Hoofdstuk 5: Werken met formules. 5.1 Stelsels vergelijkingen. Opgave 1: dus 110 bolletjes dus 15 broden. Opgave 2: Opgave 3:

Hoofdstuk 5: Werken met formules 5.1 Stelsels vergelijkingen Opgave 1: a. 60  10  1,6  44 44  110 dus 110 bolletjes 0,4 b. 60  90  0,4  24 24  15 dus 15 broden 2,6 c. 1,6 x  0,4 y  60 Opgave 2: a. 15 x  12 y  2520 12 y  15 x  2520 y  1,25 x  210 b. 3 p  2q  16 12 3 p  2q  16 12 p  23 q  5 12 c. 5a  2b  16  2b  5a  16 b  2,5a  8 Opgave 3: a.

b.

l : 3 x  y  16  y  3 x  16 y  3 x  16 dus rcl  3 m: x  y 1 y   x  1 dus rc m  1 n: x y 0  y  x y  x dus rc n  1 p : x  2y  4

GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H5 §1

-1-

AUGUSTINIANUM (LW)

2 y  x  4 y   12 x  2 dus rc p   12

Opgave 4: a. snijpunt x-as: y  0 dus 4 x  24 x  6 dus (6,0) snijpunt y-as: x  0 dus  3 y  24 y  8 dus (0,8) b. 4  8  3  3  23 dus A niet 4  18  3  16  24 dus B wel 4  30  3  48  24 dus C wel c. 4  16  3 p  24 64  3 p  24  3 p  40 p  13 13 d. 4q  3  48  24 4q  144  24 4q  168 q  42 Opgave 5: a. l : 3 x  4 y  7  4 y  3 x  7 y  34 x  1 34 dus rcl  34 m : 3 x  4 y  8  4 y  3 x  8 y  34 x  2 dus rcl  34 b. rcl  34 c. 3  5  4  1  11 dus c  11 d. 3 x  4 y  c door (3,1) 3  3  4  1  13 dus c  13 k : 3 x  4 y  13 Opgave 6: 2 x  y  c door (5,8) 2  5  8  18 dus c  18 2 x  y  18 Opgave 7: 12 x  4 y  242,40

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-2-

AUGUSTINIANUM (LW)

Opgave 8: Stel x kaartjes van 10 euro en y kaartjes van 15 euro 10 x  15 y  4300 Opgave 9: Als je alleen 50 munten van 1 euro hebt, dan kom je 37 euro tekort, dus heb je 37 munten van 2 euro nodig en dus 13 munten van 1 euro Opgave 10: a.

b. c.

(2,1) (2,1)

Opgave 11:  5 x  4 y  8 a.   x  4 y  12  4 x  20 x  5 5  4 y  12 4 y  17 y  4 14

dus (5,4 14 ) b.

c.

  2 x  y  7   2 x  3 y  1   2y  8 y  4  2x  4  7  2 x  11 x  5 12 dus (5 12 ,4)  x  3 y  8   2 x  3 y  1   3 x  9 x3  3  3 y  8  3 y  5

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-3-

AUGUSTINIANUM (LW)

y  1 23 dus (3,1 23 ) Opgave 12: a. 5 x  y  23 dus nee b. x  7 y  9 dus nee Opgave 13: 3x  5 y  7 a.  2 x  y  0

b.

c.

1 5

 3x  5 y  7  10 x  5 y  0   7 x  7 x 1 3  5 y  7 5 y  10 y  2 dus (1,2) 2 x  4 y  6 1  4  3x  y  19  2 x  4 y  6  12 x  4 y  76   10 x  70 x7 14  4 y  6  4 y  8 y2 dus (7,2)

4 x  y  13 2  1  x  2y  1 8 x  2 y  26   x  2 y  1  9 x  27 x3 3  2y  1  2 y  2 y 1 dus (3,1)

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-4-

AUGUSTINIANUM (LW)

Opgave 14: 5 x  2 y  69 a.   x  3 y  7

1 5

 5 x  2 y  69  5 x  15 y  35   13 y  104 y  8 x  24  7 x  17 dus (17,8) b.

c.

