FOLYAMATSZABÁLYOZÁS 2. A szabályozás

Szabályozástechnika

A szabályozás

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Irányítástechnika és Informatika Tanszék

Szilágyi Béla – Benyó Zoltán – Juhász Ferencné – Kovács Levente

FOLYAMATSZABÁLYOZÁS 2. A szabályozás

2.

Szabályozástechnika MATLAB

2007

http://bio.iit.bme.hu/hun/ (Oktatás -> Kötelező tantárgyak -> Folyamatszabályozás)

2007. október 4.

1

SZB


2007. október 4.

A szabályozás

2

SZB


A szabályozás

ua

A szabályozó berendezés alrendszere C (controller) xc(t)

uz

uzm

zavarkompenzáció

u

A szabályozott folyamat alrendszere P (process) xp(t)

y

belső visszacsatolás állapot visszacsatolás y visszacsatolása ( fő visszacsatolás)

A szabályozási rendszer hatásvázlata

2007. október 4.

3

SZB


A szabályozás

Tartalomjegyzék

2. A szabályozás 2.1 A szabályozás szerkezeti vázlata, működési vázlata, és hatásvázlata 2.11 A szabályozási rendszer szerkezeti vázlata Fordulatszámszabályozás szerkezeti vázlata Szintszabályozás szerkezeti vázlata 2.12 A működési vázlat. A szabályozó berendezés szervei 2.13 A hatásvázlat

2.2 Jelátvivő tagok alapkapcsolásai. A visszacsatolás 2.21 Tagok soros–, és párhuzamos kapcsolása 2.22 Tagok visszacsatolása 2.221 Példa 2.222 Példa 2.23 A hatásvázlat átalakítása 2.231 Példa 2.312 Példa

2.3 A lineáris szabályozás 2.31 A zárt szabályozási rendszer gyökhelygörbéje 2.311 Példa 2.32 A másodrendű zárt szabályozási rendszer. A domináns póluspár 2.33 A szabályozás minőségi jellemzői

2.4 Függelék

2007. október 4.

4

SZB


A szabályozás

2. A szabályozás A szabályozási rendszer részei (alrendszerei) a szabályozott folyamat, illetve a folyamathoz illesztett szabályozó berendezés. A szabályozó berendezés azon szervek összessége, amelyek segítségével a szabályozási feladat megoldható. A rendszer leírásának a egy abszrahált formája a hatásvázl − 1 x1 (t ) at, amikor is egy–egy jelátvivő taggal a0 jellemezzük mind a folyamatot (ez a tag a szabályozott szakasz), mind pedig a szabályozó berendezést, feltüntetve ezen a tagok ki–, és bemenő jeleit, és az állapotváltozóit. uzm

uzn

zavarkompenzáció

ua

Az szabályozó berendezés alrendszere C (controller) xc(t)

u

A szabályozott folyamat alrendszere P (process) xp(t)

y

belső visszacsatolás állapotvisszacsatolás y negatív visszacsatolása (fő visszacsatolás)

A szabályozási rendszer hatásvázlata

A szabályozás hatásvázlata azt szemlélteti, hogy a folyamat y szabályozott jellemzőjét az u irányító jel, illetve az uz zavaró jelek befolyasolják (uzm a mérhető, és a szabályozási algoritmusképzésébe bevont–, uzn a nem mért zavarások, y a folyamat kimenő jele, az u és az uz jelek a folyamat bemenő jelei). A szabályozó berendezést absztraháló tag kimenő jele az u irányító jel, bemenő jelei, pedig a szabályozott jellemző előírt értékét (az yA alapértéket) megjelenítő ua alapjel, illetve az y szabályozott jellemző. A szabályozás egyik célja, hogy az uz zavarásoknak a szabályozott jellemzőre gyakorolt nemkívánatos hatását mérsékeljük (zavarelhárítás), másik célja pedig, hogy a szabályozott jellemző y tényleges értéke kövesse az ua alapjellel definiált yA alapértéket (követés). Mindkét cél elérésének eszköze az u irányító jelnek a szabályozó berendezés által megvalósuló szándékolt módosítása. Általános szabályozási alapelv, hogy a szabályozó berendezés előállítja az yA–y hibával arányos jelet (a h hibajelet), és ennek a hibajelnek a függvényében hozza létre az u irányító jelnek a beavatkozáshoz szükséges változtatását. Igényesebb követelmények kielégítésére az irányító jel előállításának algoritmusába a hibajelen túlmenően szerepet kaphatnak az uzm zavaró jelek (zavarkompenzáció), a folyamat xp állapotváltozói (állapotvisszacsatolás), sőt maga az előállítandó u irányitó jel is (belső visszacsatolás). Miután a hatásvázlat mindkét alrendszere az xp, és az xc állapotváltozókkal jellemzett dinamikus rendszer, ezért általános esetben nemlineáris állapotegyenletek írják le a folyamatot is, illetve a szabályozó berendezést is. Ezek alakja:

2007. október 4.

5

SZB


A szabályozás

dx p (t ) dt

= f p ( x p , u, u z )

y = g p ( x p , u, u z ) dxc (t ) = f c ( xc , x p , u, y, u a , u zm ) dt u = g c ( xc , x p , u, y, u a , u zm ) Ez a közönséges, elsőrendű fp és fc vektor-differenciálegyenletekből, illetve gp és gc vektor– algebrai egyenletekből álló egyenletrendszer a matematikai modellje az alrendszereknek (az első két egyenlet a folyamatnak, a második kettő, pedig a szabályozó berendezésnek), illetve a visszacsatolásokat tartalmazó teljes szabályozási rendszernek is. Ezt a matematikai modellt szimbolizálja a rendszer hatásvázlata. Az eredő rendszert tekintve bemenő jelek a folyamat uz zavaró jelei, és a szabályozó berendezés ua alapjele, a kimenő jelek, pedig az y szabályozott jellemző, és az u irányító jel. Az u irányító jelet – bár ez a szabályozási rendszer egy belső jele – azért vesszük fel a kimenő jelek sorába, mert a fizikai rendszer üzemvitelében ennek „nyomonkövetése” is jelentőséggel bír. Az eredő rendszer x állapotváltozójának komponensei a folyamat, illetve a szabályozó berendezés xp és az xc belső jelei. ua uz

y

xp xc

u

Az eredő rendszert absztraháló jelátvivő tag

A matematikai modell, illetve az ezt szimbolizáló hatásvázlat alapján a rendszer működési viszonyait illetően általában az alábbi kérdéseket lehet feltenni, és kell megválaszolni: 1.) Adott, állandó értékű ua0, uz0, bemenő jelek mellett, a visszacsatolt zárt szabályozási rendszerben kialakulnak–e az állapotváltozóknak, és a kimenő jeleknek egy xp0, xc0, u0, y0 állandósult értékei? Az állandósult állapot létrejöttének milyen feltételei vannak? (A szabályozási rendszer stabilitásának vizsgálata). 2.) Milyen módon határozható meg a folyamat fp és gp matematikai modellje? (Fizikai törvények alkalmazásával megvalósuló folyamatleírás, vagy kisérleteken alapuló folyamatidentifikáció). 3.) Adott ua(t), uz(t), bemenő jelek, és fp, gp, fc, gc függvények mellett hogyan változnak az xp(t), xc(t) állapotváltozók valamint az u(t) és y(t) kimenő jelek időfüggvényei? Állandó értékű ua0, uz0, bemenő jelek mellett, a visszacsatolt zárt szabályozási rendszerben mekkorák az állapotváltozóknak, és a kimenő jeleknek az xp0, xc0, u0, y0 állandósult értékei? (Analízis jellegű feladat). 4.) Milyen elvek alapján, milyen alakban, és milyen paraméterekkel kell megválasztani a szabályozó berendezés jelátviteli tulajdonságait leíró fc és gc függvényeket? (Szintézis jellegű feladat, a szabályozási algoritmus tervezése). 5.) Adott ua(t), uz(t) bemenő jelek, fp, gp függvények és az y(t) szabályozott jellemzőre vonatkozó előírások mellett hogyan kell megválasztani az irányító berendezést leíró fc, gc függvényeket? (Szintézis jellegű feladat, optimalizálás). 6.) A szabályozó fc és gc matematikai modelljének paraméterei milyen mértékben befolyásolják a rendszer zavarelhárítási, illetve követési tulajdonságait? 7.) A rendszertechnikai tervezés eredményeként kapott fc és gc függvények milyen technikai eszközökkel realizálhatók? (Hardware tervezés).

2007. október 4.

6

SZB


A szabályozás

8.) Milyen szabályozástechnikai funkciókkal rendelkező szervekből épüljön fel a szabályozási rendszer? Milyen védelmi rendszereket kell kialakítani a kellően biztongos üzemvitelre? Milyen jelzőberendezések, és kezelőszervek szükségesek a megfelelő minőségű ember–gép kapcsolat kialakításához? stb… Mindezen kérdések megválaszolása a rendszer matematikai modelljének az analízise alapján lehetséges. Ennek az elegendően pontos modellnek – a gyakorlati megoldásokban is felhasználható – megalkotása a szabályozástechnika tárgykörének egyik legnehezebb feladata. A szabályozott folyamatok természetüknél fogva igen sokfélék, de a szabályozó berendezések is változatos képet mutatnak. A hatásvázlat ezt a sokféleséget – a matematiai modellt szimbolizáló absztrahált ábra formájában – egységes szemlélet alpján képes kezelni. A hatásvázlat elvonatkoztat a szerkezeti megoldásoktól, és egy alkalmasan megválasztott lényegkiemeléssel kizárólag a függvénykapcsolatokat jeleníti meg. Felépítéséhez a rendszer tényleges szerkezeti–áramköri elrendezése lehet a kiindulási pont, majd az absztrakció különféle mélységeit alkalmazva juthatunk el a rendszertecnikai vizsgálatokat lehetővé tevő matematikai modellhez, illetve az ezt megjelenítő, és szemléltető hatásvázlathoz. Megjegyzés: A szabályozási feladatok megoldására a negatív visszacsatolás elvét a biológiai-, élettani evolúció folyamatában az élő természet már igen régen (valószínűsíthetően kialakulásának pillanatától) alkalmazza. Az elv ösztönszerű, ember által alkotott folyamatokban történő felhasználására (a kulturális evolúcióban) már az ókorban (az időszámítás előtti harmadik, második évezredben) sor került. A tudatos technikai alkalmazás James Watt (skót feltaláló, eredeti foglalkozását tekintve műszerész és géplakatos) nevéhez fűződik. (Gőzgép fordulatszám szabályozása centrifugális inga – mint fordulatszám szabályozó – segítségével: A gőzgép fordulatszáma a terhelés növekedésének hatására csökken. Ez a fordulatszám csökkenés a bevitt gőzmennyiség megnövelésével szüntethető meg. Watt a fordulatszámot egy centrifugális inga segítségével mérte. A fordulatszám esésekor az érzékelő szerv elmozdulása automatikusan megnövelte a gépbe vitt gőzmennyiséget, és így a fordulatszám terheléstől való függése – emberi közreműködés nélkül – megszüntethetővé vált). James Watt (1736-1819) Dr. Joseph Black (a kémia és az orvostudományok professzora, a hőtan tudományának egyik megalkotója) kortársa. Dr. Black tudományos eredményeit tanítványai tették közzé, köztük Robinzon Lectures című könyvében. Robinzon ezt a könyvét Wattnak dedikálja, az alábbiak szerint1: Tisztelt Uram! Azt hiszem, azzal, hogy az Ön levelével kezdem a mi kiváló Mesterünk előadásainak ezen kiadását, a legmélyebb tiszteletemet fejezem ki iránta, és ugyanakkor szolgálatot teszek a köznek is. Az Olvasó figyelmét Dr. Black legkiválóbb tanítványára felhívva, emlékeztetem Önt azon fontos eredményekre, amelyek éppen Mesterünk felfedezéseiből eredtek. Biztos, hogy a modern időkben senki sem járult annyival az ember erejének növeléséhez, mint éppen Ön, tökéletesítve a gőzgépet, amelyről Ön azt vallja, hogy Dr. Blacktól kapott instrukciók alapján tudta azt véghezvinni. Az Ön példáján akarom megmutatni az Olvasónak, hogy nincs a tudományos képesség olyan magas foka, amelynek elérése reménytelen lenne számára, ha szilárdan követi a kísérleti vizsgálatok józan tervét, mint ahogy azt oly kitartóan hajtogatta Dr. Black, és ugyanakkor süket a ragyogó elméletek elbájoló ígéreteivel szemben. A szikra, amelyet így szétszórok, alkalmas anyagban világítóvá válhat… azokban, akik önmaguk sem ismerik erőiket. Talán még az Öné is szunnyadna, ha nem fedezte volna fel Dr. Black a rejtőző tüzet… Ezek a gondolatok a mai napig megőrizték aktualitásukat, bár a hosszú időn át „Csipkerózsika álmukat” alvó „ragyogó elméletek elbájoló ígéretei” napjainkban a gyakorlat részeseivé válnak (pl. Ljapunov stabilitáselmélete). 1

Irodalom: Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete. Gondolat, 1978.

2007. október 4.

7

SZB


A szabályozás J.Watt vezette be a teljesítmény mérésére a lóerő (LE) fogalmát (Egy ló 1 perc alatt 33000 angol fontot képes 1 angol láb magasságba emelni. Ez a jelenleg meghatározott definíció szerint 1LE=75 kilopondméter másodpercenként, ami egyébként kereken 736 Watt). Az energetikai folyamatoknak (szén vegyi energiájának hőenergiává–, illetve a hőenergia mechanikai energiává való átalakítása, a gőzdugattyú egyenes vonalú mozgásából forgó mozgás létrehozása), az informatikai folyamatokkal (gőzgép fordulatszám szabályozása) történő közös szemléletében Watt meghatározó szerepet játszott. Az 1 bit információ egység értelmezése, vagy a dinamikus rendszernek a Laplace transzformációra épülő matematikai modellalkotásának alkalmazása természetesen ekkor még váratott magára. A Heaviside által bevezetett – a lineáris áramkörök vizsgálatát támogató – átviteli függvény fogalma (kb. 1910), illetve a visszacsatolt műveleti erősítők kísérleti vizsgálata során (Nyquist, Bode, Mihajlov kb. 1930-1940) megjelenő gerjedési (labilitási) jelenségeknek a tanulmányozása teremtette meg azt a lehetőséget, hogy az általános dinamikus rendszereknek - így a visszacsatolt lineáris szabályozásoknak is – a rendszerelmélete kialakuljon. J. Watt – alapvetően a kísérletekre és az ezekből levonható tapasztalatokra alapozva – ezen ismeretek hiányában is maradandót alkotott.

