METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ABELIAN HAPSARI SYAMSIDAR YUSANTO

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ABELIAN

HAPSARI SYAMSIDAR YUSANTO

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

ABSTRACT HAPSARI SYAMSIDAR YUSANTO. Adomian Decomposition Method for Solving Abelian Differential Equation. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO. In this writing, Adomian Decomposition Method is used for solving Abelian Differential Equation. Abelian Differential Equation is a nonlinear differential equation which is hard to solve analytically. A special case of Abelian Differential Equation is oftenly used to model the population growth of deer in a certain place. In this research, a numerical equation to solve Abelian Differential Equation is constructed using Adomian Decomposition Method. Furthermore, the validity of the results will be compared with the exact solution and numerical using fourth order RungeKutta method. The numerical results show that Adomian Decomposition Method is suitable for solving Abelian Differential Equation. Beside that, the procedure of Adomian Decomposition Method is used to solve the population growth of deer in a certain place.

ABSTRAK HAPSARI SYAMSIDAR YUSANTO. Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Abelian. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO Dalam tulisan ini digunakan Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Abelian. Persamaan Diferensial Abelian merupakan suatu persamaan diferensial taklinear yang secara analitik sulit ditentukan solusinya. Salah satu model dalam bentuk Persamaan Diferensial Abelian muncul pada masalah pertumbuhan populasi rusa pada suatu wilayah. Dalam tulisan ini dikonstruksi suatu persamaan numerik untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Abelian dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Selanjutnya, dikaji validitas Metode Dekomposisi Adomian dengan cara membandingkan solusi Metode Dekomposisi Adomian dengan solusi eksak dan solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk beberapa contoh kasus. Hasil numerik yang diperoleh menunjukkan bahwa Metode Dekomposisi Adomian cocok digunakan untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Abelian. Selain itu, prosedur dari Metode Dekomposisi Adomian digunakan untuk menyelesaikan masalah pertumbuhan populasi rusa pada suatu wilayah.

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ABELIAN

HAPSARI SYAMSIDAR YUSANTO

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009

PRAKATA ALHAMDULILLAH, segala puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga dapat terselesaikannya karya ilmiah ini. Shalawat serta salam senantiasa selalu tercurahkan untuk Nabi Muhammad SAW yang telah mengantarkan kita semua umatnya sehingga dapat memperoleh petunjuk jalan yang benar, beserta keluarganya, para sahabat, dan semoga tercurahkan juga untuk kita semua sebagai umatnya hingga akhir zaman. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Mama, Bapak, mas Topan, Lella, Shandy, dan adik kembar Ghany-Zaky, atas doa, semangat, motivasi, dan perhatiannya hingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Juga kepada keluarga besar, mbah kakung, om-tante dari keluarga mama dan bapak. 2. Bapak Dr. Jaharuddin, MS dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si masing-masing selaku Pembimbing I dan Pembimbing II, atas kesabaran dan kemurahan hatinya dalam membimbing penulis hingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Terima kasih juga diberikan untuk semua ilmu, saran, motivasi, serta waktu yang diluangkan untuk memberikan bimbingan kepada penulis. 3. Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku dosen penguji. 4. Dosen-dosen Departemen Matematika yang telah memberikan dan menyampaikan ilmunya yang bermanfaat kepada penulis, khususnya kepada Bu Ida, Bu Endar, Bu Ati, Bu Anggi, Pak Budi, Pak Wayan, Pak Effendi, Pak Siswadi. 5. Staf Departemen Matematika yang telah memberikan bantuan dan semangatnya, khususnya kepada Pak Yono, Mas Bono, Bu Ade, Mas Deni, Mas Heri, Bu Susi. 6. Keluarga besar Cirebon, atas doa dan dukungannya, khususnya mas Nunung yang selalu memberikan doa, saran, semangat yang tiada hentinya kepada penulis. 7. Achy dan Oby, sebagai dua “Angel” penulis. 8. Sahabat Math’42: Idun, Lisda, Yusep, Iput, Vita, Jane, Hikmeh, Titi, Vera, Ily, mb Vin, Didi, Okta, Ryu, Luri, Siti, Rima, Mira, Acuy, Eko, Danu, Ocoy, Nyomi, Keni, Agnes, Hesti, Nola, Tia, Lela, Pipit, Dendy, Yudi, Boy, Sapto, Septian, ms War, Ridwan, Kinun, Awi, Djawa, Ardy pake Y, Moko, Eyi, Erlyn, Agem, Ety, Lina, Rita, Gita, Kinun, Bayu, Fachry, ms Ayip, Heri. Terima kasih atas kebersamaan dan kenangan-kenangan manis yang telah dilalui bersama dalam satu wadah mate 42. 9. Anak-anak kosan Ixora: K’icut, K’winni, K’eki, K’rohmah, K’vera, Evi, Dc, Erni, atas doa dan dukungannya. 10. Seluruh civitas matematika, GUMATIKA, semoga selalu kompak dalam membawa nama harum Matematika. Dengan tidak mengurangi rasa hormat, penulis juga menyampaikan terima kasih kepada pihak-pihak yang belum disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan, khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Oktober 2009 Hapsari Syamsidar Yusanto

Judul Skripsi : Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Abelian Nama : Hapsari Syamsidar Yusanto NIM : G54052393

Menyetujui Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Jaharuddin, MS. NIP. 19651102 199302 1 001

Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP. 19650820 199003 1 001

Mengetahui Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA. NIP. 19610328 198601 1 002

Tanggal Lulus : ……………

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Semarang pada tanggal 1 Agustus 1987 sebagai anak kedua dari enam bersaudara. Penulis merupakan anak dari pasangan Gunawan Susanto dan Sri Juniti. Penulis lulus dari SDN 06 Ngaliyan Kampus tahun 1999, lulus dari SLTPN 01 Semarang pada tahun 2003, tahun 2005 penulis menjadi alumni dari SMAN 05 Semarang. Terdaftar sebagai mahasiswa IPB pada tahun 2005 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi Asisten Dosen Mata Kuliah Kalkulus II dan III (2007-2008), menjadi staf pengajar di salah satu bimbingan belajar mahasiswa MSC. Dalam berorganisasi, penulis pernah menjadi koordinator acara TRY OUT SPMB se-Bogor (Maret 2007), kepala departemen Sosinkom GUMATIKA (20062007), koordinator PAK pada Welcome Ceremony Mathematics (WCM) angkatan 43, anggota sie Acara pada WCM 44.

viii

DAFTAR ISI Halaman Daftar Gambar.............................................................................................................................. Daftar Tabel ................................................................................................................................. Daftar Lampiran ...........................................................................................................................

ix ix ix

I PENDAHULUAN ..................................................................................................................... 1.1 Latar Belakang ................................................................................................................... 1.2 Tujuan Penulisan................................................................................................................ 1.3 Sistematika Penulisan ........................................................................................................

1 1 1 1

II LANDASAN TEORI ............................................................................................................... 2.1 Metode Pemisahan Variabel .............................................................................................. 2.2 Metode Runge-Kutta Orde Empat ..................................................................................... 2.3 Metode Iterasi Picard ......................................................................................................... 2.4 Deret Maclaurin .................................................................................................................

