Sudaryatno Sudirham. Aritmatika Interval

Sudaryatno Sudirham

Aritmatika Interval

Kata Pengantar Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval. Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi interval.

Cakupan Bahasan Pengertian-Pengertian Interval Operasi-Operasi Aritmatika Interval Sifat-Sifat Aritmatika Interval

Pengertian-Pengertian Interval

Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *) Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan

Contoh: Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri (interval tertutup).

*)

Lihat pula “Fungsi dan Grafik”

Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

S = {x : p( x)} menunjukkan kumpulan yang kita tinjau menunjukkan sembarang elemen dari S

menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S atau tidak

Contoh S = {x : x ∈ R, 90 ≤ x ≤ 110}

p( x) = x ∈ R, 90 ≥ x ≤ 110 R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata

Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara −∞ dan + ∞ kita tuliskan

X = {x : x ∈ R, a ≤ x ≤ b, a, b ∈ R, − ∞ < a < b < +∞} Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasioperasi interval Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval. Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval. Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batasbatas intervalnya.

Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan batas atas (nilai maksimum) x kita tuliskan

X = [ x, x ] kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval. Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut ( 0

x

x

)

interval X batas bawah batas atas

Degenerasi Suatu interval mengalami degenerasi jika

x=x dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.

Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi) suatu bilangan nyata.

Lebar Interval Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata

w( X ) = x − x Contoh:

X = [6, 15]

w( X ) = 15 − 6 = 9 (

0

) x

x w(X)

Titik Tengah Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah

m( X ) = ( x + x ) / 2 Contoh:

X = {4, 10} → titik tengah m( X ) = (4 + 10) / 2 = 7

Radius Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval

w( X ) / 2 Contoh:

X = {4, 10} → radius interval X adalah w(X)/2 = (10−4)/2 = 3.

Kesamaan Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batasbatas yang sama. Jika X = [ x, x ] dan Y = [ y, y ] maka X = Y

jika dan hanya jika x = y dan x = y

Urutan Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, x < y Contoh

X = {6, 10} dan Y = {13, 18} → X < Y. 0

( x X

) x

( y

Y

) y

Dalam contoh ini juga w(X) < w(Y)

Nilai Absolut Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya

X = max{ x , x } Contoh

X = {−8, 4} X = max{ − 8 , 4 } = 8

Jarak Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya

ρ( X , Y ) = max{| x − y | , | x − y |} Contoh

X = {2,6}, Y = {8,18}

ρ( X , Y ) = max{| 2 − 8 |, | 6 − 18 |} = 12 Di sini

y−x

0

) x

( x X

| x − y |>| x − y |

y−x ( y

) y Y

Simetri Suatu interval X disebut simetris jika − x = x Contoh: X = {−5, 5} (

x

0 X

) x

Interval simetris mengandung elemen bernilai 0. Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0. Ia bukan degenerate interval.

Irisan Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval. Irisan antara interval X dan interval Y adalah

X ∩ Y = [max{x, y}, min{x , y}] Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18} X ( 0

x

X ∩ Y = [6, 9]

Y

( y

) x

) y

X ∩Y Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.

Gabungan Gabungan antara interval X dan Y adalah

X ∪ Y = [min{x, y}, maks{x ,y}] X ∪ Y = [2, 18]

Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18] X ( 0

x

( y

Y ) x

) y

X ∪Y Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval. Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.

Inklusi Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika

X ≤ Y dan w( X ) ≤ w(Y ) atau X ⊆ Y jika dan hanya jika y ≤ x dan x ≤ y Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} → X ⊆ Y Y ( ( y x

0

) x

) y

X b). X ={−5, 2} dan Y = {−7, 7} ( y

(

x

0 X Y

) x

) y

Operasi-Operasi Aritmatika

Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu: Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut interval positif. Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif. Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol. Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif, sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai

X + Y = {x + y : x ∈ X , y ∈ Y } Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas atas Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.

