Dynamische stabiliteit van een eenvoudige tensegritystructuur C.P.M. Bunink DCT 2008.055
Bachelor Eindproject Begeleider:
Dr. ir. R.H.B. Fey
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Werktuigbouwkunde Groep Dynamics and Control Eindhoven, 11 juni 2008
Samenvatting Dit rapport beschrijft een onderzoek, gedaan naar de dynamische stabiliteit en het nietlineaire, dynamische gedrag van een eenvoudige tensegrity-structuur. Een tensegrity-stuctuur is een constructie, bestaande uit staven, die alleen drukkrachten opnemen en uit kabels, die alleen trekkrachten kunnen opnemen en die een statische evenwichtsvorm heeft, die stabiel is door voorspanning van alle kabels. Tensegritystructuren kunnen licht en stijf en als zogenaamde “deployables” – uitvouwbare constructries - ontworpen worden. Deze eigenschappen maken hen geschikt voor vele constructiedoeleinden, met name voor ruimtevaarttoepassingen. Onderzoek naar het dynamische gedrag van tensegrity-structuren is tot zover vrijwel uitsluitend beperkt tot rond statische evenwichtspunten gelineariseerde systemen. Het onderzoek, omschreven in dit rapport dient als aanzet voor onderzoek naar het niet-lineaire, dynamische stabiliteitsgedrag van tensegrity-structuren. Een model is gemaakt van een tensegrity-draagconstructie, bestaande uit één buisvormige, starre staaf, die scharnierend aan de vaste wereld is bevestigd en die in rust schuin omhoog gehouden wordt in een stabiele evenwichtsstand door een massaloos koord. De functie van de constructie bestaat uit het dragen van een puntmassa, die bevestigd is aan de bovenzijde van de buis. Het koord wordt verondersteld alleen trekkrachten te kunnen opnemen met een constante trekstijfheid. Bewegingsvergelijkingen zijn afgeleid volgens Lagrange’s methode en worden gepresenteerd, tezamen met de daarvan afgeleide, gelineariseerde bewegingsvergelijkingen en evenwichtsvergelijkingen. De bewegingsvergelijkingen bevatten een parametrische excitatieterm, waarbij de excitatie een verticale, opgelegde beweging van de vaste wereld is. Deze stoorbelasting kan leiden tot dynamische instabiliteit van de constructie, waarbij deze zijn draagfunctie verliest. Parameterwaarden zijn gekozen en een statische analyse is uitgevoerd voor de bepaling van de statische evenwichtspunten en de stabiliteit daarvan. Een dynamische analyse is uitgevoerd, waarbij de vaste wereld een verticale, sinusvormige beweging is opgelegd. Door middel van frequency sweeps zijn grenzen vastgesteld ten aanzien van de excitatieamplitude, waarbij het systeem zich niet meer lineair gedraagt, dan wel dynamisch instabiel wordt. Dit laatste treedt op, wanneer de hoek van de buis bepaalde grenswaarden overschrijdt. Kritische excitatieamplitudes blijken mede afhankelijk van de frequency-sweepparameters. Het niet-lineaire, stabiele gedrag is bij één excitatieamplitude onderzocht met behulp van frequency sweeps, waarvan verschillende oplossingen zijn gevisualiseerd middels time histories, fasediagrammen en Poincaré-secties. Het systeem vertoont meerdere resonanties, frequency hysteresis, softening, tot ¼-orde-subharmonisch gedrag en langdurig transient, dan wel chaotisch gedrag. Het niet-lineaire gedrag wordt veroorzaakt door grote hoekverplaatsingen en door stuksgewijs lineair gedrag van het koord (het koord gaat soms slap hangen). Aanbevelingen worden gedaan voor verder onderzoek van het dynamische gedrag van tensegrity-structuren.
2
Inhoudsopgave Samenvatting .......................................................................................................................... 2 Inhoudsopgave ....................................................................................................................... 3 1 Inleiding ............................................................................................................................ 4 1.1 Tensegrity-structuren .............................................................................................. 4 1.2 Motivaties en doelstellingen .................................................................................... 4 1.3 Overzicht van de hoofdstukken ............................................................................... 5 2 Literatuuronderzoek en analysegereedschappen ............................................................ 6 2.1 Literatuur over Tensegrity-structuren ...................................................................... 6 2.2 Niet-lineaire dynamica: analysegereedschappen.................................................... 7 2.2.1 Frequency sweep ................................................................................................ 8 2.2.2 Time history, fasediagram en Poincaré-sectie .................................................... 8 3 Model.............................................................................................................................. 10 3.1 Bewegingsvergelijkingen....................................................................................... 11 3.1.1 Bewegingsvergelijkingen................................................................................... 11 3.1.2 Statische evenwichtsvergelijkingen................................................................... 12 3.1.3 Gelineariseerde bewegingsvergelijkingen......................................................... 12 3.2 Keuze parameters ................................................................................................. 14 4 Statische analyse en analyse eigenfrequenties ............................................................. 15 4.1 Variëren van de topmassa mt ................................................................................ 16 4.2 Variëren van trekstijfheid k .................................................................................... 17 4. 3 Variëren van ongespannen lengte l0 ..................................................................... 18 5 Dynamische analyse ...................................................................................................... 20 5.1 Invloed van demping en excitatieamplitude .......................................................... 22 5.2 Verdeling van de excitatieniveaus......................................................................... 23 5.3 Verwaarloosbaarheid parametrische excitatie gelineariseerd systeem ................ 27 5.4 Niet-lineaire responsie (niveau 2).......................................................................... 28 6 Conclusies en aanbevelingen ........................................................................................ 35 6.1 Conclusies............................................................................................................. 35 6.2 Aanbevelingen....................................................................................................... 36 Literatuur............................................................................................................................... 37 Appendix A Symbolenlijst ................................................................................................. 38 Appendix B Afleiding van de vergelijkingen...................................................................... 40 B.1 Bewegingsvergelijking met behulp van Lagrange ................................................. 40 B.2 Bepaling van de evenwichtspunten....................................................................... 46 B.3 Linearisatie van de bewegingsvergelijkingen ........................................................ 47 B.4 Kniklast en veiligheidsfactor in gekozen evenwichtsstand θg ................................ 51
3
1
Inleiding
1.1
Tensegrity-structuren
Een tensegrity-structuur is een constructie, bestaande uit drukstaven en kabels, die uitsluitend op trek belast kunnen worden. Het woord “tensegrity”, dat een samentrekking is van de woorden “tension” en “integrity”, slaat op het gegeven dat een dergelijke constructie één of meer evenwichtsvormen heeft die stabiel zijn door voorspanning van alle kabels. Tensegrity-structuren kunnen licht en stijf ontworpen worden en hebben doorgaans een open, toegankelijke opbouw. Dit laatste illustreert figuur 1.11. Zij kunnen tevens als “deployables” worden ingezet, uitvouwbare constructies, zoals in figuur 1.22.
Figuur 1.1: Onderaanzicht van de Needle Tower II van K. Snelson.
1.2
Figuur 1.2: “Deployable” tensegrity: uitgevouwen (l) en opgevouwen (r).
Motivaties en doelstellingen
Bovengenoemde eigenschappen maken tensegrity-structuren mogelijk geschikt voor verschillende technische toepassingen, bijvoorbeeld als lichte draagconstructies, maar ook, in het bijzonder, voor ruimtevaartconstructies. Hierbij kan men denken aan uitvouwbare antennes, antenneschotels, uitvouwbare zonnepanelen et cetera.
4
Tot op heden heeft het onderzoek naar het gedrag van tensegrity-structuren zich hoofdzakelijk gericht op de statica en de lineaire dynamica. De bewegingsvergelijkingen van dergelijke structuren zijn in een aantal gevallen echter essentieel niet-lineair, onder andere door hun geometrie, waarbij vervormingen gepaard kunnen gaan met grote hoekveranderingen. Voorts dragen kabels alleen bij aan de systeemstijfheid, zolang ze gespannen zijn. Dit maakt de systeemstijfheid discontinu. Het in dit rapport gepresenteerde onderzoek dient als vooronderzoek naar het dynamische gedrag van tensegrity-structuren in het kader van een eventueel toekomstig, groter project, mogelijk een afstudeerproject. Het hoofddoel is van een eenvoudige tensegrity-structuur de dynamische stabiliteit te bepalen. Het tweede doel is het niet-lineaire, doch stabiele, dynamische gedrag te onderzoeken. De structuur omvat een draagconstructie van een buisvormige staaf, scharnierend aan de “vaste wereld” bevestigd, die door een elastisch koord schuin omhoog wordt gehouden. Aan de bovenzijde van de buis bevindt zich een last in de vorm van een relatief zware puntmassa. Het koord is voorgespannen door het zwaartekrachtsveld werkend op de buis. Bij de dynamische analyse wordt de vaste wereld een verticale, harmonische beweging opgelegd (dynamische stoorbelasting) en wordt de responsie onderzocht.
1.3
Overzicht van de hoofdstukken
In hoofdstuk 2 wordt kort de relevante theorie voor dit project besproken, een uitleg van de gebruikte analysegereedschappen gegeven en enige literatuur aangereikt. In hoofdstuk 3 wordt het beschouwde model besproken en worden de niet-lineaire bewegingsvergelijkingen en de daaruit afgeleide evenwichtsvergelijkingen en gelineariseerde bewegingsvergelijkingen gepresenteerd. Tevens wordt een keuze gemaakt voor de parameterwaarden. In hoofdstuk 4 wordt kort een statische analyse uitgevoerd, waaruit de ligging en stabiliteit van de statische evenwichtspunten bij variërende parameterwaarden volgen. Daarop wordt een verdeling gemaakt van drie amplitudeniveaus van de opgelegde grondbeweging, waarbij het systeem zich linear, niet-lineair-stabiel, respectievelijk instabiel gedraagt. “Instabiel” in het laatste geval betekent, dat het systeem zijn draagfunctie verliest. Vervolgens wordt het gedrag van het tweede niveau nader onderzocht. Ten slotte worden in het laatste hoofdstuk conclusies gegeven en aanbevelingen voor verder onderzoek gedaan.
1
Foto in figuur 1.1 op 11 mei 2008 gedownload van http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Kenneth_Snelson_Needle_Tower.JPG 2 Foto’s in figuur 1.2 uit G. Tibert (2002). “Deployable Tensegrity Structures for Space Applications. Technical Reports from Royal Institute of Technology Department of Mechanics Stockholm.
5
2 Literatuuronderzoek en analysegereedschappen
2.1
Literatuur over Tensegrity-structuren
Auteurs van boeken en artikelen hanteren verschillende definities van het woord tensegritystructuur. Zoals in hoofdstuk 1 al besproken, is een “tensegrity-structuur” een constructie, bestaande uit elementen, die uitsluitend trekkrachten kunnen opnemen en elementen, die ook andere krachten kunnen opnemen. De opbouw is zo, dat hij bij afwezigheid van externe krachten een stabiele evenwichtsvorm heeft, waarin alle trekelementen onder spanning staan. Aan deze eigenschap dankt dit type constructie zijn naam, die een samentrekking is van de woorden “tension” en “integrity”: structurele integriteit door trekspanning. Sommigen beperken de term tot vakwerkconstructies, waarin alleen koorden en staven voorkomen, die respectievelijk uitsluitend trek- en drukkrachten in hun axiale richting opnemen. Anderen verstaan het begrip ruimer en nemen, bijvoorbeeld, ook opgespannen membranen op als trekelementen. In zijn boek noemt Wang (2004) enkele van deze definities, maar beperkt zich zelf tot constructies die uit staven en kabels bestaan. Tensegrity maakt de bouw mogelijk van constructies, die grote ruimtes overspannen, maar er niettemin licht en transparant uitzien. De mogelijkheden die het geeft ten aanzien van vormgeving maakt het interessant voor onder andere kunstenaars en architecten. Voor de laatste groep en voor constructeurs in het algemeen is een belangrijk gegeven, dat tensegrity-structuren licht en stijf ontworpen kunnen worden. Zij kunnen bovendien, behalve als statische objecten, ook als zogenaamde “deployable tensegrity structures” ingezet worden, mechanismen, waarin actuators kabels of drukstaven inkorten en verlengen om de vorm van de structuur aan te passen. Zo kunnen zichzelf ontvouwende systemen worden gemaakt. De vergelijkingen, die de dynamica van tensegrity-systemen beschrijven, zijn niet-lineair. Dit geldt al in systemen, die puur uit koorden en drukstaven bestaan. Bij vervormingen door belasting of bij uitvouwen kunnen grote hoekveranderingen tussen elementen optreden. De kabels zijn niet-lineair, doordat zij alleen trekbelastingen kunnen opnemen. Waar het systeem in die mate belast wordt, dat zij slap komen te hangen, treedt een sprong in de stijfheid op. Wanneer een grote stijfheid en een laag gewicht van essentieel belang zijn, zal men als materiaal voor de kabels waarschijnlijk kunstvezels kiezen, die een niet-constante stijfheid hebben. Voorts zijn kabels gevoelig voor resonanties bij wervelafschudding in de wind. Over de modellering van kabels in constructies is meer te vinden in Irvine (1981). Het in dit rapport beschouwde, tweedimensionale model bestaat uit een buisvormige staaf, aan één kant aan de vaste wereld bevestigd met een wrijvingsloos scharnier en aan de andere kant middels een elastisch koord en met aan de bovenzijde een last in de vorm van een relatief zware massa. De buis heeft een stabiele evenwichtsstand, waarbij de buis schuin omhoog staat en die alleen bij aanwezigheid van de zwaartekracht bestaat. Voorspanning van de kabel wordt door de zwaartekracht bewerkstelligd. Volgens bovengenoemde definitie is het in de striktste zin van het woord dus geen tensegritystructuur. Het gaat er in dit rapport echter om inzicht te verkrijgen in de dynamica van de meest eenvoudige constructie als boven beschreven met één drukstaaf en een enkele
6
elastische kabel1 en een last, ter voorbereiding van verder onderzoek naar de toepasbaarheid en nut van lichte trekelementen in constructies en mechanismen. Verder bevat het systeem de kenmerken van tensegrity-structuren, die het de moeite van het bestuderen waard maken: het koord kan uitsluitend trekkrachten opnemen; de staaf is in de statische evenwichtspositie een drukstaaf; het systeem bevat geometrische niet-lineariteiten, doordat de buis kan scharnieren. De in hieronder genoemde literatuur gaat hoofdzakelijk in op tensegrity-structuren van het type drukstaaf-koord. Genoemd boek van Wang (2004) geeft eerst een algemene introductie in het begrip van Tensegrity en toepassingen in met name bouwconstructies en mechanismen. De schrijver gaat voornamelijk in op het gebruik van verschillende veelgebruikte tensegrity-elementen - zogezegd modules, waaruit grotere structuren zijn opgebouwd - en de efficiëntie van ontwerpen in termen van gewicht, geïllustreerd met voorbeelden van ondermeer bestaande bouwwerken. Op mechanismen wordt maar kort ingegaan. Zhang en Ohsaki (2006) geven in hun artikel een noodzakelijke eis voor het stabiel zijn van een tensegrity-structuur op basis van het positief-definiet zijn van de stijfheidsmatrix en twee extra, voldoende eisen voor stabiliteit, ongeacht het gebruikte materiaal en de mate van voorspanning. Sultan en al. (2001) leiden in hun artikel rond willekeurige evenwichtspunten gelineariseerde bewegingsvergelijkingen af voor tensegritystructuren. Deze passen zij toe in twee voorbeelden. Enkele kenmerken van het dynamische gedrag worden numeriek onderzocht en een vergelijk wordt gemaakt met de resultaten van de niet-lineaire respons. Moussa et al. (2000) onderzoeken de eigenfrequenties van structuren uit één of meerdere simplex-modules2 onder verschillende maten van voorspanning en grootten en soorten van belasting. Het dient als opstap voor verder onderzoek naar aanpasbare tensegrity-structuren, waarin actief de spanning in de kabels wordt aangepast op de belasting. Sultan en Skelton (2003) behandelen “deployable tensegrity-structures” en stellen een strategie voor het uitvouwen van dergelijke structuren voor. Zij gaan uit van een verzameling stabiele oplossingen, waarin de dynamische systeemeigenschappen bekend zijn en geven een procedure om die te vinden. De strategie bestaat eruit de structuur zich “langzaam genoeg” te laten ontvouwen, waarbij de structuur steeds dicht bij een stabiele oplossing bevindt.