2 2 2 3 4

III PEMBAHASAN ..................................................................................................................... 5 3.1 Formulasi masalah ............................................................................................................. 5 3.2 Metode Dekomposisi Adomian ......................................................................................... 5 3.3 Aplikasi pada Persamaan Diferensial Abelian ................................................................... 6 3.4 Aplikasi pada Model Pertumbuhan Populasi Rusa ............................................................ 10 IV KESIMPULAN ....................................................................................................................... 12 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. 12 LAMPIRAN ................................................................................................................................. 13

ix

DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Perbandingan Solusi Eksak dan Solusi Hampiran Masalah Nilai Awal (2.9) ........................ 3 2 Perbandingan Solusi Eksak dan Solusi Hampiran Masalah Nilai Awal (2.14) ...................... 4 3 Perbandingan Grafik Solusi Masalah Nilai Awal (3.26) dengan Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 5 dan Metode Runge-Kutta Orde Empat ................................................ 8 4 Perbandingan Grafik Solusi Masalah Nilai Awal (3.26) dengan Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 10 dan Metode Runge-Kutta Orde Empat .............................................. 8 5 Perbandingan Grafik Solusi Masalah Nilai Awal (3.26) dengan Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 15 dan Metode Runge-Kutta Orde Empat .............................................. 8 6 Perbandingan Grafik Solusi Masalah Nilai Awal (3.29) dengan Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 5 dan Solusi Eksak ................................................................................. 9 7 Perbandingan Grafik Solusi Masalah Nilai Awal (3.29) dengan Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 10 dan Solusi Eksak ............................................................................... 10 8 Perbandingan Grafik Solusi Masalah Nilai Awal (3.29) dengan Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 15 dan Solusi Eksak ............................................................................... 10 9 Perbandingan Grafik Solusi Masalah Nilai Awal (3.33) Metode Dekomposisi Adomian dan Solusi Numerik ................................................................................................ 11 10 Bidang Fase Pertumbuhan Populasi Rusa dengan M = 100 dan m = 7 .................................. 11

DAFTAR TABEL 1 2 3 4

Halaman Galat Hampiran Solusi Masalah Nilai Awal (2.9) .................................................................. 3 Galat Hampiran Solusi Masalah Nilai Awal (2.14) ................................................................ 4 Galat Hampiran Solusi Masalah Nilai Awal (3.26) untuk Orde yang Berbeda ...................... 9 Galat Hampiran Solusi Masalah Nilai Awal (3.29) untuk Orde yang Berbeda ...................... 10

DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Halaman Penurunan Persamaan (2.10) ................................................................................................. 14 Penurunan Persamaan (3.8) ................................................................................................... 15 Penurunan Persamaan (3.11) ................................................................................................. 15 Penurunan Persamaan (3.22) ................................................................................................. 16 Penurunan Persamaan (3.24) ................................................................................................. 16 Penurunan Persamaan (3.27) ................................................................................................. 17 Penurunan Persamaan (3.28) ................................................................................................. 17 Syntax MATLAB 7.0.1 untuk Menyelesaikan Contoh 1 ....................................................... 18 Penurunan Persamaan (3.30) ................................................................................................. 19 Penurunan Persamaan (3.31) ................................................................................................. 19 Syntax MATLAB 7.0.1 untuk Menyelesaikan Contoh 2 ....................................................... 20 Penurunan Persamaan (3.34) ................................................................................................. 21 Penurunan Persamaan (3.35) ................................................................................................. 21 Syntax Mathematica 6 untuk Menyelesaikan Model Pertumbuhan Populasi Rusa ............... 22 Syntax MAPLE 10 untuk Menyelesaikan Model Pertumbuhan Populasi Rusa .................... 23

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan seperti sosial, fisika, biologi, dan kimia bahkan dalam kehidupan sehari-hari seringkali muncul suatu permasalahan yang dapat dimodelkan ke dalam suatu model matematika. Salah satu model matematika yang banyak digunakan adalah persamaan diferensial. Model dalam bentuk persamaan diferensial sering muncul pada berbagai masalah, seperti masalah pendeteksian suatu karya seni, persentase peningkatan kelompok ikan hiu yang hidup di laut mediterania, mendiagnosis diabetes, dan penyebaran gonorrhea (Braun 1993). Beberapa model dalam bentuk persamaan diferensial berupa persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang memuat satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang memuat lebih dari satu variabel bebas. Beberapa contoh model dari persamaan diferensial biasa ditemukan dalam dinamika populasi penduduk, penyerapan zat-zat yang bersifat radiasi, peluruhan suatu zat yang bersifat radioaktif, pengukuran suhu, reaksi-reaksi kimia, dan hal-hal yang berhubungan dengan ekonomi. Beberapa contoh model dari persamaan diferensial parsial, di antaranya digunakan untuk model arus lalu lintas di jalan yang ramai, aliran darah melalui tabung elastis tembok, dan gelombang kejut sebagai kasus khusus dari teori umum gas dinamika hidrolik (Wazwaz 2002). Beberapa penelitian telah dilakukan untuk memperoleh solusi dari masalah yang dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial. Salah satu metode untuk memperoleh solusi dari model matematika tersebut adalah Metode Dekomposisi Adomian. Metode Dekomposisi Adomian merupakan salah satu metode yang akan dibahas dalam tulisan ini. Metode ini telah digunakan untuk memperoleh solusi dari sistem persamaan diferensial linear maupun taklinear dengan orde yang besar (Adomian 1994). Dalam metode ini, solusi persamaan diferensial dimisalkan dalam bentuk deret. Kekonvergenan deret dalam metode ini telah dikaji oleh beberapa peneliti, di antaranya Abbaoui dan Cherruault (1996), Seng et al

(1996), Cherruault (1989), serta Cherruault dan Adomian (1993). Mereka mengkaji kriteria agar kekonvergenan deret dapat cepat tercapai. Abbaoui dan Cherruault telah mengusulkan suatu bukti mengenai kekonvergenan deret pada dekomposisi Adomian (Adomian 1988). Berdasarkan hal tersebut di atas, maka dalam tulisan ini akan dibahas penggunaan Metode Dekomposisi Adomian pada model persamaan berupa Persamaan Diferensial Abelian. Salah satu kasus khusus dari Persamaan Diferensial Abelian adalah Persamaan Diferensial Riccati. Persamaan Diferensial Riccati banyak muncul pada masalah kontrol optimum, dimana solusi Persamaan Diferensial Riccati digunakan sebagai fungsi transfer pada masalah kontrol optimum (Jaradat 2008). Selain itu, model dalam bentuk Persamaan Diferensial Abelian juga muncul pada masalah pertumbuhan populasi rusa pada suatu wilayah (Giordano dan Weir 1991). 1.2 Tujuan Penulisan Berdasarkan uraian dalam latar belakang, tujuan dari penulisan ini adalah a. Mengkonstruksi suatu persamaan numerik untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Abelian dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. b. Mengkaji validitas Metode Dekomposisi Adomian dengan cara membandingkan dengan solusi eksak atau solusi dengan metode Runge-Kutta orde empat untuk beberapa contoh kasus. 1.3 Sistematika Penulisan Tulisan ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi tentang latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua adalah landasan teori yang berisi tentang metode analitik dan numerik untuk menyelesaikan suatu masalah nilai awal atau masalah nilai batas. Bab ketiga merupakan pembahasan yang berisi tentang analisis metode yang digunakan dalam tulisan ini serta aplikasi dan hasil numerik yang didalamnya membahas tentang Metode Dekomposisi Adomian. Validitas dari metode ini juga dibahas dalam bab ini. Bab terakhir berupa kesimpulan dari keseluruhan tulisan ini.

