www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
F OLYTONOS TESTEK Folyadékok sztatikája Térfogati er˝ok, nyomás A deformáció szempontjából a testre ható er˝oket két csoportba soroljuk. A térfogati er˝ok a test minden részére, a bels˝o részekre és a felületi elemekre egyaránt hatnak. Ilyen például a nehézségi er˝o. Ez például egy ember kezére éppúgy hat, mint a veséjére, a szívére vagy egy vörösvértestre. Az ered˝o nehézségi er˝o a részekre ható nehézségi er˝o (vektori) öszszege. A felületi er˝ok a test felületén hatnak. Ilyenek a felületen ható nyomóer˝ok és súrlódási er˝ok. Világos, hogy a talaj nyomóereje a talpunkon hat, és a felületi rétegekb˝ol adódik át a test bels˝o részeinek. Gondoljunk el valamely deformálható testben (rugalmas testben, folyadékban vagy gázban) egy térfogatrészt, erre a felületi er˝ok csak a felület közvetítésével hatnak.Lehetséges, hogy ez az er˝o befelé hat, mint például a léggömb esetében: a ballon befelé mutató er˝ot fejt ki a gázra. Lehetséges az is, hogy, a felületi er˝o kifelé hat, ezt látjuk akkor, amikor pillanatragasztó tapadt az ujjunk hegyéhez: kifelé húzza a szöveteket. Ha a felületre mer˝oleges felületi er˝o a test felé mutat, akkor a felületegységre vonatkoztatott részének nagyságát nyomásnak nevezzük. Tehát F p= . A A nyomás leggyakrabban használt mértékegysége N/m2 , ezt röviden pascal-nak1 nevezzük és Pa-val jelöljük: [p] = N/m2 = Pa. Gyakran használt mértékegység a bar és az atm: 1 bar = 105 Pa, 1 atm = 101325 Pa = 1, 01325 bar. Használjuk még a N/cm2 mértékegységet is, nyilvánvaló, hogy 104 N/m2 = 1 N/cm2 . A leveg˝o nyomása 1 atm, ez azt jelenti, hogy a talajra négyzetméterenként 105 newton er˝o hat.2 Érzékletesen: 10 N er˝ot érzünk, ha 1 liter vizet tartunk kezünkben, vagyis – jó ha megjegyezzük – 1 kg tömeg˝u test súlya 10 N. Egyszer˝u illusztrációként gondoljuk végig a következ˝o nagyon egyszer˝u, de annál érdekesebb problémát! Egy strandon kiterített sz˝onyeg nagysága 1 m2 . Fontoljuk meg, hogy mekkora er˝ot fejt ki rá a felette lev˝o leveg˝o! Mekkora a sz˝onyeg fölötti 1 m2 keresztmetszet˝u leveg˝ooszlop tömege? (A nehézségi gyorsulás kerekített értéke g = 10 m/s2 .) A megoldás valóban nagyon egyszer˝u. A strandsz˝onyeg 1 m2 es felületére 105 N er˝ot fejt ki rá a Föld légköre. Ez – hozzávet˝olegesen – 104 kg tömeg˝u anyag (például 10 m3 víz) súlya, hiszen az m tömeg˝u test súlya G = mg.
