Module 5
Stelsels van vergelijkingen 5.1
Definitie en voorbeelden
Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel van vergelijkingen. Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in n onbekenden noemen we kortweg een (m × n)-stelsel (m, n ∈ 0 ).
N
Voorbeelden ( 2x + y = 7 is een (2 × 2)-stelsel in x en y. • x − 2y = −4 3x + y − z = 25 is een (3 × 3)-stelsel in x, y en z. • x+z = 0 x + 5y − 3z = −8 •
(
3x + y − 2z = 0 is een homogeen (2 × 3)-stelsel in x, y en z x−y+z =0
•
(
x2 + y = 1 is een niet-lineair stelsel in x en y x−y =0
Om een stelsel van vergelijkingen op te lossen zal men het gegeven stelsel herleiden tot een equivalent stelsel (d.w.z. een stelsel met dezelfde oplossingenverzameling als het oorpronkelijke stelsel) waaruit de oplossing gemakkelijk is af te lezen. In dit hoofdstuk worden twee oplossingsmethoden van stelsels behandeld, nl. de combinatiemethode en de substitutiemethode. Aan de hand van verscheidene voorbeelden zullen we tonen hoe deze methoden werken. 43
44
MODULE 5. STELSELS VAN VERGELIJKINGEN
5.2
De combinatiemethode
Deze methode is enkel toepasbaar op stelsels van lineaire vergelijkingen. Bij de combinatiemethode zullen we telkens ´e´en vergelijking vervangen door een gepaste combinatie (som van veelvouden) van deze vergelijking en ´e´en of meerdere andere vergelijkingen. De bedoeling hierbij is dat in de resulterende vergelijking minder onbekenden voorkomen dan in de oorspronkelijke vergelijking. Voorbeeld 1 Beschouw het stelsel ( 2x + 3y = 13 −3x + 4y = 23 Om bijvoorbeeld de onbekende x te elimineren vermenigvuldigen we de eerste vergelijking met 3 en de tweede met 2. We noteren dit als: ( 2x + 3y = 13 3 −3x + 4y = 23 2 De op deze manier bekomen vergelijkingen tellen we op: 6x + 9y = 39 −6x + 8y = 46 17y = 85 We bekomen nu een equivalent stelsel door ´e´en van de twee vergelijkingen te vervangen door 17y = 85: ( ( 2x + 3y = 13 2x + 3y = 13 3 ⇔ −3x + 4y = 23 2 17y = 85 Verdere oplossing geeft nu ( 2x + 3y = 13 ⇔ 17y = 85
(
2x + 3y = 13 y=5
⇔
(
2x + 15 = 13 y=5
⇔
(
Bijgevolg, V = {(−1, 5)}. Voorbeeld 2 Beschouw het stelsel ( 3x + y = −1 6x + 2y = −3 Om bijvoorbeeld de onbekende y te elimineren, nemen we de volgende combinatie: ( 3x + y = −1 −2 6x + 2y = −3 1
x = −1 y=5
45
5.2. DE COMBINATIEMETHODE Verdere oplossing geeft dan (
3x + y = −1 −2 6x + 2y = −3 1
⇔
(
3x + y = −1 0x + 0y = −1
Aangezien de vergelijking 0x + 0y = −1 strijdig is, hebben we V = ∅. Voorbeeld 3 Beschouw het stelsel ( −x + 2y = −1 3x − 6y = 3 Om bijvoorbeeld de onbekende x te elimineren, nemen we de volgende combinatie: (
−x + 2y = −1 3 3x − 6y = 3 1
Verdere oplossing geeft dan (
−x + 2y = −1 3 1 3x − 6y = 3
⇔
(
−x + 2y = −1 0x + 0y = 0
Aangezien de vergelijking 0x + 0y = 0 steeds voldaan is, hebben we (
−x + 2y = −1 0x + 0y = 0
⇔
−x + 2y = −1.
