Een vergelijking tussen vier Nederlandse bonus-malussystemen met no-claim beschermer

Een vergelijking tussen vier Nederlandse bonus-malussystemen met no-claim beschermer

L. de Boer Studentnummer 0344796

Semester 2, 2006-2007

22 juni 2007 Bachelor scriptie Actuariaat Begeleider Prof. Dr. R. Kaas

Universiteit van Amsterdam

Inhoud

1. Inleiding……………………………………………………………………………………1 2.

De theoretische achtergrond van bonus-malussystemen met en zonder no-claim

be-

schermer ……………………………………………………………………………………….3 2.1 Het opstellen van de transitiematrix……………………………………………….4 2.2 De stationaire verdeling zonder no-claim beschermer…………………………….7 2.3 De stationaire verdeling met no-claim beschermer………………………………..8 3. Maatstaven bij het vergelijken van de verzekeringsmaatschappijen……………………..10 4. Vergelijking van de bonus-malussystemen met en zonder no-claim beschermer..............13 4.1 Het gemiddelde premieverloop en de gemiddelde stationaire premie…………...13 4.2 De efficiëntie……………………………………………………………………...17 4.3 De relatieve stationaire gemiddelde premie (RSAL)……………………………..21 4.4 De optimale retentie………………………………………………………………24 5. Conclusies………………………………………………………………………………...26 Bibliografie…………………………………………………………………………………...28 Bijlagen……………………………………………………………………………………….29 Bijlage 1 Kenmerken van de verzekeringsmaatschappijen……………………………………..29 Bijlage 2 Tabel 9 Bonus-malusladder Centraal Beheer met no-claim beschermer……………..32 Tabel 10 Bonus-malusladder ANWB met no-claim beschermer……………………..33 Tabel 11 Bonus-malusladder Univé met no-claim beschermer………………………34 Tabel 12 Polis Direct met no-claim beschermer……………………………………...35 Bijlage 3 Script 1 Gemiddelde premieverloop met no-claim beschermer (ANWB)……………36 Script 2 Gemiddelde premieverloop zonder no-claim beschermer (ANWB)………...37 Script 3 De gemiddelde stationaire premie met no-claim beschermer (ANWB)……..38 Script 4 De gemiddelde stationaire premie zonder no-claim beschermer (ANWB)….39 Script 5 De efficiëntie met no-claim beschermer (ANWB)…………………………..40 Script 6 De efficiëntie zonder no-claim beschermer (ANWB)……………………….41 Script 7 De efficiëntie voor vaste waarden van de schadefrequentie, met no-claim beschermer (ANWB)………………………………………………………………….42

Script 8 De efficiëntie voor vaste waarden van de schadefrequentie, zonder no-claim beschermer (ANWB)………………………………………………………………….43 Script 9 Optimale retentie…………………………………………………………….44

1 1 Inleiding

Rond 1980 was de verzekeringsmarkt rond autoverzekeringen erg onrustig. Door de vijf grootste verzekeraars in ons land werd een grootschalig onderzoek ingesteld. Dit onderzoek kreeg de naam ‘Nieuwe Premie Structuur Autoverzekeringen (NPSA)’. Aan het eind van 1981 werd deze nieuwe structuur in Nederland geïntroduceerd. Deze nieuwe structuur had tot gevolg dat de verzekeringsmaatschappijen een nieuw bonus-malussysteem gingen hanteren. Bij het verzekeren van autoschade wordt al sinds de jaren zestig gebruik gemaakt van deze bonus-malussystemen (Lemaire, 1994). Een bonus-malussysteem is een systeem waarbij gebruik wordt gemaakt van beloningen in de vorm van korting op de basispremie bij goed rijgedrag en straffen in de vorm van negatieve korting bij slecht rijgedrag.

Sinds de jaren ’80 is de verzekeringsmarkt volop in beweging. Vele Nederlandse verzekeraars hanteren nog steeds het bonus-malussysteem dat na het onderzoek NPSA werd geïntroduceerd, andere hanteren een variant op dit systeem. Ook worden de keuzemogelijkheden wat betreft aanvullende verzekeringen steeds groter. Eén van de mogelijkheden is het afsluiten van een no-claim beschermer.

De gevraagde premie voor een autoverzekering wordt per verzekerde elk jaar opnieuw bepaald en hangt voor een groot deel af van de claims uit het verleden die een verzekerde heeft ingediend. Is de verzekerde een nieuwe polishouder, dan wordt er een basispremie bepaald en belandt de nieuwe verzekerde op een bijbehorende trede van de bonus-malusladder. Maakt de verzekerde nul schades in een jaar, dan stijgt de verzekerde één trap op de bonus-malusladder. Maakt de verzekerde één schade of meer, dan daalt de verzekerde meerdere treden op de bonus-malusladder. Deze daling op de bonus-malusladder bij het claimen van een schade is voor sommige verzekerden reden om een bepaalde claim niet in te dienen; de stijging van de premie door het indienen van de claim kan hoger zijn dan de claim zelf. Bij niet claimen komt de verzekerde dan goedkoper uit. Inspringend op de behoefte van de verzekerden zich ook voor dit risico te verzekeren introduceerden verschillende verzekeringsmaatschappijen recentelijk de no-claim beschermer. Met de no-claim beschermer heeft de verzekerde het recht maximaal één keer per jaar een schade te laten repareren zonder dat dit gevolgen zal hebben voor de opgebouwde no-claimkorting. Het aantal schadevrije jaren wordt wel teruggebracht. Als ver-

2 zekerde overstapt naar een andere verzekeringsmaatschappij wordt bij berekening van de nieuwe premie rekening gehouden met het werkelijke aantal schadevrije jaren.

De no-claim beschermer is een recente ontwikkeling waar nog niet veel onderzoek naar gedaan is. In deze scriptie worden vier Nederlandse verzekeringsmaatschappijen, namelijk Centraal Beheer, ANWB, Polis Direct en Univé, die met de no-claim beschermer werken onderzocht en met elkaar vergeleken. Er zal onderzocht worden wat de invloed is van de no-claim beschermer op het gemiddelde premieverloop en de stationaire premie voor goede, gemiddelde en slechte rijders. Bij het onderzoek wordt onderscheid gemaakt tussen systemen met noclaim beschermer en systemen zonder no-claim beschermer. Verder zullen de verzekeringsmaatschappijen aan de hand van verschillende maatstaven vergeleken worden. De gehanteerde maatstaven zijn het gemiddelde premieverloop, de stationaire premie, de efficiëntie, het relatieve stationaire gemiddelde niveau en de optimale retentie. Aan de hand van de resultaten zal geconcludeerd kunnen worden welke verzekeringsmaatschappij het goedkoopste is voor goede, gemiddelde of slechte rijders. Ook zal duidelijk worden hoe efficiënt een systeem met no-claim beschermer is ten opzichte van een systeem zonder no-claim beschermer.

Bij het onderzoek wordt gebruik gemaakt van het programma R. R is een programmeeromgeving vol met uitgebreide statistische en grafische mogelijkheden. In hoofdstuk 2 wordt de theorie achter bonus-malussystemen met en zonder no-claim beschermer behandeld.. In hoofdstuk 3 worden de maatstaven besproken waarmee de verzekeringsmaatschappijen worden vergeleken. Hoofdstuk 4 staat in het teken van de vergelijking van de bonusmalussystemen van de verschillende verzekeringsmaatschappijen aan de hand van de in hoofdstuk 3 beschreven maatstaven. Ten slotte worden in hoofdstuk 5 de conclusies gepresenteerd.

