TARTALOMJEGYZÉK
Ecsedi István: Egy tétel a rugalmas kontinuumok kiegészítő energiájáról . . . . . . . . . .
J
Ecsedi István: Egy hővezetési problémáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ecsedi István' I-lőelvezetés lemez alakú bordán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecsedi Istva'n.` Korlátok a forgásfelületekkel határolt kondenzátorok kapacitására . . . . . Ecsedi István: Korlátok a vékonyfalú anizotróp rugalmas anyagú, prizmatikus rudak csavarási merevségére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 19
Ecsedi István: Korlátok az üreges forgástest alakú tárcsák csavarási merevségére . . . . . .
7,
Nándorine' Tóth Mária: Alakzatok rekonstrukciója három nézetből . . . . . . . . . . . . .
99
S9
R. Tégen Magdolna: Egy elemi megoldási módszer a közönséges lineáris differenciálegyenletek egy speciális osztályára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
Ecsedi István: Egy megjegyzés a Bredt-formulával kapcsolatban . . . . . . . . . . . . . . . Maurer I. Gyula: Romániai magyar matematikai és csillagászati szakirodalom . . . . . . .
127 137
149
A NEHEzıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 27. KÖTET - l - 2. FÜZET
MISKOLC, 1988.
HU-ISSN 0133-3992.
SZERKESZTŐ BIZOTTSÁG:
KOZÁK IMRE felelő: ızeıteeztõ MAURER GYULA, SZÓTÉR LÁSZLÓ
lüedjı ı Nehezlpıxi Műızıki Egyetem
A kiedíıeft felelõız Dr. RonııvárlPál rektoı-helyettes NME Sokııoroıltó Üzeme Nyomdeıılm: ICSZ-88-1500-NME Mlıkele-Eıyetemvlroı. 1988. Bn|ed6ly ıılme: 57768 N86 el rendezte: Dr. Fırkııı Jóıuf egyetemi tıní: Technlkel ııeılıeııtõ: Mdrkuı Ldclóııd lledelenı eı NMR Köılemenyel Sıerkeeztõıézének ıondoztıúbeıı Kell!!! lledeıe: 1988. V. 1-46| - 1988. VIII. 15-lg. Sokızotoeitóbe bedvı:'l988..lX. 8.
Nlúlııyıılm: 350
Mııüli IIH « li Elektıoıılkuı Compoıeı ızedóııel. :oteprhıt lemezről
ll HI! 560149 Ö! 8602-55 lılbvlnyok lıednt. 12 HIS ív teıjedeleluben
A ıııhııemllllıt felelde: Tóth Ond mb. llıemveıetõ
NMIF Kdsieınányal. Miskolc. IV. Sorozat, Tarrnássstrudonsányok. 27 (1988) köret. 39--J 7.
KORLATOK A FORGÁSFELÜLETEKKEL HATAROLT KONDENZÁTOROK KAı>.4cıTÁsARA ECSEDI ISTVÁN Összefoglaló li tanulmány tárgya forgásfelüietekkel határolt kondenzátorokkal kapcsolatos. A forgásfeiilletak ital határolt kondenzátor kapacitása a (2.9) formula alapján határozható meg. A (2.9) formula al-
kalmazásához azonban ismernünk kell a (2.6), (2.7), (2. 8) egyenletek által kijelölt kerületérték feladat megoldását. Sajnos azonban a műszaki gyakorlatban előforduló igen egyszerű alakú forgás felilletelskei határolt kondenzátorok esetében sem ismerjük a (2.6), (2.7), (2.8) egyenletek által kijelölt kerüietkiékfelatlat pontos (szigorú) megoldását. Ez utóbbi miatt nagy jelentőségilk van azon elveltnelt és mód-
szerek nek, melyek segítségével a potenciáifüggvény ismerete nélkül tudunk alsó és felső korlátokat iápesnl a kapacitás számértékére. E tanulmányban bizonyított (3.l), (4.2), (4.10) egyenlőtiıns i reiáuitik alkalmazásával a (2.6), (2.7), (2. 8) egyenletek által kijelölt kerületértékfeladat megoldás iggványének ismerete nélkül tudunk kétoldali korlátokat képezni a forgásfelületekkei határolt kondensátnr ltapacitására.