2.2
Niet-lineaire dynamica: analysegereedschappen
Niet-lineaire, dynamische systemen worden gekenmerkt door ondermeer de mogelijkheid van het naast elkaar bestaan van verschillende steady-state oplossingen bij een gelijk, harmonisch ingangssignaal, afhankelijkheid van de begincondities van deze oplossingen en door het optreden van bifurcaties (kwalitatieve veranderingen van het systeemgedrag bij kleine veranderingen van systeemparameters). Deze paragraaf behandelt twee “gereedschappen”, die gebruikt kunnen worden bij de analyse van de niet-lineaire dynamica van het systeem: 1. frequency sweep; 2. time history, fasediagram en Poincaré-sectie. De eerste kan worden toegepast om over een bereik van excitatiefrequenties een overzicht van verschillende, naast elkaar bestaande steady-state oplossingen te vinden en om de stabiliteit van het systeem te onderzoeken. De laatste omvat drie manieren van presenteren van responsiedata, verkregen bij numerieke integratie van een enkele oplossing voor één 1
In het vervolg zal worden gesproken over een “koord”. Simplex-module: een tensegrity-eenheid uit drie drukstaven en negen kabels. Grotere structuren kunnen uit dergelijke elementen zijn opgebouwd.
2
7
excitatiefrequentie. Zij kunnen worden gebruikt om oplossingen, gevonden met de frequency sweep, in detail te visualiseren. Voor een algemene inleiding in niet-lineaire dynamica en het gebruik van genoemde analysegereedschappen kan men ondermeer Thompson en Stewart (2002), Thomsen (1997) en Pippard (1985) naslaan. Een ander werk op dit gebied is dat van Huseyin (1986). Huseyin gaat dieper in op het onderzoeken van de stabiliteit, bifurcaties en van trillingsgedrag van autonome systemen door middel van analytische methoden.
2.2.1 Frequency sweep Bij een frequency sweep wordt het systeem door een sinusvormig signaal geëxciteerd met constante amplitude en variërende excitatiefrequentie. Een gegeven frequentiebereik wordt in NB frequenties met constante tussenstap verdeeld. Bij iedere frequentie worden gedurende een geheel aantal periodes van de excitatie de bewegingsvergelijkingen numeriek geïntegreerd. De eerste NT periodes worden beschouwd als transiente responsie. In de laatste NS periodes wordt het systeem in steady-state verondersteld. Van deze laatste NS periodes worden de minima en de maxima van de responsie en eventueel het verschil daartussen opgeslagen voor weergave in een figuur. De toestand aan het eind van de integratie wordt gebruikt als begintoestand voor de integratie bij een eerstvolgende frequentie. Tenzij een bifurcatie optreedt, of de stapgrootte tussen de frequenties erg groot is gekozen, zullen de steady-state oplossingen bij twee op elkaar volgende frequenties dicht bij elkaar liggen. Daardoor zal doorgaans een kleiner aantal periodes NT nodig zijn om transients te doen uitdempen, die bij de overgang tussen twee frequenties optreden, dan die optreden bij inschakelen van het systeem vanuit rust. Bij de eerste integratie in de reeks, die bij de laagste frequentie, wordt daarom gedurende NTI extra transient periodes geïntegreerd. Er worden twee “sweeps” uitgevoerd: een “sweep-up” van lage naar hoge excitatiefrequentie en een “sweep-down” in tegengestelde richting. Zoals in de inleiding van de paragraaf is gezegd, kunnen meerdere oplossingen bij eenzelfde excitatie naast elkaar bestaan. In een frequency sweep kan dat zichtbaar worden, doordat de minima of maxima van de stabiele oplossingen bij de sweep-up en de sweepdown bij bepaalde frequenties verschillende takken vormen. Bifurcaties kunnen ondermeer zichtbaar worden in het plots sterk vergroten of verkleinen van minima of maxima. Dit kan ondermeer daar optreden, waar een stabiele oplossing instabiel wordt of verdwijnt, of daar waar een verstoring optreedt, die het systeem in een toestand doet terechtkomen die tot een andere, stabiele oplossing leidt. Een knik in de minima of maxima, waarbij de amplitude toeof afneemt, kan wijzen op een “flip-bifurcatie”, ofwel “period-doubling-bifurcatie”. Hierbij verdubbelt de periodetijd van de responsie. Voor meer informatie over frequentiegedrag en bifurcaties, alsmede de interpretatie van diagrammen frequency sweeps, wordt naar de bovengenoemde literatuur verwezen. Opgemerkt moet worden, dat periodieke oplossingen en hun stabiliteit ook efficiënt berekend kunnen worden dooroplossingen van twee-punts randwaardeproblemen te bepalen in plaats van een beginwaardeprobleem, zoals in dit rapport, zie bijvoorbeeld Fey et al. (1996).
2.2.2 Time history, fasediagram en Poincaré-sectie Bij verschillende excitatiefrequenties zullen de verschillende steady-state-oplossingen van hierboven beschreven sweep-up en de sweep-down in meer detail worden gevisualiseerd in time histories, fasediagrammen en Poincaré-secties. Hiertoe is het nodig de bewegingsvergelijkingen gedurende een geheel aantal excitatieperiodes te integreren bij eenzelfde excitatiefrequentie en bij een begintoestand, zodanig gekozen, dat het systeem in de betreffende steady-state-oplossing terecht komt. Zoals beschreven in voorgaande subparagraaf, kan men daarvoor de toestand van de frequency sweep aan het eind van integratie bij de betreffende sweep en frequentie nemen.
8
De verkregen toestandsvariabelen, in het huidige project een positie en een snelheid, worden uitgezet tegen de tijd - “time histories” - en tegen elkaar in fasediagrammen. Verder kan in het fasevlak de toestand van het systeem gemarkeerd worden aan het begin van iedere nieuwe excitatieperiode. Dit laatste is de zogenaamde Poincaré-sectie. Wanneer het systeem in steady-state verkeert en een harmonische beweging maakt, zal het in het fasevlak steeds eenzelfde, gesloten kromme doorlopen. Als hierbij de periodetijd van de responsie gelijk is aan die van de excitatie, zullen alle Poincaré-punten in het fasevlak samenvallen. Als de periodetijd van de responsie n maal zo groot is als die van de excitatie, zullen in het fasevlak n Poincaré-punten zichtbaar zijn, die de responsie iedere n excitatieperiodes eenmaal doorloopt. Zolang het systeem nog niet in steady-state blijkt te zijn, of wanneer het zich quasi-periodiek of chaotisch gedraagt, kan de weergave van de toestand in het fasevlak onoverzichtelijk worden, omdat de toestand niet periodiek dezelfde kromme doorloopt. Wanneer de responsie quasi-periodiek is, vullen uiteindelijk oneindig veel Poincarépunten een gesloten kromme op. De Poincaré-punten van een chaotische beweging vullen niet een gesloten kromme op en herhalen zichzelf nooit. Niettemin kunnen ze een zekere regelmaat vertonen, waarbij ze bijvoorbeeld een fractale structuur opvullen. De in deze subparagraaf genoemde data kunnen ook weer worden verdeeld in NT transient periodes en NS steady-state periodes. Dit kan bijvoorbeeld nodig zijn om na te gaan, of schijnbaar quasi-periodiek of chaotisch gedrag geen transients zijn.
9
3
Model
In figuur 3.1a is de beschouwde tensegritystructuur weergegeven. Deze bestaat uit een buisvormige staaf met een puntmassa en een koord. De buis is homogeen, uniform en star. Zij is scharnierend aan de vaste wereld bevestigd in punt A en maakt een hoek θ met de horizontaal, zoals weergegeven in de figuur. De buis heeft lengte L , buitendiameter D en wanddikte t . In punt C, de bovenzijde van de buis, is een puntmassa met massa mt bevestigd.
mt
C
r g
C
k
CM
L
r mt g
mb , J CM
θ
J
A
B
O
r e2 r e3
CM
r mb g
b
vaste wereld
r Fk
y (t )
r e1
Figuur 3.1a: Schets van de beschouwde tensegritystructuur, bestaande uit één buis, een puntmassa en een koord. De “vaste wereld” wordt geëxciteerd met een harmonische beweging y (t )
r R A1
r e2
O
r e3
A
r e1
r R A2
cT
θ
Figuur 3.1b: krachten, werkend op de buis.
De massa en het massatraagheidsmoment van de buis ten opzichte van het massamiddelpunt CM worden respectievelijk gegeven door:
mb =
π 4
[
]
ρ D 2 − (D − 2t )2 L = πρ Lt ( D − t )
(3.1)
en
J CM =
1 mb L2 12
(3.2)
10
Tussen C aan de bovenzijde van de buis en B op de vaste wereld is een koord met trekstijfheid k gespannen. Dit koord wordt massaloos verondersteld. Het koord kan uitsluitend trekkrachten opnemen. De ongespannen veerlengte van het koord is l 0 . De r zwaartekracht werkt in negatieve e2 -richting met gravitatieversnelling g :
r r g= − ge 2
(3.3)
In figuur 3.1b zijn de krachten weergegeven die op de buis werken. In A werken de r r r r r reactiekrachten R A1 en R A2 in respectievelijk de e1 - en de e 2 -richting. De trekkracht Fk van r het koord en de zwaartekracht op de puntmassa mt g grijpen in C aan en de zwaartekracht r op de buis mb g in CM. Ten slotte werkt in punt A een koppel als gevolg van viskeuze wrijving, met dempingscoëfficiënt cT . De verticale verplaatsing van de “vaste wereld” wordt voorgeschreven door een harmonische verplaatsing y (t ) :
y (t ) = Y sin(2πft )
(3.4)
met de excitatieamplitude Y in m en –frequentie f in Hz. Het systeem wordt zo ontworpen, dat het bij ingang y (t ) = 0 een stabiel evenwichtspunt heeft in een zeker gekozen punt
θ = θ g , 0 o < θ g < 90 o . Het systeem heeft slechts één vrijheidsgraad. De draagfunctie van het systeem gaat verloren op het moment, dat θ > 90° of θ < 0° .
3.1
Bewegingsvergelijkingen
De bewegingsvergelijkingen zijn afgeleid volgens de methode van Lagrange, waarbij θ als gegeneraliseerde coördinaat is gekozen. De resultaten worden hier geponeerd zonder afleiding. De uitwerking is te vinden in bijlage B.1 – B.3. Tevens zullen van de niet-lineaire bewegingsvergelijkingen afgeleide evenwichtsvergelijkingen en gelineariseerde bewegingsvergelijkingen worden gepresenteerd.