2.1 A szabályozás szerkezeti vázlata, működési vázlata, és hatásvázlata 2.11 A szabályozási rendszer szerkezeti vázlata

A szerkezeti vázlat a különféle szabályozások tényleges elrendezését, szerkezeti megoldásának részleteit, áramköri kapcsolási vázlatait, olyan mélységű részletezéssel tartalmazzák, amelynek alapján a szabályozó berendezés egyes szerveinek–, és magának a teljes szabályozási rendszernek is, a fizikai működése nyomonkövethető. Ennek megfelelően, (miután az irányítások igen sokfélék) a szerkezeti vázlatok is igen változatos képet mutatnak. A szerkezeti vázlatot két példán – jelentős sematizálással –illusztráljuk. Fordulatszámszabályozás szerkezeti vázlata

A szabályozási feladat az állandó gerjesztésű egyenáramú motor fordulatszámának – függetlenül az uz= mt terhelő nyomaték változásaitól – állandó értéken való tartása. Mivel az állandó gerjesztésű egyenáramú motor fordulatszáma a terhelő nyomatékon túlmenően a gép uk kapocsfeszültségétől is függ, a szabályozási feladat úgy oldható meg, hogy a terhelés okozta fordulatszámcsökkenést a kapocsfeszültség adott mértékű megnövelésével hatástalanítjuk. Mindezt – egy alkalmasan megválasztott szerkezeti megoldással – emberi (gépkezelői) közreműködés nélkül is megvalósíthatjuk2. A fordulatszámszabályozás szerkezeti–áramköri elrendezése látható a következő ábrán. Ezen a szerkezeti vázlaton a külsőgerjesztésű egyenáramú motor képviseli a szabályozott folyamatot, szabályozott jellemző a motor fordulatszáma, illetve az ennek megfelelő y=ω szögsebessége.

2

Az egyenáramú gép fordulatszámának kézi szabályozásakor mérőműszerrel kell mérni a motor fordulatszámát, és ha ez a fordulatszám megváltozna, a gépkezelő – egy alkalmasan megválasztott, beállíthatő feszültséget szolgáltató tápegység feszültségének változtatásával – növeli–, vagy csökkenti a motor kapocsfeszültségét. Az automatikus szabályozó a gépkezelő szerepkörét veszi át.

2007. október 4.

8

SZB


A szabályozás

Szabályozó berendezés

-UT

A szabályozott folyamat (egyenáramú motor)

+UT

Érzékelő szerv (fordulatszám érzékelő generátor, TD)

Szabályozó (elektronikus áramkör)

P

Előerősítő Jelformáló Teljesítmény erősítő

ua +UT

gerjesztő fluxus

uk

r

mt

+

Motor

e

ω=y

-

i

(Szabályozó) Alapjel képző szerv

–UT e

Egyenáramú motor automatikus fordulatszám szabályozásának szerkezeti–áramköri vázlata

A fordulatszám mérő generátor (érzékelő szerv: tahométerdinamó, TD) állítja elő a fordulatszám mindenkori tényleges értékének megfelelő e ellenőrző jelet, amely arányos a gép fordulatszámával: e=AEω, ahol AE az érzékelő szerv átviteli tényezője. A fordulatszám kívánt értékét (az yA alapértéket) az alapjel képző szerv (potenciométer, P) ua alapjele reprezentálja. Az alapjel, és a szabályozott jellemző különbségének képzése (a hibával arányos r rendelkező jel előállítása) most igen egyszerű, miután ua és e jelek jelhordozója villamos egyenfeszültség. Ezért a két feszültség „szembekapcsolásával” a rendelkező jel jön létre. Az r rendelkező jellel befolyásolható a szabályozó u kimenő jele (a módosított jellemző), amely most a motor uk kapocsfeszültsége. A zavarelhárítás hatásmechanizmusa: ha a terhelőnyomaték növekedése miatt a gép fordulatszáma csökken, akkor az érzékelő szerv e kimenő jele is csökken. Állandó ua0 alapjel mellett az r rendelkező jel növekszik, ami a motor uk kapocsfeszültségét növeli. Ez a kapocsfeszültség növekedés a fordulatszám terhelés okozta csökkenését mérsékelni igyekszik. Ha stabilis a zárt szabályozási rendszer, akkor állandó ua0 alapjel, és uz0 zavaró jelek mellett a szabályozási hurok minden jele előbb–utóbb az egyensúlyi értékére áll be. Szintszabályozás szerkezeti vázlata

A szabályozási feladat egy szabadkiömléssel rendelkező tartály folyadékszint helyzetének az állandó értéken való tartása, függetlenül attól, hogy a tartályba beáramló uz folyadékhozam hogyan változik. Erre lehetőséget az teremt, hogy az uz szinthelyzetre gyakorolt nemkívánatos hatását az um hozam szándékolt megváltoztatásával egyenlítjük ki. F keresztmetszetű hengeres tartály szintszabályozásának szerkezeti vázlatát tartalmazza a következő ábra.

2007. október 4.

9

SZB


A szabályozás

Szabályozó berendezés

Szabályozott folyamat

Beavatkozó szerv (tolózár)

B

uz

um

Hidraulikus szervomotor

ub V

Különbségképző rudazat

y=h

r=α TE

uv K

ua=fa

e=fe a

P0

PT

P0

A

F

p=γh

É

f q=μf√(2gh)

Hidraulikus erősítő

Szintérzékelő (szilfonmembrán)

Alapjel képző szerv (előfeszített rugó)

Tartály szintszabályozása

Az y=h szinthelyzettel (a szabályozott jellemzővel) arányos az érzékelési helyen keletkező p=γh hidrosztatikus nyomás, amit az a keresztmetszetű szilfonmembrán (érzékelő szerv) fe= pa=γha erővé alakít át. Ez az fe erő – az y szabályozott jellemzővel arányos – ellenőrző jel. Az fe erőt ellensúlyozza az előfeszített rugóban keletkező fa rugóerő. Ennek a rugóerőnek az az értéke, amelyik a rendszer egyensúlyi állapotához tartozik, a rendszer alapjele. A beavatkozó szerv egy tolózár, amelynek nyitásával, vagy zárásával befolyásolható a tartályba áramló um hozam (a módosított jellemző). Az ábrán egy olyan egyensúlyi helyzetet tüntettünk fel, amikor is az um, és uz hozamok állandó értékek, és a h0 szinthelyzet q0=μf√(2gh0)= um0+ uz0 kiáramló hozamot tart fenn. Ebben az állapotban fa0=fe0, a különbségképző rudazat függőleges, és a hidraulikus erősítő vezérlő tolattyúi elzárják a PT hidraulikus tápnyomás elől a szervomotort. A tolózár ekkor egy adott ub0 pozícióban áll. Ha ebben az egyensúlyi helyzetben például az uz0 hozam (a zavaró jel) ∆uz értékkel megnövekszik, ez az y0, az e0, az r0, az uv0, az ub0, és az um0 jelek ∆y, ∆e, ∆r, ∆uv, ∆ub, és ∆um értékekkel történő megváltozásait vonja maga után. Az ∆uv elmozdulás a hidraulikus tápegység PT nyomását a szervomotor dugattyújának alsó felére kapcsolja, aminek hatására a szervomotor zárja a tolózárat. Ez az um hozam, és ezen keresztül az y szinthelyzet csökkenéséhez kell hogy vezessen. Új egyensúly áll be, ha a tolózár mozgása megszűnik. Ez pedig akkor következik be, ha a különbségképző rudazat ismét függőleges helyzetbe kerül, vagyis amikor a szinthelyzet az eredeti y0 értékére visszaáll. 2.12 A működési vázlat. A szabályozó berendezés szervei

A szerkezeti vázlat mellett (a szabályozási rendszer jelterjedésének ábrázolására), a rendszer működési vázlata is felhasználható. Ezen a vázlaton a technológiai folyamatábrával van feltüntetve a szabályozott folyamat (pl. az egyenáramú motor, a tartály, vagy más tetszőleges technológia), a folyamathoz illesztett, és az irányítási rendszerben szerepet játszó, funkcionális feladatokat ellátó szervek pedig, szabványokban rögzített jelképrendszerrel kerülnek ábrázolásra. A fordulatszám szabályozás esetében például ez a működési vázlat:

2007. október 4.

10

SZB


A szabályozás

Az irányított folyamat technológiai folyamatábrája (Például egyenáramú motor, vagy a tartály)

A szabályozó berendezés szervei

Beavatkozási hely

mt

gerjesztő fluxus

um

B

Érzékelési hely

Motor

uk

y=ω

Motor Wp(s) ω É

i

ep TA

ÉB

ub

e uv

V

u

PID

TE

eb

ua

r

E

J

K

A

A fordulatszámszabályozási rendszer működési vázlata és a szabályozó berendezés szervei

Az ábrán vázolt, és a soronkövetkező táblázatban felsorolt szervek, a nevükben jelölt szabályozástechnikai részfeladatokat ellátó, kimenő–bemenő jellel rendelkező funkcionális szerkezeti egységek. A szervek mindegyike önmagában is egy dinamikus rendszer, ami a fizikai működésmód természetes velejárója. Mindegyik szerv kimenő jele a bemenő jelének a függvénye. Igényesebb követelményeket kielégítő szervek önmagukban is visszacsatolásokat tartalmazhatnak. A jelformáló szerv - eltérően az összes többi szervtől - szándékoltan tervezett dinamikát tartalmaz, melynek célja az eredő szabályozási rendszer minőségi tulajdonságainak javítása. Szerv

Bemenő jel

Érzékelő szerv Távadó Alapjelképző szerv Különbségképző szerv és előerősítő Jelformáló szerv Teljesítményerősítő Végrehajtó szerv Beavatkozó szerv Helyzetbeállító érzékelő szerve

(É) (TA) (A) (KE) (J) (TE) (V) (B) (ÉB)

Kimenő jel

Szabályozott jellemző (y) Primer ellenőrző jel (ep) (vezető jel) Ellenőrző jel (e), alapjel (ua)

Primer ellenőrző jel Ellenőrző jel Alapjel

(ep) (e) (ua)

Rendelkező jel Irányító jel Végrehajtó jel Beavatkozó jel

(r) (u) (uv) (ub)

Rendelkező jel Irányító jel Végrehajtó jel Beavatkozó jel Módosított jellemző

(r) (u) (uv) (ub) (um)

Beavatkozó jel

(ub)

Pozíció jel

(eb)

A szabályozási rendszer és szervei és jelei

Az érzékelő szerv (É) feladata a szabályozott jellemzővel arányos, különbségképzésre alkalmas, ep ellenőrző jel előállítása. Alapvető követelménye a pontosság, ideális esetben az ep jel szigorúan arányos az y szabályozott jellemzővel. A távadó (TA) rendszerint egységes

2007. október 4.

11

SZB


A szabályozás

jeltartományra (4–20 mA, 0–5 mA, 0–10 V, stb.) alakítja át a primer érzékelő ep ellenőrző jelét, és alkalmassá teszi az üzemen belüli jelátvitelre. Az érzékelő szerv, és a távadó együttes jelátviteli tulajdonságának lehetőség szerint az e=AEy lineáris, időkésés nélküli függvénykapcsolatot kell megvalósítania az y és e jelek között, ahol AE az érzékelés átviteli tényezője. Az alapjelképző szerv (A) állítja elő a szabályozott jellemző előírt értékét (az yA alapértéket) megjelenítő ua alapjelet. Az ua alapjel úgy aránylik a szabályozott jellemző yA előírt értékéhez, mint ahogy az e ellenőrző jel aránylik a szabályozott jellemző y tényleges értékéhez: ua/yA=e/y=AE. Értéktartó szabályozásokban az irányítási cél a szabályozott jellemző állandó értékének a biztosítása. Ekkor az alapjel egy időben állandó érték, az alapjelképző szerv pedig egyfajta stabilizátor. Követő szabályozások szabályozott jellemzőjének úgy kell változnia, ahogy azt az időben változó ua(t) alapjel előírja. Ekkor az alapjelképző szerv egy menetdiagramot előállító programadó. Más esetekben az alapjel lehet egy másik folyamat, valamely tetszőleges jellemzőjét megjelenítő jel, ilyen esetben az alapjelképző szerv az érzékelő szervnek megfelelő készülék, amelynek bemenő jele a vezető jel. A különbségképző szerv (K) hozza létre az alapjel–, és az ellenőrző jel különbségét, és előállítja e különbséggel arányos r=k(ua–e) rendelkező jelet (itt valósul meg a negatív visszacsatolás!). Az ellenőrző jel, és az alapjel – miután ezeket a jeleket nagypontosságú műszerek állítják elő – energiatartalma igen alacsony, ezért a további jelfeldolgozás céljából az ua–e hibajelet a különbségképző szerv egy előerősítővel (E) a jelfeldolgozáshoz szükséges energiaszintre is emeli. Az előerősítőt rendszerint egy jelformáló (kompenzáló) szerv (J) követi, amelynek feladata az u irányító jel előállítása. Ez az u irányító jel általában a rendelkező jellel, illetve ennek integráljával–, és differenciálhányadosával arányos jelkomponenseket tartalmaz (u=KPr+KI∫rdt+KDdr/dt), a megfelelő minőségű szabályozás megvalósítására (PID kompenzáció). A kompenzáló szervet egy teljesítményerősítő (TE) követi. A teljesítményerősítő feladata a beavatkozáshoz szükséges teljesítmény biztosítása. A teljesítményerősítéshez villamos–, pneumatikus–, vagy hidraulikus segédenergiát lehet felhasználni, ennek megfelelően villamos (félvezetős–, mágneses–, forgógépes, stb. típusok), pneumatikus (torlólemezes–, erőkompenzációs, stb. típusok), és hidraulikus (sugárcsöves–, vezérlő tolattyús–, stb. típusok) erősítőkről lehet szó. Ezek kimenő teljesítménye a W nagyságrendtől a 100 kW nagyságrendig terjedhet. Mindezek következményeként a teljesítményerősítő kimenő jelének (a uv végrehajtó jelnek) a jelhordozója villamos feszültség, illetve munkalevegő–, vagy munkafolyadék nyomása. A teljesítményerősítő és a beavatkozó szerv illesztési funkcióját látja el a végrehajtó szerv (V), amelynek kimenő jele az ub beavatkozó jel. Ha a beavatkozó jel elmozdulás (ez folyamatszabályozásokban gyakori eset, mivel a beavatkozó szerv sokszor a közegáramlás útját szűkítő szelep, lásd szintszabályozás), akkor a végrehajtó szerv a teljesítményerősítő kimenő jelét elmozdulásra alakítja át. Ilyenkor a végrehajtó szerv villamos–, pneumatikus–, vagy hidraulikus szervomotor. Gyakori eset, hogy a szervomotor kimeneti elmozdulását érzekelő szerv méri, és ennek beállítására egy belső visszacsatolást tartalmazó szabályozási rendszert alakítanak ki. Ekkor a teljesítményerősítőt helyzetbeállítónak nevezik. A beavatkozó szerv (B) segítségével lehet a folyamat valamely mértékadó jellemzőjét (a módosított jellemzőt) szándékoltan befolyásolni annak érdekében, hogy a szabályozott jellemző a kívánalmaink szerint változzon: kövesse az alapjelet, illetve hárítsa el a zavarások szabályozott jellemzőre kifejtett nemkívánatos hatását. Előfordul, hogy az előzőekben felsorolt szervek nem mindegyike szerepel egy adott szabályozási rendszerben, vagy néhány funkcionális egység egy készülékbe van összeépítve. Ennek tipikus példája az, mikor egy készülékbe (a szabályozóba) kerül az alapjelképző szerv, a különbségképző szerv, az előerősítő, és a kompenzáló szerv. Gyakran képez közös

2007. október 4.