II LANDASAN TEORI Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan dari suatu fungsi. Bila fungsi tersebut tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB), sedangkan bila fungsi tersebut memuat lebih dari satu variabel bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Bentuk umum PDB linear orde ke-n adalah an ( x) y ( n ) + … + a1 ( x) y '+ a0 ( x) y = f ( x) dengan an ≠ 0 , an ( x),...., a0 ( x) disebut koefisien persamaan diferensial, sedangkan bila tidak dapat dinyatakan seperti bentuk di atas disebut persamaan diferensial taklinear. Seringkali persamaan diferensial dilengkapi nilai awal atau nilai batas. Masalah persamaan diferensial yang dilengkapi dengan suatu nilai awal disebut masalah nilai awal. Sedangkan masalah persamaan diferensial yang dilengkapi dengan suatu nilai batas disebut masalah nilai batas. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan suatu masalah nilai awal atau masalah nilai batas. Secara analitik dapat digunakan metode pemisahan variabel, tetapi hanya untuk persamaan diferensial yang dapat dipisah. Secara numerik dapat digunakan metode Runge-Kutta orde empat dan metode iterasi Picard. Konsep dasar metode-metode tersebut akan disarikan dari pustaka (Sahid 2005) dan (Zwillinger 1992). 2.1 Metode Pemisahan Variabel Metode pemisahan variabel digunakan dalam tulisan ini untuk memperoleh solusi dari masing-masing masalah nilai awal. Berikut ini merupakan konsep dasar dari metode pemisahan variabel. Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde satu sebagai berikut f ( x) y' = , (2.1) g ( y) dengan nilai awal yang diberikan y ( x0 ) = y0 . Dalam metode pemisahan variabel, persamaan (2.1) dinyatakan dalam persamaan berikut g ( y ) dy = f ( x ) dx . (2.2)

Selanjutnya, akan diperoleh solusi dari masalah nilai awal (2.1) dengan

mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (2.2), sehingga diperoleh persamaan berikut (2.3) ∫ g ( y) dy = ∫ f ( x) dx + y0 . Untuk memahami metode pemisahan variabel, tinjau contoh berikut. Misalkan diberikan persamaan diferensial orde satu berikut x y' = (2.4) y dengan nilai awal y (0) = 1 . Solusi dari masalah nilai awal (2.4) dapat dicari dengan menggunakan metode pemisahan variabel yang dinyatakan dalam persamaan berikut (2.5) y dy = x dx dengan solusi berbentuk y2 = x2 + 1 (2.6) atau secara eksplisit dapat juga dinyatakan dalam persamaan berikut y ( x) = ± 1 + x 2 .

2.2 Metode Runge-Kutta Orde Empat Salah satu metode numerik yang digunakan pada tulisan ini adalah metode Runge-Kutta orde empat. Metode ini digunakan sebagai pembanding dari metode yang akan dikaji khususnya pada masalah nilai awal atau masalah nilai batas yang sulit diselesaikan secara analitik. Tinjau masalah nilai awal berikut (2.7) y ' = f ( x, y ) , dengan nilai awal y ( x0 ) = y0 . Solusi masalah nilai awal (2.7) dapat dilakukan dengan metode Runge-Kutta orde empat yang dirumuskan sebagai berikut h y ( xk +1 ) = y ( xk ) + [ S1 + 2( S 2 + S3 ) + S 4 ] 6 (2.8) dengan S1 = f ( xk , yk ) S 2 = f ( xk + h / 2, yk + hS1 / 2), S3 = f ( xk + h / 2, yk + hS2 / 2), S 4 = f ( xk + h, yk + hS3 )

h = xk − xk −1 .

3

Untuk memahami metode Runge-Kutta orde empat, tinjau contoh berikut.

masalah nilai awal atau masalah nilai batas dengan ketelitian yang tinggi. Ketelitian metode ini pada masalah nilai awal (2.9) diberikan pada Tabel 1.

Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde satu berikut y ' = 2 xy + xy 2 pada [0,1] , (2.9) dengan nilai awal y(0) = 1 . Lebar langkah yang digunakan dalam metode ini dimisalkan h = 0.05. Rumusrumus Si pada metode Runge-Kutta orde empat adalah

Tabel 1 Galat hampiran solusi masalah nilai awal (2.9)

S1 = 2 x0 y0 + x0 y0 2 , 2

h ⎞⎛ S ⎞ ⎛ h ⎞⎛ S ⎞ ⎛ S 2 = 2 ⎜ x0 + ⎟⎜ y0 + h 1 ⎟ + ⎜ x0 + ⎟⎜ y0 + h 1 ⎟ , 2 2 2 2⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 2

h ⎞⎛ S ⎞ ⎛ h ⎞⎛ S ⎞ ⎛ S3 = 2 ⎜ x0 + ⎟⎜ y0 + h 2 ⎟ + ⎜ x0 + ⎟⎜ y0 + h 2 ⎟ , 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝ S 4 = 2 ( x0 + h )( y0 + hS3 ) + ( x0 + h )( y0 + hS3 ) . 2

Jadi rumus rekursif suku-suku yn berdasarkan persamaan (2.8) adalah h y ( xk +1 ) = y ( xk ) + ⎡⎣ S1 + 2 ( S2 + S3 ) + S 4 ⎤⎦ . 6 Solusi eksak masalah nilai awal (2.9) adalah

y ( x) =

2e x

2

3 − ex

2

.

(2.10) Penurunan persamaan (2.10) dapat dilihat pada Lampiran 1. Gambar 1 berikut ini merupakan grafik dari solusi eksak dan solusi hampiran dari masalah nilai awal (2.9) dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. 20 metode Runge-Kutta solusi eksak

18 16 14

xn

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Solusi yn RK-4 eksak 1.0000 1.0000 1.0152 1.0152 1.0625 1.0625 1.1482 1.1482 1.2850 1.2850 1.4966 1.4966 1.8298 1.8298 2.3870 2.3870 3.4371 3.4372 5.9772 5.9777 19.1626 19.2979

Galat 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1 x 10-4 5 x 10-4 1.3 x 10-1

2.3 Metode Iterasi Picard Metode iterasi Picard merupakan metode yang menghasilkan suatu solusi secara numerik pada suatu masalah nilai awal. Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde satu sebagai berikut y ' = f ( x, y ) , (2.11) dengan nilai awal y ( x0 ) = y0 . Persamaan diferensial (2.11) dapat juga dinyatakan dalam bentuk persamaan integral berikut x

y ( x) = y0 + ∫ f ( z , y ( z )) dz .

