TARTALOMJEGYZÉK
Ecsedi István: Egy tétel a rugalmas kontinuumok kiegészítő energiájáról . . . . . . . . . .
J
Ecsedi István: Egy hővezetési problémáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ecsedi István' I-lőelvezetés lemez alakú bordán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecsedi Istva'n.` Korlátok a forgásfelületekkel határolt kondenzátorok kapacitására . . . . . Ecsedi István: Korlátok a vékonyfalú anizotróp rugalmas anyagú, prizmatikus rudak csavarási merevségére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 19
Ecsedi István: Korlátok az üreges forgástest alakú tárcsák csavarási merevségére . . . . . .
7,
Nándorine' Tóth Mária: Alakzatok rekonstrukciója három nézetből . . . . . . . . . . . . .
99
S9
R. Tégen Magdolna: Egy elemi megoldási módszer a közönséges lineáris differenciálegyenletek egy speciális osztályára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
Ecsedi István: Egy megjegyzés a Bredt-formulával kapcsolatban . . . . . . . . . . . . . . . Maurer I. Gyula: Romániai magyar matematikai és csillagászati szakirodalom . . . . . . .
127 137
149
A NEHEzıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 27. KÖTET - l - 2. FÜZET
MISKOLC, 1988.
HU-ISSN 0133-3992.
SZERKESZTŐ BIZOTTSÁG:
KOZÁK IMRE felelő: ızeıteeztõ MAURER GYULA, SZÓTÉR LÁSZLÓ
lüedjı ı Nehezlpıxi Műızıki Egyetem
A kiedíıeft felelõız Dr. RonııvárlPál rektoı-helyettes NME Sokııoroıltó Üzeme Nyomdeıılm: ICSZ-88-1500-NME Mlıkele-Eıyetemvlroı. 1988. Bn|ed6ly ıılme: 57768 N86 el rendezte: Dr. Fırkııı Jóıuf egyetemi tıní: Technlkel ııeılıeııtõ: Mdrkuı Ldclóııd lledelenı eı NMR Köılemenyel Sıerkeeztõıézének ıondoztıúbeıı Kell!!! lledeıe: 1988. V. 1-46| - 1988. VIII. 15-lg. Sokızotoeitóbe bedvı:'l988..lX. 8.
Nlúlııyıılm: 350
Mııüli IIH « li Elektıoıılkuı Compoıeı ızedóııel. :oteprhıt lemezről
ll HI! 560149 Ö! 8602-55 lılbvlnyok lıednt. 12 HIS ív teıjedeleluben
A ıııhııemllllıt felelde: Tóth Ond mb. llıemveıetõ
NME Közleményei. Miskolc. IV. Sıırıılıt. Ibmıdırı ııılıımdıtyvk. -37 H 953) Röfff. 79"` 93-
KORLÁTOK Az ÜREGES FoR(;ÁsTEsT ALAKÚ TÁRcsÁK csAvARÁsı MEREVSEGERE ECSEDI ISTVÁN
Összefoglaló
E tanulmány tárgya rugalmas anyagú forgáıtest alakú üreges tárcsákra vonatkozik. A(2.28) formula által definiált csavarási merevséggel kapcsolatos egyenlőtlenségi relációk bl zonyítása döntően a Schwarz egyenlőtlenség felhasználásával történik. A bizonyított (3,4), (4.9)
egyenlőtlenségi relációk alkalmazását több példa szemlélteti.
l. Fontosabb jelölések r, (0, z
hengerkoordináták,
e,, eg, ez
egységvektorok,
V
térbeli tartomány,
8 V = ô V1 U6 V2 U6 V3 U8 V4 a V tartomány határa, A a V forgástest alakú térbeli tartomány meridián metszete, 6.4 = ÖA1 UÖA2 UÖA3 U8 A4 az A tartomány határgörbéje (3. ábra) u = u (r)
elmozdulás vektor,
DR. ECSEDI ISTVÁN
docens, a műsz, tud. kandidátusa NME Mechanikai Tanszék
.15 IS Miskolc-Egyetemváros A kézirat beérkezett: 1983. nov. 1.5. Közléıre elfogadva: 1987. július
8 l 6 ô V = `3Í er + T 3; Ép + "ä"š°z
három méretű Hamilton-féle dlffercııciálope rator,
j
,, - "
skaláris szorzás jele,
,, x ”
vektoriális szorzás jele,
q
térfogati terhelés,
p
felületi terhelés,
A =_Y7° V
három méretű Laplace-féle differenciáloperátor,
v = v (r, z)
ez, irányú elmozdulás,
'
ll -`= 11/ (r. 2)
Sõsëd függvény.
