Fizika I. Dr. Gugolya Zoltán egyetemi adjunktus Pannon Egyetem Fizika Intézet N. ép. II. em. 239. szoba E-mail:
[email protected] Tel: 88/624-783
Fizika I. Ajánlott irodalom: • • •
Vonderviszt-Németh-Szalai: Fizika I. Veszprémi Egyetemi Kiadó 2003. Budó Ágoston: Kísérleti fizika I. Tankönyvkiadó Budapest Feynman: Mai fizika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest
TÉTELSOR 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Koordinátarendszerek, helyvektor, út, elmozdulás, sebesség, gyorsulás. Egyenes vonalú mozgások, hajítás. Körmozgás, harmonikus rezgőmozgás. Dinamika, Newton törvényei. Tömeg, impulzus, erő, erőtörvények. Mozgásegyenlet. Kényszermozgások, lejtő, súrlódás. A gravitáció. Bolygók mozgása, Kepler törvényei. Az általános tömegvonzás törvénye. Munka, energia, teljesítmény. A kinetikus energia tétele. Konzervatív erőterek. A mechanikai energia megmaradása. 9. Harmonikus rezgőmozgás dinamikája 10. Pontrendszerek mechanikája, tömegközéppont és impulzustétel. 11. Ütközések. Impulzusmomentum, impulzusmomentum-tétel. 12. A merev test mechanikája. Tehetetlenségi nyomaték, a forgó mozgás alapegyenlete
Vizsgaidőpontok • • • • • •
2009. 01. 05. 2009. 01. 08. 2009. 01. 14. 2009. 01. 20. 2009. 01. 29. 2009. 02. 05.
9:00 9:00 9:00 9:00 9:00 9:00
A FIZIKA tárgya: - állandóan változik felosztása: mechanika, hangtan, hőtan, fénytan, elektromosság….. (pl. régebben az érzékszervekre gyakorolt hatás alapján történt) A megfigyelések a tudatos kísérletezéseken keresztül olyan elméletek felállításához vezettek, amelyek a természeti jelenségeket ellentmondásmentesen írják le. Az elméletekben nagy mennyiségű kísérleti tapasztalat összegződik! Egy elmélet nem biztos, hogy egyetemes igazságot fejez ki, bármikor előkerülhet egy olyan kísérlet melynek eredménye ellentmond az elméletnek. Ilyenkor finomítani, módosítani kell az elméletet, vagy gyökeresen új elmélet kerül a régi helyére.
Mechanika Kinematika Az anyagi pont, vagy részecske mozgásának leírása a kinematika tárgyköre. • A kinematika a hol? és a mikor? kérdésekre keresi a választ. A fizikai jelenségek térben és időben játszódnak le. A kinematika leírásokhoz a Newton féle tér és idő fogalmát használjuk, ami mindennapi tapasztalatainkból fokozatosan fejlődött ki. • A teret – homogénnek (a tér tulajdonságai nem függnek a helytől) és – izotropnak tekintjük (a tér tulajdonságai nem függnek az iránytól).
• •
Minden test a tér egy adott helyén tartózkodik, és az idő múlásával változtatja helyzetét. Egy kiválasztott test helyzetét a térben egy rögzített vonatkoztatási rendszerhez képest adhatjuk meg. Az idő Newton szerint szintén abszolút, abban az értelemben, hogy egyenletesen telik.
A teret és az időt mérhetjük: Mérés: összehasonlítani egy egységgel • A hosszúság alapegysége a méter (m). A méter az a hosszúság, amelyet a vákuumban terjedő fény 1/299 792 458 másodperc alatt megtesz. • Az időtartam alapegysége a szekundum vagy másodperc(s). A másodperc definíció szerint a cézium 133-as izotópjának két meghatározott energiaszintje közötti elektronátmenet során kibocsátott sugárzás periódusidejének 9 192 631 770-szerese.
Dinamika 1.
2. 3.
4.
Elsősorban Galilei korábbi eredményeire alapozva Newton foglalta rendszerbe a dinamika alaptörvényeit, amelyeket Newton axiómáknak nevezünk: Minden test megmarad a nyugalom vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgás állapotában, míg más testek hatásai állapotának megváltoztatására nem kényszerítik. (A tehetetlenség „törvénye”) Egy testre ható erő a test tömegének és gyorsulásának szorzatával egyenlő. (A dinamika alaptörvénye) F=ma Ha egy A testre a B test FAB erőt gyakorol, akkor az A test is hat B-re ugyanolyan nagyságú, de ellentétes irányú erővel. (A hatás-ellenhatás törvénye) FAB = - FBA Ha az anyagi pontra egyidejűleg több erő hat (F1, F2, …), akkor ezek együttes hatása egyenértékű vektori eredőjük hatásával. (Az erőhatások függetlenségének elve) ma = F =
∑F
i
i
Kepler törvényei • I. törvény: A bolygók olyan ellipszis alakú pályákon keringenek, amelyek egyik fókuszpontjában (gyújtópont) van a Nap. • II. törvény: A Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol • III. törvény: A bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a fél nagytengelyek köbei
Az általános tömegvonzás törvénye • Két tetszőleges test között mindig fellép egy vonzóerő, amely pontszerű testek esetén arányos azok tömegével, s fordítottan arányos távolságuk négyzetével. Az erő iránya a két tömegpontot összekötő egyenes irányába mutat.
