Opgave 1: Iteratiediagram Tot nu toe hebben we de logistische afbeelding beschouwd als een “black box”, met alleen maar een knop erop (de r-knop).We gaan in deze werkcollege-opgaven eens onder de kap van de logistische afbeelding kijken. De afbeelding van de logistische afbeelding wordt gegeven door: xt+1 = (r + 1) · xt · (1 − xt ). Een voorbeeld van de toepassing hiervan: als x1 gelijk is aan 0.14, en r vastgesteld is op 1.5, dan kunnen we aan x2 komen door uit te rekenen: x2 = (1.5 + 1) · 0.14 · (1 − 0.14) = 2.5 · 0.14 · 0.86 = 0.30. Deze waarde kunnen we ook met een grafiek bepalen. In de figuur op tekenblad staan horizontaal alle mogelijke waarden voor xt . De dikke lijn bepaalt nu wat xt+1 is als xt gegeven is. In de figuur is al aangegeven dat uit xt = 0.14 volgt dat xt+1 = 0.30 (punt 1). We kunnen nu deze 0.30 weer invullen in de afbeelding om te zien wat er gebeurt voor xt+2 . We vullen nu deze 0.30 weer in als waarde op de horizontale as. Hiertoe hebben we een horizontale lijn getrokken van punt 1 naar de diagonaal. • Ga na dat het punt op de diagonaal inderdaad als x-coordinaat 0.30 heeft. ¨ Nu we deze nieuwe xt+1 = 0.30 hebben ingevuld op de horizontale as, kunnen we de volgende waarde voor x aflezen in de grafiek. Daartoe gaan we weer, verticaal, naar de dikke grafiek, en bepalen zo xt+2 (punt 2). • Bepaal de waarde van xt+2 (lees deze af op de verticale as) en vul deze in in de tabel. • Bepaal zelf op deze manier de waarde van x3 . Dat wil zeggen, trek vanaf punt 2 een horizontale lijn naar de diagonaal, en vanaf daar een verticale lijn naar de dikgedrukte lijn van de grafiek. Zet bij het gevonden punt een 3. • Ga vanaf punt 3, via dezelfde procedure een paar stappen verder om punt 4, 5, en 6 te vinden. • Vul de x-waarden, de geschaalde konijnenpopulatie, in in de tabel op de volgende bladzijde(de waarden voor x1 en x2 zijn al ingevuld). • Wat verwacht u voor de waarde van x7 ? En voor x100 ? • Vergelijk uw antwoord met dat van uw buurman of -vrouw.
Opgave 1* (voor gevorderden, mag eerst overgeslagen worden) Bij deze r gaat de populatie kennelijk naar een stabiele waarde. Dan verandert de populatie niet meer, dus er zal gelden: xt+1 = xt . Laten we deze stabiele populatie p noemen. • Teken punt p in de grafiek op het tekenvel. Wat is de waarde van p ongeveer? Uit het model weten we dat xt+1 = (1 + 1.5) · xt · (1 − xt ). Als we hierin invullen dat xt+1 en xt allebei p zijn, dan krijgen we een vergelijking waaruit we p kunnen oplossen: p = 2.5 · p · (1 − p).