12

SZB


A szabályozás

készüléket az érzékelő szerv és a távadó, illetve a teljesítményerősítő, a végrehajtó szerv és a beavatkozó szerv3 is. Az a hely, ahol a szabályozó berendezés közvetlenül kapcsolódik a szabályozott folyamathoz, az érzékelési-, illetve a beavatkozási hely. Az érzékelő szerv és a távadó, illetve a beavatkozó szerv és a végrehajtó szerv folyamatközeli (terepi) berendezések, szerkezeti kialakításuk ennek megfelelő kell hogy legyen. Az irányítási algoritmus realizálásának egyre gyakrabban alkalmazásra kerülő szerkezeti egysége a folyamatirányító digitális számítógép. Ekkor a távadó által előállított, folytonosidejű e ellenőrző jelet analóg–digitális átalakító (ADC) Ts időütemezéssel mintavételezi, és kódolt, diszkrét értékkészletű, diszkrét idejű ed digitális jellé alakítja át. A DDC (Direct Digital Control) szabályozó fogadja a diszkrét ed ellenőrző jelet, memoriájában tárolja, vagy külső jelforrásból kapja az uad diszkrét alapjelet, előállítja ezek rd=uad–ed különbségét, és rendszerint egy diszkrét PID algoritmus alkalmazásával létrehozza a diszkrét ud irányító jelet. Ez a diszkrét irányító jel kerül a digitális–analóg (DAC) átalakítóra, amely a digitális jelet dekódolja, és olyan, rendszerint „lépcsős lefolyású” analóg uT jellé alakítja, amely a mintavételezési időpontok között is jelet tart fenn (zero order hold funkció4). Az ilyen módon keletkező hibrid szabályozásban a szabályozási hurok egy részén folytonos, folyamatos analóg jelek (folytonos idejű jelek), egy másik részén pedig, diszkrét, mintavételezett digitális jelek (diszkrét idejű jelek) az információhordozók. A hibrid rendszerben megjelenő további szerveket a következő ábra tartalmazza. y É uT

ep

TA e Zérusrendű tartás

Mintavételezés

ADC

t

Ts

ed uv

uT

ud DAC

Diszkrét szabályozási algoritmus

uad

A yAd

TE Belső óra, szinkronizálás, mintavételezés vezérlése, kezelőszervek, megjelenítés, naplózás, paraméterezés, stb.

DDC szabályozó

Hibrid szabályozás szervei, és működési vázlata

3

A fordulatszám szabályozásban például az elektronikus erősítő különféle áramkörei látják el az előerősítő, a kompenzáló szerv, a teljesítményerősítő, a végrehajtó szerv, és a beavatkozó szerv funkcióit. 4 Zérusrendű tartás, zoh funkció. 2007. október 4.

13

SZB


Szerv Analóg–digitális átalakító Digitális-analóg átalakító Diszkrét alapjelképző szerv DDC szabályozó

A szabályozás

Bemenő jel (ADC) (DAC) (A) (DDC)

Kimenő jel

Ellenőrző jel Diszkrét irányító jel (vezető jel) Diszkrét alapjel Diszkrét ellenőrző jel

(ep) (ud) (uad) (ed)

Diszkrét ellenőrző jel (ed) Tartott irányító jel (uT) Diszkrét alapjel (ua) Diszkrét irányító jel

(uad)

Folytonos idejű jelek: y, ep, e, uT, uv. Diszkrét idejű jelek: ed, uad, ud. Ts: a mintavételezési idő.

Az előzőekben felsorolt szerveken túlmenően több olyan járulékos szerv is szükséges az irányítási rendszer üzembentartásához, amelyeknek ugyan nincs elsődleges funkcionális szerepe a rendszer működési mechanizmusában, nélkülük azonban nem lehetne működtetni a szabályozási rendszert. Ilyen járulékos szervek például a segédenergiát biztosító elektronikus, pneumatikus és hidraulikus tápegységek, az üzemelést felügyelő védelmi, jelző és naplózó berendezések, a kézi–automatikus átkapcsolás eszközei, a pneumatika, és a hidraulika szűrő berendezései, stb. A szerkezeti vázlat a szabályozások felépítését részletekbe menően tartalmazzák, és ezért – miután az irányítások igen sokfélék – igen változatos képet mutatnak. A működési vázlat5 az irányító berendezés szerveit már egységes jelképrendszerrel ábrázolja, függetlenül attól, hogy az adott szerv milyen fizikai elven működik. A folyamat ezen a vázlaton még a technológiai folyamatábrájával szerepel, a szabályozó berendezés viszont már egy adott mértékben absztrahált. 2.13 A hatásvázlat

A rendszertechnikai analízis, és szintézis szempontjából el lehet tekinteni attól, hogy egy adott szerv, vagy készülék milyen szabályozástechnikai funkciót lát el, mi a fizikai működési elve, és az adott funkciót milyen módon realizálja. A rendszertechnikai vizsgálatok szempontjából az a meghatározó, hogy az egyes szervek kimenő jelei (mint okozatok), milyen függvénykapcsolatban vannak a bemenő jeleikkel (az okokkal). Ennek a függvénykapcsolatnak a szemléltetésére, és leírására vezetjük be a jelátvivő tag fogalmát. A szabályozási körben terjedő hatásmechanizmust, a jelek terjedésének útját (a hatásláncot), jelátvivő tagokkal absztrahált módon írhatjuk le, ahol is kizárólag azt ábrázoljuk, hogy a tagok egymáshoz képest milyen struktúrát alkotnak, egyes tagok hogyan működtetnek más tagokat, illetve az egyes tagok bemenő jelei milyen függvénykapcsolatnak megfelelően hozzák létre a kimenő jeleiket. Az ilyen elvek alapján felépített hatásvázlat elvonatkoztat a tényleges szerkezetektől, lehetőséget teremtve ezzel arra, hogy a különféle szabályozási rendszereket egységes elvek alapján tárgyaljuk. A szabályozás esetében például minden funkcionális szervet, és magát a szabályozott folyamatot is, jellemezhetjük egy–egy jelátvivő taggal. Az egyes tagok jelátviteli tulajdonságait tetszőleges csoportosításban, egy eredőben összevonhatjuk, sőt, végső soron a teljes zárt rendszert is egyetlen eredő tag írhatja le. A folytonosidejű rendszer hatásvázlatainak lehetséges változatait a következő ábrákon mutatjuk be.

5

A működési vázlatot blokkvázlatnak is nevezik.

2007. október 4.

14

SZB


A

A szabályozás

uz

ua r

KE r(ua,e)

e

u

J u(r)

uv

TE uv(u)

V ub(uv)

ub

y

um

B um(ub)

P y(um,uz)

A folyamatot absztraháló tag

Az irányító berendezés szerveit absztraháló tagok ep

TA e(ep)

É ep(y)

a) ábra

A hatásvázlaton minden szerv, illetve a szabályozott folyamat, egy–egy jelátvivő taggal absztrahált

Az a) ábra hatásvázlatán minden szervet egy–egy taggal absztraháltunk, a jelátvivő tagokat jelképező téglalapokba megjelöltük, hogy a működési vázlat melyik szervét jellemzik, és feltüntettük azt a függvénykapcsolatot is, amelyik a tagot – statikus tulajdonságait tekintve – leírja. Általános esetben minden szerv önmagában is egy dinamikus rendszer, ilyen esetben minden tagot egy–egy differenciálegyenlet modellez. A b1) ábrán az egymással soros kapcsolást alkotó, és összevonásra szánt tagokat jelöltük meg. Ezeket az összevonásokat célszerűségi szempontok határozzák meg. Egy lehetséges kialakítás: uz

A

ua r

K,E r(ua,e)

e

u

J u(r)

uv

TE uv(u)

V ub(uv)

ub

um

B um(ub)

y

P y(um,uz)

Folyamat (F) J,TE,V,B

r ep

TA e(ep)

É ep(y)

b1) ábra

e

um

um(r)

y

e=e(y)=AEy

y=y(um,uz)

y

TA,É

y0

e(y)

uz0 uz1

(0)

uz

(1)

ua

r

r(ua,e) –

um(r)

um

y

y(uv,uz)

e

um e0

e

um0

ua0

e(y)

r0

b2) ábra r=r(ua,e)=k(ua–e)

r

um =um(r)

b3) ábra

Sorosan kapcsolt tagok egy lehetséges összevonása

A b2) ábrán egyes, soros kapcsolást alkotó tagcsoportok összevonásával kapott hatásvázlatot ábrázoltunk. Ezen a hatásvázlaton négy tag szerepel. Ha e tagok önbeálló tulajdonsággal rendelkeznek, akkor mindegyiknek létezik a kimenő jel–bemenő jel függvénykapcsolatot meghatározó statikus jelleggörbéje, amely egy négy–negyedes koordináta rendszerben ábrázolható (lásd b3) ábra). A statikus viszonyokat meghatározó függvénykapcsolatok:

2007. október 4.

15

SZB


A szabályozás

y = y(um,uz) um = um(r) r = r(ua,e)= k(ua–e) e = e(y) = AEy

Ezekben a függvénykapcsolatokban az r rendelkező jel az ua alapjelnek, és az e ellenőrző jelnek általában lineáris függvénye: r=k(ua–e) , és hasonlóan általában lineáris az e ellenőrző jel és az y szabályozott jellemző közötti függvénykapcsolat is: e=AEy. Nincs ez így a folyamatot tartalmazó y=y(um,uz) függvény–, illetve a beavatkozó szervet is tartalmazó um=um(r) függvény esetében. A folyamatok rendszerint eleve nemlineáris tulajdonságúak, a beavatkozó szervek pedig, működési tartományuk határhelyzetében betelítődnek, vagy „felütköznek”. A b3) ábrán feltüntetett jeleggörbékből láthatóan egy y0 jelnek az uz0 melletti fentartásához um0 jel szükséges. Ennek az um0 jelnek a biztosításához, a különbségképző szervnek r0 jelet kell szolgáltatnia. Miután az e0=AEy0 ellenőrző jelet y0 hozza létre, az ua0 alapjelnek akkorának kell lennie, hogy k(ua0–e0)=r0 legyen. Láthatóan az egyensúlyi helyzet egy (0) sorokpontú négyszög koordinátáival jön létre. Így van ez akkor is, ha a zavaró jel uz1– re változik meg, az új egyensúlyi helyzet ekkor – a tranziens jelenségek „lecsengését” követően – az (1) egyensúlyi négyszög mellett alakul ki. A hatásvázlat további átalakítását jelenti, ha egy–egy taggal ábrázoljuk az um, uz bemenő, és y kimenő jellel rendelkező folyamatot (a szabályozott szakaszt: y=y(um,uz)), illetve az y, ua bemenő jelű, és um kimenő jelű tagcsoportot (a teljes szabályozó berendezést: um=um(ua,y) lásd c1) ábra). Ha ezek mindegyike önbeálló tag, akkor az um~y koordináta rendszerben léteznek a folyamatot, illetve a teljes szabályozó berendezést leíró tagok statikus jelleggörbék, melyeknek metszéspontja a rendszer egyensúlyi munkapontja6 (lásd c2) ábra). Ezeken a jelleggörbéken az irányító berendezést olyan statikus karakterisztikával ábrázoltuk, amelyik azt szemlélteti, hogy a szabályozó berendezés a módosított jellemzőt csupán az ummin< um
6

Az egyensúlyi négyszög szerepet ekkor a (0) jelű egyensúlyi pont veszi át.

2007. október 4.

16

SZB


A szabályozás

y

ua0

Folyamat

uz

Szabályozó

ua

um (ua,y)

y

y=y(um,uz)

(0) um

y0

y

y(um,uz)

um=u(y,ua)

–

uz0 uz

c1) ábra

ua=yA

u

h

W0(s)=WcWp

uz ua

ua(s)

y y(yA,uz)

um

uz(s)

–

d) ábra

ummax

y

Wp(s)

Wc(s)

um0 c2) ábra

Wz(s)

Folyamat

Szabályozó

ummin

Wz ( s ) 1 + W0 ( s )

W0 ( s ) 1 + W0 ( s )

A szabályozási rendszer

y(s)

A lineáris szabályozási rendszer

f) ábra

e) ábra

A szabályozási rendszer további hatásvázlatai

Ha a rendszer lineáris, akkor a rendszertechnikai vizsgálatokhoz a d) ábra hatásvázlatával dolgozhatunk. Abban az esetben, ha az érzékelő szerv kimenő jelét tekintjük a szabályozott jellemzőnek (amit egyébként azért tehetünk meg, mert az érzékelő szerv kimenő jele a szabályozott jellemzővel egyértelmű, és általában szigorúan lineáris függvénykapcsolatban van), akkor az ua alapjel a szabályozott jellemző előírt értékét jeleníti meg, vagyis ua=yA. A hatásvázlaton most azt ábrázoljuk, hogy egy különbségképzés eredményeként jön létre a h=yA–y hibajel, mely hibajel Wc(s) átviteli függvény által meghatározott u(s)=Wc(s)h(s) összefüggés szerint a hurok egy közbeeső jelét, az irányító jelet állítja elő. Ez az u irányító jel, illetve az uz zavaró jel y=Wp(s)u(s)+Wz(s)uz(s) szerint a szabályozott jellemzőt hozza létre, és ez az y jel a különbségképző tagra van negatívan visszacsatolva. Ekkor az átviteli függvényekkel az egyes tagcsoportok dinamikus tulajdonságait is figyelembe vehetjük (lásd d) ábra). A lineáris rendszert leíró matematikai modell (a rendszeregyenletek) az s Laplace operátor tartományban: y(s) = Wp(s)u(s)+Wz(s)uz(s) u(s) = Wc(s)[ua(s)–y(s)]

→ →

A folyamat matematikai modellje A szabályozó matematikai modellje

Az e) ábrán a teljes írányítási rendszert egyetlen, ua és uz bemenő jelű, y kimenő jelű tag absztrahálja. Lineáris rendszer esetében az ua(s) és az uz(s) bemenő jelek az y(s) kimenőjelet a rendszeregyenletekből származtatható

y( s) =

2007. október 4.

