SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Ita Rahmadayani

1∗

, Syamsudhuha2 , Asmara Karma2

1

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia ∗ [email protected]

ABSTRACT This article discusses the solutions of systems of partial differential equations using the homotopy perturbation method and Adomian decomposition method. A numerical example shows that the solution of the partial differential equation obtained by the homotopy perturbation method is better than those of Adomian decomposition method in terms of the speed to approach the exact solution. Keywords: system of partial differential equation, homotopy perturbation method, Adomian decomposition method. ABSTRAK Artikel ini membahas solusi dari sistem persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian. Contoh numerik yang diberikan menunjukkan solusi dari sistem persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi memberikan hasil yang lebih cepat mendekati solusi eksak dibandingkan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Kata kunci: sistem persamaan diferensial parsial, metode perturbasi homotopi, metode dekomposisi Adomian. 1. PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari banyak ditemui permasalahan yang berhubungan dengan matematika, misalnya dalam bidang sains dan teknik. Permasalahanpermasalahan ini biasanya berhubungan dengan sistem persamaan diferensial parsial. Sistem persamaan diferensial parsial merupakan gabungan dari beberapa persamaan diferensial parsial. Adapun bentuk umum dari sistem persamaan diferensial parsial dapat ditulis sebagai berikut Ai (u) − gi (t) = 0, Repository FMIPA

i = 1, 2, 3, · · · , n,

(1) 1

Saat ini banyak metode-metode numerik yang telah dikembangkan yang digunakan untuk memberikan solusi terbaik dari sistem persamaan diferensial parsial, diantaranya metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian. Solusi dari sistem persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian cukup sederhana, serta memberikan solusi pendekatan yang baik. Artikel ini merupakan review dari artikel [3] yang ditulis oleh Jafar Biazar dan Fereshteh Goldoust berjudul ”HPM and ADM for Partial Differential Equation”. Pembahasan dimulai di bagian dua dengan menjelaskan solusi dari persamaan diferesial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian. Selanjutnya dibagian tiga dibahas tentang solusi dari sistem persamaan diferesial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian, kemudian di bagian empat diberikan contoh numerik yang komputasinya diperoleh dengan menggunakan MAPLE 13.

2. SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Pada bagian ini dibahas solusi persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian. 2.1 Metode Perturbasi Homotopi Persamaan diferensial parsial secara umum dapat ditulis dalam bentuk berikut [4] A(u) − g(t) = 0, terhadap syarat batas

t ∈ Ω,

(2)

( ) ∂u B u, = 0, ∂n

dengan A adalah operator diferensial umum, u adalah fungsi yang akan ditentukan, g(t) adalah fungsi yang diketahui bergantung pada t, B adalah operator batas dan Ω adalah domain. Secara umum operator A dapat dipisahkan menjadi dua bagian yaitu L dan N . L adalah operator linear dan N adalah operator nonlinear. Sehingga persamaan (2) dapat ditulis sebagai berikut L(u) + N (u) − g(t) = 0. Kemudian diaplikasikan teknik homotopi pada persamaan (2). Pada teknik homotopi didefinisikan fungsi real U (t, p) : Ω × [0, 1] → R dengan p ∈ [0, 1] memenuhi bentuk homotopi berikut H(U, p) = (1 − p)(L(U ) − L(u0 )) + p(A(U ) − g(t)). t ∈ Ω, Repository FMIPA

(3) 2

dengan p adalah parameter homotopi dan u0 adalah tebakan awal solusi dari persamaan (2) yang memenuhi nilai awal. Parameter yang digunakan pada teknik homotopi adalah p : 0 ≤ p ≤ 1 yang disebut parameter kecil, sehingga dapat dilanjutkan dengan teknik perturbasi yang mengasumsikan bahwa solusi dari persamaan (3) dalam deret pangkat berikut U = U0 + pU1 + p2 U2 + · · · . Jika p = 1, maka diperoleh solusi pendekatan dari persamaan (3) sebagai berikut u¯ = lim U u¯ =

p→1 ∞ ∑

Uj .

j=0

2.2 Metode Dekomposisi Adomian Metode dekomposisi Adomian menguraikan bagian operator A dari persamaan diferensial parsial menjadi tiga bagian yaitu L, R dan N , dengan L adalah operator linear yang mempunyai invers, R adalah operator linear lainnya dan N adalah bentuk nonlinear. Sehingga persamaan diferensial parsial dapat ditulis sebagai berikut [1, h. 7] L(u) + R(u) + N (u) − g(t) = 0, atau dapat juga ditulis dalam bentuk L(u) = g(t) − R(u) − N (u).

