Dvojný integrál Zatímco integračním oborem jednorozměrného integrálu byl interval, u dvojného integrálu je třeba pracovat s dvojrozměrnými obory. Může to být obdélníková oblast, ale i složitější útvary jako např. kruh, kruhová výseč nebo útvary tvořené více křivkami. Z geometrického hlediska je důvodem zavedení dvojného integrálu úloha o určení objemu přímého válce s podstavou tvořenou oblastí, zmíněnou v prvním odstavci, shora seříznutého funkcí z = f ( x, y ) . Poznámka : V definici dvojného integrálu použijeme pojmy infimum a supremum. Je-li A je neprázdná množina reálných čísel, pak
•
Číslo M ∈ R * se nazývá supremum množiny A, jestliže pro všechna x ∈ A platí nerovnost x ≤ M a číslo M je nejmenší z čísel s touto vlastností.
•
Číslo m ∈ R * se nazývá infimum množiny A, jestliže pro všechna x ∈ A platí nerovnost x ≥ m a číslo m je největší z čísel, které mají tuto vlastnost.
Analogicky se definuje supremum a infimum funkce na množině. Každá neprázdná množina, která je omezená shora, má vždy supremum. Každá neprázdná množina, která je omezená zdola, má vždy infimum.
Dvojný integrál na obdélníkové oblasti Nechť z = f ( x, y ) je funkce definovaná a omezená na obdélníku
R = {( x, y ) ∈ E2 ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = { a, b , c, d
}.
Rozdělme tento obdélník R na n libovolných obdélníků p1 , p 2 , ..., p n (mluvíme o dělení D), jejichž strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Jejich obsahy označme ∆ p1 , ∆ p 2 , ..., ∆ p n . Je-li ∆R obsah obdélníka R, potom platí ∆R = ∆ p1 + ∆ p2 + ... + ∆ pn . y d Pk
yk
c
0
a
xk
b
x
V každém obdélníku p k , k = 1, 2, ..., n označme mk infimum funkce f a M k její supremum v tomto obdélníku. n
Určíme součty
s ( D, f ) = ∑ mk ∆ pk , který nazveme dolní součet, k =1
n
S ( D, f ) = ∑ M k ∆ pk , který nazveme horní součet, k =1
Příslušný funkci f při daném dělení D. Takových součtů s ( D, f ), S ( D, f ) dostaneme nekonečně mnoho, měníme-li počet obdélníků p k a jejich polohu v obdélníku R. Označme dále m infimum a M supremum funkce f na celém obdélníku R. Zřejmě platí nerovnosti
m ≤ mk ≤ f ( xk , yk ) ≤ M k ≤ M ,
odkud vynásobením číslem ∆ pk a sečtením pro k = 1, 2, ..., n plyne vztah m∆R ≤ s ( D, f ) ≤ S ( D, f ) ≤ M∆R. Protože množina všech možných dolních (horních) součtů je shora (zdola) omezená, má supremum (infimum). Supremum množiny dolních součtů {s ( D, f )} se nazývá dolní integrál funkce f na obdélníku R, infimum množiny horních součtů
{S ( D, f )}
se nazývá horní integrál funkce f
na
obdélníku R. Dvojný integrál je definován jako společná hodnota dolního a horního integrálu. Definice: Je-li supremum množiny {s ( D, f )} všech možných dolních součtů funkce f rovno
infimu množiny {S ( D, f )} všech možných horních součtů této funkce, nazývá se jejich společná hodnota dvojný (nebo dvojrozměrný) integrál funkce f na obdélníku R a značí se symbolem
∫∫ f ( x, y )dxdy. R
Obdélník R se nazývá integrační obor dvojného integrálu. Existuje-li dvojný integrál, říkáme, že funkce f je na daném oboru integrovatelná. Věta: Postačující podmínky pro integrovatelnost a) Nechť je funkce f na obdélníku R spojitá. Pak je na obdélníku R integrovatelná.
b) Nechť je funkce f na obdélníku R omezená a spojitá ve všech jeho bodech s výjimkou konečného počtu bodů (popř. i nekonečného, pokud tyto body leží na konečném počtu grafů spojitých funkcí). Pak je funkce f na obdélníku R integrovatelná.
