Spojitost funkce ˇ unkov´a, 11. ledna 2015 Martina Sim˚ Uˇcebn´ı text k pˇredmˇetu Matematick´a anal´yza pro studenty FP TUL
1
Spojitost a nepˇ r´ım´ e mˇ eˇ ren´ı
Pˇredstavme si situaci, ˇze m´ame k dispozici pˇr´ıstroj, kter´y n´am umoˇzn´ı zmˇeˇrit veliˇcinu x s libovolnˇe malou nepˇresnost´ı δ. N´as pˇritom nezaj´ım´a veliˇcina x, ale veliˇcina y sv´azan´a s veliˇcinou x funkc´ı f : y = f (x) a chceme z´ıskat veliˇcinu y s odchylkou nepˇrevyˇsuj´ıc´ı zadan´e ˇc´ıslo ε > 0. Naˇs´ım u ´ kolem pak je nastavit vhodnˇe δ, zmˇeˇrit x a vypoˇc´ıst y = f (x). Rozeberme si, co znamenaj´ı v´yˇse uveden´e obraty zmˇeˇrit veliˇcinu x s libovolnˇe malou ” nepˇresnost´ı δ“, chceme z´ıskat veliˇcinu y s odchylkou nepˇrevyˇsuj´ıc´ı zadan´e ˇc´ıslo ε > 0“. ” Oznaˇc´ıme-li n´am nezn´amou pˇresnou hodnotu x¯, tak po volbˇe δ > 0 n´am pˇr´ıstroj vyd´a namˇeˇrenou hodnotu xˆ o kter´e v´ıme xˆ ∈ (¯ x − δ, x¯ + δ). (1) My hodnotu xˆ dosad´ıme do funkce f a vypoˇcteme hodnotu yˆ = f (ˆ x). Ta se bude liˇsit od pˇresn´e hodnoty y¯ = f (¯ x) o |ˆ y − y¯| a my chceme, aby platilo |ˆ y − y¯| < ε.
(2)
Nejdˇr´ıve si uvˇedomme, ˇze (1) m˚ uˇzeme zapsat jako |ˆ x − x¯| < δ
nebo jako
x¯ ∈ (ˆ x − δ, xˆ + δ).
a (2) jako yˆ ∈ (¯ y − ε, y¯ + ε)
nebo jako
y¯ ∈ (ˆ y − ε, yˆ + ε).
´ eˇsnost mˇeˇren´ı z´aleˇz´ı na tom, zda pro zadan´e ε > 0 je moˇzn´e zvolit δ > 0 takov´e, ˇze pro Uspˇ (vˇsechna) x plat´ı implikace x ∈ (¯ x − δ, x¯ + δ) ⇒ f (x) ∈ (f (¯ x) − ε, f (¯ x) + ε). Funkci f , kter´a toto umoˇzn ˇ uje pro libovolnˇe mal´e ε > 0 naz´yv´ame spojitou v bodˇe x¯. Form´ aln´ı definice: Funkci f nazveme spojitou v bodˇe x¯, pokud ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (¯ x − δ, x¯ + δ) : f (x) ∈ (f (¯ x) − ε, f (¯ x) + ε).