3 2. De theoretische achtergrond van bonus-malussystemen met en zonder no-claim beschermer

Bij de afsluiting van een autoverzekering wordt aan de hand van verschillende factoren een basispremie bepaald. De nieuwe verzekerde heeft nul schadevrije jaren als hij nog nooit eerder verzekerd is geweest. De verzekerde heeft dan nog geen claimgeschiedenis. De claimgeschiedenis is één van de factoren die van invloed is op de basispremie. Andere factoren die van invloed zijn, zijn bijvoorbeeld: de prijs van de auto, het gewicht van de auto, het verbruik van de auto en de gewenste dekking. Bij afsluiting van de verzekering wordt de verzekerde afhankelijk van bovenstaande factoren en claimgeschiedenis op een starttrede geplaatst. In de jaren die volgen zal de verzekerde afhankelijk van zijn geclaimde schades bewegen op de bonus-malusladder. Maakt de verzekerde geen schades, dan stijgt hij op de bonusmalusladder. Maakt de verzekerde wel schade of schades, dan zal hij dalen op de bonusmalusladder. In de volgende tabel wordt de bonus-malusladder van de NPSA als voorbeeld weergegeven. Het bonus-malussysteem van de NPSA wordt als voorbeeld gebruikt omdat dit systeem nog steeds veelvuldig gebruikt wordt, dan wel een variant op dit systeem.

4 Tabel 1 De bonus-malusladder van de NPSA

NPSA

Nieuwe bonus-malustrede na x claims

Trede

Premiepercentage 0

1

2

3+

14

30

14

9

5

1

13

32,5

14

8

4

1

12

35

13

8

4

1

11

37,5

12

7

3

1

10

40

11

7

3

1

9

45

10

6

2

1

8

50

9

5

1

1

7

55

8

4

1

1

6

60

7

3

1

1

5

70

6

2

1

1

4

80

5

1

1

1

3

90

4

1

1

1

2*

100*

3

1

1

1

1

120

2

1

1

1

(Kaas, Goovaerts, Dhaene en Denuit, 2001, p.127) *De basispremie wordt aangegeven met een sterretje.

2.1 Het opstellen van de transitiematrix

Markov-processen zijn processen waarbij men zich in de tijd van de ene toestand naar de andere toestand begeeft met een bepaalde kans. Dit proces is geheugenloos: alle informatie van het systeem over het gedrag in de toekomst wordt door de huidige toestand gegeven, kennis van het proces uit het verleden voegt hier verder niets meer aan toe. Deze eigenschap noemt men de ‘Markov-eigenschap’.Een Markov-proces wordt gedefinieerd als een stochastisch proces met de Markov-eigenschap. Een stochastisch proces {X (t ), t ∈ T } is een verzameling

van willekeurige variabelen. Dat betekent dat X (t ) een willekeurige variabele is voor elke t ∈ T . De index t wordt vaak als tijd geïnterpreteerd en dan is X (t ) de toestand van een pro-

ces op tijd t. X (t ) kan bijvoorbeeld het aantal klanten in een winkel voorstellen op tijdstip t. Bonus-malussystemen zijn speciale gevallen van Markov-processen. Met behulp van Markov-

5 analyse (analyse van een systeem met de Markov-eigenschap) kan men bepalen welke proportie van beginnende rijders uiteindelijk op welke trede terechtkomt. Wanneer alle kansen om van de ene toestand naar de andere te gaan bekend zijn dan kunnen we een matrix opstellen waarin we deze kansen verwerken. Deze matrix noemen we de transitiematrix. Het element op de eerste rij op de eerste kolom van de matrix geeft bijvoorbeeld de kans weer om uit toestand 1 te blijven in toestand 1. In de verzekeringswereld kunnen de treden op de bonusmalusladder van de verzekeringsmaatschappij gezien worden als bepaalde toestanden waarin iemand zich kan bevinden. Met de overgangskansen van de ene trede naar de andere trede kan er dan een transitiematrix worden opgesteld. Als een verzekeringsmaatschappij gebruik maakt van een bonus-malussysteem met s klassen (dus verzekerden kunnen zich bevinden op s verschillende treden) dan kan specifieker gesteld worden dat: -

de verzekerden ingedeeld kunnen worden in klassen Ci (i = 1,..., s ) zodanig dat de jaarlijkse premie alleen afhangt van de klasse waarin men zich bevindt. Verder is de klasse Cs de klasse met het hoogste premieniveau en de klasse C1 is de klasse met de grootste korting (dus het laagste premieniveau).

-

verzekeringhouders starten in een bepaalde beginklasse Ci0 .

-

de klasse waarin de verzekerde zich in een bepaald jaar bevindt uniek bepaald wordt door de klasse waarin de verzekerde zich het jaar daarvoor bevond en het aantal schades dat de verzekerde in dat voorafgaande jaar gemaakt heeft.

Met de transitiematrix kan worden bepaald met welke kans de verzekerden zich in de verschillende treden zullen gaan bevinden, na een jaar, na tien jaar of zelfs na honderd jaar. Met deze informatie kan de verzekeringsmaatschappij voorspellingen doen en redelijke (toereikende) premies bepalen. De transitieregels in de tabel voor het NPSA-systeem kunnen algemener geformuleerd worden zodat ze voor ieder bonus-malussysteem met s klassen bruikbaar zijn voor verdere analyse van het systeem.De transitieregels kunnen gezien worden als transformaties Tk , zodanig dat Tk(i)=j als de polis van klasse Ci naar klasse Cj springt wanneer er

k schades gemeld worden. Tk kan geschreven worden in de vorm van een matrix Tk= (t(k)ij ). In deze matrix geldt dat wanneer bij k claims de verzekerde van trede i naar trede j gaat, voor t(k)ij een 1 staat en in andere gevallen staat er voor t(k)ij een 0.

6 Een voorbeeld: In de tabel van het NPSA-systeem staat dat als een verzekerde zich in trede 6 bevindt en 2 schades claimt in een jaar, hij teruggezet wordt in trede 1. In formulevorm geeft dit het vol( 2) gende element in de matrix Tk: t 61 =1.

Vaak wordt bij dit soort processen aangenomen dat de verdeling van het aantal claims een Poissonverdeling is met parameter λ . De Poissonverdeling blijkt bij gebeurtenissen die niet heel frequent voorkomen, zoals auto-ongelukken een goede benadering te zijn van de werkelijkheid. De parameter λ stelt de claimfrequentie voor. De kans om van trede i naar trede j te gaan voor een verzekerde met claimfrequentie λ is gelijk aan pij (λ ) .

∞

(1)

pij (λ ) = ∑ pk (λ )tij( k ) , waarbij pk (λ ) de kans is dat de verzekerde k claims in een jaar k =0

indient. Verder geldt dat pij (λ ) ≥ 0 en

s

∑ p (λ ) = 1 . j =1

ij

De matrix P(λ ) = ( pij (λ )) is de transitiematrix van dit Markov-proces (of Markov-keten). In deze matrix staan de kansen om van trede i naar trede j te gaan. ∞

(2)

P (λ ) = ( pij (λ )) = ∑ pk (λ )tij( k ) k =0

Met behulp van de Poissonverdeling wordt de kans op een claim bepaald:

(3)

pk (λ ) =

e−λ λ k , k!

met k het aantal claims en λ de claimfrequentie. De claimfrequentie wordt in verloop van tijd constant verondersteld (Lemaire, 1998).