(2.12)

x0

Solusi persamaan integral (2.12) dapat diperoleh dengan menggunakan metode iterasi Picard. Misalkan diberikan hampiran awal y0 ( x ) = y0 yang akan digunakan untuk mendekati hampiran suku berikutnya. Dengan mensubstitusi y0 ( x) ke dalam ruas kanan persamaan (2.12) diperoleh x

y1 ( x) = y0 + ∫ f ( z, y0 ( z )) dz .

12 10

x0

8 6 4 2 0

n

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Gambar 1 Perbandingan solusi eksak dan solusi hampiran masalah nilai awal (2.9).

Berdasarkan Gambar 1 disimpulkan bahwa metode Runge-Kutta orde empat cocok digunakan untuk menyelesaikan suatu

Selanjutnya, y1 ( x) digunakan sebagai hampiran awal untuk memperoleh y2 ( x) , dan seterusnya. Solusi hampiran y1 ( x) yang diperoleh merupakan solusi hampiran yang lebih baik dari hampiran sebelumnya yaitu y0 ( x) . Secara umum, diperoleh hampiran ke(n+1) dari hampiran ke-n dengan mengikuti aturan rekursif berikut x

yn +1 ( x) = y0 + ∫ f ( z, yn ( z )) dz, n ≥ 0 . x0

4

(2.13) Dengan demikian diperoleh barisan hampiran solusi y0 ( x ), y1 ( x ), y 2 ( x ),… . Barisan ini akan konvergen ke suatu fungsi yang menunjukkan solusi dari masalah nilai awal. Untuk memahami metode iterasi Picard, tinjau contoh berikut. Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde satu berikut y ' = xy , (2.14) dengan nilai awal y(0) = 1 . Solusi dari masalah nilai awal (2.14) dapat dicari dengan menggunakan metode iterasi Picard yang didasarkan pada persamaan (2.13) yaitu x

yn +1 = y0 + ∫ ( xyn ( z ) ) dz . 0

(2.15) Dengan menggunakan aturan rekursif pada persamaan (2.15) diperoleh y0 = 1 x2 2 x2 x4 y2 = 1 + + 2 8 x 2 x 4 x6 y3 = 1 + + + 2 8 48 x2 x 4 x6 x8 + y4 = 1 + + + 2 8 48 384 x10 x2 x4 x6 x8 + + y5 = 1 + + + 2 8 48 384 3840 . Solusi eksak masalah nilai awal (2.14) yaitu y1 = 1 +

x2

y ( x) = e 2 . Gambar 2 berikut ini merupakan grafik dari solusi eksak dan solusi hampiran dari masalah nilai awal (2.14) dengan menggunakan metode iterasi Picard. 8 metode iterasi Picard solusi eksak

7

6

5

4

3

2

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Gambar 2 Perbandingan solusi eksak dan solusi hampiran masalah nilai awal (2.14).

Berdasarkan Gambar 2 disimpulkan bahwa metode iterasi Picard cocok digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah nilai awal atau masalah nilai batas dengan ketelitian yang tinggi. Ketelitian metode ini pada masalah nilai awal (2.14) diberikan pada Tabel 2. Tabel 2 Galat hampiran solusi masalah nilai awal (2.14)

n

xn

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Solusi yn Picard eksak 1.0000 1.0000 1.0202 1.0202 1.0833 1.0833 1.1972 1.1972 1.3771 1.3771 1.6484 1.6487 2.0526 2.0544 2.6555 2.6645 3.5606 3.5966 4.9278 5.0531 7.0000 7.3891

Galat 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3x10-4 1.8x10-3 9x10-3 3.6x10-2 1.3x10-2 3.9x10-1

Penggunaan metode Runge-Kutta orde empat lebih efisien dibandingkan dengan metode iterasi Picard. Dalam metode iterasi Picard dibutuhkan orde yang tinggi untuk menghampiri solusi eksak dengan ketelitian yang tinggi. Hal ini tidak diperlukan pada metode Runge-Kutta orde empat. 2.4 Deret Maclaurin Pada tulisan ini, deret Maclaurin digunakan untuk memperoleh polinomial Adomian dari Metode Dekomposisi Adomian. Deret Maclaurin dapat diperoleh dari deret Taylor. Uraian deret Taylor dari suatu fungsi f ( x ) di sekitar x = a dinyatakan sebagai berikut f '( a ) f ''( a ) f ( x) = f (a ) + ( x - a) + ( x - a)2 + 1! 2! f '''( a ) f ( n ) (a) ( x - a )3 + ... + ( x - a) n . 3! n! Jika a = 0 , maka diperoleh deret Maclaurin berikut f '(0) f ''(0) 2 f '''(0) 3 f ( x) = f (0) + x+ x + x 1! 2! 3! f ( n ) (0) n + ... + x . n!

III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan diformulasikan masalah yang akan dibahas. Solusi masalah akan diselesaikan dengan Metode Dekomposisi Adomian. Selanjutnya, metode ini akan digunakan untuk menyelesaikan model yang dinyatakan dalam bentuk Persamaan Diferensial Abelian. Agar validitas metode ini terjamin, maka pada bagian ini akan dikaji beberapa contoh kasus. Metode Dekomposisi Adomian yang diterapkan dalam tulisan ini mengikuti pustaka ( Adomian 1991). 3.1 Formulasi Masalah Untuk mengkaji lebih lanjut Metode Dekomposisi Adomian, maka tinjau terlebih dahulu persamaan diferensial taklinear berikut F [ y ( x)] = G ( x) , (3.1) dengan F menyatakan operator turunan yang bentuknya taklinear dan G merupakan fungsi yang diketahui, sedangkan y menyatakan fungsi yang akan ditentukan. Misalkan bagian linear dari F dipisah menjadi dua bagian yaitu L dan R, dengan L suatu operator yang mempunyai invers dan R operator linear lainnya. Bagian taklinear dari F, dimisalkan N. Jadi, persamaan diferensial (3.1) dapat ditulis menjadi (L + R + N ) y = G (3.2) atau dapat juga ditulis menjadi Ly = G − Ry − Ny . (3.3) Selanjutnya, dipilih operator turunan L yang memuat turunan dengan orde tertinggi dan mempunyai invers, sedangkan R operator turunan linear lainnya yang mempunyai orde lebih kecil dari L. Metode Dekomposisi Adomian dikonstruksi berdasarkan eksistensi dari invers d , L yaitu L-1 (sebagai contoh, jika L = dx

Ly = 0 , maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah −1

−1

−1

y = h + L G − L Ry − L Ny . (3.4) Dengan demikian solusi persamaan diferensial yang diberikan pada persamaan (3.4) bergantung pada bentuk taklinear L−1 Ny . Karena adanya bentuk taklinear tersebut, maka persamaan diferensial (3.1) sulit diselesaikan secara analitik. Berdasarkan hal tersebut, maka disarankan menggunakan metode yang disebut Metode Dekomposisi Adomian, dengan bentuk taklinear Ny akan didekomposisi dengan cara yang diuraikan pada bagian selanjutnya. 3.2 Metode Dekomposisi Adomian Pada metode ini, solusi persamaan diferensial (3.4) dimisalkan dalam bentuk uraian deret berikut y = y0 + λ y1 + λ 2 y2 +

∞

= ∑ λ n yn , n=0

(3.5) dengan λ suatu parameter, sedangkan y0 , y1 , y2 ,..., yn fungsi yang akan ditentukan. Jika operator taklinear N dikenakan pada y, maka diperoleh Ny = N ( y0 + λ y1 + λ 2 y2 + ) . (3.6) Dengan menggunakan uraian deret Maclaurin pada fungsi Ny dalam persamaan (3.6) terhadap λ diperoleh

Ny = A0 + λ A1 + λ 2 A2 +

∞

= ∑ λ n An , n=0

(3.7) dengan A0 = Ny λ = 0

A1 =

d Ny dλ λ =0

An =

1 dn Ny n! d λ n λ =0

x

−1 maka L (⋅) = ∫ (⋅)ds ). Jika kedua ruas pada 0

persamaan (3.3) dikenakan operator L-1 dari kiri, maka diperoleh solusi takhomogen dari persamaan (3.3) berbentuk −1

−1

−1

y = L G − L Ry − L Ny . Misalkan fungsi h( x) merupakan solusi homogen dari persamaan (3.3) atau persamaan

.