⎤ W0 ( s) ⎡ Wz ( s ) u z ( s)⎥ ⎢u a ( s) + W0 ( s) 1 + W0 ( s) ⎣ ⎦

17

SZB


A szabályozás

kifejezésnek megfelelően befolyásolják7, ahol W0(s)=Wc(s)Wp(s) a felnyitott hurok eredő átviteli függvénye (lásd f) ábra). Mint az előzőekben láttuk, a szabályozási kör hatásláncán kialakuló jelterjedési viszonyok tárgyalására – lineáris rendszer esetében – kialakítható egy olyan leírás, amelyben jelentős tömörítés után egy különbségképző, és egy Wc(s) átviteli függvényű taggal írjuk le a teljes szabályozó berendezést, és hasonlóan, egy összegző, és a Wp(s), illetve Wz(s) átviteli függvényű tagokkal a teljes szabályozott folyamatot. Ez a tömörítés a rendszertechnikai leírásnak hatékony eszköze. A dinamikus rendszerek tanulmányozásakor nem ritka követelmény azonban az sem, hogy az egyes folyamatok belső jelterjedési hatásmechanizmusát „feltérképezzük”. Ilyen esetekben a hatásvázlat meghatározásakor a tömörítés helyett egy részletezést kell végrehajtanunk, amire tipikus eset a hatásvázlat alaptagokból történő felépítése. Az erre vonatkozó példákat az 1.11 fejezetben már láthattuk. Itt – többek között – alaptagokkal írtuk le a tartály–, és az egyenáramú motor jelátviteli viszonyait. 2.2 Lineáris tagok alapkapcsolásai8. A visszacsatolás

A W(s) átviteli függvényeikkel jellemzett lineáris SISO tagokból tetszőlegesen összetett struktúrákat lehet felépíteni. Az ezekben előforduló alapkapcsolások a tagok soros–, párhuzamos kapcsolásai, illetve a visszacsatolással kialakított alapstruktúrái fordúlnak elő9 (lásd a soronkövetkező ábrákat). 2.22 Jelátvivő tagok soros–, és párhuzamos kapcsolása

A W1(s) és W2(s) átviteli függvényű tag soros kapcsolásban az első tag működteti az őt követő második tagot, a kapcsolás eredő átviteli függvénye az egyes tagok átviteli függvényeinek szorzata: WR=W1W2. A párhuzamos kapcsolásban a tagok bemenő jelei azonosak, az eredő kimenő jel pedig az egyes tagok kimenő jeleinek az összege. A párhuzamosan kapcsolt tagok eredő átviteli függvénye: WR=W1+W2. A soros–, illetve a párhuzamos kapcsolások struktúráiban az eredő jelátviteli tulajdonságok nem változnak meg, ha a kapcsolásban szereplő tagokat egymáshoz képest felcseréljük10. A kapcsolások szerkezeti megvalósításakor gondosan kell mérlegelni az egyes jelek jelhordozó fizikai mennyiségeit, mivel csak azonos jelhordozóval rendelkező jeleket lehet egymással összeadni vagy kivonni, illetve az egyik taggal – soros kapcsolás réven – akkor lehet egy másik tagot működtetni, ha a kapcsolat helyén a jelhordozók egymással azonosak. Ábrán szemléltetve:

7

Ez a képlet egy igen egyszerű kapcsolatot teremt az y(s) kimenő jel–, és az ua(s), uz(s) bemenő jelek Laplace transzformáltjai között. Nem szabad azonban megfeletkeznünk arról, hogy az átviteli függvényeknek az időtartományban magas rendszámú differenciálegyenletek felelnek meg, ezért az y(s)–ből az y(t) meghatározása az inverz Laplace transzformáció módszereinek az ismeretét is igényli. 8 Nemlineáris tagokból is felépülhetnek soros, párhuzamos, és visszacsatolt kapcsolásokat alkotó sruktúrák, ezek tulajdonságai azonban sok vonatkozásban alapvetően eltérnek a lineáris tagokból felépülő struktúrák tulajdonságaitól. 9 A jelátvitelre értelmezett soros, párhuzamos kapcsolásokat nem szabad összetéveszteni az áramköri hálózatok elemeinek soros, párhuzamos kapcsolásaival. Jelen esetben a tagok soros kapcsolása azt jelenti, hogy az első tag yk kimenő jelével működtetjük a második tag bemenetét, így ez az yk kimenő jel a második tag vonatkozásában bemenő jelként értelmezendő. A párhuzamos kapcsolásban az egyes tagok bemenő jelei azonosak, az eredő kimenő jel pedig az egyes tagok kimenő jeleinek az összege. Az alapkapcsolások eredő átviteli függvényeinek meghatározását A MATLAB series, parallel, feedback, és cloop függvényei támogatják. 10 Nemlineáris tagok esetében ez a tulajdonság nem áll fenn! 2007. október 4.

18

SZB


u

A szabályozás

W1(s)

yk

y

W2(s)

u

WR(s)= W1(s)W2(s)

Sorosan kapcsolt tagok

W1(s)

y

y(s)=W2yk(s)=W2W1u(s) y1

u

u

y

WR(s)= W1(s)+W2(s)

y

W2(s) y2

y(s)=y1+y2=(W1+W2)u(s)

Párhuzamosan kapcsolt tagok

2.23 Tagok visszacsatolása

Alapvetően különbözik a helyzet – a soros, illetve a párhuzamos kapcsoláshoz képest – a visszacsatolás esetében. Most a W1(s) visszacsatolt tag bemenő jele a rendszer u bemenő jelének és a visszacsatoló tag v kimenő jelének az ε=u±v összege (pozitív visszacsatolás), vagy különbsége (negatív visszacsatolás). Mivel y=W1(s)ε és v=W2(s)y, ezért y=W1(s)ε=W1(s)(u±v)=W1(s)[u±W2(s)y]. u

ε

±v

W1(s)

u

y

W2(s)

W1 ( s ) 1 m W1 ( s )W2 ( s )

y

+ : negatív visszacsatolás – : pozitív visszacsatolás

W1 átviteli függvényű tag pozitív vagy negatív visszacsatolása a W2 átviteli függvényű taggal

Ebből az y kimenő jelet kifejezve kapjuk: y(s) =

W1 ( s ) u ( s ) = WR ( s )u ( s ) 1 m W1 ( s )W2 ( s )

WR ( s ) =

W0 ( s ) y(s) W1 ( s ) 1 = = u ( s ) 1 m W1 ( s )W2 ( s ) W2 ( s ) 1 m W0 ( s )

ahol a (–) előjel a pozitív–, a (+) előjel a negatív visszacsatolásra vonatkozik, és W0=W1W2 a nyitott hurok eredő átviteli függvénye. Ez a kifejezés a szabályozási rendszerek analízisének és szintézisének is az egyik alapvető összefüggése, mivel maga a szabályozás is a negatív visszacsatolás elvén megvalósuló irányítás. Az eredő jelátviteli tulajdonság W1(s) és W2(s) felcserélésével W1(s)≠W2(s) esetében alapvetően megváltozik.

2007. október 4.

19

SZB


A szabályozás

A visszacsatolás fontos jellemzője, hogy benne egy zárt hurokban terjedő hatásmechanizmus alakul ki (u→ε→y→±v→ε), aminek sok előnyös, és egy hátrányos11 tulajdonsága is van. Megjegyzés. Az, hogy a zárt hurok pozitív–, vagy negatív visszacsatolású-e, nem az dönti el, hogy a visszacsatolt tag bemenetén összegzés vagy különbségképzés valósul–e meg, hanem az, hogy egy tetszőleges ponton felnyitott hatáslánc bemenetén keltett jelváltozás a hatáslánc másik végére – kvázistacioner állapotban – milyen előjellel érkezik meg. Ha a bemeneti jelhez képest ellenkező előjellel, akkor a visszacsatolás negatív, ha azonos előjellel, akkor pozitív.

Fontos – bár inkább csupán elvi jelentőséggel bíró – eset, amikor a visszacsatolás struktúrájában szerepet játszó mindkét tag időkésés nélküli arányos kapcsolatot fejez ki a közvetlen bemenetük–, és kimenetük között,12 vagyis: y(t)=k1ε(t) és v(t)=k2y(t). Ekkor W1(s)=k1, W2(s)=k2 konstansok, és a visszacsatolás un. algebrai hurkot alkot. Az eredő átviteli függvény ekkor: WR ( s ) =

k1 1 k0 = 1 m k1k 2 k 2 1 m k 0

k 0 = k1k 2

ahol k0 a visszacsatolás hurokerősítése. A képletből láthatóan pozitív visszacsatolás (– előjel) és k0=1 érték mellett az algebrai hurokkal probléma van, mivel ekkor 1–k0=0, és ezért WR(s)=∞, aminek realitása természetesen nincs. Mindezzel jelezni kívánjuk, hogy a pozitív visszacsatolású –, illetve algebrai hurkokat tartalmazó struktúrák analízise fokozott figyelmet igényel13. A WR képletből leolvashatóan, ha k0>>1, akkor negatív visszacsatolás mellett k/(1+k)≈1, és ezért WR(s)≈1/k2, vagyis a visszacsatolásban lévő tag átviteli tényezőjének reciproka. Ezt a tulajdonságot a jelátvitel alakításában sokszor felhasználjuk. Lényeges ismérve a lineáris tagok alapkapcsolásainak, hogy bennük bármelyik tag aszimtotikusan stabilis, vagy labilis tulajdonsággal rendelkezhet. Legyen W1(s)=G1(s)/H1(s), illetve W2(s)=G2(s)/H2(s), az alapkapcsolásokban szereplő két tag átviteli függvénye. Ezek stabilis–, vagy labilis voltát a H1(s) és a H2(s) polinomok gyökei (az egyes tagok átviteli függvényeinek pólusai) szabják meg. A soros–, illetve a párhuzamos kapcsolások eredő tulajdonságait leíró átviteli függvények: soros kapcsolás :

WR ( s ) = W1W2 =

G1 G2 G1 ( s )G2 ( s ) GR ( s ) = = H1 H 2 H1 ( s ) H 2 ( s ) H R ( s )

párhuzamos kapcsolás : WR ( s ) = W1 + W2 =

G1 G2 G1 ( s ) H 2 ( s ) + G2 ( s ) H1 ( s ) GR ( s ) + = = H1 H 2 H1 ( s ) H 2 ( s ) H R ( s)

Miután mindkét esetben az eredő átviteli függvény stabilitását ugyanaz a HR(s)=H1(s)H2(s) polinom gyökei szabják meg, a kapcsolások stabilisak, ha a bennük szereplő tagok mindegyike stabilis, illetve labilisak, ha a bennük szereplő tagok valamelyike labilis. 11

A visszacsatolás hátrányos tulajdonsága a labilitásra (gerjedésre) való hajlama, ami különösen a pozitív visszacsatolás esetében állhat elő. Mindez a zárt hatásláncú jelterjedési viszonyok következménye. 12 Ez egy idealizált jelátviteli tulajdonság, a valóságos fizikai rendszerekben a kisebb–nagyobb jelkésleltetés általában jelen van. 13 Ha a soros–, vagy a párhuzamos kapcsolásban szerepet játszó tagok mindegyike önbeálló tulajdonságú, akkor az eredő tag is aszimptotikusan stabilis, és rendszerint önbeálló tulajdonságú. Nem így a visszacsatolással kialakított struktúra esetében, amelyben az egyes tagok önbeállósága mellett lehetséges, hogy az eredő jelátvitelt az integráló–, vagy a lengő tulajdonság jellemzi. A pozitív visszacsatolású algebrai hurok k≥1 hurokerősítés mellett labilis. A pozitív visszacsatolás részletezése: lásd 3.12 fejezet. 2007. október 4.

20

SZB


A szabályozás

Nincs ez így a visszacsatolás esetében. Az eredő átviteli függvény ekkor: G1 G1 ( s ) H 2 ( s ) G ( s) W1 H1 = = = R WR ( s ) = 1 ± W1W2 1 ± G1 G2 H1 ( s ) H 2 ( s ) ± G1 ( s )G2 ( s ) H R ( s ) H1 H 2 Láthatóan az egyes tagok stabilis, vagy labilis tulajdonságaiból nem következik az eredő tag stabilitása, vagy labilitása, mivel az eredő rendszer karakterisztikus egyenlete14: HR(s)=H1(s)H2(s)±G1(s)G2(s)=0

Stabilis tagokból felépülő visszacsatolt rendszer (vagyis ha H1 és H2 Hurwitz polinom) lehet labilis, vagy labilis tagot megfelelően megválasztott visszacsatolással stabilizálhatunk. A stabilitás szempontjából a pozitív visszacsatolás hordozza a nagyobb veszélyt, amire az algebrai huroknál tapasztaltak is figyelmeztetnek. Ennek ellenére a pozitív visszacsatolás is szerepet kaphat valamely részfeladat megoldásában, aminek tipikus alkalmazási példái az erősítési tényező növelésének megvalósítása, vagy integráló tagnak a létrehozása. Ami azonban alapvetően lényeges: a szabályozás kizárólag negatív visszacsatolásban, a stabilitási követelményeket kielégítve működhet, ez azonban nem zárja ki azt, hogy a hatásláncon belül labilis tagok, vagy pozitívan visszacsatolt belső részhurkok ne lehessenek. 2.231 Példa Adott két jelátvivő tag átviteli függvénye: W1 ( s ) =

G1 ( s ) k1 4 = = H1 ( s ) (1 + sT )(1 + sαT ) (1 + 3s )(1 + 2 s )

k1 = 4, T = 3, α = 2 / 3

W2 ( s ) =

G2 ( s ) k2 k = = 2 H 2 ( s ) 1 + sβ T 1 + s

β = 1/ 3

A W1(s) átviteli függvényű stabilis tagot a W2(s) átviteli függvényű stabilis taggal negatívan visszacsatoljuk. Mekkora legyen a visszacsatoló tag k2>0 átviteli tényezője, ha az eredő rendszernek aszimptotikusan stabilisnak kell lennie? Megoldás. Láthatóan H1 Hurwitz polinom, miután gyöke p1= –1/T= –1/3<0, p2= –1/αT= –1/2<0. A H2 is Hurwitz polinom, mert gyöke p3= –1/βT= –1<0 . Az önbeálló tagokat tartalmazó negatívan visszacsatolt rendszer stabilitását meghatározó karakterisztikus polinom: HR(s)= H1(s)H2(s)+G1(s)G2(s)=(1+sT)(1+sαT)(1+sβT)+k1k2= =s3αβT3+s2(α+β+αβ)T2+s(1+α+β)T+1+k1k2 Ennek gyökei akkor negatív valós részűek, ha az együtthatók mindegyike pozitív szám, valamint az együtthatókból képzett HΔ Hurwitz determináns, és ennek főátlójára támaszkodó minden aldetermináns is pozitív érték. Az együttható feltétel k1k2=k>–1 mellett bizonyosan teljesül. A harmadfokú polinom Hurwitz determinánsa és az aldeterminánsok: (α + β + αβ )T 2 αβ T 3 HΔ = 0

1+ k (1 + α + β )T

0 0

(α + β + αβ )T 2 1 + k

H Δ1 = (α + β + αβ )T 2 = (2 / 3 + 1 / 3 + 2 / 9)32 = 11 > 0 H Δ2 =

(α + β + αβ )T 2 αβ T 3

11 1 + k 1+ k = = 66 − 6 − 6k = 60 − 6k > 0 6 6 (1 + α + β )T

H Δ 3 = H Δ = (1 + k ) H Δ 2 14

A + előjel a negatív–, a – előjel a pozitív visszacsatolásra vonatkozik.

2007. október 4.