7 Voor het NPSA-systeem zou dit resulteren in de volgende transitiematrix: ⎛ 1 − p0 ⎜ ⎜ 1 − p0 ⎜ 1 − p0 ⎜ ⎜ 1 − p0 ⎜1 − ∑ pk ⎜ ⎜1 − ∑ pk ⎜1 − p ∑ k P (λ ) = ⎜ − 1 ⎜ ∑ pk ⎜1 − p ⎜ ∑ k ⎜1 − ∑ pk ⎜ ⎜1 − ∑ pk ⎜1 − ∑ pk ⎜ ⎜1 − ∑ pk ⎜1 − p ⎝ ∑ k

p0 0

0 p0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 p1 0

0 0 0 p1

p0 0 0 0

0 p0 0 0

0 0 p0 0

0 0 0 p0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 p2 0

0 0 0 p2

p1 0 0 0

0 p1 0 0

0 0 p1 0

0 0 0 p1

p0 0 0 0

0 p0 0 0

0 0 p0 0

0 0 0 p0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

p2 0 0 0

0 p2 p2 0

0 0 0 p2

0 0 0 0

p1 0 0 0

0 p1 p1 0

0 0 0 p1

0 0 0 0

0 0 0 0

p0 0 0 0

0 p0 0 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ p0 ⎟ p0 ⎟⎠

n

Hierin is 1 − ∑ pk ≡ 1 −∑ pk met de som van alle rijkansen gelijk aan 1. k =0

2.2 De stationaire verdeling zonder no-claim beschermer

Op tijdstip nul worden de kansen voor elke rijder om zich in staat j=1,2,…,s te bevinden r weergegeven in de initiele rijvector l (λ ) .

(4)

r l (λ ) = (l1 (λ ),..., ls (λ ))

Gegeven de verdelingsvector in willekeurig jaar t kan de verdelingsvector in het daaropvolgende jaar worden bepaald door de verdelingsvector in het jaar t te vermenigvuldigen met de transitiematrix.

(5)

r( t ) r(t +1) l P (λ ) = l

Als de verdeling niet meer verandert in de tijd dan is er sprake van een stationaire verdeling.

8 Er geldt:

r r (6) l (t ) = l (t +1)

De stationaire verdeling is dus de verdeling die na verloop van tijd ontstaat en die niet meer verandert. Als deze verdeling bekend is dan kan een verzekeringsmaatschappij met deze kennis voorspellingen doen over de in de toekomst te ontvangen premies als deze stationaire verr T deling eenmaal bereikt is. Samen met de premievector b = (b1 ... b j ... bn ) , waarin b j de premie op trede j voorstelt, kan de gemiddelde premie bepaald worden:

(7)

r(t ) r (t ) B (λ ) = l (λ )b .

Als de stationaire verdeling eenmaal bereikt is, kan dus ook gesteld worden dat de premiepercentages na verloop van tijd constant zijn (Lemaire, 1998).

2.3 De stationaire verdeling met no-claim beschermer

Na een schade kan een verzekerde een fors aantal treden terugvallen op de bonusmalusladder. Door het claimen van de schade verliest de verzekerde zijn opgebouwde noclaimkorting en gaat in het komende jaar en in de komende jaren een hogere premie betalen. Met de no-claim beschermer heeft de verzekerde het recht om maximaal één keer per jaar een schade te laten repareren zonder dat dit gevolgen heeft voor de opgebouwde no-claimkorting. Wel wordt het aantal schadevrije jaren naar beneden aangepast. Dit heeft tot gevolg dat wanneer een verzekerde overstapt naar een andere maatschappij, het aantal schadevrije jaren wordt meegenomen. Dit aantal schadevrije jaren wordt bij de nieuwe verzekeringsmaatschappij gebruikt bij de bepaling van de startpremie. Als we ervan uitgaan dat het aantal claims in elk jaar een Poisson( λ )-verdeling aanneemt dan geldt voor het nieuwe systeem:

(8)

p0 (λ ) =

e−λ λ 0 e−λ λ1 e− λ λ 2 e − λ λ −3 + , p1 (λ ) = , p2 (λ ) = , 0! 1! 2! 3!

p3 (λ ) = 1 − ( p0 (λ ) + p1 (λ ) + p2 (λ ))

9 De bonus-malusladder ziet er nu voor het NPSA-systeem als volgt uit:

Tabel 2 De bonus-malusladder van het NPSA met no-claim beschermer NPSA


Trede

Premiepercentage 0

1

2

3

4+

14

30

14

14

9

5

1

13

32,5

14

14

8

4

1

12

35

13

13

8

4

1

11

37,5

12

12

7

3

1

10

40

11

11

7

3

1

9

45

10

10

6

2

1

8

50

9

9

5

1

1

7

55

8

8

4

1

1

6

60

7

7

3

1

1

5

70

6

6

2

1

1

4

80

5

5

1

1

1

3

90

4

4

1

1

1

2*

100*

3

3

1

1

1

1

120

2

2

1

1

1

Bij één schade blijft de bonus-maluskorting dus onaangetast. De transitiematrix blijft in vorm onveranderd. De kansen die in de matrix staan, veranderen echter wel zoals hierboven beschreven. De kans om bijvoorbeeld uit trede 14 in trede 14 te blijven is nu de kans op nul schades plus de kans op één schade.

10 3 Maatstaven bij het vergelijken van de verzekeringsmaatschappijen

Elke verzekeringsmaatschappij heeft zijn eigen bonus-malussysteem. Met no-claim beschermer is het systeem anders dan zonder no-claim beschermer. Aan de hand van de hieronder beschreven maatstaven zullen niet alleen de verzekeringsmaatschappijen met elkaar vergeleken worden, ook zullen de systemen afzonderlijk onderzocht worden op verschillen tussen het systeem met no-claim beschermer en het systeem zonder no-claim beschermer. Ook zal er onderscheid worden gemaakt tussen goede rijders met claimfrequentie λ =0,05, gemiddelde rijders met claimfrequentie λ =0,10 en slechte rijders met claimfrequentie

λ =0,20. De volgende maatstaven worden gebruikt: 1)

Het gemiddelde premieverloop en de gemiddelde stationaire premie Aan de hand van verschillende claimfrequenties kan het gemiddelde premieverloop voor deze claimfrequenties berekend worden. De gemiddelde stationaire premie is de premie die na verloop van tijd bereikt wordt als het systeem ‘stationair’ is. In R kan de stationaire verdeling op meerdere manieren bepaald worden. De eerste manier die in deze scriptie gebruikt wordt is de benaderende manier. In R zal de initiër le rijvector l (λ ) 1024 keer met de transitiematrix P( λ ) worden vermenigvuldigd, dit zal resulteren in de verdeling na 1024 jaar. Deze verdeling is dan de stationaire verdeling. Verder kan in R het verloop van een verzekerde met een bepaalde schadefrequentie gesimuleerd worden voor rijders met verschillende schadefrequenties. De simulatie is de tweede manier die in deze scriptie gebruikt wordt om de stationaire verdeling te verkrijgen.

2)

De efficiëntie De efficiëntie van een bonus-malussysteem wordt gedefinieerd als: e(λ ) =

λ db(λ ) d log b(λ ) = . b (λ ) d λ d log λ

Deze zogenaamde Loimaranta- efficiëntie geeft de elasticiteit van de stationaire premie met betrekking tot λ weer. Dus de verandering van de stationaire premie bij een verandering van de schadefrequentie met bijvoorbeeld 10%. Maken we deze verandering van de schadefrequentie steeds kleiner dan worden steeds exactere waarden van de efficiëntie behorend bij een bepaalde schadefrequentie verkregen. Dan kan de effi-

11 ciëntie voor verschillende waarden van de schadefrequentie in een grafiek worden weergegeven.

3)

Het relatieve stationaire gemiddelde premieniveau Er zijn heel wat varianten van bonus-malussystemen in gebruik. De vergelijking van de stationaire gemiddelde niveaus wordt hierdoor bemoeilijkt. Daarom is de volgende grootheid gedefinieerd: .

RSAL=

stationair gemiddeld niveau - minimumniveau , 0
Het relatieve gemiddelde stationaire niveau (Relative Stationary Average Level of RSAL) geeft aan hoe de verzekerden verdeeld zijn over de verschillende treden. Hoe groter het RSAL, hoe beter de de verzekerden over de verschillende treden verdeeld zullen zijn. Als het RSAL laag is dan bevinden de verzekerden zich hoofdzakelijk in de hoogste klassen (Lemaire, 1994).

