Sz´ els˝ o´ ert´ ek-sz´ am´ıt´ as ´ es gyakorlati alkalmaz´ asai Szakdolgozat ´ırta: Pallagi Di´ ana Matematika BSc szak, elemz˝o szakir´any
T´emavezet˝o: Svantnern´ e Sebesty´ en Gabriella Tan´arseg´ed Alkalmazott Anal´ızis ´es Sz´am´ıt´asmatematikai Tansz´ek E¨otv¨os Lor´and Tudom´anyegyetem, Term´eszettudom´anyi Kar
Budapest 2015
1
Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es
4
2. Differenci´ alhat´ o f¨ uggv´ eny, differenciah´ anyados
5
3. Differenci´ al´ as - egyv´ altoz´ os eset 3.1. A deriv´ altf¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Deriv´ altak kisz´ am´ıt´asa a defin´ıci´o alapj´an . . . . . . . . . 3.2.1. Jel¨ ol´esek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. A deriv´ alt ´ abr´ azol´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny. Jobb (bal) oldali deriv´altak . . 3.5. Minden differenci´ alhat´o f¨ uggv´eny folytonos . . . . . . . . 3.6. Mikor nem l´etezik egy f¨ uggv´eny adott pontbeli deriv´altja? 3.7. A deriv´ altra vonatkoz´o Bolzano-t´etel . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
7 7 7 7 8 8 8 9 9
4. Deriv´ al´ asi szab´ alyok 10 4.1. Hatv´ any, szorzat, ¨ osszeg, k¨ ul¨onbs´eg . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.1.1. Szorzat ´es h´anyados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5. M´ asod- ´ es magasabbrend˝ u deriv´ altak
11
6. A trigonometrikus f¨ uggv´ enyek deriv´ altja 12 6.1. A szinuszf¨ uggv´eny deriv´altja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.2. A koszinuszf¨ uggv´eny deriv´altja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7. A l´ ancszab´ aly. Param´ eteres egyenletek 13 ¨ 7.1. Osszetett f¨ uggv´enyek deriv´altja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.2. A l´ ancszab´ aly ism´etelt alkalmaz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 8. A deriv´ alt alkalmaz´ asai 14 8.1. F¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ekei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 8.1.1. Lok´ alis sz´els˝o´ert´ekek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 9. A sz´ els˝ o´ ert´ ekek megkeres´ ese
15
10.A Lagrange-f´ ele k¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etel
17
11.Monoton f¨ uggv´ enyek ´ es az els˝ o deriv´ alt teszt 18 11.1. N¨ ovekv˝ o ´es cs¨ okken˝o f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 12.A konvexit´ as vizsg´ alata 19 12.1. Inflexi´ os pontok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12.2. A m´ asodik deriv´ alt ´es a lok´alis sz´els˝o´ert´ekek . . . . . . . . . . . . 21 13.F¨ uggv´ enyvizsg´ alat
22
2
14.Alkalmazott optimaliz´ aci´ os probl´ em´ ak 24 14.1. Geometriai alkalmaz´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 15.Deriv´ altak a gazdas´ agtanban 25 15.1. A k¨ ozgazdas´ agtanhoz kapcsol´od´o feladatok megold´asi h´attere: . . 25 ¨ 15.2. Uzleti alkalmaz´ asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ¨ 16. Osszefoglal´ as
28
3
1.
Bevezet´ es
M´ ar a 17. sz´ azadt´ ol jelent˝os matematikai probl´em´anak sz´am´ıtott a g¨orb´ek ´erint˝ oj´enek berajzol´ asa, illetve annak pontos defini´al´asa. Ezt nevezz¨ uk deriv´altnak, ami az anal´ızis egyik legfontosabb fogalma. A sebess´eg, a gyorsul´ as, a betegs´egek terjed´ese p´eld´aul egyar´ant deriv´altk´ent hat´ arozhat´ o meg. A deriv´ alt sz´am´ıt´as´ara vezethetj¨ uk vissza, amikor a hat´ekonys´ agot maximaliz´ aljuk, a legkifizet˝od˝obb form´aj´ u, adott u ˝rtartalm´ u poh´ar m´eret´et vagy egy r´eg´eszeti lelet kor´ at pr´ob´aljuk meg´allap´ıtani ´es m´eg sz´amos m´as feladat megold´ as´ aban. A szakdolgozatom a f¨ uggv´enyelemz´esr˝ol sz´ol, azon bel¨ ul is a sz´els˝o´ert´ekekre f´ okusz´ al. Bevezetem az alapvet˝o defin´ıci´okat, t´eteleket, ´all´ıt´asokat, valamint r´ amutatok az ezekb˝ ol ad´ od´ o k¨ovetkeztet´esekre. Az ismertetett szab´alyok seg´ıts´eg´evel ´ altal´ anosabb´ a ´es kezelhet˝obb´e v´alnak a bonyolultabb f¨ uggv´enyek. A c´elom a dolgozat meg´ır´as´aval, hogy ´erthet˝ov´e ´es vil´agoss´a tegyem a matematika k¨ ozponti jelent˝ os´eg˝ u fogalm´at, a differenci´al´ast, ´es m´eg azok sz´am´ara is ´erdekess´e v´ aljon e fogalom, akik eddig csak n´evlegesen hallottak r´ola. Gy˝ ujt˝ omunk´ am sor´ an sz´ amomra is sz´amos ter¨ ulet ker¨ ult felfedez´esre, mely izgalmasabb´ a ´es tanuls´ agoss´ a tette a folyamat ”bebarangol´as´at”. Bemutatom a deriv´ alt n´eh´ any fontos alkalmaz´as´at, valamint azt is, hogy hogyan lehet haszn´alni a f¨ uggv´enyek sz´els˝ o´ert´ek´enek megkeres´es´ere, a f¨ uggv´enygrafikon felrajzol´as´ahoz ´es elemz´es´ehez. Egy folytonos f¨ uggv´eny sz´els˝o´ert´ekeinek ismerete k¨ ul¨onb¨oz˝o optimaliz´ al´ asi feladatokra vezethet˝ok vissza. A teljes f¨ uggv´enyvizsg´alat gy˝ ujti ossze a felhaszn´ ¨ alt k¨ ovetkezm´enyeket. V´eg¨ ul gyakorlati p´eld´ akon m´eg szeml´eletess´e pr´ob´alom tenni a deriv´alt hasznoss´ ag´ at. Els˝ odleges kutat´asi ter¨ uletem a gazdas´agtan ir´any´aban t¨ort´ent a kor´ abbi tanulm´ anyaim hat´ as´ara. Optimaliz´al´asi feladatok megold´asai pedig az ´erdekl˝ od´es felkelt´es c´elj´ ab´ol ker¨ ultek megjegyz´esre. V´elem´enyem szerint a k¨ olts´egek minimaliz´ al´ asa, a nyeres´eg maximaliz´al´asa szinte mindannyiunk sz´am´ ara igen hasznos inform´ aci´o, valamint az u ¨zleti ´eletben, f˝oleg a gy´art´as tervez´es´en´el k¨ ozponti k´erd´es, hogy mekkora term´eksz´am mellett leggazdas´agosabb a termel´esi folyamat.
4
2.