21

SZB


A szabályozás

Láthatóan, HΔ2>0, ha k<10. Pozitív k körerősítés mellett HΔ3=HΔ>0, ezért a stabilitás feltétele a HΔ2>0 teljesítésére egyszerűsödik. Ebből –1
G1 ( s) sτ + 1 2 s + 1 = k1 1 = H1 ( s) sT1 − 1 3s − 1

k1 = 1, τ 1 = 2, T1 = 3,

W2 ( s ) =

1 + sτ 2 G2 ( s ) 1 + 4s = k2 = k2 1 + sT2 1 + 5s H 2 ( s)

τ 2 = 4, T2 = 5

A W1(s) átviteli függvényű labilis tagot a W2(s) átviteli függvényű stabilis taggal negatívan visszacsatoljuk. Mekkora legyen a visszacsatoló tag k2 átviteli tényezője, ha az eredő rendszernek aszimptotikusan stabilisnak kell lennie? Megoldás. Láthatóan H1 nem Hurwitz polinom, miután gyöke p1=1/T1= 1/3>0, és ezért W1 labilis (nem önbeálló) tagot jelenít meg. A labilis tag átmeneti függvénye: ⎛τ +T t ⎞ 5 t ⎧ sτ + 1 1 ⎫ 1⎫ −1 ⎧ τ 1 + T1 − ⎬ = k1 ⎜ 1 1 e T1 − 1⎟ = e 3 − 1 v1 (t ) = L−1 ⎨k1 1 ⎬ = k1 L ⎨ ⎜ T1 ⎟ 3 ⎩ sT1 − 1 s ⎭ ⎩ sT1 − 1 s ⎭ ⎝ ⎠

A H2(s) Hurwitz polinom, mivel gyöke p2= –1/T2= –1/5<0, és ezért W2(s) stabilis, (önbeálló) tagot definiál. A stabilis tag átmeneti függvénye: ⎛τ −T − t ⎞ ⎛ −1 − t ⎞ ⎧ 1 + sτ 2 1 ⎫ 1⎫ −1 ⎧τ 2 − T2 2 + ⎬ = k2 ⎜ 2 v2 (t ) = L−1 ⎨k 2 e T2 + 1⎟ = k 2 ⎜ e 5 + 1⎟ ⎬ = k2 L ⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + 1 1 T 5 sT s sT s 2 2 2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A negatívan visszacsatolt rendszer stabilitását meghatározó karakterisztikus polinom: H R ( s ) = H1 H 2 + G1G2 = ( sT1 − 1)(1 + sT2 ) + k1k 2 ( sτ 1 + 1)(1 + sτ 2 ) = = T1T2 s 2 + (T1 − T2 ) s − 1 + k1k 2τ 1τ 2 s 2 + k1k 2 (τ 1 + τ 2 ) s + k1k 2 = = (T1T2 + k1k 2τ 1τ 2 ) s 2 + [T1 − T2 + k1k 2 (τ 1 + τ 2 )]s − 1 + k1k 2 =

= (15 + 8k 2 ) s 2 + (−2 + 6k 2 ) s − 1 + k 2

Matematikai tétel szerint HR(s) akkor Hurwitz polinom, ha a másodfokú polinom minden együtthatója pozitív érték. Ez akkor teljesül, ha 15+8k2>0, –2+6k2>0, –1+k2>0, illetve k2>–15/8, k2>2/6=1/3, k2>1. Mindhárom feltétel teljesül, ha k2>1.

Meg kell jegyeznünk, hogy a tagok alapkapcsolásainak eredő átviteli függvényeit ugyan igen egyszerű algebrai kifejezésekkel lehetett meghatározni, de végső soron a kapcsolásban szereplő tagokat adott esetben, magas rendszámú differenciálegyenlet–, vagy állapotegyenlet jellemezheti, amiből az is következik, hogy az eredő rendszer jelátviteli viszonyait is magas rendszámú differenciálegyenlet, vagy differenciálegyenlet rendszer írja le. Néhány gyakrabban alkalmazásra kerülő – visszacsatolással kialakított – kapcsolást a 3. Függélék tartalmaz. 2.24 A hatásvázlat átalakítása

A lineáris jelátvivő tagok soros–, párhuzamos kapcsolásainak, illetve visszacsatolásainak összevonásai mellett a hatásvázlaton olyan átalakításokat is végezhetünk, amellyel az eredő rendszer bemenő–, és kimenő jelei közötti függvénykapcsolat meghatározása egyszerűsödhet. Az átalakítások alapelve: az átalakítás folyamatában az eredeti függvénykapcsolatnak változatlannak kell maradnia. A gyakrabban használt jelentősebb átalakításokat az alábbi táblázatban foglaltuk össze:

2007. október 4.

22

SZB


A szabályozás

Eredeti struktúra

Egyenértékűen átalakított struktúra u

u u (a)

u

u

(b)

(b)

(a)

u

u

u

A jelek elágazási pontjai egymással felcserélhetők

u

(a)

(b)

u1

u2

y=u+u1+u2

(a)

(b)

u

u2

y=u+u2+u1

u1

Az egymást követő összegző tagok egymással felcserélhetők

u

y=Wu

u

y=Wu

W(s)

W(s) u=W(1/W)u=u

1/W(s)

u Az elágazási pont jelátvivő tag elé helyezése

y=Wu+Wu1

y=W(u+u1)

u

u

W(s)

W(s)

u1 u1

W(s)

Az összegzési pont jelátvivő tag elé helyezése

y=Wu+u1

u

u

W(s)

y=Wu+W(1/W)u1 W(s)

u1 1/W(s)

u1

Az összegzési pont jelátvivő tag mögé helyezése

2.241 Példa Az alábbi kapcsolási vázlaton látható áramkör (feszültségosztó) bemenő jele az u feszültség, kimenő jele, pedig az R3 ellenálláson keletkező y feszültség. A feszültségegyensúlyokat kifejező egyenletek alapján építhető fel az áramkör egy lehetséges hatásvázlata, amelynek átalakításával a rendszer eredő átviteli függvénye is meghatározható.

2007. október 4.

23

SZB


A szabályozás

R1

C

u − u 2 = u1 ⇒

u1

uc

i

u

R2

R3

u2

u 2 − uc = y ⇒ uc =

–1/R3

–i2 u1

i

1/R1

i1

u2

R2

y

y

–u2

1

-uc –1

–1/sC

u1

i

1/R1

i1

1/R3 Elágazási pontok felcserélése

–1/R3

–i2 u

u2

R2

y

–u2

y

1

-uc

–1/sC

–1

i2

1/R3

W2 ( s ) = –1/R3

–i2 u

u1 1/R1

i

i1

R2

W1 ( s ) =

=

u1 1/R1

i

i1

–1/R3

W2(s) u2

R2

sR3C sτ = 1 + sR3C 1 + sτ

1+

R2 R3 R2 = = R sτ R2W2 ( s ) R3 + 2 1 + sτ R3

W2(s)

–1

–i2

=

1 sCR3

τ = R3C

y

u2

1 1+

–u2

u

1 i2 sC

y = i2 R3

Villamos kapcsolási vázlat

u

u1 R1

i − i2 = i1 ⇒ i1 R2 = u 2

y

i2

i1

i=

W2(s)

R2 R3 (1 + sτ ) R3 (1 + sτ ) + R2 sτ

y

–u2 –1

u

u1 1/R1

W1 ( s ) W1 ( s ) R1 = = W0 ( s ) = W1 ( s ) R1 + W1 ( s ) 1+ R1 i

=

y

u2

R2 R3 (1 + sτ ) R1[ R3 (1 + sτ ) + R2 sτ ] + R2 R3 (1 + sτ )

W2(s)

W1(s)

=

–u2

R2 R3 (1 + τs ) ( R1 R3 + R2 R3 )(1 + sτ ) + R1sτ

–1

u

W0(s)

2007. október 4.

u2

y

W2(s)

u

WR(s)

WR ( s ) = W0W2 =

y

WR ( s ) = k

24

sτ 1 + sT

R2 R3 (1 + τs ) sτ ( R1 R3 + R2 R3 )(1 + sτ ) + R1sτ 1 + sτ k=

R2 R1 + R2

T = τ (1 +

R1 R2 ) R3 ( R1 + R2 )

SZB


A szabályozás Az előző ábra a hatásvázlat egyenértékű átalakítását kívánta – egy valóságos áramköri példához kapcsolódva – illusztrálni. Az adott áramkör esetében természetesen nem szükséges a hatásvázlat felépítése, mivel egy egyszerű feszültségosztó kapcsolásról van szó. Ellenőrzés céljából számítsuk ki így is az átviteli függvényt:

i

i u1

R1

R1 u1 C

u i1

u

uc

i2 u2 R2

R3

y(s) =

R3 +

1 sC

u2 ( s) =

R3

y

R2 (

sτ 1 + sT

R2 R1 + R2

2007. október 4.

τ = CR3

sτ R2 (1 + sτ ) = 1 + sτ R1[1 + s (CR2 + τ )] + R2 (1 + sτ )

=k k=

u2

1 + R3 ) R2 (1 + sτ ) sC Z ( s) = = 1 1 + s (CR2 + τ ) R2 + + R3 sC Z ( s) u2 (s) = u(s) R1 + Z ( s )

sτ Z (s) u ( s) 1 + sτ R1 + Z ( s )

R2 (1 + sτ ) 1 + s (CR2 + τ ) y ( s) sτ = WR ( s ) = = u ( s ) 1 + sτ R + R2 (1 + sτ ) 1 1 + s (CR2 + τ ) =

Z(s)

T = τ (1 +

R1 R2 ) R3 ( R1 + R2 )

25

SZB


A szabályozás

2.3 A lineáris szabályozás

A visszacsatolás struktúrájának elsődleges jelentősége, hogy maga a szabályozási rendszer is a negatív visszacsatolás elvén működik. Az egyhurkos szabályozási rendszer egyetlen y szabályozott jellemzővel – és ennek megfelelően egyetlen ua alapjellel – rendelkezik. A rendszernek több zavaró jele lehet, de ezeket mintegy összevont uz zavaró jelként, a szabályozott jellemző hatásvonalára redukálva vesszük figyelembe. Ennek megfelelően a szabályozási rendszernek két bemenő jele (az ua alapjel és az uz zavarójel), és általában egy kimenő jele15 (az y szabályozott jellemző) van. A klasszikus lineáris szabályozási rendszer (Feedback Control) hatásvázlata: uz Wz(s) Szabályozó

ua=yA

h

Wc(s)

Folyamat

u

u

Wp(s)

y

– y A soros kompenzációs, negatív visszacsatolású, szabályozási rendszer hatásvázlata

A szabályozási rendszer kialakításának alapvető célja, hogy a szabályozott jellemző y tényleges értéke a lehető legjobban közelítse az ua(t) alapjellel definiált yA(t) alapértékét (követési feladat), és a lehető legkevésbé függjön az uz(t) zavaró jellemzőtől (zavarelhárítási feladat). A negatív visszacsatolás elvére épülő szabályozás eme követelményeknek úgy igyekszik megfelelni, hogy egy különbség képző tag alkalmazásával előállítja az y szabályozott jellemző yA kívánt értékét megjelenítő ua alapjelnek–, és az y tényleges értékének a h=ua –y=yA–y különbségét (a hibajelet). Ennek segítségével a folyamat u irányító jelét – a Wc(s) átviteli függvénnyel reprezentált szabályozási algoritmuson keresztül – úgy befolyásolja, hogy ez a hibajel lehetőség szerint „kicsi” legyen16. Az adott struktúrában Wp(s) és Wz(s) a folyamat u irányító jelre-, illetve az uz zavaró jelre vonatkozó – és ismertnek tekinthető – átviteli függvényei. Wc(s) a méretezendő szabályozó átviteli függvénye17. Jelen esetben az y jelet közvetlen visszacsatolással vezetjük a szabályozó h bemenő jelét előállító különbségképző tagra, így most az ua alapjel az y szabályozott jellemző kívánt értékét (az yA alapértéket) jeleníti meg: ua≡yA. A szabályozó h = ua–y = yA–y bemenő jele (a h hibajel) pedig ekkor a rendszer tényleges hibája18. Az s Laplace operátor tartományban a jelek közötti függvénykapcsolatok – az általában magas rendszámú differenciálegyenletek helyett – igen egyszerű algebrai kifejezésekkel 15

Gyakori eset, hogy a szabályozási hurok belső jeleit (általában a h hibajelet és az u irányító jelet) is kimenő jeleknek vesszük fel. Természetesen ezek is az ua és uz bemenő jelek függvényei. 16 Ezzel az eljárással lényegében az emberi közreműködéssel megvalósuló „kézi” szabályozást kívánjuk – automatikusan működő technikai eszközök alkalmazásával – leutánozni. Ideális esetben a szabályozott jellemző nem függne a zavaró jelektől, és az y(t)=yA(t) feltételnek felelne meg. Ez a követelmény azonban a valóságos fizikai rendszerek üzemvitelében csak korlátozottan valósítható meg. 17 Egy lehetséges felosztásban Wp a sorosan kapcsolt teljesítmény erősítő, a végrehajtó szerv, a beavatkozó szerv, és a szabályozott szakasz együttes tulajdonságait –, Wc pedig a szintén soros kapcsolást alkotó, érzékelő szerv, az előerősítő, és a kompenzáló szerv eredő tulajdonságait írja le. A szabályozási algoritmust rendszerint a kompenzáló (jelformáló) szerv realizálja. 18 Ez a felfogás annak is megfelelhet, mintha az érzékelő szerv kimenő jelét tekintenénk a rendszer szabályozott jellemzőjének. A jó minőségű érzékelő szerv egy pontos „műszer”, kimenő jele a szabályozott jellemzővel szigorúan arányos. 2007. október 4.

26

SZB


A szabályozás

adhatók meg. Ezek a függvénykapcsolatok a szabályozás – s operátor tartományban értelmezett – rendszeregyenletei, nevezetesen:

y(s)=Wp(s)u(s)+Wz(s)uz(s) u(s)=Wc(s)[ua(s)–y(s)] Ha az y szabályozott jellemző mellett kimenő jelnek felvesszük a rendszer u irányító jelét is (ez a jel egyébként a hatáslánc egy belső jele), akkor az előző egyenletek alapján egyszerűen megkaphatjuk, hogy az y és u kimenő jelek miként függnek az ua és az uz bemenő jelektől:

y ( s) =

W0 W0 ⎛ Wz ⎜ ua ( s) ua ( s) + u z ( s) = 1 + W0 1 + W0 1 + W0 ⎜⎝

u(s) =

⎞ Wc WW W0 ⎛⎜ 1 W ua ( s) − z c u z ( s ) = ua ( s) − z u z ( s) ⎟ ⎟ 1 + W0 1 + W0 1 + W0 ⎜⎝ W p Wp ⎠

+

⎞ Wz u z ( s ) ⎟⎟ W0 ⎠

Mátrix egyenlet formájában: ⎡ W0 ⎡ y ( s )⎤ ⎢1 + W0 ⎢u ( s) ⎥ = ⎢ W ⎣ ⎦ ⎢ c ⎢⎣1 + W0

Wz ⎤ W0 1 + W0 ⎥ ⎡ua ( s )⎤ ⎥ = WcWz ⎥ ⎢⎣u z ( s ) ⎥⎦ 1 + W0 − 1 + W0 ⎥⎦

⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎢W p ⎣

Wz ⎤ W0 ⎥ ⎡ua ( s )⎤ ⎥ Wz ⎥ ⎢⎣u z ( s ) ⎥⎦ − W p ⎥⎦

Ezekben a kifejezésekben négy különféle eredő átviteli függvény írja le az y, és u kimenő jelek, illetve az ua és uz bemenő jelek közötti függvénykapcsolatokat. Mindegyikben szerepet kap a W0(s)=Wc(s)Wp(s) un. nyitott köri eredő átviteli függvény, ami Wc és Wp soros kapcsolásának eredő jelátviteli tulajdonságait adja meg. Mind a négy eredő átviteli függvénynek közös tulajdonsága, hogy nevezőjük az 1+W0(s) kifejezés. Az eredő rendszer dinamikus tulajdonságait az 1+W0(s)=0 karakterisztikus egyenlet gyökei (a rendszer λRi= pRi pólusai) szabják meg. A négy átviteli függvény közül az y és az ua közötti kapcsolatot definiáló WcW p W0 ( s ) y ( s) = = WR ( s ) = 1 + WcW p 1 + W0 ( s ) ua ( s ) a meghatározó jelentőségű, melyet egyébként a zárt szabályozási rendszer – ua alapjelre vonatkozó – eredő átviteli függvényének definiálunk19. Láthatóan WR(s) a nyitott kör W0(s) átviteli függvényének merev, negatív visszacsatolásaként állítható elő. Ha nem alkalmaznánk szabályozást – vagyis nem történne meg az u irányítójelnek a szabályozó által végrehajtott megfelelő mértékű korrekciója – akkor állandó u0 irányító jel mellett az uz zavaró jel (Δy)n= Wz(s)uz(s) mértékben (és nemkívánatosan) befolyásolná az y szabályozott jellemzőt. Szabályozás esetén ugyanekkora zavaró jellemző a szabályozott jellemzőre csupán 19

A zárt szabályozási rendszer alapjelre vonatkozó WR(s) eredő átviteli függvényének önbeálló tagot kell leírnia, mivel üzemszerű körülmények között, és állandó ua0=yA0 alapjel (alapérték) mellett, szükségszerűen létre kell, hogy jöjjön az y szabályozott jellemzőnek az y0 állandósult értéke. Ez az y0 állandósult érték egy előírt pontossággal kell, hogy megközelítse az yA0 alapértéket. Ideális esetben WRi(s)=1, illetve y=yA. 2007. október 4.