s a ÖA
görbén mért ívkoordináta,
t a ÖA
határgörbe érintő egységvektora,
n a BA
határgörbe normális egységvektora,
6 8 V = Ez ez + T2 ez
, . .. . . _ .. . ketmeretu Hamzlton-fele dıfferencıaloperator,
õlös
t irányban számolt derivált jele,
ôlôn
n irányban számolt derivált jele,
191, 192
„előírt” szögelfordulások,
M1 =M1 ez ,M2 =M, ez
csavarónyomaték,
F = F (r, z)
segéd függvény,
d = d, (r, z) e, + dz (r, Z) ez segéd vektor, R1 =R1 (Z) (O šz él) a BA, görbe egyenlete, R2 =R2 (Z)
(0 4.2 Š l) a ÖA2 görbe egyenlete,
I
a tárcsa vastagsága,
G
csúsztató rugalmassági mo dulus,
v
Poisson szám
TW , Tz z, TW
csúsztató feszültségek.
S
csavarási merevség.
Egyéb mennyiségeket, változókat a szöveg értelmezi. 2. Bevezetés, alap képletek Az 1. ábra egy olyan összetett szerkezetet szemléltet, amely egy merev testnek teklntett tárcsából és tengelyből, valamint egy rugalmas anyagú forgástest alakú tárcsából 80
Ez
ŠŠ Jlıi lhluhuã
NM
áll. A Q jelű merev tárcsa az (D jelű merev tengelyhez a Gt jelű rugulınas anyagú üreges forgástest alakú tárcsa közbeiktatásával kapcsolódik. Az ID jelű merev tengely, illetve a (2) jelű merev tárcsa z tengely körüli szögelfordulása 0, illetve 19, . A 191 és 19, szögelfordulások előírt mennyiségek. A fenti szögelfordulásokat az (D jelű tengelyre működő M, =M1 ez és a (2 jelű tárcsára működő M, ==M, ez nyomatékú erőpárok hozzák létre. A 2. ábra a rugalmas anyagú forgástest alakú tárcsát szemlélteti. A G) jelű tárcsa által elfoglalt térbeli tartomány jele V. A rugalmas anyagú tárcsa E) V2 palást felületén lévő P, pont elmozdulása a @ és (3) jelű tárcsák merev kapcsolata miatt “Q =Ü2R2e,p.
A ® jelű tárcsa 8 V1 palást felületén lévő P1 pont elmozdulása pedig az CD és G3 jelű szerkezeti elemek merev kapcsolata miatt az alábbi: uı = l91R1C,p.
A rugalmas anyagú tárcsa rérfogata és határoló felületének ô V3 UÖ V4 felületszakasza terheletlen, vagyis q=0
reV;
p=0
reõV3+ôV4.
(2.3),(2.4)
A rugalmas anyagú tárcsával kapcsolatban a rugalmasságtan szokásos feltevéseit alkalmazzuk, vagyis feltesszük, hogy - az elmozdulások és az alakváltozások kicsinyek, - a tárcsa anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas, - hőhatások elhanyagolhatók, - kezdeti feszültségek és alakváltozások értéke zérus, - quasistatikus feladatról van szó. A fenti feltevéseket elfogadva, a rugalmas anyagú tárcsa u = u (r)
re V + Ö V
elmozdulás
re V
terhelési előírásra,
vektor mezője tekintettel a q=0
az alábbi kerületérték feladattal hozható kapcsolatba [1] :
A„+ Š VV-u= 0 82
fõ V,
(2.s)
/
Qz1
/js/\? zıF x\ ı/ NM
äiŠwluu ö
\ PZJ ső / \ \\ \/I
\ W
u=l9jR1e`p
fifa V1.
U: l92R2e,p
YEÖVQ,
V
___
ZG
__
ll)n+l'l
+ -Š-nx (Vx u) ]= 0
(VLl)+
reõ V3 + õ V4.