2
(3)
Spojitost a aproximace funkce konstantn´ı funkc´ı
Dalˇs´ı n´ahled na spojitost je pˇres aproximaci funkce f konstantn´ı funkc´ı na okol´ı bodu x0 a pˇres ot´azku nepˇresnosti spojen´e s touto aproximac´ı. Definujme nejprve δ-okol´ı bodu x0 jako interval (x0 − δ, x0 + δ). Toto okol´ı budeme znaˇcit symbolem Uδ (x0 ) nebo symbolem U(x0 , δ). Pokud pro n´as hodnota δ nebude podstatn´a, budeme mluvit o okol´ı bodu x0 a znaˇcit jej U(x0 ). Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze nˇekdy (v nˇekter´e literatuˇre) se pod okol´ım bodu x0 rozum´ı kaˇzd´y otevˇren´y interval obsahuj´ıc´ı bod x0 nebo dokonce kaˇzd´a mnoˇzina, kter´a je nadmnoˇzinou intervalu (x0 − δ, x0 + δ) pro nˇejak´e kladn´e δ. 1
Pokud budeme pracovat se dvˇema okol´ımi bodu x0 a nebudeme cht´ıt oznaˇcovat jejich rozmˇery, oznaˇc´ıme okol´ı U(x0 ) a V(x0 ) pˇr´ıpadnˇe pomoc´ı index˚ u U1 (x0 ), U2 (x0 ) . . . . Nahrad’me (tj. aproximujme) na δ-okol´ı bodu x0 funkci f konstantou f (x0 ) a ptejme se, jak´e nepˇresnosti jsme se t´ımto nahrazen´ım dopustili. V bodˇe x ∈ Uδ (x0 ) jsme se dopustili nepˇresnosti |f (x) − f (x0 )|. Zad´a-li n´am nˇekdo ε > 0 a poˇzaduje, abychom se aproximac´ı dopustili nepˇresnosti nepˇresahuj´ıc´ı ε, je opˇet ot´azka existence takov´e aproximace ot´azkou existence δ > 0 splˇ nuj´ıc´ıho ∀x ∈ Uδ (x0 ) : f (x) ∈ Uε (f (x0 )). Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze (3) m˚ uˇzeme pomoc´ı pojmu okol´ı pˇrepsat na ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ (¯ x) : f (x) ∈ Uε (f (¯ x)) ,
(4)
Pomoc´ı obrazu intervalu ve funkci f lze d´ale napsat (4) jako ∀ε > 0 ∃δ > 0 : f (Uδ (¯ x)) ⊆ Uε (f (¯ x)) .
(5)
Je dobr´e si uvˇedomit, ˇze v (5) nejsou podstatn´e rozmˇery“ δ, ε ale okol´ı a kvantifik´atory. ” Pak lze (5) napsat jako ∀U(f (¯ x)) ∃ U(¯ x) : f (U(¯ x)) ⊆ U (f (¯ x)) . (6)
3
Z´ akladn´ı poznatky o spojitosti
Shrneme z´akladn´ı definice a poznatky a budeme se odkazovat na text Jiˇr´ıho Vesel´eho: Z´aklady matematick´e anal´yzy [JV]. Definice 4.2.1 spojitosti funkce v bodˇ e [JV]. Pozn´ amky 4.2.2 a 4.2.3 ke spojitosti funkce v bodˇ e [JV]. Lemma 4.2.4 o lok´ aln´ı omezenosti spojit´ e funkce [JV]. Lemma o lok´ aln´ı kladnosti a lok´ aln´ı omezenosti pˇ revr´ acen´ e hodnoty. Necht’ je funkce f spojit´a v bodˇe x0 ∈ R a necht’ m´a v x0 kladnou hodnotu. Potom existuje takov´e okol´ı U(x0 ), na kter´em f nab´yv´a kladn´ych hodnot a funkce g = 1/f je na tomto okol´ı omezen´a. D˚ ukaz: V definici spojitosti zvol´ıme ε =
f (x0 ) . 2
Pak je 0) U(f (x0 ), ε) = f (x2 0 ) , 3f (x 2
a na odpov´ıdaj´ıc´ım δ-okol´ı je f (x) > f (x2 0 ) (> 0) a hledan´e okol´ı. (Nakreslete si obr´azek!)
2 3f (x0 )
< g(x) <
2 . f (x0 )
Lze jej tedy zvolit jako
Pozn´ amka: Obdobn´e lemma plat´ı i pro pˇr´ıpad funkce spojit´e a z´aporn´e v bodˇe x0 . Rozmyslete si podrobnˇe a naˇcrtnˇete si obr´azek! Pˇ r´ıklad 4.2.5 o spojitosti konstantn´ı funkce a identity [JV]. Lemma 4.2.10 o spojitosti souˇ ctu a rozd´ılu spojit´ ych funkc´ı [JV]. Definice 4.2.19 spojitosti funkce v otevˇ ren´ em intervalu [JV]. 2
4
Graf funkce a spojitost
V t´eto kapitole zhodnot´ıme intuitivn´ı pˇredstavu, kter´a ˇr´ık´a, ˇze spojit´a je takov´a funkce, jej´ıˇz graf nakresl´ıme jedn´ım tahem. Uk´aˇzeme, ˇze tato pˇredstava nen´ı pˇresn´a.