• Ga na dat deze vergelijking waar is voor p = 0. • Er is nog een andere oplossing voor p. Deze is niet gelijk aan nul, dus we mogen links en rechts delen door p. Doe dit. • Los de overgebleven vergelijking op voor p (hint: deel eerst links en rechts door 2.5). • Klopt het antwoord met de grafiek? x1 x2 x3 x4 x5 x6
0.14 0.30
Opgave 2: Iteratiediagram De procedure hieronder komt overeen met die van opgave 1. Het volgende punt kan steeds worden gevonden door van het vorige punt een horizontale lijn naar de diagonaal te trekken, en van daar verticaal naar de grafiek. Het enige verschil met opgave 1 is dat we nu een andere groeifactor r hebben, namelijk r = 2.40. • Wat betekent deze groeifactor voor het nageslacht van een konijn, als er genoeg voedsel is? • Bepaal de waarde van x1 en vul deze in in de tabel. • Trek een horizontale lijn van punt 1 naar de diagonaal, en van daar weer omlaag naar de dikgedrukte grafiek. Het nu gevonden punt is x2 (schrijf er een 2 bij). • Lees de waarde voor x2 af op de verticale as, en vul deze waarde in in de tabel. • Bepaal op deze manier ook de waarden van x3 , x4 , x5 , en x6 , en vul ze in in de tabel. • Wat verwacht u voor de waarde van x7 ? • Wat verwacht u voor de waarde van x8 ? • Wat verwacht u voor de waarde van x100 ? • Vergelijk uw antwoord met dat van uw buurman of -vrouw. x1 x2 x3 x4 x5 x6
Opgave 3: Iteratiediagram Zie voor de procedures weer opgave 1. Het volgende punt kan steeds worden gevonden door van het vorige punt een horizontale lijn naar de diagonaal te trekken, en van daar verticaal naar de grafiek. We nemen de groeifactor nu eens lekker groot, namelijk r = 3 (het blijven konijnen, nietwaar). • Hoeveel nageslacht zullen twee konijnen in een jaar produceren, als er een overvloed aan voedsel is? • Lees op het tekenblad de waarde van x1 af en vul deze in in de tabel. • Bepaal door de inmiddels bekende constructie de waarde van x2 tot en met x9 (het is hier erg belangrijk om heel secuur te werken!). • Wat verwacht u voor de waarde van x10 ? En voor x100 ? • Vergelijk uw antwoorden met die van uw buurman of -vrouw. • Geef de door u gevonden waarde voor x9 door aan een van de begeleiders. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
Opgave 4: Het bifurcatiediagram In de figuur op het tekenblad staat het bifurcatiediagram afgebeeld dat bij de logistische afbeelding hoort. Horizontaal staan uitgezet de reproductiefactor r, verticaal de (genormaliseerde) konijnenpopulatie die uiteindelijk bij deze waarde voor r ontstaat. • Waarop stabiliseert de (genormaliseerde) populatie zich als we de reproductiefactor 1.9 nemen? Uit waarnemingen van biologen hebben we vastgesteld dat de reproductiefactor 2.3 bedraagt. • Wat zegt dit over de voortplantingssnelheid van twee konijntjes, als er genoeg voedsel is? • Teken in de figuur een verticale lijn bij deze waarde van r. In het jaar 2005 wordt de genormaliseerde konijnenpopulatie x2005 = 0.83 gemeten. • Wat voorspelt het model voor de genormaliseerde populatie in 2006? • En wat is de populatie in 2007 volgens het model? In opgaven 2 hebben we ook een specifieke waarde voor r gekozen. • Teken bij deze r-waarde een verticale waarde in het bifurcatiediagram. • Lees in het bifucatiediagram de waarden af die voorkomen bij deze waarde van r. • Vergelijk deze waarden met de waarden in de tabel van opgave 2. Uit de theorie blijkt dat er voor elk getal k een k-baan te vinden is (bij een k-baan springt de populatie heen en weer tussen k verschillende waarden). Zo zijn er 2-banen van r = 2.0 tot r = 2.45, en 4-banen van r = 2.45 tot r = 2.54. • Probeer ook een driebaan, een zesbaan en een achtbaan te ontdekken in het diagram. • Neem het bifurcatiediagram mee naar huis en hang het boven uw bed.
Tekenblad voor opgave 1
r = 1.50
1. 0.9 0.8 0.7 0.6
2
xt+1
0.5 0.4
1 0.3 0.2 0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
xt
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
Tekenblad voor opgave 2
r = 2.40
1. 0.9
1
0.8 0.7 0.6
xt+1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
xt
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
Tekenblad voor opgave 3
r = 3.00
1. 0.9 0.8 0.7
1
0.6
xt+1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
xt
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
Tekenblad voor opgave 4
