüggvényt! Határozza meg várható értékét és szórását! III/7. a) Egy kockával tízszer dobunk egymás után. valószínűségi változó értéke jelentse a hatos dobások számát.(Binomiális eloszlás.) Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan négyszer dobunk hatost? b) Adott egy kétdimenziós eloszlás a következő táblázattal:
-2
3
1
0,2
0,3
4
0,4
0,1
Határozza meg a peremeloszlás-függvényeket és az együttes eloszlásfüggvényt! Határozza meg és várható értékét! III/8. 5
valószínűségi változó jelölje egy elektronikus kütyü élettartamát. exponenciális eloszlású, a következő sűrűségfüggvénnyel: 0
, ha
valószínűségi változó
x 0
x 4
f ( x)
1 e , ha 0 x 4 a) Mi a valószínűsége, hogy legalább 3,5 évig működik a kütyü? b) Adott egy kétdimenziós eloszlás a következő táblázattal:
-5
1
7
-4
0,2
0,15
0,1
9
0,2
0,25
0,1
Határozza meg a peremeloszlás-függvényeket és az együttes eloszlásfüggvényt! Határozza meg várható értékét és szórását!
IV. IV/1. Egy dugulás alkalmával a lakást elöntő szennyvíz űrtartalma egy olyan valószínűségi változó, amelynek várható értéke 280 liter, szórása 30 liter. a) Mekkora a P( 300) valószínűség? b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a lakásban lévő szenny űrtartalma 250 liter és 280 liter közé esik? c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy nem tér el a várható értéktől a szórás 1,2szeresénél jobban? d) A várható érték körül milyen x sugarú megbízhatósági intervallumba esik 98%-os valószínűséggel?
IV/2. Egy bizonyos márkájú fogkrém tubusából kinyomható fogkrémcsík hossza normális eloszlást követő valószínűségi változó, 6 méter várható értékkel és 0,4 méter szórással. a) Rajzolja fel a sűrűségfüggvényt; majd a következő kérdésekre adandó válaszait is ábrázolja a Gauss-görbén! a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy tubusból legfeljebb 5 méter hosszú csíkot tudunk kinyomni? b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kinyomható csík hossza 5,5 és 6,2 méter közé esik? c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kinyomható csík hossza nem tér el a várható értéktől a szórás 1,5 szeresénél jobban? d) A várható érték körül milyen x sugarú megbízhatósági intervallumba esik 95%-os valószínűséggel?
6