2 x  5 y  19 4  5  5 x  4 y  35 8 x  20 y  76   25 x  20 y  175  33 x  99 x3 6  5 y  19  5 y  25 y5 dus (3,5)  0,8 x  0,2 y  1  0,3 x  0,3 y  1,5

3 2

2,4 x  0,6 y  3   0,6 x  0,6 y  3  3x  6 x2 1,6  0,2 y  1 0,2 y  0,6 y  3 dus (2,3) Opgave 15: a.

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-5-

AUGUSTINIANUM (LW)

b.

2 x  3 y  15 2  3  x  2y  1 4 x  6 y  30   3x  6 y  3  7 x  33 x  4 57 4 57  2 y  1  2 y  3 57 y  1 67 dus (4 75 ,1 76 )

Opgave 16: 3x  2 y  12   x  4 y  38

2 1

6 x  4 y  24   x  4 y  38  7 x  14 x2 2  4 y  38 4 y  36 y9 dus (2,9) Opgave 17: 2 x  3 y  12   y  4 x  10 2 x  3(4 x  10)  12 2 x  12 x  30  12 14 x  42 x3 y  4  3  10  2 dus (3,2) Opgave 18: 2 x  2 y  9 a.   y  4x  3 2 x  2(4 x  3)  9 2x  8x  6  9 10 x  15 x  1 12 y  4  1 12  3  3 dus (1 12 ,3)

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-6-

AUGUSTINIANUM (LW)

b.

 y  12 x  1  3x  6 y  8 3x  6  ( 12 x  1)  8 3x  3x  6  8 6x  2 x  13 y  12  13  1  1 16 dus ( 13 ,1 16 )

c.

 x  5y  3  3x  4 y  29 3  (5 y  3)  4 y  29 15 y  9  4 y  29 19 y  38 y2 x  5 2  3  7 dus (7,2)

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-7-

AUGUSTINIANUM (LW)

5.2 Vergelijkingen gebruiken Opgave 19: a. voor x  3 geldt: y  5  3  7  8 b. x  2 en y  6 geeft: 2a  b  6 c.  a  b  4 Opgave 20:  a  c  8  4a  c  17   3a  9 a3 c5

Opgave 21: 2 a  b  8  2  2b  a  8  1 4a  2b  16  a  2b  8  3a  8 a  2 23 5 13  b  8 b  2 23 Opgave 22: 4  2 p  q  1 a.   4 p  q  1 4  6 p  2 6 p  6 p  1  4  q  1 q 3 q  3

b.

x 2  x  3  2 x  3 x2  x  6  0 ( x  3)( x  2)  0 x  3  x  2 y9 y  1 dus (3,9)

Opgave 23: door (0,4) dus c  4

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-8-

AUGUSTINIANUM (LW)

4a  2b  4  10  3  2  9a  3b  4  5 12a  6b  12  30  18a  6b  8  10  30a  20  40 30a  60 a  2  8  2b  4  10  2b  6 b3 Opgave 24: a. b. DP  AD  AP  20  5  15 c. d. e.

f. g.

AD  15 2  5 2  200  14,1 DP  20  8  12 AD  12 2  8 2  80  8,9 DP  AD  AP  20  x AD  AP  x AD 2  AP 2  DP 2 x 2  x 2  (20  x) 2

 y1  2 x 2 2  y 2  (20  x)  AP  8,3 cm

de optie intersect geeft: x  8,3

Opgave 25: a. PQ  AB  2  rand  8  2 x b. PS  6  2 x c. Opp ( PQRS )  (8  2 x)(6  2 x) d. (8  2 x)(6  2 x)  30

y1  (8  2 x)(6  2 x)   y 2  30  dus x  72 cm

de optie intersect geeft: x  0,72 

x  6,28 (vervalt)

Opgave 26: Opp ( PQRS )  25 dus PQ  5 neem BP  x dan BQ  7  x in BPQ geldt: BP 2  BQ 2  PQ 2 x 2  (7  x) 2  25

y1  x 2  (7  x) 2   de optie intersect geeft: x  3  y 2  25  dus AP  3  AP  4

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-9-

x4

AUGUSTINIANUM (LW)