m1m2 r12 F =−γ 2 r12 r12
Munka, energia, teljesítmény • Munka – Ha egy pontszerű test, amelyre állandó F erő hat, az F irányában s távolságot elmozdul, akkor az F erő s úton végzett munkája: W = Fs – Ha az állandó F erő α szöget zár be az elmozdulással: W = Fscos α = F·s (vekt. skalár szorzata) – Az F erőnek egy tetszőleges görbe AB szakaszán végzett munkája az erő út szerinti integrálja. N
B
i =1
A
W A→ B = lim ∑ Fi Δri = ∫ F dr N →∞
• Energia – Egy meghatározott A állapotban levő test (vagy rendszer) energiával rendelkezik, ha megfelelő körülmények között munkavégzésre képes. – Energiáját azzal a munkával mérjük, amelyet a test végez, míg egy A állapotból a megállapodás szerint választott A0 állapotba jut, vagy azzal a munkával, amelyet a testre ható erők ellenében végeznünk kell, míg A0-ból A-ba juttatjuk.
•Helyzeti energia ≡ emelési munka Epot = Wem = mg·h •Kinetikus energia ≡ gyorsítási munka Ekin = Wgy = F · s = ma·s= ma·½at2= ½ mv2 •Rugóban tárolt energia (Frug= – Dx) B
Er =
x0
1 W A→ B = ∫ F dr = ∫ Dx dx = Dx0 2 A 0
A mechanikai energia a helyzeti és mozgási energiák összege
A kinetikus energia tétele (munkatétel) • Egy tömegpont mozgási energiájának megváltozása megegyezik a ráható erők eredője által végzett munkával. WAB
1 2 1 2 = mvB − mv A 2 2
A mechanikai energia megmaradásának tétele • Minden olyan időben állandó erőteret, amelyben két tetszőleges pontot összekötő görbe mentén az erőtér ellenében végzett munka nem függ a görbétől, csak a két pont helyzetétől konzervatív erőtérnek nevezzük. • Egy konzervatív erőtérben mozgó tömegpont kinetikus és potenciális energiájának összege a mozgás folyamán állandó: Ekin + Epot = áll.
Teljesítmény • Teljesítmény ≡ munkavégzés sebessége dW P= dt
J⎤ ⎡ ⎢⎣W = s ⎥⎦
(1 LE = 0,736 kW )
Harmonikus rezgőmozgás dinamikája • Egy dimenzióban F = − Dx = ma d 2x − Dx = m 2 dt D d 2x − x= 2 m dt Keressük azt az x(t) függvényt amelyik kielégíti az egyenletet (differenciál egyenlet):
Harmonikus rezgőmozgás dinamikája D Legyen: = ω2 m 2 d x 2 ekkor: − ω x = 2 dt
Lehetséges megoldások:
sin (ωt ) → −ω 2 sin (ωt )
cos (ωt ) → −ω 2 cos (ωt )
Általános megoldás:
x (t ) = a sin (ωt ) + b cos (ωt )
x (t = 0 ) = x0 → b = x0
dx v (t ) = = aω cos (ωt ) − bω sin (ωt ) dt v (t = 0 ) = v0 → aω = v0
a és b értékeit visszahelyettesítve:
x(t ) =
v0
ω
sin (ωt ) + x0 cos(ωt )
Legyen :
v0
ekkor :
x(t ) = A cos α sin (ωt ) + A sin α cos(ωt )
ω
= A cos α
és
↓ x(t ) = A sin (ωt + a )
x0 = A sin α
Pontrendszerek mechanikája • Pontrendszerek: egymással kölcsönhatásban lévő tömegpontok (pl. Nap, Hold, Föld) Legyen n db tömegpontból álló rendszer: i. tömegpont tömege: mi helyvektora: ri sebességvektora: vi impulzusvektora: Ii=mi·vi ráható eredő erő: Fi
• A dinamika alapegyenlete szerint
d 2 ri mi 2 = Fi dt
(i = 1,2,3,....., n)
egyenletrendszer megoldása adja a pontrendszer mozgását. 3n db másodrendű differenciál egyenlet, nehéz megoldani. Erők osztályozásával → általános tételek → a rendszerről fontos információk, bár a mozgást teljesen nem írják le.
• Pontrendszerre ható erők: – külső erők – a rendszerhez nem tartozó testektől – belső erők – a rendszer tagjai között fellépő erők Jelölés: Fi az i-edik pontra ható külső erők eredője Fik az i-edik pontra a k-adik részéről gyakorolt belső erő. Fii = 0, mert a tömegpont önmagára nem hat.