l. A tattulmány célja B tanulmány tárgya forgásfelületekkei határolt kondenzátorokkal kapcsolatos. A lorgásfelületekkel határolt kondenzátor kapacitása a (2.9) formula alapján határozható
meg. A (2.9) formula alkalmazásához azonban ismernünk kell a (2.6), (2.7), (2.8) egyen.*Il ,':'
ill. ÉCIEDI ISTVÁN
áeeenlt s miles. tud. kandldátusa NHH Mechanikai Tanszék ill! Miskolc-Egyetemváros
,
A lıssiıın tıasııtaıan: 1982. ısapr. lo. Köılém elf°sIdrl=1907-l\lllvI-
39
letek által kijelölt kerületérték feladat megoldását. Sajnos azonban a műszaki gyakorlatban előforduló igen egyszerű alakú forgás felületekkel határolt kondenzátorok esetében sem ismerjük a (2.6), (2.7), (2.8) egyenletek által kijelölt kerületértékfeladat pontos (szigorú) megoldását. Ez utóbbi miatt nagy jelentőségük van azon elveknek és módszereknek, melyek segítségével- a potenciálfüggvény ismerete nélkül tudunk alsó és felső korlátokat képezni a kapacitás számértékére. E tanulmányban bizonyított (3.l), (4.2), (4.10) egyenlőtlenségi relációk alkalmazásával a (2.6), (2.7), (2. 8) egyenletek által kijelölt kerületértékfeladat megoldás függvényének ismerete nélkül tudunk kétoldali korlátokat képezni a forgásfelületekkel határolt kondenzátor kapacitására. ˇ 2. Bevezetés, alapképletek
`
Az 1. ábra egy üreges forgástestet szeırıléltet. A test az A, és az Az különálló, közös pont nélküli forgásfelületekkel határolt térbeli tartomány. Az A1 és A, forgásfelületű veze tők. E dielektromos állandójú közeget zárnak közre. A fenti módon kialakított elrendezés egy kondenzátor. A kondenzátor feladata töltés tárolás. A kondenzátor igen fontos jellemzője a kondenzátor C kapacitása. A C kapacitást a következő formula alapján tudjuk meghatározni ([1], [2], [3]): i
Cz. vf [(-3-Š!) 2+ (.§_§)”+ [gy] „_ Az
U `-`= U (x, y, Z)
(zl)
fajlagos potenciálfüggvényt
az
`
U(x, y, z) =
(2.2)
előírás határozza meg. A fenti képletben qb = çb (x, y, z) a potenciál értéke a V+A1 +A2 tartomány P(x, y, 2) pontjában, a qbı és a gb, állandók (qbı =#d>,)
pedig a gb = ó (x, y, 2) potenciálfüggvény A1, illetve az Az vezetõ felületeken felvett értékeit jelöli. A (2.1)formu1ában szereplő fajlagos potenciálfüggvény az alábbi kerületérték feladat megoldása:
ö*U
a2U
820
-a`;;+íJ,?+-5.;-=Ü
U= 1
40
(xı yi z)eA1ı
(.7C,y,Z)6V,
„H
Ă
sg l H
\.»-
U' 0
(I. Y. 2) Mz-
(2-5)
A (2. 1) formula és (2.3) egyenlet fellrásánál feltételeztük, hogy e = állandó. A kondenzátor felépitésének forgásszimmetriájából és a (2.3), (2.4), (2.5) egyenletek által definiált kerületérték feladat szerkezetéből az következik, hogy U csak az r és z polárkoordináták függvénye, vagyis U nem függ a ıp polárszögtől. Az U = U (r, z) függvény meghatározása az alábbi peremérték feladattal hozható kapcsolatba a fentiek alapján:
É_ _ ar (r ÉEÍ ar )+ .3. az (r 22 az ]-0
(r,z)eQ
(2.6)
U= 1
(r, z) e BA, ,
(2.7)
U=o
(r,z)f 8.4,.