De vergelijking −x + 2y = −1 heet 1-voudig onbepaald, d.w.z. met elke willekeurige waarde van ´e´en veranderlijke komt een welbepaalde waarde van de andere overeen zodat het koppel (x, y) een oplossing is van de vergelijking. Indien bijvoorbeeld x = r (r ∈ R), dan zal −x + 2y = −1 voldaan zijn als en slechts als y = −1+x = −1+r 2 2 . De oplossingenverzameling V is dan −1 + r V = r, |r ∈ R . 2
Men kan echter ook y = s (s ∈ R) willekeurig kiezen. In dit geval zal −x + 2y = −1 voldaan zijn als en slechts als x = 2y + 1 = 2s + 1. De oplossingenverzameling V is dan omschreven door V = {(2s + 1, s) | s ∈ R} . Hoewel de omschrijving van V kan verschillen naargelang de keuze van de onbekende die men als vrij beschouwt, is de oplossingenverzameling V ´e´en en dezelfde verzameling (hier de rechte met vergelijking −x + 2y = 1).
46
MODULE 5. STELSELS VAN VERGELIJKINGEN
Voorbeeld 4 Beschouw het stelsel x+y+z = 6 −3x + 2y + z = −1 x − 4y + 2z = 4
We gaan ´e´en veranderlijke elimineren, bijvoorbeeld z. Dit kunnen we doen door de volgende combinaties te nemen: x+y+z = 6 1 2 −3x + 2y + z = −1 −1 x − 4y + 2z = 4 −1 Een equivalent stelsel wordt bekomen door de eerste vergelijking te behouden en de tweede en derde vergelijking te vervangen door hun respectievelijke combinaties met de eerste vergelijking: 1 2 x+y+z = 6 x+y+z =6 ⇔ −3x + 2y + z = −1 −1 4x − y = 7 x − 4y + 2z = 4 −1 x + 6y = 8
We passen nu verder de combinatiemethode toe op de twee laatste vergelijkingen en elimineren hierbij x: x+y+z =6 x+y+z = 6 x+1+z =6 ⇔ 4x − y = 7 1 ⇔ 4x − y = 7 4x − 1 = 7 x + 6y = 8 −4 −25y = −25 y=1 2+1+z =6 z=3 ⇔ x=2 ⇔ x=2 y=1 y=1 Bijgevolg, V = {(2, 1, 3)}.
Opmerking Het maakt niet uit welke onbekende ge¨elimineerd wordt. In de praktijk wordt de keuze van de te elimineren onbekende vaak bepaald door de te verrichten hoeveelheid rekenwerk.
5.3
De substitutiemethode
Deze methode is toepasbaar op zowel lineaire als niet-lineaire stelsels. Bij de substitutiemethode wordt telkens ´e´en vergelijking gebruikt om ´e´en onbekende in functie van de overige onbekenden uit te drukken. In de andere vergelijkingen van het stelsel wordt deze onbekende dan vervangen door de gevonden uitdrukking. We demonstreren dit opnieuw aan de hand van enkele voorbeelden.
47
5.3. DE SUBSTITUTIEMETHODE Voorbeeld 1 Beschouw het stelsel ( 2x + 3y = 13 −3x + 4y = 23 We nemen de eerste vergelijking en zoeken bijvoorbeeld y in functie van x: 2x + 3y = 13
⇔
y=
13 − 2x . 3
Nu vervangen we y in de tweede vergelijking door de uitdrukking lijking in slechts ´e´en onbekende x: 13 − 2x −3x + 4 = 23 3
13−2x 3
en krijgen een verge-
(*)
Een equivalent stelsel wordt bekomen door de eerste vergelijking over te nemen in de vorm en de tweede vergelijking te vervangen door vergelijking (*): y = 13−2x 3 ( ( 2x + 3y = 13 y = 13−2x 3 ⇔ −3x + 4 13−2x = 23 −3x + 4y = 23 3 Verdere oplossing geeft nu ( y = 13−2x 3 = 23 −3x + 4 13−2x 3
⇔
(
y = 13−2(−1) 3 x = −1
⇔
(
y=5 x = −1
Bijgevolg, V = {(−1, 5)}, net zoals we met de combinatiemethode gevonden hebben.
