Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvényvizsgálatot! A függvényvizsgálat szokásos menete: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Értelmezési tartomány, tengelymetszetek Szimmetriatulajdonságok: paritás, periodicitás Folytonosság, határértékek Monotonitás, lokáis széls˝oértékek ( f 0 (x) segítségével) Konvexitás, inflexiós pontok ( f 00 (x) segítségével) Grafikon Értékkészlet, globális széls˝oértékek
(a) f (x) =
4 − 4x (x + 1)2
Megoldás: D f = R \ {−1} Tengelymetszetek: x-tengelyen (zérushelyek): f (x) = 0 ⇒ 4 − 4x = 0 ⇒ x = 1 y-tengelyen: f (0) = 41 = 4 ) 1 ∈ Df ⇒ f nem páros, nem páratlan. −1 < D f f -nek egy zérushelye van, ezért nem periodikus. f folytonos függvények hányadosa, ezért maga is folytonos függvény. 4 − 4x 8 = „ +” = ∞ 2 x→−1 x→−1 (x + 1) 0 4 − 4x 8 lim− f (x) = lim− = „ ”=∞ x→−1 x→−1 (x + 1)2 0+ lim+ f (x) = lim+
−4 + x4 −4x + 4 −4 lim f (x) = lim 2 = lim = „ ” = 0− 1 x→∞ x→∞ x + 2x + 1 x→∞ x + 2 + ∞ x −4 + x4 −4x + 4 −4 lim f (x) = lim 2 = lim =„ ” = 0+ 1 x→−∞ x→−∞ x + 2x + 1 x→−∞ x + 2 + −∞ x 1
Megj.: az utóbbi két határértéket, mivel
−∞ ∞
ill.
∞ ∞
típusúak, L’Hospital-szabállyal
is számolhatjuk: −4 −4x + 4 −4 = lim = „ ” = 0− x→∞ + 2x + 1 x→∞ 2x + 2 ∞ −4x + 4 −4 −4 lim f (x) = lim 2 = lim =„ ” = 0+ x→−∞ x→−∞ x + 2x + 1 x→−∞ 2x + 2 −∞ lim f (x) = lim
x→∞ x2
Monotonitás, széls˝oértékek: !0 −4(x + 1)2 − (4 − 4x)2(x + 1) −4(x + 1) − 2(4 − 4x) 4 − 4x 0 = = = f (x) = (x + 1)2 (x + 1)3 (x + 1)4 =
−4x − 4 − 8 + 8x 4x − 12 = (x + 1)3 (x + 1)3
f 0 (x) = 0 ⇒ 4x − 12 = 0 ⇒ x = 3. Kaptuk: az x = 3 helyen lehet f -nek lokális széls˝oértéke (máshol nem). Akkor van itt lokális széls˝oérték, ha itt f 0 el˝ojelet vált. Ezt táblázatos formában vizsgáljuk meg. A táblázat fels˝o sorában f értelmezési tartománya szerepel f és f 0 szakadási helyei, továbbá f 0 zérushelyei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. x 0 f (x) f (x)
I. II. III. x < −1 x = −1 −1 < x < 3 x = 3 3 < x + ∗ − 0 + % ∗ & lok.min. %
A táblázat második és harmadik sorában szerepl˝o adatok meghatározásához vegyünk egy-egy számot a keletkez˝o intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f 0 el˝ojelét: I. pl. x = −2 II. pl. x = 0 III. pl. x = 4
=+ ⇒ f 0 (−2) = −20 −1 f 0 (0) = −12 = − ⇒ 1 + 0 ⇒ f (4) = + = +
f szig. mon. n˝o a ] − ∞, −1[ int.-on f szig. mon. csökken˝o a ] − 1, 3[ int.-on f szig. mon. n˝o a ]3, ∞[ int.-on