(4)

Kemudian dengan menerapkan L−1 pada persamaan (4) diperoleh L−1 L(u) =L−1 g(t) − L−1 R(u) − L−1 N (u), u =u(0) + L−1 g(t) − L−1 R(u) − L−1 N (u).

(5)

dengan u(0) merupakan nilai awal dari persamaan diferensial parsial yang diberikan. Selanjutnya jika pada persamaan (5) diasumsikan sebagai berikut u0 = u(0) + L−1 g(t),

(6)

sehingga persamaan (5) menjadi sebagai berikut u = u0 (t) − L−1 R(u) − L−1 N (u). Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan solusi u berbentuk u=

∞ ∑

uj ,

(7)

j=0

Repository FMIPA

3

sedangkan suku nonlinear N u dinyatakan dalam suatu polinomial khusus yaitu N (u) =

∞ ∑

Dj ,

(8)

j=0

Dj disebut polinomial Adomian yang didefinisikan sebagai ( (∞ )) ∑ dj 1 N Dj = λk uk , j ≥ 0. j! dλj k=0 λ=0

Substitusi persamaan (7) dan (8) ke persamaan (5), sehingga diperoleh ∞ ∑

−1

uj = u0 − L R

j=0

∞ ∑

uj − L

j=0

−1

∞ ∑

Dj .

(9)

j=0

Berdasarkan persamaan (9) diperoleh relasi rekursif sebagai berikut uj+1 = −L−1 Ruj − L−1 Dj ,

j = 0, 1, 2, · · · .

(10)

3. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Pada bagian ini dibahas solusi sistem persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian. 3.1 Solusi Sistem Persamaan Diferensial Parsial Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi Perhatikan sistem persamaan diferensial parsial berikut ∂u1 ∂u2 + + ... + ∂t ∂x1 ∂u2 ∂u1 + + ... + ∂t ∂x1 ∂u3 ∂u2 + + ... + ∂t ∂x1

∂un + N1 ∂xn−1 ∂un + N2 ∂xn−1 ∂un + N3 ∂xn−1 .. . ∂un ∂u2 ∂u1 + + ... + + Nn ∂t ∂x1 ∂xn−1

= g1 (t), = g2 (t), = g3 (t),

(11)

. = .. = gn (t),

dengan nilai awal u1 (x1 , x2 , . . . , xn−1 , 0) u2 (x1 , x2 , . . . , xn−1 , 0) u3 (x1 , x2 , . . . , xn−1 , 0) .. .

= f1 (x1 , x2 , . . . , xn−1 ), = f2 (x1 , x2 , . . . , xn−1 ), = f3 (x1 , x2 , . . . , xn−1 ), . = ..

(12)

un (x1 , x2 , . . . , xn−1 , 0) = fn (x1 , x2 , . . . , xn−1 ). Repository FMIPA

4

Aplikasikan teknik homotopi (3) pada masing-masing persamaan diferensial parsial dari sistem (11), diperoleh ∂U1 ∂u1,0 ∂U1 ∂U2 − ) + p( + + ... + ∂t ∂t ∂t ∂x1 ∂U2 ∂u2,0 ∂U2 ∂U1 (1 − p)( − ) + p( + + ... + ∂t ∂t ∂t ∂x1 ∂U3 ∂u3,0 ∂U3 ∂U2 (1 − p)( − ) + p( + + ... + ∂t ∂t ∂t ∂x1 (1 − p)(

(1 − p)(

∂Un + N1 − g1 (t)) = 0, ∂xn−1 ∂Un + N2 − g2 (t)) = 0, ∂xn−1 ∂Un + N3 − g3 (t)) = 0, ∂xn−1 .. .. .=.

(13)

∂Un ∂un,0 ∂U1 ∂Un ∂U2 − ) + p( + + ... + + Nn − gn (t)) = 0. ∂t ∂t ∂t ∂x1 ∂xn−1

Kemudian dilanjutkan menggunakan teknik perturbasi, dalam teknik perturbasi solusi pendekatan dari sistem persamaan diferensial parsial diasumsikan dalam bentuk deret pangkat p sebagai berikut U1 U2 U3 .. .

