TARTALOMJEGYZÉK
Ecsedi István: Egy tétel a rugalmas kontinuumok kiegészítő energiájáról . . . . . . . . . .
J
Ecsedi István: Egy hővezetési problémáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ecsedi István' I-lőelvezetés lemez alakú bordán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecsedi Istva'n.` Korlátok a forgásfelületekkel határolt kondenzátorok kapacitására . . . . . Ecsedi István: Korlátok a vékonyfalú anizotróp rugalmas anyagú, prizmatikus rudak csavarási merevségére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 19
Ecsedi István: Korlátok az üreges forgástest alakú tárcsák csavarási merevségére . . . . . .
7,
Nándorine' Tóth Mária: Alakzatok rekonstrukciója három nézetből . . . . . . . . . . . . .
99
S9
R. Tégen Magdolna: Egy elemi megoldási módszer a közönséges lineáris differenciálegyenletek egy speciális osztályára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
Ecsedi István: Egy megjegyzés a Bredt-formulával kapcsolatban . . . . . . . . . . . . . . . Maurer I. Gyula: Romániai magyar matematikai és csillagászati szakirodalom . . . . . . .
127 137
149
A NEHEzıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 27. KÖTET - l - 2. FÜZET
MISKOLC, 1988.
HU-ISSN 0133-3992.
SZERKESZTŐ BIZOTTSÁG:
KOZÁK IMRE felelő: ızeıteeztõ MAURER GYULA, SZÓTÉR LÁSZLÓ
lüedjı ı Nehezlpıxi Műızıki Egyetem
A kiedíıeft felelõız Dr. RonııvárlPál rektoı-helyettes NME Sokııoroıltó Üzeme Nyomdeıılm: ICSZ-88-1500-NME Mlıkele-Eıyetemvlroı. 1988. Bn|ed6ly ıılme: 57768 N86 el rendezte: Dr. Fırkııı Jóıuf egyetemi tıní: Technlkel ııeılıeııtõ: Mdrkuı Ldclóııd lledelenı eı NMR Köılemenyel Sıerkeeztõıézének ıondoztıúbeıı Kell!!! lledeıe: 1988. V. 1-46| - 1988. VIII. 15-lg. Sokızotoeitóbe bedvı:'l988..lX. 8.
Nlúlııyıılm: 350
Mııüli IIH « li Elektıoıılkuı Compoıeı ızedóııel. :oteprhıt lemezről
ll HI! 560149 Ö! 8602-55 lılbvlnyok lıednt. 12 HIS ív teıjedeleluben
A ıııhııemllllıt felelde: Tóth Ond mb. llıemveıetõ
NME Közleményei. Mlıkolr. 11'. Snrıııaı. 'li-rırıeiszertudomdnyok, 27 (1988) köret, 99- 110.
ALAKZATOK REKONSTRUKCIÓJA HÁROM NÉZETBŐL NÁNDORINÉ TÓTH MARIA
Összefoglalás A dolgozat olyan számítógépes rekonstrukciós eljárásra javasol módszert, aminek segítségével három nézetéből létre lehet hozni a térbeli vonalalakzatot. A program egyenes- és görbevonal darabokat tartalmazó vetületekből rekonstruálja a térbeli alakzatot. Ehhez a görbevonalakat egyenesszakaszokkal és körívekkel kell helyettesíteni. A rekonstruált alakzatrói axonometrikus kép is készül, ami meggyőz arról, hogy a geometriai objektum létrejött.
1. Bevezetés A műszaki gyakorlatban gyakran előforduló feladat, hogy munkadarabok, alkatrészek, vagy más geometriai alakzatok térbeli formáját, alakját két dimenziós képekből kell rekonstruálni. Ennek egyik leggyakoribb módja, hogy három merőleges vetületböl kell let rehozni az alakzatot. Poliéder rekonstrukciójára [1] mutat be egy számítógépi programot, ami egyenesszakaszokból álló nézeteket feltételez. Jelen dolgozat olyan számítógépes módszert mute! be, amelynél az adott három képen a vetületi vonalak nemcsak egyenesek, hanem görbevonalak is lehetnek.
NÁNDORINÉ TÓTH MÁRIA
egyetemi tanársegéd Nehézipari Műszaki Egyetem
Abrázoló Geometriai Tanszék 35 15 Miskolc-Egye te mváros A kézirat beérkezett: 1985. jan. H.