Differenci´ alhat´ o f¨ uggv´ eny, differenciah´ anyados
Rajzoljunk fel egy egyenes p´ aly´an egyenletesen mozg´o pontszer˝ u testet. P´aly´aj´at abr´ ´ azolhatjuk a sz´ amegyenesen. Az f f¨ uggv´eny t id˝o m´ ulva (a kezd˝opillanatt´ol) a test aktu´ alis helyzet´et mutatja. ´Igy k´et tetsz˝oleges pont k¨oz¨otti elt´er´est k¨ onnyen leolvashatjuk. Eredm´eny¨ ul k´et-k´et ´ert´ekb˝ol sz´armaz´o k¨ ul¨onbs´eget kapunk, mind a megtett u ´t ´es mind az eltelt id˝ore vonatkoz´oan. Ez a t1 ´es t2 id˝ opillanat k¨ oz¨ otti elmozdul´ as ´es az id˝otartam h´anyadosa, azaz a test sebess´ege:
v=
f (t2 ) − f (t1 ) . t2 − t1
(1)
1. ´abra. Teh´ at a megtett u ´t ´es az eltelt id˝o ismeret´eben ´atlagsebess´eget tudunk sz´ amolni. Az eltelt id˝ ot minimaliz´ alva megkapjuk a t0 -beli pillanatnyi sebess´eget, amit a lim
h→0
f (t0 + h) − f (t0 ) h
hat´ ar´ert´ekkel defini´ alhatunk.
5
(2)
2. ´abra.
Ugyan´ıgy j´ arunk el, ha egy f¨ uggv´eny adott P pontbeli ´erint˝oj´et szeretn´enk meghat´ arozni. Az x0 r¨ ogz´ıtett kezd˝opont´ u h´ urt addig lehet cs¨okkenteni a m´asik v´egpontj´ anak az f f¨ uggv´enyen val´o mozgat´as´aval, m´ıg szinte el nem fogy.
3. ´abra.
6
1. Defin´ıci´ o (G¨ orbe meredeks´ ege, ´ erint˝ oje). Az y = f (x) egyenlet˝ u g¨ orbe meredeks´ege a P (x0 ,f(x0 )) pontban: f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h
(3)
m = lim
(amennyiben a hat´ ar´ert´ek l´etezik). A g¨ orbe P -beli ´erint˝ oje a P -n ´ atmen˝ o, m meredeks´eg˝ u egyenes. N´ezz¨ unk erre egy p´eld´ at: 1. P´ elda. Az f (x) = 2x2 − 10 f¨ uggv´eny meredeks´eg´et szeretn´enk az x = (3, 5) pontban meghat´ arozni. ´ Irjuk fel a k´epletet az x ´es az x-hez k¨ ozeli x + h pontokra: m=
2·(3+h)2 −10−(2·32 −10) h
=
2·(9+6h+h2 )−10−8 h
=
2·h2 +12h h
= 2 · h + 12.
Ha h → 0 a szel˝ o meredeks´ege 12-h¨ oz tart, hiszen: limh→0 2 · h + 12 = 12. Teh´ at a (3, 5) pontban a meredeks´eg 12.
3.
Differenci´ al´ as - egyv´ altoz´ os eset
A szel˝ ok meredeks´eg´enek hat´ar´ert´ekek´ent kisz´am´ıthatjuk egy g¨orbe adott pontbeli ´erint˝ oj´et. Ezt a hat´ ar´ert´eket nevezz¨ uk deriv´altnak, amely megadja, hogy hogyan v´ altozik a f¨ uggv´eny az adott pontban.
3.1.
A deriv´ altf¨ uggv´ eny
2. Defin´ıci´ o. Az f (x) f¨ uggv´eny f 0 (x) deriv´ altf¨ uggv´enye az a f¨ uggv´eny, amely minden x sz´ amhoz az f (x + h) − f (x) (4) lim h→0 h hat´ ar´ert´eket rendeli, amennyiben ez a hat´ ar´ert´ek l´etezik. Ha az f f¨ uggv´eny egy adott intervallum minden pontj´aban differenci´alhat´o, akkor az f f¨ uggv´eny az intervallumon differenci´alhat´o f¨ uggv´eny. ´Igy az ezen pontokhoz a deriv´ altakat rendel˝o f¨ uggv´enyt az f deriv´altf¨ uggv´eny´enek, vagy deriv´ altj´ anak nevezz¨ uk.
3.2. 3.2.1.
Deriv´ altak kisz´ am´ıt´ asa a defin´ıci´ o alapj´ an Jel¨ ol´ esek
Az y = f (x) f¨ uggv´eny deriv´ altj´ara sokf´ele jel¨ol´es haszn´alatos. P´eld´aul: 7
dy df d = = f (x) = D(f )(x) = Dx f (x). (5) dx dx dx A d/dx, illetve a D szimb´olumokat deriv´al´as-oper´atornak is nevezik. Az y 0 ´es az f 0 jel¨ ol´eseket Newton, a d/dx alak´ uakat pedig Leibniz vezette be. A dy/dx kifejez´est nem tekinthetj¨ uk t¨ortnek. f 0 (x) = y 0 =
3.3.
A deriv´ alt ´ abr´ azol´ asa
Az f grafikonj´ anak meredeks´eg´en - lehet˝oleg min´el k¨ozelebbi pontokban - elv´egzett becsl´esek alapj´ an ´ abr´ azolhatunk egy y = f (x) f¨ uggv´eny deriv´altj´at. Az elj´ ar´ as sor´ an az ´ıgy kapott (x, f 0 (x)) pontokat folytonos vonallal k¨otj¨ uk ¨ossze, ami kiadja az y = f 0 (x) deriv´altf¨ uggv´enyt, vagy legal´abb is annak viszonylag j´o k¨ ozel´ıt´es´et.
3.4.
Differenci´ alhat´ o f¨ uggv´ eny. Jobb (bal) oldali deriv´ altak
3. Defin´ıci´ o (Jobb (bal) oldali deriv´ alt). Az f egyv´ altoz´ os f¨ uggv´eny a helyhez tartoz´ o jobb (bal) oldali differenci´ alh´ anyadosa vagy jobb (bal) oldali deriv´ altja a f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) , lim (6) lim h h h→0− h→0+ hat´ ar´ert´ek. f -et az a helyen jobbr´ ol (balr´ ol) differenci´ alhat´ onak mondjuk, ha az el˝ oz˝ o hat´ ar´ert´ek l´etezik ´es v´eges. Az a helyhez tartoz´ o jobb (bal) oldali deriv´ alt 0 0 jele: f+ (a) (f− (a)). ´ Ertelemszer˝ uen; egy adott pontban l´eteznie kell ´es meg kell, hogy egyezzen a jobb ´es bal oldali deriv´ alt ahhoz, hogy ott differenci´alhat´o legyen a f¨ uggv´eny.
3.5.
Minden differenci´ alhat´ o f¨ uggv´ eny folytonos
A k¨ ovetkez˝ o t´etel a deriv´ alhat´os´ag ´as a folytonoss´ag kapcsolat´at vizsg´alja. 1. T´ etel (Differenci´ alhat´ os´ ag ⇒ folytonoss´ ag). Ha az f f¨ uggv´eny az x = c helyen differenci´ alhat´ o, akkor ott folytonos is. Ugyanez alkalmazhat´ o a jobb, illetve a bal oldali deriv´altak eset´eben; ha egy pontban jobbr´ ol, illetve balr´ol differenci´alhat´o a f¨ uggv´eny, akkor ott jobbr´ol, balr´ ol folytonos is. 1. Megjegyz´ es (Nem folytonos ⇒ nem differenci´ alhat´ o). Ha egy f¨ ugg v´eny valamely pontban nem folytonos (p´eld´ aul ugr´ as jelleg˝ u szakad´ asa van), akkor ott nem lehet differenci´ alhat´ o. 2. P´ elda. Az y = bxc als´ o eg´eszr´eszf¨ uggv´eny egyetlen olyan x = n helyen sem differenci´ alhat´ o, ahol n eg´esz sz´ am. 8
2. Megjegyz´ es. Az 1. t´etel megford´ıt´ asa nem igaz: abb´ ol, hogy egy f¨ uggv´eny valamely pontban folytonos, nem k¨ ovetkezik, hogy ott differenci´ alhat´ o is. 3. P´ elda. Ellenp´elda: y =| x | f¨ uggv´eny az orig´ oban nem differenci´ alhat´ o.
3.6.