4)

De optimale retentie De optimale retentie is het bedrag dat een verzekerde bereid is zelf te betalen om zijn no-claimkorting te behouden. Vergelijken we de verzekeringsmaatschappijen zonder toevoeging van de no-claim beschermer dan wordt duidelijk bij welke maatschappij de ‘honger naar bonus’ het grootste is. In deze scriptie gebruik gemaakt van een vereenvoudigd model: ∞

Optimale retentie= ∑ d t (b cj (t ) − b nc op trede j voor j ∈ {1,..., n}. j (t )) t =1

Hierin is d een disconteringsfactor. Gekozen is voor d als verschil in rekenrente (ongeveer 4%) en rente op staatsobligaties (ongeveer 2%), dus d=2%. In woorden is de optimale retentie dus gelijk aan de contante waarde van het verschil tussen de toekomstige premies wanneer wel wordt geclaimd ( b cj ) en de toekomstige premies wanneer niet wordt geclaimd ( b nc j ). Hier wordt er vanuit gegaan dat alleen in het eerste jaar ge-

12 kozen wordt tussen wel of niet claimen. Voor de berekening van de optimale retentie wordt uitgegaan van een beginnend rijder met in zijn eerste drie rijjaren een schadefrequentie van 0,20, vervolgens in de dertig jaren die daarop volgen een schadefrequentie van 0,05 en in de laatste zeven jaar een schadefrequentie van 0,10. In totaal dus veertig rijjaren.

Voor de berekening van de gegevens wordt gebruik gemaakt van het programma R. R is een programma met uitgebreide statistische en grafische mogelijkheden. De scripts die gebruikt zijn, zijn bijgevoegd in de bijlage (bijlage 3). Voor elke verzekeringsmaatschappij zal het gemiddelde premieverloop, de gemiddelde stationaire premie, de efficiëntie en de relatieve stationaire gemiddelde premie onderzocht worden voor verschillende schadefrequenties. Ook zal voor elke trede van elke verzekeringsmaatschappij de optimale retentie berekend worden. Andere kenmerken die nodig zijn bij het onderzoek zijn eveneens bijgevoegd in de bijlage. Bijlage 1 bevat de volgende kenmerken van de verzekeringsmaatschappijen: 1. het aantal treden in het systeem; 2. de hoogste premie met no-claim beschermer; 3. de hoogste premie zonder no-claim beschermer; 4. de laagste premie met no-claim beschermer; 5. de laagste premie zonder no-claim beschermer; 6. de instaptrede voor een nieuwe verzekerde (zonder schadeverleden); 7. het aantal schades waarbij men ongeacht de huidige positie op de bonus-malusladder terugvalt naar de laagste trede; 8. de basispremie, op deze basispremie wordt op de verschillende treden korting verleend; 9. de premie die gevraagd wordt bij afsluiten van de verzekering; 10. de kosten van de no-claim beschermer; 11. de premie inclusief kosten van de no-claim beschermer. Bijlage 2 bevat de bonus-malusladders met no-claim beschermer van de vier verzekeringsmaatschappijen.

13

4. Vergelijking tussen de bonus-malussystemen met en zonder no-claim beschermer De in hoofdstuk drie gedefinieerde maatstaven worden in dit hoofdstuk gebruikt om de verschillende bonus-malussystemen met elkaar te vergelijken. Voor elke verzekeringsmaatschappij zal het gemiddelde premieverloop, de gemiddelde stationaire premie, de efficiëntie en de relatieve stationaire gemiddelde premie onderzocht worden voor verschillende schadefrequenties. De optimale retentie wordt ten slotte berekend voor elke trede van de bonusmalusladder van de verschillende verzekeringsmaatschappijen. Verder wordt er een onderscheid gemaakt tussen systemen met en zonder no-claim beschermer.

4.1. Gemiddelde premieverloop en gemiddelde stationaire premie De no-claim beschermer als aanvullende verzekering kost een bepaald percentage van de basispremie.Voor berekening van het gemiddelde premieverloop en stationaire premie moeten de kortingspercentages in de bonus-malussystemen dus verlaagt worden met dit percentage. Voor verschillende claimfrequenties worden in onderstaande tabel de gemiddelde premies weergegeven op tijdstip t=1, t=10, t=20, t=30 en t=60 zowel met als zonder no-claim beschermer. Verder is een kolom toegevoegd met de gemiddelde premie in dertig jaar.