(2.8)
A (2. 8) egyenletben Il H
Ö V3 + Ö V4
felületszakasz P pontbeli normális egységvektorátjelöli. A (2.5), (2.6), (2.7), (2.8) egyen letek által kijelölt kerületérték feladat megoldását u=u(r)=[r (191 - 192) ı,l1(r,z)+rıf}2]ez
(r,Ap,z)eV+ôV
(2.9)
alakban keressük. A (2.9) formulával adott elmozdulás mező akkor és csak akkor elégíti ki a (2.5), (2.6), (2.7), (2. 8) előírásokat, ha a
ıl/=\l/(r,z)
j
(r,z)EA+ôA
függvény az alábbi kerületérték feladat megoldása: 82
3 Ö
82
-ãrfw + r a:Ü+azý -0
(r,z) EA,
(2.10)
ll/=l
(r,z) EÖA1,
(2.11)
tl/ = 0
(r, z) EÖAQ,
(2.12)
2%: O
(r, z) 6aA, + aA..
(2.13)
Az A tartományt- a V tartomány meridián metszetét - és az A tartomány ÖÁ = ÖA1UaÁ2 UÖA3
határgörbéjét a 3. ábra szemlélteti.
84
r Šr ll
11
`
BAZ
mi
61
__.. Í
D
| SAL ŐA3
/ S
n ..
ÕA1 i
ll
1
l .
_
I
E
f--~
--1- i
Z
S Z
3. ábra: Tárcsa merldián metszete.
Az elliptikus típusú dífferenciálegyenletek elméletéből az következik, hogy a fent! kerületérték feladatnak pontosan egy megoldása van. Ez utóbbi tény és a rugalmasságtuni feladatok megoldására vonatkozó unicitási tétel következménye, hogy a kitűzött rugal ıııasságtani kerületérték feladat megoldása a (2.9) formula által adható meg. A geometriai egyenletek és a Hooke-törvény alkalmazásával azt kapjuk, hogy a feszültségi tenzor valamennyi skalár koordinátája az rgoz hengerkoordinátarendszerben zérus, kivéve a TW =Tz,, és Tzz, =Tz,z csúsztató-feszültségeket. A Tzz, és Tzz csúsztató feszültségek az alábbi képletek alapján határozhatók meg:
85
. Ö T,„=c(e,--e,)r-Ég,
12.14)
Tzw=G(Ű1*Ű2)f .
A
p=2G[-1-Ég(`r?'u)~6+6~(V6)+%6x('\=/16)]
(2.16)
formula alkalmazásával azt kapjuk, hogy a Ö V1 és Ö V2 palást felületeken működő pl és pz felületi terhelés értéke: õ p,-=G(ı91-ı92)rT'fez
. rEôV,-,(ı=l,2).
(2.17)
(z`=1,2),
(2.18)
Könnyen kimutatható, hogy
fp,-daV=o, BV;
vagyis, hogy a Ö V, (í = 1, 2) palást felületen működő terhelés eredője zérus vektor. Egy szerű számolással azt kapjuk, a E) V, (i = 1, 2) palást felületen működő felületi terhelés r go z henger koordinátarendszer kezdőpontjára számolt nyomatéka:
Mi=ffXPidÖVf=
õvz Ö =27lG(l91_“l92)./`f3
aA,
äıbds,
"
(i=l,2).
Az CD és ® jelű szerkezeti elemek egycnsúlyából az következik, hogy A
M1 =Mı .
86
A
Mz = Mz .
(2-20).(2-21)
vagyis, hogy ^
A
M1 *M1 .
M, ==M, .
(2.22),(2.23)
legyen Ö Ö V=“ã;e,.`l-íez.
(2.24)
A fenti rz síkbeli Hamilton-féle differenciáloperátor segítségével a (2.10) egyenlet az alábbi alakban írható fel:
V - (ri V1/z)= O
(z-, z) EA.
(2.25)
A (2.25), (2.13) egyenletek és a Gauss-féle integrálátalakitási tétel alkalmazásával írhatjuk. hogy
o=fV-(rivv/z)dA=fr3 -'šivdsz A
3,4
n
au 616 + fra íjfas, a zfz 5-; aA,
(2.26)
6,4,
EIZHZ
6 tb
8
26G(z9, -a,)_/`r3 51 ds+26G(z9, -e,)_[`r3 Ff dsz aAl
aAI
=M, + M2 = 0.