Mikor nem l´ etezik egy f¨ uggv´ eny adott pontbeli deriv´ altja?
Egy f (x) f¨ uggv´eny az x0 helyen akkor differenci´alhat´o, ha a P (x0 ,f(x0 ))) pontban a mindk´et oldalr´ ol k¨ ozel´ıt˝o szel˝ok meredeks´ege megegyezik ´es az nem a f¨ ugg˝ olegeshez tart. L´ assuk k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on a kiz´ar´o eseteket: 1. Ha nem egyenl˝ o a jobb ´es a baloldali deriv´alt; 2. Ha a P Q szel˝ ok meredeks´ege megegyezik, viszont mindk´et ir´anyb´ol ∞-hez vagy −∞-hez tart; 3. Ha a P Q szel˝ ok meredeks´ege a k´et oldalr´ol ∞-hez ´es −∞-hez tart; 4. Ha a f¨ uggv´eny az adott pontban nem folytonos.
3.7.
A deriv´ altra vonatkoz´ o Bolzano-t´ etel
A K¨ ozbens˝ o´ert´ek tulajdons´ agra alapoz az al´abbi t´etel, miszerint: ha f folytonos egy adott [a, b] z´ art intervallumon, akkor ott felvesz minden ´ert´eket f (a) ´es f (b) k¨ oz¨ ott, azaz tetsz˝ oleges f (a) ´es f (b) k¨oz¨otti y0 sz´amhoz l´etezik x0 ∈ [a, b], amelyre f (x0 ) = y0 . Ezt haszn´aljuk ki a k¨ovetkez˝oekben: 2. T´ etel (Darboux t´ etele). Ha a ´es b olyan intervallum pontjai, amelyen az f f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o, akkor az f 0 deriv´ altf¨ uggv´eny f 0 (a) ´es f 0 (b) k¨ oz¨ ott minden ´ert´eket felvesz. 4. P´ elda. Ellenp´elda: az egys´egugr´ asf¨ uggv´eny, amely mivel nem folytonos, ´ıgy nem lehet egyetlen, minden val´ os sz´ amot tartalmaz´ o ´ertelmez´esi tartom´ any´ u f¨ uggv´eny deriv´ altf¨ uggv´enye.
4. ´abra.
9
4. 4.1.
Deriv´ al´ asi szab´ alyok Hatv´ any, szorzat, o ¨sszeg, k¨ ul¨ onbs´ eg
Az els˝ o szab´ aly a konstans f¨ uggv´enyekre vonatkozik. 1. Szab´ aly (Konstans f¨ uggv´ eny deriv´ altja). Ha minden x eset´en f (x) = c (ahol c egy ´ alland´ o), akkor df d = (c) = 0. dx dx
(7)
A m´ asodik szab´ aly az xn alak´ u f¨ uggv´enyek deriv´altj´at hat´arozza meg. 2. Szab´ aly (Pozit´ıv eg´ esz kitev˝ oj˝ u hatv´ anyf¨ uggv´ enyek deriv´ altja). Tetsz˝ oleges pozit´ıv eg´esz n eset´en d n x = nxn−1 . dx
(8)
A deriv´ alt teh´ at; az eggyel alacsonyabb kitev˝oj˝ u f¨ uggv´eny, ami az eredeti kitev˝ ovel van megszorozva.
A harmadik szab´ aly szerint egy f¨ uggv´eny konstansszoros´anak deriv´altja a f¨ uggv´eny deriv´ altj´ anak konstansszorosa. 3. Szab´ aly (F¨ uggv´ eny konstansszoros´ anak deriv´ aItja). Ha u az x v´ altoz´ o differenci´ alhat´ o f¨ uggv´enye, c pedig a ´lland´ o, akkor du d (cu) = c . dx dx
(9)
A negyedik szab´ aly k´et differenci´alhat´o f¨ uggv´eny ¨osszeg´enek deriv´altj´at a f¨ uggv´enyek deriv´ altjainak ¨ osszeg´evel teszi egyenl˝ov´e. ¨ 4. Szab´ aly (Osszegf¨ uggv´ eny deriv´ altja). Ha u ´es v az x v´ altoz´ o differenci´ alhat´ o f¨ uggv´enyei, akkor az u + v f¨ uggv´eny minden olyan pontban differenci´ alhat´ o, ahol u ´es v is differenci´ alhat´ o, az ilyen pontokban pedig d du dv (u + v) = + . dx dx dx
(10)
Hasonl´ oan j´ arhatunk el a k¨ ul¨onbs´egf¨ uggv´eny deriv´altj´anak kisz´am´ıt´asakor; k´et differenci´ alhat´ o f¨ uggv´eny k¨ ul¨onbs´eg´enek deriv´altja a deriv´altf¨ uggv´enyek k¨ ul¨ onbs´ege.
10
4.1.1.
Szorzat ´ es h´ anyados
3. Megjegyz´ es. A szorzatf¨ uggv´enyek eset´eben a deriv´ alt kisz´ am´ıt´ asa nem ´ all fent az el˝ oz˝ oek mint´ aj´ ara. 5. Szab´ aly (Szorzatf¨ uggv´ eny deriv´ altja). Ha u ´es v az x v´ altoz´ o differenci´ alhat´ o f¨ uggv´enyei, akkor az uv f¨ uggv´eny minden olyan pontban differenci´ alhat´ o, ahol u ´es v is differenci´ alhat´ o, az ilyen pontokban pedig d dv du (u · v) = u +v . dx dx dx
(11)
Az uv f¨ uggv´eny deriv´ altj´ at teh´at egy ¨osszegk´ent hat´arozzuk meg; amelynek egyik tagja u deriv´ altja ´es v-vel megszorozva, a m´asik pedig v deriv´altj´anak ´es u-nak a szorzata. M´ as jel¨ ol´essel a szab´aly (uv)0 = uv 0 + vu0 alak´ u, valamint m´eg ´ıgy ´ırhat´ o fel: d [f (x)g(x)] = f (x)g 0 (x) + g(x)f 0 (x). dx
(12)
A h´ anyados deriv´ altj´ an´ al is k¨ ul¨on szab´alyt kell alkalmazni. 6. Szab´ aly (H´ anyados deriv´ altja). Ha u ´es v egyar´ ant az x differenci´ alhat´ o f¨ uggv´enyei, akkor az u/v f¨ uggv´eny minden olyan pontban differenci´ alhat´ o, ahol v(x)6=0 ´es u ´es v is differenci´ alhat´ o, az ilyen pontokban − u dv d u v du = dx 2 dx . dx v v
(13)
d f (x) g(x)f 0 (x) − f (x)g 0 (x) . = dx g(x) g 2 (x)
(14)
F¨ uggv´enyes jel¨ ol´esben:
5.
M´ asod- ´ es magasabbrend˝ u deriv´ altak
Az y = f (x) f¨ uggv´eny differenci´al´as´aval szint´en egy f¨ uggv´enyt kapunk(f 0 (x)), ´ıgy ak´ ar ezt is deriv´ alhatjuk. Ekkor az f ” = (f 0 )0 egyenl˝os´eget alkalmaztuk. Az f ” f¨ uggv´enyt az f f¨ uggv´eny m´asodik deriv´altj´anak nevezz¨ uk, ez az els˝o deriv´alt deriv´ altja. Jel¨ ol´esben: f 00 (x) =
d2 y dy 0 d dy = = y 00 = D2 (f )(x) = Dx2 f (x). = 2 dx dx dx dx
(15)
Ha y 00 deriv´ alhat´ o, akkor deriv´altja - teh´at az y 000 = dy 00 /dx = d3 y/dx3 f¨ uggv´eny - az y harmadik deriv´ altja. Ez folytathat´o tov´abb; az y f¨ uggv´eny n-edik deriv´ altj´ at y (n) jel¨ oli: 11
y (n) =
d (n−1) dn y y = n = Dn y. dx dx
(16)
Az y = f (x) f¨ uggv´eny m´ asodik deriv´altja arr´ol ad felvil´agos´ıt´ast, hogy milyen gyorsan v´ altozik f grafikonj´ anak meredeks´ege.