14

Tabel 3a Gemiddelde premieverloop Centraal

Claimfrequentie

Beheer

Gemiddelde

Gemiddelde

Gemiddelde

Gemiddelde

Gemiddelde

Gemiddelde

premie na 1

premie

premie

premie

premie

premie

jaar

10 jaar

20 jaar

30 jaar

30 jaar

60 jaar

na

na

na

in

Met

no-

λ =0,05

72,89

30,56%

30,33%

30,33%

35,91%

30,33%

claim

be-

λ =0,10

73,05%

31,23%

30,35%

30,34%

36,15%

30,34%

schermer

λ =0,20

73,66%

33,84%

30,68%

30,50%

37,20%

30,49%

Zonder no-

λ =0,05

69,82%

34,78%

27,34%

26,10%

35,03%

25,84%

claim

λ =0,10

72,02%

44,83%

35,01%

31,81%

42,49%

30,20%

λ =0,20

76,11%

62,78%

56,64%

54,13%

60,77%

52,41%

be-

schermer ANWB Met

no-

λ =0,05

57,19%

22,25%

22,12%

22,12%

26,83%

22,12%

claim

be-

λ =0,10

57,38%

22,64%

22,13%

22,13%

26,97%

22,13%

schermer

λ =0,20

58,12%

24,19%

22,24%

22,22%

27,59%

22,22%

Zonder no-

λ =0,05

57,72%

25,93%

20,71%

20,34%

27,17%

20,31%

claim

λ =0,10

60,37%

32,78%

24,27%

22,45%

31,46%

21,94%

λ =0,20

65,50%

47,77%

39,62%

36,41%

45,20%

34,34%

be-

schermer Univé Met

no-

λ =0,05

66,28%

35,39%

35,21%

35,21%

39,34%

35,21%

claim

be-

λ =0,10

66.47%

35,94%

35,22%

35,22%

39,54%

35,22%

schermer

λ =0,20

67,18%

38,11%

35,44%

35,31%

40,44%

35,30%

Zonder no-

λ =0,05

58,66%

33,32%

26,87%

25,86%

33,03%

25,58%

claim

λ =0,10

61,23%

42,60%

33,90%

31,12%

40,04%

29,31%

λ =0,20

66,14%

61,06%

55,76%

53,64%

58,76%

51,82%

be-

schermer Polis Direct Met

no-

λ =0,05

74,15%

28,79%

28,50%

28,50%

35,90%

28,50%

claim

be-

λ =0,10

74,29%

29,64%

28,55%

28,52%

36,18%

28,52%

schermer

λ =0,20

74,83%

32,84%

29,10%

28,72%

37,40%

28,70%

Zonder no-

λ =0,05

66,73%

35,18%

28,03%

26,19%

35,90%

25,80%

claim

λ =0,10

68,42%

44,84%

36,08%

32,20%

43,10%

30,12%

λ =0,20

71,69%

61,86%

56,70%

54,07%

60,32%

52,13%

be-

schermer

na

15 De gemiddelde premie in dertig jaar kunnen we ook in euro’s berekenen:

Tabel 3b Gemiddelde premie in dertig jaar in euro’s Centraal

Claimfrequentie

Beheer

Gemiddelde premie

in

30 jaar in euro’s Met

no-

λ =0,05

370,79

claim

be-

λ =0,10

373,27

schermer

λ =0,20

384,11

Zonder no-

λ =0,05

361,71

claim

λ =0,10

438,73

λ =0,20

627,49

be-

schermer ANWB Met

no-

λ =0,05

492,81

claim

be-

λ =0,10

495,38

schermer

λ =0,20

506,77

Zonder no-

λ =0,05

499,06

claim

λ =0,10

577,86

λ =0,20

830,23

be-

schermer Univé Met

no-

λ =0,05

418,68

claim

be-

λ =0,10

420,80

schermer

λ =0,20

430,38

Zonder no-

λ =0,05

351,52

claim

λ =0,10

426,13

λ =0,20

625,35

be-

schermer Polis Direct Met

no-

λ =0,05

263,88

claim

be-

λ =0,10

265,93

schermer

λ =0,20

274,90

Zonder no-

λ =0,05

263,88

claim

λ =0,10

316,80

λ =0,20

443,37

be-

schermer

16 In tabel 3a is het verloop van de gemiddelde premie weergegeven. In tabel 3b is de gemiddelde premie in dertig jaar omgerekend in euro’s. In deze tabel is te zien dat de premies voor slechte rijders zonder afsluiting van een no-claim beschermer veel hoger liggen dan de premies voor slechte rijders die wel een no-claim beschermer hebben afgesloten. De gemiddelde stationaire premie kan in R benaderd worden of door middel van simulatie geschat worden. In de volgende tabel wordt de gemiddelde stationaire premie voor verschillende schadefrequenties weergegeven. Verder is in de tabel de stationaire premie in euro’s weergegeven. Dit is de premie die de verzekerden gaan betalen als de stationaire situatie is ontstaan.

Tabel 4 De gemiddelde stationaire premie en stationaire premie Centraal Beheer

Met

Gemiddelde statio-

Gemiddelde stati-

Stationaire

naire premie; be-

onare

mie in euro’s

naderend

m.b.v. simulatie

λ =0,05

30,33%

30,33%

313,18

λ =0,10

30,34%

30,35%

313,38

λ =0,20

30,49%

30,50%

314,93

no-

λ =0,05

25,84%

25,85%

266,92

bescher-

λ =0,10

30,13%

30,10%

310,80

λ =0,20

52,26%

51,73%

534,14

λ =0,05

22,12%

22,12%

264,10

λ =0,10

22,13%

22,13%

264,21

λ =0,20

22,22%

22,22%

265,29

λ =0,05

20,31%

20,30%

242,37

λ =0,10

21,94%

21,94%

261,95

λ =0,20

34,19%

34,02%

406,17

λ =0,05

35,21%

35,21%

374,72

λ =0,10

35,22%

35,22%

374,83

no-claim

beschermer

Zonder claim mer

Schadefrequentie

premie;

ANWB Met

no-claim

beschermer

Zonder claim

nobescher-

mer

Univé Met

no-claim

beschermer

pre-

17

Zonder claim

no-

λ =0,20

35,30%

35,30%

375,68

λ =0,05

25,58%

25,57%

272,13

λ =0,10

29,20%

29,17%

310,44

λ =0,20

51,61%

50,94%

542,13

λ =0,05

28,50%

28,50%

209,48

λ =0,10

28,52%

28,52%

209,63

λ =0,20

28,70%

28,70%

210,95

λ =0,05

25,80%

25,78%

189,49

λ =0,10

30,00%

29,96%

220,21

λ =0,20

51,92%

51,23%

376,56

bescher-

mer

Polis Direct Met

no-claim

beschermer

Zonder claim

nobescher-

mer

Voor alle verzekeringsmaatschappijen behalve Polis Direct geldt dat de gemiddelde stationaire premie zonder no-claim beschermer lager is voor goede rijders (schadefrequentie 0,05) en gemiddelde rijders (schadefrequentie 0,10). Voor slechte rijders met schadefrequentie 0,20 is de gemiddelde stationaire premie met no-claim beschermer lager. Voor Polis Direct geldt dat de gemiddelde stationaire premie met no-claim beschermer voor slechte rijders en gemiddelde rijders lager is dan de gemiddelde stationaire premie zonder no-claim beschermer. Voor goede rijders is de verzekering zonder no-claim beschermer voordeliger.

4.2 De efficiëntie De efficiëntie e(λ ) =

λ db(λ ) d log b(λ ) geeft de elasticiteit weer van de gemiddelde = b (λ ) d λ d log λ

stationaire premie met betrekking tot λ . Dus de verandering van de gemiddelde stationaire premie bij een verandering van de schadefrequentie. De efficiëntie van de bonusmalussystemen met en zonder no-claim beschermer wordt in de volgende grafieken grafisch weergegeven.

18

Grafiek 1 Efficiëntie van de bonusmalussystemen met no-claim beschermer (links) en zonder no-claim beschermer (rechts) Centraal Beheer

ANWB

19

Univé

Polis Direct

In bovenstaande grafieken is te zien dat de gemiddelde stationaire premie vrijwel niet reageert op een verandering in de schadefrequentie. Pas bij schadefrequenties boven 0,20 gaat de gemiddelde stationaire premie stijgen bij een verandering in de schadefrequentie. In de volgende tabel worden de numerieke waarden van de efficiëntie voor λ =0,05, λ =0,10 en λ =0,20 weergegeven. Hier wordt de efficiëntie berekend als de relatieve verandering in de gemiddelde stationaire premie bij een stijging van de claimfrequentie λ met 10%.

20

Tabel 5 Efficiëntie voor verschillende schadefrequenties Centraal Beheer Met

no-claim

be-

schermer

Zonder

no-claim

beschermer

Schadefrequentie

Efficiëntie

λ =0,05

0,0002

λ =0,10

0,0019

λ =0,20

0,0240

λ =0,05

0,0916

λ =0,10

0,5064

λ =0,20

0,9550

λ =0,05

0,0002

λ =0,10

0,0017

λ =0,20

0,0183

λ =0,05

0,0428

λ =0,10

0,2853

λ =0,20

1,1666

λ =0,05

0,0000

λ =0,10

0,0009

λ =0,20

0,0128

λ =0,05

0,0698

λ =0,10

0,4814

λ =0,20

1,0373

λ =0,05

0,0002

λ =0,10

0,0025

λ =0,20

0,0314

λ =0,05

0,0886

λ =0,10

0,5036

λ =0,20

0,9442

ANWB Met

no-claim

be-

schermer

Zonder

no-claim

beschermer

Univé Met

no-claim

be-

schermer

Zonder

no-claim

beschermer

Polis Direct Met

no-claim

be-

schermer

Zonder

no-claim

beschermer

21 Wat in de grafieken al te zien was blijkt ook uit de numerieke waarden van de efficiëntie. De efficiëntie is heel laag voor alle vier verzekeringsmaatschappijen met no-claim beschermer en met schadefrequenties lager of gelijk aan 0,20.

4.3 RSAL De relatieve stationaire gemiddelde premie geeft aan hoe de polishouders over de treden van de bonus-malusladder verdeeld zijn. Een hoge RSAL betekent meer spreiding van de polishouders over de treden.

Tabel 7 De relatieve stationaire gemiddelde premie (RSAL) Centraal Beheer Met

no-claim

be-

schermer

Zonder

no-claim

beschermer

Schadefrequentie

RSAL

λ =0,05

0

λ =0,10

0,0000

λ =0,20

0,0002

λ =0,05

0,0009

λ =0,10

0,057

λ =0,20

0,3029

λ =0,05

0

λ =0,10

0,0000

λ =0,20

0,0001

λ =0,05

0,0003

λ =0,10

0,0162

λ =0,20

0,1183

λ =0,05

0

λ =0,10

0,0000

λ =0,20

0,0001

λ =0,05

0,0006

λ =0,10

0,04

λ =0,20

0,2534

ANWB Met

no-claim

be-

schermer

Zonder

no-claim

beschermer

Univé Met

no-claim

be-

schermer

Zonder

no-claim

beschermer

22 Polis Direct Met

no-claim

be-

λ =0,05

-0,0738

λ =0,10

-0,0736

λ =0,20

-0,0717

λ =0,05

0,0008

λ =0,10

0,0526

λ =0,20

0,2834

λ =0,05

0

λ =0,10

0,0000

λ =0,20

0,0001

λ =0,05

0,0003

λ =0,10

0,0162

λ =0,20

0,1183

schermer

Zonder

no-claim

beschermer

Unigarant Met

no-claim

be-

schermer

Zonder

no-claim

beschermer

Deze verdeling van de polishouders over de treden kan ook grafisch worden weergegeven. In de volgende grafieken wordt de verdeling na één jaar met rondjes aangeduid. De verdeling na zestig jaar wordt met plustekens weergegeven.