Opgave 27: als AN  x dan AB  2 x NP  2  AB  2  2 x  4 x MN  NP  MP  4 x  6 AN 2  MN 2  AM 2 (4 x  6) 2  x 2  36

y1  (4 x  6) 2  x 2 y 2  36 AB  2 x  5,65

  

de optie intersect geeft: x  0 

x  2,82

Opgave 28: Opp  5  4  12  9  5  12  4  3  36 12 Opp(CPQH )  36 12  5  4 stel CR  x dan geldt: x PR  3 4 4x 4 PR   3x 3 Opp(CPQS )  12  x  (5  2  43 x  5)  12 x(10  83 x)  16 12

y1  12 x(10  83 x) y 2  16 12

  de optie intersect geeft: x  2,1  dus de waterhoogte is: 4  2,1  6,1 dm

GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H5 §2

- 10 -

AUGUSTINIANUM (LW)

5.3 Wiskundige modellen opstellen Opgave 29: a. x  20 en h  0 geeft 400a  20b  0 b. xtop  10 100a  10b  8 400a  20b  0  1 c.  100a  10b  8  2 400a  20b  0   200a  20b  16  200a  16 a  0,08  8  10b  8 10b  16 b  1,6 Opgave 30: 125a  5b  200  285  512a  8b  200  648

8 5

1000a  40b  1600  2280  2560a  40b  1000  3240   1560a  600  960  1560a  1560 a 1 125  5b  200  285 5b  40 b  8 Opgave 31: 6,25a  2,5b  60000  40000   25a  5b  60000  25000

2 1

12,5a  5b  120000  80000   25a  5b  60000  25000  12,5a  60000  55000  12,5a  5000 a  400 10000  5b  60000  25000 5b  45000 b  9000

GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H5 §3

- 11 -

AUGUSTINIANUM (LW)

Opgave 32: 400a  20b  2200  80  625a  25b  2200  89,5

5 4

2000a  100b  11000  400  2500a  100b  8800  358   500a  2200  42  500a  2242 a  4,484  1793,6  20b  2200  80 20b  4073,6 b  203,68 Opgave 33: 400a  20b  7,2   900a  30b  9

3 2

1200a  60b  21,6   1800a  60b  18   600a  3,6 a  0,006  2,4  20b  7,2 20b  9,6 b  0,48 Opgave 34: h 2,4 a.  9 21 h  1,03 dus h  1 voor x  12 anders komt de bal in het net als h  0 voor x  21 dan is de bal uit 144a  12b  2,4  1,104  5 b.  3  400a  20b  2,4  0 720a  60b  12  5,52  1200a  60b  7,2  0   480a  4,8  5,52  480a  0,72 a  0,0015  0,6  20b  2,4  0 20b  1,8 b  0,09 Opgave 35: a. I  2 x  x  h  2 x 2 h

GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H5 §3

- 12 -

AUGUSTINIANUM (LW)

b.

c.

voor x  2 geldt: 2  2 2  h  40 8h  40 h  5 dm M  2  2 x  h  2  x  h  2 x  x  6 xh  2 x 2 M  6  2  5  2  2 2  68 dm² 2  4 2  h  40 32h  40 h  1,25 M  6  4  1,25  2  4 2  62 dm² M  6 xh  2 x 2

Opgave 36: onderkant: K  0,4  2 x  x  0,8 x 2 voorkant: K  0,2  2 x  h  0,4 xh rechterkant: K  0,2  x  h  0,2 xh K tot  0,8 x 2  2  0,4 xh  2  0,2 xh  0,8 x 2  1,2 xh I  2 x  x  h  2 x 2 h  72 72 36 h 2  2 2x x 36 43,2 K tot  0,8 x 2  1,2 x   0,8 x 2  x x

Opgave 37: I  x  x  h  16 16 h 2 x Opp  x 2  4 xh  x 2  4 x 

16 64  x2  2 x x

Opgave 38: Opp  xy  75 75 y x K  10 x  20 y  20 x  20 y  30 x  40 y  75 3000 30 x  40   30 x  x x Opgave 39: Opp  xy  1200 1200 y x K  15 y  15 x  60 y  15 x  75 y  15 x  75 

1200 90000  15 x  x x

GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H5 §3

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AUGUSTINIANUM (LW)

Opgave 40: I   r 2 h  100 100 h  r2 Opp  2 r 2  2 rh  2 r 2  2 r 

GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H5 §3

100 200  2 r 2  2 r r

- 14 -

AUGUSTINIANUM (LW)

5.4 Werken met wiskundige modellen Opgave 41: x  5 geeft h  3 x  25 geeft h  0  25a  5b  3 5  625a  25b  0  1  125a  25b  15  625a  25b  0   500a  15 a  0,03  0,75  5b  3 5b  3,75 b  0,75 h  0,03x 2  0,75 x h(12,5)  4,69 m Opgave 42:  9a  b  25,4 a.  25a  b  35 

b. c.

