Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM
06 Februari 2017
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
1 / 14
Mari mengingat
Derivatif ∼ Integral tak tentu.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
2 / 14
Mari mengingat
Derivatif ∼ Integral tak tentu. Aturan rantai ∼ Metode substitusi.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
2 / 14
Mari mengingat
Derivatif ∼ Integral tak tentu. Aturan rantai ∼ Metode substitusi. Derivatif dari perkalian dua fungsi ∼ Integral parsial:
(uv )0 = u 0 v + uv 0 ⇐⇒ uv 0 = (uv )0 − vu 0 .
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
2 / 14
Integral parsial
(uv )0 = u 0 v + uv 0 ⇐⇒ uv 0 = (uv )0 − vu 0 .
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
3 / 14
Integral parsial
(uv )0 = u 0 v + uv 0 ⇐⇒ uv 0 = (uv )0 − vu 0 . Z
udv =
Z
d (uv ) −
Z
vdu.
l Z
NS (FMIPA UGM)
udv = uv −
Teknik pengintegralan
Z
vdu.
06/02/2017
3 / 14
Contoh: Integral parsial (sekali) Z
NS (FMIPA UGM)
xex dx ?
Teknik pengintegralan
06/02/2017
4 / 14
Contoh: Integral parsial (sekali) Z
Z
xex dx ?
x |{z} ex dx = |{z} x |{z} ex − |{z} u (x ) v 0 (x )
NS (FMIPA UGM)
u (x ) v (x )
Z
ex |{z} 1 dx = xex − ex + C. |{z} v (x ) u 0 (x )
Teknik pengintegralan
06/02/2017
4 / 14
Contoh: Integral parsial (sekali) Z
Z
xex dx ?
x |{z} ex dx = |{z} x |{z} ex − |{z} u (x ) v 0 (x )
u (x ) v (x )
F (x ) =
NS (FMIPA UGM)
Z
Z
ex |{z} 1 dx = xex − ex + C. |{z} v (x ) u 0 (x )
x sin x dx ?
Teknik pengintegralan
06/02/2017
4 / 14
Contoh: Integral parsial (sekali) Z
Z
xex dx ?
x |{z} ex dx = |{z} x |{z} ex − |{z} u (x ) v 0 (x )
d dx (− cos x )
F (x ) = x (− cos x ) − NS (FMIPA UGM)
Z
Z
ex |{z} 1 dx = xex − ex + C. |{z} v (x ) u 0 (x )
u (x ) v (x )
F (x ) = Karena sin x =
Z
x sin x dx ?
maka
(− cos x ) · 1 dx = −x cos x + sin x + C. Teknik pengintegralan
06/02/2017
4 / 14
The invisible dv Z
NS (FMIPA UGM)
ln x dx ?
Teknik pengintegralan
06/02/2017
5 / 14
The invisible dv Z
Z
ln x dx =
ln x dx ? Z
ln x · |{z} 1 dx |{z} u (x )
v 0 (x )
= ln x · x − = x ln x −
Z
Z
1 · x dx x 1 dx
= x ln x − x + C. NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
5 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) Z
NS (FMIPA UGM)
x 2 e2x dx ?
Teknik pengintegralan
06/02/2017
6 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) Z
Z
x 2 e2x dx ?
2x 2 2x 2e x e dx = x − |{z} |{z} 2
Z
u (x ) v 0 (x )
e2x =x − 2 dx 2 4 2x 2x e e2x 2e =x − 2x − 2+C 2 4 8 1 1 1 = x 2 e2x − xe2x + e2x − C. 2 2 4 2e
NS (FMIPA UGM)
2x
e2x 2x dx 2
Teknik pengintegralan
e2x 2x − 4
Z
06/02/2017
6 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) Hitung
R
e2x cos(3x ) dx.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
7 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) R Hitung e2x cos R (2x3x ) dx. Misalkan I = e cos(3x )dx, maka I=
Z
cos(3x ) |{z} e2x dx | {z } u (x )
v 0 (x )
= 1/2e2x cos(3x ) + 3/2
Z
e2x sin(3x )dx = d.s.t
= 1/2e2x cos(3x ) + 3/22 e2x sin(3x ) − (3/2)2 I.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
7 / 14
Contoh: Integral parsial (dua kali) R Hitung e2x cos R (2x3x ) dx. Misalkan I = e cos(3x )dx, maka I=
Z
cos(3x ) |{z} e2x dx | {z } u (x )
v 0 (x )
= 1/2e2x cos(3x ) + 3/2
Z
e2x sin(3x )dx = d.s.t
= 1/2e2x cos(3x ) + 3/22 e2x sin(3x ) − (3/2)2 I. Sehingga Z
e2x cos(3x )dx = e2x /13(2 cos(3x ) + 3 sin(3x )) + C.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
7 / 14
Reduksi order Perhatikan In =
Z
x n eax dx.
dengan a adalah suatu konstanta. I0 ?, I1 ?, I3 ?, dan I5 ?