3.1.1 Bewegingsvergelijkingen De beweging van het systeem wordt beschreven door de volgende differentiaalvergelijking: 1 (3mt + mb )L2θ&& + 1 (2mt + mb )L&y& cos θ + cT θ& + 1 (2mt + mb ) gL cos θ + M k (θ ) = 0 3 2 2
(3.5)
waarin:
⎧0, als u (θ ) ≤ 0 ⎪ M k (θ ) = ⎨ ⎛ l0 ⎞ ⎪kbL sin θ ⎜⎜ l (θ ) − 1⎟⎟, als u (θ ) > 0 ⎝ ⎠ ⎩
(3.6)
Hierin is l (θ ) de lengte van het koord in de huidige toestand:
l (θ ) = L2 + 2bL cos θ + b 2
(3.7)
De uitrekking u van het koord wordt gegeven door:
11
u (θ ) = l (θ ) − l 0
(3.8)
3.1.2 Statische evenwichtsvergelijkingen Op nul stellen van de tijdsafgeleiden van de coördinaat θ en van de opgelegde beweging y (t ) in (3.5) levert de volgende evenwichtsvergelijking voor u (θ ) ≤ 0 :
1 (2mt + mb ) gL cos θ s + M k (θ s ) = 0 2
(3.9)
Vergelijking (3.9) levert met (3.6) de twee verticale standen als statische evenwichtspunten, waarin het koord niet is uitgerekt:
θ s = kπ +
π 2
, k = 0, ± 1, ± 2, ..., als u (θ ) ≤ 0
(3.10)
Hieraan wordt voldaan als l 0 ≥ b 2 + L2 . Vergelijkingen (3.9) en (3.6) leveren de volgende uitdrukking, waaraan statische evenwichtspunten θ s , waarin het koord gespannen is, moeten voldoen:
(2mt
+ mb ) g 1 + 2kb tan θ s
l0 L2 + 2bL cos θ s + b 2
− 1 = 0, als u (θ ) > 0
(3.11)
Vergelijking (3.11) kan twee oplossingen leveren, waarvan het bestaan en de ligging bij gegeven parameterwaarden numeriek moeten worden bepaald. Eén van beide oplossingen moet gelijk zijn aan de gewenste evenwichtsstand θ g .
3.1.3 Gelineariseerde bewegingsvergelijkingen De bewegingsvergelijkingen worden gelineariseerd rond de punten van statisch evenwicht θs :
~
θ =θ −θs
(3.12)
Dit levert vergelijkingen van de vorm:
{
}
~& ~ 1 ~ &~& Jθ + cT θ + k T θ = (2mt + mb )L&y& θ sin (θ s ) − cos(θ s ) 2
(3.13)
~ Dit is de Mathieu-vergelijking. De eerste term in het rechterlid ( θ sin (θ s ) ) toont de parametrische excitatie van het systeem. De tweede term ( cos(θ s ) ) bevat de directe excitatie. In het vervolg wordt aangenomen, dat het parametrische deel van de excitatie te verwaarlozen is. Vergelijking (3.13) is dan te schrijven als: ~ ~& ~ && Jθ + cT θ + k T θ = − B&y&
(3.14)
Hierin is J het massatraagheidsmoment van het gelineariseerde systeem, gegeven door:
12
J=
1 (3mt + mb ) L2 3
(3.15)
kT is de rotatiestijfheid in het betreffende evenwichtspunt. kT heeft verschillende oplossingen voor de evenwichtspunten voor u (θ ) < 0 , gegeven door (3.10) en voor u (θ ) > 0 , gegeven door (3.11):
⎧ 1 ⎪− 2 (2mt + mb ) gL sin θ s , als u (θ ) < 0 ⎪ 1 ⎪⎪⎛ − (2mt + mb ) gL sin (θ s ) k T (θ ) = ⎨⎜ 2 ⎜ ⎪⎜ 2 ⎛ ⎞ ⎛ l0 kl 0 (bL sin θ s ) ⎟+⎜ ⎪⎜ + kbL cos θ ⎜ − 1 s ⎜ ⎟⎟ ⎜ 2 ⎪⎜ 2 ⎜ L2 + 2bL cos θ + b 2 s ⎪⎩⎝ ⎝ ⎠ ⎝ L + 2bL cos θ s + b
(
)
3/ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎞ ⎟, als u (θ ) > 0 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ (3.16)
Het systeem kan niet worden gelineariseerd in het punt, waarin u (θ ) = 0 . De rotatiestijfheid kT (θ ) vertoont immers in dat punt een knik. De coëfficiënt B voor de opgelegde beweging in vergelijking (3.14) wordt in de evenwichtspunten gegeven door:
B=
1 (2mt + mb )L cosθ s 2
(3.17)
In de evenwichtspunten voor u (θ ) < 0 , gegeven door (3.10), is (3.17) gelijk aan nul. De opgelegde beweging is hier evenwijdig aan de buis, zodat deze in rust blijft. Vergelijking (3.14) kan ook geschreven worden als:
~ &&
~&
~
θ + 2ςω nθ + ω n2θ = −
B &y& J
(3.18)
Hierin is de natuurlijke eigenfrequentie ω n :
ω n (θ ) = kT (θ ) J
(3.19)
De dimensieloze en dimensievolle dempingsconstanten ς en cT , respectievelijk, zijn als volgt aan elkaar gerelateerd:
ς (θ ) =
cT 2 k T (θ ) J
(3.20)
Bij de dynamische analyse zal gekeken worden naar de steady-state responsie van vergelijking (3.5). De analytische, steady-state oplossing van (3.18) wordt gegeven door:
θ (t ) = H ( f ) Y sin (2πft + ∠H ( f ) ) ~
(3.21)
Waarbij de overdrachtsfunctie H ( f ) gegeven wordt door:
13
H(f )=
4π 2 Bf 2 / J − 4π 2 f 2 + 4πςω n fj + ω n2
3.2
Keuze parameters
(3.22)
Voor de statische en dynamische analyse van het systeem worden concrete waarden gekozen voor de systeemparameters. De waarden zijn in onderstaande tabel weergegeven. De keuze is redelijk arbitrair. Wel zijn de dimensies zo gekozen, dat het model in principe gemakkelijk vervaardigd zou kunnen worden voor experimenten. Voor het materiaal van de buis is aluminium gekozen, omdat een tensegrity-structuur vaak licht en stijf ontworpen wordt. De kniklast van de buis is bij gegeven dimensies ruim 20 maal de belasting in de gewenste statische evenwichtspostitie, θ = θ g . Deze grote veiligheidsfactor is aangenomen, opdat mag worden aangenomen dat de buis inderdaad “star” is. In een werkelijke tensegritystructuur zou een dergelijke overdimensionering niet worden toegepast, aangezien dan juist een zo licht mogelijke, stijve constructie wordt beoogd. De massa van de buis bedraagt niettemin minder dan 1,5 % van de totale massa. De berekening van de veiligheidsfactor is in appendix B.4 opgenomen. De combinatie van koordstijfheid k en de lengte van het ongespannen koord l 0 zijn zo gekozen, dat het systeem in evenwicht is in θ g . Tevens is er rekening mee gehouden, dat de sprong in de “stijfheid” van het systeem bij u = 0 niet te groot is. Dit is slechts om te voorkomen, dat de differentiaalvergelijkingen voor numerieke integratie niet te stijf worden, wat nodeloos veel rekentijd zou vergen. Dit doet niets af aan het niet-lineair zijn van het systeem. Bij de gekozen waarde van l0 hangt het koord slap in beide verticale posities. De beschouwde soort constructie is doorgaans lichtgedempt en de demping cT wordt in eerste instantie nul verondersteld. Bij de dynamische analyse, waarbij de steady-state responsie onderzocht wordt, zal demping worden toegevoegd om inschakelverschijnselen te laten uitdempen. De ongedempte eigenfrequentie van het rond θ = θ g gelineariseerde systeem is f n = 1,89 Hz (hierbij is de parametrische excitatieterm verwaarloosd).
Tabel 3.1: Waarden van de systeemparameters in het uitgangsmodel. Parameter Waarde* Eenheid Betekenis 70 [°] “Gewenste hoek van statisch evenwicht”; de uitgangsθg en beginpositie bij numerieke integratie van het systeem. ρ Dichtheid materiaal buis (aluminium) 2700 [kg/m3] 70.0 [GPa] Elasticiteitsmodulus materiaal buis (aluminium) E b 0.75 [m] Afstand |AB| 0.5 [m] Lengte buis ; afstand |AC| L 10 [mm] Buitendiameter buis D t 1 [mm] Wanddikte buis 3 [kg] Massa topmassa in C aan bovenzijde van de buis mt
mb K l0 k cT
43.3 [g]
Massa buis
20.5 [-]
Veiligheidsfactor: verhouding kniklast/ last van de buis in rust in θg. Lengte van het ongespannen koord
1.02 [m]
1067 [N/m] Trekstijfheid koord 0 [Nms/rad] Dempingsconstante
14
4 Statische analyse en analyse eigenfrequenties Het systeem wordt allereerst onderworpen aan een statische analyse. Het doel is de ligging en de stabiliteit van de evenwichtspunten en de gevoeligheid daarvan voor parametervariaties vast te stellen. De stabiliteit van de statische evenwichtspunten θ s wordt onderzocht middels een statische stabiliteitsanalyse. Tevens wordt daarbij de eigenfrequentie van het in die punten gelineariseerde systeem bepaald. De stabiliteit kan worden bepaald door de tweede afgeleide van de potentiële energie V (θ ) naar θ in θ = θ s te berekenen. Hiervoor geldt:
⎧ ⎪als ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪als ⎩⎪
∂ 2V ∂θ 2 ∂ 2V ∂θ 2
< 0 ⇒ instabiel θ =θ s
(4.1)
> 0 ⇒ stabiel θ =θ s
Men kan ook het reële deel van de eigenwaarden Re(λ k ) van het gelineariseerde systeem bepalen. Hiervoor geldt dat:
⎧als Re(λ k ) < 0 ⇒ stabiel ⎨ ⎩als Re(λ k ) > 0 ⇒ instabiel
(4.2)
Omdat het systeem ongedempt is, bestaan er dynamisch gezien geen stabiele evenwichtspunten; het systeem is slechts randstabiel of instabiel. De eigenwaarden van het randstabiele systeem worden gegeven door (zie voor afleiding bijlage B.3):
λ1, 2 = ± jω n
(4.3)
waarbij ω n wordt gegeven door:
ω n (θ ) = kT (θ ) J
(4.4)
Bij variatie van telkens één parameter van het standaardsysteem (zie tabel 3.1) worden het bestaan, de ligging en de stabiliteit van de evenwichtspunten vastgesteld. Van de parameters in tabel 3.1 zijn de topmassa mt , de ongespannen koordlengte l 0 en trekstijfheid k van het koord het meest interessant. mt maakt het grootste deel van de massa van het systeem uit en is op de maximale afstand van A gepositioneerd en zal dus, meer dan de massa van de buis, die ontworpen is om relatief licht te zijn, invloed hebben op het systeemgedrag.
15
4.1
Variëren van de topmassa mt
In figuur 4.1 zijn de statische evenwichtsstanden en eigenfrequenties weergegeven bij verschillende waarden van mt . Beide verticale evenwichtspunten voor u ≤ 0 bestaan voor alle mt en, zoals men zou verwachten, is alleen de onderste stabiel. De eigenfrequentie is voor alle mt >> mb nagenoeg constant en ligt in de buurt van 0.7 Hz. Dit is ongeveer gelijk aan de eigenfrequentie van een slinger met gelijke lengte L bij kleine uitwijking: 1 f ≈ g L = 0.704 Hz. (Bij mt nabij nul is bij inzoomen een andere eigenfrequentie 2π zichtbaar.) Voor u > 0 blijken voor alle mt tot 10 kg twee takken te bestaan, waarvan de bovenste tak door θs = 70° bij mt = 3 kg stabiel is en de onderste tak instabiel. De eigenfrequentie bij de stabiele oplossingen is ongeveer omgekeerd evenredig met
mt .
Figuur 4.1: Evenwichtspunten θs en eigenfrequenties van het gelineariseerde systeem in de stabiele evenwichtspunten bij variatie van topmassa mt. Het systeem is stabiel waar de lijn is doorgetrokken en instabiel waar de lijn is gestippeld. De verticale, onderbroken lijn geeft de standaardwaarde van mt weer.
De instabiliteit in van de onderste tak is als volgt te verklaren. De uitrekking u is relatief groot in θ s . Omdat de buis vrijwel horizontaal ligt, verandert de uitrekking – en daarmee de trekkracht – in het koord bij een kleine verdraaiing weinig. De arm ten opzichte van het draaipunt, waarover de trekkracht werkt, verandert echter relatief veel bij een kleine
16
hoekverdraaiing. De arm waarover de (constante) zwaartekracht op de massa werkt, verandert weinig bij deze hoek. Wanneer θ een weinig toeneemt, zal het moment, geleverd door de trekkracht in het koord, de overhand krijgen en de buis richting de eerste, stabiele oplossing bij u > 0 trekken. Wanneer θ afneemt, zal het koord geen evenwicht meer kunnen maken met de zwaartekracht en zal de buis doorklappen naar de evenwichtsstand -90°. Bij toenemende mt naderen beide takken voor u > 0 elkaar, tot ze samenkomen bij 10 kg in een bifurcatiepunt. Daarna houden ze op te bestaan.
4.2
Variëren van trekstijfheid k
In figuur 4.2 zijn de evenwichtspunten en eigenfrequenties in de stabiele evenwichtspunten tegen k weergegeven.
Figuur 4.2: Evenwichtspunten θ s en eigenfrequenties van het gelineariseerde systeem in de stabiele evenwichtspunten bij variatie van trekstijfheid. Het systeem is randstabiel waar de lijn is doorgetrokken en instabiel waar de lijn is gestippeld. De verticale, onderbroken lijn geeft de standaardwaarde van k weer.
Aan de beide verticale evenwichtsstanden is niets veranderd. Weer bestaan voor u > 0 twee takken met evenwichtspunten, waarvan de onderste instabiel is voor alle k en de bovenste altijd stabiel is, zolang k boven 320 N/m ligt, waar beide takken samenkomen in een bifurcatiepunt. Dit punt heeft dezelfde betekenis voor wat betreft het bestaan van de evenwichtspunten als het punt mt = 10 kg bij variëren van mt (zie figuur 4.1). Het stabiele
17
evenwichtspunt lijkt voorbij de standaardwaarde, waar θ s = 70° bijna constant. Bij die hoek is de rek in het koord slechts 1,4 cm. Wanneer het koord precies ontspannen is, maakt de buis een hoek θ = 73.9°. Deze waarde zal de bovenste evenwichtsstand naderen wanneer k → ∞ . Het onderste evenwichtspunt nadert voor k → ∞ de 0°, omdat het koord door zijn grote stijfheid een steeds kleinere arm ten opzichte van het draaipunt nodig heeft om evenwicht te maken met de zwaartekracht. De eigenfrequentie van de stabiele oplossing voor u > 0 is ongeveer evenredig met k .