99
2. A módszer elméleti alapjai Legyen három egymásra páronként merőleges síkon egy-egy vetület adva, amely egyenes- és görbevonal darabokat tartalmazhat. A három síkhoz az (xyz) Descartes-koordinátarendszert kötjük úgy, hogy a síkok a koordinátasíkokra kerüljenek. Az egyes vetületeken levő hálózatokon csúcspontokat és éleket jelölünk ki, majd sorszámozzuk őket. A vetületi vonalakat nem ismerjük .analítikusan, ezért megpróbáljuk a lehető legjobb közelítéssel egyenes szakaszokkal és körívekkel helyettesíteni. Igy a vetületi vonaldarabok egyenesszakaszok és körívek lehetnek. Az egyenes szakaszokat két végpontjukkal adjuk meg. A köríveket középponttal, sugárral és a két végpontba húzott sugáregyenessel adjuk meg (1. ábra). A körív megadásánál ügyelni kell arra, hogy bármelyik koordinátát független vfiltozónak tekintve, a körív egyértékű függvénnyel leírható legyen. . A vetületeken minden olyan pont csúcspont, ahol a csatlakozó egyeneseknek törés-1 pontjuk van, vagy egyenes szakasz és körív, illetve két körív csatlakozik. Utóbbi esetekben a két vonal töréspont nélkül is csatlakozhat.
.V
Ps R
ip,
P1
*Pr 0
ı-L
-
x
1. ábra
100
Az így meghıtsmzott vetületi vomılakra vetitőhengert fektetünk - ami sok esetben vetitősik -, és ezeket páronként elmetsszük egymással. A metszetgörbe egy térbeli vonsl, ami a keresett alakzatnak éle. j A megoldások egyértelműségére vonatkozóan az utóbbi időben vizsgálatok indultsk. A [2] azt elemezi, hogy két, egymásra merőleges síkon levő vetületekből milyen feltételek mellett rekonstruálható az alakzat, és mikor egyértelmű ez a művelet. Legyen az (xy) koordinátasík 1' jelű görbéjére fektetett, a z tengellyel párhuzamos vetitőhenger Zi, az (yz) koordinátasík j jelű görbéjére illesztett, az x tengellyel párhuzamot vetítőhenger XÍ és a (zx) sík k jelű görbéj én levő, az y tengellyel párhuzamos vetítőhenger Yk (2. a'bra)! Ha van az Yk és Z, vetítőhengereknek metszete, akkor annak az (xy) ılkrs el merőleges vetülete az i, vagy annak egy része, a (zx) koordinátasíkra eső merőleges vetülete pedig a k jelű görbe része vagy egésze. Az így előállított térgörbe éle a keresett slskzstnak, ha létezik az (yz) koordinátasíkon is a merőleges vetülete. Az eljárás során csak az el végpontjait vizsgáljuk abból a szempontból, hogy megvan-e az (yz) síkon a vetületük. Miután minden olyan térbeli élt megkaptunk, ami az (xy) és (zx) síkon lévõ vetületi vonalakból létrehozható, az X; és Yk vetítőhengerek metszetét keressük meg. Az így klpott térbeli vonal éle az alakzatnak, ha van az (xy) síkon vetülete. Az élek létrehozása után - szemléltetés végett - axonometriában képet rajzoltatunlı az alakzatról. A rajzoltatást jelenleg DIGIGRAF 1612-es rajzgépen [3] végeztetjük lyukszalag segítségével, amit az SZM-4 számítógépen hozunk létre. 3. A módszer algoritmusa
,
Az eljárásra FORTRAN forrásnyelvű számítógépi program készült, SZM-4 tipusú számítógépen, az .alábbi folyamatábrával (3/a-d. ábrák). A program egy futásával több feladatot is megoldhatunk, egy rekonstruált alakzatról pedig több rajzot is készíttethetünk. 6 Meg kell adni a vetületeken levő csúcspontok két-két koordinátáját, az összeköteseket és az előforduló körök adatait. . 4. A számítógépi program A feladat megoldásához szükséges bemenő adatok a folyamatábrán feltüntetett solrendben dimenziókkal és a beolvasási formátummal a következők: NPROB IS NPI, NP2, NP3
XY (3O,2), YZ (3O,2), ZX (3O,2)
I5 IS 315
F1O.2
a feladatok száma, a vetületeken levő körök száma, az (xy), az (yz) és a (zx) koordináts síkon levő pontok száma,
z pontok ızoozamzıai az (xy), az (yz) és a (zx) koordinátasíkon,
101
2
* J Iii[_ 1` 2 ilU ` `
2 pl1`"1`Hi' ``
.J
_xx_
,y
y
á_
Z R
_
ív]
START
INPUT NPROB IS
N=ıN+1 M20
INPUT NP1, NP2, NP3 XY, YZ, ZX N01. N02, N03 NK1. NK2. NK3
ˇ NRAJZ
@ 11
INPUT a körök jellemzői
31.:. am
LIO lıı0
Az (xy) sík I-edik görbéjére illesztett Z, vetítőhenger felvétele
Ü
Az (zx) síkon levõ K-adik görbére illesztett Y vetítőh enger felvétele
sv
A két vetítőhenger metszésvonalinak megkeresése L Il L + 1
L-edlk têrgörbe él
í JIIO
3Ib. ábra
Az (vz) sík J jelű görbéjére illesztett X! vetítőhenger felvétele
A (zx) sík K-adik görbéjére illesztett Yk vetítőhenger felvétele
._ __'
l__"_" _
Az Xi és Yk metszetgörbéjének megkeresése L =ı L -i- 1 L-edik térgörbe él
Van-e már ilyen görbe?
ii 1'
I.