Kaptuk: f -nek az x = 3 helyen lokális minimuma van. Ennek értéke: f (3) =
−8 1 =− 16 2
Konvexitás, inflexiós pontok 0 4x − 12 f 00 (x) = f 0 (x) = (x + 1)3 =
!0
4(x + 1)3 − (4x − 12)3(x + 1)2 4(x + 1) − 3(4x − 12) = = = (x + 1)6 (x + 1)4
4x + 4 − 12x + 36 −8x + 40 = (x + 1)4 (x + 1)4
f 00 (x) = 0 ⇒ −8x + 40 = 0 ⇒ x = 5 Kaptuk: az x = 5 helyen lehet f -nek inflexiója (máshol nem). Akkor van itt inflexió, ha itt f 00 el˝ojelet vált. Ezt táblázatos formában vizsgáljuk meg. A táblázat fels˝o sorában f értelmezési tartománya szerepel f és f 00 szakadási helyei, továbbá f 00 zérushelyei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. x f (x) f (x) 00
I. II. III. x < −1 x = −1 −1 < x < 5 x = 5 5 < x + ∗ + 0 − ^ ∗ ^ infl. _ 2
A táblázat második és harmadik sorában szerepl˝o adatok meghatározásához vegyünk egy-egy számot a keletkez˝o intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f 00 el˝ojelét: I. pl. x = −2 II. pl. x = 0 III. pl. x = 6
f 00 (−2) = 56 =+ ⇒ 1 40 00 ⇒ f (0) = 1 = + −8 00 ⇒ f (6) = + = −
f szig. konvex a ] − ∞, −1[ int.-on f szig. konvex a ] − 1, 5[ int.-on f szig. konkáv a ]5, ∞[ int.-on
Kaptuk: f -nek az x = 5 helyen inflexiója van. Itt a helyettesítési érték: f (5) =
−16 4 = − ≈ −0, 44 36 9
aszimptoták: f valódi racionális törtfüggvény, ezért aszimptotái az x-tengely (az y = 0 egyenes képe) ill. a szakadási helyénél szaggatottal jelölt x = −1 egyenlet˝u egyenes. f aszimptotái: a1 : a2 :
x = −1 y=0
A számolt összefüggések alapján felvázolhatjuk f grafikonját: y
4 − 4x (x + 1)2
4
1
3
5 x
A grafikonról leolvassuk f értékkészletét, és globális széls˝oértékeit: h 1 h Rf = − , ∞ 2 1 f (3) = − globális minimum. 2 (b) f (x) = ln
1+x 1−x
Megoldás: D f meghatározása: 3
a nevez˝oben nem állhat 0 ⇒ x , 1;
1 + x > 0 és 1 − x > 0 1+x vagy a logaritmusfüggvény miatt: >0 ⇔ 1−x 1 + x < 0 és 1 − x < 0 x > −1 és x < 1 n o −1 < x < 1 vagy ⇔ x < −1 és 1 < x
⇔
Kaptuk: D f =] − 1, 1 [ Tengelymetszetek: x-tengelyen (zérushelyek): 1+x 1+x f (x) = 0 ⇒ ln =0 ⇒ = 1 ⇒ 1 + x = 1 − x ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 1−x 1−x y-tengelyen: f (0) = ln 1 = 0 f grafikonja tehát átmegy az origón. paritás-vizsgálat: i)
x ∈ D f ⇒ −x ∈ D f
! 1 + (−x) 1−x 1 + x −1 1+x ii) f (−x) = ln = ln = ln = − ln = − f (x) 1 − (−x) 1+x 1−x 1−x i)-ii)
⇒
f páratlan függvény (grafikonja szimmetrikus az origóra).