4. 3 Variëren van ongespannen lengte l0 In figuur 4.3 zijn de evenwichtspunten met bijbehorende eigenfrequenties weergegeven. Voor b 2 + L2 = 0.901 m < l 0 < 1.13 m bestaan er vier evenwichtspunten. De beide oplossingen voor u > 0 komen bij elkaar in een bifurcatiepunt bij l 0 ≈ 1.13 m. Bij l 0 < 0.901 m bestaan de beide verticale oplossingen niet meer; het koord is te kort om in deze posities ongespannen te zijn. De stabiele oplossing voor u > 0 slaat bovendien om naar een hoek tussen 180° en 270° (-180° en -90° in de figuur), waar de buis naar beneden hangt.
Figuur 4.3: Evenwichtspunten θs en eigenfrequenties van het gelineariseerde systeem in de stabiele evenwichtspunten bij variatie van de lengte van het ongespannen koord l0. Het systeem is randstabiel waar de lijn is doorgetrokken en instabiel waar de lijn is gestippeld. De verticale, onderbroken lijn geeft de standaardwaarde van l0 weer.
18
Bij afname van de lengte van het ongespannen koord l0 gaat de stabiele oplossing door θ s = θ g = 70° richting de 90°. De stijfheid van het systeem in deze oplossing neemt hierbij toe, getuige de toename in de eigenfrequentie. Nabij de 90° is het aandeel in de stijfheid van de zwaartekracht hier bijna constant – dit is ook te zien aan de eerste term in (3.16) voor u > 0 - en ruim 12 keer zo klein als het aandeel van het koord. Het aandeel van de stijfheid van het koord is groter bij 90° dan bij 70°, terwijl de trekstijfheid constant is. De oorzaak daarvan is erin gelegen, dat bij eenzelfde hoekverandering de uitrekking en dus de trekkracht in het koord meer verandert in het eerste, dan in het laatste punt. Zo ervaart het systeem een grotere “stijfheid” van het koord bij θ s = 90° dan bij θ s = 70°. Daarbij werkt de trekkracht in het koord in het eerste punt over een grotere arm en is het moment van die kracht dus groter.
19
5
Dynamische analyse
De stabiliteit van het stationaire systeem is behandeld in de statische analyse. Bij de dynamische analyse wordt het systeem onderworpen aan een sinusvormige excitatie y (t ) in verticale richting, gegeven door vergelijking (3.4) in de modelbeschrijving:
y (t ) = Y sin(2πft )
(5.1)
Hierin is f de excitatiefrequentie in Hz en Y de amplitude in m. Het hoofddoel is na te gaan bij welke frequenties en amplitudes het systeem dynamisch instabiel wordt, dat wil zeggen: doorslaat en zijn draagfunctie verliest. Het tweede doel is het nader onderzoeken van de essentieel niet-lineaire, steady-state responsie. De steady-state responsie wordt onderzocht door de bewegingsvergelijkingen in toestandsvorm te brengen en numeriek te integreren met behulp van de Matlabsolver ode45. Dit wordt soms uitgevoerd bij vaste excitatiefrequentie en soms in frequency sweeps. Het is noodzakelijk demping toe te voegen aan het model om inschakelverschijnselen uit te laten dempen. Bij de keuze van de demping wordt een waarde gekozen voor de dimensieloze dempingsconstante ς van het in de uitgangspositie θ g gelineariseerde systeem volgens (3.14):
~ &&
~&
~
θ + 2ςω nθ + ω n2θ = −
B &y& J
(5.2)
Hierin is de demping gegeven door (3.16):
ς=
cT 2 kT (θ g ) J
(5.3)
Vanuit (5.3) kan vervolgens de waarde van cT worden berekend. De integraties bij vaste excitatiefrequentie dienen om data te creëren om het stationaire systeemgedrag in de tijd te visualiseren door middel van time histories, fasediagrammen en Poincarésecties. Dit is behandeld in paragraaf 2.2.2. Frequency sweeps worden uitgevoerd om een globaal overzicht te krijgen van het systeemgedrag bij verschillende excitatiefrequenties. Bij iedere frequentie worden, behalve de minima en maxima van de steady-state responsie, de eindtoestanden opgeslagen. Deze eindtoestanden kan men als begintoestanden gebruiken voor bovengenoemde integraties bij vaste frequentie. Op deze wijze kan men verschillende oplossingen van beide sweeps bij dezelfde excitatiefrequentie visualiseren, wat niet mogelijk zou zijn, wanneer men deze integraties zou uitvoeren vanuit de uitgangstoestand: rust in θ = θ g . De frequency sweep zelf wordt wel vanuit de rusttoestand in θ g gestart bij de eerste integratie. Gestart wordt met een sweep-up, waarna aansluitend een sweep-down wordt uitgevoerd. In tabel 5.1 zijn met een korte beschrijving de gevarieerde systeemparameters en de analyseparameters nog eens weergegeven.
20
Bij de beschouwing van de dynamische responsie worden drie excitatieniveaus van ingangsamplitude Y onderscheiden: 1. “kleine” waarden van Y , waarbij het gedrag van het niet-lineaire systeem nog sterk op dat van het gelineariseerde systeem lijkt; 2. die waarden van Y , waarbij het systeemgedrag duidelijk niet-lineair is, maar nog wel “stabiel”, dat wil zeggen dat de buis rond θ = θ g blijft bewegen; 3. die waarden van Y , waarbij de beweging “instabiel” wordt, ofwel de buis “doorslaat” en het systeem zijn draagfunctie verliest. De niveaus worden onderscheiden met behulp van frequency sweeps. Het niet-lineaire gedrag kan ondermeer zichtbaar worden door 1) het ontstaan van verschillen in responsiepieken in de minima en maxima van het niet-gelineariseerde systeem ten opzichte van die van het gelineariseerde systeem, 2) verschillend gedrag bij de sweep-up en de sweep-down en 3) het optreden van bifurcaties. Wanneer de uitwijking van de buis ten opzichte van de evenwichtsstand θ g zo groot wordt, dat zij door één van de instabiele evenwichtspunten gaat, 11.6° of 90°, dan zal zij (meestal) haar draagfunctie verliezen en zal niveau 3 bereikt zijn. Afhankelijk van de frequentie en de amplitudes waarbij dat gebeurt, zal de buis rond de 270° blijven trillen, of eindeloos blijven roteren, waarbij de hoek θ almaar toe- of afneemt. Dit wordt zal worden geïllustreerd met een voorbeeld. Het niveau-3-gedrag op zichzelf is verder echter onbelangrijk. Nadat de niveaus zijn onderscheiden spitst de analyse zich toe op het dynamisch systeemgedrag bij een vaste waarde van amplitude Y , waarbij het model zich duidelijk nietlineair gedraagt (excitatieniveau 2).
Tabel 5.1: Overzicht van de systeem- en analyseparameters bij integraties. Parameter Omschrijving excitatieamplitude in m Y f excitatiefrequentie in Hz ς dempingscoëfficiënt NTt, NTf aantal transient excitatieperiodes bij integratie bij vaste frequentie t.b.v. time histories en fasediagrammen (t) en bij afzonderlijke frequenties in een frequency sweep (f), respectievelijk NSt, NSf aantal steady-state excitatieperiodes bij integratie bij vaste frequentie t.b.v. time histories en fasediagrammen (t) en bij afzonderlijke frequenties in een frequency sweep (f), respectievelijk NTI bij frequency sweep: extra transient excitatieperiodes bij allereerste integratiefrequentie NB bij frequency sweep: aantal equidistante frequenties, waarbij in het beschouwde frequentieinterval geïntegreerd wordt.
In paragraaf 5.1 zal de invloed van de demping, in combinatie met de excitatieamplitude, op de resultaten van de analyse worden besproken en geïllustreerd met twee voorbeelden. Vervolgens wordt in paragraaf 5.2 een verdeling gemaakt tussen de verschillende excitatieniveaus. Het verschil tussen de lineaire en niet-lineaire responsie wordt geïllustreerd aan de hand van twee voorbeelden. Vervolgens worden twee soorten niveau-3-gedrag getoond. In de beschouwing van het gelineariseerde systeem is de parametrische excitatie telkens verwaarloosd. In paragraaf 5.3 wordt deze parametrische excitatie opgevat als een
21
het systeem opgelegde stijfheid en wordt de grootte ervan vergeleken met de stijfheid k T (θ ) . De parametrische excitatie blijkt afhankelijk van de excitatiefrequentie en blijkt binnen het beschouwde frequentiebereik relatief klein ten opzichte van k T (θ ) . Ten slotte wordt in paragraaf 5.4 het niet-lineaire niveau-2-gedrag nader onderzocht.
5.1
Invloed van demping en excitatieamplitude
Het beschouwde soort constructie is typisch lichtgedempt ( ς < 0.1). Een hoog gekozen waarde van ς heeft het voordeel, dat inschakelverschijnselen snel uitdempen, wat integratietijd kan besparen. Een te hoge dempingswaarde zal echter resulteren in onrealistische responsies. Het effect van demping is geschetst in figuur 5.1. Hierin zijn de maxima weergegeven van frequency sweeps op het systeem. In figuren 5.1a en b zijn de maxima weergegeven van twee frequency sweeps, uitgevoerd met ς = 0.02 en Y = 0.019 m, respectievelijk ς = 0.04 en Y = 0.035 m. Beide amplitudes zijn zo genomen, dat het systeem net niet doorslaat naar niveau 3. In het zwaarder gedempte geval kan Y bijna tweemaal zo groot worden gekozen als in het lichter gedempte, zonder dat het systeem doorslaat. Het is echter ook te zien, dat bij de hoge demping de hogere resonantie vanuit 3.8 Hz onzichtbaar wordt. In alle hierna volgende paragrafen zal worden gewerkt met een dempingscoëfficiënt ς = 0.02.
a
b
Figuur 5.1: Illustratie van het effect van de analyseparameter ζ in combinatie met Y op het systeemgedrag. De maxima van θ bij frequency sweeps van 0.4731 Hz tot 7.5692 Hz met NB = 801, NTI = 10 en NSf = 15 zijn weergegeven voor: a) Y = 0.019 m, ς = 0.02, NTf = 15 en Y = 0.035 m, ς = 0.04, NTf = 10.
22
5.2
Verdeling van de excitatieniveaus
Een grove verdeling van de excitatieniveaus, verkregen bij NB = 801, NTI = 10, NTf = 15, NSf = 10 is weergegeven in tabel 5.2. Het onderscheid tussen de niveaus is visueel verkregen met behulp van frequency sweeps. Tabel 5.2: excitatieniveaus bij NB = 801, NTI Niveau Niveau 1: “lineair” gedrag Niveau 2: “niet-lineair gedrag Niveau 3: verlies draagfunctie
= 10, NT = 15 en NS = 10. Excitatieamlitude Y < 0.003 m 0.003 m ≤ Y < 0.020 m Y > 0.020 m
De verdeling van excitatieniveaus blijkt niet alleen afhankelijk van de systeemparameters, zoals de demping en de excitatiefrequentie en –amplitude. Zij hangt ook af van de analyseparameters, zoals die waarmee de frequency sweep wordt uitgevoerd. Figuur 5.2 toont de invloed van de keuze voor NB. Te zien is, dat bij voor het overige gelijke condities het systeem bij NB = 801 al bij Y = 0.02 m doorslaat, terwijl dat niet gebeurt bij NB = 1001. In het eerste geval zijn de frequentiestappen groter dan in het tweede. De steady-stateoplossingen tussen twee frequentiestappen liggen in het eerste geval verder van elkaar en de transients, die optreden bij overgang tussen die frequenties, blijken hier voldoende om het systeem te laten doorslaan. Idealiter zou men daarom de frequentiestappen oneindig klein, ofwel NB oneindig groot willen nemen. Bij NB = 1001 en groter blijkt het omslagpunt ongeveer bij Y = 0.035 m te liggen.
a
b
Figuur 5.2: Effect van keuze van de analyseparameter NB. De maxima van θ bij frequency sweeps van 0.4731 Hz tot 7.5692 Hz met Y = 0.020 m, ς = 0.02, NTI = 10 en NTf = NSf = 15 zijn weergegeven voor a) NB = 801 en b) NB = 1001.
23
In figuur 5.3 zijn de peak-to-peakwaarden van θ van een frequency sweep over die van de analytische, steady-state responsie van het gelineariseerde systeem getekend bij twee excitatieamplitudes. Bij Y = 0.002 m gedraagt het niet-lineaire systeem zich nog als het gelineariseerde systeem; het bevindt zich in niveau 1. Vanaf Y = 0.003 m is een afwijking van het lineaire gedrag te zien. Figuur 5.3b illustreert dit voor Y = 0.005 m. De resonantiepieken zijn lager geworden dan die behorende bij het gelineariseerde systeem. Meer opvallend is echter, dat het niet-lineaire systeem bij de sweep-up en de sweep-down bij dezelfde excitatiefrequenties verschillende stabiele oplossingen naast elkaar blijkt te vertonen. De resonantiepieken zijn bovendien enigszins naar links gebogen; het systeem vertoont “softening”. Het systeem begint hier duidelijk niet-lineair te worden en ondervindt dus zogezegd excitatie van niveau 2.
a
b
Figuur 5.3: Frequency sweep peak-to-peakwaarden van hoek θ bij ζ = 0.02, NB =801, NTI = 10, NTf = 15 en NSf = 10, met a) Y = 0,002 m en b) Y = 0.005 m, tezamen met de analytische oplossing van het gelineariseerde systeem.