(2.8)
Az S2 tartományt és az SZ tartomány BA = BA; + BA; határgörbéjét a 2. ábra szemlélteti. AzA1 forgásfelület meridiángörbéje a BA, az Az forgásfelület meridián-
görbéje pedig a BA, rz síkbeli zárt görbe.
V ,_,___ ae+ __ ae Br ' Bz Z dSI=drdz
Á %=%×+
„ t
2. ábra: Meridián metszet.
42
Ă
„ aÁ
t I n x ev
___,
I
Iigyszerii számollsssl sz slábbl eredményt ımijuk Isvszetnl s forláıfsililstskksl hsldtııll iuıııdeıızátor kspscitásárs: BU 3 BU Í f, -2"- nfflla;-l + (sr) IM-
<2~°>
li forıııulábói klolvasható az a nyilvánvaló tény is, hogy C minden esetben pozitiv. A B
B
V ll -5; 8,. + -5; 0,
rs slkbell Hamilton-féle differenciáloperátor segítségével a (2.6) egyenlet és s (2.9) formu is ıı imvetkezö módon írható fel: V-(rVU)=0
(r,z)eS2,
(2.10)
C- 21: Í_[r(vU)= an.
(2.11)
iltwslkezókben a
C, .z z„ f z-(vmi an
(2.12)
Í!
slflltılsssl értelmezett mennyiséget mértani kapacitásnak nevezzük. A (2.6), (2.7), (2.8) egyenletekből tudjuk levezetni a (2.13) azonosságot:
_/'Uv-(rvU)an= fv-(rUvU)anD
D
- fr(VU)'d$Z= frU-g-:']ds- fr(VU)“dS2-I Ü
BA
Ü
I fr-aã%jds- fr(VU)“ d . DA, n
(2.13)
A (2. l 3) összefüggés és s (2.12) formuis kombináiásávsl nyerjük s
43
C0==2ır f r-%gds aA,
(2.14)
formulát. A (2.6) egyenletből következő
fv-(fvU)arı= fr-Š-Š-Čas+ fr-ÍŠgas=o n
aA,
(2.18)
aA,
összefüggés felhasználásával a (2.14) formula alapján belátható a BU c„=-2-zl _/'fín-as
. (2.15)
Ms
formula helyessége is. E tanulmány elsődleges célja olyan egyenlőtlenségi relációk levezetése amelyek alkalmazásával alsó és felső korlátokat tudunk képezni a (2.9) formula által értelmezett kapacitás számértékére a (2.6), (2.7), (2.8) egyenletek által kijelölt kerületérték feladat megoldás-függvényének ismerete nélkül. Kondenzátorok kapacitásának becslésével kapcsolatban igen értékes eredményeket tartalmaz R. Weinstock könyve, amely elsősorban a variációszámítás eredményeinek felhasználásával bizonyítja a kapacitás számértékére vonatkozó korlátokat [3]. Az idézett mű azonban nem foglalkozik forgásszimmetrikus vezető felületekkel határolt kondenzátorok kapacitásának becslésével kapcsolatos speciális eljárásokkal. 3. Felső korlát Tétel. Az S2 + BA zárt tartományban folytonos, az S2 nyilt tartományban foly tonosan differenciálható f = f (r, z) kétváltozós függvény legyen állandó fı , illetve f, értékű a BA1 , illetve a BA; határgörbéken, vagyis tegyen eleget az F(r,z)=f1 =állandó (r,z)eBA1 ,
(3,1)
f(r, z) =f, = állandó (r, 2) E BA,
(3.2)
peremfeltételeknek. Legyen továbbá
fr *fz Fennáll a
44
(3-3)
f r (Vf)* d C0 < 21! ggx?
(3.4)
egyeııltitlenségi reláció. Bizonyítás Legyen a == a (r, z) és b = b (r, z) az 9 tartományban legslébb egy mr .,szsksszonként" folytonosan differenciálható kétváltozós függvény. Tekintsük sz ıslıibbl eiöirással definiált mennyiséget:
E(a,b)=2„_/'rvzz-vbzrrz.