(2.27)
Az (2.27) egyenlet az egész rendszer, illetve a rugalmas anyagú tárcsa egyensúlyának szükséges feltételét fejezi ki. Legyen ı9=ı9,-192,
M,=Mésı9=,f0.
Az s .__- ifŰ
(2.28) 87
formula által definiált mennyiséget a forgáıtest alakú rugalmas anyagú tárcsa cıııvarásl merevségének nevezzük.
A (2.19) Kepızıbõı ı<õv6ıı<6zõ M = 26 Ge f P 8544n as
(2.29)
Í-41
képlet és a (2.28) képlet kombinálásával kapjuk a (2.30) képletet:
s = 26 G f ri âí' as.
M.
(2.30)
A következőkben kimutatjuk, hogy S minden esetben pozitív. A (2.25) egyenlet alapján írhatjuk, hogy
0= vzv~(f3vvz)=v~(r3vzvv)-fi Ivvli.
(2.31)
A (2.31) egyenletből integrálással és a Gauss-féle integrálátalakitási tétel, valamint a (D = = tb (r, z) függvénnyel kapcsolatos (2.11), (2.12), (2.13) kerületi feltételek alkalmazásával nyerjük a (2.32) egyenletet:
fr8 IWI 2 dA-_ fr 8 Šlfi ön dr A
(2.32)
8.4,
A (2.30) és a (2.32) képletek kombinálásával nyerjük az
s=26G f ri ıvzpıi JA
(2.33)
A képletet, A (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) egyenletek által kijelölt kerületértékfeladatból és a (2.33) képletből kiolvasharó, hogy S minden esetben pozitív. A (2.30), (2.26) egyenletek kombinálásával kapjuk a (2.34) képletet: ô s=-1 26 G _/ˇ ri 3-gas
(2.34)
914 s
E tanulmány célja, olyan egyenlőtlenségi relációk levezetése 8 melyek felhasználá Sa'' val alsó és felső korlátokat tudunk képezni a (2.30) formula alapján meghatározható csa varási merevség számértékére. A bizonyított korlátok azért jelentősek, mert S Pontos értékének meghatározásához a (2.10), (2.11), (2. 12), (2.13) egyenletek által kijelölt kerület88
érték feladatot kell ınegolılınunk 11.1. ábrán vázolt A tartományra. Ez utóbbi probléma zárt alakú megoldású (beleértve u megoldás függvény végtelen sor alakban való elõállltlslt) néhány speciális esettől eltekintve nem is lehetséges. 3. Felső korlát Teftel: Legyen F =F (r,z) olyan az A + ÖA zárt tartományban folytonos az A nyilt tartományban legalább egyszer folytonosan differenciálható kétváltozós függvény, amely kielégíti az alábbi feltételeket: F(r, z) = F1 = állandó
(r, Z)eõA1,
(3.l)
F(r, z) =F2 = állandó
(r, z) EÖA2 ,
(3.2)
F1 9* F2.
(3.3)
Fennáll az
Í ri ıvFı2 dA
s<.2«zG A
~
(F1-F6)
(3.4)
2
egyenlőtlenségi reláció. Bz`zonyı'tás.` A bizonyítás alapja az
(f r3ıWı*aA][ _/' r3ıvFı2dA] >
PVP-vwdA]2
(3,5)
A
Schwarz-féle egyenlőtlenségi reláció. A (3.5) egyenlőtlenség jobb oldalán lévő integrált a szorzatfüggvény deriválási szabályának és Gauss-féle integrál átalakítási tételnek, valamint a ll/ = ((1 (r, z) függvénnyel kapcsolatos (2.13), (2.25) egyenleteknek felhasználásával átalakítjuk:
fr3vvz-vFaA=fv-(Fr3vu)dA-f Fv-(r3vzız)aA= A
A
A
=F,fr3-Š-Éds+F; fr3-Š-Éds.