23

Grafiek 2 De verdeling van de polishouders over de treden met no-claim beschermer (links) en zonder no-claim beschermer (rechts) Centraal Beheer

ANWB

24

Univé

Polis Direct

In de grafieken is te zien dat alle verzekerden die een no-claim beschermer hebben afgesloten zich vooral in de hoogste klassen gaan bevinden in verloop van tijd. De verzekerden zijn bij systemen zonder no-claim beschermer veel meer over de klassen verspreid.

4.4 Optimale retentie De optimale retentie geeft het bedrag (in procenten van de basispremie) dat de verzekerde bereid is te betalen voor een schade als hij geen no-claim beschermer heeft afgesloten en dus

25 kan dalen op de bonus-malusladder als de verzekerde de schade meldt bij de verzekeringsmaatschappij. De kosten van de no-claim beschermer in procenten van de basispremie staan vemeld in Bijlage 1. Een optimale retentie groter dan de basispremie plus de kosten van de no-claim beschermer betekent dan dat de verzekerde bereid is de kosten van de no-claim beschermer te dragen.

Tabel 8 Optimale retentie Trede

Centraal

Be-

ANWB

Univé

Polis Direct

heer 1

68,17%

108,13%

80,58%

72,14%

2

122,47%

198,89%

159,82%

139,98%

3

172,36%

150,47%

227,22%

199,73%

4

225,44%

210,74%

198,49%

176,64%

5

283,44%

158,85%

245,86%

220,17%

6

261,49%

126,66%

197,34%

189,84%

7

248,18%

157,28%

231,68%

227,95%

8

234,93%

190,89%

271,21%

199,80%

9

210,42%

157,93%

236,09%

234,05%

10

172,83%

142,19%

212,85%

213,08%

11

196,12%

133,97%

186,94%

194,16%

12

166,06%

77,21%

174,30%

180,85%

13

136,38%

54,94%

153,17%

159,74%

14

107,74%

34,99%

123,49%

139,15%

15

81,88%

15,69%

98,94%

113,70%

16

87,16%

75,98%

92,69%

17

94,91%

58,72%

73,79%

18

35,00%

42,74%

52,38%

19

35,00%

29,54%

35,38%

20

35,00%

Voor Centraal Beheer is de optimale retentie op trede twee tot en met veertien groter dan de basispremie plus de kosten van de no-claim beschermer. De optimale retentie is voor de ANWB groter dan de basispremie plus de kosten van de no-claim beschermer op trede één tot en met elf. Voor Univé en Polis Direct is de optimale retentie groter dan de basispremie plus de kosten van de no-claim beschermer op trede twee tot en met dertien.

26

Conclusies In deze scriptie is onderzocht wat voor invloed de invoering van de no-claim beschermer op een bonus-malussysteem heeft. Verder is er voor vier verschillende verzekeringsmaatschappijen die werken met de no-claim beschermer een vergelijking gemaakt aan de hand van de volgende maatstaven: het gemiddelde premieverloop, de stationaire premie, de efficiëntie, de relatieve stationaire gemiddelde premie (RSAL) en de optimale retentie. Op basis van de verkregen resultaten kunnen de volgende conclusies worden getrokken. Voor alle verzekeringsmaatschappijen behalve Polis Direct geldt dat de gemiddelde stationaire premie zonder no-claim beschermer lager is voor goede rijders (schadefrequentie 0,05) en gemiddelde rijders (schadefrequentie 0,10). Voor slechte rijders met schadefrequentie 0,20 is de gemiddelde stationaire premie met no-claim beschermer lager. Voor Polis Direct geldt dat de gemiddelde stationaire premie met no-claim beschermer voor slechte én gemiddelde rijders lager is dan de gemiddelde stationaire premie zonder no-claim beschermer. Voor goede rijders is het bij alle verzekeringsmaatschappijen onvoordelig een no-claim beschermer af te sluiten. Voor slechte rijders is het bij alle verzekeringsmaatschappijen juist wel voordelig een noclaim beschermer af te sluiten. Alleen bij Polis Direct is het ook voor gemiddelde rijders voordelig een no-claim beschermer af te sluiten. De gemiddelde premie in 30 jaar is het hoogste bij de ANWB en het laagste bij Polis Direct. De gemiddelde stationaire premie is het hoogste bij Univé en het laagste bij Polis Direct. Bonus-malussystemen met no-claim beschermer zijn erg inefficiënt. De verandering van de gemiddelde stationaire premie ten opzichte van de verandering in de schadefrequentie is voor schadefrequenties lager dan 0,25 bijna nihil. Dit geldt voor alle verzekeringsmaatschappijen. De relatieve stationaire gemiddelde premies zijn voor alle bonus-malussystemen met no-claim beschermer erg laag. Dat wil zeggen dat de polishouders zich vooral bevinden in de hoogste treden. De verdeling over de treden is gelijkmatiger voor systemen zonder no-claim beschermer. Voor de verzekeringsmaatschappijen betekent dit dus lagere inkomsten uit premies. Uit de optimale retentie blijkt dat verzekerden bij alle verzekeringsmaatschappijen op de meeste treden bereid zijn de kosten van de no-claim beschermer te dragen. Sluit een nieuwe verzekerde een no-claim beschermer af en maakt hij wél schade dan vindt er een terugval plaats in het aantal schadevrije jaren. Dit betekent dat de verzekerde wel kan stijgen op de

27 bonus-malusladder maar dat het aantal schadevrije jaren wel wordt teruggebracht. Wil deze verzekerde nu overstappen naar een andere verzekeringsmaatschappij dan wordt bij de bepaling van de nieuwe basispremie rekening gehouden met dit werkelijke aantal schadevrije jaren. Deze nieuwe basispremie kan dan een stuk hoger zijn. Met de no-claim beschermer bindt de verzekeringsmaatschappij op deze manier klanten. Zijn dit echter vooral slechte rijders dan zit de verzekeringsmaatschappij vast aan deze klanten die de verzekeringsmaatschappij geld gaan kosten.

28

Bibliografie

ANWB. www.anwb.nl, 1 mei 2007. ASTIN Nederland (1982). New motor rating structure in the Netherlands, Astin-groep Nederland. Centraal Beheer. www.centraalbeheer.nl, 1 mei 2007. Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J. en Denuit, M. (2001). Modern Actuarial Risk Theory. Lemaire, J. (1985). Automobile Insurance: Actuarial Models, Dordrecht: Kluwer. Loimaranta, K. (1972). Some asymptotic properties of bonus systems, Astin Bulletin, vol.6 no. 3 , 233-245. Lemaire, J. en Zi, H. (1994). A comparative analysis of 30 bonus-malus systems, Astin Bulletin, Vol. 24, No. 2, 287-309. Polis Direct. www.polisdirect.nl, 1 mei 2007. Univé. www.unive.nl, 1 mei 2007.

29

Bijlage

Bijlage 1

Kenmerken van de verzekeringsmaatschappijen -het aantal treden in het systeem; -de hoogste premie met no-claim beschermer; -de hoogste premie zonder no-claim beschermer; -de laagste premie met no-claim beschermer; -de laagste premie zonder no-claim beschermer; -de instaptrede voor een nieuwe verzekerde (zonder schadeverleden); -het aantal schades waarbij men ongeacht de huidige positie op de bonus-malusladder terugvalt naar de laagste trede; -de basispremie, op deze basispremie wordt op de verschillende treden korting verleend; -de premie die gevraagd wordt bij afsluiten van de verzekering; -de kosten van de no-claim beschermer; -de premie inclusief kosten van de no-claim beschermer. N.B. De gehanteerde premie per verzekeringsmaatschappij is de premie voor een nieuwe verzekerde met nul schadevrije jaren en de bezitter van een Mitsubishi Colt, 1.6 GLXI HatchBack 3 deurs. Verder betreft het een WA-verzekering.

