VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
Dvě přímky v rovině mohou být:
různoběžné -
rovnoběžné různé totožné
mají jediný společný bod,
- nemají společný bod, - mají nekonečně mnoho společných bodů.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1. Zjistěte vzájemnou polohu dvou přímek, budou-li rovnoběžné, určete jejich vzdálenost, u různoběžných přímek vypočítejte souřadnice jejich průsečíku a odchylku. p : x = 1 – 2t, y = 2 + t , t ∈ R q : x = – 1 + s, y = – 6s , s ∈ R r Řešení: Směrové vektory přímek p, q jsou u = ( -2 ; 1 ), = ( 1; -6 ). r r u ≠ k ⋅ v ⇒ přímky p, q jsou různoběžné
Vypočítáme souřadnice jejich průsečíku 1 – 2t = – 1 + s 2+ t = – 6s ⁄·2 1 – 2t = – 1 + s 4 + 2t = – 12s 11 s = – 6 6 s= − , dosadíme do parametrického vyjádření přímky q : 11 Průsečík má souřadnice
17 36 P = − ; . 11 11
Pro výpočet odchylky dvou přímek dosadíme do vzorce směrové vektory: cos α =
u1v1 + u 2v2 u12 + u 22 ⋅ v12 + v22
cos α =
cos α =
(− 2) ⋅ 1 + 1 ⋅ (− 6 ) (− 2)2 + 12 ⋅ 12 + (− 6)2 8 185
α = 53°58 ´
Závěr : Přímky jsou různoběžné, průsečík má souřadnice
17 36 P = − ; a odchylka 11 11
α = 53°58 ´.
Příklad 2. Zjistěte vzájemnou polohu dvou přímek, budou-li rovnoběžné, určete jejich vzdálenost, u různoběžných přímek vypočítejte souřadnice jejich průsečíku a odchylku.
p : x + 2y – 3 = 0 q : x = 7 – 2t, y = –1 + t ,
t∈R
Řešení: Dosadíme parametrické vyjádření přímky q do obecné rovnice přímky p: (7 – 2t ) + 2(–1 + t ) – 3 = 0 2 ≠ 0 → rovnice nemá řešení ⇒ přímky nemají společný bod, jsou rovnoběžné různé Dosadíme do vzorce pro výpočet vzdálenosti bodu Q ∈ q od přímky p: ax M + by M + c v= a2 + b2 1 ⋅ 7 + 2 ⋅ (- 1) − 3 2 2 5 v= = = 5 5 12 + 2 2 Závěr : Přímky jsou rovnoběžné různé, vzdálenost přímek je v =
2 5 . 5
Příklad 3. Zjistěte vzájemnou polohu dvou přímek, budou-li rovnoběžné, určete jejich vzdálenost, u různoběžných přímek vypočítejte souřadnice jejich průsečíku a odchylku.
p : 3x – y + 4 = 0
q : 6x + 5 y – 2 = 0 r r Řešení: Normálové vektory přímek mají souřadnice n p = ( 3 ; -1 ), n q = ( 6; 5 ). r r n p ≠ k . n q ⇒ přímky p, q jsou různoběžné
Vypočítáme souřadnice jejich průsečíku ( řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých ): 3x – y + 4 = 0 ⁄· (-2) 6x + 5 y – 2 = 0 -6x + 2 y – 8 = 0 6x + 5 y – 2 = 0 7y = 10 10 6 , x= − y= 7 7
6 10 P= ; − 7 7
Pro výpočet odchylky dvou přímek dosadíme do vzorce normálové vektory těchto přímek: cos α =
cos α =
cos α =
u1v1 + u 2v2 u12 + u 22 ⋅ v12 + v22
3 ⋅ 6 + (− 1) ⋅ 5 3 2 + (− 1) ⋅ 6 2 + 5 2 2
13 610
α = 58°14 ´ Závěr : Přímky jsou různoběžné, průsečík má souřadnice a odchylka α = 58°14 .
6 10 P= ; − 7 7