= U1,0 + pU1,1 + p2 U1,2 + . . . , = U2,0 + pU2,1 + p2 U2,2 + . . . , = U3,0 + pU3,1 + p2 U3,2 + . . . , . = ..

(14)

Un = Un,0 + pUn,1 + p2 Un,2 + . . . . Selanjutnya substitusikan (14) ke (13), kemudian kelompokkan koefisien pj berdasarkan pangkat p yang sama dengan j = 0, 1, 2, · · · yang dapat ditulis dalam bentuk berikut a1,0 + a1,1 p + a1,2 p2 + · · · + a1,j pj + · · · a2,0 + a2,1 p + a2,2 p2 + · · · + a2,j pj + · · · a3,0 + a3,1 p + a3,2 p2 + · · · + a3,j pj + · · · .. .

= 0, = 0, = 0, . = ..

(15)

an,0 + an,1 p + an,2 p2 + · · · + an,j pj + · · · = 0, dengan ∂Ui,0 ∂ui,0 − , ∀ i = 1, 2, · · · , n, ∂t ∂t n−1 ∂U1,1 ∂u1,0 ∑ ∂Ui+1,0 = + + + M1,0 − g1 (t), ∂t ∂t ∂xi i=1 n−1 ∂U2,1 ∂u2,0 ∂U1,0 ∑ ∂Ui+1,0 = + + + + M2,0 − g2 (t), ∂t ∂t ∂x1 ∂xi i=2

ai,0 = a1,1 a2,1

Repository FMIPA

                

(16)

5

dan i−2 ∂Ui,1 ∂ui,0 ∑ ∂Uk+1,0 ∂U1,0 ai,1 = + + + ∂t ∂t ∂xk ∂xi−1 k=1 n−1 ∑ ∂Ui+1,0 + + Mi,0 − gi (t), ∀ i = 3, 4, · · · , n, ∂x i i n−1 ∂U1,j ∑ ∂Ui+1,j−1 a1,j = + + M1,j−1 , ∀ j = 2, 3, · · · , ∂t ∂x i i=1 n−1 ∂U2,j ∂U1,j−1 ∑ ∂Ui+1,j−1 a2,j = + + + M2,j−1 , ∀ j = 3, 4, · · · , ∂t ∂x1 ∂xi i=2 i−2 ∂Ui,j ∑ ∂Uk+1,j−1 ∂U1,j−1 + ai,j = + ∂t ∂xk ∂xi−1 k=1 n−1 ∑ ∂Ui+1,j−1 + + Mi,j−1 i = 3, 4, · · · , n. ∀ j = 2, 3, · · · . ∂xi i

                                                  

(17)

Mi,j adalah koefisien dari pj pada operator nonlinear dari persamaan diferensial parsial ke-i dengan i = 1, 2, 3, · · · , j = 0, 1, 2, · · · . Secara umum persamaan (15) juga dapat ditulis sebagai berikut ∞ ∑ ai,j pj = 0. i = 1, 2, · · · , n. (18) j=0

Ruas kanan pada persamaan (15) adalah polinom dalam p dengan koefisien nol sehingga persamaan (18) diperoleh ai,j = 0,

i = 1, 2, 3, · · · , n dan j = 0, 1, 2, · · · .

Berdasarkan persamaan (19), (16) dan persamaan (17) diperoleh ∂Ui,0 ∂ui,0 − = 0, ∂t ∂t n−1 ∂U1,1 ∂u1,0 ∑ ∂Ui+1,0 + + + M1,0 − g1 (t) = 0, ∂t ∂t ∂x i i=1 n−1 ∂U2,1 ∂u2,0 ∂U1,0 ∑ ∂Ui+1,0 + + + + M2,0 − g2 (t) = 0, ∂t ∂t ∂x1 ∂x i i=2 i−2 n−1 ∂U1,0 ∑ ∂Ui+1,0 ∂Ui,1 ∂ui,0 ∑ ∂Uk+1,0 + + + + + Mi,0 − gi (t) = 0, ∂t ∂t ∂x ∂x ∂x k i−1 i i k=1 n−1 ∂U1,j ∑ ∂Ui+1,j−1 + + M1,j−1 = 0, ∂t ∂x i i=1 n−1 ∂U2,j ∂U1,j−1 ∑ ∂Ui+1,j−1 + + + M2,j−1 = 0, ∂t ∂x1 ∂xi i i−2 n−1 ∂Ui,j ∑ ∂Uk+1,j−1 ∂U1,j−1 ∑ ∂Ui+1,j−1 + + + + Mi,j−1 = 0. ∂t ∂xk ∂xi−1 ∂xi i k=1 Repository FMIPA