Centraal Beheer •

twintig treden, (1-20);

•

hoogste premie 120,33% met no-claim beschermer;

•

hoogste premie 115% zonder no-claim beschermer;

30

•

laagste premie 30,33% met no-claim beschermer;

•

laagste premie 25% zonder no-claim beschermer;

•

instaptrede: 4, bij 4 schades of meer in een jaar valt een verzekerde zonder no-claim beschermer altijd terug naar de laagste trede, met no-claim beschermer valt de verzekerde bij 5 schades of meer altijd terug naar de laagste trede.

•

Basispremie: €1032,56;

•

Premie : €774,42 (25% no-claimkorting op de basispremie);

•

No-claim beschermer: €55,00 (5,33% van de basispremie);

•

Premie inclusief no-claim beschermer: €829,42 (80,33% van de basispremie).

ANWB •

vijftien treden, (1-15);

•


•


•


•


•

instaptrede: 4;

•

bij 4 schades in een jaar valt een verzekerde zonder no-claim beschermer altijd terug naar de laagste trede, met no-claim beschermer valt de verzekerde bij 5 schades altijd terug naar de laagste trede.

•


•

Premie: €1193,92 (35% no-claimkorting op de basispremie)

•


•


Univé •

negentien treden, (1-19);

•


•


•


•


•

instaptrede: 5;

31

•

bij 4 schades in een jaar valt een verzekerde zonder no-claim beschermer altijd terug naar de laagste trede, met no-claim beschermer valt de verzekerde bij 5 schades altijd terug naar de laagste trede.

•


•

Premie : €691,76 (35% no-claimkorting op de basispremie);

•


•


Polis Direct •

negentien treden, (1-19);

•


•


•


•


•

instaptrede: 4;

•

bij 3 schades of meer in een jaar valt een verzekerde zonder no-claim beschermer altijd terug naar de laagste trede, met no-claim beschermer valt de verzekerde bij 4 schades of meer altijd terug naar de laagste trede.

•


•

Premie: €551,27 (25% no-claimkorting op de basispremie)

•

No-claim beschermer: €77,28 (14% van de netto premie, 10,51% van de basispremie);

•


32

Bijlage 2 Tabel 9 Bonus-malusladder Centraal Beheer met no-claim beschermer Centraal Beheer


Trede

Kortingspercentage 0

1

2

3

4

5+

20

75%

20

20

13

8

4

1

19

75%

20

20

13

8

4

1

18

75%

19

19

13

8

4

1

17

75%

18

18

10

8

4

1

16

75%

17

17

10

8

4

1

15

75%

16

16

10

6

2

1

14

75%

15

15

9

5

1

1

13

75%

14

14

8

4

1

1

12

72.5%

13

13

7

3

1

1

11

67.5%

12

12

6

2

1

1

10

62.5%

11

11

6

2

1

1

9

57.5%

10

10

5

1

1

1

8

52.5%

9

9

4

1

1

1

7

47.5%

8

8

3

1

1

1

6

42.5%

7

7

2

1

1

1

5

32.5%

6

6

1

1

1

1

4

25%

5

5

1

1

1

1

3

15%

4

4

1

1

1

1

2

5%

3

3

1

1

1

1

1

-15%

2

2

1

1

1

1

33

Tabel 10 Bonus-malusladder ANWB met no-claim beschermer ANWB


Trede


1

2

3

4

5+

15

80%

15

15

12

8

4

1

14

80%

15

15

11

7

3

1

13

80%

14

14

10

6

3

1

12

80%

13

13

9

5

2

1

11

75%

12

12

7

4

2

1

10

70%

11

11

6

4

1

1

9

65%

10

10

5

3

1

1

8

60%

9

9

4

3

1

1

7

55%

8

8

4

2

1

1

6

50%

7

7

4

2

1

1

5

45%

6

6

3

1

1

1

4

35%

5

5

2

1

1

1

3

20%

4

4

2

1

1

1

2

-10%

3

3

1

1

1

1

1

-40%

2

2

1

1

1

1

34

Tabel 11 Bonus-malusladder Univé met no-claim beschermer

Univé


Trede


1

2

3

4+

19

75%

19

19

14

10

6

18

75%

19

19

13

9

5

17

75%

18

18

12

8

4

16

75%

17

17

11

7

3

15

75%

16

16

10

6

3

14

75%

15

15

9

5

2

13

74%

14

14

8

4

2

12

70%

13

13

7

3

1

11

66%

12

12

6

3

1

10

62%

11

11

5

2

1

9

58%

10

10

4

2

1

8

54%

9

9

3

2

1

7

50%

8

8

3

1

1

6

44%

7

7

3

1

1

5

35%

6

6

2

1

1

4

25%

5

5

2

1

1

3

10%

4

4

1

1

1

2

-10%

3

3

1

1

1

1

-30%

2

2

1

1

1

35

Tabel 12 Bonus-malusladder Polis Direct met no-claim beschermer

Polis Direct


Trede


1

2

3

4+

19

75%

19

19

14

9

1

18

75%

19

19

13

8

1

17

75%

18

18

12

7

1

16

75%

17

17

11

6

1

15

75%

16

16

10

5

1

14

75%

15

15

9

4

1

13

70%

14

14

8

3

1

12

65%

13

13

7

2

1

11

62,5%

12

12

6

2

1

10

60%

11

11

5

2

1

9

55%

10

10

4

1

1

8

50%

9

9

4

1

1

7

45%

8

8

3

1

1

6

40%

7

7

3

1

1

5

35%

6

6

2

1

1

4

25%

5

5

2

1

1

3

15%

4

4

1

1

1

2

0%

3

3

1

1

1

1

-20%

2

2

1

1

1

36

Bijlage 3

Script 1 Gemiddelde premieverloop met no-claim beschermer (ANWB) Next <- rbind(c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,9,10,11,12), c( 1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) BM.frac

<-

c(142.12,112.12,82.12,67.12,57.12,52.12,47.12,42.12,37.12,32.12,27.12,22.12 ,22.12,22.12,22.12)/100

FillP <- function (p) {PP <- matrix(0,nrow=15,ncol=15) for (k1 in 1:6) for (b in 1:15) PP[b,Next[k1,b]] <- PP[b,Next[k1,b]] + p[k1] PP} lbs <- 0.20 pp

<-

dpois(0:4,

lbs);

P

<-

FillP(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],pp[5],1-

sum(pp))) a <- c(0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) aP <- matrix(0, nrow=100, ncol=15) aP[1,] <- t(a)%*%P pr <- numeric(100) for (k in 2:100) { aP[k,] <- aP[k-1,]%*%P pr[k] <- aP[k,]%*%BM.frac }

37

Script 2 Gemiddelde premieverloop zonder no-claim beschermer (ANWB) Next <- rbind(c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,9,10,11,12), c( 1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) BM.frac <- c(140,110,80,65,55,50,45,40,35,30,25,20,20,20,20)/100

FillP <- function (p) {PP <- matrix(0,nrow=15,ncol=15) for (k1 in 1:5) for (b in 1:15) PP[b,Next[k1,b]] <- PP[b,Next[k1,b]] + p[k1] PP} lbs <- 0.20 pp <- dpois(0:3, lbs); P <- FillP(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],1-sum(pp))) a <- c(0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) aP[1,] <- t(a)%*%P pr <- numeric(100) for (k in 2:100) { aP[k,] <- aP[k-1,]%*%P pr[k] <- aP[k,]%*%BM.frac }