6. 6.1.
A trigonometrikus f¨ uggv´ enyek deriv´ altja A szinuszf¨ uggv´ eny deriv´ altja
Az f (x)=sin(x) f¨ uggv´eny deriv´altj´anak meghat´aroz´asakor a sz¨oget radi´anban m´erj¨ uk.
7. Szab´ aly (A szinuszf¨ uggv´ eny deriv´ altja). A szinuszf¨ uggv´eny deriv´ altja a koszinuszf¨ uggv´eny. d (sin(x) = cos(x)). (17) dx
6.2.
A koszinuszf¨ uggv´ eny deriv´ altja
A koszinuszf¨ uggv´eny deriv´ altj´at a cos(x + h) = cos(x) · cos(h) − sin(x) · sin(h)
(18)
add´ıci´ os k´eplete ´es a m´ ar eml´ıtett hat´ar´ert´ekek alapj´an hat´arozzuk meg. 8. Szab´ aly (A koszinuszf¨ uggv´ eny deriv´ altja). A koszinuszf¨ uggv´eny deriv´ altja a szinuszf¨ uggv´eny ellentettje. d (cos(x)) = − sin(x). dx
12
(19)
7.
A l´ ancszab´ aly. Param´ eteres egyenletek
Az f og alak´ u¨ osszetett f¨ uggv´enyek deriv´al´as´an´al a l´ancszab´alyt kell alkalmazni u ´gy, hogy a megfelel˝ o helyeken vett deriv´altakat szorozzuk ¨ossze.
7.1.
¨ Osszetett f¨ uggv´ enyek deriv´ altja
9. Szab´ aly (L´ ancszab´ aly). Ha az f (u) f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o az u = g(x) helyen, a g(x) f¨ uggv´eny pedig differenci´ alhat´ o az x helyen, akkor az (f ◦ g)(x) = f (g(x)) ¨ osszetett f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o az x helyen ´es (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x).
(20)
Leibniz-f´ele jel¨ ol´esben: ha y = f (u) ´es u = g(x), akkor dy du dy = · , dx du dx
(21)
ahol a dy/du deriv´ altat az u = g(x) helyen kell kisz´ am´ıtani. 5. P´ elda. Deriv´ aljuk az f (x) = (sin(x3 + 2))7 f¨ uggv´enyt. Ekkor: f (a) = sin(a7 ), f 0 (a) = 7 · a6 ´es a g(b) = x3 + 2, g 0 (b) = 3 · x2 . Megold´ as: f 0 (x) = 3 · x2 · cos(x3 + 2) · 7 · (sin(x3 + 2))6 .
7.2.
A l´ ancszab´ aly ism´ etelt alkalmaz´ asa
A magasabb rend˝ u deriv´ altakhoz hasonl´oan a l´ancszab´alyt is alkalmazhatjuk t¨ obbsz¨ or egym´ as ut´ an.
13
8. 8.1.
A deriv´ alt alkalmaz´ asai F¨ uggv´ eny sz´ els˝ o´ ert´ ekei
Egy folytonos f¨ uggv´eny sz´els˝o´ert´ekeire a deriv´altj´ab´ol k¨ovetkeztethet¨ unk. Ennek ismeret´eben m´ ar k¨ ul¨ onf´ele optimaliz´al´asi feladatokat is meg tudunk oldani, azaz adott szitu´ aci´ oban ki tudjuk v´alasztani a megold´as optim´alis (legjobb) m´ odj´ at. 4. Defin´ıci´ o (Abszol´ ut maximum, abszol´ ut minimum). Legyen f a D halmazon ´ertelmezett f¨ uggv´eny. Az f f¨ uggv´enynek a D halmaz valamely c pontj´ aban abszol´ ut maximuma van, ha f (x) ≤ f (c) minden x ∈ D eset´en; a D halmaz valamely c pontj´ aban abszol´ ut minimuma van, ha f (x) ≥ f (c) minden x ∈ D eset´en. Az abszol´ ut maximumot ´es minimumot abszol´ ut sz´els˝o´ert´eknek (alkalmank´ent extr´emumnak) nevezik. Az abszol´ ut sz´els˝o´ert´eket glob´alis sz´els˝o´ert´eknek is mondj´ ak, megk¨ ul¨ onb¨ oztet´es¨ ul a lok´alis sz´els˝o´ert´ekt˝ol. 6. P´ elda. A [0, Π] z´ art intervallumon az f (x) = sin(x) f¨ uggv´eny abszol´ ut maut minimuma 0, miximuma 1, maximumhely: Π2 (azt egyszer veszi fel), abszol´ nimumhely: 0 ´es Π (´es azt k´etszer veszi fel). Az R-en abszol´ ut maximuma 1, maximumhely: 2kΠ + Π2 ; abszol´ ut minimuma pedig -1, minimumhely: 2kΠ − Π2 (k ∈ Z). Ugyanazzal a hozz´ arendel´esi utas´ıt´assal megadott f¨ uggv´enynek az ´ertelmez´esi tartom´ anyt´ ol f¨ ugg˝ oen m´ as ´es m´as lehet az abszol´ ut sz´els˝o´ert´eke. 3. T´ etel (Sz´ els˝ o´ ert´ ekt´ etel). Ha f folytonos az [a, b] z´ art intervallumon, akkor itt felveszi M abszol´ ut maximum´ at ´es m abszol´ ut minimum´ at is, van teh´ at az [a, b] intervallumban olyan x1 ´es x2 sz´ am, amelyekre f (x1 ) = m ´es f (x2 ) = M, tov´ abb´ a teljes¨ ul, hogy m ≤ f (x) ≤ M minden m´ as, az [a, b] intervallumhoz tartoz´ o x ´ert´ekre. 8.1.1.
Lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekek
5. Defin´ıci´ o (Lok´ alis maximum, lok´ alis minimum). Az f f¨ uggv´enynek ´ertelmez´esi tartom´ anya valamely c bels˝ o pontj´ aban lok´ alis maximuma van, ha van olyan, c-t is tartalmaz´ o ny´ılt intervallum, hogy annak minden x elem´ere teljes¨ ul, hogy f (x) ≤ f (c). Az f f¨ uggv´enynek ´ertelmez´esi tartom´ anya valamely c bels˝ o pontj´ aban lok´ alis minimuma van, ha van olyan, c-t is tartalmaz´ o ny´ılt intervallum, hogy annak minden x elem´ere teljes¨ ul, hogy f (x) ≥ f (c). Az f f¨ uggv´enynek lok´ alis maximuma vagy lok´ alis minimuma van az intervallum c v´egpontj´ aban, ha a megfelel˝ o egyenl˝ otlens´eg fenn´ all minden olyan x-re, amely az ´ertelmez´esi tartom´ any valamely, a c-t is tartalmaz´ o f´elig nyitott intervallum´ aba esik. 14
5. ´abra. Az 5. ´ abra azt mutatja, hogy egy adott intervallumon bel¨ ul lehetnek lok´alis ´es abszol´ ut sz´els˝ o´ert´ekek is. Ha v´altoztatjuk az intervallumot, akkor ezen sz´els˝o´ert´ekek is megv´ altozhatnak: p´eld´aul, ha csak a [−1, 1] intervallumot vizsg´aljuk, ott m´ ar a lok´ alis sz´els˝ o´ert´ekek abszol´ ut sz´els˝o´ert´ekekk´e v´alnak. A lok´ alis sz´els˝ o´ert´eket n´eha relat´ıv sz´els˝o´ert´eknek is nevezz¨ uk. Az abszol´ ut maximum egyben lok´ alis maximum is. A legnagyobb f¨ uggv´eny´ert´ekn´el semmilyen k¨ ornyezetben nem vesz fel nagyobb ´ert´eket a f¨ uggv´eny. Ez´ert a lok´alis maximumok ¨ osszess´ege az abszol´ ut maximumot is tartalmazza, amennyiben az l´etezik. Hasonl´ oan: a lok´ alis minimumok halmaz´anak az abszol´ ut minimum is eleme, amennyiben az ut´ obbi l´etezik.