Ny = f ( y ) , Selanjutnya, misalkan sehingga fungsi f merupakan fungsi polinomial yang diberikan oleh persamaan (3.7) dan f juga merupakan fungsi analitik. Fungsi polinomial ini disebut polinomial Adomian. Dengan demikian bentuk

6

Ai , i = 0,1, 2,… pada persamaan (3.7) dapat dinyatakan sebagai berikut A0 = f ( y0 ) A1 = y1 f '( y0 ) y2 A2 = y2 f '( y0 ) + 1 f ''( y0 ) 2 A3 = y3 f '( y0 ) + y1 y2 f ''( y0 ) +

3 1

y f '''( y0 ) 3!

(3.8) Penurunan persamaan (3.8) dapat dilihat pada Lampiran 2. Selanjutnya, misalkan L−1 Ry dan L−1 Ny berorde λ , maka persamaan (3.4) dapat ditulis y = h + L−1G − λ L−1 Ry − λ L−1 Ny . (3.9) Jika y pada persamaan (3.5) dan Ny pada persamaan (3.7) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.9), maka diperoleh ⎛ ⎛ y0 + λ y1 ⎞ ⎞ y0 + λ y1 + λ 2 y2 + = h + L−1G − λ L−1 ⎜⎜ R ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ +λ y2 + ⎠ ⎠ − λ L−1( A0 + λ A1 + λ 2 A2 + )

(3.10) Jika koefisien dari perpangkatan λ dari persamaan (3.10) disamakan pada kedua ruas, maka koefisien dari λ 0 , λ , λ 2 ,... masingmasing memberikan persamaan berikut y0 = h + L−1G

y1 = − L−1 ( Ry0 ) − L−1 ( A0 ) −1

+ [ N ( y0 ) + N ( y1 ) + N ( y2 ) +

]

(3.13) Berdasarkan persamaan (3.11), diperoleh L( y0 ) + L( y1 ) + L( y2 ) +

⎛ − L−1 Ry0 − ⎞ = L ( h + L−1G ) + L ⎜ −1 + ⎜ L A − ⎟⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎛ − L−1 Ry1 − ⎞ + L ⎜ −1 ⎜ L A − ⎟⎟ 1 ⎝ ⎠ = L(h) + G − Ry0 − A0 − Ry1 − A1 −

(3.14) Selain itu, dari persamaan (3.6) dan (3.7) diperoleh N ( y0 + λ y1 + λ 2 y2 + ) = A0 + λ A1 + λ 2 A2 + (3.15) atau N ( y0 ) + λ N ( y1 ) + λ 2 N ( y2 ) + = A0 + λ A1 + λ 2 A2 + (3.16) Jika koefisien dari perpangkatan λ dari persamaan (3.16) disamakan pada kedua ruas, maka koefisien dari λ 0 , λ , λ 2 ,... masingmasing memberikan persamaan berikut A0 = N ( y0 )

A1 = N ( y1 ) A2 = N ( y2 ) (3.17) Jika persamaan (3.14) dan persamaan (3.17) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.13), maka diperoleh persamaan berikut ⎡ R ( y0 ) + R ( y1 ) + ⎤ ⎥+ ⎣ ( y2 ) + ⎦

[ L( y0 ) + L( y1 ) + L( y2 ) + ] + ⎢ R

−1

y2 = − L ( Ry1 ) − L ( A1 ) (3.11) Secara umum bentuk yn adalah

yn = − L−1 ( Ryn -1 ) − L−1 ( An -1 ), n ≥ 1 . Penurunan persamaan (3.11) dapat dilihat pada Lampiran 3. Selanjutnya, berikut ini akan ditunjukkan bahwa y = y0 + y1 + y2 +

⎡ R( y0 ) + R ( y1 ) + ⎤ ⎥ ⎣ R ( y2 ) + ⎦

[ L( y0 ) + L( y1 ) + L( y2 ) + ] + ⎢

∞

= ∑ yn n=0

(3.12) merupakan solusi dari persamaan diferensial (3.1) atau persamaan diferensial (3.2). Jika y pada persamaan (3.12) disubstitusikan ke dalam ruas kiri persamaan (3.1), maka diperoleh ruas kiri persamaan (3.1) berikut

[ N ( y0 ) + N ( y1 ) + N ( y2 ) + ] = [ L(h) + G − Ry0 − A0 − Ry1 − A1 − ]+ [ R( y0 ) + R( y1 ) + R( y2 ) + ] + [ A0 + A1 + A2 + ] =G ,

dengan L ( h ) = 0 karena h solusi homogen dari persamaan (3.3). 3.3 Aplikasi pada Persamaan Diferensial Abelian Bentuk umum Persamaan Diferensial Abelian adalah y ' = f 0 ( x) + f1 ( x) y + f 2 ( x) y 2 + f3 ( x) y3 . (3.18)

Persamaan (3.18) dapat ditulis menjadi Ly − f1 ( x) y − f 2 ( x) N1 ( y ) − f3 ( x) N 2 ( y ) = f 0 ( x) (3.19) dengan

7

d , N1 ( y ) = y 2 , N 2 ( y ) = y 3 . dx Dalam Metode Dekomposisi Adomian, dimisalkan solusi persamaan diferensial (3.18) dinyatakan dalam bentuk deret berikut L=

∞

y ( x ) = ∑ yn ( x ) ,

Jika kedua ruas diperoleh y0 = h + L−1 f 0 ( x)

dibandingkan,

maka

y1 = L−1 ( f1 ( x) y0 + f 2 ( x) A0 + f3 ( x) B0 )

y2 = L−1 ( f1 ( x) y1 + f 2 ( x) A1 + f3 ( x) B1 )

(3.20)

n=0

dengan y0 , y1 , y2 ,... akan ditentukan berikut ini. Bentuk taklinear yang dipilih adalah N1 ( y ) = y 2 dan N 2 ( y) = y3 yang masingmasing memiliki polinomial Adomian sebagai berikut. ∞