4.1
Nespojitost typu skoku
Nejdˇr´ıve uved’me tˇr´ıdu nespojit´ych funkc´ı, kterou naˇse pˇredstava charakterizuje dobˇre. Je to tˇr´ıda, kterou budeme pozdˇeji, aˇz zavedeme pojem limity, naz´yvat nespojitost´ı typu skoku. Uvaˇzujme funkci a jej´ı graf ✻
f (x) =
x pro x ≤ 1 3 − x pro x > 1
❞ ❅ t ❅ ❅ ❅ ❅✲ ❅
K uk´az´an´ı, ˇze funkce f nen´ı spojit´a v bodˇe x = 1, staˇc´ı zvolit ε = 0.5. ✻
f (1) + ε f (1) − ε
❞ ❅ t ❅ ❅ ❅ ❅✲ ❅
Zvol´ıme-li libovolnˇe mal´e δ > 0, obsahuje mnoˇzina f (U(1, δ)) hodnoty z intervalu (2 − δ, 2), a tedy f (U(1, δ)) 6⊆ U(f (1), 0.5).
1+δ
4.2
Spojit´ a funkce, jej´ıˇ z graf nenakresl´ıte jedn´ım tahem
Uvaˇzujme funkci f a jej´ı graf ✻
f (x) =
x sin x1 pro x 6= 0 0 pro x = 0
✲
Jej´ı hodnoty v okol´ı bodu x = 0 osciluj´ı mezi x a −x a funkce se v libovolnˇe mal´em okol´ı nuly zmˇen´ı nekoneˇcnˇekr´at z rostouc´ı na klesaj´ıc´ı. Ukaˇzme, ˇze f je spojit´a v poˇc´atku. Zvolme δ = ε a x ∈ U(0, δ). Pak je |f (x) − f (0)| = |x sin x1 | ≤ |x| < δ = ε, a tedy f (x) ∈ U(f (0), ε).
5
Pomocn´ a tvrzen´ı
D˚ ukazy n´asleduj´ıc´ıch tvrzen´ı si proved’te jako cviˇcen´ı
3
1. ∀x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x| N´avod: nen´ı nutn´y pro toho, kdo v´ı, jak se odstraˇ nuje absolutn´ı hodnota. Staˇc´ı uvaˇzovat zvl´aˇst’ x ≥ 0 a x < 0. 2. ∀x ∈ R : |x| = | − x| Tady snad n´avod nen´ı nutn´y. 3. ∀x ∈ R : |x| = max{x, −x} N´avod: Uvaˇzujte postupnˇe x ≥ 0 a x < 0. 4. ∀a, b, c ∈ R : [(a ≤ c) ∧ (b ≤ c)] ⇒ max{a, b} ≤ c N´avod: Jak´e hodnoty m˚ uˇze nab´yvat max{a, b}? 5. ∀x, y ∈ R : |x + y| ≤ |x| + |y| N´avod: k odstranˇen´ı absolutn´ıch hodnot rozdˇelte rovinu xy pˇr´ımkami x = 0, y = 0, x + y = 0 a v kaˇzd´e ˇc´asti odstraˇ nte absolutn´ı hodnoty ve v´yrazech na lev´e i prav´e stranˇe a ukaˇzte, ˇze na pˇr´ısluˇsn´e ˇc´asti roviny nerovnost plat´ı. Alternativa: staˇc´ı uvaˇzovat pouze ˇc´asti v polorovinˇe x + y ≥ 0 a pro ostatn´ı dosadit do nerovnosti −x za x a −y za y a pouˇz´ıt 2. Dalˇs´ı alternativa: pouˇzijte druhou nerovnost z 1. pro x i y, tyto nerovnosti seˇctˇete a dostanete platnost 5. na polorovinˇe x + y ≥ 0. 6. ∀x, y ∈ R : ||x| − |y|| ≤ |x + y| N´avod: m˚ uˇzete postupovat obdobnˇe jako v 5., nebo m˚ uˇzete pouˇz´ıt 5.: |(x + y) + (−y)| ≤ |x + y| + | − y|, odkud po u ´ pravˇe dostanete |x| − |y| ≤ |x + y|. Podobnˇe nebo argumentem o symetrii dostanete |y| − |x| ≤ |x + y| a pouˇzijete 3., 4. 7. ∀x, y ∈ R : |x − y| ≤ |x| + |y| N´avod: v 5. zamˇen ˇ te y za −y a pouˇzijte 2. 8. ∀x, y ∈ R : ||x| − |y|| ≤ |x − y| N´avod: pˇreˇctˇete si n´avod k 7. 4