(3.s)
A Svhwarz-féle egyenlőtlenségi reláció alapján írhatjuk, hogy [E (a, b)]° <E (a, a)E (b. b).
(3.6)
A fenti egyenlőtlenségi relációból az a =Jl
b=U
(3.7), (3.8)
iıslyettesltéssel közvetlenül a bizonyitandó (3.4) egyenlőtlenségi relációt kapjuk, hs ts-
kiııtettel vagyunk az
Etf.D=2«f f fwn* do. rt
(3.9)
5`(U. U)=C`o .
(3-10)
és s Gauss-féle integrálátalakítási tétel, valamint a szorzatfüggvény deriválási szsbéiyénsk is egy iittes alkalmazásával ievezethető
Eu, U)-21: frvf-vuzm= zzz fv-(rfvU)an0
0
-2" ffvvvwzm-ı cfz-fzı ff -Él-,fa--cf.-f.)c„ n
8.4,
(3.i l) iissssftiggésre. 45
4. Alsó korlát 4. 1 Tétel.
Legyen d I d (r, z) = d, (r,z) e, + d, (r,z) e,
nem azonosan zérussal egyenlő az Q + BA zárt tartományban folytonos olyan rz sikbe li vektormező, amely kielégíti a V`(rd)=0
(r,z) e
(4.l)
parciális differenciálegyenietet. Fennáll a [ f fn' dds]2
c„>2„ “A1
(4.2)
frdzdšl rt egyenlőtlenségi reláció. Bz'zonyı'ta's.
A bizonyítás alapja a
[G (m.ı>)]1 < G (Mz) G (M)
(4.3)
Schwarz-féle egyenlõtlenség, ahol
G(m,p)=2„ _/'fm-pass.
(4.41
.Q
A (4.3) Schmrz-féle egyenlőtlenségi reláció érvényes mindazon m = m,. (r, z) e, + mz (r, z) ez és Pzpr (7-Z)er +Pz (Í-Z)ez
r, z síkbeli vektormezőkre, amelyekre a (4.3) egyenlőtlenségi relációban szereplő integrá
lok léteznek és véges értékűek.
i
Az m = VU
P=d
(4.5), (4.6)
helyettesítéssel közvetlenül megkapjuk a (4.2) egyenlőtlenségi reláció igazolását a (4.3) Schwarz-féle egrenlőtlenségből, ha tekintettel vagyunk a 46
cwuvw-Q,
MU
o(d.d)- 21: f „Pan
(4.a)
0
éss
G(vu,a)=2„_/'rvu-<ıan=2„ fv-(rU«1)aoO
21r fUV`(rd)dK2=21r frUd-.nds=21r f rUd'ısds (4.9) rı a.-1 8.4, összefüggésekre. A (4. 9) összefüggés levezetésénél a szorzatfüggvény deriválási szabályát, ıı (iauss-féle integrálátalakitási tételt és az U = U (r, z) függvénnyel kapcsolatos peremfeltételeket, valamint a d = d, e, + d, e, vektormezöre vonatkozó (4.l) egyenletet alkslııısztuk. 4.2
Tétel.
Legyen g = g (r, z) az S2 + BA zárt tartományban egyszer, az 0
ııyilt tsrtományban pedig kétszer folytonosan differenciálható nem azonosan éllsndóvsl ıgyanlö kétváltozós függvény.
A
lisnnéll a 5.*
C., > zzz -1--i-Z-'~. ı. (v.g)= araz
(4.10)
23'?
egyenlőtlenségi reláció. Bizonyítás. A (4.10) egyenlőtlenségi reláció közvetlen következménye s (4.2) egyenlőtlenségi relációnak, s abból a ˇ
zı--,Í-vzxz,,,
(4.11)
(O, -I e, x s,. ) lııiyettesltéısel nyerjük. 47
Evidens, hogy a fenti alakú d I tl (r, z) vektor kétszer folytonosan differenciálható 3 -I g (r, z) függvényt feltételezve indentikusan ldelégiti a (4.l) parciális differenciálegyerıletet. Rövid számolással kapjuk, hogy f m-44,-.= f (vgxeg)-nds= f Vg`(e,,,xn)ds= a.4, a.-1, Mz
=- f vg-tds=-
3'-L3' 2'
aA,
(4.12)
.ÍÍ".