27

SZB


A szabályozás

Δy =

Wz ( s ) (Δy ) n uz (s) = 1 + W0 ( s ) 1 + W0 ( s )

mértékben hat. Ahhoz tehát, hogy ez a hatás „kicsi” (ideális esetben zérus) legyen, a W0(s) átviteli függvényt kell megfelelően megválasztani. Miután W0(s)=Wc(s)Wp(s) és Wp(s) a folyamat adottnak tekinthető átviteli függvénye, ezért végső soron a szabályozó Wc(s) átviteli függvényének megfelelő megválasztása a rendszertechnikai méretezés feladata20. 2.31 A zárt szabályozási rendszer gyökhelygörbéje

A szabályozással szemben támasztott elsődleges követelmény a rendszer stabilitása. Kizárólag az aszimptotikusan stabilis rendszer képes ellátni értéktartási–, és követési feladatait. A stabilitás a rendszer paramétereitől függ, ezen belül is elsősorban a körerősítéstől. A körerősítés változásának hatása a rendszer dinamikájára, és a stabilitására, – több más módszer mellett – szemléletesen érzékeltethető a zárt szabályozási rendszer gyökhelygörbéjén. A stabilitás általános feltétele, hogy a zárt szabályozási rendszert leíró WR(s)=W0/(1+W0) eredő átviteli függvény önbeálló tulajdonságú tagot jellemezzen, ekkor ugyanis az állandó alapjel hatására – a tranziens jelenségek „lecsengését” követően – létrejön a szabályozott jellemző állandósult értéke. Ennek feltétele, pedig az, hogy a rendszer 1+W0(s)=0 karakterisztikus egyenletének minden pRi gyöke (a zárt rendszer minden pólusa) negatív valós résszel rendelkezzen, vagyis real(pRi)<0 legyen. Más megfogalmazásban: aszimptotikusan stabilis a lineáris szabályozási rendszer, ha a W0(s)=G0(s)/H0(s) –ből képzett H0(s)+G0(s) kifejezés Hurwitz polinom. A holtidőmentes rendszer W0=Wc(s)Wp(s) nyitott köri átviteli függvényének algebrai törttel–, illetve gyöktényezőkkel megadható általános alakja21: W0 ( s ) =

G0 ( s ) g 0 s m + g1s m −1 + L + g m −1s + g m g 0 ( s − z1 )( s − z 2 )L ( s − z m ) = = H 0 ( s) h0 ( s − p1 )( s − p2 )L ( s − pn ) h0 s n + h1s n −1 + L + hn −1s + hn

ahol g0/h0=k0 a nyitott kör átviteli függvényének huroktényezője, zi a W0 zérusai (W0(zi)=0) , pi pedig W0 pólusai (W0(pi)=∞), és m≤n. Az 1+W0(s)=1+G0(s)/H0(s)= 0 karakterisztikus egyenlet egy más alakja:

H 0 ( s) + G0 ( s) = ( s − p1 )( s − p2 )L( s − pn ) + k0 ( s − z1 )(s − z 2 )L( s − z m ) = 0 Ennek az n–ed fokú egyenletnek mindegyik pRi (i: 1,2,…n) gyöke (a zárt rendszer mindegyik pólusa) a k0 huroktényező függvénye. k0=0 esetében pRi=pi, illetve k0=∞ esetén pRi=zi (i=1,2,…m), abs(pRi)=±∞ (i=m+1,m+2,…n). Ez azt jelenti, hogy miközben a k0 huroktényező befutja a 0
A rendszertechnikai méretezés a szabályozási algoritmust reprezentáló Wc(s) átviteli függvény meghatározását jelenti, amelyet természetesen követnie kell egy olyan hardware tervezésnek is, amely a Wc(s) algoritmust megvalósító eszközt szerkezetileg is létrehozza. 21 A SISO tag W(s) átviteli függvényének G(s), illetve H(s) polinomjainak indexezését az irodalomban nem ritkán fordított sorrendiségben is használják: G(s)=gmsm+gm–1sm-1+…g1s+g0, H(s)=hnsn+hn–1sn-1+…h1s+h0. Az általunk alkalmazott index–sorrendel, a MATLAB által is használt terminológiához alkalmazkodunk. 2007. október 4.

28

SZB


A szabályozás

k0

( s − z1 )( s − z 2 )L( s − z m ) = −1 ( s − p1 )( s − p2 )L( s − pn )

( s − z1 )( s − z 2 )L( s − z m ) 1 =− k0 ( s − p1 )( s − p2 )L( s − pn ) kifejezésből származtathatók. Eszerint a komplex változó síkján azokat az si=σRi+jωRi=pRi értékeket kell megkeresni, amelyeket az utóbbi kifejezésbe helyettesítve a komplex tört abszolút értéke 1/|k0| (abszolút érték feltétel), a szöge pedig a π-nek (a 1800–nak) páratlan számú többszöröse (szögfeltétel). Részletezve: abs

( s − z1 )( s − z 2 )L ( s − z m ) 1 1 = abs (− ) = ( s − p1 )( s − p2 )L( s − pn ) k0 k0

arc

( s − z1 )( s − z 2 )L ( s − z m ) 1 = arc(− ) = (2l + 1)π ( s − p1 )( s − p2 )L ( s − pn ) k0 l = 0 ± 1 ± 2L

Más alakban: m

∏ abs(s − zi ) 1 n

∏ abs(s − pi )

=

1 k0

1

m

n

1

1

∑ arc(s − zi ) − ∑ arc(s − pi ) = (2l + 1)π Evans ezen kritériumok alapján több pontba foglalta össze a gyökhelygörbe szerkesztési szabályait, ezek részletezésére itt nem térünk ki. Annál is inkább, mivel a MATLAB rlocus függvénye a gyökhelygörbe ábrázolását – a gyökök tényleges kiszámításával – hatékonyan támogatja. Néhány egyszerűbb szabályt azonban érdemes szem előtt tartani. Ezek: ◘ A gyökhelygörbe szimmetrikus a valós tengelyre. ◘ A gyökhelygörbének n ága van, ahol n a nyitott kör pólusainak száma. ◘ A gyökhelygörbe a nyitott kör pi pólusaiból indul. ◘ Az n számú ágból (miközben 0
2007. október 4.

29

SZB


A szabályozás 2.311 Példa Legyen W0(s) jellemezve az alábbi zérusokkal és pólusokkal: z1,2=1±j, p1=0, p2=–1, p3=–2. A k0 huroktényező befutja a 0
G0 ( s ) ( s − z1 )( s − z 2 ) ( s − 1 + j )( s − 1 − j ) = k0 = k0 H 0 (s) s ( s − p2 )( s − p3 ) s ( s + 1)( s + 2) 1 + W0 ( s ) = 0

s ( s − p2 )( s − p3 ) + k 0 ( s − z1 )( s − z 2 ) = 0 s ( s + 1)( s + 2) + k 0 ( s − 1 − j )( s − 1 + j ) = 0

A rendszer gyökhelygörbéje: ◘ Három pólus » három gyökhelygörbe ág. ◘ Két zérus » két ág tart a zérusokba, egy ág tart a végtelenbe. ◘ A gyökhelygörbe ágak a pi pólusokból indulnak. ◘ k0(krt) értéknél az egyik pR, conj(pR) gyökpár valós része zérus. Ilyen huroktényező mellett a zárt szabályozási rendszer a stabilitás határhelyzetében van. ◘ A valós tengely azon szakaszai, amelyektől a jobbra eső zérusok–, és pólusok összege páratlan, a gyökhelygörbe ágain vannak. ◘ A rendszer feltételesen stabilis.

k0(krt)

∞←k0

-3.7913

k0=0 p3=-2

imag z1=1+j j

k0=∞

0.6461j

k0=0 p2=-1

k0(krt)=0.7913

k0=0

1

p1=0

pólushelyek

real

Labilis tartomány

zérushelyek

–0.6461j

k0(krt)

–j

k0=∞ z2=1–j

Az s(s–p2)(s–p3)+k0(s–z1)(s–z2)=0 karakterisztikus egyenlet gyökhelygörbéje MATLAB támogatással számíthatjuk a gyökhelygörbét, valamint a zárt szabályozási rendszer eredő átmeneti függvényeit, a k0 huroktényező különböző értékeire. A MATLAB program: echo on;clear;clf; Go=conv([1 -1+j],[1 -1-j]);Ho=conv([1 0],conv([1 1],[1 2])); rlocus(Go,Ho);grid on;title('A gyökhelygörbe');pause; rlocfind(Go,Ho);% kokrt=0.7913 t=0:.1:35; ko=0.7913;Go=ko*conv([1 -1+j],[1 -1-j]); [GRk,HRk]=cloop(Go,Ho);y1=step(GRk,HRk,t); pR1=roots(n);disp(p1);pause; ko=0.4;Go=ko*conv([1 -1+j],[1 -1-j]); [GRS,HRS]=cloop(Go,Ho);y2=step(GRS,HRS,t); pR2=roots(n);disp(p2);pause; ko=0.9;Go=ko*conv([1 -1+j],[1 -1-j]); [GRL,HRL]=cloop(Go,Ho);y3=step(m,n,t); pR3=roots(n);disp(p3);pause; plot(t,y1,t,y2,t,y3);grid on; title(' A zárt rendszer átmeneti függvényei'); xlabel('idő');ylabel('vR(t)');pause;

2007. október 4.

30

SZB


A szabályozás A programmal kapott eredményekből a zárt rendszer vR(t) átmeneti függvényét adjuk meg olyan esetekre, amikor a huroktényező k0= 0.7913 = k0krt, k0=0.4 < k0krt és k0=0.9 > k0krt. A zárt rendszer átmeneti függvényei

4 k0= 0.7913= k0krt stabilitási határ

k0= 0.9> k0krt labilis

3 k0=0.4< k0krt stabilis

vR(t)

2

1

0

-1

-2 0

5

10

15

20

25

30

35

idõ

A vR(t) átmeneti függvényekből szemléletesen látszik, hogy k0 ≥ k0krt mellett a zárt szabályozási rendszer labilis, mivel az ua(t)=1(t) alapjel hatására az y(t) szabályozott jellemző periódikus lengőmozgást végez, vagy minden határon túl növekszik. 2.312 Példa Legyen a labilis pólussal rendelkező W0(s) jellemezve az alábbi zérusokkal, és pólusokkal: z1,2=–2±2j, p1=0, p2=–1, és a labilis pólus p3=2. A k0 huroktényező befutja a 0
G0 ( s ) ( s − z1 )( s − z 2 ) ( s + 2 + 2 j )( s + 2 − 2 j ) = k0 = k0 H 0 (s) s ( s − p2 )( s − p3 ) s ( s + 1)( s − 2) 1 + W0 ( s ) = 0

s ( s − p2 )( s − p3 ) + k 0 ( s − z1 )( s − z 2 ) = 0 s ( s + 1)( s − 2) + k 0 ( s + 2 + 2 j )( s + 2 − 2 j ) = 0

A rendszer gyökhelygörbéje:

2007. október 4.

31

SZB


A szabályozás

A rendszer gyökhelygörbéje 4

k0(krt)=3

3

2+2j

2

k0=∞

k0

imag pR

1

k0→∞

0

–2

2

0

k=0

k=0

-1

k0=∞

-2 -3 -4 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

real pR

Megjegyzés ◘ Három pólus » három gyökhelygörbe ág. ◘ Két zérus » két ág tart a zérusokba, egy ág tart a végtelenbe. ◘ A gyökhelygörbe ágak a pi pólusokból indulnak. ◘ k0(krt) értéknél az egyik pR, conj(pR) gyökpár valós része zérus. Ilyen huroktényező mellett a zárt szabályozási rendszer a stabilitás határhelyzetében van. ◘ A valós tengely azon szakaszai, amelyektől a jobbra eső zérusok–, és pólusok összege páratlan, a gyökhelygörbe ágain vannak. ◘ A rendszer feltételesen stabilis, de most – ellentétben az előző példával – a k0 huroktényező növelése stabilizálja a zárt szabályozási rendszert.

MATLAB támogatással számítottuk a gyökhelygörbét, valamint a zárt szabályozási rendszer eredő átmeneti függvényeit, a k0 huroktényező különböző értékeire. A MATLAB program: echo on;clear;clf; Go=conv([1 2+2j],[1 2-2j]); Ho=conv([1 2],conv([1 0],[1 -2])); rlocus(Go,Ho);grid on;title('A gyökhelygörbe'); xlabel(’real pR’);ylabel(’imag pR’);pause; rlocfind(Go,Ho);% kokrt=3.000 t=linspace(0,5,100); [GRL,HRL]=cloop(Go,Ho); [GRk,HRk]=cloop(3*Go,Ho);[GRS,HRS]=cloop(5*Go,Ho); step(GRL,HRL,t);grid on;hold on; step(GRk,HRk,t);step(GRS,HRS,t); title(’A zárt rendszer vR(t) átmeneti függvényei’); xlabel(’idő’);ylabel(’vR’); Step Response A zárt rendszer vR(t) átmrnrti f üggvényei 5 4

k0=5.0> k0(krt) stabilis

3

1 vR(t)

Amplitude

2

k0= 3.0= k0(krt) stabilitási határ

0 -1

k0=2< k0(krt) labilis

-2 -3 -4 -5 0

0.5

1

1.5

2

2.5 idõ

3

3.5

4

4.5

5

Time (sec.)