9. N´avod pro 9. – 11.: vhodnˇe pouˇzijte 5. ∀f (x), g(x), f (x0 ), g(x0 ) ∈ R : |(f (x) + g(x)) − (f (x0 ) + g(x0 ))| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |g(x) − g(x0 )| 10. ∀f (x), g(x), f (x0 ), g(x0) ∈ R : |(f (x) − g(x)) − (f (x0 ) − g(x0 ))| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |g(x) − g(x0 )| 11. ∀f (x), g(x), f (x0), g(x0 ) ∈ R : |f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 )| ≤ |g(x)||f (x) − f (x0 )| + |f (x0 )||g(x) − g(x0 )| N´avod: nejdˇr´ıve uvaˇzte, ˇze f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 ) = g(x) (f (x) − f (x0 )) + f (x0 ) (g(x) − g(x0 )) 12.
1 1 |f (x) − f (x0 )| = − ∀f (x), f (x0 ) ∈ R \ {0} : f (x) f (x0 ) |f (x)||f (x0)|
13.
∀f (x), f (x0 ) ∈ R : ||f (x)| − |f (x0 )|| ≤ |f (x) − f (x0 )|
N´avod: pouˇzijte 6.
14. Pro zadan´e body x, x0 ∈ R a ˇc´ıslo δ > 0 jsou ekvivalentn´ı v´yroky: |x − x0 | < δ
x ∈ U(x0 , δ)
x0 ∈ U(x, δ)
N´avod: uvˇedomte si, ˇze absolutn´ı hodnota rozd´ılu dvou ˇc´ısel je vzd´alenost jejich obraz˚ u na ˇc´ıseln´e ose. 15. Podobnˇe jako v 14. jsou pro zadanou funkci f , body x, x0 ∈ Df a ˇc´ıslo ε > 0 ekvivalentn´ı v´yroky |f (x) − f (x0 )| < ε f (x) ∈ U(f (x0 ), ε) f (x0 ) ∈ U(f (x), ε) 16. Maj´ı-li vˇsechna x ∈ U(x0 , δ1 ) vlastnost 1 a vˇsechna x ∈ U(x0 , δ2 ) vlastnost 2,
pak maj´ı vˇsechna x ∈ U(x0 , min{δ1 , δ2 }) obˇe vlastnosti. Podobnˇe pro v´ıce vlastnost´ı. N´avod: uvˇedomte si, ˇze pro δa ≤ δb je U(x0 , δa ) ⊆ U(x0 , δb ). Nakreslete si obr´azek!
17. Plat´ı-li ∀x ∈ U(x0 , δ) : f (x) ∈ U(f (x0 ), ε)
pro nˇejakou dvojici δ > 0, ε > 0, pak plat´ı i pro dvojice δ1 , ε, kde δ1 ≤ δ a pro dvojice δ, ε1 , kde ε1 ≥ ε. Jin´ymi slovy: 17. nepˇrestane platit, pokud zmenˇs´ıme okol´ı bodu x0 nebo zvˇetˇs´ıme okol´ı bodu f (x0 ). N´avod: Nakreslete obr´azek. 5
18. V´yrok 17. lze ekvivalentnˇe vyj´adˇrit jako implikaci ∀x ∈ R : x ∈ U(x0 , δ) ⇒ f (x) ∈ U(f (x0 ), ε) 19. Pˇripomeˇ nme, ˇze mnoˇzinu M nazveme omezenou, pokud ∃K1 , K2 ∈ R ∀x ∈ M : K1 ≤ x ≤ K2 .