Hidrosztatikai nyomás Folytassuk a gondolatmenetet a következ˝o feladattal. Határozzuk meg a nyomást 10 méter mélyen a víz felszíne alatt! Számítsuk ki a nyomást 20 m, 30 m mélységben! (A víz s˝ur˝usége = 1000 kg/m3 és g = 10 m/s2 .) Megoldás nyilvánvaló. Az A = 1 m2 keresztmetszet˝u h = 10 méter magas = 1000 mkg3 s˝ur˝uség˝u vízoszlop tömege m = Ah = 10000 kg, a súlya Ahg = mg = 100000 N, ezért a folyadékoszlop nyomása Ahg N mg = = hg = 100000 2 = 105 Pa. p= A A m 1
Pascal életével, m˝uvével kapcsolatban érdemes megtekinteni a http:// hu.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal honlapot. Ez persze nem pontos érték, nem a mérés pontatlansága miatt, hanem mert a leveg˝o nyomása ingadozik. Azonban megállapodunk abban, hogy 1 atmoszféra 101 325 Pa. Ez az érték Párizs szélességi körénél a tengerszinten mért átlagos légköri nyomás. Lásd: http://hu.wikipedia.org/wiki/Atmoszf. A feladatokban használhatjuk az 1 atm ≈ 105 Pa közelítést. 2
1
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Következésképp, 10 méter mélyen a folyadék súlyából származó hidrosztatikai nyomás 1 atm. A víz felszínére azonban – ezt az el˝oz˝o feladatban láttuk – a leveg˝o nyomása (a légkörben lév˝o anyag súlyából származó nyomás) 1 atm. A víz felszíne alatt 10 méter mélységben egy búvár a fölötte lév˝o 10 méteres vízréteg és a víz fölötti légkör súlyát érzékeli. Így tehát 10 méter mélyen a víz felszíne alatt a nyomás p(10) = p0 + 10g = 105 + 105 = 2 · 105 Pa. A víz felszíne alatt 10 méter mélyen a nyomás 2 atm. Hasonlóképpen 20 méter mélyen p(20) = p0 + 20g = 105 + 2 · 105 = 3 · 105 Pa, 30 méter mélyen pedig p(30) = p0 + 30g = 105 + 3 · 105 = 4 · 105 Pa. Érdemes megjegyezni: a víz felszíne alatt 10 méterenként 1 atmoszférával n˝o a nyomás.3 (Ez persze azt jelenti, hogy 1 méter mélyen a víz alatt 1, 1 · 105 Pa = 1, 1 atm a nyomás.) A fölöttünk található – 30-40 kilométer vagy még vastagabb – leveg˝oréteg súlya megegyezik 10 méter magas vízoszlop súlyával. Egy 10 méter mély kút aljára ható F er˝o egyenl˝o a víz súlyának és a víz fölötti leveg˝oréteg súlyának összegével: F = Glev. + Gvíz = 2 · 105 N. Jelöljük a kút keresztmetszetét Aval, mélységét h-val, továbbá a térfogategységre jutó tömeget, a s˝ur˝uséget -val. Ekkor a víz mennyisége a kútban m = Ah. Jelöljük a leveg˝o nyomását a föld felszínén p0 -lal, Láttuk, hogy p0 = 1 atm ≈ 105 Pa. Jelöljük most a kút fenekén a víz nyomását p-vel. Így tehát a víz súlya Gvíz , a leveg˝o súlya Glev. = p0 A. Ekkor a kút fenekére – fölülr˝ol lefelé ható – er˝o pA = p0 A + Ahg. Innen azt kapjuk, hogy p = p0 + hg. Itt a hg mennyiséget hidrosztatikai nyomásnak nevezzük. A kút fenekén a nyomás a víz fölötti leveg˝o folyadék felszínére ható nyomásának és a hidrosztatikai nyomásnak az összege. Egy 1 cm2 keresztmetszet˝u alul zárt függ˝oleges cs˝obe h1 = 0, 6 m magasan vízet, erre h2 = 0, 4 m magasan 2 = 0, 8 kg/dm3 s˝ur˝uség˝u) benzint töltünk (1. ábra). Határozzuk meg a folyadékoszlop nyomását a cs˝o aljánál, a cs˝o alja felett 20 cm-re, 40 cm-re, 60 cm-re, 80 cm-re és 100 cm-re! Mekkora er˝ot fejt ki a folyadék a cs˝o aljára? A probléma megoldásához fontoljuk meg a következ˝ot. Ismert, hogy s˝ur˝uség˝u folyadékban a felszín alatt h mélységben a nyomás egyenl˝o a hg folyadéksztatikai nyomás és a folyadék felszínén kialakult nyomás összegével. A mi esetünkben a benzin felszínén a nyomás egyenl˝o a felszínnel érintkez˝o légkör p0 nyomásával. Így a benzin legfels˝o pontjában – a cs˝o alja fölött 100 cm-rel – a nyomás p(1, 00) = p0 = 101300 Pa.4 Ezért a benzin felszíne alatt 20 cm mélyen – a cs˝o alja fölött 0,8 m magasan – a nyomás p(0, 80) = p0 + 0, 2benzin g = 102686 Pa, 3
Hangsúlyozni kell,– bár a feltételekb˝ol következik –, hogy édesvízr˝ol van szó, a sós tengervíz s˝ur˝usége nagyobb az édesvíz s˝ur˝uségénél. 4 A víz- és benzinoszlop hosszának cm-es pontossága megköveteli, hogy a légkör nyomásának pontosabb értékével és g = 9, 8 m/s2 -tel számoljunk, azaz nem éltünk a szokásos p0 ≈ 100 000 Pa és a g ≈ 10 m/s2 közelítésekkel.