9.
A sz´ els˝ o´ ert´ ekek megkeres´ ese
4. T´ etel (Az els˝ o deriv´ alt ´ es a lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ek I.). Ha az f f¨ uggv´enynek lok´ alis maximuma, vagy lok´ alis minimuma van az ´ertelmez´esi tartom´ any´ anak valamely c bels˝ o pontj´ aban, ´es f ’ ´ertelmezve van a c pontban, akkor f 0 (c) = 0. Teh´ at folytonos f¨ uggv´enynek korl´atos, z´art halmazon csak olyan pontban lehet sz´els˝ o´ert´eke, ahol 1. f 1(c) = 0, vagy 2. f nem differenci´ alhat´ o, vagy 3. c az intervallum sz´els˝ o pontja.
15
6. Defin´ıci´ o (Kritikus pont). Az f f¨ uggv´eny kritikus pontj´ anak nevezz¨ uk f ´ertelmez´esi tartom´ any´ anak minden olyan pontj´ at, amelyben az f 0 deriv´ altf¨ uggv´eny ´ert´eke nulla, vagy nincs ´ertelmezve. A f¨ uggv´enyeknek teh´ at csak olyan pontban lehet sz´els˝o´ert´eke, amely az ´ertelmez´esi tartom´ any´ anak vagy kritikus pontja, vagy v´egpontja. Viszont a t´etel megford´ıt´ asa hamis. M´ odszer glob´ alis minimum (maximum) keres´ es´ ere [a, b] z´ art intervallumon, folytonos f eset´ en: 0. Ha folytonos, akkor a Weierstrass-t´etel szerint van minimum (maximum), 1. Megn´ezz¨ uk, hogy [a, b] intervallumon hol 0 a deriv´alt, ´es hol nincs deriv´alt, 2. Kisz´ amoljuk f ´ert´ekeit ezeken a helyeken ´es a sz´els˝opontokban (a-ban ´es b-ben), 3. Ezen ´ert´ekek legnagyobbika a maximum (a legkisebb a minimum).
7. P´ elda. Keress¨ uk meg az f (x) = x2 − 2x f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ekeit a [0, 3] intervallumon! 0. Az f folytonos a [0, 3]-on, ⇒ van minimum ´es maximum, 1. f 0 (x) = 2x − 2, 2x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 1 mindenhol differenci´ alhat´ o, 2. Jel¨ oltek: 1, 0, 3, f (0) = 0, f (1) = −1, f (3) = 3 ´ 3 a maximum (maximumhely: 3), −1 a minimum (minimumhely: 1). 3. Igy
16
10.
A Lagrange-f´ ele k¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etel
A Rolle-t´ etel Az 6. ´ abr´ ar´ ol is leolvashat´o; ha egy folytonos, differenci´alhat´o f¨ uggv´enynek k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontban megegyezik az ´ert´eke, akkor a pontok ´altal hat´arolt szakaszon a f¨ uggv´eny ´erint˝ oje legal´abb egy helyen u ´jra v´ızszintes.
6. ´abra. 5. T´ etel (Rolle t´ etele). Tegy¨ uk fel, hogy az f (x) f¨ uggv´eny folytonos az [a, b] z´ art intervallum minden pontj´ aban ´es differenci´ alhat´ o [a, b] minden bels˝ o pontj´ aban, azaz az (a, b) intervallumon. Ha f (a) = f (b),
(22)
akkor l´etezik legal´ abb egy olyan c ∈ (a, b) pont, amelyre teljes¨ ul, hogy f 0 (c) = 0.
(23)
Ennek seg´ıts´eg´evel meg tudjuk mondani, azt is ak´ar, hogy h´any gy¨oke van p´eld´ aul egy negyedfok´ u egyenletnek. 6. T´ etel (Lagrange-f´ ele k¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etel). Legyen az y = f (x) f¨ uggv´eny folytonos az [a, b] z´ art intervallumon, ´es differenci´ alhat´ o annak belsej´eben, azaz az (a, b) ny´ılt intervallumon. Akkor l´etezik legal´ abb egy olyan c ∈ (a, b), amelyre f (b) − f (a) = f 0 (c). b−a
(24)
Geometriai jelent´es: Van a h´ urral p´arhuzamos ´erint˝o. Fizikai jelent´es: Van olyan t ∈ (a, b), amelyben a pillanatnyi v´altoz´asi sebess´eg egyenl˝ o az (a, b)-beli ´ atlagos v´altoz´asi sebess´eggel.
17
1. K¨ ovetkezm´ eny. Csak a konstans f¨ uggv´enyek deriv´ altja nulla. Ha f folytonos az [a, b] z´ art intervallumon ´es (a, b)-on minden x pontban f 0 (x) = 0, akkor f konstans [a, b]-on. 2. K¨ ovetkezm´ eny. Ha (a, b)-on f 0 = g 0 , akkor l´etezik C konstans, amelyre f (x) = g(x) + C (a, b)-on. Az 1. ´es a 2. k¨ ovetkezm´eny akkor is igaz, ha az (a, b) intervallum v´egtelen, azaz (a, ∞), (∞, b) vagy (∞, ∞) alak´ u.
11. 11.1.
Monoton f¨ uggv´ enyek ´ es az els˝ o deriv´ alt teszt N¨ ovekv˝ o´ es cs¨ okken˝ o f¨ uggv´ enyek
7. Defin´ıci´ o (N¨ ovekv˝ o, cs¨ okken˝ o f¨ uggv´ eny). Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggv´eny ´ertelmezve van egy I intervallumon. Azt mondjuk, hogy 1. f szigor´ uan monoton n˝ o az I intervallumon, ha b´ armely x1 < x2 I-beli pontokra f (x1 ) < f (x2 ), 2. f monoton n˝ o az I intervallumon, ha b´ armely x1 < x2 I-beli pontokra f (x1 ) ≤ f (x2 ), 3. f szigor´ uan monoton cs¨ okken az I intervallumon, ha b´ armely x1 < x2 I-beli pontokra f (x1 ) > f (x2 ), 4. f monoton cs¨ okken az I intervallumon, ha b´ armely x1 < x2 I-beli pontokra f (x1 ) ≥ f (x2 ). Az olyan f¨ uggv´enyt, amely az I-n n¨ ovekv˝ o vagy cs¨ okken˝ o, monotonnak nevezz¨ uk I-n. Az I intervallum v´eges ´es v´egtelen is lehet. 7. T´ etel (Els˝ o deriv´ alt teszt monoton f¨ uggv´ enyekre). Tegy¨ uk fel, hogy f folytonos [a, b]-n ´es differenci´ alhat´ o (a, b)-n. Ekkor ha: 1. f 0 (x) ≥ 0 (a, b)-on, akkor f monoton n¨ ovekv˝ o az [a, b] intervallumon, 2. f 0 (x) ≤ 0 (a, b)-on, akkor f monoton cs¨ okken˝ o az [a, b] intervallumon, 3. f 0 (x) > 0 (a, b)-on, akkor f szigor´ uan monoton n¨ ovekv˝ o az [a, b] intervallumon, 4. f 0 (x) < 0 (a, b)-on, akkor f szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o az [a, b] intervallumon. Ha f 0 (x) < 0 minden x ∈ (a, b)-re, akkor f cs¨ okken˝ o az [a, b] intervallumon.
