Financi¨ele economie∗
Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financi¨ele economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking (s) van de opbrengstvoet als een maatstaf van het risico (Mankiw and Taylor, 2014, p. 545). De standaardafwijking meet hoe ver een variabele (in dit geval: de opbrengstvoet) typisch afwijkt van de verwachte waarde. Historische opbrengstvoeten kan je zelf berekenen aan de hand van financi¨ele informatie op een webstek als finance.yahoo.com. Als je bijvoorbeeld de jaarlijkse opbrengstvoet van Apple (code: AAPL) wil kennen, geef dan Apple of AAPL in in het “Get quotes”-zoekvenster. Klik in het “More on AAPL”-menu (links) op “Historical prices.” Kies de gewenste start- en einddatum en frequentie (dagelijks). Kies “Download to Spreadsheet” om de gegevens in een rekenbladbestand te bewaren. Je kan dit bestand in een rekenbladprogramma of statistisch programma openen en bewerken. Gebruik de tijdreeks “Adjusted Close” om het jaarlijkse opbrengstpercentage te bereken. Als je bijvoorbeeld de opbrengstvoet over 1985 wil berekenen, neem je de slotkoers op de laatste beursdag van 1984 (USD 0,45) en vergelijk je met de slotkoers op de laatste beursdag van 1985 (USD 0,34). De opbrengstvoet over 1985 was dus: USD 0,34 − USD 0,45 ≈ −0,2444 ≈ −24,44% USD 0,45 Analoog was de opbrengstvoet over 1986 +82,34% (ga na). Je ziet meteen dat de opbrengstvoet van een aandeel zeer sterk kan vari¨eren van jaar tot jaar. Gebruik een rekenmachine of een rekenbladprogramma om tabel 1 te vervolledigen tot 2014. Wat is nu—op basis van de historische gegevens—de verwachte opbrengstvoet van het Apple-aandeel? Een vaak gebruikte maatstaf is het rekenkundig gemiddelde van de historische opbrengstvoeten. In het geval van Apple is dat voor 1985–2014 40% (ga na met een rekenmachine, een rekenbladprogramma, of een statistisch programma zoals SPSS). De mate waarin de opbrengstvoet afwijkt van dit gemiddelde (de standaardafwijking) is een maatstaf voor het risico. Voor het Apple-aandeel is de standaardafwijking 75 procentpunten (ga na met een rekenmachine, een rekenbladprogramma, of een statistisch programma zoals SPSS). Afbeelding 1 toont de verdeling van het jaarlijkse opbrengstpercentage in een frequentiehistogram. De verticale as toont je de absolute frequentie (het aantal jaren van de 30 jaren tussen 1985 en 2014 dat de opbrengstvoet in het interval van het balkje op de horizontale as valt). ∗ Handreiking
bij hoofdstuk 25 in Mankiw and Taylor (2014). Bijgewerkt op 12 maart 2015.
1
Tabel 1: Beurskoers en jaarlijkse opbrengstvoet van het Apple-aandeel Jaar Slotkoers Opbrengstvoet (USD) (%) 1984 0,45 — 1985 0,34 −24,44 1986 0,62 +82,34 1987 ... ... 1988 ... ... 1989 ... ... 1990 ... ... 1991 ... ... 1992 ... ... 1993 ... ... 1994 ... ... 1995 ... ... 1996 ... ... 1997 ... ... 1998 ... ... 1999 ... ... 2000 ... ... 2001 ... ... 2002 ... ... 2003 ... ... 2004 ... ... 2005 ... ... 2006 ... ... 2007 ... ... 2008 ... ... 2009 ... ... 2010 ... ... 2011 ... ... 2012 ... ... 2013 ... ... 2014 ... ...
