1 Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ...
Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Metrikus tér Definíció. A H halmazt metrikus térnek nevezzük, ha van olyan, metrikának nevezett m: H x H →R+∪{0} függvény, amelyre a következők teljesülnek: 1./ 2./ 3./
m(x,y) = 0, akkor és csak akkor, ha x=y (poz. definit) m(x, y) = m (x,y) szimmetria ∀z ∈ H esetén m(x,y) ≤ m (x,y)+ m (x,y) háromszög egyenlőtlenség
A metrika a 3 dimenziós geometriai tér távolságának általánosítása. Példa: diszkrét metrika: m(x,y):=1, ha x és y különbözők, és legyen m(x,y):=0, ha x=y.
Normált tér Definíció: A H halmazt normált –nak nevezzük, ha van olyan n: H→ R+∪{0} függvény, az ún. norma, amelyre a következők teljesülnek: 1. n(x) =0 akkor és csak akkor, ha x=0 2.
n(αx)= α n(x)
3.
n(x+y) ≤ n(x)+n(y)
vektorok összeadása, számok összeadása A norma függvényt szokás az abszolút értékhez hasonló . jellel is jelölni. 1.
A norma az abszolút érték függvény (nullától való távolság, vektor hossza) általánosítása. (Tehát a vektor hossza is tekinthető normának, és a szokásos abszolút érték is – mely halmazban?) Tétel: Minden normált tér metrikus tér Biz.: Konstruktív, megadunk egy metrikát: m(x,y):=||y+(-1)x|| Erről kell bizonyítani, hogy rendelkezik a metrika tulajdonságaival, hf (előadáson leírtuk.)
Definíció: Az s: V x V→R függvényt skaláris szorzatnak(skalárszorzatnak) nevezzük, ha a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1. ∀x∈V esetén s(x, x) ≥ 0, és s(x, x) = 0 a. cs. a., ha x = 0 (pozitív definit) 2. ∀ x,y ∈ V esetén s(x, y) = s(y, x) (szimmetrikus) 3. ∀x,y∈V és ∀λ∈R esetén s(λx, y)) = λs(x,y) (homogén) 4. ∀x,y,z∈V esetén s((x + y),z) = s(x,z) + s(y,z) (lineáris) vektorok összeadása, számok összeadása Példa: Legyen x = (x1 , x2 ,K, xn ) T∈ R n és y = ( y1 , y 2 , K , y n ) T ∈ R n . Ekkor a két vektor egy lehetséges skaláris szorzata: n
s(x, y) = x1 y1 + x 2 y 2 + K + x n y n = ∑ xi y i i =1
Definíció: A skalárszorzatos tereket euklideszi tereknek nevezzük. Tétel: Minden, véges dimenziós vektortér Euklideszi tér. Biz.: Konstruktív, megadunk egy skalárszorzatot. Az előző példában szereplő skalárszorzat megfelel: n
s(x,y)= x1 y1 + x2 y2 + K + xn yn = ∑ xi yi i =1
∀x∈V esetén s(x, x) ≥ 0, és s(x, x) = 0 a. cs. a., ha x = 0 (pozitív definit) n
n
i =1
i =1
x1 x1 + x2 x2 + K + xn xn = ∑ xi xi =∑ xi ≥ 0 2
. ∀ x,y ∈ V esetén s(x, y) = s(y, x) (szimmetrikus) n
n
i =1
i =1
s(x,y)= x1 y1 + x2 y2 + K + xn yn = ∑ xi yi = ∑ yi xi =s(y,x) ∀x,y∈V és ∀λ∈R esetén s(λx, y)) = λs(x,y) (homogén) n
n
i =1
i =1
s(λx,y)= λx1 y1 + λx2 y2 + K + λxn yn = ∑ λxi yi = λ ∑ xi yi = = λs(y,x) ∀x,y,z∈V esetén s((x + y),z) = s(x,z) + s(y,z) (lineáris) s(x+y,z)= n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
( x1 + y1 ) z1 + ( x2 + y2 ) z2 + K + ( xn + yn ) zn = ∑ ( xi + yi ) z1 = ∑ xi zi + yi zi =∑ xi zi + ∑ yi zi = s( x, z) + s( y, z)
Megjegyzés: Szokás a skalárszorzatot a következőképpen is jelölni: 1. s(x,y)=<x,y> vagy: 2. s(x,y)=x.y Tétel: Minden skalárszorzatos tér normált tér. Biz.: konstruktív: megadjuk a normát
n(x) :=s(x,x)1/2
A norma első és második tulajdonsága a skalárszorzat első és második tulajdonságából teljesül (hf., előadáson leírtuk). A háromszög-egyenlőtlenséghez azonban be kell bizonyítani az alábbi tételt: Tétel : Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség: