1
Egy hidrosztatikai problémáról Az [ 1 ] műben találtam az 1. ábrát, a szövegével együtt:
1. ábra „ Az …ábrán látható kísérlet során a mérleg egyik serpenyőjébe dugóval alátámasztott, vízzel telt üvegedényt helyeztünk és kiegyensúlyoztuk. Ha a víz felszínére tetszőleges helyen, aszimmetrikus nyomást gyakorlunk, a mérleg lebillen, de az edény nem borul fel. Ezt azzal magyarázhatjuk, hogy az edény aljára ható többletnyomás minden pontban ugyanakkora, tehát a nyomóerők eredőjének hatásvonala továbbra is metszi az alátámasz tási felületet ( a dugót ), ezért az edény egyensúlyban van.” Ezzel kapcsolatban az jutott eszembe, hogy jó - jó, de mit jelentsen az, hogy aszimmetri kus nyomás gyakorlása? Biztosan azt, hogy a vízbe lógatott testet nem a dugó fölé helyez tük; és mivel Pascal törvénye szerint – ld. [ 1 ]! – a folyadékra gyakorolt külső nyomás ból származó nyomás a folyadék belsejében és határfelületén minden irányban ugyanak kora, így az edény alján a nyomóerő a dugó tengelyébe esik. Ezt értjük. De mégis: hogyan fejlődik ki az aszimmetrikus nyomás? Ezek szerint igazából sehogy, mert a nyomás a folyadéktest egy vízszintes metszetében egyenletesen, egy függőleges metszetében pedig a mélységgel egyenesen arányosan változó megoszló erőrendszer formájában jelentkezik. Valójában az történik, hogy ha a testet a vízbe merítjük, akkor a bemerülő térfogatnak megfelelő, azzal egyenlő nagyságú vízkiszorítás miatt a víz felszíne megemelkedik, emiatt megnő a fenék fölötti vízoszlop magassága, ezzel együtt pedig a fenékre ható hidrosztati kai nyomás, valamint a fenékre ható nyomóerő nagysága is. Azután meg az is eszembe jutott, hogy a test vízbe merítése miatt mekkora többlet - erő hat a mérleg ( itt ) bal oldali serpenyőjére, ami miatt aztán a mérleg bal oldala lebillen? Válaszom: a bal oldali serpenyőre a bemerített testre ható felhajtóerő ellenereje hat. Ez az akció - reakció törvényéből adódik.
2
Ezzel kapcsolatos az alábbi, [ 2 ] - ből vett Feladat: Vizet tartalmazó mérőhengert mérlegen mérve azt tapasztaljuk, hogy a tömege 20 g. Ezután cérnára függesztve belelógatunk a vízbe egy kis fémdarabot, melynek sűrűsége 3 g / cm3, térfogata 1 cm3, és sehol sem ér az edényhez. Mit mutat most a mérleg? Megoldás: A víz és a mérőhenger együttes súlya: A ( teljesen vízbe merülő ) fémdarabra ható felhajtóerő nagysága – Arkhimédész törvénye szerint – ld. [ 1 ] ! – megegyezik a fémdarab által kiszorított víz súlyával:
A víz 0,00981 N nagyságú, felfelé mutató nyílértelmű felhajtóerőt fejt ki fémdarabra; tehát az akció - rekció elve miatt a fémdarab ugyanekkora R nagyságú erővel nyomja lefelé a vizet, ahol a vektorokra fennáll, hogy Eszerint lefelé összesen tehát nagyságú erő hat; ez nyomja a mérleget, tehát ezt mutatja a mérleg. Ezzel a feladatot megoldottuk – Mr. Halpern, az Olvasó és én.
Megjegyzések: M1. A fenti feladat másképpen is megoldható; egy más megoldás [ 2 ] - ben is megtalál ható. A fenti megoldás során nem volt szükség a fémdarab sűrűségére. Viszont a szöveg nem említette, hogy a fémdarab teljesen a vízbe merül, így azt itt feltételeztük. M2. E dolgozat írása kapcsán a megtekintett könyvekben egy érdekes ellentmondásra bukkantam. Arkhimédész koronás történetéről van szó, melynek végkimenetele a két könyvben eltér egymástól. Az egyik könyv [ 3 ], a másik könyv [ 4 ]. [ 3 ] - ban: „A korona készítője nagy bajban volt.” [ 4 ] - ben: „…a korona színarany, készítője becsületes ember.” Akkor most melyik történet igaz? Ki tudja jól – vagy rosszul – a történetet?