(19)                                                           

(20)

6

Selanjutnya dengan memilih tebakan awal ui,0 untuk setiap persamaan diferensial parsial ke-i berdasarkan nilai awal (12) dan mengintegralkan persamaan (20), diperoleh Ui,0 = ui,0 , i = 1, 2, · · · , n, Ui,0 = fi (x1 , x2 , . . . , xn−1 ), i = 1, 2, · · · , n, ) ∫ t (∑ n−1 ∂Ui+1,0 U1,1 = − + M1,0 − g1 (t) dt, ∂x i 0 i=1 ) ∫ t( n−1 ∂U1,0 ∑ ∂Ui+1,0 U2,1 = − + + M2,0 − g2 (t) dt, ∂x1 ∂x i 0 i=2 ) ∫ t (∑ i−2 n−1 ∂Uk+1,0 ∂U1,0 ∑ ∂Ui+1,0 Ui,1 = − + + + Mi,0 − g2 (t) dt, i = 3, 4, · · · , n, ∂x ∂x ∂x k i−1 i 0 i k=1 ) ∫ t (∑ n−1 ∂Ui+1,j−1 U1,j = − + M1,j−1 dt, j = 2, 3, · · · , ∂x i 0 i=1 ) ∫ t( n−1 ∂U1,j−1 ∑ ∂Ui+1,j−1 U2,j = − + M2,j−1 dt, j = 2, 3, · · · , ∂x1 ∂x i 0 i=2 ) ∫ t (∑ n−1 i−2 ∑ ∂Ui+1,0 ∂Uk+1,j−1 ∂U1,j−1 + + + Mi,j−1 dt.i = 3, 4, · · · , n. Ui,j = − ∂xk ∂xi−1 ∂xi 0 i k=1 Sehingga solusi pendekatan dari sistem persamaan (11) menggunakan metode perturbasi homotopi dengan p = 1, yaitu u¯i = lim Ui , p→1

u¯i =

∞ ∑

Ui,j ,

i = 1, 2, 3, . . . , n.

j=0

3.1 Solusi Sistem Persamaan Diferensial Parsial Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian Adapun proses penyelesaian untuk sistem persamaan diferensial parsial (11) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian sebagai berikut. Aplikasikan persamaan (5) pada masing-masing persamaan diferensial parsial dari sistem persamaan (11) dengan nilai awal (12) sehingga diperoleh ) ∫ t ∫ t( ∂un ∂u2 + ... + dt u1 = f1 (x1 , . . . , xn−1 ) + g1 (t)dt − ∂x1 ∂xn−1 0 ∫ 0t − N1 dt, ) ∫0 t ∫ t( (21) ∂un ∂u1 + ... + dt u2 = f2 (x1 , . . . , xn−1 ) + g2 (t)dt − ∂x1 ∂xn−1 0 ∫ 0t − N2 dt, 0

Repository FMIPA

7

∫ u3 = f3 (x1 , . . . , xn−1 ) +

∫ t(

t

g3 (t)dt −

∫ 0t

0

−

∂u2 ∂un + ... + ∂x1 ∂xn−1

) dt

N3 dt, 0

.. . . = ..

∫

∫ t(

t

un = fn (x1 , . . . , xn−1 ) + gn (t) − 0 ∫ t − Nn dt.

0

∂u2 ∂u1 + ... + ∂x1 ∂xn−1

) dt

0

Selanjutnya asumsikan solusi dari sistem persamaan (11) sebagai berikut ui =

∞ ∑

i = 1, 2, · · · , n,

ui,j ,

(22)

j=0

dengan Ni =

∞ ∑

i = 1, 2, · · · , n.