N1 ( y ) = ∑ An , n=0 ∞

N 2 ( y ) = ∑ Bn , n=0

(3.21) dengan An dan Bn berturut-turut merupakan uraian polinomial Adomian dari fungsi N1 dan N2. Berdasarkan persamaan (3.9) diperoleh empat suku dari polinomial Adomian untuk masing-masing deret An dan Bn sebagai berikut A0 = y0 2 , A1 = 2 y0 y1 , A2 = 2 y0 y2 + y12 , A3 = 2 y0 y3 + 2 y1 y2 ,

dan

B0 = y03 , B1 = 3y y

2 0 1,

B2 = 3y02 y2 + 3y0 y12 , B3 = 3y02 y3 + 6y0 y1 y2 + y13 . (3.22) Selanjutnya, jika kedua ruas pada persamaan (3.19) dikenakan operator L−1 dari kiri, maka diperoleh bentuk ⎡ f1 ( x) y + f 2 ( x) N1 ( y ) ⎤ −1 y − L−1 ⎢ ⎥ = h + L f 0 ( x) ⎣ + f3 ( x) N 2 ( y ) ⎦ (3.23) Kemudian persamaan (3.20) dan persamaan (3.21) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.23), maka diperoleh bentuk ∞ ⎡ ⎤ f ( x ) An +⎥ ∑ 2 ⎢ ∞ ∞ n =0 ⎥ yn ( x) − L−1 f1 ( x)∑ yn ( x) − L−1 ⎢ ∑ ∞ ⎢ ⎥ n =0 n =0 ⎢ f3 ( x)∑ Bn ⎥ ⎣ ⎦ n =0 −1 = h + L f0 ( x) (3.24)

atau secara umum berbentuk y0 = h + L−1 f 0 ( x ) ⎡ f1 ( x ) y n -1 + f 2 ( x ) An -1 ⎤ y n = L−1 ⎢ ⎥, n ≥1 ⎣ + f 3 ( x ) Bn -1 ⎦ (3.25) Penurunan persamaan (3.22) dan (3.24) masing-masing dapat dilihat pada Lampiran 4 dan 5. Dengan demikian solusi Persamaan Diferensial Abelian (3.18) adalah y ( x ) = y0 ( x ) + y1 ( x ) + y2 ( x ) + dengan y0 , y1 , y2 ,... diberikan oleh persamaan (3.25), sedangkan Ai dan Bi (i = 0,1, 2, …) diberikan oleh persamaan (3.22). Untuk memahami metode yang diberikan di atas, maka berikut ini akan diberikan dua contoh kasus. Pada contoh kasus pertama, Metode Dekomposisi Adomian akan dibandingkan dengan metode Runge-Kutta orde empat. Pada contoh kasus kedua, Metode Dekomposisi Adomian akan dibandingkan dengan solusi eksak masalah nilai awal.

Contoh 1: Misalkan diberikan Persamaan Diferensial Abelian berikut y ' = 4 + 4 xy + 2 xy 2 + x 2 y 3 , (3.26) dengan nilai awal y (0) = 0 . Secara analitik solusi masalah nilai awal (3.26) sulit untuk diselesaikan. Oleh karena itu, masalah nilai awal (3.26) akan diselesaikan dengan menggunakan metode numerik. Berikut ini akan ditentukan solusi hampiran masalah nilai awal (3.26) dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian yang telah diuraikan sebelumnya. Rumus untuk solusi hampiran dari masalah nilai awal (3.26) yang didasarkan pada persamaan (3.25) adalah y0 = 4 x, yn = L−1 ( 4 xyn -1 + 2 xAn -1 + x 2 Bn -1 ) , n ≥ 1

(3.27) dengan solusi homogen h = 0 . Dengan menggunakan aturan rekursif pada persamaan (3.22) diperoleh empat suku

8

polinomial Adomian An dan Bn yang selanjutnya digunakan untuk membentuk solusi y ( x ) . Empat suku dari solusi y ( x ) atau untuk n = 4 diperoleh y0 = 4 x

y4 =

metode Runge-Kutta metode dekomposisi Adomian

12

10

8

3

6

16 x 32 x + 8x4 + 3 3 64 x5 176 x 6 128 x 7 112 x8 1664 x9 y2 = + + + + 15 9 7 3 27 11 512 x + 11 256x 7 1144x 8 35072x 9 58592x10 y3 = + + + 105 45 567 525 81920x11 140480x12 110336x13 + + + 297 567 429 295936x14 7424x16 + + 693 33 y1 =

14

9

10

6

4

2

0

0

1024x 36496x 3424384x + + 945 1575 31185 11576864x12 38692736x13 + + 42525 51975 58741120x14 48458607616x15 + + 43659 30405375 75071168x16 23477248x17 + + 27027 9639 18 19678720x 111284224x19 + + 11583 39501 7106560x 21 + . 6237

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Gambar 3 Perbandingan grafik solusi masalah nilai awal (3.26) dengan metode dekomposisi Adomian untuk n = 5 dan metode Runge-Kutta orde empat. 14 metode Runge-Kutta metode dekomposisi Adomian

12

11

0.1

10

8

6

4

2

0

(3.28) Jadi untuk n = 4 diperoleh solusi hampiran masalah nilai awal (3.26) dengan Metode Dekomposisi Adomian sebagai berikut y ( x ) = y0 + y1 + y2 + y3 + y4 . Untuk suku-suku ke-n dapat dicari berdasarkan aturan rekursif pada persamaan (3.27). Penurunan persamaan (3.27) dan (3.28) masing-masing dapat dilihat pada Lampiran 6 dan 7. Solusi hampiran masalah nilai awal (3.26) akan ditentukan dengan menggunakan software MATLAB untuk memperoleh solusi yn ( x) untuk nilai n yang berbeda. Berikut ini diberikan grafik solusi masalah nilai awal (3.26) dengan Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 5 , n = 10 , n = 15 . Validitas metode ini diperlihatkan dengan membandingkan solusi hampiran dengan metode Runge-Kutta orde empat.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Gambar 4 Perbandingan grafik solusi masalah nilai awal (3.26) dengan metode dekomposisi Adomian untuk n = 10 dan metode Runge-Kutta orde empat. 14 metode Runge-Kutta metode dekomposisi Adomian

12

10

8

6

4

2

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Gambar 5 Perbandingan grafik solusi masalah nilai awal (3.26) dengan metode dekomposisi Adomian untuk n = 15 dan metode Runge-Kutta orde empat.