2007. október 4.

32

SZB


A szabályozás A programmal kapott eredményekből a zárt rendszer vR(t) átmeneti függvényét adtuk meg olyan esetekre, amikor a huroktényező k0=3=k0krt, k0=2< k0krt és k0=5> k0krt. A vR(t) átmeneti függvényekből szemléletesen látszik, hogy k0 ≤ k0krt melett a zárt szabályozási rendszer labilis, mivel az ua(t)=1(t) alapjel hatására az y(t) szabályozott jellemző periódikus lengőmozgást végez, vagy minden határon túl növekszik.

A gyakorlatban ritkán fordúl elő, hogy a felnyitott szabályozási kör labilis legyen, ezért a meghatározóan jellemző tulajdonság az, hogy a k0 huroktényező növelésével lehet előidézni a zárt rendszer labilitását. Az utobbi példa éppen az ettől ellentétes, kivételes esetet illusztrálja. A folyamat holtidő okozta jelkésleltetése miatt, előfordulhat, hogy a W0(s) átviteli függvénynek transzcendens tényezője is van. Ekkor a W0 ( s ) = k 0

( s − z1 )( s − z 2 )L ( s − z m ) − sTh e ( s − p1 )( s − p2 )L( s − pn )

⇒ 1 + W0 ( s ) = 0

( s − p1 )( s − p2 )L( s − pn ) + k 0 ( s − z1 )( s − z 2 )L ( s − z m )e − sTh = 0

karakterisztikus egyenletnek – adott k0 mellett – végtelen sok gyöke (a rendszernek végtelen sok pRi pólusa) van, a gyökhelygörbe pedig egy un főágból, és végtelen sok mellékágból áll. Ábrázolása nehézkes, az előző esetre érvényes szerkesztési szabályok egy része érvényét is veszti. Az abszolút érték feltétel változatlan marad, de a szögfeltétel m

n

∑ arc(s − zi ) − ∑ arc(s − p1 ) + arc(e −sT ) = (2l + 1)π h

1

1

kifejezésnek megfelelően a holtidős tag arc(exp(–sTh))=–ωTh értékével módosul. A számítások jelentősen egyszerűsíthetők, ha a transzcendens tényezőt algebrai törttel közelítjük. Egy lehetséges közelítés (Strejc módszer): e − sTh = lim (1 + k →∞

sTh −k 1 ) ≅ T k (1 + s h ) k k

k : 1,2,3K10K

Gyakorlati tapasztalat, hogy ebben a közelítésben a k≈5 fokszám már elfogadható eredményt ad. 2.32 Másodrendű zárt szabályozási rendszer. A domináns poluspár

Szabályozási rendszerek alapjelre vonatkozó eredő jelátviteli tulajdonságait – mint már említettük – szükségszerűen az önbeállóság (az aszimptotikus stabilitás) kell hogy jellemezze. Az üzemszerű körülmények mellett működő szabályozásnál az állandó ua alapjel hatására az y szabályozott jellemzőnek – a tranziensek lejátszódását követően – be kell állnia az alapjellel definiált előírt y(∞)=y0 állandó értékre. A tranziensek exp(λRit) szerint „tünnek el”, ahol λRi a rendszer AR állapotmátrixának a sajátértékei, illetve a zárt rendszer eredő WR(s) átviteli függvényének a pRi=λRi pólusai. Ezek száma azonos a rendszer n rendszámával, és aszimptotikusan stabilis rendszer esetében a komplex számsík negatív valós részű síkfelén helyezkednek el. A tervezés egyik szokásos célkitűzése, hogy a zárt rendszer sajátértékei (pólusai) között legyen egy λR1,2=pR1,2=σR±jωR un. domináns póluspár. Ekkor a többi λR3, λR4,… λRn pólus valós része a domináns póluspár valós részétől lényegesen kisebb (lásd az ábrát).

2007. október 4.

33

SZB


A szabályozás

Szabályozó Wc(s)

Folyamat

Domináns póluspár

Wp(s)

jωR

λR1=pR1

– α

y

ua WR ( s ) =

+ 5σR

Wc ( s )W p ( s )

σR

λR2=pR2

1 + Wc ( s )W p ( s )

–jωR

A szabályozási rendszer (önbeálló tag)

Elhanyagolható pólusok (λR3, λR4, …λRn)

A zárt szabályozási rendszer és a domináns póluspárja

Ha a domináns póluspár σR valós része akkora, hogy ehhez képest az összes többi pólus valós része (3~5)σR–től kisebb, akkor az ezekhez tartozó tranziensek igen gyorsan „eltűnnek”, és a rendszer mozgását lényegében a domináns pólupár, σR és ωR paraméterei határozzák meg. Mindezek miatt szükséges a másodrendű rendszer tanulmányozása, mert a zárt szabályozási rendszert is az analitikusan egyszerűen kezelhető, másodrendű rendszerrel szeretnénk – legalább is közelítőleg – leírni. Az ua bemenő jelű, y kimenő jelű másodrendű lengő rendszer differenciálegyenlete, és átviteli függvénye: 2 dy (t ) 2 d y (t ) T0 + 2ξT0 + y (t ) = u a (t ) 2 dt dt 1 y(s) WR ( s ) = = u a ( s ) 1 + 2ξT0 s + T02 s 2 ahol T0>0 a rendszer csillapítatlan sajátkörfrekvenciájának reciproka (ω0=1/T0), 0<ξ≤1 a csillapítási tényező. Az differenciálegyenlethez rendelhető, alaptagokat tartalmazó hatásvázlatot, valamint az állapotegyenlet egy lehetséges alakját, a differenciálegyenlet d2y/dt2–re rendezett d 2 y (t ) 2ξ dy (t ) 1 1 =− − 2 y (t ) + 2 u a (t ) 2 T0 dt dt T0 T0

kifejezéséből építhetjük fel. A d2y/dt2 jel egymásutáni kétszeres integrálásával állítható elő az y kimenő jel. Az integrátorok kimenő jelei a rendszer állapotváltozói, és ezekből, illetve az ua bemenő jel lineáris kombinációjából, az integrátor lánc bemenő jele is származtatható. Mindezek figyelembevételével a másodrendű rendszer hatásvázlata: ua (t) –

1 T02

d2y(t)/dt2

∫ −

dy(t)/dt=x2

∫

y(t)=x1

2ξ T0

ξ=0 csillapítási tényező mellett a hatásvázlat két, egymással soros kapcsolást alkotó, eredőben negatívan visszacsatolt, integráló tagokat tartalmazó struktúrát alkot. Ekkor a rendszer ugrásválasza csillapítatlan lengőmozgás.

Másodrendű rendszer lineáris alaptagokból felépülő hatásvázlata

2007. október 4.

34

SZB


A szabályozás

A rendszer állapotegyenlete a hatásvázlat alapján közvetlenül felírható, és ennek alapján a paramétermátrixok is kiolvashatók: dx1 (t ) = x2 (t ) dt dx2 (t ) 1 2ξ 1 x2 (t ) + 2 u a (t ) = − 2 x1 (t ) − dt T0 T0 T0 y (t ) = x1 (t ) ⎡ 0 AR = ⎢− 1 ⎢ T2 ⎣ 0

1 ⎤ 2ξ ⎥ − ⎥ T0 ⎦

⎡ 0 ⎤ BR = ⎢ 1 ⎥ C R = [1 0] DR = 0 ⎢T 2 ⎥ ⎣ 0 ⎦

A másodrendű rendszer állapotmátrixának sajátértékei: ⎡λ det(λI − AR ) = det ⎢ 1 ⎢T 2 ⎣ 0

−1 ⎤ 2ξ 1 2ξ ⎥ λ + ⎥ = λ (λ + T ) + T 2 = 0 0 0 T0 ⎦ 1 (−ξ ± j 1 − ξ 2 ) = σ R ± jω R T0

T02 λ2 + 2ξT0 λ + 1 = 0 λR1, 2 =

σR = −

ξ T0

ωR =

1− ξ 2 T0

Figyeljük meg, hogy a domináns pólus λR1=σR+jωR komplex vektora α szöget zár be a negatív valós tengellyel. Az α szög coszinusza a rendszer csillapítási tényezője:

ξ cos(α ) =

abs (σ R ) abs (σ R ) = = 2 2 abs (λR ) σ R + ωR

T0 (

ξ T0

)2 + (

1− ξ 2 ) T0 2

=ξ

A rendszer mozgásviszonyait szemléletesen jeleníti meg a vR(t) átmeneti függvény, amely a differenciálegyenlet megoldása ua(t)=1(t) ugrásjelre, zérus kezdeti feltételek mellett. Ez most analitikusan is meghatározható: ⎧ 1⎫ 1 ⎧ v R (t ) = L−1 ⎨WR ( s ) ⎬ = L−1 ⎨ 2 2 s⎭ ⎩ ⎩1 + 2ξT0 s + T0 s

1⎫ ⎬= s⎭

t ⎧ t − T0 ⎪ 1 − (1 + )e ξ =1 T0 ⎪⎪ ξ =⎨ − t T0 ⎡ 1− ξ 2 ⎪ 1−ξ 2 ⎤ e ⎢ ⎥ 0 < ξ <1 − 1 sin t arctg − ⎪ −ξ ⎥ ⎢⎣ T0 1− ξ 2 ⎪⎩ ⎦

Ábrázolva:

2007. október 4.

35

SZB


A szabályozás

Lengõ tag átmeneti függvénye 2.5 πξ

Δv R = v R max − 1 = exp(−

1−ξ 2

T0=1 ξ=0.3

)

2

vRmax 1+

vR(t)

1.5

1 1−ξ

2

e

−

ξ T0

t

1

0.5

1−

1 1− ξ

2

e

−

ξ T0

t

0 tR =

-0.5

0

2

4

πT0 1−ξ 2

6

8

10

12

14

idõ

Az átmeneti függvény időlefolyását különböző ξ értékekre MATLAB támogatással számítjuk: echo on;clear;clf; % lengő tag átmeneti függvényénk számítása T0=input('T0=');kszi=input('kszi=');t=0:4*pi*T0/100:4*pi*T0; [A,B,C,D]=tf2ss(1,[T0*T0 2*kszi*T0 1]);sys=ss(A,B,C,D); grid on;step(sys,t);title('Lengő tag átmeneti függvénye'); ylabel('vR(t)');xlabel('idő');pause;clf; for k=0:10 T0=1;kszi=1; grid on; [A,B,C,D]=tf2ss(1,[T0*T0 2*kszi*T0*k/10 1]); sys=ss(A,B,C,D); step(sys,t);hold on;pause; end title('Lengő tag átmeneti függvénye'); ylabel('vR(t)');xlabel('idő');pause;clf; T0=input('T0=');kszi=input('kszi=');t=0:4*pi*T0/100:4*pi*T0; [A,B,C,D]=tf2ss(1,[T0*T0 2*kszi*T0 1]);sys=ss(A,B,C,D); vR=step(sys,t); vf=1+(1/sqrt(1-kszi^2))*exp(-(kszi/T0)*t); vl=1-(1/sqrt(1-kszi^2))*exp(-(kszi/T0)*t); plot(t,vR,t,vf,t,vl);grid on; title('Lengő tag átmeneti függvénye'); ylabel('vR(t)');xlabel('idő');pause;pause;clf; keyboard; % visszatérés: return

2007. október 4.

36

SZB


A szabályozás

Kéttárolós lengõ tag átmeneti függvényei From: U(1) 2 ξ=0.0 −

1.8

Δv R = e

ξ=0.1

1.6

ξ=0.2

1.4

ξ=0.3

1.2

ξ=0.4

T0=0 0<ξ<1

πξ 1−ξ 2

To: Y(1)

Amplitude

ξ=1/√2

ξ=1

1 0.8 0.6

πT0

0.4

1− ξ 2

t = 2πT0

0.2 0 0

3.5

7

10.5

14

Time (sec.)

Az ábrát, illetve a vR(t) kifejezését tanulmányozva jól látható, hogy a ξ csillapítási tényezőnek a lengésképre alapvető befolyása van. Figyelemre érdemes tulajdonság, hogy az átmeneti függvény −

Δv R = v R max − v(∞) = v R max − 1 = e

πξ 1−ξ 2

túllendülése kizárólag a ξ csillapítási tényezőnek a függvénye. A ξ=0 paraméter mellett a rendszer csillapítatlan lengőmozgást22 végez (oszcillátorként viselkedik, túllendűlése 100%), a lengési periódusidő ekkor 2πT0. A csillapítási tényező ξ=1 értéke mellett az átmeneti függvény lengéseket nem tartalmaz, ilyen esetben a zárt rendszer pólusai azonosak: λR1,2 = – 1/T0 (aperiodikus határeset). Sok gyakorlati alkalmazásban elfogadottnak tekintett csillapítási tényező ξ=1/√2=0.7071, amihez ΔvR=0.0432 (4.3%) túllendülés tartozik. Ha a túllendülés megengedett értéke ΔvR=0.1 (10%), akkor az ennek megfelelő csillapítási tényező ξ=0.5910≈0.6. A ΔvR(ξ) függvény grafikonja:

22

Ilyen üzemállapotot szabályozás esetében nem lehet megengedni.

2007. október 4.

37

SZB


A szabályozás

A dv(kszi) függvény 1 0.9 0.8 0.7

dv

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

ΔvR=0.1 (10%) ΔvR=0.04322 (4.3%) ξ=1/√2

ξ=0.5910

0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 kszi

0.6

0.7

0.8

0.9

1

A 0<ξ<1 intervallumban változó csillapítási tényező mellett a másodrendű rendszer csillapodó lengőmozgással veszi fel az egyensúlyi értékét. Ennek a lengőmozgásnak a körfrekvenciája az

ωR0

1−ξ 2 = = ω0 1 − ξ 2 T0

csillapított sajátkörfrekvencia, ami a csillapítatlan sajákörtfrekvenciánál kisebb. Érdemes megfigyelnünk, hogy a zárt rendszer WR(s) átviteli függvénye akkor rendelkezik egységnyi átviteli tényezővel, és domináns póluspárral, ha a nyitott hurok W0(s) átviteli függvénye egytárolós integráló tagnak felel meg. A hatásvázlat alapján ugyanis: 1 ki 1 1 1 1 1 s W0 ( s ) = 2 = = T0 1 + 2ξ 1 s 2ξ 1 + s T0 sT0 sTi (1 + sT ) T0 s 2ξ ki = 1 /(2ξ ) Ti = T0

T = T0 /(2ξ )

1 1 1 2ξ 1 + s T0 sT0 1 2ξ WR ( s ) = = 1 1 1 1 + 2ξT0 s + T02 s 2 1+ 2ξ 1 + s T0 sT0 2ξ Mindezekből pedig az is következik, hogy a szabályozás W0=WcWp nyitott köri átviteli függvényének kialakításakor célszerű olyan Wc átviteli függvényű szabályozót választani, hogy a nyitott körre a fenti tulajdonságok – nevezetesen, hogy egytárolós integráló taggal leírható legyen – teljesüljenek.

2007. október 4.