18
8. P´ elda. Vizsg´ aljuk meg, hogy hol n˝ o ´es hol cs¨ okken az f (x) = x3 +3x2 −9x+2 f¨ uggv´eny! f 0 (x) = 3x2 + 6x − 9 = 3(x2 + 2x − 3) = 3(x − 1)(x + 3)
7. ´abra. (−∞, −3] intervallumon ´es [1, ∞) intervallumon szigor´ uan monoton n˝o, m´ıg a [−3, 1] intervallumn´ al szigor´ uan monoton cs¨okken´est tapasztalhatunk.
12.
A konvexit´ as vizsg´ alata
8. T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy f 00 folytonos c-ben. Ekkor: 1. ha f 0 (c) = 0 ´es f 00 (c) > 0, akkor f -nek lok´ alis minimuma van c-ben, 2. ha f 0 (c) = 0 ´es f 00 (c) < 0, akkor f -nek lok´ alis maximuma van c-ben. 4. Megjegyz´ es. Ha f 0 (c) = 0 ´es f 00 (c) = 0, akkor b´ armi lehet. P´eld´ aul: x3 c = 0-ban se lok´ alis minimum, se lok´ alis maximum nincs. 8. Defin´ıci´ o (Konvex, konk´ av). Tegy¨ uk fel, hogy f differenci´ alhat´ o az I intervallumon. Azt mondjuk, hogy 1. f konvex I-n, ha f 0 monoton n˝ o, 2. f szigor´ uan konvex I-n, ha f 0 szigor´ uan monoton n˝ o, 3. f konk´ av I-n, ha f 0 monoton cs¨ okken˝ o, 4. f szigor´ uan konk´ av I-n, ha f 0 szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o. 19
9. T´ etel. Legyen f k´etszer differenci´ alhat´ o I-n. 1. Ha f 00 ≤ 0 I-n, akkor f konvex I-n, 2. Ha f 00 ≥ 0 I-n, akkor f konk´ av I-n, 3. Ha f 00 > 0 I-n, akkor f szigor´ uan konvex I-n, 4. Ha f 00 < 0 I-n, akkor f szigor´ uan konk´ av I-n.
12.1.
Inflexi´ os pontok
9. Defin´ıci´ o (Inflexi´ os pont). Az f f¨ uggv´enynek c-ben inflexi´ os pontja van, ha c-ben van ´erint˝ oje a f¨ uggv´eny grafikonnak, ´es valamilyen a < c, b > c-re f konvex (a, c)-n ´es konk´ av (c, b)-n vagy ford´ıtva f konk´ av (a, c)-n ´es konvex (c, b)-n. A 8. ´ abr´ an l´ev˝ o f (x) = x3 + 6x2 − 9x + 12 f¨ uggv´enynek inflexi´os pontja van a (−2)-ben, hiszen f 0 (x) = 3x2 + 12x − 9, f 00 (x) = 6x + 12, amely a (−2)-ben v´alt el˝ ojelet.
8. ´abra.
20
12.2.
A m´ asodik deriv´ alt ´ es a lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekek
Ahelyett, hogy f 0 el˝ ojelv´ alt´as´at vizsg´aln´ank a kritikus pontokban, a lok´alis sz´els˝ o´ert´ek l´etez´es´et ´es t´ıpus´at n´eha a k¨ovetkez˝o m´odon is meg´allap´ıthatjuk: 10. T´ etel (A m´ asodik deriv´ alt ´ es a lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekek). Tegy¨ uk fel, hogy f folytonos az x = c pontot tartalmaz´ o ny´ılt intervallumon. 1. Ha f 0 (c) = 0 ´es f ”(c) < 0, akkor f -nek lok´ alis maximuma van az x = c pontban. 2. Ha f 0 (c) = 0 ´es f ”(c) > 0, akkor f -nek lok´ alis minimuma van az x = c pontban. 3. Ha f 0 (c) = 0 ´es f (c) = 0, akkor nem ´ all´ıthatunk semmi biztosat. A f¨ uggv´enynek lehet lok´ alis maximuma, lok´ alis minimuma, de lehet, hogy sem ez, sem az nincs.
21
13.
F¨ uggv´ enyvizsg´ alat
Egy elemezni k´ıv´ ant f¨ uggv´eny els˝o ´es m´asodik deriv´altjaib´ol a fentiek tudat´aban m´ ar k´epesek lesz¨ unk meghat´arozni a minimum, illetve maximumhelyeket, ´ıgy a f¨ uggv´eny monotonit´ as´ at, hogy hol lesz n¨ovekv˝o, vagy cs¨okken˝o. Valamint kik¨ ovetkeztethetj¨ uk, hogy lesz-e a f¨ uggv´enynek inflexi´os pontja, ha van olyan pont a grafikonon, ami konvex ´es konk´av r´eszek tal´alkoz´asa. Ezen vizsg´alatot nevezz¨ uk f¨ uggv´enydiszkusszi´onak. A k¨ ovetkez˝ o p´eld´ an kereszt¨ ul l´athatjuk az adott f f¨ uggv´eny teljes f¨ uggv´enyvizsg´ alat´ at. Vizsg´ aljuk az f : R → R, f (x) = x2 − x3 f¨ uggv´enyt. L´ep´esr˝ ol-l´ep´esre elemezz¨ uk, majd a v´eg´en a megszerzett inform´aci´ok alapj´an rajzoljuk fel az elk´epzel´eseinket! Els˝ o l´ep´esben az ´ertelmez´esi tartom´anyt hat´arozom meg, ez az x ∈ R. Az f f¨ uggv´eny se nem p´ aros ´es se nem p´aratlan f¨ uggv´eny. Nem periodikus. Az f f¨ uggv´eny folytonos, mivel deriv´alhat´o. Itt az 1. t´etelt haszn´altam fel. Deriv´ altja: f 0 (x) = 2x − 3x2 A deriv´ alt f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya szint´en az R. Ez´ert f -nek csak ott lehet kritikus pontja, ahol f 0 (x) = 0. N´ezz¨ uk is ezt meg: f 0 (x) = 2x − 3x2 = 0 2x − 3x2 = 0 2x = 3x2 , x1 = 0 3x 2 3 = x2 . Figyelembe v´eve a kapott eredm´enyeket, a t´abl´azatban egy ¨osszefoglal´as tal´alhat´o: Intervallumok: f 0 el˝ ojele: f menete:
x<0 cs¨okken˝o
0 < x < 23 + n¨ovekv˝o
2 3
<x + n¨ovekv˝o
Az els˝ o deriv´ alt tesztb˝ ol k¨ ovetkeztethet¨ unk a sz´els˝o´ert´ekekre. Mivel x = 0 -ban v´ alt el˝ ojelet, ´ıgy csak itt lesz sz´els˝o´ert´eke a f¨ uggv´enynek. De azt is l´athatjuk, hogy m´ıg x < 0 addig cs¨ okken, majd amikor 0 < x, akkor m´ar n¨ovekv˝obe v´ altozik, teh´ at a minimumhely a 0. A m´ asodik deriv´ alt: f 00 (x) = 2 − 6x. 22
Majd n´ezz¨ uk meg azt, amikor a m´asodik deriv´alt egyezik meg null´aval: f 00 (x) = 2 − 6x = 0 2 = 6x 1 3 = x. K´esz´ıts¨ uk el erre is az ¨ osszes´ıt˝o t´abl´azatot: Intervallumok: f 00 el˝ ojele: f alakja:
x < 13 + konk´av
1 3
<x konvex
Ezut´ an a k´et t´ abl´ azatban l´ev˝o inform´aci´ot egyes´ıtj¨ uk; az intervallumokat a hat´ arol´ opontokn´ al osztjuk meg, ´ıgy t¨obb oszlop keletkezik. Intervallumok: f alakja: f 0 el˝ ojele: f 00 el˝ ojele: f 00 menete:
(−∞, 0) & + konvex
0 0
(0, 13 ) % + + konvex
1 3
inflexi´os pont
( 13 , 23 ) % + konk´av
2 3
0
( 23 , ∞) & konk´av
V´egezet¨ ul m´ ar val´ oban elegend˝o inform´aci´onk van arr´ol, hogyan n´ezhet ki az f f¨ uggv´eny, ´ıgy ak´ ar b´ atran fel is rajzolhatjuk.