A (4.1 1) és (4.12) egyenletek, valamint a (4. 2) egyenlőtlenségi reláció kombinálásával köz vetlenül a bizonyitandó (4.10) egyenlőtlenségi relációt nyerjük.
5. Kiegészítő meg'egyzések 5.1 Rövid diszkusszióval megmutatható, hogy a (3.l) egyenlőtlenségi relációban egyenlőség jele csak akkor érvényes, ha
f=aU+ b,
(5.1)
ahol a és b tetszőleges valós állandókat jelölnek eltekintve az a =# 0 megszorítástól. 5.2 A (4. 2) egyenlőtlenségi reláció elemzésével kimutatható, hogy abban az egyenlőség jele csak akkor érvényes, ha d=aVU,
(5.2)
ahol a tetszőleges zérustól különböző valós állarıdót jelöl. 5.3 Tekintsük az alábbi előírások által egy additív valós állandótól eltekintve egyértelműen meghatározott V = V (r, z) kétváltozós függvényt: BV ___
Bz _ ÖV_
ig
r Br '
(53)
_Ö_f_/
ar -r az .
(5.4)
Egyszerű számolással kimutatható az (5.3) és az (S.4) egyenletek felhasználásával, hogy a V = V(r, z) függvény kielégíti az alábbi elliptikus típusú parciális differenciálegyerıletet: %]`=0 (r,z)<-ESZ.
48
(5.5)
As (3.3). (5.4) egyenletek és s (2.12) formula kombinálásával nyerjük sz (5.6) formulát:
c, - 21-
n
(v IO' an.
(se)
A (2. l 5) formula átalakításával nyerjük az ($.7) összefüggést: C0-211 f r-aá-gá:-21r f rVU-nás8.s, 8.4,
-24 f (vVxe,,)-aaz=2„ f vV-(4,,za)az8.4,
8.4,
--2rr f VV-tds=-2rr f %,ds. a.4, 8.4,
(5.7)
A fenti észrevételeket a (4.10) egyenlőtlenségi relációhoz kapcsolódó rövid diszkusszióval kiegészítve kimutatható, hogy egyenlőség jele a (4.10) egyenlőtlenségi relációban csak aklıur érvényes, ha g-aV+ b,
(5.B)
shui a és b tetszőleges valós állandókat jelölnek, eltekintve az a ı 0 megszorítéstól. 5.4 Az eddigi fejtegetésekből (l. pl. az (5.7) formulát) kitűnik, how s V II V (7. I) függvény nem egyértékti az S2 + BA tartományban. 6. Példák
6.1 Tekintsük az rz síkon az alábbi előírással definiált R B polérkoordinétaréndelért (3. ábra): R I |/(r-a)° +2* ,
(6.i)
ölilrctg-;-Ez .
(6-2)
Ugyan s BA, görbe egyenlete R, HR, (0) a BA, görbe egyenlete pedig R, 'I 1' R; (0) s (6.1), és (6. 2) formulák által definált polárkoordinátarendszerben. A B A;
és BA, górbékkei kspcsoistbsn feltesszük, hogy bármely 0 kezdőpontú félegyenes 0 ez R B koordlnétsrendzser kezdópontjs - csak egyetlen pontban metszi s BA; , illetve s BA, hstérgörbéket, továbbá 49
B
8,
1
B
V""`*'-'R+-`-fe BR R B0
I
an ıı RaRas
Z
I l | |
MP=R PN -z z 0N=r
P
Q'
M 0
__. _
,,
i
“N
e
--1-ııT
gr
a
3. ábra: R 0 polárkoordinátarendszer.