24
In figuren 5.4 en 5.5 zijn voor beide excitatieamplitudes de tijdresponsies en de fasediagrammen over 10 excitatieperiodes te zien van zowel het niet-lineaire als het gelineariseerde systeem bij een frequentie nabij de resonantiefrequentie. Opgemerkt moet worden, dat in figuur 5.5 de respons vlakbij de resonantiefrequentie is genomen en dat verder bij de resonantie vandaan de lineaire en niet-lineaire respons bij Y = 0.005 m moeilijk of niet te onderscheiden zijn in dit soort diagrammen. Zij zijn daarom, in tegenstelling tot de frequency sweeps, niet zo geschikt voor het maken van onderscheid tussen lineair en nietlineair.
a b Figuur 5.4: a) harmonische tijdresponsie en b) fasediagram met Poincarésectie van wel en niet gelineariseerd systeem bij f = 1.9 Hz en Y = 0.002 m gedurende 10 excitatieperiodes.
a b Figuur 5.5: a) harmonische tijdresponsie en b) fasediagram met Poincarésectie van wel en niet gelineariseerd systeem bij f = 1.9 Hz en Y = 0.005 m gedurende 10 excitatieperiodes.
25
Wanneer men het niet-lineaire gedrag beschouwt, geven frequency-sweep-diagrammen met peak-to-peak-waarden niet langer een volledig beeld. In dit specifieke tensegrity-systeem blijken bijvoorbeeld in absolute zin de minima minder te verschillen van het evenwichtspunt θ = θ g dan de maxima. De bewegingen zijn niet meer symmetrisch ten aanzien van het statisch evenwichtspunt. Verder geven de peak-to-peak-waarden niet aan rond welk van de stabiele evenwichtspunten het systeem beweegt. De overgang van niveau 2 naar 3 kan men er dus niet mee bepalen. Daarom wordt in het vervolg alleen nog naar de minima en/of maxima van θ gekeken. Figuur 5.6 toont de maxima bij frequency sweeps voor de twee kenmerkende manieren van dynamische instabiliteit (niveau 3): in figuur 5.6a blijft de buis na verlies van de draagfunctie rond het statische evenwichtspunt θ = 270° trillen. In figuur 5.6b blijft de buis langdurig ronddraaien.
a
b
Figuur 5.6: Maxima van θ bij frequency sweeps “niveau 3” met a) Y = 0.030 m en b) Y = 0.080 m, beide met NB = 1001, NTI = 10, NTf = NSf = 15. a) en b) tonen twee wijzen van “doorslaan” van het systeem: die waarbij de buis na omslaan rond θ = 270° gaat trillen en die waarbij θ langdurig toeneemt.
26
5.3 Verwaarloosbaarheid parametrische excitatie gelineariseerd systeem In het voorgaande is aangenomen, dat de parametrische excitatie van het in θ = θ g gelineariseerde systeem verwaarloosbaar is. De gelineariseerde bewegingsvergelijking met deze term wordt gegeven door (3.13) als:
{
( )
( )}
~ ~ ~& ~ 1 && Jθ + cT θ + kT (θ g )θ = (2mt + mb )L&y& θ sin θ g − cos θ g 2
(5.4)
Hierin wordt de excitatieterm gegeven door:
&y&(t ) = −4π 2 f 2Y sin( 2πft )
(5.5)
De “stijfheid” van de parametrische-excitatieterm wordt vergeleken met de stijfheid k T (θ ) van het systeem. Als men nu de maximale waarde van de “stijfheid” ten gevolge van de parametrische excitatie deelt door de systeemstijfheid k T (θ ) , krijgt men bij invulling van de systeemparameters (met Y = 0.003 m, hierbij is het systeem net niet meer lineair): 2 2 1 (2mt + mb )L sin (θ s ) 4π f Y ≈ 0.0016 f 2 2 kT
(5.6)
Hieruit volgt, dat tot f = 7.9 Hz de bijdrage van de parametrische excitatie tienmaal kleiner is dan dat van kT (θ ) . Dit lijkt een goede indicatie, dat de term inderdaad verwaarloosbaar is. Bij hogere frequenties gaat dit niet meer op, doordat de amplitude van de “parametrische stijfheid” toeneemt met het kwadraat van de frequentie. Een ander argument, dat bij de beschouwde frequenties de parametrische excitatie terecht is verwaarloosd, is het feit, dat de responsies van het gelineariseerde en het niet-gelineariseerde systeem bij kleine waarden van Y goed overeenstemmen.
27
5.4
Niet-lineaire responsie (niveau 2)
Ten slotte wordt het niveau-2-gedrag onderzocht. Dit onderzoek wordt verricht bij Y = 0.019 m, waarbij volgens de verdeling in tabel 5.2 het systeem net niet doorslaat, dus net niet zijn dynamische stabiliteit verliest. In figuur 5.7 zijn de resultaten van een frequency sweep weergegeven van ongeveer eenvierde tot viermaal de ongedempte eigenfrequentie van het gelineariseerde systeem met stapgrootte 1 × 10-3 Hz, ofwel NB = 7101, NTI = 50, NTf = 50 en NSf = 20 excitatieperiodes. Het excitatiefrequentiebereik is zo gekozen om tot eventuele 4de-orde superharmonische en ¼-orde subharmonische resonanties te kunnen waarnemen. Voorbij 4 Hz is echter niets bijzonders meer waar te nemen.
a c d
b
f e
Figuur 5.7: Frequency sweep minima en maxima van 0.47 Hz tot 7.57 Hz (ingezoomd) bij ς = 0.02, Y = 0.019 m, NB = 7101, NTI = NTf = 50, NSf = 20. Met ‘X’ gemarkeerd zijn de sweep-up- en sweep-down-oplossingen bij 1.05 Hz, 1.15 Hz, 2.85 Hz (net voor de tweede resonantiepiek), 2,89 Hz (net na de tweede resonantiepiek, 3.0 Hz en 3.85 Hz. Aangegeven met letters in de figuur zijn: a) top harmonische resonantiepiek bij 1.113 Hz; b) cyclic-fold -bifurcatie bij 1.65 Hz; c) tweede resonantiepiek bij 2.878 Hz; d) flip-bifurcatie bij 3.11 Hz; e) subkritische cyclic-fold-bifurcatie bij 3.755 Hz; f) flip-bifurcatie tussen 3.84 – 3.87 Hz.
28
Zoals opgemerkt bij de verdeling van de niveaus vertoont het systeem softening, waarbij de resonantiepieken als het ware naar links gebogen zijn. Dit treedt op waar de stijfheid van het systeem afneemt bij toenemende uitwijking. In dit systeem kan dat worden veroorzaakt door de grote hoekveranderingen, de parametrische excitatie en het slap komen te hangen van het koord. Kenmerkende excitatiefrequenties, waarvan de responsie nader is onderzocht, zijn weergegeven in figuur 5.7 weergegeven met een ‘X’. Bij de maxima zijn met letters enkele kenmerkende punten aangeduid. Bij 1.113 Hz ligt de top van de harmonische resonantiepiek, aangegeven met een “a”. Tot deze frequentie bestaat één enkele, harmonische oplossing, zoals weergegeven in figuur 5.8. In de buurt van a ligt waarschijnlijk een cyclic-fold-bifurcatie, waar een instabiele oplossing van de sweep-up samenkomt met de stabiele oplossing bij de sweep-down. Daarna bestaan twee harmonische oplossingen naast elkaar. De oplossing van de sweepup lijkt bij deze frequenties op die van figuur 5.8, terwijl die van de sweep-down duidelijk een ander tijd- en fasegedrag laat zien, zie figuur 5.9. Bij b, bij 1.652 Hz, treedt eveneens een cyclic-fold-bifurcatie op, waarbij de sweep-upoplossing voor 1.652 Hz instabiel wordt. Van daar tot de resonantiepiek bij c, bij 2.878 Hz, zijn de oplossingen van beide sweeps gelijk aan elkaar, stabiel en harmonisch.
a b Figuur 5.8: a) Time history en b) fasediagram met Poincaré-sectie van sweep-up-oplossing bij f = 1.05 Hz, ς = 0.02 en Y = 0.019 m. De begincondities zijn verkregen met de frequency sweep van figuur 5.7. De integratie is uitgevoerd met NTt = 100 en NSt = 5000 excitatieperiodes. Getoond in a) zijn de eerste zes van deze 5000 steady-state-periodes.
29
In figuur 5.10 is de beweging weergegeven bij 2.85 Hz. Net als bij 1.05 Hz in figuur 5.8 en de sweep-up-oplossing bij 1.15 Hz lijkt de beweging bijna harmonisch. Tussen de frequenties bij b en c lijken de oplossingen op die in figuur 5.10. Bij de sweep-up blijft dat zo tot aan e.
a b Figuur 5.9: a) Time history en b) fasediagram met Poincaré-sectie van sweep-downoplossing bij f = 1.15 Hz, ς = 0.02 en Y = 0.019 m. De begincondities zijn verkregen met de frequency sweep van figuur 5.7. De integratie is uitgevoerd met NTt = 100 en NSt = 5000 excitatieperiodes. Getoond in a) zijn de eerste zes van deze 5000 steady-stateperiodes.
a
b Figuur 5.10: a) Time history en b) fasediagram met Poincaré-sectie van sweep-up-oplossing bij f = 2.85 Hz, ς = 0.02 en Y = 0.019 m. De begincondities zijn verkregen met de frequency sweep van figuur 5.7. De integratie is uitgevoerd met NTt = 100 en NSt = 5000 excitatieperiodes. Getoond in a) zijn de eerste zes van deze 5000 steady-state-periodes.
30
In de frequency sweep van figuur 5.7 treden bij de sweep-down flip- of period-doublingbifurcaties op bij d en f, ofwel bij 2.878 Hz en tussen 3.84 Hz en 3.87 Hz. Tussen de resonantie bij c en de flip-bifurcatie bij d ziet de sweep-down-oplossing eruit als in figuur 5.11. Het gedrag is hier ¼-subharmonisch, getuige de Poincaré-sectie.
a b Figuur 5.11: a) Time history en b) fasediagram met Poincaré-sectie van sweep-downoplossing bij f = 3.0 Hz, ς = 0.02 en Y = 0.019 m. De begincondities zijn verkregen met de frequency sweep van figuur 5.7. De integratie is uitgevoerd met NTt = 100 en NSt = 5000 excitatieperiodes. Getoond in a) zijn de eerste zes van deze 5000 steady-state-periodes.
Tussen d en f is het sweep-down-gedrag ½-subharmonisch. Tussen 3.75 Hz en 3.85 Hz zijn de oplossingen bij de sweep-up en de sweep-down per frequentie aan elkaar gelijk en ½subharmonisch, zoals weergegeven in figuur 5.12 voor 3.85 Hz. Bij het integreren van de oplossingen van de sweep-up bij 3.75 Hz en bij de sweep-down bij 3.85 Hz voor het maken van dergelijke fasediagrammen, blijkt een groot aantal transient periodes NTt nodig te zijn. Bij deze twee frequenties lijken in de frequency sweep van figuur 5.7 echter nog twee oplossingen naast elkaar te bestaan. De grote aantallen transient periodes zijn waarschijnlijk het gevolg van de bifurcaties die hier optreden: een cyclic-fold-bifurcatie bij 3.75 Hz, waarbij de sweep-up-oplossing instabiel wordt en een period-doubling-bifurcatie bij 3.85 Hz bij de sweep-down. In beide gevallen vindt een overgang plaats naar een beweging met grotere uitwijkingen. Bij de analyse zijn telkens één of twee oplossingen van de steady-state systeemresponsie gevonden bij voornoemde (integratie)parameters. In tabel 5.3 zijn de oplossingen weergegeven per frequentie. Harmonische oplossingen worden aangeduid met “H” en 1/nde-orde subharmonische oplossingen als “1/n”. Tot zover is aangenomen, dat de oplossingen, gevonden met de frequency sweep van figuur 5.7 steady-state oplossingen waren. Zoals vermeld blijkt dit bij sommige frequenties onterecht. Zo worden de oplossingen van de sweep-up bij 3.75 Hz en van de sweep-down van 3.85 Hz pas veel later stationair. Nabij de resonantie bij c blijken bij nader onderzoek ook transients op te treden. De sweep-downoplossing bij 2,88 Hz slaat binnen NT = 5000 om naar bewegingen rond 270° - niveau 3. In figuur 5.13 is een nieuwe frequency sweep te zien, waarbij transients veel verder en vermoedelijk geheel zijn uitgedempt. Omdat na 5 Hz niet veel meer gebeurt, is in de sweep-up slechts geïntegreerd tot 5.0 Hz. Het grote verschil
31
met de eerdere sweep in figuur 5.7 is, dat het aantal transient-periodes NTf varieert over het frequentiebereik. Met behulp van de Poincaré-secties is daartoe bij een aantal frequenties een schatting gemaakt van de benodigde NTf periodes, waarin transients uitdempen. De resultaten hiervan zijn weergegeven in tabel 5.4. Op deze wijze dempen transients uit, maar blijft de integratietijd beperkt.
Tabel 5.3: Systeemgedrag per frequentie bij sweep-up en sweep-down. Frequenties Aantal in Hz oplossingen Opl. sweep-up Opl. sweep-down tot 1.113 1 H H 1.113 – 2.878 2 H H 2.878 – 3.115 2 H 1/4 3.115 – 3.75 2 H 1/2 3.75 – 3.85 1 1/2 1/2 vanaf 3.86 1 H H
a b Figuur 5.12: a) Time history en b) fasediagram met Poincaré-sectie van sweep-up-oplossing bij f = 3.85 Hz, ς = 0.02 en Y = 0.019 m. De begincondities zijn verkregen met de frequency sweep van figuur 5.7. De integratie is uitgevoerd met NTt = 100 en NSt = 5000 excitatieperiodes. Getoond in a) zijn de eerste zes van deze 5000 steady-state-periodes. De stationaire sweep-up- en sweep-down-oplossingen zijn identiek.