38

SZB


A szabályozás

2.33 A szabályozás minőségi jellemzői

A lineáris szabályozás minőségi jellemzőit a zárt rendszer alapjelre vonatkozó vR(t) átmeneti függvénye alapján szokás megfogalmazni. Ekkor az alapjel egységugrás: ua(t)=yA(t)=1(t), és az y(t)=vR(t) szabályozott jellemző rendszerint lengésekkel veszi fel az y(∞)=vR(∞) állandósult értékét. y=vR a

vR max

b

ΔvR

yA=1

c

d

vR(∞)

f

e

yA(t)

vR(t) y(∞)=vR(∞)

h(∞)

2Δ

⎧ W (s) 1 ⎫ v R (t ) = L−1 ⎨ 0 ⎬ ⎩1 + W0 ( s ) s ⎭

g 0

tmax

TΔ

t=∞

t

A zárt szabályozási rendszer alapjelre vonatkozó vR(t) átmeneti függvénye

A tmax időpontban vR(t)=vRmax, t=∞ időpontban vR(t)=vR(∞) és a rendszer σ(%) túllendűlése:

σ (%) =

v R max − v R (∞) Δv R 100 = 100 v R (∞ ) v R (∞ )

A h(∞)=yA(∞)–vR(∞)= 1–vR(∞) az állandósult hiba. A 2Δ a dinamikus hibasáv, ami a vR(∞) értékének 2%–a, vagy 5%–a. A TΔ a szabályozási idő23, amelynek eltelte után a vR(t) átmeneti függvény a 2Δ dinamikus hibasávból többé már nem lép ki. A vR(t) átmeneti függvény befoglalható az 0abcd→efg0 sarokpontokkal jellemezhető nyitott sokszögbe. A σ(%), h(∞), 2Δ, TΔ adatok a rendszer minőségi tulajdonságait mutatják. Az ideális rendszer időkésés nélkül követné az alapjelet, így minőségi mutatói σi(%)=0, hi(∞)=0, 2Δi=0, TΔi=0 lenne. Ilyen irreális követelményeket támasztani egy valóságos szabályozási rendszerrel szemben azonban nem szabad, mivel a dinamikus rendszerben az energiatárolásból származó időállandók, illetve a jelterjedés véges sebességéből származó holtidő szükségszerű jelenléte ezt nem teszi lehetővé. A σ(%) túllendűlésre, illetve a h(∞) statikus hibára lehetséges követelmény, hogy értékük legyen zérus, megfelelő szabályozási algoritmus választásával ez teljesíthető. A TΔ a szabályozási idő lerövidítése érdekében a Wc(s) átviteli függvénnyel leírt szabályozási algoritmust úgy célszerú megválasztani, hogy az u(t) irányító jel a t=0 időpontban egy umax>>u(∞) túlvezérlési értékkel indúljon. Ezt a túlvezérlést az idő növekedésével a szabályozó végül az u(∞) értékre „visszaveszi”. Miközben a szabályozási rendszer eredő átmeneti függvénye rendszerint az előző ábra szerint változik, a tranziens folyamat alatt az u(t) irányító jel általában az alábbi időfüggvényt futja be:

23

A TΔ szabályozási idő függ a 2Δ dinamikus hiba 2% vagy 5% értékétől.

2007. október 4.

39

SZB


A szabályozás

umax

u(t)

⎧ W (s) 1 ⎫ u (t ) = L−1 ⎨ c ⎬ ⎩1 + W0 ( s ) s ⎭ u(∞)

u(∞) Th

t

A zárt rendszer irányító jele ua(t)=1(t) alapjel esetén

Az umax megválasztásákor körültekintően kell eljárni, mivel a különféle technológiai folyamatok más–más túlvezérléseket engednek meg. A minőségi jellemzők sorába, méretezési előírásként, szokás felvenni az ut =

u max u (∞ )

túlvezérlési arányt, amelynek technologia függő, megengedett értéke van24. Univerzális minőségi mutatónak lehet tekinteni a vRmaxTΔ területet. Annál jobb a szabályozás, minnél kisebb ennek a területnek az értéke. Pontosabb területi mérőszámot lehet konstruálni a H(t)=vR(∞)–vR(t) jel különféle integráljai alapján. Ezek a minőség integrális jellemzői, szokásos kifejezéseik: ∞

I H = ∫ H (t )dt

Lineáris hibaterület :

0

∞

I H 2 = ∫ H 2 (t )dt

Négyzetes hibaterület :

0

∞

Súlyozott négyzetes hibaterület :

I tH 2 = ∫ tH 2 (t )dt 0

∞

I H = ∫ H (t ) dt

Abszolút hibaterület :

0

∞

Súlyozott abszolút hibaterület :

I t H = ∫ t H (t ) dt 0

Az IH akkor ad reális eredményt, ha vR(t)–nek nincs túllendűlése, miután a területeket előjelhelyesen összegzi. Ezen segít az IH2, ami minden jelterületet azonos előjellel vesz figyelembe, de a négyzetreemelés miatt a kezdeti nagy hibákat indokolatlanul erősen súlyozza. Ezt van hivatva korrigálni az ItH2 idővel súlyozott négyzetes hibaterület. Az abszolút hibaterület kritériumok jelentik a legreálisabb mérőszámú minőségi mutatókat, kiszámításuk azonban igen nehézkes. A lineáris–, és a négyzetes hibaterület analitikusan is kiértékelhető. A szabályozási algoritmus meghatározásakor méretezési követelményként lehet előírni, egy megengedett mértékű σ(%) túllendűlést (általában 0~25%), a lehetőség szerinti gyors beállást, 24

Ha az irányitó jel végértéke u(∞) =0, akkor az ut arány helyett az umax túlvezérléssel értékkel dolgozhatunk.

2007. október 4.

40

SZB


A szabályozás

és az igen kicsi–, vagy zérus h(∞) állandósult hibát. Ha a rendszer tulajdonságait a domináns pólupár határozza meg, akkor a σ(%), h(∞), TΔ analitikusan is kiszámítható. Elvileg valamelyik hibaintegrál minimalizálására is felépíthető egy méretezési módszer, az eljárás, nehézkessége miatt azonban ez a gyakorlatban nem terjedt el.

2007. október 4.

41

SZB


A szabályozás

2.4 Függelék Tagok soros kapcsolása W1(s)

u

yk

W2(s)

y

WR(s)=W1(s)W2(s)

R2, L2

R1, L1 u

yk Φ2

G1

Φ1 i1

WR ( s ) =

y

G2

k1k 2 (1 + sT1 )(1 + sT2 )

i2

W1 ( s ) =

k1 1 + sT1

W2 ( s ) =

k2 1 + sT2 C

L

R

u

Leválasztó erősítő k

C

R

yk

y

kT2 s (1 + 2ξT1s + T12 s 2 )(1 + sT2 )

WR ( s ) =

i

W1 ( s ) =

1 1 + 2ξT1s + T12 s 2

W2 ( s ) =

u

kT2 s 1 + sT2

W1 ( s ) = k1 a

b WR ( s ) =

yk

W2 ( s ) =

k1k 2 s

k2 s

y

RV1

RV2 C

R

u

C yk

R

u

2007. október 4.

Rv1 1 R 1 + sT1

Rv1 Rv 2 1 R 2 (1 + sT1 )(1 + sT2 )

y

A=-∞

W1 ( s ) = −

WR ( s ) =

A=-∞

W2 ( s ) = −

1 Rv 2 R 1 + sT2

42

SZB


A szabályozás

Tagok párhuzamos kapcsolása

W1(s)

y1 y

u

W2(s) n=áll

y2

WR(s)=W1(s)+W2(s) R1, L1 u

G

Φ1

WR ( s ) =

y1

=

i1

u

G

Φ2

Megjegyzés. A generátorok armatúra körei áramkörileg soros kapcsolást alkotnak. A jelátviteli tulajdonságok szempontjából viszont párhuzamos kapcsolásról van szó, mert a bemenő jelek azonossága mellett az eredő kimenő jel az egyes tagok kimenő jeleinek az összege.

y2

i2

RV

R

R

u

y1

R

yk

A=-∞

A=-∞

R W1 ( s ) = −

Rv R

1 ⎞ Rv 1 + sRv C ⎛ R WR ( s ) = −⎜⎜ − v − = ⎟⎟ = ⎝ R sRC ⎠ R sRv C 1 + sTi R =k k = v Ti = Rv C sTi R

C

R

y2 A=-∞

W2 ( s ) = −

k1 (1 + sT2 ) + k 2 (1 + sT1 ) (1 + sT1 )(1 + sT2 )

y

n=áll

R2, L2

k1 k2 + = 1 + sT1 1 + sT2

PI szabályozó

1 sRC

u a

b

c

WR ( s ) = k1 + W2 ( s ) =

k2 s

W1 ( s) = k1

y1

k 1+ 1 s ⎛ k 2 + k1 s ⎞ k2 ⎟ = k1 k 2 = k1 ⎜⎜ = ⎟ k1 s ⎝ k1 s ⎠ 1 + sTi k Ti = 1 = k1 sTi k2

y2 PI szabályozó

y

2007. október 4.

⎛ k2 k ⎞ = k1 ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = s k1 s ⎠ ⎝

43

SZB


A szabályozás

Visszacsatolás

W1(s)

u

y

–

v

W2(s)

WR ( s ) =

W1 ( s ) 1 + W1 ( s )W2 ( s )

n=áll

R, L u

G

Φ

y W1 ( s ) =

k1 1 + sT1

W2 ( s ) =

R2 = k2 R1 + R2

WR ( s ) =

k1 k1 + k 2

i v R1

1 1+ s

T 1 + k1k 2

R2

k∞

(106)

u

W1 ( s ) = k ∞

y

v

W2 ( s ) = k v

sRC 1 + sRC k∞

k ∞ (1 + sRC ) = = sRC 1 + sRC + k ∞ k v sRC 1 + k∞ kv 1 + sRC k ∞ (1 + sRC ) 1 + sT = ≅k 1 + sRC (1 + k ∞ k v ) sT

WR ( s ) =

C

kv R

k=

1 kv

T = RC

u

a

b

W1 ( s ) =

k1 1 1 k1 s WR ( s ) = = = = k1 1 s k k k + 1 2 2 1+ s 1 + k2 s k1k 2

k1 s

= k=

1 k2

k 1 + sT T=

1 k1k 2

y

W2 ( s ) = k 2 ZV (s) u

ZB(s)

ur

2007. október 4.

y

u ( s) u ( s) y(s) + = r ≅0 Z B ( s) ZV ( s) Rb WR ( s ) =

A=-∞

44

Z ( s) y(s) =− V u ( s) Z B ( s)

SZB


A szabályozás

Fiktív alapjel képző és fordulatszám érzékelő

i

a

b

ε

Szabályozó

ε

i

k1

k2 s

–

o

k3 1 + sT

o

k3 1 + sT

ω

o

Gőzturbina

Beavatkozó szerv (szelep)

ω

i i

k1

ε –

k2 s

–

kv

k2 k2 k s = = k 2 kv s + k 2 k v 1 + sT 1+ s

o

i ε

k1 –

i

k3 1 + sT

–

kv

k2 s

sTd k 1 + 2 kv s 1 + sTd

o

=

2007. október 4.

o

k2 s

45

=

k 2Td 1 + sTd 1 + k 2 k v Td sTd

sTd 1 + sTd

1 + sTd k2 = s 1 + sTd + k 2 k v Td 1 1+ s

Td 1 + k 2 k v Td

SZB


A szabályozás

Különféle visszacsatolások, és ezek szerkezeti példái. u

ε

u

y

k∞ (≈106)

y

k∞ 1 ≅ 1 + k∞W2 ( s ) W2 ( s )

–

WR ( s ) ≅

W2(s)

1 W2 ( s )

Negatív visszacsatolás RV u

Példa

C

u

RB

y ur k∞=-A=-∞

y

WR ( s ) ≅ −

u

ε

1 sC 1 + sRV C

Rb

k∞

sC 1 + RV Cs

1 + sRV C =− sRB C

y

k1 1 + sT

–

1 RB

y

1 RB

u = r 1 Rb RV + sC y = − Au r u + RB

k1 k∗ 1 + sT = k 1 + sT ∗ 1 + k2 1 1 + sT

u

k2>0

y

k1 k∗ WR ( s) = 1 + k = T 1 + sT ∗ 1+ s 1+ k A T időállandó csökkentése

Negatív visszacsatolás Példa –

Φ,R,L

u

y

G

v i +

i=

n=áll.

+

–

–

φ = c1i k1 =

y = c2φ

c1c2 R

T=

L R

v = k2 y WR =

> k2

ε

R + sL k1 y = ε 1 + sT ε =u −v

k1 1 k∗ = 1+ k 1+ s T 1 + sT ∗ 1+ k

k = k1k 2

+

2007. október 4.

46

SZB


A szabályozás

u

ε

y

k1 1 + sT

+

k1 1 1 + sT = k1 sT 1 − k2 1 + sT

u

y

k2

WR ( s) = Pozitív visszacsatolás

1 sT

k1k2 = 1

Integráló tag létrehozása

Példa –

–

Φ,R,L

u

i=

n=áll. y

G

v i +

+

+

–

ε

WR =

–

k1 =

y = c2φ

c1c2 R

T=

L R

k1 k1 k 1 + sT = = 1 k1 1 + sT − k sT 1 − k2 1 + sT

y

1 sT

φ = c1i

v = k2 y

> k2

u

ε

R + sL y k1 = ε 1 + sT ε =u+v

u

1 sT

k = k1k 2 = 1

1 sT sT = 1 2 ( sT ) 2 + 1 1+ ( ) sT

WR ( s ) =

y

sT ( sT ) 2 + 1

Oszcillátor létrehozása

Negatív visszacsatolás Példa u

R

R

C

R

R A=-∞

y A=-∞

C

1 sT sRC WR = = 2 1 + ( sT ) 2 ⎛ 1 ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ sRC ⎠

T = RC

R A=-∞

2007. október 4.

47

SZB


A szabályozás

u

ε –

y

1 1 + sT

u

1 sT

WR ( s ) =

Negatív visszacsatolás R

u

R

sT ( sT ) + sT + 1 2

Kéttárolós differenciáló tag létrehozása

R A=-∞

y

Példa

R

R

1 1 + sT 1 1 1+ sT 1 + sT

C

1 sT 1 + sRC WR = = 1 1 1 + sT + ( sT ) 2 1+ 1 + sRC sRC

y

A=-∞

C

T = RC

R A=-∞

u

ε –

y

k 1 + sT 1 1 + sT

u

WR ( s ) =

Negatív visszacsatolás

k 1 + sT k 1 1+ 1 + sT 1 + sT

k (1 + sT ) k = 2 (1 + sT ) + k 1 + k

y

1 + sT T2 2 2T s+ 1+ s 1+ k 1+ k

Kéttárolós PD tag létrehozása Példa R

u

R

Rv

R

R A=-∞

C

Rv 1 1 + sT k + R sRC 1 = WR = R 1 1 1+ k 2T T2 2 1+ v s 1+ s+ R 1 + sRC sRC 1+ k 1+ k R T = RC k = v R

y

A=-∞

R

C

R

A=-∞

2007. október 4.

48

SZB

FOLYAMATSZABÁLYOZÁS 2. A szabályozás

Recommend Documents