9

Dari Gambar 3, 4 dan 5 disimpulkan bahwa solusi hampiran dengan Metode Dekomposisi Adomian mendekati solusi dengan Runge-Kutta orde empat dengan ketelitian yang tinggi untuk orde yang makin besar. Ketelitian metode ini pada masalah nilai awal (3.26) diberikan pada Tabel 3. Tabel 3 Galat hampiran solusi masalah nilai awal (3.26) untuk orde yang berbeda

xn 0.00 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0010 0.0080 0.0271 1.4117

Orde ke-n 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0010 0.0061 0.0254 0.2816

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0010 0.0061 0.0253 0.2072

Contoh 2: Misalkan diberikan Persamaan Diferensial Abelian berikut y ' = −2 + y + 2 y 2 − y 3 (3.29) dengan nilai awal y (0) = 0 . Solusi eksak dari persamaan diferensial (3.29) dengan nilai awal y (0) = 0 dinyatakan dalam bentuk implisit berikut 1 1 1 1 ln 1 − y − ln y + 1 − ln y − 2 = x − ln(2). 2 6 3 3 Berikut ini akan ditentukan solusi hampiran masalah nilai awal (3.29) berdasarkan Metode Dekomposisi Adomian yang telah diuraikan sebelumnya. Oleh karena itu, rumus untuk solusi hampiran dari masalah nilai awal (3.29) yang didasarkan pada persamaan (3.25) adalah y 0 = -2 x

y n = L-1 ( y n -1 + 2 An -1 − B n -1 ) , n ≥ 1 (3.30)

y 0 = -2x 8 x3 + 2x4 3 x 3 8 x 4 22 x 5 24 x 7 y2 = − + − − 8x6 − 3 3 15 7 x 4 22 x 5 176 x 6 2432 x 7 y3 = − + − − 12 15 45 315 517 x 8 152 x 9 228 x10 + + + 35 7 35 x 5 26 x 6 358 x 7 514 x 8 y4 = − + − − 60 45 105 315 85499 x 9 736 x10 76204 x11 + + − 2835 189 1155 5896 x12 5896 x13 − − 105 455

y1 = − x 2 +

(3.31) Jadi untuk n = 4 diperoleh solusi hampiran masalah nilai awal (3.29) dengan Metode Dekomposisi Adomian sebagai berikut y ( x ) = y0 + y1 + y2 + y3 + y4 . Untuk suku-suku ke-n dapat dicari berdasarkan aturan rekursif pada persamaan (3.30). Penurunan persamaan (3.30) dan (3.31) masing-masing dapat dilihat pada Lampiran 9 dan 10. Solusi hampiran masalah nilai awal (3.29) akan ditentukan dengan menggunakan software MATLAB untuk memperoleh solusi yn ( x) untuk nilai n yang berbeda. Berikut ini diberikan grafik solusi masalah nilai awal (3.29) dengan Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 5 , n = 10 dan n = 15 . Validitas metode ini diperlihatkan dengan membandingkan solusi hampiran dengan Metode Dekomposisi Adomian dan solusi eksak. 0 metode Runge-Kutta metode dekomposisi Adomian solusi eksak

-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6

dengan solusi homogen h = 0 . Dengan menggunakan aturan rekursif pada persamaan (3.22) diperoleh empat suku polinomial Adomian An dan Bn yang selanjutnya digunakan untuk membentuk solusi y ( x ) . Empat suku dari solusi y ( x ) atau untuk n = 4 diperoleh

-0.7 -0.8 -0.9 -1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Gambar 6 Perbandingan grafik solusi masalah nilai awal (3.29) metode dekomposisi Adomian untuk n = 5 dan solusi eksak.

10

3.4 Aplikasi pada Model Pertumbuhan Populasi Rusa Persamaan Diferensial Abelian juga muncul dalam pemodelan dari pertumbuhan populasi rusa pada suatu wilayah (Giordano dan Weir 1991). Misalkan Y menyatakan jumlah populasi rusa, maka rata-rata pertumbuhan populasi rusa dalam wilayah tersebut dinyatakan dalam model persamaan berikut

0 metode Runge-Kutta metode dekomposisi Adomian solusi eksak

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Gambar 7 Perbandingan grafik solusi masalah nilai awal (3.29) metode dekomposisi Adomian untuk n = 10 dan solusi eksak. 0 metode Runge-Kutta metode dekomposisi Adomian solusi eksak

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

0

Gambar 8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Perbandingan grafik solusi masalah nilai awal (3.29) metode dekomposisi Adomian untuk n = 15 dan solusi eksak.

Dari Gambar 6, 7 dan 8 disimpulkan bahwa solusi hampiran dengan Metode Dekomposisi Adomian mendekati solusi eksak untuk orde yang makin besar. Ketelitian metode ini pada masalah nilai awal (3.29) diberikan pada Tabel 4. Tabel 4 Galat hampiran solusi masalah nilai awal (3.29) untuk orde yang berbeda

xn 0.00 0.10 0.20 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65

5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0078 0.0447 0.1998

Orde ke-n 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0075 0.1429

15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0032 0.1360

dY = kY ( M − Y )(Y − m ) dt

(3.32) dengan k menyatakan konstanta pembanding, sedangkan M dan m masing-masing menyatakan jumlah maksimum populasi rusa dan jumlah minimum populasi rusa. Berikut ini ilustrasi mengenai pemakaian Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan model yang diberikan pada persamaan (3.32). Berdasarkan persamaan (3.32) , model matematika untuk pertumbuhan populasi rusa dalam wilayah tersebut adalah y ' = −35 y + 5.35 y 2 − 0.05 y 3 . (3.33) Asumsikan pada awal pengamatan terdapat 50 ekor rusa sehingga diperoleh nilai awal berikut y (0) = 50 . Berikut ini akan ditentukan solusi hampiran masalah nilai awal (3.33) berdasarkan Metode Dekomposisi Adomian yang telah diuraikan sebelumnya. Oleh karena itu, rumus untuk solusi hampiran dari masalah nilai awal (3.33) yang didasarkan pada persamaan (3.25) adalah y0 = 50 yn = L−1 (−35 yn −1 + 5.35 An −1 − 0.05Bn −1 ), n ≥ 1 (3.34) dengan solusi homogen h = 0 . Dengan menggunakan aturan rekursif pada persamaan (3.22) diperoleh empat suku polinomial Adomian An dan Bn yang selanjutnya digunakan untuk membentuk solusi y ( x ) . Empat suku n = 4 dari solusi

y ( x ) adalah y0 = 50 y1 = 5375t y2 = 335938t 2 y3 = −6.70755x106t 3 y4 = −4.09179x109 t 4 .

(3.35)

11

Jadi untuk n = 4 diperoleh solusi hampiran masalah nilai awal (3.33) dengan Metode Dekomposisi Adomian sebagai berikut y ( x ) = y0 + y1 + y2 + y3 + y4 . Untuk suku-suku ke-n dapat dicari berdasarkan aturan rekursif pada persamaan (3.34). Penurunan persamaan (3.34) dan (3.35) masing-masing dapat dilihat pada Lampiran 12 dan 13. Solusi hampiran masalah nilai awal (3.33) akan ditentukan dengan menggunakan software MATLAB untuk memperoleh solusi yn ( x) untuk nilai n yang berbeda. Berikut ini diberikan grafik solusi masalah nilai awal (3.33) dengan Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 5 , n = 10 dan n = 15 . Validitas metode ini diperlihatkan dengan membandingkan solusi hampiran dengan Metode Dekomposisi Adomian dan solusi eksak. 140

Gambar 10 Bidang fase pertumbuhan populasi rusa dengan M = 100 dan m = 7.

120

populasi rusa

Dari Gambar 9 disimpulkan bahwa solusi hampiran dengan Metode Dekomposisi Adomian mendekati solusi numerik untuk orde yang makin besar. Gambar 10 berikut ini menunjukkan bidang fase pertumbuhan populasi rusa berdasarkan model matematika pada persamaan (3.33).