 16a  9,6 a  0,6 5,4  b  25,4 b  20 x  0,6t 2  20 x(0)  20 dus 20 cm

0,6t 2  20  80 0,6t 2  60 t 2  100 t  10 y1  0,6 x 2  20

 dy

dx x  10

 12 cm s

Opgave 43: a. h(200)  0 h(200)  a  (200  p ) 2  0 a  (200  p ) 2  0 (200  p ) 2  0 p  200 h(0)  a  (0  200) 2  50 40000a  50 a  0,00125

GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H5 §4

- 15 -

AUGUSTINIANUM (LW)

b.

0,00125(t  200) 2  25

c.

y1  0,00125(t  200) 2   y 2  25  dus na 58,6 sec 0,00125(t  200) 2  40

de optie intersect geeft: x  58,6

y1  0,00125(t  200) 2   y 2  40 

 

dy dx x  21,1

 0,45 cm s

Opgave 44:  8a  4b  80 a.  1000a  100b  1200

b. c.

d.

de optie intersect geeft: x  21,1

 25 1

 200a  100b  2000  1000a  100b  1200   800a  800 a  1  8  4b  80 4b  88 b  22 y1   x 3  22x 2 optie maximium geeft: x  14,7  y  1577 dus op 16 september is het maximale aantal 1577 y1   x 3  22 x 2   optie intersect geeft: x  12,7  x  16,5 y 2  1500  dus gedurende 3,8 dagen dy dx x  20  320

 

Opgave 45: 0,125a  0,25b  25  75  93 a.   8a  4b  100  75  87

b.

c.

 16 1

 2a  4b  1600  1488   8a  4b  175  87  6a  1425  1401  6a  24 a4 32  4b  175  87 4b  120 b  30 y1  4 x 3  30 x 2  50 x  75 de optie minimum geeft: x  1,06 dus na 63 minuten y1  4 x 3  30 x 2  50 x  75  intersect geeft: x  0,597  x  1,572 y 2  95 

GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H5 §4

- 16 -

AUGUSTINIANUM (LW)

dus gedurende 60  (1,572  0,597)  59 minuten d.

y1  4 x 3  30 x 2  50 x  75  intersect geeft: x  2,70 y 2  70 

 

dy dx x  2 , 70

 24,5 C uur

Opgave 46:  1000a  100b  13  10  17 a.  8000a  400b  26  10  24

b. c. d.

4 1

 4000a  400b  12  68  8000a  400b  16  24   4000a  4  44  4000a  40 a  0,01  10  100b  3  17 100b  30 b  0,3 y1  0,01x 3  0,3x 2  1,3 x  10 de optie maximum geeft: x  17,53  dus maximaal 25,5 C om 17.31 uur

   

dy dx x 12 dy dx x  22

y  25,5

 1,58 C uur  2,62 C uur

Opgave 47: a. I  1,5 x  x  h  48 32 h 2 x Opp(onderkant )  1,5 x  x  1,5 x 2 Opp ( zijkanten)  2  1,5 x  h  2  x  h  5 xh  5 x  K  0,25  1,5 x 2  0,15 

b.

32 160  x x2

160 24  0,375 x 2  x x

24 de optie minimum geeft: x  3,2 x 32 dus 1,5 x  4,8 en h   3,2 3,2 2 dus de afmetingen zijn 48 bij 32 bij 32 cm y1  0,375 x 2 

Opgave 48: Opp  xy  1500 1500 y x K  15 x  15 y  15 x  25 y  30 x  40 y  1500 60000 30 x  40   30 x  x x GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H5 §4

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AUGUSTINIANUM (LW)

60000 1500 de optie minimum geeft: x  44,7 dus y   33,5 x 44,7 Dus de afmetingen zijn 44,7 m bij 33,5 m y1  30 x 

Opgave 49: Opp  xy  2400 2400 y x 2400 96000  125 x  x x 96000 2400 y1  125 x  de optie minimum geeft x  27,7 dus y   86,6 x 27,7 Dus de afmetingen zijn 86,6 m bij 27,7 m K  2 x  40  y  40  3 x  15  125 x  40 y  125 x  40 

Opgave 50: a. I   r 2 h  500 500 h  r2

b.