X + Y = [ x + y, x + y ]

Jika X = [ x, x ] dan Y = [ y, y ] , maka

X + Y = [ x + y, x + y ] Jumlah interval juga merupakan interval. Y

X ( 0

x

) x

( y

(

x+ y

X ∪Y tidak merupakan sebuah interval karena X < Y.

X dan Y adalah dua interval yang terpisah.

) y

)

X+Y

x+y

Penjumlahan berbeda dengan penggabungan. Penggabungan dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval.

Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}

→ X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20] Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan. Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan biasa. Perbedaan penjumlahan dan gabungan Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6]

X ∪Y = [2, 6] X + Y = [5, 10]

X 0

Y ) z

( ( ) ( ) x y x z y X ∪Y

X +Y

Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai

− X = {− x, x ∈ X } yang dapat kita tuliskan

− X = −[ x, x ] = [− x , − x]

( −x

) −x

−X Batas atas −X adalah − x Batas bawah −X adalah x

( 0

) x

x X

Contoh: a). X = [2, 6] → −X = [−6, −2] ( −x

) −x

( 0

) x

x

−X

X

b). X = [−2, 6] → −X = [−6, 2] ( −x

(

x

) 0 −x

−X

X

) x

Pengurangan Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X dengan negatif interval Y

X − Y = [ x, x ] − [ y , y ] = [ x − y , x − y ] Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]

→ X − Y = [2, 6] − [7, 12] = [2− 12, 6 − 7] = [−10, −1] X ( ( −y x− y

) −y

(

) 0 X−Y

x

Y )( x y

) y

x−y

Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X − Y merupakan interval negatif.

Perkalian dan Pembagian

Perkalian Interval Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai

X ⋅ Y = {xy : x ∈ X , y ∈ Y } yang dapat dituliskan

X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y} Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah maupaun batas atas dari interval hasil kali. Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada sumbu bilangan nyata

Pada interval X selalu dipenuhi relasi

x≤x

maka dengan memperhatikan posisi x kita akan mengetahui posisi x jika x ≥ 0 maka x ≥ 0 jika x ≤ 0 maka

x ≥ 0 atau x ≤ 0

Demikian juga pada interval Y jika y ≥ 0 maka y ≥ 0 jika y ≤ 0 maka

y ≥ 0 atau y ≤ 0

Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu: interval positif kali interval positif interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya interval negatif kali interval positif dan sebaliknya interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya interval negatif kali interval negatif perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol

Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:

X 1).

( 0 x

) x

( y

X 2).

( x 0

) x

( y

X 3).

4).

( x

) ( x 0 y

X ( x

) x

( y 0

Y

Y

Y

Y

) y

) y

) y

) y

x ≥ 0 dan y ≥ 0 Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ] x < 0 < x dan y ≥ 0 Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]

x ≤ 0 dan y ≥ 0 Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]

x ≤ 0 dan y < 0 < y Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]

X ( x

5).

Y ) x

( y

Y ) ( y 0 x

Y 7).

(

( y

( y

Z = X ⋅ Y = [ x y, xy ] x < 0 < x dan y ≤ 0

) x

) ( y x 0

( x

x ≥ 0 dan y < 0 < y

) x X

Y 9).

Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]

X ) ( 0 y x

y

x ≥ 0 dan y ≤ 0

) x

Y 8).

Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]

X

( y

6).

x ≤ 0 dan y ≤ 0

) y 0

Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ] x < 0 < x dan y < 0 < y

X ) 0 y

) x

Z = X ⋅Y = [ min{ x y , x y}, maks{ x y , x y}]

Contoh dan Penjelasan

X 1).

( 0 x

) x

X = [1, 3]

( y

Y

) y

x ≥ 0 dan y ≥ 0 Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]

Y = [4, 6]

X ⋅Y = [ 4, 18] Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y} Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah. Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil bilangan positif.

Contoh dan Penjelasan

X 2).

( x 0

) x

( y

X = [−1, + 2]

Y

) y

x < 0 < x dan y ≥ 0 Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]

Y = [4, 8]

X ⋅Y = [−8, + 16] Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif). Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.

Contoh dan Penjelasan

X 3).