9. ´abra.
23
14. 14.1.
Alkalmazott optimaliz´ aci´ os probl´ em´ ak Geometriai alkalmaz´ asok
9. P´ elda. A legjobb ker´ıt´ esterv Egy farmon az ´ allatok sz´ am´ ara el kell ker´ıteni egy t´eglalap alak´ u kar´ amot. A ter¨ uletet egyik oldalr´ ol foly´ o hat´ arolja, a m´ asik h´ arom oldalon egysz´ alas vezet´eket kell kifesz´ıteni, amelybe azt´ an ´ aramot vezetnek. A rendelkez´esre ´ all´ o 800 m´eternyi vezet´ekkel mekkora ter¨ uletet lehet elker´ıteni, ´es milyen m´eret˝ u lesz a maxim´ alis ter¨ ulet˝ u kar´ am? Egyetlen konkr´et adatot ismer¨ unk: azt, hogy 800 m´eter hossz´ u vezet´ekkel kell gazd´ alkodnunk, amit 3 oldal beker´ıt´es´ere haszn´alunk fel. Persze ezt nagyon sokf´elek´eppen tehetj¨ uk meg. Megold´asul a legnagyobb ter¨ uletet behat´arol´o feloszt´ ast fogjuk v´ alasztani. A kar´ am foly´ oval szemk¨ ozti oldal´at jel¨olj¨ uk a-val, m´ıg a m´asik k´et szemk¨oztit pedig b-vel. Ezen h´ arom oldal ¨osszesen 800 m´eter hossz´ u: K = 2b + a = 800 ⇒ a =
800−b 2
A ter¨ uletk´epletb˝ ol ad´ od´ oan: T =a·b ⇒ T =
800−b 2
·b ⇒ T =
800b−b2 2
´Igy m´ ar meg is kaptuk, azt a f¨ uggv´enyt, aminek a maxim´alis ´ert´ek´et keress¨ uk. Megold´ ast term´eszetesen a deriv´al´as jelenthet. T (b) = 12 · (800b − b2 ) = 400 · b − 21 · b2 , T 0 (b) = 400 − b.
10. ´abra. A deriv´ alt f¨ uggv´enyt ´ abr´ azolva meg kapjuk a megold´ast: 400-ig pozit´ıv a f¨ uggv´eny, ut´ ana pedig m´ ar negat´ıv. Teh´ at b = 400 ⇒ a = (800 − 400)/2 = 200. T = a · b = 200 · 400 = 80.000m2 a maxim´alis kar´amter¨ ulet. 24
15. 15.1.
Deriv´ altak a gazdas´ agtanban A k¨ ozgazdas´ agtanhoz kapcsol´ od´ o feladatok megold´ asi h´ attere:
K´etf´ele feladatt´ıpussal ismerked¨ unk meg a tov´abbiakban. 1. Profitmaximaliz´ al´ as, 2. K¨ olts´egminimaliz´ al´ as. Mindk´et m´ odszer eset´en az el˝oz˝oekben t´argyaltakat kell alkalmazni, viszont az elnevez´esek kicsit elt´er˝ oek. Jel¨ ol´esek: r(x) az a bev´etel, amely x darab ´arucikk elad´as´ab´ol sz´armazik; c(x) az x darab ´ arucikk el˝ o´ all´ıt´as´anak k¨olts´ege; p(x)=r(x)-c(x) az a profit, ami x darab ´arucikk el˝o´all´ıt´as´aval ´es elad´as´aval ´erhet˝ o el. A mikro¨ okon´ omia k¨ ul¨ on elnevez´est haszn´al a f¨ uggv´enyek deriv´altjaira, vagyis a v´ altoz´ asi sebess´egre, amit a ”hat´ar-” el˝otaggal alkot meg. ´Irjuk is fel a bev´etel, a k¨ olts´eg ´es a profit x szerinti deriv´altjait! Ezek sorban: dr dx
= hat´arbev´etel,
dc dx
= hat´ark¨olts´eg,
dp dx
= hat´arprofit.
A megold´ as sor´ an sz¨ uks´eges; egyr´eszt, hogy mind az r(x)-nek, ´es mind a c(x)-nek differenci´alhat´onak kell lennie, ha 0 < x, m´ asr´eszt, hogy lennie kell maxim´alis ´ert´ek´enek a p(x) f¨ uggv´enynek, ami csak a p0 (x) = 0 eset´eben fordulhat el˝o. Ekkor p0 (x) = r0 (x) − c0 (x) = 0, teh´at r0 (x) = c0 (x). Mindezek tudat´ aban megfogalmazhatjuk a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´ast: ´ ıt´ 1. All´ as. Maxim´ alis profit el´er´ese eset´en a hat´ arbev´etelnek meg kell egyeznie a hat´ ark¨ olts´eggel. ´ ıt´ 2. All´ as. A t¨ obbletk¨ olts´eg hat´ ar´ert´eke azt mutatja meg, hogy fajlagosan mennyibe ker¨ ul x-hez k´epest h-val t¨ obb term´eket el˝ o´ all´ıtani h → 0 eset´en. L´ assunk ezekre k´et ´eleth˝ u faladatot!
25
15.2.
¨ Uzleti alkalmaz´ asok
10. P´ elda. Utaz´ asi iroda Egy utaz´ asi iroda utaztat´ asi aj´ anlata a k¨ ovetkez˝ o: A t´ ur´ at legkevesebb 50 r´esztvev˝ ore lehet megrendelni, ´es ekkor az ´ ar 200 doll´ ar/f˝ o. Minden tov´ abbi r´eszvev˝ omaximum 80 f˝ oig - k´et doll´ ar kedvezm´enyt kap. A teljes t´ urak¨ olts´eg 6000 doll´ ar (fix k¨ olts´eg) plusz fejenk´ent annyiszor 3 doll´ ar a vezet´esi d´ıj, ah´ anyan t¨ obben vannak az 50 f˝ on´el. H´ any f˝ o r´eszv´etele eset´en ´eri el a legnagyobb nyeres´eget az utaz´ asi iroda?
K´erd´es¨ unk a r´esztvev˝ ok sz´ am´ara ir´anyul, ez´ert v´alasszuk ezt az ismeretlennek ´es jel¨ olj¨ uk x-szel. Minimum 50 f˝ onek kell jelentkeznie az utaz´asra, teh´at 50 ≤ x. Ha azt az esetet n´ezz¨ uk, amikor pontosan 50-en fizetnek be az irod´aba, akkor a bev´etel: 50 · 200 doll´ ar = 10.000 doll´ar. ´ Altal´ anos esetben is ugyan´ıgy kell sz´amolnunk, csak nem 50-nel, hanem x-el: x·200 doll´ ar = 200x˙ doll´ ar. De ebben az esetben m´eg levon´odik a kedvezm´enyek osszege, az 50-et meghalad´ ¨ o emberek sz´am´anak a k´etszerese: (x − 50) · 2 doll´ar. Az eg´eszet szumm´ azva megkapjuk a bev´ eteli f¨ uggv´ eny¨ unket: r(x) = 200 · x − (x − 50) · 2 = 200 · x − 2 · x + 100 = 198 · x − 100. Most n´ezz¨ uk a kiad´ asokat! Fix k¨ olts´eg 6000 doll´ ar, a teljes t´ urak¨olts´eg, valamint ezen fel¨ ul van m´eg a vezet´esi k¨ olts´eg. Az utasok sz´ ama x ´es x − 50 -nel vannak t¨obben, mint 50. Ezen sz´ amok szorzat´ at szorozzuk m´eg meg a 3 doll´arral. Ekkor m´ ar a k¨ olts´ egf¨ uggv´ eny¨ unk is elk´esz¨ ult: c(x) = x · (x − 50) · 3 = 3 · x2 − 150 · x. Alkalmazzuk a fenti 1. ´ all´ıt´ ast! Ha maxim´ alis bev´etelt szeretn´enk el´erni, a hat´arbev´etelnek egyeznie kell a hat´ark¨ olts´eggel. Az r(x) f¨ uggv´eny deriv´ altja az r0 (x) = 198 a hat´arbev´etel. A c(x) f¨ uggv´eny deriv´ altja a c0 (x) = 6 · x − 150 pedig a hat´ark¨olts´eg. 6 · x − 150 = 198 6 · x = 348 x = 58. Az x jel¨ oli az optim´ alis utasl´etsz´amot. V´ alasz: 58 f˝ o eset´en lesz a legnagyobb nyeres´ege az utaz´asi irod´anak. Ez val´ oban 50-n´el nagyobb ´es 80-n´al kisebb.