3.1,
(3.6)
M,
89
A (3,6) és a (2.26) egyenletek összevetésével írhatjuk, hogy _Í.r`°'V\l/`VFdA=(F,-F2) f rjäpds. '
(3.7)
A (2.30), (2.33), (3.7) egyenletek és a (3.5) egyenlőtlenség kombinálásával közvetlenül a bizonyitandó (3.3) egyenlőtlenségi relációt nyerj ük. 4. Alsó korlát 4.1 Tétel: Legyen d = d (r, 2) = d, (r, z)e, +dz (r, z)ez a zérus vektorral nem azonosan egyenlő az A + BA zárt tartományban folytonos olyan síkbeli vektormező, amely kielégíti a V- (ra d)=0
(r, Z) EA
(4,1)
d-n=0
(r, z) EÖA3 ,
(4.2)
d-n=0
(r, z) EÖA4
(4.3)
parciális differenciálegyenletet és a
homogén peremfeltételeket,
Fenáll az f
s> 26 G
2
[M ra d - n ds}
'
-
(4.-4)
_[r3 d2 dA A
egyenlőtlenségi reláció. Bz'zonyı'ta's.` A bizonyítás alapja az
4
[ffiıvvzı261A][ff362dA]>[fr3vz1z-z1aA]2 A
A
(4.s)
A
Schwarz-féle egyenlőtlenségi reláció. A (4.5) egyenlőtlenség jobb oldalán lévő kifejezést a következő módon alakítjuk át
90
f vw-edz -j'v-(z'<ıw)aA- fvzv-(zh-ı)aA A
A
A
=fr3ılıd-nds= fr3d`nds.
a.-1
(4.6)
6.1,
A (4.6) egyenlet levezetése során alkalmaztuk a (4.l), (4.2), (4.3) egyenleteket és a
xl/=1l×(r.2) függvénnyel kapcsolatos (2.11), (2.12) peremfeltételeket, a szorzat függvény deriválási ızıbályát, valamint a Gauss-féle integrálátalakitási tételt.
A (2.33), (4.6) egyenlet és a (4,5) egyenlőtlenség kombinálásával közvetlenül a bizonyitandó (4,4) egyenlőtlenségi relációt nyerjük.
4.2 Tétel: Az A + BA zárt tartományban egyszer, az A ny t tartományban kétszer folytonosan differenciálható nem azonosan állandó H = H (r, z)
4
kétváltozós függvény tegyen eleget az alábbi kerületi feltételeknek: H (r, z) =H3 = állandó
(r, z) EÖA3 ,
(4.7)
H (r, z) = H4 = állandó
(r, z)eôA4
(4.8)
Fermáll az
s>26o ŠH4---H3)2 f-1- lvHı*aA
' (4.9)
T 73
egyenlőtlenségi reláció. Bizonyı'tás.` Alkalmazzuk a (4.3) egyenlőtlenségi relációt a I
d=j VH×c,p
(4.10)
r
alakú' d = d (r, z) vektorra,
`
A fenti alakú d vektor bármilyen kétszer folytonosan differenciálható H I H (r. I) kétváltozós függvény esetén kielégíti a (4,1) parciális differenciál-egyenletet. A (4.2), (4.3) peremfeltételek kielégítésével kapjuk az alábbi egyenletet (3. ábra): 9l
zı-6=-Ez-(vH×6,,)~„= Š vu-(6„,×6)=-ŠVH-ı= (r, z)EôAz + 8.44
(4.11)
H =H (r, z) =H3 = állandó
(r, z)eôA3 ,
(4.12)
H =H (r, z) =H4 = állandó
(r, z)eõA4 .
(4.13)
= - -= 0 "lw,_,
CDQ-P
em
A (4.11) egyenletből az következik, hogy
Elemi számolással azt kapjuk, hogy
f rad-nds=f(VH×e,,,)-nds= _/'VH-(e,,×n)ds= aA, ezt, azt,
fvH-ıa8=f9äÃfas=H,-H,, Ms
(4.14)
Mz
_/ˇ „-3 zı2aA =f A
A
N
ut*
ıvm* 61.4.
(4.15)
A (4.4) egyerılőtlenség a (4.14) és a (4.15) egyenletek kombinálásával közvetlenül a bizonyítándó (4.9) egyenlőtlenségi relációt nyerjük. 5. Kiegészítő meegyzések: 5.1 Rövid diszkusszióval kimutatható, hogy a (3,4) relációban egyenlőség jele csak akkor érvényes, ha F(r,z)=aı,l/(r,z)+b
(5.1)
ahol a, b tetszőleges valós állandók eltekintve, az a af 0 megszorítástól.
