BMF
NIK EUKLIDESZI TÉR
Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Metrikus tér Definíció. A H halmazt metrikus térnek nevezzük, ha van olyan, metrikának nevezett m: H x H →R+∪{0} függvény, amelyre a következők teljesülnek: 1./ 2./ 3./
m(x,y) = 0, akkor és csak akkor, ha x=y (poz. definit) m(x, y) = m (x,y) szimmetria ∀z ∈ H esetén m(x,y) ≤ m (x,y)+ m (x,y) háromszög egyenlőtlenség
A metrika a 3 dimenziós geometriai tér távolságának általánosítása. Példa: diszkrét metrika: m(x,y):=1, ha x és y különbözők, és legyen m(x,y):=0, ha x=y.
© Bércesné Novák Ágnes
1
BMF
NIK EUKLIDESZI TÉR
Normált tér Definíció: A H halmazt normált –nak nevezzük, ha van olyan n: H→ R+∪{0} függvény, az ún. norma, amelyre a következők teljesülnek: 1. n(x) =0 akkor és csak akkor, ha x=0 2.
n(αx)= α n(x)
3.
n(x+y) ≤ n(x)+n(y)
vektorok összeadása, számok összeadása A norma függvényt szokás az abszolút értékhez hasonló . jellel is jelölni. 1.
||x|| = 0, akkor és csak akkor, ha x=0
2.
||αx|| = α ||x||
3.
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. (háromszög egyenlőtlenség)
A norma az abszolút érték függvény (nullától való távolság, vektor hossza) általánosítása. (Tehát a vektor hossza is tekinthető normának, és a szokásos abszolút érték is – mely halmazban?) Tétel: Minden normált tér metrikus tér Biz.: Konstruktív, megadunk egy metrikát: m(x,y):=||y+(-1)x|| Erről kell bizonyítani, hogy rendelkezik a metrika tulajdonságaival, hf (előadáson leírtuk.)
© Bércesné Novák Ágnes
2
BMF
NIK EUKLIDESZI TÉR
Definíció: Az s: V x V→R függvényt skaláris szorzatnak(skalárszorzatnak) nevezzük, ha a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1. ∀x∈V esetén s(x, x) ≥ 0, és s(x, x) = 0 a. cs. a., ha x = 0 (pozitív definit) 2. ∀ x,y ∈ V esetén s(x, y) = s(y, x) (szimmetrikus) 3. ∀x,y∈V és ∀λ∈R esetén s(λx, y)) = λs(x,y) (homogén) 4. ∀x,y,z∈V esetén s((x + y),z) = s(x,z) + s(y,z) (lineáris) vektorok összeadása, számok összeadása Példa: Legyen x = (x1 , x2 ,K, xn ) T∈ R n és y = ( y1 , y 2 , K , y n ) T ∈ R n . Ekkor a két vektor egy lehetséges skaláris szorzata: n
s(x, y) = x1 y1 + x 2 y 2 + K + x n y n = ∑ xi y i i =1
Definíció: A skalárszorzatos tereket euklideszi tereknek nevezzük. Tétel: Minden, véges dimenziós vektortér Euklideszi tér. Biz.: Konstruktív, megadunk egy skalárszorzatot. Az előző példában szereplő skalárszorzat megfelel: n
s(x,y)= x1 y1 + x2 y2 + K + xn yn = ∑ xi yi i =1
∀x∈V esetén s(x, x) ≥ 0, és s(x, x) = 0 a. cs. a., ha x = 0 (pozitív definit) n
n
i =1
i =1
x1 x1 + x2 x2 + K + xn xn = ∑ xi xi =∑ xi ≥ 0 2
. ∀ x,y ∈ V esetén s(x, y) = s(y, x) (szimmetrikus) n
n
i =1
i =1
s(x,y)= x1 y1 + x2 y2 + K + xn yn = ∑ xi yi = ∑ yi xi =s(y,x) ∀x,y∈V és ∀λ∈R esetén s(λx, y)) = λs(x,y) (homogén) n
n
i =1
i =1
s(λx,y)= λx1 y1 + λx2 y2 + K + λxn yn = ∑ λxi yi = λ ∑ xi yi = = λs(y,x) ∀x,y,z∈V esetén s((x + y),z) = s(x,z) + s(y,z) (lineáris) s(x+y,z)= n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
( x1 + y1 ) z1 + ( x2 + y2 ) z2 + K + ( xn + yn ) zn = ∑ ( xi + yi ) z1 = ∑ xi zi + yi zi =∑ xi zi + ∑ yi zi = s( x, z) + s( y, z)
© Bércesné Novák Ágnes
3
BMF
NIK EUKLIDESZI TÉR
Megjegyzés: Szokás a skalárszorzatot a következőképpen is jelölni: 1. s(x,y)=<x,y> vagy: 2. s(x,y)=x.y Tétel: Minden skalárszorzatos tér normált tér. Biz.: konstruktív: megadjuk a normát
n(x) :=s(x,x)1/2