Tabel 5.4: Verdeling van het aantal transient-periodes NTf van de frequency sweep van figuur 5.13. Sweep-up Sweep-down Freq. in Hz NTf Freq. in Hz NTf 0.47 - 3.73 50 0.47 – 2.87 50 3.73 – 3.9 700 2.87 – 3.0 2600 3.9 – 4.5 50 3.0 – 3.73 50 3.73 – 3.9 2600 3.9 – 4.9 50
32
Het systeem blijkt tussen 2.882 en 2.883Hz om te slaan naar niveau 3. Voor het overige is de figuur vrijwel hetzelfde gebleven aan die in figuur 5.7. Bij inzoomen is bijvoorbeeld nog steeds de knik van de flipbifurcatie bij 3.12 Hz te zien, die de overgang vormt tussen ¼subharmonisch en ½-subharmonisch gedrag.
Figuur 5.13: Frequency sweep maxima van 0.47 Hz tot 5 Hz bij ς = 0.02, Y = 0.019 m, NB = 7101, NTI = 50, NSf = 20 en NTf volgens tabel 5.4. Bij 3.12 Hz is nog steeds de flipbifurcatie van ½- naar ¼-subharmonisch gedrag te zien (zie uitvergroting).
Figuur 5.14: Fasediagram met Poincaré-sectie van sweep-down-oplossing bij f = 2.89 Hz, ς = 0.02 en Y = 0.019 m. De begincondities zijn verkregen met de frequency sweep van figuur 5.13. De integratie is uitgevoerd met NTt = 100.000 en NSt = 50.000.
33
Vlak bij de resonantiepiek nabij 2.89 Hz lijkt het systeem in het geheel niet tot rust te komen. In figuur 5.14 is het gedrag van de sweep-downoplossing bij 2.89 Hz gegeven bij NTt = 100.000 en NSt = 50.000 periodes. Ongeacht het zeer grote aantal transientperiodes NTt en het aantal periodes NSt blijft het gedrag a-periodiek. Het fasevlak behoudt praktisch dezelfde vorm wanneer de eerste 5000 “steady-state-periodes” worden vergeleken met de laatste 5000. Aan de laatste 5000 punten zijn dan 13.9 uur gesimuleerde tijd voor het uitdempen van transients vooraf gegaan. Het feit, dat de Poincaré-punten een zekere regelmaat vertonen, maar het systeem niet in een zuiver (sub)harmonische oplossing terecht komt na een dergelijk lange transient-tijd, doet chaos vermoeden. Dat idee wordt versterkt door het optreden van de verschillende flip-bifurcaties die eraan vooraf gaan (period doubling route to chaos, Feigenbaum scenario, Thompson and Stewart (2002)). Als laatste wordt ook een integratie uitgevoerd bij beide oplossingen, net vóór het doorslaan naar niveau 3, bij 2.883 Hz. Het resultaat na eveneens NTt = 100.000 transient-periodes is weergegeven in figuur 5.15. Het systeem blijkt hier één enkele, harmonische oplossing te hebben voor sweep-up en sweep-down. Bij een heel kleine waarde van NT lijkt het sweepdown-gedrag nog ¼-subharmonisch. Het is niet duidelijk, hoe dit tot stand komt. Een mogelijkheid is, dat het systeem zich op een grens bevindt van de “domains of attraction” van twee of meer verschillende oplossingen, dat wil zeggen twee toestandsruimten, die elk tot verschillende steady-state-oplossingen leiden. Het systeem kan dan een zeer lange tijd twijfelen tussen twee of meer oplossingen. Of de andere oplossing chaotische is, een subharmonische, of een stabiele rond de 270° is, is niet duidelijk.
Figuur 5.15: Fasediagram met Poincaré-sectie van sweep-down-oplossing bij f = 2.883 Hz, ς = 0.02 en Y = 0.019 m. De begincondities zijn verkregen met de frequency sweep van figuur 5.13. De integratie is uitgevoerd met NTt = 100.000 en NSt = 50.000.
34
6
Conclusies en aanbevelingen
6.1
Conclusies
De dynamische stabiliteit en de essentieel niet-lineaire dynamica van een eenvoudige tensegrity-structuur zijn onderzocht als voorbereiding op toekomstige, uitgebreidere onderzoeken naar het dynamisch gedrag van tensegrity-structuren, mogelijk in het kader van een afstudeeropdracht. Een model is opgesteld voor een eenvoudige tensegrity-draagconstructie. Deze bestaat uit twee elementen. Het eerste element is een schuin omhoog staande, starre, buisvormige staaf, scharnierend bevestigd aan de zogenaamde vaste wereld, die aan de bovenzijde belast wordt door het gewicht van een puntmassa. Zonder grondexcitatie wordt de buis in statisch evenwicht gehouden door het tweede element, een elastisch koord, dat voorgespannen wordt door de zwaartekracht. Het koord is verondersteld massaloos te zijn, alleen in staat trekkrachten op te nemen en een constante trekstijfheid te hebben. De vaste wereld wordt een verticale, harmonische beweging opgelegd. Bewegingsvergelijkingen, afgeleid volgens de methode van Lagrange, zijn gepresenteerd, tezamen met de daarvan afgeleide, gelineariseerde bewegingsvergelijkingen en statische evenwichtsvergelijkingen. Het systeem blijkt zowel direct als parametrisch geëxciteerd te worden. De bewegingsvergelijkingen zijn niet-lineair door het voorkomen van grote hoeken (geometrische niet-lineariteit) en door een discontinuïteit in de stijfheid van het koord waar de uitrekking van het koord nul is. Een statische analyse is uitgevoerd en de ligging en de stabiliteit van de statische evenwichtspunten zijn weergegeven bij variërende waarden van enkele systeemparameters. Een dynamische analyse is uitgevoerd, waarbij de vaste wereld een verticale, sinusvormige beweging is opgelegd. Onderscheid is gemaakt tussen drie excitatieniveaus in termen van de excitatieamplitude: het eerste, waarbij de responsie van het niet-lineaire systeem sterke overeenkomst vertoont met dat van het gelineariseerde systeem; het tweede, waarbij het systeem zich duidelijk niet-lineair gedraagt, maar dynamisch stabiel blijft; het derde, waarbij het systeem dynamisch instabiel wordt. Dynamisch instabiel worden wil zeggen dat het systeem zijn draagfunctie verliest. Het onderscheid is visueel gemaakt met behulp van frequency sweeps. Het blijkt, dat de excitatieamplitude, waarbij het derde niveau optreedt, niet alleen van de systeemparameters afhangt, maar tevens van de analyseparameters zelf. Dit wordt geïllustreerd door het feit, dat de responsieamplitude afhankelijk is van de stapgrootte tussen de frequenties. Het niet-lineaire, dynamische gedrag bij het tweede excitatieniveau is nader onderzocht met behulp van frequency sweeps en door weergave van verschillende steady-state oplossingen in time histories, fasediagrammen en Poincaré-secties. Het systeem vertoont twee resonantiepieken (een harmonische en een ½-subharmonische) en blijkt bij de sweep-up en de sweep-down meermaals verschillende oplossingen naast elkaar te hebben (“frequency hysteresis”). Het systeem vertoont bij beide resonanties “softening”, waarschijnlijk veroorzaakt door de grote hoeken die optreden en door het slap gaan hangen van het koord. Voorts treedt bij de sweep-down op de ½-subharmonische resonantietak een perioddoubling-bifurcatie, ofwel flip-bifurcatie, op, resulterend in ¼-subharmonisch gedrag. Op een
35
gegeven moment blijken de flip-bifurcaties elkaar snel op te volgen (Feigenbaum-scenario), resulterend in mogelijk chaotisch gedrag. Ondanks de eenvoud van het beschouwde model, blijkt het gedrag niet-lineair en complex.
6.2
Aanbevelingen
Het beschouwde model is erg gesimplificeerd. Het model kan op verschillende manieren uitgebreid worden: -
de massa van het koord niet verwaarlozen; niet-lineair materiaalgedrag van het koord modelleren; elastisch gedrag van buis modelleren, eventueel met elastische knik; structuren uit meer elementen en in drie dimensies onderzoeken.
In het beschouwde model is de massa van het koord verwaarloosd. Het is echter bekend, dat in de meeste tensegrity-structuren het aantal trekstaven (kabels) veel groter is dan het aantal drukstaven. De bijdrage van de massa van de trekstaven aan de totale massa van de tensegrity-structuur zal dan niet meer te verwaarlozen zijn. Aangenomen is ook, dat het koord zich lineair-elastisch gedraagt. Dit kan onrealistisch zijn bij de optredende, grote verplaatsingen. Wanneer bovendien een structuur licht en stijf gebouwd moet worden, zal er mogelijk voor gekozen worden de kabels te vervaardigen van kunststofvezels in plaats van metaal, zodat deze niet lineair-elastisch meer zijn. Iets dergelijks geldt voor de buis, waarvan de diameter zo groot is genomen, dat de buis “star” mag worden verondersteld. Bij het maximaliseren van de stijfheid/massaverhouding van de structuur zal de buis (het drukelement) op een gegeven moment niet meer star mogen worden verondersteld, maar zal zijn elasticiteit en mogelijk optredende elastische knik moeten worden meegenomen in het model en bij de analyse. Ten slotte zou men kunnen uitbreiden naar grotere, eventueel driedimensionale modellen.
36
Literatuur Fenner (1999) Mechanics of Solids. Boca Raton, Florida, pp 437 en 605 Fey, R.H.B., Campen, D.H. van, Kraker, A. de (1996). Long term structural dynamics of mechanical systems with local nonlinearities. Journal of Vibration and Acoustics, Transactions of the ASME, Vol. 118, pp.147-153. Huseyin, K. (1986). Multiple parameter stability theory and its applications: bifurcations, catastrophes, instabilities. Oxford: Clarendon Press. Matlab version 6.1.0.450 Release 12.1, 2001 Max Irvine, H. (1981). Cable Structures. Cambridge, Massachusetts en Londen. Moussa, B., Ben Kahla, N., Pons, J.C. (2000). Evolution of Natural Frequencies in Tensegrity Systems: A Case Study. International Journal of Space Structures, Vol. 16, p.5773 Pippard, A.B. (1985). Response and stability: an introduction to the physical theory. London: Cambridge University Press. Sultan, C. (2006). Tensegrity Structures Research Evolution. 45th IEEE Conference on Decisions and Control, p.2294-2299. Sultan, C., Corless, M., Skelton, R.E. (2001). Linear dynamics of tensegrity structures. Engineering Structures, 24, p.671-685 Sultan, C., Skelton, R. (2003). Deployment of tensegrity structures. International Journal of Solids and Structures, 40, p.4637-4657 G. Tibert (2002). Deployable Tensegrity Structures for Space Applications. Technical Reports from Royal Institute of Technology Department of Mechanics Stockholm. Thompson, J.M.T., Stewart, H.B. (2002). Nonlinear dynamics and chaos, second edition. Chichester: Wiley. Thomsen, J.J. (1997). Vibrations and Stability. Order and Chaos. London: Cambridge University Press Wang, B.B. (2004). Free-standing tension structures: from tensegrity systems to cable-strut systems. London: Spon. Zhang, J.Y., Ohsaki, M. (2006). Stability conditions for tensegrity structures. International Journal of Solids and Structures, 44, p.3875-3886
37
Appendix A Symbool A, B, C, CM b, L B cT D r r r e1 , e2 , e3 f fn g r g H( f ) k kT J J CM l (θ ) , l 0 M k (θ )
mt , m b NB NS, NSt, NSf NT, NTt, NTf NTI O r r R A1 , R A2 t t u (θ ) y (t ) Y V (θ )
Symbolenlijst
Omschrijving benamingen van punten in het systeem zoals in figuur 3.1a weergegeven. Lengtematen, zie fig. 3.1 Coëfficiënt voor de ingang y (t ) in het gelineariseerde systeem dempingscoëfficiënt diameter buis orthonormale vectoren excitatiefrequentie eigenfrequentie gravitatieconstante zwaartekrachtveld overdrachtsfunctie gelineariseerde bewegingsvergelijking trekstijfheid koord Rotatiestijfheid gelineariseerd systeem massatraagheidsmoment gelineariseerd systeem massatraagheidsmoment buis lengte en ongespannen lengte koord term voor het moment door de trekkracht in het koord in de nietlineaire bewegingsvergelijkingen massa topmassa en buis bij frequency sweep: aantal frequenties, waarbij geïntegreerd wordt aantal steady-state excitatieperiodes bij integratie bij vaste frequentie t.b.v. time histories en fasediagrammen (subscript “t”) en bij iedere afzonderlijke frequenties in een frequency sweep (subscript “f”), respectievelijk aantal transient excitatieperiodes bij integratie bij vaste frequentie t.b.v. time histories en fasediagrammen (subscript “t”) en bij iedere afzonderlijke frequenties in een frequency sweep (subscript “f”), respectievelijk bij frequency sweeps: extra transient excitatieperiodes bij allereerste integratie oorsprong assenstelsel Reactiekrachten
Eenheid m Ns2 Nm s/ rad m Hz Hz ms-2 ms-2 rad/ m N/ m Nm/ rad Nms2/ rad Nms2/ rad m Nm kg -
-
N s m m m m J rad
θ θg
tijd wanddikte buis Uitrekking van het koord excitatie excitatieamplitude potentiële energie dimensieloze dempingscoëfficiënt gelineariseerd systeem Hoek tussen de buis en de horizontaal, zoals weergegeven in fig. 3.1. Variatie van hoek θ rond statisch evenwichtspunt θ s “Gewenste”, stabiele evenwichtsstand van het systeem.