5.2 A (4.4) egyenlőtlenségi relációhoz kapcsolódó diszkusszióval pedig az mutatha tó ki, hogy az egyenlőség jele a (4.4) relációban akkor érvényes, ha d =aVılı ahol a 9* 0 eyébként tetszőleges valós állandó. 92
(5.2)
5.3 Tekintsük az alábbi ellllréıuk által egy addltlv , valós állandótól eltekintve egy értelműen meghatározott ct I* ó (r. 2) kétváltozós függvényt: %? =r`°' -Š-ig,
(5.3)
-Š-É-=-r3 êá-É .
(5.4)
Az (5.3) és az (5.4) egyenletekből az következik, hogy ó = qb (r, z) az alábbi elliptikus tipusú parciális differenciálegyenletet elégíti ki: V'
V69] = 0
(r, z)eA.
(5.5)
Az (5.3) és (5.4) egyenletek alapján írhatjuk, hogy
vu =-Š v6×6,,.
(s.6)
A l`enti egyenlet és a (2.13)kombiná1ásával írhatjuk, hogy
341-1 . n-FVÓ ._ 1 . (ezxn)-`,`5`V
= -1-39 = O f3
as
(r, z)6aA, + aA.,.
(s.7)
Az (5.7) egyenlet következménye a el = 4) (r, z) függvénnyel kapcsolatos alábbi két peremfeltétel: (ll (r, z) = (bg = állandó
(r, 2) EÖA3 ,
(5.8)
áı (r, z) = 454 = állandó
(r, z) eô/14.
(S.9)
Az S csavarási merevség és a (b = qb (r, z) függvény kapcsolatát az (5.10), (5.11) képletek fejezik ki:
B 6 S=2TrGú/'r3 5-É ds=21rGMfíÉds=21rG(q'>4-á>3), 1
(5.10)
I
93
S=2TrG./'ra IVKÍ/|2dA=2TrG_/`-lá-|Vd>|2 dA.
A Mivel
(5.11)
A "
S> 0
szükségképpen
454 > va-
(5-12)
A fenti eredményeket kiegészítve a (4.9) egyenlőtlenségi relációhoz tartozó rövid diszkusz szióval kimutatható, hogy abban az egyenlőség jele csak akkor érvényes, ha H(r,z)=aq'ı(r, z)+b
(5.13)
ahol a és b tetszőleges valós állandókat jelölnek eltekintve az a sé 0 megszorítástól. 6. Példák
_
6.1 Legyen a ôA1 görbe egyenlete R1 =R1(z)
0~
(6.1)
0~
(6.2)
a 6.42 görbe egyenlete pedig R2 =R2 (z)
A vizsgálatot ebben a pontban olyan esetre korlátozzuk, amikoris R2(z)=?\R1(z) l ahol Ă állandó, (Ã > 1).
Oázál
(6.3)
t
Legyen a (3.4) egyenlőtlenségi relációban
F(r,z)=-1+@ı-flg.
(õ.4)
7'
Egyszerű számolással kapjuk az alábbi eredményeket:
F, = K2 - 1,
F, = O
(õ.s), (6.õ)
_ 4 (Rz (z))“ + (Rz (z>>2 (RE (zıf
(6.7)
ÖF 2 |VF|2=[Tr]
r°
94
ÖF 2
r4
=
A fentl eredminyık (14) ogyenlötleıııógl relációba való helyettesítésével kıpjuk ı következő felsõ korlltot S ızúınúrıı: Ă:
(v_l), SŠ4 rr G-"""_“'-
1 { 2 of ( Ă
) -1+
+-Š A2 [R3 (z)]2 in >\} [R1 (z)]2 az. '
(6.8)
6.2 Legyen a (4.9) egyenlőtlenségi relációban a H (r, z) = z.
(6.9)
Evidens, hogy a fenti alakú H = H (r, 2) függvény kielégíti a (4.7), (4.8) előírásokat. A (4. 9) és (6.9) kombinálásával nyerjük a (6.10) alsó korlátot számára:
F
s>4„G
,RŠ__R%
.
(6.10)
f___._d ,Km Z
Abban a speciális esetben, ha fennáll a (6.3) egyenlet, a (6.10) korlátból az
s>4„G
.