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
8 / 14
Reduksi order Perhatikan In =
Z
x n eax dx.
dengan a adalah suatu konstanta. I0 ?, I1 ?, I3 ?, dan I5 ? Untuk semua n ≥ 0, dengan integral parsial: Z 1 1 In = x n eax − nx n−1 eax dx a a Z 1 n = x n eax − x n−1 eax dx. a a
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
8 / 14
Reduksi order Perhatikan In =
Z
x n eax dx.
dengan a adalah suatu konstanta. I0 ?, I1 ?, I3 ?, dan I5 ? Untuk semua n ≥ 0, dengan integral parsial: Z 1 1 In = x n eax − nx n−1 eax dx a a Z 1 n = x n eax − x n−1 eax dx. a a In = NS (FMIPA UGM)
1 n ax n x e − In − 1 . a a
Teknik pengintegralan
06/02/2017
8 / 14
Contoh: Reduksi order Z
NS (FMIPA UGM)
x 3 eax dx ?
Teknik pengintegralan
06/02/2017
9 / 14
Contoh: Reduksi order Z
x 3 eax dx ?
Perhatikan bahwa 1 3 ax 3 1 3 ax 3 1 2 ax 2 I3 = x e − I2 = x e − x e − I1 a a a a a a 1 3 ax 3 1 2 ax 2 1 ax 1 = x e − x e − xe − I0 . a a a a a a Karena I0 = a1 eax + C maka Z
x 3 eax dx =
NS (FMIPA UGM)
3 6 6 1 3 ax x e − 2 x 2 eax + 3 xeax − 4 eax + C. a a a a Teknik pengintegralan
06/02/2017
9 / 14
Quiz (maks. 20 menit) Misalkan Sn = 1 2
Z
x n sin x dx.
Hitung S0 dan S1 . Tunjukkan bahwa Sn = −x n cos x + nx n−1 sin x − n(n − 1)Sn−2 .
3
Dengan menggunakan nomor 1 dan 2, hitung
dan NS (FMIPA UGM)
Z
x 2 sin x dx
Z
x 3 sin x dx.
Teknik pengintegralan
06/02/2017
10 / 14
Pembahasan Quiz
1
S0 = − cos x + C dan S1 = −x cos x + sin x + C.
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
11 / 14
Pembahasan Quiz
1
S0 = − cos x + C dan S1 = −x cos x + sin x + C.
2
Sn = −x n cos x + n
Z
x n−1 cos x dx
= −x n cos x + nx n−1 sin x − n(n − 1)
Z
x n−2 sin x dx
= −x n cos x + nx n−1 sin x − n(n − 1)Sn−2 .
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
11 / 14
Pembahasan Quiz
1
S0 = − cos x + C dan S1 = −x cos x + sin x + C.
2
Sn = −x n cos x + n
Z
x n−1 cos x dx
= −x n cos x + nx n−1 sin x − n(n − 1)
Z
x n−2 sin x dx
= −x n cos x + nx n−1 sin x − n(n − 1)Sn−2 . 3
Can’t you?
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
11 / 14
A useful rumus reduksi order
Integral In =
Z
dx , (1 + x 2 )n
yang akan muncul di integral fungsi pecah rasional, mempunyai rumus reduksi order In =
x 2n − 3 1 + In − 1 2(n − 1) (1 + x 2 )n−1 2n − 2
untuk n > 1 (Cek!!!)
NS (FMIPA UGM)
Teknik pengintegralan
06/02/2017
12 / 14
A useful rumus reduksi order (lanjutan)
Karena I1 = arctan x + C maka Z
NS (FMIPA UGM)
dx = I2 = I1+1 (1 + x 2 )2 1 2·1−1 x = + I1 2 1 2 · 1 (1 + x ) 2·1 x = 21 + 1 arctan x + C. 1 + x2 2
Teknik pengintegralan
06/02/2017
13 / 14
Soal-soal Latihan 1 2
R Hitung eax sin bx dx where a2 + b2 6= 0. [Hint: parsial dua kali.] Tunjukkan bahwa Z
3
x n ex dx = x n ex − n
Z
dan gunakan hasilnya untuk menghitung Tunjukkan bahwa Z
x m (ln x )n dx =
x n−1 ex dx
R
x 2 ex dx.
x m+1 (ln x )n n − m+1 m+1
Z
x m (ln x )n−1 dx,
untukR m 6= −1, dan gunakan hasilnya untuk menghitung: 2 R (ln3 x ) dx. 2 R x 3 (ln x )2 dx. x (ln x ) dx.