Di,j ,

(23)

j=0

Kemudian substitusikan (22) dan (23) ke setiap persamaan (21), sehingga diperoleh solusi dari sistem persamaan diferensial parsial adalah sebagai berikut ) ∫ t ∫ t( ∞ ∑ ∂u2 ∂un u1,j = f1 (x1 , . . . , xn−1 ) + g1 (t)dt − + ... + dt ∂x ∂x 1 n−1 0 0 j=0 ∫ t∑ ∞ − D1,j dt, ∞ ∑

0 j=0 t

g2 (t)dt −

u2,j = f2 (x1 , . . . , xn−1 ) + 0

j=0

− ∞ ∑

∫ t(

∫

∫ t∑ ∞

0

∫ t(

g3 (t)dt − 0

j=0

−

∫ t∑ ∞

) dt

D2,j dt,

0 j=0 ∫ t

u3,j = f3 (x1 , . . . , xn−1 ) +

∂un ∂u1 + ... + ∂x1 ∂xn−1

0

∂un ∂u2 + ... + ∂x1 ∂xn−1

) dt

(24)

D3,j dt,

0 j=0 ∞ ∑

.. . . = ..

∫

∫ t(

t

gn (t)dt −

un,j = fn (x1 , . . . , xn−1 ) + 0

j=0

−

∫ t∑ ∞

0

∂u1 ∂u2 + ... + ∂x1 ∂xn−1

) dt

Dn,j dt.

0 j=0

Repository FMIPA

8

Selanjutnya berdasarkan persamaan (6) diasumsikan ui,0 dari sistem persamaan (24) sebagai berikut ∫ t ui,0 = fi (x1 , · · · , xn−1 ) + gi (t)dt, ∀i = 1, 2, · · · , n, 0

sehingga diperoleh relasi rekursif dari sistem persamaan (24) sebagai berikut ∫ t( 0

∂u2,j ∂un,j + ... + ∂x1 ∂xn−1

0

∂u1,j ∂un,j + ... + ∂x1 ∂xn−1

0

∂u2,j ∂un,j + ... + ∂x1 ∂xn−1

u1,j+1 = − ∫ t( u2,j+1 = − ∫ t( u3,j+1 = − .. . . = ..

∫ t(

un,j+1 = − 0

∂u1,j ∂u2,j + ... + ∂x1 ∂xn−1

) dt − ) dt − ) dt −

∫ t∑ ∞ 0 j=0 ∫ t∑ ∞ 0 j=0 ∫ t∑ ∞

D1,j dt.

j ≥ 0.

D2,j dt.

j ≥ 0,

D3,j dt.

j ≥ 0,

Dn,j dt.

j ≥ 0.

0 j=0

) dt −

∫ t∑ ∞ 0 j=0

4. CONTOH NUMERIK Pada bagian ini diberikan contoh sistem persamaan diferensial parsial yang akan diselesaikan dengan metode dekomposisi Adomian dan metode perturbasi homotopi. Selesaikan sistem persamaan diferensial parsial berikut dengan metode dekomposisi Adomian dan metode perturbasi homotopi. ( )( ) ∂u ∂v ∂w − = 3/2 − 1/2(e−2x ), ∂t ( ∂x ) ( ∂x ) ∂v ∂u ∂w − = 3/2 − 1/2(e2x ), (25) ∂t ∂x ∂x ( )( ) ∂w ∂u ∂v − = 2, ∂t ∂x ∂x dengan nilai awal u(x, 0) = ex ,

v(x, 0) = e−x ,

w(x, 0) = 1/2(ex + e−x ),

(26)

solusi eksak dari persamaan (25) dan nilai awal (26), adalah u = ex + t, v = e−x + t, w = 1/2(ex + e−x ) + t.

Repository FMIPA

9

Penyelesaian dengan Metode Dekomposisi Adomian. Berdasarkan persamaan (26) diketahui f1 (x) = u(x, 0) = ex , f2 (x) = v(x, 0) = e−x , f3 (x) = w(x, 0) = 1/2(ex + e−x ). Ubah sistem persamaan (25) ke bentuk Adomian dengan mengaplikasikan persamaan (9) pada masing-masing persamaan diferensial parsial dari sistem persamaan (25), yaitu ∫ t ∫ t∑ ∞ ∞ ∑ x −2x uj =e + (3/2 − 1/2(e ))dt + (Dj (u0 , . . . , uj ))dt, j=0 ∞ ∑ j=0 ∞ ∑

0

vj =e−x +

∫

∫

t

(3/2 − 1/2(e2x ))dt + 0

x

−x

∫

∫

t

wj =1/2(e + e ) +

(2)dt + 0

j=0

0 j=0 ∞ t ∑

(Dj (v0 , . . . , vj ))dt,

0 j=0 ∞ t ∑

(Dj (w0 , . . . , wj ))dt.