26
11. P´ elda. Hat´ ark¨ olts´ eg Tegy¨ uk fel, hogy x darab mos´ og´ep el˝ o´ all´ıt´ as´ anak k¨ olts´ege c(x) = 200 + 100 · x − 0, 1 · x2 doll´ ar. (a) Mekkora egy mos´ og´ep el˝ o´ all´ıt´ as´ anak a k¨ olts´ege, ha 100-at gy´ artunk? (b) Mekkora a hat´ ark¨ olts´eg, ha 100 mos´ og´epet gy´ artunk?
Azt, hogy mekkora egy mos´ og´ep el˝o´all´ıt´asakor keletkez˝o k¨olts´eg 100 darab gy´art´asa eset´en, a k¨ olts´egf¨ uggv´eny behelyettes´ıt´es´evel hat´arozzuk meg: c(10) = 200 + 100 · 10 − 0, 1 · 102 = 200 + 1000 − 100 = 9200. 9200 doll´ arba ker¨ ul 100 mos´og´ep el˝o´all´ıt´asa, 1 mos´og´ep´e pedig 92 doll´arba. A hat´ ark¨ olts´eget a k¨ olts´egf¨ uggv´eny deriv´altj´aval k¨ozel´ıtj¨ uk. c0 (x) = 100 − 0, 2 · x c0 (100) = 100 − 0, 2 · 100 = 100 − 80 = 20. Azaz megkaptuk, hogy 20 doll´ar a hat´ark¨olts´eg 100 mos´og´ep gy´art´asakor.
27
16.
¨ Osszefoglal´ as
Dolgozatom c´elja a sz´els˝ o´ert´eksz´am´ıt´as gyakorlati ´eletben val´o haszn´alat´anak bemutat´ asa volt. A fejezetek d¨ont˝o t¨obbs´ege az elm´eleti h´atteret hivatott reprezent´ alni, ami ´erthet˝ o is, hiszen ezek n´elk¨ ul semmit sem tudn´ank kell˝o biztons´ aggal al´ at´ amasztani. K¨ ozponti t´em´ am a f¨ uggv´enyek adott pontban vett ´erint˝oje, amit deriv´altnak nevez¨ unk. Ha m´ ar ismerj¨ uk a defin´ıci´ot, tudnunk kell a k¨ ul¨onb¨oz˝o f¨ uggv´enyekre vonatkoz´ o deriv´ al´ asi szab´ alyokat is. Ekkor nem fog gondot okozni, ha esetleg egy trigonometrikus vagy ak´ar egy ¨osszetett f¨ uggv´enyt kell differenci´alnunk. A grafikonr´ ol k¨ onnyen le tudjuk olvasni, hogy hol cs¨okken, illetve, hogy hol n¨ ovekszik, viszont sok esetben ezt felrajzol´as n´elk¨ ul is meg kell tudnunk allap´ıtani. F˝ ´ oleg akkor, ha pont a vizualiz´aci´o a c´el, a pontok egyes´evel val´o behelyettes´ıt´ese n´elk¨ ul. Ebben az esetben alkalmaznunk kell az els˝o deriv´altak kisz´am´ıt´as´at: ahol negat´ıv az el˝ ojele a kapott f¨ uggv´enynek, ott cs¨okken˝o lesz a f¨ uggv´eny g¨orb´eje, n¨oveked´est pedig a pozit´ıv intervallumon tapasztalhatunk. ´Igy m´ar a sz´els˝o´ert´ekekr˝ol is lesznek ismereteink. Ahol a m´ asodik deriv´ alt f¨ uggv´enyintervallum b´armely pontj´at ¨osszek¨ot˝o szakasz a g¨ orbe felett helyezkedik el, ott a f¨ uggv´eny konvex, ellenkez˝o esetben pedig konk´ av. Egy teljes f¨ uggv´enyvizsg´ alat minden eddigit mag´aban foglal, eredm´eny¨ ul m´ar b´ atran felrajzolhatjuk a f¨ uggv´eny¨ unket. Az optimaliz´ aci´ os probl´em´ak t¨obbs´ege geometriai alkalmaz´asokra vezethet˝ok vissza. Ekkor fel kell tudnunk ´ırni olyan f¨ uggv´enyt, ami az adott felt´eteleket reprezent´ alja, majd azt deriv´ alva meghat´arozhatjuk a legoptim´alisabb v´alaszt´ast. R´ aad´ asul a k¨ ozgazdas´ agtanban a bev´etel ´es a r´aford´ıt´as megfelel˝o egyens´ uly´ahoz a matematika ezen fejezet´et tudjuk kamatoztatni.
28
K¨osz¨onetnyilv´an´ıt´as
Ez´ uton szeretn´em megk¨ osz¨ onni t´emavezet˝omnek, Svantnern´e Sebesty´en Gabriell´ anak a seg´ıts´eg´et, motiv´ al´ o szavait. Sokat jelentett sz´amomra, hogy b´armikor sz´ am´ıthattam r´ a, valamint a konzult´aci´ok hat´assal voltak a min´el jobb eredm´eny el´er´es´ere. Emellett k¨ osz¨ onetet mondan´ek csal´adomnak, bar´ataimnak, akik v´egig mellettem ´ alltak, buzd´ıtottak, lelkes´ıtettek, illetve t´amogattak tanulm´anyaim alatt.
29
Irodalomjegyz´ek
´ [1] Cs´ asz´ ar Akos: Val´ os anal´ızis, Tank¨onyvkiad´o, (1989)
[2] Komornik Vilmos: Valos anal´ızis el˝oad´asok I., TypoTEX, (2003)
[3] Laczkovich Mikl´ os-T. S´ os Vera: Anal´ızis I., Nemzeti Tank¨onyvkiad´o, (2005).
[4] Pint´er Lajos: Anal´ızis I., TypoTEX, (2006)
[5] Thomas-f´ele Kalkulus I., TypoTEX, (2008)
[6] Kalkulus I-II. egyetemi jegyzeteim
30
Nyilatkozat
N´ev: ELTE Term´eszettudom´ anyi Kar, szak: Neptun azonos´ıt´ o: Szakdolgozat c´ım:
A szakdolgozat szerz˝ ojek´ent fegyelmi felel˝oss´egem tudat´aban kijelentem, hogy a dolgozatom ¨ on´ all´ o munk´ am eredm´enye, saj´at szellemi term´ekem, abban a hivatkoz´ asok ´es id´ez´esek standard szab´alyait k¨ovetkezetesen alkalmaztam, m´asok altal ´ırt r´eszeket a megfelel˝ ´ o id´ez´es n´elk¨ ul nem haszn´altam fel.
Budapest,
a hallgat´o al´a´ır´asa
31