Voorbeeld 2 Beschouw het stelsel 3x − z = 0 7x + 2y + 3z = 0 −5x − 11y + 4z = 0
Een equivalent stelsel bekomen we door in de eerste vergelijking z in functie van x te schrijven en de gevonden uitdrukking in de andere vergelijkingen te substitueren: 3x − z = 0 z = 3x z = 3x ⇔ 16x + 2y = 0 7x + 2y + 3z = 0 ⇔ 7x + 2y + 3(3x) = 0 7x − 11y = 0 −5x − 11y + 4z = 0 −5x − 11y + 4(3x) = 0
In de tweede vergelijking schrijven we nu y in functie in de derde vergelijking, en lossen verder op: z = 3x z = 3x ⇔ 16x + 2y = 0 ⇔ y = −8x 7x − 11y = 0 7x − 11(−8x) = 0
Bijgevolg, V = {(0, 0, 0)}.
van x, substitueren deze uitdrukking
z = 3x z =3·0=0 y = −8x ⇔ y = −8 · 0 = 0 95x = 0 x=0
48
MODULE 5. STELSELS VAN VERGELIJKINGEN
Voorbeeld 3 Beschouw het stelsel ( x2 + y 2 = 25 4x − 3y = 0 In de tweede vergelijking schrijven we bijvoorbeeld x in functie van y, substitueren de gevonden uitdrukking in de eerste vergelijking en lossen verder op: ( ( ( ( 2 3 25 2 y + y 2 = 25 x2 + y 2 = 25 x2 + y 2 = 25 4 16 y = 25 ⇔ ⇔ ⇔ 3 3 x = 4y x = 34 y x = 4y 4x − 3y = 0 ( ( y 2 = 16 y = −4 of y = 4 ⇔ ⇔ 3 x = 34 y x = 4y ( ( y = −4 y=4 ⇔ of 3 x = 4y x = 34 y ( ( y = −4 y=4 ⇔ of x = −3 x=3 Bijgevolg, V = {(−3, −4), (3, 4)}. Voorbeeld 4 Los het volgende stelsel op: ( x2 − 4y 2 = 3 xy = 1 We halen bijvoorbeeld y uit de tweede vergelijking xy = 1
⇔
h
y=
1 x
en
i x 6= 0
en substitueren dit in de eerste vergelijking: ( ( ( 2 x4 − 4 = 3x2 x2 − 4y 2 = 3 x2 − 4 x1 = 3 ⇔ ⇔ xy = 1 y = x1 en x 6= 0 y = x1 en x 6= 0 ( x4 − 3x2 − 4 = 0 ⇔ y = x1 en x 6= 0 De vergelijking x4 − 3x2 − 4 = 0 is bikwadratisch met als oplossingen x = ±2 (controleer!). Het stelsel is dus equivalent met ( ( ( x=2 x = −2 of x = 2 x = −2 of ⇔ 1 1 y = x1 y = x en x 6= 0 y=x ( ( x=2 x = −2 of ⇔ 1 y = 12 y = −2 Bijgevolg, V =
−2, − 21 , 2, 12 .
49
5.4. OEFENINGEN Opmerking
De keuze van de onbekende die geschreven wordt in functie van de overige onbekende(n) en de vergelijking die men hiervoor gebruikt heeft geen belang. In de praktijk zal men vaak de keuze met het eenvoudigste rekenwerk nemen.
5.4
Oefeningen
Oefening 5.1. Bepaal de oplossingenverzameling van de volgende stelsels: ( ( 2x − 5y = 19 x + 2y = 23 (1) (2) x − 6y = 20 13x − 11y = 3 ( ( 8x + y = 25 8(x + 1) = 7(y − 1) − 80 (3) (4) 12x = 32 + 4y 14x = 26y − 180 2x + y − z = 9 (5) x + 3y + z = 6 5x − y + 2z = −6 ( x + y − 3z = 5 (7) 3x + 2y − 9z = 10 x − 4y + 6z = 14 (9) 5x + 2y + 3z = 23 2x + 6y − 6z = −3
x+y+z =7 (6) 2x − 3y + 5z = 8 x − 4y + 4z = 2 ( x + 2y + 3z = 0 (8) 3x + 2y + z = 0 x + y − 5z = 11 x − y + z = −7 (10) 2x + y = 6 y−z =7
Oefening 5.2. Bepaal de oplossingenverzameling van de volgende stelsels: x ( y =2 x2 + y 2 = 1 z (1) ( 2 ) = 3 y x−y =0 x + z = −10 ( ( 6y − x + 1 = 0 y = x2 + 1 (3) (4) xy = 1 xy = 2 ( ( x2 + y = 0 x2 + y 2 = 1 (5) ( 6) x = y2 (x − 1)2 + y 2 = 1