( x

) ( x 0 y

X = [−3, − 1]

Y

) y

x ≤ 0 dan y ≥ 0 Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]

Y = [1, 4]

X ⋅Y = [−12, − 1] Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif. Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif

Contoh dan Penjelasan 4).

X ( x

) x

X = [−4, − 2]

( y 0

Y

) y

x ≤ 0 dan y < 0 < y Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]

Y = [ −1, 3]

X ⋅Y = [−12, + 4] Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y} Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol. Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.

Contoh dan Penjelasan X ( ) ( 5). x y x

X = [ −7, − 5]

Y

x ≤ 0 dan y ≤ 0

) y 0

Z = X ⋅ Y = [ x y, x y]

Y = [−4, − 1] X ⋅Y = [5, 28]

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}

Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.

Contoh dan Penjelasan

Y 6).

( y

X ) ( y 0 x

X = [1, 4]

) x

x ≥ 0 dan y ≤ 0 Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]

Y = [−3, − 1] X ⋅Y = [−12, − 1]

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif. Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif

Contoh dan Penjelasan

Y 7).

(

y

X ) ( 0 y x

X = [2, 5]

) x

x ≥ 0 dan y < 0 < y Z = X ⋅ Y = [ x y, xy]

Y = [−3, 1] X ⋅Y = [−15, 5] Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif). Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.

Contoh dan Penjelasan Y 8).

( y

X ) ( y x 0

X = [−1, 3]

x < 0 < x dan y ≤ 0

) x

Z = X ⋅ Y = [ x y, x y ]

Y = [−5, − 2] X ⋅Y = [−15, 5]

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum: X ⋅ Y = [min{x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y} Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol. Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.

Contoh dan Penjelasan Y 9).

( y

x < 0 < x dan y < 0 < y

X ) 0 y

( x

X = [ −2, 5]

) x

Z = X ⋅Y = [ min{ x y , x y}, maks{ x y , x y}]

Y = [−4, 1]

X ⋅Y = [min{−2,−20}, maks{5, 8}] = [−20, 8]

X ⋅ Y = [min{ x y, x y , x y, x y}, maks {x y, x y , x y, x y}

Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum

Akan bernilai negatif sehingga tak mungkin menjadi batas maksimum

Akan bernilai positif sehingga tak mungkin menjadi batas minimum

Kebalikan Interval Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai

1 = {1 / x : x ∈ X } X Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka

1 = [1 / x , 1 / x] X Contoh: X = [2, 10] → 1/X = [0.1, 0.5]

Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain. Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.

Pembagian Interval Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X dengan kebalikan Y.

X 1 = X ⋅ = [ x, x ] ⋅ [1 / x , 1 / x] Y Y Contoh:

X = [4, 10], Y = [2, 10]

→ X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]

Sifat-Sifat Aritmatika Interval

Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasioperasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan biasa yang sudah kita kenal. Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika interval. Ternyata memang demikian. Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok.

Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan sebagai

X + Y = {x + y : x ∈ X , y ∈ Y } X ⋅ Y = {xy : x ∈ X , y ∈ Y } Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.

X + (Y + Z ) = ( X + Y ) + Z ; X (YZ ) = ( XY ) Z ;

X +Y = Y + X XY = YX

Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi: [0, 0] dan [1, 1] yang dituliskan sebagai 0 dan 1 Jadi X + 0 = 0 + X

dan 1·X = X·1

Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam aritmatika interval: X−X≠0

dan

X/X≠1

jika w(X) > 0

X − X = [ x − x , x − x] = w( X )[−1, 1]

X / X = [ x / x , x / x] jika X > 0 X / X = [ x / x, x / x ] jika X < 0

Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah: X (Y + Z) = XY + XZ Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut: 1) Jika Y dan Z adalah interval simetris; 2) Jika YZ > 0 Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku: [0, 1] (1-1) = 0 tetapi [0, 1] − [0, 1] = [−1, 1]

Bahan Kuliah Terbuka

Aritmatika Interval Sudaryatno Sudirham