egyenletek és egyenlôtlenségek Jó, hogy itt vagytok! titeket vártalak.
Hadd találjam ki, hol vagyunk! Kínában.
Egyenesen a császárhoz.
ezt a tudást át kell ültetnetek a matematikába.
Te nem hiszed ezt el?
tankonyv_teljes jav_09_22.indd 189
Jól gondolod. Az 1400. évben vagyunk, a Ming dinasztia idején.
Hova vezet minket?
Feltárom nektek a bölcs uralkodás titkát.
És mi a közös az uralkodásban és a matematikában?
A SZÁMOKRA IS IGAZ LENNE AZ EGYENSÚLY?
mindennek egyensúlyban kell lennie… Még a számoknak is.
PEDIG IGAZ! ÁÁÁÁ....
11/10/7 1:27 PM
régen és most Az ókori emberek szövegesen írták fel a problémákat, és azokat fejtették meg. Régen a matematikai problémák megoldásakor általában nem írták le sem az összefüggéseket, sem a megoldás lépéseit. Ebbo˝l arra következtetünk, hogy találgatással oldották meg o˝ket. „Találtam egy követ, aminek nem tudtam a tömegét. Amikor azonban hozzáadtam az egyhetedét és az egészhez még az egytizennegyedét is, pontosan egy mina tömegu˝ volt.” Kr. e. 1800 körül.
A kínaiak ismerték a kapcsolatokat a különbözo˝ mennyiségek között, és a végeredményt a megfelelo˝ csökkentéssel vagy növeléssel számolták ki. „Egy hold jó mino˝ségu˝ föld 300 aranyba kerül, hét hold gyenge mino˝ségu˝ pedig 500 aranyba. Mennyi jó és mennyi gyenge földet vett a földmu˝ves, ha 100 holdért 10 000 aranyat fizetett?”
Az egyiptomiak gyakran szándékosan, de átgondoltan használtak helytelen megoldást, majd azt helyesre kijavították. Ennek az eljárásnak a neve regula falsi. „Száz kenyércipót igazságosan ossz el tíz ember közt úgy, hogy a köztük levo˝ csónakos, eladó és o˝r a többiekhez képest kétszeres mennyiséget kapjon.” Rhind papirus
Az egyiptomiak használtak néhány jeltípust az egyenlo˝ ség, egyenlo˝ tlenség kifejezésére:
190
tankonyv_teljes jav_09_22.indd 190
11/10/7 1:27 PM
egyenletek és egyenlôtlenségek 1. ÁLLÍTÁSOK ÉS NYITOTT MONDATOK 2. Egyenletek
Az = (egyenlo˝ ség) jelet a mai értelemben elo˝ször 1557-ben használták.
3. egyenlôtlenségek
•
anna és Bence próbára teszi tudását
A < (kisebb) és > (nagyobb) jeleket elo˝ször egy angol matematikus, Thomas Harriot (1560-1621) használta, azonban a gyakorlatban még sokáig használatosak és jelek is. voltak a Londonban a Hyde parkban van a Speakers’ Corner (Szónoksarok), ahol bárki szinte bármit hangosan kimondhat. A vélemény kimondása leheto˝ség az egyensúly megteremtésére.
A mérleg állása, az egyensúly, illetve a billenés jól mutatják az egyenlo˝séget, illetve az egyenlo˝tlenséget.
Az egyenlo˝ség és egyenlo˝tlenség fogalmát kifejezo˝ szavakkal a sportban is gyakran találkozunk.
„A maratoni táv pontosan 42 195 méter hosszú.„
tankonyv_teljes jav_09_22.indd 191
„A mai meccsen eggyel kevesebb gólt lo˝ ttem, mint a tegnapin.”
”Csak egy körrel rontott többet az ellenfelem, mint én. Nyertem!”
191
11/10/7 1:27 PM
1. ÁLLÍTÁSOK ÉS NYITOTT MONDATOK
Megtanulod, hogy: – mit nevezünk állításnak, – mi a nyitott mondat, – hogyan írjuk le az állításokat és a nyitott mondatokat.