K   r 2  1  2 r h  1  2 r  2   r 2  2  3 r 2  4 r  2 r h  500 3 r 2  4 r  2 r    r2 1000 3 r 2  4 r  r 1000 y1  3 x 2  4 x  de optie minimum geeft: x  3,5 x 500 dus r  3,5 cm en h   12,6 cm   3,5 2

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AUGUSTINIANUM (LW)

5.5 Diagnostische toets Opgave 1: a. x  0 geeft: 3 y  17 y  5 23 y  0 geeft: 5 x  17 x  3 25 b. punt A: 5  25  3  36  17 dus wel punt B: 5  60  3  105  15 dus niet punt C: 5  83  3  144  17 dus wel c.  280  3q  17 3q  263 q  87 23 Opgave 2:  2 x  5 y  9 a.  3x  5 y  24  5 x  15 x5 6  5 y  9  5 y  15 y3 b.

c.

d.

4 x  2 y  4  4 x  7 y  40  9 y  36 y  4 4x  8  4 4 x  12 x3  4 x  5 y  27 1   2 x  3 y  25  2  4 x  5 y  27   4 x  6 y  50  11 y  77 y7 4 x  35  27 4 x  8 x  2  6 x  3 y  19 2   4 x  6 y  14  1  12 x  6 y  38   4 x  6 y  14 

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AUGUSTINIANUM (LW)

16 x  24 x  1 12 9  3 y  19  3 y  10 y  3 13

Opgave 3: 5 x  6 y  27   15 x  8 y  10

3 1

 15 x  18 y  81   15 x  8 y  10  26 y  91 y  3 12 5 x  21  27 5 x  6 x  1 15 dus S  (1 15 ,3 12 ) Opgave 4: 5 x  3 y  3 a.  2 y  3 x4

b.

5 x  3( 23 x  4)  3 5 x  2 x  12  3 3 x  9 x  3 y  6  x  1,4 y  3   5 x  6 y  8  5(1,4 y  3)  6 y  8  7 y  15  6 y  8  y  7 y7 x  6,8

Opgave 5: 9a  15  c  6   a  5  c  2  8a  20  4 8a  24 a  3  3  5  c  2 c6

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AUGUSTINIANUM (LW)

Opgave 6:   a  b  4  5a  b  8 

 p  4  4  25 p  q  8   24 p  12 p   12  12  q  4 q  4 12

 6a  12 a  2 2b  4 b2

Opgave 7: x 2  (2 x) 2  4 2 x 2  4 x 2  16 5 x 2  16 x 2  3,2

x  3,2 l  4 x  4 3,2  7,2 cm b  2 x  2 3,2  3,6 cm Opgave 8:  125a  5b  1400  1250  1000a  10b  1400  2600

2 1

 250a  10b  2800  2500  1000a  10b  1400  2600   750a  1400  100  750a  1500 a2 2000  10b  1400  2600 10b  800 b  80 Opgave 9: 3 l  3000 cm 3 I  3 x  x  h  3000 h

3000 1000  2 3x 2 x

Opp  3 x  x  2  3 x  h  2  x  h  3 x 2  8 xh  3 x 2  8 x 

Opgave 10:  a  b  1  1,16 a.  8a  4b  2  2,48

1000 8000  3x 2  2 x x

4 1

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AUGUSTINIANUM (LW)

b.

 4a  4b  4  4,64  8a  4b  2  2,48   4a  2  2,16  4a  0,16 a  0,04  0,04  b  1  1,16 b  0,2 y1  0,04 x 3  0,2 x 2  x

 

dy dx x 3

c.

 1,12

de optie minimum geeft x  5 dus na 5 maanden

Opgave 11: a. Opp  xy  1200 1200 y x l  4x  y  4x 

1200 x

1200 1200 de optie minimum geeft x  17,3 dus y   69,3 x 17,3 Dus de afmetingen zijn 17,3 m bij 69,3 m K  60(2 x  y )  20  2 x  120 x  60 y  40 x  160 x  60 y 1200  160 x  60  x 72000  160 x  x 72000 1200 y1  160 x  de optie minimum geeft: x  21,2 dus y   56,6 x 21,2 Dus de afmetingen zijn 21,2 m bij 56,6 m y1  4 x 

b.

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