38

Script 3 De gemiddelde stationaire premie met no-claim beschermer (ANWB) Next <- rbind(c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,9,10,11,12), c( 1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) FillP <- function (p) {PP <- matrix(0,nrow=15,ncol=15) for (c in 1:6) for (b in 1:15) PP[b,Next[c,b]] <- PP[b,Next[c,b]] + p[c] PP}

BM.frac

<-

c(142.12,112.12,82.12,67.12,57.12,52.12,47.12,42.12,37.12,32.12,27.12,22.12 ,22.12,22.12,22.12)/100 b <- c(0,0); lbs <- 0.20 {pp

<-

dpois(0:4,

lbs);

P

<-


sum(pp))) for (k in 1:10) P <- P%*%P l <- P[15,] b <- sum(l*BM.frac)}

TMax <- 50; NSim <- 100000; FinalBM <- numeric(NSim) lbs <- 0.20; b <- c(0,0); BM.frac

<-

c(142.12,112.12,82.12,67.12,57.12,52.12,47.12,42.12,37.12,32.12,27.12,22.12 ,22.12,22.12,22.12)/100 system.time( {for (n in 1:NSim){ claimnrs <- rpois(TMax,lbs); claimnrs <- pmin(claimnrs, 5) BM <- 15 ## initial state for (i in 1:TMax) BM <- Next[claimnrs[i]+1,BM] FinalBM[n] <- BM

}

print(table(FinalBM)/NSim); b <- mean(BM.frac[FinalBM])})

39

Script 4 De gemiddelde stationaire premie zonder no-claim beschermer (ANWB) Next <- rbind(c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,9,10,11,12), c( 1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) FillP <- function (p) {PP <- matrix(0,nrow=15,ncol=15) for (c in 1:5) for (b in 1:15) PP[b,Next[c,b]] <- PP[b,Next[c,b]] + p[c] PP}

BM.frac <- c(140,110,80,65,55,50,45,40,35,30,25,20,20,20,20)/100 b <- c(0,0); lbs <- 0.20 {pp <- dpois(0:3, lbs); P <- FillP(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],1-sum(pp))) for (k in 1:10) P <- P%*%P l <- P[15,] b <- sum(l*BM.frac)}

TMax <- 50; NSim <- 100000; FinalBM <- numeric(NSim) lbs <- 0.20; b <- c(0,0); BM.frac <- c(140,110,80,65,55,50,45,40,35,30,25,20,20,20,20)/100 system.time( {for (n in 1:NSim){ claimnrs <- rpois(TMax,lbs); claimnrs <- pmin(claimnrs, 4) BM <- 15 ## initial state for (i in 1:TMax) BM <- Next[claimnrs[i]+1,BM] FinalBM[n] <- BM

}

print(table(FinalBM)/NSim); b <- mean(BM.frac[FinalBM])})

40

Script 5 De efficiëntie met no-claim beschermer (ANWB) Next <- rbind(c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,9,10,11,12), c( 1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) BM.frac

<-

c(142.12,112.12,82.12,67.12,57.12,52.12,47.12,42.12,37.12,32.12,27.12,22.12 ,22.12,22.12,22.12)/100

FillP <- function (p) {PP <- matrix(0,nrow=15,ncol=15) for (k1 in 1:6) for (b in 1:15) PP[b,Next[k1,b]] <- PP[b,Next[k1,b]] + p[k1] PP}

NN <- 200; b <- numeric(NN); lbs <- 0.5 * ((-0.5 + (1:NN)) / NN) for (i in 1:NN) {pp <- dpois(0:4, lbs[i]); P <- FillP(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],pp[5],1sum(pp))) for (k in 1:10) P <- P%*%P l <- P[15,] b[i] <- sum(l*BM.frac)}

plot(lbs, b, log="xy", type="l"); abline(0.5,1); abline(0.285, 0.8) loglbs <- log(lbs); logb <- log(b) e <- (logb[-1] - logb[-NN]) / (loglbs[-1] - loglbs[-NN]) lambda <- (lbs[-NN]+lbs[-1])/2 plot(lambda, e, type="l")

41

Script 6 De efficiëntie zonder no-claim beschermer (ANWB) Next <- rbind(c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,9,10,11,12), c( 1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) BM.frac <- c(140,110,80,65,55,50,45,40,35,30,25,20,20,20,20)/100


NN <- 200; b <- numeric(NN); lbs <- 0.5 * ((-0.5 + (1:NN)) / NN) for (i in 1:NN) {pp <- dpois(0:3, lbs[i]); P <- FillP(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],1-sum(pp))) for (k in 1:10) P <- P%*%P ## equivalent to P <- P^(2^10) l <- P[15,]

## bottom row is near steady-state db

b[i] <- sum(l*BM.frac)}

## b(lambda), the steady-state premium

plot(lbs, b, log="xy", type="l"); abline(0.5,1); abline(0.285, 0.8) loglbs <- log(lbs); logb <- log(b) e <- (logb[-1] - logb[-NN]) / (loglbs[-1] - loglbs[-NN]) lambda <- (lbs[-NN]+lbs[-1])/2 plot(lambda, e, type="l")

42

Script 7 De efficiëntie voor vaste waarden van de schadefrequentie, met no-claim beschermer (ANWB) Next <- rbind(c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,9,10,11,12), c( 1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) BM.frac

<-

c(142.12,112.12,82.12,67.12,57.12,52.12,47.12,42.12,37.12,32.12,27.12,22.12 ,22.12,22.12,22.12)/100


lbs1 <- 0.20 pp

<-

dpois(0:4,

lbs1);

P

<-


P

<-


sum(pp))) for (k in 1:10) P <- P%*%P l <- P[15,] b1 <- sum(l*BM.frac)

lbs2 <- 0.22 pp

<-

dpois(0:4,

lbs2);

sum(pp))) for (k in 1:10) P <- P%*%P l <- P[15,] b2 <- sum(l*BM.frac)

(log(b2)-log(b1))/(log(0.22)-log(0.20))

43

Script 8 De efficiëntie voor vaste waarden van de schadefrequentie, zonder no-claim beschermer (ANWB) Next <- rbind(c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,9,10,11,12), c( 1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) BM.frac <- c(140,110,80,65,55,50,45,40,35,30,25,20,20,20,20)/100


lbs1 <- 0.20 pp <- dpois(0:3, lbs1); P <- FillP(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],1-sum(pp))) for (k in 1:10) P <- P%*%P l <- P[15,] b1 <- sum(l*BM.frac)

lbs2 <- 0.22 pp <- dpois(0:3, lbs2); P <- FillP(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],1-sum(pp))) for (k in 1:10) P <- P%*%P l <- P[15,] b2 <- sum(l*BM.frac)

(log(b2)-log(b1))/(log(0.22)-log(0.20))

44

Script 9 Optimale retentie Next <- rbind(c( 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15), c( 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,9,10,11,12), c( 1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4), c( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)) BM.frac <- c(140,110,80,65,55,50,45,40,35,30,25,20,20,20,20)/100

FillP <- function (p) {PP <- matrix(0,nrow=15,ncol=15) for (k1 in 1:5) for (b in 1:15) PP[b,Next[k1,b]] <- PP[b,Next[k1,b]] + p[k1] PP} a <- c(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1) aP <- pr <- numeric(40) aP <- t(a) pr[1] <- aP%*%BM.frac lbs <- c(rep(0.2,2),rep(0.05,30),rep(0.1,7)) for (i in 2:40) { lb <- lbs[i-1] pp <- dpois(0:3,lb); P <- FillP(c(pp[1],pp[2],pp[3],pp[4],1-sum(pp))) aP <- aP%*%P pr[i] <- aP%*%BM.frac*1.02^(-i) }

Een vergelijking tussen vier Nederlandse bonus-malussystemen met no-claim beschermer

Recommend Documents