f -nek egy zérushelye van, ezért nem periodikus. (Másképp: D f korlátos, ezért f nem periodikus.) f folytonos függvények kompozíciója, ezért maga is folytonos függvény. 1+x + lim+ f (x) = lim+ ln = „ln 02 ” = „ln 0+ ” = −∞ x→−1 x→−1 1−x 1+x lim f (x) = lim− ln = „ln 02+ ” = „ln ∞” = ∞ x→1− x→1 1−x Monotonitás, széls˝oértékek: 2 1 + x 0 1 − x (1 − x) + (1 + x) 1 − x 2 · · f 0 (x) = ln = = = 1−x 1+x (1 − x)2 1 + x (1 − x)2 (1 + x)(1 − x) f 0 (x) = 0 ⇒ 2 = 0 Kaptuk: f -nek nincs lokális széls˝oérték-helye, és így lokális széls˝oértéke sem. A táblázat fels˝o sorában f értelmezési tartománya szerepel f és f 0 szakadási helyei, továbbá f 0 zérushelyei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. Most tehát nincs osztópont! x f (x) f (x) 0
−1 < x < 1 + %
A táblázat második és harmadik sorában szerepl˝o adatok meghatározásához vegyünk egy számot az (egyetlen) intervallumból, és vizsgáljuk meg ott f 0 el˝ojelét: pl. x = 0
f 0 (0) =
2 1
=+ ⇒
f szig. mon. n˝o a ] − 1, 1 [ int.-on.
Kaptuk: f szig. mon. n˝o az egész értelmezési tartományán. 4
Konvexitás, inflexiós pontok !0 2 0 0 − 2(−2x) 4x 2 00 f (x) = = = = (1 + x)(1 − x) 1 − x2 (1 − x2 )2 (1 − x2 )2 f 00 (x) = 0 ⇒ 4x = 0 ⇒ x = 0 Kaptuk: az x = 0 helyen lehet f -nek inflexiója (máshol nem). A táblázat fels˝o sorában f értelmezési tartománya szerepel f és f 00 szakadási helyei, továbbá f 00 zérushelyei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. Most tehát egy osztópont van, x = 0. x f 00 (x) f (x)
I. II. −1 < x < 0 x = 0 0 < x < 1 − 0 + _ infl. ^
A táblázat második és harmadik sorában szerepl˝o adatok meghatározásához vegyünk egy-egy számot a keletkez˝o intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f 00 el˝ojelét: I. pl. x = − 21 II. pl. x = 12
f 00 (− 21 ) = −2 =− ⇒ + f 00 ( 12 ) = +2 = + ⇒
f szig. konkáv a ] − 1, 0[ int.-on f szig. konvex a ]0, 1[ int.-on
Kaptuk: f -nek az x = 0 helyen inflexiója van. Itt a helyettesítési érték: f (0) = 0 A számolt összefüggések alapján felvázolhatjuk f grafikonját: y
1+x ln 1−x 1 x
−1
Rf = R f -nek nincs globális széls˝oértéke.
(c) f (x) = x ln
1 x
Megoldás: D f = R+ =]0, ∞[ Tengelymetszetek:
5
x=0 (0 < D f ) x-tengelyen (zérushelyek): f (x) = 0 ⇒ 1 1 ln = 0 ⇒ =1 ⇒ x=1 x x y-tengelyen: f (0) (0 < D f , a grafikon nem metszi az y-tengelyt.) ) 1 ∈ Df ⇒ f nem páros, nem páratlan. −1 < D f f -nek egy zérushelye van, ezért nem periodikus. f folytonos függvények szorzata, ezért maga is folytonos függvény. 1 ln x · − x12 1 L’H x lim f (x) = lim+ x ln = lim+ = lim+ lim+ x = 0+ 1 x→0+ x→0 x→0 x→0 x x→0 1 − x2 |{z} x 0·∞ 1 lim f (x) = lim x ln = „∞ · (−∞)” = −∞ x→∞ x→∞ x |{z} ∞·ln 0+
Monotonitás, széls˝oértékek: 1 1 1 1 0 0 = ln + x · x · − 2 = ln − 1 f (x) = x ln x x x x f 0 (x) = 0 ⇒ ln
1 1 1 = 1 ⇒ = e ⇒ x = ≈ 0, 36. x x e
1 helyen lehet f -nek lokális széls˝oértéke (máshol nem). Akkor van itt lokális e 0 széls˝oérték, ha itt f el˝ojelet vált. Ezt táblázatos formában vizsgáljuk meg. A táblázat fels˝o sorában f értelmezési tartománya szerepel f és f 0 szakadási helyei, továbbá f 0 zérushelyei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban.