θs
Hoek van statisch evenwicht.
rad
ς θ
~
rad rad
38
λk ρ
ωn
Eigenwaarde k van het gelineariseerde systeem dichtheid materiaal buis Ongedempte eigenfrequentie gelineariseerd systeem
rad/ s-1 kg m-3 rad/ s
39
Appendix B
B.1
Afleiding van de vergelijkingen
Bewegingsvergelijking met behulp van Lagrange
In figuur B.1a is de beschouwde tensegritystructuur weergegeven. Deze bestaat uit een buisvormige staaf met een puntmassa en een koord. De buis is homogeen, uniform en star. Zij is scharnierend aan de vaste wereld bevestigd in punt A en maakt een hoek θ met de horizontaal, zoals weergegeven in de figuur. De buis heeft lengte L , buitendiameter D en wanddikte t . In punt C, de bovenzijde van de buis, is een puntmassa met massa mt bevestigd.
mt
C
r g
C
k
CM
L
r mt g
mb , J CM
θ
J
A
B
O
r e2 r e3
y (t )
r e1
CM
r mb g
b
vaste wereld
r Fk
r R A1
r e2
O
r e3
A
r e1
r R A2
cT
θ
Figuur B.1a: Schets van de beschouwde Figuur B.1b: krachten, werkend op tensegritystructuur, bestaande uit één buis, een de buis. puntmassa en een koord. De “vaste wereld” wordt geëxciteerd met een harmonische beweging y (t )
De massa en het massatraagheidsmoment van de buis ten opzichte van het massamiddelpunt CM worden respectievelijk gegeven door:
mb =
π 4
[
]
ρ D 2 − (D − 2t )2 L = πρ Lt ( D − t )
(B.1)
en
J CM =
1 mb L2 12
(B.2)
40
Tussen C aan de bovenzijde van de buis en B op de vaste wereld is een koord met trekstijfheid k gespannen. Dit koord wordt massaloos verondersteld. Het koord kan uitsluitend trekkrachten opnemen. De ongespannen veerlengte van het koord is l 0 . De r zwaartekracht werkt in negatieve e2 -richting met gravitatieversnelling g :
r r g= − ge 2
(B.3)
In figuur B.1b zijn de krachten weergegeven die op de buis werken. In A werken de r r r r r reactiekrachten R A1 en R A2 in respectievelijk de e1 - en de e 2 -richting. De trekkracht Fk van r het koord en de zwaartekracht op de puntmassa mt g grijpen in C aan en de zwaartekracht r op de buis mb g in CM. Ten slotte werkt in punt A een koppel als gevolg van viskeuze wrijving, met dempingscoëfficiënt cT . De verticale verplaatsing van de “vaste wereld” wordt voorgeschreven door een harmonische verplaatsing y (t ) :
y (t ) = Y sin(2πft )
(B.4)
met de excitatieamplitude Y in m en –frequentie f in Hz. Het systeem wordt zo ontworpen, dat het bij ingang y (t ) = 0 een stabiel evenwichtspunt heeft in een zeker gekozen punt
θ = θ g , 0 o < θ g < 90 o .De bewegingsvergelijkingen worden afgeleid volgens de methode van Lagrange. Het systeem heeft slechts één vrijheidsgraad, zodat de kolom van gegeneraliseerde coördinaten q = q (θ ) slechts een enkel element bevat. Als enige gegeneraliseerde coördinaat wordt de hoek θ gekozen:
q(θ ) = [θ ]
(B.5)
Posities en snelheden Het assenstelsel is zo gekozen, dat als y (t ) = 0 m het punt A en de oorsprong O samenvallen. De posities van punten A, B, C en CM worden gegeven door:
r r rA = y (t ) e2
(B.6)
r r r rB = be1 + y (t ) e2
(B.7)
r r r rC = − L cosθ e1 + ( y (t ) + L sin θ ) e2
(B.8)
r r r L L rCM = − cosθ e1 + ( y (t ) + sin θ ) e2 2 2
(B.9)
De snelheden van de punten C en CM worden gegeven door:
r r r r&C = Lθ& sin θ e1 + ( y& (t ) + Lθ& cosθ ) e2
(B.10)
r r r L L r&CM = θ& sin θ e1 + ( y& (t ) + θ& cosθ ) e2 2 2
(B.11)
41
De momentane lengte van het koord is gelijk aan de afstand tussen B en C:
r r l (θ ) = rC − rB = L2 + 2bL cos θ + b 2
(B.12)
Kinetische energie De kinetische energie T van het systeem wordt gegeven door:
T=
r r r r 1 1 1 mt r&C ⋅ r&C + mb r&CM ⋅ r&CM + J CM θ& 2 2 2 2
(B.13)
Hierin is
r r r&C ⋅ r&C = L2θ& 2 + y& 2 + 2 Ly& θ& cosθ
(B.14)
en r r 1 r&CM ⋅ r&CM = L2θ& 2 + y& 2 + Ly&θ& cosθ 4
(B.15)
Invullen van (B.14) en (B.15) in (B.13) levert: T=
1 (3mt + mb )L2θ& 2 + 1 (mt + mb )y& 2 + 1 (2mt + mb )Ly&θ& cos θ 6 2 2
(B.16)
Dan wordt 1 ⎡1 ⎤ T,q& = ⎢ (3mt + mb )L2θ& + (2mt + mb )Ly& cosθ ⎥ 2 ⎣3 ⎦
( )
{
(B.17)
}
d 1 ⎡1 ⎤ T,q& = ⎢ (3mt + mb )L2θ&& + (2mt + mb )L &y& cos θ − y& θ& sin θ ⎥ dt 2 ⎣3 ⎦
(B.18)
en
⎡ 1 ⎤ T,q = ⎢− (2mt + mb )Ly&θ& sin θ ⎥ ⎣ 2 ⎦
(B.19)
Potentiële energie De totale potentiële energie V is opgebouwd uit de som van de potentiële energie V ex , gerelateerd aan de zwaartekracht op beide massa’s en de veerenergie U in , opgeslagen in het uitgerekte koord:
V = V ex + U in
(B.20)
De afgeleide naar q van V wordt gegeven door:
V,q = V,qex + U ,inq
(B.21)
42
Hierin wordt V ex gegeven door:
r r r V ex = −(mt rC + mb rCM ) ⋅ g
(B.22)
Met (B.3) is dit:
r r r V ex = −(mt rC + mb rCM ) ⋅ (− g e2 )
(B.23)
Met (B.7) en (B.8) wordt dit:
V ex = (mt + mb ) gy (t ) +
1 (2mt + mb ) gL sin θ 2
(B.24)
De afgeleide van (B.24) naar q(θ ) is:
⎡1 ⎤ V,qex = ⎢ (2mt + mb ) gL cos θ ⎥ ⎣2 ⎦
(B.25)
De inwendige energie van het koord U in wordt gegeven door:
⎧0, als u (θ ) ≤ 0 ⎪ U (θ ) = ⎨ 1 2 ⎪⎩ 2 ku (θ ), als u (θ ) > 0 in
(B.26)
Hierin is u (θ ) de uitrekking van het koord:
u (θ ) = l (θ ) − l 0
(B.27)
Voor u (θ ) ≤ 0 geldt dus:
U ,inq = 0, als u (θ ) ≤ 0
(B.28)
Voor u > 0 wordt (B.26) met (B.27) en (B.12) herschreven als:
U in =
2 1 1 2 k (l − l 0 ) = k ⎛⎜ L2 + 2bL cos θ + b 2 − l 0 ⎞⎟ , als u (θ ) > 0 ⎠ 2 2 ⎝
(B.29)
Afleiden van (B.29) naar q(θ ) en opnieuw invullen van (B.12) levert:
⎡ ⎛l ⎞⎤ U ,inq = ⎢kbL sin θ ⎜ 0 − 1⎟⎥, als u (θ ) > 0 ⎝ l ⎠⎦ ⎣
(B.30)
Opgemerkt moet worden, dat in principe zowel (B.28) als (B.30) nul opleveren in u (θ ) = 0 ; de energie, opgeslagen in het koord U in is continu. De eerste afgeleide van U in naar q (θ ) , echter, vertoont hier een knik. Dit resulteert in een discontinuïteit in de stijfheid als gevolg van het feit, dat het koord alleen op trek belast kan worden.
43
Invullen van (B.28) en (B.30) in (B.21) levert:
⎧⎡ 1 ⎤ ⎪⎢ 2 (2mt + mb ) gL cos θ ⎥, als u (θ ) ≤ 0 ⎦ ⎪⎣ V,q (θ ) = ⎨ ⎪⎡ 1 (2m + m ) gL cos θ + kbL sin θ ⎛⎜ l 0 − 1⎞⎟⎤, als u (θ ) > 0 ⎥ t b ⎪⎢⎣ 2 ⎝ l ⎠⎦ ⎩
(B.31)
Niet-conservatief moment: viskeuze wrijving In punt A werkt een koppel ten gevolge van viskeuze wrijving met dempingsconstante cT . r De rotatie van de buis wordt gegeven door θ :
r
r
θ = −θ e3
(B.32)
Het koppel in A wordt gegeven door:
r& r r M cT = −cT θ = cT θ& e3
(B.33)
De gegeneraliseerde, niet conservatieve kracht wordt berekend met:
Q
nc
[ ]
r = θ ,q
T
r ⋅ M cT
(B.34)
Uitwerken levert:
Q
nc
= −cT θ&
(B.35)
Lagrange De vergelijking van Lagrange wordt gegeven door:
( )
T
⎡d ⎤ nc ⎢ dt T,q& − T,q + V,q ⎥ = Q ⎣ ⎦
(B.36)
Invullen van (B.18), (B.19), (B.31) en (B.35) in (B.36) en herschikken levert de volgende set vergelijkingen:
1 ⎧1 2 && & 1 ⎪ 3 (3mt + mb )L θ + 2 (2mt + mb )L&y& cos θ + cT θ + 2 (2mt + mb ) gL cos θ = 0, als u (θ ) ≤ 0 ⎪ 1 1 ⎪⎛ 1 ⎞ 2 ⎨⎜ (3mt + mb )L θ&& + (2mt + mb )L&y& cos θ + cT θ& + (2mt + mb ) gL cos θ ⎟ 2 2 ⎟ = 0, als u (θ ) > 0 ⎪⎜ 3 ⎞ ⎛ l0 ⎟ ⎪⎜ + kbL sin θ ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎪⎜ ⎠ ⎝ l ⎠ ⎩⎝ (B.37)
44
Dit kan geschreven worden als:
1 (3mt + mb )L2θ&& + 1 (2mt + mb )L&y& cos θ + cT θ& + 1 (2mt + mb ) gL cos θ + M k (θ ) = 0 3 2 2
(B.38)
Hierin is M k (θ ) :
⎧0, als u (θ ) ≤ 0 ⎪ M k (θ ) = ⎨ ⎛ l0 ⎞ ⎪kbL sin θ ⎜ l − 1⎟, als u (θ ) > 0 ⎝ ⎠ ⎩
(B.39)
Deze term is de afgeleide naar q(θ ) van de veerenergie in het elastische koord volgens (B.30), ofwel de gegeneraliseerde kracht van het koord. Toestandsvorm Voor numerieke integratie wordt het systeem in toestandsvorm gebracht. De toestand x wordt beschreven met:
⎡θ ⎤ x = ⎢ &⎥ ⎣θ ⎦
(B.40)
De tijdsafgeleide van de toestand wordt gegeven door de volgende set:
⎧⎡ ⎪⎢ ⎪⎢ ⎪⎢⎣ (3mt ⎪⎪ x& (t ) = ⎨⎡ ⎪⎢⎢ ⎪⎢ ⎪⎢ ⎪⎢ (3mt ⎪⎩⎣
θ&
⎤ ⎥ 3 1 1 ⎧ ⎫ − cT θ& − (2mt + mb )L&y& cos θ − (2mt + mb ) gL cos θ ⎬⎥, als u (θ ) ≤ 0 2 ⎨ 2 2 + mb )L ⎩ ⎭⎥⎦ ⎤ ⎥ ⎫ ⎧ 1 ⎛ l0 ⎞ kbL sin θ ⎜1 − ⎟ − cT θ& − (2mt + mb )L&y& cos θ ⎪⎥ ⎪ 3 ⎪⎥, als u (θ ) > 0 ⎪ 2 l ⎠ ⎝ ⎬ 2 ⎨ 1 + mb )L ⎪ ⎪⎥ − (2mt + mb ) gL cos θ ⎥ 2 ⎭⎪⎦ ⎩⎪
θ&
(B.41)
45
B.2
Bepaling van de evenwichtspunten
Vergelijkingen voor de punten van statisch evenwicht θ = θ s worden verkregen door de ingang y (t ) en de tijdsafgeleiden van de positie θ op nul te stellen:
θ = θ s = const
(B.42)
θ&& = θ& = 0
(B.43)
y (t ) = 0
(B.44)
Invullen van (B.42) – (B.44) in (B.38) voor geeft:
1 (2mt + mb ) gL cos θ s + M k (θ s ) = 0 2
(B.45)
Voor u (θ ) ≤ 0 levert (B.45) met (B.39) de volgende punten van statisch evenwicht:
θ s = kπ +
π 2
, k = 0, ± 1, ± 2, ..., als u (θ ) ≤ 0
(B.46)
Dit zijn de verticale standen omhoog en omlaag van de buis. Deze evenwichtspunten bestaan alleen als het koord in deze standen ook daadwerkelijk ontspannen is, dus wanneer
l 0 ≥ b 2 + L2 . Voor u (θ ) > 0 levert (B.45) met (B.39) de volgende uitdrukking voor eventuele punten van statisch evenwicht: ⎛ ⎞ l0 1 (2mt + mb ) gL cos θ s + kbL sin θ s ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ = 0, als u (θ ) > 0 2 ⎜ L + 2bL cos θ + b 2 ⎟ s ⎝ ⎠
(B.47)
ofwel:
(2mt
+ mb ) g 1 + 2kb tan θ s
l0 L + 2bL cos θ s + b 2 2
− 1 = 0, als u (θ ) > 0
(B.48)
Deze vergelijking moet numeriek opgelost worden om de evenwichtsstanden θ s te verkrijgen. Eén van deze evenwichtsstanden moet gelijk zijn aan θ g . Met (B.48) is expliciet de benodigde lengte van het ongespannen koord uit te drukken in het gewenste evenwichtspunt θ g en de andere systeemparameters:
⎛ (2mt + mb ) g ⎞ ⎟ l 0 = L2 + 2bL cos θ g + b 2 ⎜1 − ⎜ ⎟ 2 kb tan θ g ⎠ ⎝
(B.49)
46
B.3
Linearisatie van de bewegingsvergelijkingen
De bewegingsvergelijking wordt gelineariseerd rond het stationaire werkpunt θ = θ s , ~ waaromheen kleine bewegingen θ (t ) plaatsvinden. De positie θ (t ) en tijdsafgeleiden worden daarmee:
~
θ (t ) = θ s + θ
(B.50)
θ&(t ) = θ
~&
(B.51)
~ &&
(B.52)
θ&&(t ) = θ
Linearisatie rond de evenwichtspunten waarin u (θ ) < 0 , gegeven door (B.46), geschiedt door invullen van (B.50) – (B.52) in vergelijkingen (B.38) en (B.39):
(
)
(
)
1 (3mt + mb )L2θ&~& + 1 (2mt + mb )L&y& cos θ s + θ~ + cT θ~& + 1 (2mt + mb ) gL cos θ s + θ~ = 0, als u (θ ) < 0 3 2 2 (B.53) Toepassing van een Taylorbenadering van de cosinustermen rond θ s levert:
~2 ⎧ ⎫ 1 (3mt + mb )L2θ~&& + 1 (2mt + mb )L&y&⎨cos(θ s ) − θ~ sin (θ s ) − θ cos(θ s ) + O θ~ 3 ⎬ + cT θ~& 3 2 2 ⎩ ⎭ ~2 ⎧ ~ ~ ⎫ 1 θ + (2mt + mb ) gL ⎨cos(θ s ) − θ sin (θ s ) − cos(θ s ) + O θ 3 ⎬ = 0, als u (θ ) < 0 2 2 ⎩ ⎭
( )
( )
(B.54)
De linearisatie is alleen geldig voor kleine bewegingen rond θ s . Als de tweede- en hogereorde termen worden verwaarloosd en (B.44) wordt ingevuld voor θ s , wordt (B.54):
{
}
1 (3mt + mb )L2θ~&& + cTθ~& − 1 (2mt + mb ) gLθ~ sin θ s = 1 (2mt + mb )L&y& θ~ sin (θ s ) − cos(θ s ) , als u < 0 3 2 2 (B.55)
De sinusterm is, afhankelijk van θ s , ± 1. Invullen van (B.12) en (B.50) – (B.52) in (B.38) voor de punten van statisch evenwicht waar u (θ ) > 0 , gegeven door (B.47), levert:
(
)
~ ~& ⎞ && 1 ⎛1 2~ ⎜ (3mt + mb )L θ + (2mt + mb )L&y& cos θ s + θ + cT θ ⎟ 2 ⎟ = 0, u (θ ) > 0 ⎜3 1 ~ ~ ⎟ ⎜ ( ) 2 m m gL cos θ θ M θ θ + + + + + ⎟ ⎜ t b s k s 2 ⎠ ⎝
(
)
(
)
(B.56)
(
~ De cosinustermen en de term voor de trekkracht M k θ s + θ benaderd met een Taylorreeks, waarvan de laatste als volgt:
)
in het koord worden weer
47
⎞ l0 ~ ~⎛ ⎟ − 1 M k θ s + θ = kbL sin θ s + θ ⎜⎜ ~ ⎟⎟ 2 2 ⎜ L + 2bL cos θ + θ + b s ⎝ ⎠
(
)
(
)
(
⎞ ⎛ l0 ~ M k θ s + θ = kbL sin θ s ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎟ ⎜ L2 + 2bL cos θ + b 2 s ⎠ ⎝ ⎧ 2 ⎛ ⎞ ⎛ l0 kl 0 (bL sin θ s ) ⎪ + ⎨kbL cos θ s ⎜⎜ − 1⎟⎟ + ⎜ ⎜ L2 + 2bL cos θ + b 2 ⎟ ⎜ L2 + 2bL cos θ + b 2 ⎪⎩ s s ⎝ ⎠ ⎝
(
(B.57)
)
)
(
)
3/ 2
⎞⎫⎪ ~ ⎟ θ + O θ~ 2 ⎟⎬ ⎠⎪⎭
(B.58)
( )
Invullen van (B.58) in (B.56) en verwaarlozen van tweede- en hogere-orde termen levert met (B.47): 1 ⎛ (3mt + mb )L2θ&~& + cT θ~& − 1 (2mt + mb ) gLθ~ sin (θ s ) ⎜ 3 2 ⎜ 2 ⎜ ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ l0 kl 0 (bL sin θ s ) ⎟+⎜ ⎜ + ⎪⎨kbL cos θ s ⎜ − 1 ⎜ ⎪ ⎜⎜ L2 + 2bL cos θ + b 2 ⎟⎟ ⎜ L2 + 2bL cos θ + b 2 s s ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎩ 1 (2mt + mb )L&y& θ~ sin (θ s ) − cos(θ s ) , als u (θ ) > 0 2
(
{
}
)
3/ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎞⎫⎪ ~ ⎟ = ⎟ θ⎟ ⎟⎬ ⎟ ⎠⎪⎭ ⎠
(B.59)
Hierin zijn door (B.47) twee termen voor de zwaarte- en de trekkracht in θ s tegen elkaar weggevallen. De gelineariseerde bewegingsvergelijkingen (B.55) en (B.59) kunnen in de volgende vorm worden geschreven:
{
}
~ ~ ~& ~ 1 && Jθ + cT θ + k T θ = (2mt + mb )L&y& θ sin (θ s ) − cos(θ s ) 2
(B.60)
~ Dit is de Mathieuvergelijking. De eerste term in het rechterlid ( θ sin (θ s ) ) toont de parametrische excitatie van het systeem. De tweede term in het rechterlid ( cos(θ s ) ) bevat de directe excitatie. In het vervolg wordt echter aangenomen, dat het parametrische deel een verwaarloosbaar klein deel van de gehele excitatie uitmaakt. Vergelijking (B.60) is dan te schrijven als: ~& ~ &~& Jθ + cT θ + k T θ = − B&y&
(B.61)
Het massatraagheidsmoment J en de demping cT zijn voor beide gelijk. De demping moet nog worden gekozen. J wordt gegeven door: J=
1 (3mt + mb ) L2 3
(B.62)
De rotatiestijfheid van het gelineariseerde systeem k T wordt gegeven door:
48
⎧ 1 ⎪− 2 (2mt + mb ) gL sin θ s , als u (θ ) < 0 ⎪ 1 ⎪⎪⎛ − (2mt + mb ) gL sin (θ s ) k T (θ ) = ⎨⎜ 2 ⎜ ⎪⎜ 2 ⎛ ⎞ ⎛ l0 kl 0 (bL sin θ s ) ⎟+⎜ ⎪⎜ + kbL cos θ ⎜ − 1 s ⎜ ⎟⎟ ⎜ 2 ⎪⎜ 2 ⎜ L2 + 2bL cos θ + b 2 s ⎪⎩⎝ ⎝ ⎠ ⎝ L + 2bL cos θ s + b
(
)
3/ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎞ ⎟, als u (θ ) > 0 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ (B.63)
In (B.63) komt de afhankelijkheid van de stijfheid van het gelineariseerde systeem van het al dan niet gespannen zijn van het koord naar voren. Als er een evenwichtspunt bestaat voor u (θ ) = 0 , dan kan daarin niet gelineariseerd worden: de stijfheid van het systeem zou daar een discontinuïteit vertonen. De coëfficiënt B voor de opgelegde beweging y (t ) wordt gegeven door:
B=
1 (2mt + mb )L cosθ s 2
(B.64)
In de evenwichtspunten van (B.46) is (B.64) gelijk aan nul. Vergelijking (B.61) kan ook geschreven worden als: &~&
~&
~
θ + 2ςω nθ + ω n2θ = −
B &y& J
(B.65)
De ongedempte eigenfrequentie ω n is:
ω n = kT J
(B.66)
De dempingsconstanten ς en cT zijn aan elkaar gerelateerd volgens:
ς=
cT
(B.67)
2 kT J
Analytische, stationaire oplossing ~ Laat yˆ ( s) en θˆ( s ) de Laplace-gertransformeerden zijn van y (t ) en θ (t ) , dan volgt uit (B.65) de stationaire respons van het systeem bij kleine bewegingen rond het evenwichtspunt θ s gegeven door:
(− 4π
2
)
4π 2 f 2 B f 2 + 4πςω n fj + ω n2 θˆ = yˆ J
(B.68)
De overdrachtsfunctie H ( f ) wordt daarmee gegeven door:
H(f )=
θˆ yˆ
=
4π 2 f 2 B / J − 4π 2 f 2 + 4πςω n fj + ω n2
(B.69)
49
~ De stationaire respons θ (t ) wordt dus gegeven door:
θ (t ) = H (2πft ) Y sin (2πft + ∠H (2πft ) ) ~
(B.70)
Toestandsvorm Schrijft men de gelineariseerde bewegingsvergelijkingen in toestandsvorm, zoals voor het niet-lineaire systeem in (B.40), dan wordt krijgt men: ~ ⎡θ ⎤ ⎡θ s + θ ⎤ ⎡θ s ⎤ ~ (B.71) x lin (t ) = ⎢ & ⎥ = ⎢ ~& ⎥ = ⎢ ⎥ + xlin ⎣θ ⎦ ⎣⎢ θ ⎦⎥ ⎣ 0 ⎦ met
~ ⎡θ ⎤ ~ x lin = ⎢ ~& ⎥ ⎣θ ⎦
(B.72)
De eerste afgeleide naar de tijd van (B.71) is met (B.65):
⎡ 0 x& lin = ~ x& lin = ⎢ 2 ⎣− ω n
⎡0⎤ ⎤~ ⎢ B ⎥ &y& x − − 2ςω n ⎥⎦ lin ⎢ ⎥ ⎣J ⎦ 1
(B.73)
De eerste matrix, rechts van het gelijkteken, is de systeemmatrix voor kleine variaties rond het evenwichtspunt en de tweede matrix is de ingangsmatrix, waarbij de tweede tijdsafgeleide van de opgelegde beweging het ingaande signaal is. De eigenwaarden λ worden gegeven door:
λ1, 2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
(B.74)
De respons van het gelineariseerde systeem kan door numerieke integratie van (B.73) worden bepaald. Het resultaat is de toestand in de vorm van (B.72). Voor de stationaire respons kan men hierin ook direct de analytische oplossing (B.70) en daarvan de eerste tijdsafgeleide invullen in de toestandsvorm:
⎡ sin (2πft + ∠H ( f )) ⎤ ~ x an (t ) = H ( f ) Y ⎢ ⎥ ⎣2πf cos(2πft + ∠H ( f ))⎦
(B.74)
50
Kniklast en veiligheidsfactor in gekozen evenwichtsstand θg
B.4
De kritische druklast of kniklast Pc en het oppervlaktetraagheidsmoment I van een cilindrische staaf met lengte L en diameter D worden respectievelijk gegeven door3:
Pc =
π 2 EI
(B.75)
L2
en
I=
πD 4
(B.76)
64
De buitendiameter en de wanddikte van de buis zijn respectievelijk D en t . Het totale oppervlaktetraagheidsmoment van de buis I wordt gegeven door:
I=
(
π D 4 − (D − 2t )4
)
(B.77)
64
De kniklast van de buis is dus:
Pc =
π 3E 64 L2
(D
4
− (D − 2t )
4
)
(B.78)
C
r Fk
CM r Fz ,tot
r e2
r R A1
A r R A2
r e1 Figuur B.2: Krachten,werkend op de buis bij de beschouwing van de kniklast
r In figuur B.2 zijn de krachten op de buis weergegeven. In A werken reactiekrachten R A1 en r r R A2 . De trekkracht Fk werkt in punt C op de buis. Voorts wordt aangenomen, dat in dat punt 3
Volgens Fenner. Mechanics of Solids (Boca Raton, Florida 1999), pp 437 en 605
51
ook de totale massa van het systeem geconcentreerd is. De zwaartekracht op de totale r massa van het systeem Fz ,tot in C wordt dus gegeven door:
r r r r Fz ,tot = mt g + mb g = −(mt + mb )ge 2
(B.79)
Bij de keuze van de buisdiameter is nog geen keuze gemaakt voor de stijfheid of de r ongespannen lengte van het koord. De grootte van Fk wordt daarom door evenwicht van r krachten bepaald. Fk werkt in de richting van C naar B langs het koord:
r r rr − rr Fk = Fk rB rC = Fk rB − rC
r r rB − rC r r rB − rC
(B.80)
In θ = θ g is het koord uitgerekt. Fk is gelijk aan de stijfheid k maal de uitrekking u (θ ) . Met (B.27) voor u (θ ) wordt (B.80) dus:
r r r r −r Fk = k (l (θ ) − l 0 ) rB rC rB − rC
(B.81)
r r Invullen van (B.7), (B.8) en (B.12), geëvalueerd in θ = θg, voor rB , rC en l (θ ) en van (B.49) voor l0 in (B.81) levert: r (2mt + mb ) g ((b + L cosθ )er − L sin θ er ) Fk = 1 2 2b tan θ g
(B.82)
De drukkracht op de staaf is de component van de som van de trek- en de zwaartekracht in r r de richting van rA − rC :
Fdruk
r r ⎛ = Fk + Fz ,tot • ⎜ ⎜ ⎝
(
)
r r rA − rC ⎞ r r ⎟ rA − rC ⎟⎠
(B.83)
Met (B.79), (B.82), (B.6) en (B.8) wordt dit: ⎛ (2mt + mb ) g r r r ⎞ r r ( ( Fdruk = ⎜ b + L cos θ )e1 − L sin θ e2 ) − (mt + mb )ge2 ⎟ • (cos θ e1 − sin θ e2 ) ⎜ 2b tan θ g ⎟ ⎝ ⎠
(B.84)
Ofwel:
Fdruk = (mt + mb )g sin θ g +
(2mt + mb )g (b cosθ 2b tan θ g
g
+L
)
(B.85)
De veiligheidsfactor in θ g voor wat betreft de kniklast wordt gegeven door het quotiënt van de kritische druklast en de druklast:
K=
Pc Fdruk
(B.86)
52