R2 (19) = Ã R109),
(6-3)
ahol )t egynél nagyobb állandót jelöl. Más szóval a BA, és BA; határgörbék egymásból hasonlósági transzformációval nyujtással, illetve zsugorítással származtathatók. A BA, és BA, zárt görbéket a 4. ábra szemlélteti. A (3. 1) egyenlőtlenségi relációt az R
6
f=-1,393
(64)
függvényre alkalmazzuk. Evidens, hogy f,=l,
50
f,=-li
r=a+Rcosı9,
_ 21' 1
im' (aa) +
__
°~`-'Z 5!R4* (R'1)' R' ' I
.f- K
Ügıs...
ÍÍ
án I RáRd 0. A lenti eredmények felhasználásával kapjuk a
x+ı Č0<21fd,"í-:`_-Í
>t+ı +1-_:-1-01|'
21!
(R'('9))“
{ c0SŰdÚ+
21!
+-Í-Š-Í 211 BÍR, cosı9dı9+ 2!
s
2
+ 21r -íä-T {
cos Bdü.
(65)
eredményt. 6.2 Legyen a (4.10) egyenlőtlenségi relációban
I " F1 (19) -
(6-6)
A A H h (B) egyváltozós függvény tegyen eleget a h (0) I 0,
h (21r) =-j 1
(6.7), (6.B)
lertileti feltételeknek és legyen az alábbi módon definiálva a - °° < 0 < H nyilt intervai lttınbsn:
»(0)-n.,(o-2ız„)+ız,
`(õ.9)
2k1r<ı9<(2k+ 1) rr,
s-n:L:z.„. A A -I A (0) függvény görbéjét az 5. ábrán vázoltuk. Rtivlri számolással nyerjük az alábbi alsó korlátot:
2 c„>-I-[h:%)] .
(6.10)
slttıi 5l
Z
MP, IR, (19)
.P
MP, -R, (zs)
'
R, II AR,
""
I'
1
B A,
4. ábra: Hasonló BA, és BA, görbékkel határolt S2 tartomány.
l
p
1(h„ (á)]= 0Í" Í R103) _/`
R[(h9+(R)]25dR]ae. a cos )
(6.11)
A nyilvánvaló Ă!
liho 09)] 41 [ho ('9)l 21r
= 0
52
R (19)
f“
R,(N)
ih' (=9)i' aR]zw R(“:1_R) .
(6.12)
__OŠ_;“N
Nu*
äi cˇ ı dŠ”
HIR
Oıü
A3;
^3_`
.NI
egycnlőtienség és a (6.10) egyenlőtienség kombinálásával nyerj ük a (ó.|3)11lsó korlátot:
co > z-2-'-'-- .
(6.13)
Í [ho 09)] A4.a'bra'n vázolt BA, és BA, görbékkel határolt S). tartomány esetében
~l[h0
1 2”
=í` B/'(h'0 (t9))2 (en
84--Rz(-9) ] dt?
(6.14)
eredményt tudjuk levezetni. A (6.14) egyenlőtlenségjobb oldala a ho = ho (19) függvény alkalmas megválasztása val minimálissá tehető. A variációszámítás elemi eredményeinek felhasználásával kapjuk az alábbi eredmént:
m1„1[rz,(s)]-Š e 2*
il? ~
\
(6.15)
.f 5- A“ -RR2(8) 4-R2 (19)
A (6.13) egyenlőtlenség és (6.15) összefüggés kombinálásával jutunk a 21r
_
c,,>2„.-zf 6 0
dl?
In
-~
7\0'"R2 (19)
(6.16)
0"R2 (19) alsó korlátra. 6.3 A levezetett összefüggésekből igen egyszerű szerkezetű korlátokat kapunk az R, = állandó, R, = állandó esetben. A (6,5) formulából a +
C0 šürzai A- 1
(6.17)
felső korlátot, a (6.16) formulából pedig a
c> °” In 49% zzz-R, ű“"R2
alsó korlátot nyerjük.
54
('618 )
R AI--' Rs
_ı_
'
6. ábra: Körgyűrű felületekkel határolt kondenzátor merldiánmetszete.
A körgyűrű alakú kondenzátor meridián metszetét a 6. ábrán vázoltuk. Legyen a (6.17) és (6.18) egyenlőtlenségi relációkban A = 1,1 , R, H 0,1 a. A fenil éttéltek behelyettesítésével kapjuk az alábbi eredményt:
37,96412zf*.z
t= 1,1, R, =o,1a)<421f* zz.