Kaptuk: az x =
x f 0 (x) f (x)
I. 0<x< + %
1 e
x= 0 lok. max 1 e
1 e
II. <x − &
A táblázat második és harmadik sorában szerepl˝o adatok meghatározásához vegyünk egy-egy számot a keletkez˝o intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f 0 el˝ojelét: i h I. pl. x = e12 f 0 ( e12 ) = ln e2 − 1 = 2 − 1 = + ⇒ f szig. mon. n˝o a 0, 1e int.-on i h II. pl. x = e f 0 (e) = ln 1e − 1 = −1 − 1 = − ⇒ f szig.mon.csökk. az 1e , ∞ int.-on f -nek az x = 1e helyen lokális maximuma van, aminek értéke: f 1e = 1e · ln e = 1e · 1 = 1e ≈ 0, 36 Konvexitás, inflexiós pontok f 00 (x) =
0 1 1 1 ln − 1 = x · − 2 = − x x x
f 00 (x) = 0 ⇒ 1 = 0 f -nek nincs inflexiós helye. A táblázat fels˝o sorában f értelmezési tartománya szerepel f és f 00 szakadási helyei továbbá f 00 zérushelyei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. 6
Most tehát nincs osztópont! 0<x − _
x f (x) f (x) 00
A táblázat második és harmadik sorában szerepl˝o adatok meghatározásához vegyünk egy számot a keletkez˝o intervallumból, és vizsgáljuk meg ott f 00 el˝ojelét: pl. x = 1
f 00 (1) = −1 = −
f szig. konkáv a ]0, ∞[ int.-on
⇒
f tehát szigorúan konkáv az egész értelmezési tartományán. A számolt összefüggések alapján felvázolhatjuk f grafikonját: y x ln 1
1 x x
i 1i R f = − ∞, e 1 1 f = globális maximum. e e 1
(d) f (x) = xe x Megoldás: D f = R \ {0} Tengelymetszetek: x-tengelyen (zérushelyek): f (x) = 0 y-tengelyen: f (0) f (−1) = − 1e ⇒ f (1) = e
1
(0 < D f , e x > 0)
(0 < D f , a grafikon nem metszi az y-tengelyt.) f (−1) , f (1) ⇒ f nem páros, nem páratlan. f (−1) , − f (1)
f -nek egy szakadási helye van, ezért nem periodikus. f folytonos függvények szorzata, ezért maga is folytonos függvény. 1
lim xe x = „0− · e−∞ ” = „0− · 0+ ” = 0− x→0− 1 1 e x · − x12 x L’H e 1 1 x = ∞ lim+ xe x = lim+ 1 = lim+ lim e x→0 |{z} x→0 x→0 x→0+ − x12 x 0·∞ 1
lim xe x = „−∞ · 1” = −∞
x→−∞
7
1
lim xe x = „∞ · 1” = ∞
x→∞
Monotonitás, széls˝oértékek: 1 0 1 1 1 f 0 (x) = xe x = e x + xe x − x12 = e x 1 − 1x 1 f 0 (x) = 0 ⇒ e x 1 − 1x = 0 ⇒ 1 − 1x = 0 ⇒ x = 1 x 0 f (x) f (x)
I. II. III. −∞ < x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 1 < x + ∗ − 0 + % ∗ & lok.min. %
I. II.
pl. x = −1 pl. x = 12
⇒ f 0 (−1) = 1e · 2 = + 0 1 2 f ( 2 ) = e · (−1) = − ⇒
III.