3
M3. [ 2 ] - ben ezt írják: „Tehát a mérleg a teljes mg - nél a fonálerővel mutat kevesebbet.” Ezt érdemes értelmezni. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra A fémdarabra ható erők: ~ a Gfém súlyerő / gravitációs erő; ~ az F felhajtóerő; ~ az S fonálerő. Ezek között a kapcsolat egy függőleges egyensúlyi egyenlettel: (*) Az üvegedény aljára ható erők: ~ az üvegedény és a benne lévő víz súlya: Gvíz + üveg ; ~ a fémdarabra ható felhajtóerő ellenereje: R; ~ a mérlegtányér támasztóereje: T. A pohár függőleges egyensúlyi egyenlete: ezzel miatt: átalakítással: ( ** )
4
így a teljes súlyerő nagyságának
rövidítő jelölésével, valamint ( * ) és ( ** ) - gal: ( *** ) tehát valóban fennáll, hogy a mérleg a teljes súlynál a fonálerővel mutat kevesebbet. M4. Ezután vizsgáljuk meg a fenti feladathoz nem tartozó azon esetet is, amikor a fémdarab az üvegedény alján nyugszik! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra Erről azonnal leolvasható, hogy a mérleg a
teljes súlyerő - nagyságot mutatja. M5. Egy idevágó téma: szilárd testek sűrűségének meghatározása Arkhimédész törvénye alapján. Ehhez ld. az [ 5 ] munkát is! M6. Az M2. - ben feltett kérdés eldöntéséhez a [ 6 ] munkához fordulhatunk. Itt azt olvashatjuk, hogy „tehát az ötvös a korona elkészítéséhez ezüstöt is használt, és így csalása egyértelmű bizonyítást nyert.” Azt persze továbbra sem értjük, hogy hogyan lehet az, hogy egy ismert ókori történet két, egymással ellenkező eredménnyel maradjon fenn…
5
M7. A [ 6 ] műben egyebek mellett ezt olvashatjuk Arkhimédészről: „ Arkhimédész neve több vonatkozásban is ismerősen cseng fülünknek. Mint az ókor egyik legnagyobb ( ha nem a legnagyobb ) matematikusa és fizikusa, már életében kivívta kortársai bámulatát, és így a mesélő történelem életének számos epizódját örökítette meg. VITRUVIUS, a neves római építész, meséli azt a történetet, hogy HIERÓN király egy aranykoronát akart mint fogadalmi ajándékot adni az isteneknek. Ezért meghatározott aranymennyiséget adott az ötvösnek, hogy készítse el a koronát színaranyból. A király nagyon meg volt elégedve a korona művészi kivitelével. Felmerült azonban benne a gyanú – bár a korona súlya megegyezett az átadott aranymennyiség súlyával – , hogy az ötvös elcsalt az aranyból, és a hiányt ezüsttel pótolta. Megkérte ARKHIMÉDÉSZt, hogy találjon ki módszert arra, hogyan lehetne megállapítani a korona épségben tartása mellett azt, hogy valóban színaranyból van - e vagy arany - ezüst ötvözetből. ARKHIMÉDÉSZ ezen a problémán töprengett akkor is, amikor a fürdőbe szállt, és észrevette, hogy a kádból víz ömlik ki, amikor belemerül. Ekkor jött rá a probléma megoldására. Úgy megörült, hogy kiugorva a fürdőből, azon vizesen és csupaszon, rohant Szirakuza utcáin a királyhoz, kiabálva a szállóigévé vált mondást: Heuréka, heuréka! ( Megtaláltam, megtaláltam! )” A fizikai probléma részletes megoldásához ld. a [ 6 ] művet! Simonyi így ír Arkhimédész vízkiszorításos módszeréről: „ Arkhimédész ezen módszerének az a jelentősége, hogy közvetlenül elvezet a fajsúly, illetőleg a fajlagos térfogat fogalmához, továbbá annak mérésére módszert is ad, méghozzá olyan módszert, amelyet ma is használnak.” M8. A SZÜRAKUSZAI ARKHIMÉDÉSZ munkásságáról még sok érdekes dolgot tudhat meg az Olvasó a [ 7 ] munka tanulmányozása által is . Ajánljuk figyelmébe! M9. A címben szereplő hidrosztatika kifejezés magyarra „folyadékok statikája” - ként fordítható – ld. [ 8 ]! Itt dolgozatunk témájába vágó egyéb feladatokkal is találkozhatunk.
Irodalom: [ 1 ] – Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Mechanika II. Dialóg Campus Kiadó, Pécs - Budapest, 2001. [ 2 ] – Alvin M. Halpern: Fizika példatár Panem ~ McGraw-Hill, Budapest, 1995.
6
[ 3 ] – Alvin Hudson ~ Rex Nelson: Útban a modern fizikához LSI Oktatóközpont, Budapest, 1994. [ 4 ] – George Gamow ~ John M. Cleveland: Fizika 2. kiadás, Gondolat, Budapest, 1977. [ 5 ] – Főszerk. Holics László: Fizika 2. kiadás, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2011. [ 6 ] – Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete 3. kiadás, Gondolat Kiadó, Budapest, 1986. [ 7 ] – Sain Márton: Nincs királyi út! Matematikatörténet Gondolat, Budapest, 1986. [ 8 ] – Baranyi Károly: A fizikai gondolkodás iskolája 1. kötet: Mechanika Akadémiai Kiadó, Budapest, 1992.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. 12. 05.