(6.19)
IRODALOM
I. PA'l"l`AN'l`YUS A. G.: Gépész és villamosmérnökök Kézikönyve 2. Alaptuáonsárıyok- Anyagilnserét. Iiőszerk.: Sályi L. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1962. 1242-1258. I. HIMONYI K.: Elméleti villamosságtan. Tankönyvkiadó. Budapest, 1981. 157-184, 225-232.
J. WltlNS'I'0CK Rı. Caicuius of variations in Physics and Engineering. New York, Toronto, London. Me (irsw Hill. 1952. p. 294-318.
55
CAPACITY LIMITS OF CAPACITORS BOUNDED BY SURFACES OF REVOLUTION I. ECSEDI
Summary The capacity of such a capacitor can be determined with formula (2.9). In order to apply Eq. (2. 9), the solution of the boundary value problem imposed by Eqs. (2.6), (2.7) and (2.8) must be known. Unfortunately, however, no exact solution of the boundary value problem imposed by Eqs. (2.6), (2.7), (2.8) is available even for capacitors of very simple shape, bounded by surfaces of revolution, ocurring in technical practioe. Owing to this fact, the principles and rnethods, enabling us to form lower and upper limits to the numerical values of capacity without a knowledge of the potential function, are of extreme importance. By applying the unequality relations (3.l), (4.2), (4.10), bilateral limits may be established to the capacity of a capacitor bounded by surfaces of revolution without kno Wing the solution function of the boundary value problem postulated by Eqs. (2.6), (2.7), and (2.8).
GRENZE FÜR DIE KAPAZITÃT VON KONDENSATOREN MIT ROTATIONSFLĂCHEN I. ECSEDI
Zusammenfassung Die Kapazität eines Kondensators mit Rotationsfiäche kann durch die Gleichung (2. 9) bestimmt werden. Zur Anwendung der Gleichung (2.9) muíă jedoch die Lösung der durch die Gleichungen (2.6), (2.7) und (2.8) bestimmten Randwertaufgabe bekannt sein. Leider, die genaue Lösung der durch die Gleichungen (2.6), (2.7) und (2. 8) bestimmten Randwertaufgabe ist noch im Falle von Kondensatoren mit den irn technischen Praxis vorkommenden sehr einfachen Rotationsflächen nicht bekannt. Die Prinzipe und Methode von groíier Bedeutung, mit denen Hilfe untere und obere Grenze für die Gröíăe der Kapazität zu bilden sind, ohne die Potentialfunktion zu kennen. Mit der Anwendung der in Abhandlung bevviesenen Ungleichungsrelationen (3.l), (4. 2) und (4.10) können zweiseitige Grenze fúr die Kapazität eines Kondensators mit Rotationsflächen gebildet werden, ohne die Lösung der Randwertaufgabe, die durch die Gleichurıgen (2.6), (2.7) und (2. 8) bestimmt ist, zu kennen.
l`lPEJIEl`lbl EMKOCTH KOHJIEHCATOPOB Ol"PAH!'l\IEHHbIE HOBEPXHOCTHMH BPAILIEHHH PIIJITBAH ÍŠLIEIIPI Peaıoıvte
Emxocrr. Konne1~ıcaTopo8 orpanımennrzıx nonepxnocrsmr ıapaııreı-mr! Mom-ro onperrem-1'ı`1. Ha ocnoae qıopıssynrzı (2 .9) . O,ı:11~1aı
S6
run-ra. Hcnonssyı nosrssaıııtıııe a ersre nepsssmfrs (3. l ). (4.2). (4-10). H0 IIHII Peuw ue wıavn 0 ııumısserpwıecxoas sııa teıtıtıt :laılatuıol I ıııure ypsıırwımtt (i.l), (l .2), (l.3) ıvıoıkcm onpcnenvırı. 1114
ııuııoısrn 14 aepxrısrtt nperrens tuııı essısnımı Korureııcsropoıı orpasıırıreasısıx rıoaepxnocrıırvıu ııpaureıtmı
S7