pl. x = 2
f 0 (2) = e 2 ·
1
1 2
=+
f szig. mon. n˝o a ] − ∞, 0[ int.-on f szig. mon. cs. a ]0, 1[ int.-on f szig. mon. n˝o a ]1, ∞[ int.-on
⇒
f -nek az x = 1 helyen lokális maximuma van, aminek értéke: f (1) = 1 · e = e ≈ 2, 7 Konvexitás, inflexiós pontok 1 0 1 1 f 00 (x) = e x 1 − 1x = e x − x12 1 − x1 + e x · 1
f 00 (x) = 0 ⇒ e x · x f (x) f (x) 00
1 x3
1
= −e x ·
1 x2
1 x2
1
+ ex ·
1 x3
1
+ ex ·
1 x2
1
= ex ·
1 x3
=0
I. II. x<0 x=0 0<x − ∗ + _ ∗ ^
I. pl. x = −1 II. pl. x = 1
f 00 (−1) = (+) · (−) = − ⇒ f 00 (1) = (+) · (+) = + ⇒
f szig. konkáv a ] − ∞, 0[ int.-on f szig. konvex a ]0, ∞[ int.-on
y
1
xe x 1
x
R f =] − ∞, 0[∪[e, ∞[= R \ [0, e[ f -nek nincs globális széls˝oértéke. 8
(e) f (x) = x3 + 4x2 + 3 Megoldás: Df = R Tengelymetszetek: x-tengelyen (zérushelyek): f (x) = 0 ⇒
?
f zérushelyeit elemi úton nem tudjuk meghatározni. Ld. még kés˝obb! y-tengelyen: f (0) = 3 f (−1) = 6 f (−1) , f (1) ⇒ ⇒ f nem páros, nem páratlan. f (−1) , − f (1) f (1) = 8 f harmadfokú racionáis egész függvény, ezért zérushelyeinek száma egy vagy három, tehát nem periodikus. f racionális egész függvény, ezért folytonos függvény. lim x3 + 4x2 + 3 = lim x3 = −∞
x→−∞
x→−∞
lim x + 4x + 3 = lim x3 = ∞ 3
2
x→∞
x→∞
Monotonitás, széls˝oértékek: 0 f 0 (x) = x3 + 4x2 + 3 = 3x2 + 8x f 0 (x) = 0 ⇒ 3x2 + 8x = 0 ⇒ x(3x + 8) = 0 ⇒ x = 0 vagy x = − 38 ≈ −2, 67. x f (x) f (x) 0
I. II. III.
I. −∞ < x < − 83 x = − 83 − 83 + 0 % lok.max.
II. III. <x<0 x=0 0<x − 0 + & lok.min. %
f 0 (−3) = 3 = + f 0 (−1) = −5 = − f 0 (1) = 11 = +
f -nek az x = − 38 helyen lokális maximuma van, aminek értéke: f − 38 = 337 ≈ 12, 5 27 f -nek az x = 0 helyen lokális mimimuma van, aminek értéke: f (0) = 3 Konvexitás, inflexiós pontok 0 f 00 (x) = 3x2 + 8x = 6x + 8 f 00 (x) = 0 ⇒ 6x + 8 = 0 ⇒ x = − 43 x 00 f (x) f (x)
I. II. x < − 34 x = − 43 − 43 < x − 0 + _ infl. ^
9
I. II.
f 00 (−2) = −4 = f 00 (0) = 8 =
− +
f -nek az x = − 34 helyen inflexiója van, és itt a helyettesítési érték f (− 43 ) =
209 27
≈ 7, 74
Visszatérve f zérushelyeinek kérdésére: a monotonitás-vizsgálat alapján annyit mondhatunk, hogy f -nek egy zérushelye van, mégpedig a ] − ∞, − 83 [ intervallumon. y
x3 + 4x2 + 3
1 −3 −1
1
x
Rf = R f -nek nincs globális széls˝oértéke. x2 + 7 x+3 Megoldás:
(f) f (x) =
D f = R \ {−3} Tengelymetszetek: x-tengelyen (zérushelyek): f (x) = 0 ⇒ x2 + 7 = 0
Nincs zérushely.