0 j=0

Kemudian dengan mengaplikasikan persamaan (6) pada masing-masing persamaan diferensial parsial dari sistem persamaan (25) yang telah diubah ke bentuk Adomian, diperoleh sebagai berikut ∫ t u0 = f1 (x) + g1 (x)dt, 0

v0

= ex + 3/2t − 1/2t(e−2x ), ∫ t = f2 (x) + g2 (x)dt,

w0

= e−x + 3/2t − 1/2t(e2x ), ∫ t = f3 (x) + g3 (x)dt,

0

0

= 1/2ex + 1/2e−x + 2t. Adapun untuk suku yang berikutnya aplikasikan persamaan (10) pada masingmasing persamaan diferensial parsial dari sistem persamaan (25) sehingga diperoleh relasi rekursif berikut ∫ t u1 = D(u0 )dt, 0

v1

= −1/4t2 e3x + 1/4t2 ex − 1/2t + 1/2te−2x , ∫ t = D(v0 )dt,

w1

= −1/4t2 e−3x + 1/4t2 e−x + 1/2tex − 1/2t, ∫ t = D(w0 )dt,

0

0

= −t − 1/3t3 − 1/2t2 e−3x − 1/2t2 e3x , Repository FMIPA

10

∫

t

u2 =

D(u1 )dt, 0

v2

= 3/8t4 e5x − 3/8t4 e−x − 1/24t3 + 1/6t3 e−2x − 5/8t3 e−4x +1/2t3 e2x + 1/4t2 e3x − 1/4t2 ex , ∫ t = D(v1 )dt,

w2

= −3/8t4 ex + 3/8t4 e−5x − 5/8t3 e4x + 1/6t3 e2x − 1/24t3 +1/2t3 e2x − 1/4t2 e−x + 1/4t2 e−3x , ∫ t = D(w1 )dt,

0

0

= 3/16t4 e5x − 1/16t4 e3x − 1/16t4 e−3x + 3/16t4 e−5x + 1/2t3 +1/4t3 e2x + 1/4t3 e−2x + 1/2t2 e−3x + 1/2t2 e3x , .. . . = .. Jadi, solusi pendekatan dari sistem persamaan (25) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian yaitu u = u0 + u1 + u2 + · · · , = ex + 3/2t − 1/2t(e−2x ) − 1/4t2 e3x + 1/4t2 ex − 1/2t + 1/2te−2x + 3/8t4 e5x − 3/8t4 e−x − 1/24t3 + 1/6t3 e−2x − 5/8t3 e−4x + 1/2t3 e2x + 1/4t2 e3x − 1/4t2 ex + · · · , v = v0 + v1 + v2 + · · · , = e−x + 3/2t − 1/2t(e2x ) − 1/4t2 e−3x + 1/4t2 e−x + 1/2tex − 3/8t4 ex + 3/8t4 e−5x − 5/8t3 e4x + 1/6t3 e2x − 1/24t3 + 1/2t3 e2x − 1/2t − 1/4t2 e−x + 1/4t2 e−3x + · · · , w = w0 + w1 + w2 + · · · , = 1/2ex + 1/2e−x + 2t − t − 1/3t3 − 1/2t2 e−3x − 1/2t2 e3x + 3/16t4 e5x − 1/16t4 e3x − 1/16t4 e−3x + 3/16t4 e−5x + 1/2t3 + 1/4t3 e2x + 1/4t3 e−2x + 1/2t2 e−3x + 1/2t2 e3x + · · · .