Geometrický význam dvojného integrálu v obdélníku. Nechť f ( x, y ) ≥ 0 je integrovatelná na obdélníku R. Potom dolní součet představuje součet
objemů nejvyšších kvádrů, jejichž dolní podstavy jsou jednotlivé obdélníky pk , kdežto horní podstavy nepřesahují nad plochu z = f ( x, y ) (viz obr.).
z z = f (x,y )
0
c
d
y
a pn p1
p2
b x Analogicky horní součet značí součet objemů nejnižších kvádrů s podstavou pk , jejichž horní podstavy nepřecházejí pod plochu z = f ( x, y ). Tedy dvojný integrál funkce f v obdélníku R představuje objem části kvádru s podstavou R, seříznutého plochou o rovnici z = f ( x, y ). Vlastnosti dvojného integrálu. Nechť funkce f a g jsou integrovatelné v obdélníku R, který je rovnoběžkou s některou ze souřadnicových os rozdělen na dva obdélníky R1 , R2 . Je-li c libovolná konstanta, platí tyto
vztahy: 1)
∫∫ cf ( x, y)dxdy = c ∫∫ f ( x, y)dxdy, R
2)
R
∫∫ [ f ( x, y) ± g ( x, y )]dxdy =∫∫ f ( x, y)dxdy ± ∫∫ g ( x, y)dxdy, R
3)
R
R
∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy. R1
R2
R
Dvojný integrál na obecné uzavřené oblasti Definice: Nechť f je omezená funkce na uzavřené oblasti Ω a nechť R je takový obdélník, že Ω ⊂ R. Definujeme v obdélníku R novou funkci F takto:
F ( x, y ) = f ( x, y )
pro ( x, y ) ∈ Ω,
F ( x, y ) = 0
pro ( x, y ) ∈ ( R − Ω).
Je-li funkce F integrovatelná na obdélníku R, považujeme funkci f za integrovatelnou na oblasti Ω a definujeme dvojný integrál funkce f na oblasti Ω vztahem
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ F ( x, y )dxdy. Ω
R
y R Ω
0
x
Hodnota takto definovaného dvojného integrálu funkce f na uzavřené oblasti Ω nezávisí na volbě obdélníka R.
Definice: Existuje-li ∫∫ 1dxdy = m(Ω), kde Ω ⊂ E2 , říkáme, že množina Ω je (jordanovsky) Ω
měřitelná. Číslo m(Ω) se nazývá míra množiny Ω . Míru v dvojrozměrném případě nazýváme plošným obsahem (v trojrozměrném případě objemem). Plošný obsah měřitelné množiny Ω je podle uvedené definice číselně roven objemu tělesa o výšce 1, jehož základnou je množina Ω . Existují množiny, které měřitelné nejsou. Jsou to vesměs uměle vytvořené množiny, se kterými se v technických výpočtech nesetkáváme. Měřitelné jsou všechny tzv. elementární oblasti, které budou nyní popsány. Jsou to typy integračních oborů, se kterými v základních aplikacích dvojného integrálu zpravidla vystačíme a pro něž lze převést výpočet dvojných integrálů na postupný výpočet jednoduchých integrálů.
Definice: 1) Nechť g ( x) a h( x) jsou funkce spojité na intervalu a,b , pro které zde platí g ( x) ≤ h( x). Potom uzavřenou oblast Ω = {( x, y ) ∈ E2 ; a ≤ x ≤ b, g ( x) ≤ y ≤ h( x)} nazýváme elementární oblastí typu [x,y] (obr. A).
2) Nechť g ( y ) a h( y ) jsou funkce spojité na intervalu c, d , pro které zde platí g ( y ) ≤ h( y ). Potom uzavřenou oblast Ω = {( x, y ) ∈ E2 ; c ≤ y ≤ d , g ( y ) ≤ x ≤ h( y )} nazýváme elementární oblastí typu [y,x] (obr. B). 3) Elementární oblastí nazveme uzavřenou oblast, která je elementární oblastí typu [x,y] nebo typu [y,x].
y
y
d
f(x)
g(y)
f(y)
g(x) c
0
a
b
x
x
0
Obr. A
Obr. B
Věta: Nechť Ω je elementární oblast a množina K ⊂ Ω je tvořena konečně mnoha body a oblouky. Nechť funkce f1 ( x, y ) a f 2 ( x, y ) jsou omezené v oblasti Ω a spojité a sobě rovné v Ω − K . Pak existují dvojné integrály funkcí f1 ( x, y ) a f 2 ( x, y ) v oblasti Ω a jsou si rovny .
∫∫ f ( x, y )dxdy =∫∫ f 1
Ω
2
( x, y )dxdy.
Ω
Poznámka: Uvedená věta rozšiřuje podmínky, za kterých existuje dvojný integrál. Ukazuje, že existence a hodnota dvojného integrálu nezávisí na hodnotách funkce f v konečně mnoha bodech a v bodech konečně mnoha oblouků. Její hodnoty zde mohou být libovolné nebo nemusí být ani definované, aniž by to ovlivnilo existenci a hodnotu integrálu. Takže je-li například funkce f spojitá a omezená na vnitřku Ω oblasti Ω , pak platí
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy. Ω
Ω
Proto dále budeme za integrační obor považovat oblast Ω i v případech, kdy bude funkce definována pouze ve vnitřních bodech této oblasti.