2
A*-1
eredmény következik,
1
F
(6.11)
IM dz
6.3 Tekintsük az
f(0)=0„
f(Í)=1
(6-12).(6-13)
előírásokat kielégítő f = f (z) egyváltozós függvényt. A fenti függvény (4.9) egyenlőtlenségi relációba történő helyettesítésével nyerjük a (6.14) alsó korlátot az csavarási merevség számértékére:
s>4„G I/1 (min: dl 0 ahol
(6.14)
A (z) .
95
R* A(z)_ [R1
R*
ĂÍ)(Z))2 O
(6.15)
A (6. 14) egyenlőtlenség jobb oldalán szereplő ı(
1 = of
lz
A Z(Z)
dz
(6.16 >
kifejezés f = f (z) alkalmas megválasztásával minimálissá tehető. A szóban forgó minimum hoz tartozó f = f (z) függvény esetében lesz a (6.14) korlát a legélesebb. A variációszámítás elemi eredményeinek felhasználásával kapjuk, hogy j
mın1[f(z)] _- , 1 f (2) f A (§) dç
(6.17)
0
A (6.14) egyenlőtlenség és a (6. 16), (16.7) egyenletek kombinálásával kapjuk, hogy I
s>4„GfA(ç)d§,
(6.18)
Abban a speciális esetben amikor is a BA, és BA; görbék egyenletei kielégítik a (6.3) összefüggést, a (6.17) formulából azt kapjuk, hogy 2
I
s.>4„G-*-1-fR2 (z)dz. A2 - 0 1
(6.19)
6.4 Tekintsük az R1 (Z) = állandó,
R, (2) = állandó,
(6.20), (6.21)
esetet. A (6.8) egyenlőtlenségi reláció alkalmazásával az ki
s<41f G-P _l Räl
(6.23)
eredményt nyerj ük, a (6.11) és (6.18) egyenlőtlenségi relációból pedig jelen esetben az 96
Í
s>4„ O Ă-,Š-»I Riz
(6.24)
eredmény következik. A fenti eredmények összevetéséből kiolvasható, hogy a körhenger felületekkel határolt tárcsa csavarási merevségének pontos értéke, ha a terhelés átvitele a tárcsa palást felületein történik ki
S=47rG3\`š"_`__1` R211,
(6.25)
Rz (7\= 'Ã )-
IRODALOM 1. A. ld. JTYPBE.: llleopua ynpyrocıvm. Plan. Hayxa. Mocxaa. 1970. cMp 126-128.
LIMITS FOR THE TORSIONAL RIGIDITY OF DISCS HAVING SHAPES OF HOLLOW BODIES OF ROTATION I. ECSEDI Summary
The stu dy deals With the ,hollow disces having shapes of bodies of rotation made of elıltle mlterial. The displacements of the „outside” and „inside” surfaces of a disc are specified. The lnıqtılllth concerning the torsional rigidity are proved using the Schwarz's inequality. A number of exlmplll IOpresent the application of the proved inequalities.
GRENZEN FÜR DIE DREHSTEIFIGICEIT DER HOHLSCI-IEIBEN IN FORM EINES DREHKÖRPERS I. ECSEDI Zusammenfassung
'
Das Thema dieses Aufsatzes bezieht sich auf die Hohlscheiben aus elastischen Material. Die Verschlebung der „äu eren” und „inneren” Manteloberfläche der Scheibe ist vorgeschrieben. Der Bewelılhrung der Unglelchungsrelationen im Zusammenhang mit der Drehsteigigkelt geschieht mit der An-
97
wendun; der Unglelchung nsch Sclımrs. Die Aııwendung der bewelsten Unılelohuıııııılıtlonen verınıchıuliclıen mehrere Belıplele.
ÍIPEIIEJIIDI Il-Tl )KEC'l`K0(lTlfI KPYWEHHH IIOIIBIX IIHCKOB, HMEÍOIIIHX OOPMY TEJIA BPAIIIEHHH
«
Peamue
Hpermer ı-ıacroııuıe crarw orrrocıucır K rromzm rrırcxam Ha ynpyroro Marepııana, cbopıuy 'rena npauıeiıı-ur. Hepemeuıemıır ,,ı~ıapyx
98