2
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
1. ábra. és a benzin legmélyebb pontjában, a víz benzinnel értintkez˝o pontjaiban p(0, 60) = p0 + 0, 4benzin g = 104436 Pa lesz a nyomás. Azt kaptuk tehát, hogy lefelé haladva 20 cm-enként 1568 Pa-lal n˝o a benzin nyomása. Következésképp a víz felszíni rétegében p∗ = 104436 Pa a nyomás egyenl˝o a 40 cm magas benzinoszlop nyomásával. Amikor a víz felszíne alatt számoljuk a nyomást, a p∗ -nak ugyanaz a szerepe, mint a p0 -nak volt, amikor a benzin belsejében határoztuk meg a nyomást. Így tehát a víz felszíne alatt lefelé haladva 20 centiméterenként 1960 Pa-lal ny˝o a nyomás, vagyis p(0, 4) = p∗ + 0, 2víz g = (p0 + 0, 4benzin g) + 0, 2víz g = 106396 Pa, p(0, 2) = p∗ + 0, 4víz g = (p0 + 0, 4benzin g) + 0, 4víz g = 108356 Pa, p(0, 0) = p∗ + 0, 6víz g = (p0 + 0, 4benzin g) + 0, 6víz g = 110316 Pa. Az könnyen látható, hogy a víz által a cs˝o aljára kifejtett – lefelé mutató – er˝o nagysága p(0, 0) · A = 110316 m2 · 10−4 Pa ≈ 11, 03 N, ebb˝ol a benzin fölötti leveg˝o súlya mintegy 10 N, a benzin és a leveg˝o együttes súlya nagyjából 1 N. (Egyébként itt láttunk egy példát arra, hogy számolás közben mértékegységekkel is számoltunk. Feladatmegoldói tapasztalat az, hogy a folyadékok és gázok statikájában ez néha hasznos lehet.)
Pascal törvénye Egy mindkét végén nyitott „elég hosszú” függ˝oleges csövet vízbe állítunk úgy, hogy kiemelkedik a vízb˝ol. A cs˝obe h = 0, 6 m hosszú benzinoszlopot töltünk. Milyen magasan van a benzinoszlop fels˝o vége a víz felszíne fölött és milyen mélyen van az alsó része a víz felszíne alatt? A probléma megoldásához vezessük be a 2. ábrán látható jelölést: legyen x a cs˝oben és a csövön kívül a vízfelszínek távolsága. Vizsgáljuk meg a nyomást a cs˝oben a víz felszínén! Ez a csövön belül p0 + hbenzin g, a csövön kívül ugyanebben a magasságban p0 + xvíz g. Pascal törvénye szerint nyugvó összefügg˝o azonos min˝oség˝u folyadékban minden pontban azonos a nyomás, ezért p0 + hbenzin g = p0 + xvíz g.