Pontrendszerek mechanikája, impulzustétel, tömegközéppont. Egy pontrendszer impulzusának idő szerinti .differenciálhányadosa egyenlő a rendszerre ható összes külső erők eredőjével. (Impulzustétel) Spec.: Ha a rendszerre külső erők nem hatnak („zárt rendszer”) vagy ha ezek eredője 0, akkor a rendszer impulzusa állandó. (impulzus megmaradásának tétele) Egy pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer teljes tömege ebben a pontban lenne egyesítve, és rá hatna a külső erők eredője. Ez a tömegközéppont tétele.
Impulzusmomentum-tétel. • Forgatónyomaték
M = r×F
• Impulzusmomentum
N = r×I
Ha a belső erők centrálisak, akkor egy pontrendszer teljes impulzusmomentumának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a külső erők forgatónyomatékainak összegével. dN Mi = ∑ dt Ez az impulzusmomentum tétele. i
Spec.:ha a külső erők eredő forgatónyomatéka zérus (pl. egy zárt rendszer esetén), úgy egy pontrendszer teljes impulzusmomentuma időben állandó. Ez az impulzusmomentum megmaradás tétele.
Ütközések • két (v. több) test kerül nagyon rövid ideig tartó kontaktusba • ütközés során a belső erők játszanak meghatározó szerepet, ezek azonban nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát • ha közvetlenül az ütközés előtti és utáni időpillanatokat hasonlítjuk össze akkor a külső erők (hacsak nem kivételesen erősek) az ütközés nagyon rövid időtartama alatt nem képesek számottevően megváltoztatni a rendszer impulzusát Az ütközések tárgyalása során tehát általában érvényesnek tételezzük fel az impulzus megmaradás törvényét
I1 + I 2 = I1′ + I 2′
• Az ütközés során a találkozó testek deformálódnak, majd az ütközés után vagy visszanyerik eredeti formájukat (rugalmas ütközés), vagy a deformáció tartós marad (rugalmatlan ütközés).
Tökéletesen rugalmatlan ütközés deformáció tartósan megmarad, a testek az ütközés után összetapadva egy közös sebességgel együtt mennek tovább: u1 = u2 = u, ezért
I1 + I 2 = I ' m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u
m1v1 + m2v 2 u= m1 + m2
u
Tökéletesen rugalmas ütközés • A testek az ütközés után visszanyerik eredeti alakjukat, a rendszer a teljes mozgási energiája az ütközés előtt és utána azonos: 1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 2 2 2 2 • Itt is használható az impulzus megmaradás is:
m1v1 + m2 v 2 = m1u1 + m2 u2
• Egydimenziós esetben: m1 − m2 2m2 u1 = v1 + v2 m1 + m2 m1 + m2 m2 − m1 2m1 v2 + v1 u2 = m1 + m2 m1 + m2
A merev test mechanikája • Merev test - olyan pontrendszer, ahol a tömegpontok közti távolságok a mozgás folyamán nem változnak: d AB =
( x A − xB ) + ( y A − y B ) + ( z A − z B ) 2
2
2
= áll.
• Egy merev test helyzetét 6 független adat határozza meg, azaz egy merev test szabadsági fokainak száma s = 6. • A merev test alapvető mozgásai: – transzláció: a test minden pontja egyidejűleg egymással párhuzamos, egyenes vonalú pályán mozog (st=3) – rotácó (tengely körüli forgás): a forgástengely pontjai helyzetüket megtartják, a test többi pontjának pályái pedig a forgástengelyre merőleges síkban fekvő körívek (sr=3)
• Merev test = pontrendszer – transzlációs mozgásra – impulzus v. tömegközépponti tétel
∑F
i
= mö atkp
i
– rotációs mozgásra – impulzusmomentum tétel dN ∑i M i = dt
Tehetetlenségi nyomaték, Z
N i = mi ri vi
ω
N i , z = mi ri vi cosϕ i
vi
li = ri cos ϕ i vi = ωl i
li
N i , z = mi li2ω Nz =
∑ i
N i,z =
∑
mi li2ω = Θω
i
Θ = ∑ mi li2 i
tehetetlenségi nyomaték
Ni
Niz ϕi
ϕi
ri
mi
Forgó mozgás alapegyenlete dN z dΘω dω Mz = = =Θ = Θβ dt dt dt
M = Θβ
(F = ma )
Merev test kinetikus energiája • Forgási energia
E kin
1 = 2
∑ i
mi vi2
1 = 2
∑ i
mi l i2
1 ω = 2 2
∑ i
1 ω = Θω 2 2
(mi l i2 )
2
• A transzlációs (haladó) és rotációs (forgó) mozgást végző merev test összes kinetikus energiája:
Ekin
1 2 1 2 = mvtkp + Θω 2 2