(7)
Ukaˇzte, ˇze (7) je ekvivalentn´ı s n´asleduj´ıc´ı podm´ınkou: ∃K ∈ R ∀x ∈ M : |x| ≤ K. 20. Pˇripomeˇ nme si, ˇze obraz mnoˇziny A v zobrazen´ı f je mnoˇzina hodnot f (x), kde x ∈ A. Symbolicky f (A) = {f (x) : x ∈ A} nebo t´eˇz f (A) = {y : (∃x ∈ A : y = f (x))}. Ukaˇzte, ˇze plat´ı: A ⊆ B ⇒ f (A) ⊆ f (B). 21. Sloˇzenou funkci znaˇc´ıme symbolem ◦: (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Stejn´e znaˇcen´ı pouˇz´ıv´ame i pro zobrazov´an´ı mnoˇzin, tedy (f ◦ g)(A) = f (g(A)).
6
Vˇ ety o spojitosti
Vˇ eta 4.2.13 [JV] Necht’ f , g jsou funkce spojit´e v bodˇe x0 ∈ R. Potom i f ± g, f · g, |f | jsou spojit´e v bodˇe x0 . Je-li g(x0 ) 6= 0, pak i f /g je spojit´a v bodˇe x0 . D˚ ukaz: Tvrzen´ı pro souˇcet a rozd´ıl je dok´az´ano v lemmatu 4.2.10 v kapitole 3. Abychom dok´azali tvrzen´ı pro souˇcin, je tˇreba pro ε > 0 uk´azat existenci okol´ı U(x0 ), na nˇemˇz je |f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 )| < ε,
(8)
pˇritom m´ame pro εˆ > 0 zaruˇcenu existenci okol´ı U1 (x0 ), pˇr´ıpadnˇe U2 (x0 ), na nichˇz je |f (x) − f (x0 )| < εˆ, pˇr´ıpadnˇe |g(x) − g(x0 )| < εˆ. Na funkci g pouˇzijeme lemma o lok´aln´ı omezenosti spojit´e funkce z kapitoly 3: existuje U3 (x0 ), na nˇemˇz je g omezen´a, tedy ∃K ∈ R ∀x ∈ U3 (x0 ) : |g(x)| ≤ K. D´ale pouˇzijeme vztah 11 z kapitoly 5: |f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 )| ≤ |g(x)||f (x) − f (x0 )| + |f (x0 )||g(x) − g(x0 )|, do nˇejˇz dosad´ıme v´yˇse uveden´e horn´ı odhady v´yraz˚ u |g(x)|, |f (x) − f (x0 )|, |g(x) − g(x0 )| a dostaneme vztah platn´y na pr˚ uniku tˇr´ı okol´ı U1 (x0 ), U2 (x0 ), U3 (x0 ): |f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 )| < K εˆ + |f (x0 )|ˆ ε. Nyn´ı staˇc´ı poloˇzit εˆ = ε/(K + |f (x0 )|) a konstatovat, ˇze na pr˚ uniku tˇrech okol´ı plat´ı (8). Kontroln´ı ot´azky: Je pr˚ unik tˇr´ı okol´ı okol´ım? Je εˆ > 0 ? Jak se vyrovn´ate s pˇr´ıpadem K + |f (x0 )| = 0 ? 6
D˚ ukaz pro pod´ıl: dok´aˇzeme spojitost funkce 1/g a pouˇzijeme pr´avˇe dok´azanou spojitost souˇcinu f · 1/g. Je tˇreba uk´azat pro ε > 0 existenci okol´ı U(x0 ), na nˇemˇz je 1 1 g(x) − g(x0 ) < ε.