2
10
8
Frequency
6
4
2
0 -100
-50
0
50 100 Jaarlijkse opbrengstvoet van het Apple-aandeel (%)
150
200
250
Figuur 1: Histogram van de jaarlijkse opbrengstvoeten van het Apple-aandeel, 1985-2014
3
Diversificatie van ideosyncratisch risico De volgende formules—die je waarschijnlijk kent uit je cursus statistiek—zijn nuttig in wat volgt (E staat voor verwachte waarde; var voor variantie; s voor standaardafwijking, en cov voor covariantie, een maatstaf van de mate waarin x en y met elkaar gecorreleerd zijn): E(ax + by) var(ax + by) sx r
= aE(x) + bE(y) 2
2
= a var(x) + b var(y) + 2ab · cov(x,y) p var(x) = cov(x,y) = sx · sy
(1) (2) (3) (4)
Zoek in je handboek statistiek op hoe je de variantie van een variabele en de covariantie tussen twee variabelen berekent. ax + by is de opbrengstvoet van je portefeuille, met a en b de gewichten van de twee financi¨ele instrumenten. Kan je het risico verlagen door te diversifi¨eren? Verkleint het risico steeds als je diversifieert? Laten we wat je geleerd hebt in je cursus statistiek toepassen op het voorbeeld van Mankiw and Taylor (2014, pp. 544-546), zodat je begrijpt waar figuur 25.2 (Mankiw and Taylor, 2014, p. 545) vandaan komt. Stel dat je twee aandelen hebt, met opbrengstvoeten x en y. De standaardafwijking van de opbrengstvoet is een maatstaf voor het risico. Stel dat de opbrengstvoet van beide aandelen een standaardafwijking heeft van 49 procentpunten. Een portefeuille die bestaat uit ´e´en van de twee aandelen heeft dus een standaardafwijking van 49 procentpunten. a. Stel dat uit je historische gegevens over de opbrengstvoeten van beide aandelen blijkt dat y doorgaans boven zijn gemiddelde ligt in jaren dat ook x boven zijn gemiddelde ligt, en y doorgaans onder zijn gemiddelde ligt in jaren dat ook x onder zijn gemiddelde ligt. Er is dus een positief verband of een positieve covariantie tussen x en y. Stel dat de covariantie tussen x en y gelijk is aan +0,238, wat (bij de gegeven standaardafwijkingen van 49 procentpunten) een correlatieco¨effici¨ent van +0,99 impliceert: r=
cov(x,y) 0,238 ≈ 0,99 = sx · sy 0,49 × 0,49
Er is dus een bijna volmaakt positief lineair verband tussen de opbrengstvoeten x en y. Bereken het risico op een portefeuille die voor de helft bestaat uit aandelen x en voor de helft uit aandelen y. b. Stel dat uit historische gegevens over de opbrengstvoeten van beide aandelen blijkt dat y doorgaans boven zijn gemiddelde ligt in jaren dat x onder zijn gemiddelde ligt, en y doorgaans onder zijn gemiddelde ligt in jaren dat x boven zijn gemiddelde ligt. Er is dus een negatief verband of een negatieve covariantie tussen x en y. Stel dat de covariantie tussen x en y −0,12 bedraagt. Hoeveel bedraagt de correlatieco¨effici¨ent tussen de opbrengstvoeten? Bereken het risico op een portefeuille die bestaat uit voor de helft aandelen x en voor de helft aandelen y. c. Vergelijk a en b. Wat besluit je? Kan je het risico verlagen door te diversifi¨eren? Verkleint het risico steeds als je diversifieert? 4
De afweging tussen risico en opbrengst Figuur 25.3 (Mankiw and Taylor, 2014, p. 546) toont de afweging tussen risico en opbrengst voor een portefeuille bestaande uit twee types van effecten: een gediversifieerde groep van aandelen, waarvan de gezamelijk jaarlijkse opbrengstvoet (x) gemiddeld 8% is, met een standaardafwijking 20 procent; en een risicoloze overheidsobligatie met een vaste jaarlijkse opbrengstvoet (y) van 3% (de rentevoet) en een standaardafwijking 0 procent. De standaardafwijking is een maatstaf voor het risico. Reken zelf de gemiddelde opbrengstvoet en het risico na van de vijf getoonde portefeuilles (0% aandelen, 25% aandelen, 50% aandelen, 75% aandelen, 100% aandelen). In dit geval is cov(x,y) = 0. Opmerking: Afbeelding 25.3 gebruikt opbrengstvoeten van 3,1% in plaats van 3% (zoals in de tekst), en 8,3% in plaats van 8%. Gebruik 3% en 8%.
De waarde van een aandeel De waarde van een aandeel is de actuele waarde van de toekomstige winst die het aandeel oplevert (Mankiw and Taylor, 2014, p. 549). In maart 2015 bedroeg de winst per Apple-aandeel (earnings per share, EPS) over de voorgaande 12 maanden $ 7,39. Je vindt gegevens over aandelen (zoals de EPS en de beurskoers) op finance.yahoo.com; geef in het zoekvenster de code van het Apple-aandeel (AAPL) in. Veronderstel dat de volgende 20 jaar de winst per Apple-aandeel (in prijzen van vandaag) telkens $ 7,39 zal zijn, en $ 0 daarna. Veronderstel ook dat de re¨ele rentevoet gelijk zal zijn aan 2% (dat was ongeveer het gemiddelde van de Amerikaanse re¨ele rentevoet tussen 1984 en 2014). Wat is onder deze aannames de waarde van het Apple-aandeel? (Gebruik een rekenmachine of een rekenbladprogramma voor je berekeningen.) Vergelijk de berekende waarde met de huidige beurskoers van het Apple-aandeel. Is de beurskoers van het Apple-aandeel overof ondergewaardeerd op basis van de gemaakte aannames?
Referenties Mankiw, N. G. and Taylor, M. P. (2014). Economics. Cengage Learning, Andover, 3rd edition.
5