A család tagjai arról beszélgettek, hogy ki milyen kövér. Anya és Márta néni nem akarták megmondani, hogy hány kilósak, apa pedig azt állította, hogy ô 85 kg. Mindenki − kivéve anyát és Márta nénit – megmérte magát. Anna pedig ezt jegyezte fel: „A nagymama 78 kg, apa 87 kg, Panni (a nôvérem) 56 kg, Tóni bácsi 82 kg, Marci (az unokatestvérem) 67 kg, én 42 kg.” gondolkozz!
Mit mondhatnál apa állításáról?
A matematikában azokat a kijelentéseket, amikrôl el lehet dönteni, hogy igaz vagy hamis, állításoknak nevezzük. Tudjuk, hogy azok az állítások, amiket Anna lejegyzett, igaz állítások. Ô ugyanis a mérések eredményét írta le. „A nagymama 78 kg.” „Panni 56 kg.” stb. Apa állítása: „Én 85 kg-os vagyok.” hamis, mert a mérleg 87 kg-ot mutatott. Anya és Márta néni nem mondták meg a tömegüket, és nem is mérték meg magukat. Ezért Anna ezt tudta feljegyezni: Anya kg. Márta néni kg. Ezek hiányos állítások. Nem tudjuk eldönteni, hogy igazak-e. Az üres helyre be kell írnunk egy számot, s ezután lehet csak dönteni. Az ilyen hiányos állításokat nyitott mondatoknak nevezzük. Állítás és nyitott mondat
Azt a kijelentô mondatot nevezzük állításnak, amirôl eldönthetô, hogy igaz vagy hamis. A nyitott mondat hiányos állítás. Ha a nyitott mondatot kiegészítjük (szavakkal vagy számokkal), akkor állítást kapunk. Az állítás lehet ez: egyenlô. Ezt = jellel jelölhetjük. 6−2=4
7 · 9 = 63
56 + 25 − 23 = 58
Vagy ez: nem egyenlô ≠, kisebb <, nagyobb >, kisebb vagy egyenlô ≤, nagyobb vagy egyenlô ≥. A számokat tartalmazó nyitott mondatokban üres kerettel jelöljük a hiányzó értéket: 6− A
=4
7·9=
15 ≥
jel helyett betût is írhatunk. 6−x=4
y<9
3 · a + 2 = 17
5≥b
FIGYELEM! A kérdô és a felszólító mondatok nem állítások. Az állítás mindig kijelentô mondat.
MINTAFELADATOK 1. A felírt állítások között van-e igaz állítás? A hamis állítások helyett írj nyitott mondatokat! a) A három páratlan szám. b) A 38 nagyobb, mint a 83. c) Gyôr Magyarország fôvárosa. d) Magyarország legmagasabb hegycsúcsa a Kékes. e) 99 − 33 = 66 f) 87 − 23 = 55
Megoldás: Igaz állítások: a; d és e. A hamis állításokból nyitott mondatot készítünk: b) A 38 nagyobb, mint a 83.
A 38 nagyobb, mint
c) Gyôr Magyarország fôvárosa.
192
f) 87 − 23 = 55
tankonyv_teljes jav_09_22.indd 192
.
Magyarország fôvárosa. 87 −
= 55
11/10/7 1:27 PM
ÁLLÍTÁSOK ÉS NYITOTT MONDATOK 2. A nyitott mondatba helyettesítsd be a megfelelô számot, számokat úgy, hogy igaz állítást kapj! Ezt nevezzük megoldásnak. a) 8 · = 56 b) 4 + >9
Megoldás: a) 8 · 7 = 56
Behelyettesítjük a 7-et, ez igazzá teszi az állítást.
b) 4 + 6 > 9 4 + 5 = 9, de a bal oldalon 9-nél nagyobb kell. Ezért 5-nél nagyobb számot kell beírnunk az üres helyre. vagy 4 + 7 > 9 vagy 4 + 8 > 9 vagy 4 + ... > 9 Végtelen sok megoldás van: 6; 7; 8, …
Megjegyzés A nyitott mondat megoldásának nevezzük az összes számot, amire a nyitott mondat igaz.
3. A nyitott mondatba helyettesíts be pozitív egész számokat úgy, hogy hamis állítást kapj! a) 2 · = 14 b) 7 − <3
Megoldás: a) 2 · 8 = 14
Bármely számot behelyettesíthetjük, kivéve a 7-et.
b) Behelyettesíthetjük az 1, 2, 3, 4 számokat: 7 − 1 < 3 mert 7 − 1 = 6 6 > 3; 7 − 2 < 3 mert 7 − 2 = 5 5 > 3; 7 − 3 < 3 mert 7 − 3 = 4 4 > 3. 7 − 4 < 3 mert 7 − 4 = 3 3 = 3.