Uprav´ıme
1 1 |g(x) − g(x0 )| g(x) − g(x0 ) = |g(x)||g(x0)| ,
pouˇzijeme spojitost funkce g v bodˇe x0 , tedy existenci okol´ı U1 (x0 ), na nˇemˇz plat´ı |g(x) − g(x0 )| < εˆ, omezenost 1/g na okol´ı U2 (x0 ) (lemma o lok´aln´ı kladnosti a lok´aln´ı omezenosti pˇrevr´acen´e hodnoty v kapitole 3) a dostaneme pro x z pr˚ uniku obou okol´ı 1 1 1 g(x) − g(x0 ) < εˆK |g(x0 )| . Nyn´ı staˇc´ı zvolit
ε|g(x0 )| K Formulujte a zodpovˇezte kontroln´ı ot´azky obdobn´e tˇem za d˚ ukazem spojitosti souˇcinu. εˆ =
D˚ ukaz spojitosti |f | je pˇr´ımoˇcar´y. Pouˇzijte 13. z kapitoly 5.
Pozn´ amka 4.2.14 o spojitosti polynomi´aln´ıch funkc´ı (tj. funkc´ı, jejichˇz funkˇcn´ı hodnota je d´ana mnohoˇclenem) [JV]. Pˇ r´ıklad 4.3.18 o spojitosti odmocniny [JV]. K d˚ ukazu pouˇzijeme vztah (identitu) an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + bn−1 ), kterou pˇrep´ıˇseme pro a, b > 0 na a−b=
an −bn . an−1 +an−2 b+an−3 b2 +···+bn−1
(9)
Necht’ je d´an√ bod x0 > 0 a n ∈ N, n ≥ 2. Pak pro x ∈ (0, 2x0 ) = U(x0 , x0 ) dostaneme √ dosazen´ım a = n x, b = n x0 do (9): √ n Odtud plyne
x−
√ n
x0 =
√ √ | n x − n x0 | =
x − x0 1/n
x(n−1)/n + x(n−2)/n x0
(n−1)/n
+ · · · + x0
|x − x0 | 1/n
x(n−1)/n + x(n−2)/n x0
(n−1)/n
+ · · · + x0
odkud zanedb´an´ım kladn´ych ˇclen˚ u ve jmenovateli dostaneme nerovnost √ √ |x − x0 | | n x − n x0 | < (n−1)/n . x0 Odtud pro x ∈ U(x0 , δ) ∩ U(x0 , x0 ) dostaneme √ √ | n x − n x0 | < 7
δ (n−1)/n x0
.
.
,
(n−1)/n
T´ım jsme dok´azali, ε > 0 existuje U(x0 ) = U(x0 , εx0 ) ∩ U(x0 , x0 ) takov´e, ˇze pro √ ˇze pro √ x ∈ U(x0 ) plat´ı n x ∈ U( n x0 , ε), a tedy, ˇze n-t´a odmocnina je funkce spojit´a v bodˇe x0 . Pozn´ amka 4.2.15, pˇ r´ıklad 4.2.16 a oznaˇ cen´ı 4.2.17 o skl´ ad´ an´ı funkc´ı [JV]. Vˇ eta 4.2.18 o spojitosti sloˇ zen´ e funkce Necht’ g je funkce spojit´a v bodˇe x0 ∈ R, f funkce spojit´a v bodˇe g(x0 ). Potom je funkce f ◦ g spojit´a v bodˇe x0 . D˚ ukaz: Pro zmenˇsen´ı abstrakce n´asleduj´ıc´ıch u ´ vah si nakreslete graf funkce f s bodem [x0 , f (x0 )], a na ose y vyznaˇcte okol´ı U1 (f (x0 )) a na ose x okol´ı U2 (x0 ) pro nˇeˇz plat´ı f (U2 (x0 )) ⊆ U1 (f (x0 )).
(10)
Podobnˇe nakreslete graf funkce g s bodem [f (x0 ), g(f (x0 ))], s okol´ım U3 (g(f (x0))) na ose y a s okol´ım U1 (f (x0 )) na ose x. Pˇritom zase tak, aby platilo g(U1 (f (x0 )) ⊆ U3 (g(f (x0 ))).