Innen x=h
benzin = 56 cm. víz 3
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
2. ábra. Így azt kapjuk, hogy a csövön belül a benzin fels˝o pontja a kádba töltött víz felszíne fölött van h − x = 4 cm-rel. Ez azt jelenti, hogy – vegyük szemügyre jól az ábrát! – 56 cm magas vízoszlop nyomása egyenl˝o 60 cm magas benzinoszlop nyomásával. Egy formájú – „U alakú” – vékony üvegcs˝o függ˝oleges szárai 1 méter hosszúak. A cs˝oben alul h = 30 cm magasságig Hg = 13, 6 g/ cm3 s˝ur˝uség˝u higany van. Ezután a bal oldali szárba L = 70 cm magas vízoszlopot töltünk (3. ábra). Milyen magasan állnak ezután a két szárban a higanyszintek? A megoldás érdekében vezessük be az ábrán látható jelöléseket! Jegyezzük meg mindenek el˝ott5 , hogy x + y = 2h, azaz például y = 2h − x = 0, 6 − x. A bal oldali szárban a cs˝o alján a könyöknél a nyomás p0 + Lg + xHg g, a jobb oldali szárban ugyanebben a magasságban p0 + yHg g. Mivel pedig Pascal törvénye szerint nyugalmi állapotban homogén folyadékban bármely vízszintes sík minden pontjában azonos a nyomás, ezért p0 + Lg + xHg g = p0 + yHg g. Az adatokat figyelembe véve azt kapjuk, hogy 10000 + 136000x = 136000(0, 6 − x), hiszen g = 10000 N/ m3 és Hg g = 136000 N/ m3 , azaz 10 + 136x = 136(0, 6 − x), és ezért x = 0, 264 m = 26, 4 cm és y = 0, 336 m = 33, 6 cm. A bal oldali szárban 26,4 cm, a jobb oldali szárban 33,6 magasan áll a higany. A higanyszintek különbsége 7,2 cm, innen látható, hogy a bal
3. ábra. 5 Sokszor nagyon hasznos hogy miel˝ott a feladat érdemi megoldásához hozzáfognánk, a nyilvánvaló geometriai viszonyokat tisztázzuk.
4
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
oldali szárban z = 7, 2/2 = 3, 6 cm-t süllyedt a higanyszint, a jobb oldali szárban pontosan ennyivel emelkedett. Egy U alakú vékony üvegcs˝o függ˝oleges szárai L = 1 méter hosszúak. A cs˝oben alul h = 30 cm magasságig Hg = 13, 6 g/ cm3 s˝ur˝uség˝u higany van. Ezután a bal oldali szárat feltöltjük vízzel. Határozzuk meg, hogy milyen magasan állnak a két szárban a higanyszintek! Miyen hosszú a cs˝obe töltött vízoszlop? A megoldás érdekében alkalmazzuk a 4. ábrán látható jelöléseket: a bal oldali szárban a higanyoszlop magasságát jelöljük x-szel, a jobb oldali szárban y-nal. Nyilvánvaló, hogy a bal oldali szárban a vízoszlop magassága L − x. Világos az is, hogy x + y = 2h, hiszen a higanyszál hossza állandó. A vízszintes
4. ábra. szárban mindenütt azonos a nyomás: ez a bal oldali könyöknél: pbal = p0 + (L − x)v g + xHg g, a jobb oldali könyöknél pjobb = p0 + yHg g. Tehát a feladat megoldását leíró egyenletrendszer: p0 + (L − x)v g + xHg g = p0 + +yHg g, . x + y = 2h Helyettesítsük be az adatokat! A távolságot méterben, a s˝ur˝uséget kg/m3 -ben mérjük. Így y = 0, 6 − x. Ezt az els˝o egyenletbe helyettesítjük, ezután p0 -at mindkét oldalhoz hozzáadjuk, majd gvel egyszer˝usítünk, végül 1000-rel osztjuk az egyenletet: (1 − x) + x · 13, 6 = (0, 6 − x) · 13, 6, innen azt kapjuk, hogy x = 0, 273 m = 27, 3 cm és y = 0, 326 m = 32, 6 cm. Könnyen látható, hogy z = (y − x)/2 = 0, 027 m = 2, 7 cm, azaz a bal oldali szárban 2,7 cm-rel süllyed, a jobb oldali szárban 2,7 cm-rel emelkedik a higany szintje, és így a cs˝obe töltött vízoszlop hossza 62,7 cm.
5