3!c. ábra
r'
Az alakzat vetületének meghatározása a rajz síkján *I
in
Z
'
1
íý
í
1
OUTPUT
A térbeli alakzat adatai: - egyenes élei kezdő- és végpontjaival, - nem egyenes élei végpontjaival és közbülső pontjaival, - pontjai koordinátáival. Rajzoló szalag
n
1'
N IRNPROB
Í
sza. am
n
N01, N02, N03
315
NK 1 (30,3), NK2 (30,3), NK3 (30,3)
1615
az oldalak száma az (xy), az (yz) és a (zx) koordinátasíkon, az oldalak (összeköttetések) kezdő- és végpontjai és jelzőszám, ami nulla, ha egyenes az oldal, és ettől különbözö, ha körív,
R (10)
F1 0.2
F11 (10), F12 (10)
F_1O.2 a kõziv két vëgpontjahoz mutató sugár
X0 (10), Y0 ( 10) A (2, 3)
F10.2 6 F10.2
a körök sugara,
egyenesnek az első koordinátatengellyel bezárt szöge, a körök középpontjainak a koordinátát. az axonometria transzformációs mátrlxtı
Ezen adatok ismeretében a program létrehozza azt az alakzatot, aminek a három vetülete az adott három kép. A módszerrel általában több térbeli vonalat kapunk, mint amennyit vizuális rekonstrukcióval kapni vélünk. A program ugyanis minden olyan csúcspontot és élt létrehoz, aminek a vetülete rajta van az adott három képen. Ugyanakkor, mivel vonalalakzatot vizsgálunk, felületkontúrok nem jönnek létre. A 4. és 6. ábrán levő vetületekből a program az 5. ill. a 7. ábrán szemléltetett alakzıtot hozta létre. 2
.
J'
+
2
.v
4. ábra
1 07
A7 41
re 2.'
7
E1I “ee-..|` ff\\ \ IRODALOM NÁNDORINÉ TÓTH MÁRIA: Poliéder rekonstrukciója három nézetből. NME Közlem érlyll I V.
Sorozat, Természettudományok, 26 (1982) 131-139. KIRSCH, A.: Ist die Grundriilı,-_`_4___Aufrii`š-Abbilduııg injektiv? =Mathematisch-physikalische Semeller
berichte 19. 197 2. 146-158. p. , OKPIOS Allgemeines Zeíchenprogramm DIGIGRAF D3G. 1 Prága, 1978.
\
109
RECONSTRUCTION OF FORMATI ONS FROM THREE ELEVATIONS MRS. NÁNDORI M. TÓTH
Summary The paper suggests such computerised reconstruction methods with which the spatial line-conflguration can be created from its three elevations. The program reconstructs the spatial configuration from projections containing straíght and curvílinear parts. For this the curved lines should be substituted with straíght sections and arcs. There are axonometric views made from the reconstructed formations which convince us of the fact that the geometrical object has been realized.
REKONSTRUKTION DER FORMATIONEN AUS DREI SCHAUEN FRAU NANDORI M. TÓTH
Zusammenfassung Der Beitrag emp ehl eine Metho de für solche Rekonstruktionsverfahren mit Computer, mit deren Hilfe das Zustandebringen der räumlichen Linienformationen aus drei Schauen möglich sind. Das Program rekonstruiert aus den gerade und gebogene Linien enthaltenen Projektionen die räumlichen Formationen. Dazu sind die gebogenen Linien mit geraden Linien und Kreislinien zu ersetzen. Von der Rekonstruktionsformation wird auch ein geometrisches Bild gefertigt, was beweist, daiă das geometrische Objekt zustande gekommen ist.
PEKOI-ICTPYKIIIIIH fDHI"YP [IO TPEM BPIIIAM
HAHIIOPI/IH3 M. TOT Peaıosr e Anrop paõorrzı npermaraer Taxoit Meroıı pexoncrpyxırım c nomormsro 3BM, Koroprzrtt nosnorurer Eocnponan ecTH crepeowrerpıfıııecıcyıo cpırrypy, Hcxorur Ha Tpex Burton. Hporpaıvrıvıa pexotrcrpyırpyer cTepeoıvıeTpı»ı=ıecKyıo qmrypy Ha npoexunü, conepxcamnx npxmonnı-ıeitı~ıı„ıe H Kpnaonnnettusıe Jıeranu. ,llna aToro Kpnnsre ıryxcıro aaıvrenımz npsrmrzııvm orpesxaıvm H ııyraıvru. Ho percoıacrpyıaponar-ınomy ırpernvıery coaııaercsr TaK>Ke axconorvterpmıecxnñ LıepTe>K, 8 rr.or
110