(11)
Chceme uk´azat, ˇze sloˇzen´a funkce g ◦ f je spojit´a v bodˇe x0 , tedy, ˇze ke kaˇzd´emu okol´ı U(g(f (x0 ))) bodu g(f (x0 )) existuje okol´ı U(x0 ), pro kter´e plat´ı (g ◦ f )(U(x0 )) ⊆ U((g ◦ f )(x0 )). M´ame tedy okol´ı U3 (g(f (x0 ))), k nˇemu v´ıme, ˇze vzhledem ke spojitosti funkce g existuje okol´ı U1 (f (x0 )) splˇ nuj´ıc´ı (11). K okol´ı U1 (f (x0 )) existuje vzhledem ke spojitosti funkce f okol´ı U2 (x0 ) splˇ nuj´ıc´ı (10). Z (10) a z 21. z kapitoly 5 plyne g(f (U2(x0 ))) ⊆ g(U1 (f (x0 ))).
(12)
Vztahy (11), (12) spolu s tranzitivitou inkluze daj´ı g(f (U2(x0 ))) ⊆ U3 (g(f (x0 ))), tedy vztah poˇzadovan´y k d˚ ukazu spojitosti funkce g ◦ f .
7
Vlastnosti spojit´ ych funkc´ı na uzavˇ ren´ em intervalu
Definice jednostrann´ e spojitosti. Prav´ym (pˇr´ıpadnˇe lev´ym) δ-okol´ım bodu x0 naz´yv´ame interval (x0 , x0 + δ) (pˇr´ıpadnˇe (x0 − δ, x0 )). Funkci f nazveme spojitou zprava (pˇr´ıpadnˇe zleva) v bodˇe x0 , pokud ∀ε > 0 existuje prav´e (pˇr´ıpadnˇe lev´e) okol´ı bodu x0 , na nˇemˇz plat´ı |f (x) − f (x0 )| < ε. Definice 4.3.26 funkce spojit´ e na uzavˇ ren´ em intervalu [JV]. Pozn´ amka 4.3.30 o line´ arn´ım (vektorov´ em) prostoru spojit´ ych funkc´ı na intervalu [JV]. Vˇ eta 4.3.31 o nab´ yv´ an´ı extr´ em˚ u spojit´ e funkce na uzavˇ ren´ em omezen´ em intervalu (Weierstrass 1861) [JV]. Bez d˚ ukazu. Pozn´ amka: Oba pˇredpoklady ve vˇetˇe jsou podstatn´e. Uved’te pˇr´ıklad spojit´e funkce na intervalu a nespojit´e funkce na uzavˇren´em omezen´em intervalu, kter´e nenab´yvaj´ı extr´em˚ u. 8
Vˇ eta 4.3.32 o koˇ renu spojit´ e funkce (Bolzano 1817) [JV]. Hlavn´ı myˇ slenka d˚ ukazu. TODO Vˇ eta 4.3.34 o nab´ yv´ an´ı mezihodnot spojit´ e funkce [JV]. D˚ ukaz. viz [JV]. Definice 4.3.35 Darbouxovy vlastnosti [JV]. Vˇ eta 4.3.36 (Cauchy 1821) o Darbouxovˇ e vlastnosti spojit´ ych funkc´ı [JV]. D˚ ukaz. viz [JV]. Vˇ eta 4.3.37 (Bolzano 1817) o obrazu intervalu ve spojit´ e funkci [JV] – jin´a formulace vˇety 4.3.34. D˚ usledek vˇ ety 4.3.32 o ˇ reˇ sen´ı nerovnic. ’ Necht je funkce f spojit´a na intervalu I = (a, b), f nem´a na I koˇren a necht’ x0 ∈ I. Pak plat´ı Je-li f (x0 ) > 0, plat´ı: ∀x ∈ (a, b) : f (x) > 0 Je-li f (x0 ) < 0, plat´ı: ∀x ∈ (a, b) : f (x) < 0 D˚ ukaz. Pro x = x0 je tvrzen´ı zˇrejm´e. Pro x 6= x0 plat´ı f (x) 6= 0 a platnost f (x)f (x0 ) < 0 vede ke sporu s vˇetou 4.3.32 a neexistenc´ı koˇrenu na I. Odtud plyne platnost dokazovan´eho tvrzen´ı. Pouˇzit´ı vˇety vysvˇetl´ıme na nerovnici x+7 ≥ 1. 