y-tengelyen: f (0) = 37 ≈ 2, 33 ) 3 ∈ Df ⇒ f nem páros, nem páratlan. −3 < D f f -nek egy szakadási helye van, ezért nem periodikus. f folytonos függvények hányadosa, ezért maga is folytonos függvény. x2 + 7 16 lim+ = „ +” = ∞ x→−3 x + 3 0 2 x +7 16 lim− = „ − ” = −∞ x→−3 x + 3 0 2 x + 7 L’H 2x lim = lim =∞ x→∞ x + 3 x→∞ 1 10
x2 + 7 L’H 2x = lim = −∞ x→−∞ x + 3 x→−∞ 1 lim
Monotonitás, széls˝oértékek: !0 2x(x + 3) − (x2 + 7) x2 + 6x − 7 x2 + 7 0 f (x) = = = x+3 (x + 3)2 (x + 3)2 √ −6 ± 36 + 28 x1 = 1 f 0 (x) = 0 ⇒ x2 + 6x − 7 = 0 ⇒ x1,2 = = x2 = −7 2
x 0 f (x) f (x)
I. II. III. IV. ] − ∞, −7[ x = −7 ] − 7, −3[ x = −3 ] − 3, 1[ x = 1 ]1, ∞[ + 0 − ∗ − 0 + % lok.max & ∗ & lok.min. %
II. III. IV. f (−7) =
9 =+ + −15 =− f 0 (−4) = + −7 f 0 (0) = =− + 9 f 0 (2) = = + + f 0 (−8) =
I.
8 56 = −14 lokális maximum, f (1) = = 2 lokális minimum. −4 4
Konvexitás, inflexiós pontok !0 (2x + 6)(x + 3)2 − (x2 + 6x − 7) · 2 · (x + 3) x2 + 6x − 7 00 f (x) = = = (x + 3)2 (x + 3)4 =
(2x + 6)(x + 3) − 2(x2 + 6x − 7) 2x2 + 6x + 6x + 18 − 2x2 − 12x + 14 32 = = 3 3 (x + 3) (x + 3) (x + 3)3
f 00 (x) = 0 ⇒ 32 = 0
(Nincs inflexiós pont.)
I. II. ] − ∞, −3[ x = −3 ] − 3, ∞[ − ∗ + _ ∗ ^
x 00 f (x) f (x) I. II.
32 =− −1 32 f 00 (−2) = =+ 1 f 00 (−4) =
f nem valódi racionális törtfüggvény, így a nem-függ˝oleges aszimptotáját polinomosztással határozzuk meg. (x2 + 7) : (x + 3) = x − 3 − 3x + 7 16
11
f aszimptotái: a1 : a2 :
x = −3 y=x−3 y a1
−7
x2 + 7 x+3 1 x
a2 −14
R f =] − ∞, −14] ∪ [2, ∞[ Nincs globális széls˝oérték.
(g) f (x) = (x2 − 3)ex Útmutató: lim (x2 − 3)ex = ∞ · ∞ = ∞
x→∞
x2 − 3 L’H 2x L’H 2 2 lim (x − 3)e = lim = lim = lim = = 0+ x→−∞ | {z } x→−∞ e−x x→−∞ −e−x x→−∞ e−x ∞ x
2
∞·0
f 0 (x) = (x2 + 2x − 3)ex f 00 (x) = (x2 + 4x − 1)ex
12
y
(x2 − 3)ex −3
x
1
(h) f (x) = ln(x2 + 2x − 2) Útmutató: Értelmezési tartomány:
√ √ ⇒ x < −1 − 3 vagy x > −1 + 3 √ √ D f = ] − ∞; −1 − 3[ ∪ ] − 1 + 3 ; ∞[ x2 + 2x − 2 > 0
f 0 (x) =
2x + 2 x2 + 2x − 2
f 00 (x) =
−2(x2 + 2x + 4) (x2 + 2x − 2)2 y
ln(x2 + 2x − 2) −5
−1
13
3
x