A norma első és második tulajdonsága a skalárszorzat első és második tulajdonságából teljesül (hf., előadáson leírtuk). A háromszög-egyenlőtlenséghez azonban be kell bizonyítani az alábbi tételt: Tétel : Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség:
2 ≤. Bizonyítás:
Tekintsük az a pozitív definit tulajdonság miatt 0 ≤ =++ <λb, a>+ <λb, λby= +2+ <λb, λb>= λ2 + 2λ+ . Ez λ-ra nézve egy egyismeretlenes másodfokú egyenlőtlenség: 2 λ s+ 2λ+=Aλ2+ Bλ+C Mivel e függvénynek legfeljebb egy gyöke lehet, a diszkrimináns nem pozitív, azaz B2-4AC ≤0 4()2-4 ≤0, amiből: 2 ≤ (Amiből az is következik, hogy || ≤||a||.|| b|| ) Tétel: Minden skalárszorzatos tér normált tér. Biz.: konstruktív: megadjuk a normát. Legyen |||x|| :=<x,x>1/2 A norma 3. tulajdonságának, a háromszög-egyenlőtlenségnek a bizonyítása:
||x+y|| ≤ ||x||+||y||
<x+y, x+y>1/2 ≤ <x,x>1/2+1/2
© Bércesné Novák Ágnes
4
BMF
NIK EUKLIDESZI TÉR
<x+y,x+y>=<x,x>++2<x,y> ≤ <x,x>++2<x,x>1/21/2=||x||2+||y||2+2||x||.||y||= (||x||+||y||)2, ezért valóban: ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| Tétel: Minden Euklideszi tér metrikus tér. Biz.: Konstruktív, megadunk egy metrikát: m(x,y):= <x-y, x-y>1/2
E függvényre a metrika előírt tulajdonságai teljesülnek. Biz.: hf. (előadáson szerepelt) Definíció: Euklideszi térben két vektor, a és b által bezárt α szöget a következőképpen lehet értelmezni. Legyen <.,.> egy skalárszorzat V-ben, és valamely x vektor normája
||x|| : <x,x>1/2. Ekkor: < a, b > cos α = a ⋅b Megjegyzés: A definíció helyes, hiszen a CBS:
2 ≤ ≤ 1/2 1/2 < a, b > ≤1 -1 ≤ a ⋅b
(A cos függvény van összhangban az R3-ra vonatkozó ismereteinkkel, emmiatt nem a sin függvény-t választjuk) Definíció: Azt mondjuk, hogy az a vektor ortogonális (merőleges) a b vektorra, ha =0 Tétel: Ortogonális (nem nulla ) vektorok függetlenek. Biz: α1 x1 + α 2 x2 + ... + α k xk = 0 , azt kell biz., hogy mindegyik αi=0. Vegyük rendre az x1,
x2, …xk vektorokkal való skalárszorzatot, kapjuk, hogy αi <xi, xi>=0, mivel <xi, xi> nem nulla, ezért mindegyik αi=0. Tétel: Minden euklideszi térben van ortogonális bázis Tétel: Minden altérben van ortogonális bázis. A bizonyítást nem kell tudni
© Bércesné Novák Ágnes
5
BMF
NIK EUKLIDESZI TÉR
Biz.: Konstruktív. Pontosan azt bizonyítjuk, hogy bármely független rendszerből kiindulva, így bázisból is, tudunk ugyanolyan elemszámú ortogonális rendszert konstruálni. Az eljárás neve: GRAM-SCHMIDT ortogonalizáció.
Legyen b1, b2, …bk a független rendszer. Ebből a c1, c2, …, ck ortogonális rendszer a következőképpen kapható: c1:=b1 c2:=b2+α21c1, ebből α21= <-b2,c1>/, így c2:=b2-(/)c1 ….
ck:=bk-1+αk1c1+αk2c2+….αk,k-1ck-1, ennek a definiáló egyenletnek rendre véve a skalárszorzatát a c1, c2, …. ck-1 vektorokkal, az együtthatókra következőt kapjuk: αkj= <-bk-1,cj>/
A konstrukció miatt a kapott rendszer ortogonális. Definíció: Ortonormált a vektorrendszer, ha páronként ortogonális, és minden elemének normája 1. Következmény: Minden euklideszi térnek van ortonormált bázisa. Biz.: legyen a norma a skalárszorzatból származtatott:
|| ci ||2 =< ci, ci>
Tetszőleges bázisból kiindulva, a Gram-Schmidt eljárással kapott (ezen skalárszorzatot használva!) ortogonális bázis minden elemét szorozzuk ezen norma reciprokával: ci*= ci/|| ci ||, ekkor valóban || ci *||2=< ci/|| ci ||, ci/|| ci ||>=1/ || ci ||2 < ci, ci>=(1/ || ci ||2).|| ci ||2=1 Tétel: Az euklideszi tér valamely bázisa akkor és csak akkor ortonormált, ha egy vektor koordinátáját a következőképpen kapjuk meg: n
a = ∑ α i ei , α k =< a, ek > i =1
Biz.: hf.
© Bércesné Novák Ágnes
6
BMF
NIK EUKLIDESZI TÉR
A következőkben rögzített bázisra vonatkoztatva tekintsük koordináta mátrixát:
minden vektornak a
x = ( x1 , x 2 ,K, xn ) és y = ( y1 , y 2 ,K, y n ) T A mátrixok szorzásának szabályait szem előtt tartva, mivel minden vektor speciális mátrix, a skalárszorzatot definiálhatjuk mátrixok szorzásaként is. Ezért az első vektor sor, a másodikat oszlopvektornak fogható fel. Tehát a tér vektorait oszlopmátrix-szal reprezentáljuk, és így skalárszorzatuk két mátrix szorzata, egy (1 x k) típusú, és egy (k x 1) típusú. Emmiatt egyik transzponáltját kell venni. A komplex tereket is figyelembe véve, az x és y vektorok skalárszorzatát a következő mátrix- szorzással szokás értelmezni: <x,y>:=yT.x A következőkben skalárszorzat alatt e mátrix szorzatot érjük. (Volt: Definíció : Az A mátrix transzponáltja, (AT)ik=Aki) Definíció: szimmetrikus mátrix: A=AT Definíció: Egy transzformációt szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan bázis, amelyre nézve a transzf. mátrixa szimmetrikus. Lemma: Ha a leképezés A mátrixa szimmetrikus, és <x,y>:=yTx, akkor <x,Ay>= Biz.:
<x, Ay>==(Ay)T.x==yT.(ATx)= yT.(Ax)= (A szimmetrikus, A=AT) Tétel: Szimmetrikus mátrix különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak (merőlegesek). Biz.:
Ax1 = λ1 x1 / x2 –vel balról skalárszorzat Ax2 = λ2 x2 / x1 –gyel jobbról skalárszorzat
<x2,Ax1> = <x2,λ1 x1> = λ1<x2, x1> = <λ2 x2 , x1 > = λ2<x2, x1>
Mivel <x2,Ax1>=, az egyenleteket kivonva egymásból: 0= (λ2 - λ1)<x2, x1>, mivel λ2 ≠λ1, ezért <x2, x1>= 0, vagyis a két sajátvektor valóban ortogonális/merőleges Definíció: A G mátrix ortogonális, ha G.GT=E, ahol E a megfelelő típusú egységmátrix. Példa: elforgatás mátrixa R2-ben
© Bércesné Novák Ágnes
7
BMF
NIK EUKLIDESZI TÉR
Az elnevezés oka, hogy a mátrix sor –és oszlopvektorai ortogonálisak (ld. a mátrixokról szóló file-t) A def. következménye:
G.GT=E / G-1 GT=G-1 Lemma: A G mátrix akkor és csak akkor ortogonális, ha GT=G-1 Biz.: hf. Az ortogonális mátrix tehát definiálható eképpen: Definíció: A G mátrix ortogonális, ha GT=G-1 Tétel: Az ortogonális transzformáció megőrzi a <x,y>:=yTx skalárszorzatot
legyen a képe x : x =A a legyen b képe y : y =A b <x, y>= (A b) T(A a) =b T (A TA )a= b T E.a= b T E.a= Következmény: Ortogonális transzformáció távolságtartó, normatartó, szögtartó Biz.: skalárszorzat→norma→távolság→szög Tétel: determinánsok szorzás tétele: det (A.B)=det(A).det(B), amennyiben az A.B szorzás elvégezhető (nem biz.) Tétel: Ortogonális mátrix determinánsának abszolút értéke 1. Biz.: 1=det(E)=det(A.A-1)= det(A) det(A-1)= det(A). det(A)= det(A)2 Tétel: Ortogonális transzformáció sajátértékeinek abszolút értéke 1.
Bizonyítás: Ax = λ x (Ax)T = (λ x)T A két egyenletet összeszorozva: (Ax)T Ax = (λ x)T λ x xTAT Ax=(λ x)T λ x xTA-1 Ax=(λ2 x)T x xTEx=λ2 xTx , valóban, λ2=1
© Bércesné Novák Ágnes
8