Penyelesaian dengan Metode Perturbasi Homotopi. Adapun proses penyelesaian sistem persamaan (25) sebagai berikut. Ubah sistem persamaan (25) ke bentuk homotopi, menjadi ) ( ) ( ∂u0 ∂V ∂W ∂U ∂U −2x − −( )( ) − 3/2 + 1/2(e ) = 0, (1 − p) +p ∂t ) ∂x ∂x ) ( ∂t ( ∂t ∂v0 ∂U ∂W ∂V ∂V −2x − −( )( ) − 3/2 + 1/2(e ) = 0, (1 − p) +p ∂t ) ∂x ∂x ( ∂t ) ( ∂t ∂W ∂w0 ∂U ∂V ∂V −2x (1 − p) − −( )( ) − 3/2 + 1/2(e ) = 0. +p ∂t ∂t ∂t ∂x ∂x

Repository FMIPA

11

Asumsikan solusi dari sistem persamaan (25) sebagai berikut U0 + pU1 + p2 U2 + p3 U3 + . . . , V0 + pV1 + p2 V2 + p3 V3 + . . . , W0 + pW1 + p2 W2 + p3 W3 + . . . .

U= V = W =

(27)

Substitusikan asumsi solusi (27) ke sistem persamaan (25) yang telah diubah ke bentuk homotopi, kemudian kelompokkan koefisien p berdasarkan pangkat p yang sama. Selanjutnya dengan memilih tebakan awal berdasarkan nilai awal, dan mengintegralkan kelompok koefisien p dengan pangkat p yang sama terhadap t diperoleh U0 = ex , U1 = t, U2 = 0, .. .. .=.

V0 = e−x , V1 = t, V2 = 0, .. .. .=.

W0 = 1/2(ex + e−x ). W1 = t, W2 = 0, .. .. .=.

Sehingga solusi sistem persamaan diferensial parsial dari sistem persamaan (25) dengan metode perturbasi homotopi diperoleh sebagai berikut u¯ = U0 + U1 + U2 + U3 + · · · , u¯ = ex + t, v¯ = V0 + V1 + V2 + V3 + · · · , v¯ = e−x + t, w¯ = W0 + W1 + W2 + W3 + · · · , w¯ = 1/2(ex + e−x ) + t. Berikut penyelesaian jumlah deret dari solusi pendekatan sistem persamaan (25) dengan metode perturbasi homotopi dan dekomposisi Adomian menggunakan MAPLE 13. x -0.0052 -0.0325 -0.0888 -0.0980

t uHP M (n=1) uADM (n=5) -0.0888 0.9060134966 0.9060135351 -0.0888 0.8792224498 0.8792226800 -0.0888 0.8262285610 0.8262291480 -0.0888 0.8178489038 0.8178495454

Eror(HP M ) 0 0 0 0

Eror(ADM ) 0.3850e-7 0.2302e-6 0.5800e-6 0.6416e-6

x -0.0052 -0.0325 -0.0888 -0.0980

t vHP M (n=1) vADM (n = 5) -0.0888 0.9164135430 0.9164135039 -0.0888 0.9442338930 0.9442336350 -0.0888 1.0040620620 1.0040612580 -0.0888 1.0141627850 1.0141618770

Eror(HP M ) 0 0 0 0

Eror(ADM ) 0.391e-7 0.258e-6 0.804e-6 0.908e-6

Repository FMIPA

12

x t wHP M (n = 1) -0.0052 -0.0888 0.9112135200 -0.0325 -0.0888 0.9117281710 -0.0888 -0.0888 0.9151453120 -0.0980 -0.0888 0.9160058440

wADM (n = 5) 0.9112115321 0.9117261388 0.9151429697 0.9160034219

Eror(HP M ) Eror(ADM ) 0 0.19879e-5 0 0.20322e-5 0 0.23423e-5 0 0.24221e-5

Dari contoh yang telah dikerjakan terlihat bahwa metode perturbasi homotopi memberikan solusi pendekatan yang lebih cepat mendekati solusi eksak dibandingkan menggunakan metode dekomposisi Adomian.

DAFTAR PUSTAKA [1] Adomian, G. 1994. Solving Frontier Problem of Physics: The Decomposition Method. Khuwer Academic Press, Dordrecht. [2] Adomian, G. 1988. Review of the Decomposition Method in Applied Mathematics. J. Math. Anal, Apply. 135:501-544. [3] Biazar, J. & F. Goldoust., 2013. HPM and ADM for Partial Differential Equations. International Journal of Applied Mathematical Research. 2(2):310-316. [4] He, J.H. 1999. Homotopy Perturbation Technique. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 178:257-262.

Repository FMIPA

13