2−x Nejdˇr´ıve urˇc´ıme definiˇcn´ı obor nerovnice – vyjde x ∈ (−7, 2). 13 . D´ale vyˇreˇs´ıme rovnici, dostaneme jeden koˇren: x = 11 Koˇreny rozdˇel´ı definiˇcn´ı obor na intervaly: I1 = (−7, 13 ), I2 = ( 13 , 2). V kaˇzd´em intervalu 11 11 zvol´ıme jeden bod a zjist´ıme, zda je v nˇem splnˇena nerovnice: x1 = 1 : log 8 6> 1, x2 = 23 : log 17 > 1. Platnost ˇci neplatnost nerovnice pro x1 , x2 je tot´eˇz, co kladnost ˇci z´apornost funkˇcn´ı hodnoty x+7 − 1. Funkce f je spojit´a na intervalech I1 , I2 , nem´a na f (x1 ), f (x2 ) funkce f (x) = log10 2−x nich koˇren, proto je z´aporn´a na I1 a kladn´a na I2 a ˇreˇsen´ım nerovnice tedy je interval h 13 , 2). 11 log10
D˚ usledek vˇ ety 4.3.34 o definiˇ cn´ım oboru odmocnin a jin´ ych inverzn´ıch funkc´ı. Druh´a odmocnina z ˇc´ısla a ∈ R je definov´ana jako koˇren rovnice x2 = a. Protoˇze tato rovnice m´a ˇreˇsen´ı jen pro a ≥ 0, je druh´a odmocnina definov´ana jen pro tato ˇc´ısla. Pro a > 0 m´a rovnice koˇreny dva a protoˇze chceme, aby odmocnina byla funkce, mus´ıme si vybrat jeden z nich. Definice odmocniny pak je: √ a je takov´e x ≥ 0, pro nˇeˇz plat´ı x2 = a. Zde bychom r´adi zpochybnili samozˇrejmost v´yˇse uveden´eho tvrzen´ı, ˇze rovnice m´a koˇren pro kaˇzd´e nez´aporn´e a. Toto tvrzen´ı neplat´ı, pokud m´ısto s re´aln´ymi ˇc´ısly pracujeme s ˇc´ısly racion´aln´ımi – na oboru racion´aln´ıch ˇc´ısel neexistuje napˇr´ıklad odmocnina ze dvou. Existence 9
odmocniny je d˚ usledek axiomu suprema. My tuto existenci uk´aˇzeme za pouˇzit´ı vˇety 4.3.34 (kter´a je d˚ usledkem axiomu suprema). Funkce f : x 7→ x2 je spojit´a a rostouc´ı na intervalu h0, +∞). Abychom mohli pouˇz´ıt vˇetu o nab´yv´an´ı mezihodnot, zvol´ıme omezen´y interval h0, Ni, pak je f (I) = h0, N 2 i a odtud plyne existence odmocniny pro kaˇzd´e a ∈ f (I). (Kreslete obr´azek!) Nyn´ı staˇc´ı uk´azat, ˇze ke kaˇzd´emu a ∈ R existuje N > 0 takov´e, ˇze a < N 2 . Rozmyslete si, ˇze pro a > 1 m˚ uˇzeme volit N = a a pro a ≥ 1 lze zvolit N = 2. V obou pˇr´ıpadech je a < N 2 . Podobnˇe se d´a uk´azat existence dalˇs´ıch odmocnin, logaritm˚ u a r˚ uzn´ych arkussin˚ u, -kosin˚ u, -tangent a -kotangent. Je k tomu zapotˇreb´ı uk´azat, ˇze mocninn´e, exponenci´aln´ı a goniometrick´e funkce jsou na sv´ych definiˇrn´ıch oborech spojit´e. Pozn´amka: n´azvy vˇet jsou m˚ uj v´ytvor a jsem vedena snahou struˇcnˇe oznaˇcit, ˇceho se vˇeta t´yk´a.
10