4. A nyitott mondatba helyettesíts be természetes számokat úgy, hogy igaz állítást kapj! a) 2 · x + 15 = 75 b) 7 − y < 3
Megoldás: a) 2 · 30 + 15 = 75 b) 7 − 5 < 3
7−6<3
Behelyettesíthetjük a 30-at, mert 2 · 30 + 15 = 75. 7 − 7 < 3
Behelyettesíthetjük az 5; 6 vagy 7 számokat.
GYAKORLÓFELADATOK 1. Melyek matematikai állítások? a) A hányados nem változik, ha az osztandót és az osztót ugyanazzal a számmal osztjuk. b) Mely számok a szomszédjai a 375-nek? c) A természetes számok olyan számok, amelyekkel számlálunk. d) Olvasd fel nekem ezt a verset! e) 35 + 67 = 100 f ) 56 : 8 g) 43 > 52 2. Melyek az igaz állítások? a) A 2 356 788 szám páros szám. b) A 15 ötszöröse 3. c) Ha felcseréljük a kisebbítendôt és a kivonandót, a különbség nem változik. d) A 48 a 6 többszöröse. e) 750 : 6 = 125 f ) 237 < 148
tankonyv_teljes jav_09_22.indd 193
Megjegyzés igaz állítás = helyes állítás hamis állítás = helytelen állítás A matematikai állítás hamis, ha a nyitott mondatot olyan számmal egészítjük ki, amire az egyenlôség vagy egyenlôtlenség nem teljesül.
3. A 24-gyel és a 13-mal alkoss négy különbözô nyitott mondatot, majd azokat egészítsd ki úgy, hogy helyes állításokat kapj! 4. Melyik nyitott mondatot nem lehet igazzá tenni egész számmal? a) 3 · = 36 b) − 2 = 73 c) 8 · < 24 d) + 27 = 15 e) 36 : = 39 f ) 23 − 7 + 9 =
193
11/10/7 1:27 PM
2. EGYENLETEK
Megtanulhatod, hogy: – mi az egyenlet, – hogyan oldunk meg egyenleteket próbálgatással és lebontogatással, – hogyan oldunk meg szöveges feladatokat egyenlettel. Bence elvállalta, hogy szombat délelôtt a házuk minden ablakát megtisztítja. Ez nem kis munka, mert a háznak 14 ablaka van. Gyorsan dolgozott, így hamarosan 5 ablakkal elkészült. Elgondolkodott, hogy hány ablak van még hátra? gondolkozz!
Anna felírta a 5 +
Hogyan írhatod fel Bence kérdését matematikai jelölésekkel?
= 14, nyitott mondatot, majd a
-t kicserélte x-re.
Ezt a felírást 5 + x = 14 egyenletnek hívjuk, az x-et pedig ismeretlennek. ismeretlen
MEGJEGYZÉS egyenlôség: 5 + 9 = 14 egyenlet: 5 + x = 14
5 + x = 14 az egyenlet bal oldala
az egyenlet jobb oldala
Oldjuk meg Anna egyenletét! 5 + x = 14. x = 9, mert 5 + 9 = 14 Ha az ismeretlen helyére beírjuk a helyes értéket, vagyis az egyenlet megoldását, akkor igaz állítást kapunk. Az egyenlet bal és jobb oldala ebben az esetben egyenlô. Így ellenôrizhetjük, hogy jó megoldást kaptunk-e. Az egyenlet megoldása 9. Bencének még 9 ablakot kell megtisztítania.
Az egyenlet olyan nyitott mondat, amely egyenlôségjelet tartalmaz. A hiányzó értéket ismeretlennek nevezzük. Az ismeretlent az ábécé bármelyik betûjével jelölhetjük. Az egyenlet megoldása az a szám, amelyet az ismeretlen helyére beírva az egyenlet két oldala egyenlô.
Az egyenlet megoldása
194
tankonyv_teljes jav_09_22.indd 194
11/10/7 1:27 PM