100 80 60 40 20 0 0.000

0.005

0.010

0.015

waktu

Gambar 9 Perbandingan grafik solusi masalah nilai awal (3.33) metode dekomposisi Adomian dan solusi numerik. Simbol: blue;solusi numerik: red; n = 5 : yellow; n = 10 :green; n = 15

0.020

Berdasarkan Gambar 10 disimpulkan bahwa populasi rusa akan mengalami kepunahan, jika populasi rusa berada di bawah jumlah m = 7. Jika populasi rusa berada di antara 7 ≤ y (t ) ≤ 100 , maka populasi rusa akan mengalami peningkatan hingga jumlah 100. Jika populasi rusa berada di atas 100, maka populasi rusa akan menurun kemudian meningkat hingga mencapai jumlah 100.

12

IV KESIMPULAN Metode Dekomposisi Adomian yang dikaji pada tulisan ini dapat digunakan untuk mendekati solusi hampiran dari Persamaan Diferensial Abelian. Dari beberapa contoh yang telah diuraikan ditunjukkan bahwa persamaan diferensial yang diselesaikan dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian memberikan solusi yang mendekati solusi eksak maupun solusi numerik yang salah satunya diperoleh dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Beberapa contoh numerik telah disajikan untuk mengilustrasikan ketelitian dari Metode Dekomposisi Adomian. Metode ini merupakan metode yang cocok digunakan dalam mendekati solusi eksak dari setiap persamaan diferensial. Hal lain yang merupakan keuntungan Metode Dekomposisi Adomian adalah kekonvergenan yang dapat tercapai untuk orde

yang makin tinggi yang dinyatakan dalam rangkaian solusi deret. Solusi dari Metode Dekomposisi Adomian yang diperoleh dapat diterapkan untuk berbagai jenis persamaan diferensial biasa baik yang linear maupun taklinear. Berdasarkan contoh kasus pada pertumbuhan populasi rusa yang diselesaikan dengan Metode Dekomposisi Adomian dan bidang fase disimpulkan bahwa populasi rusa akan mengalami kepunahan jika populasi rusa berada di bawah jumlah minimum. Populasi rusa akan mengalami peningkatan yang kontinu jika berada di antara selang jumlah minimum dan maksimum. Kemudian, jika populasi rusa berada di atas jumlah maksimum, maka populasi rusa akan menurun kemudian meningkat kembali hingga mencapai jumlah maksimum.

DAFTAR PUSTAKA Abbaoui K, Cherruault Y. 1996. New Ideas for Proving Convergence of Decomposition Method. Jurnal of Applied 29(7):103-108. Adomian G. 1988. A Review of the Decomposition Method in Applied Mathematics. Jurnal of Applied 135(2):501-544. Adomian G. 1994. Solving Frontier Problems of Physics the Decomposition Method. Kluwer Academic. Braun M. 1993. Differential Equation and Their Applications. Ed ke-4. New York: Springer. Cherruault Y. 1989. Convergences of Adomian’s Method. Math 18(2):31-38. Cherruault Y, Adomian G. 1993. Decomposition Methods: A New Proof of Convergence. Math 18(12):103-106.

Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications. Singapore: McGraw-Hill. Giordano FR, Weir MD. 1991. Differential Equations a Modeling Approach. Addison-Wesley Pub Co. Jaradat OK. 2008. Adomian Decomposition Method for solving Abelian Differential Equation. Jurnal of Applied 8(10):19621966. Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI Yogyakarta. Seng et al. 1996. Adomian’s Polinomials for Nonlinear Operators. Math 24(1):59-65. Wazwaz AM. 2002. Partial Differential Equation Method and Applications. Netherland: Balkema. Zwillinger D. 1992. Handbook of Differential Equation. Second edition. Ed ke-2. San Diego: Academic Press.

13

LAMPIRAN

14

Lampiran 1

Penurunan persamaan (2.10)

Tinjau persamaan (2.9) yang ditulis kembali sebagai berikut: y ' = 2 xy + xy 2 atau dapat juga ditulis menjadi persamaan berikut y ' = xy( y + 2) dan nilai awal y (0) = 1 . Solusi eksak masalah nilai awal (2.9) dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel yang telah dikaji sebelumnya. Berikut ini merupakan penurunan persamaan masalah nilai awal (2.9) dalam memperoleh solusi eksak. Dari y ' = xy ( y + 2) atau dy = xy ( y + 2) dx diperoleh dy ∫ y( y + 2) = ∫ xdx atau 1 1 1 1 dy − ∫ dy = ∫ xdx ∫ 2 y 2 y+2 atau 1 1 1 ln y − ln( y + 2) = x 2 + c 2 2 2 atau ⎛ y ⎞ 1 2 ln ⎜ = x +c ⎜ y + 2 ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠ atau 1 2 x y = Ae 2 . y+2 Jika nilai awal y (0) = 1 disubstitusikan ke dalam persamaan terakhir di atas, maka diperoleh A=

1 3 , sehingga diperoleh 3 1 2 x y 1 = 3e 2 y+2 3

atau y 1 2 = ex . y+2 3 Dengan demikian solusi masalah nilai awal (2.9) adalah

y ( x) =

2e x

2

3 − ex

2

.

15

Lampiran 2

Penurunan Persamaan (3.8)

Misalkan bentuk taklinear N ( y ) dinyatakan dalam fungsi f ( y ) berupa fungsi polinomial ∞

berikut

f ( y ) = ∑ λ n An n=0

dengan An =

1 dn Ny . n! d λ n λ =0

(6.1) Fungsi f diasumsikan analitik terhadap λ sehingga f dapat diturunkan hingga n kali terhadap λ . Dari definisi N ( y ) = f ( y ) , maka persamaan (6.1) dapat ditulis menjadi 1 dn f ( y (λ )) . n! d λ n λ =0

An =

(6.2) Jika dinotasikan D =

d , maka persamaan (6.2) menjadi dλ 1 An = ( D n f ) λ =0 n! (6.3)

dimana D f notasi untuk turunan ke-n dari f terhadap λ . Dengan menggunakan aturan rantai, maka persamaan (6.3) memberikan ∂f ∂y A1 = D1 f = = y1 f '( y0 ) ∂y ∂λ n

A2 =

1 2 1 ∂ 2 f ⎛ ∂y ⎞ 1 ∂f ∂ 2 y 1 2 D f = = y1 f ''( y0 ) + y2 f '( y0 ) ⎜ ⎟ + 2 2 ∂y 2 ⎝ ∂λ ⎠ 2 ∂y ∂λ 2 2

A3 =

3 1 3 1 ⎛ ∂ 3 f ⎛ ∂y ⎞ ∂ 2 f ∂y ∂ 2 y ∂f ∂ 3 y ⎞ y13 D f = ⎜ 3 ⎜ ⎟ +3 2 f '''( y0 ) + y1 y2 f ''( y0 ) + y3 f '( y0 ) + ⎟= 3! 3! ⎜⎝ ∂y ⎝ ∂λ ⎠ ∂y ∂λ ∂λ 2 ∂y ∂λ 3 ⎟⎠ 3!

2

.

Lampiran 3


Jika ruas kanan persamaan (3.10) berikut ini

y0 + λ y1 + λ 2 y2 +

(

= h + L−1G − λ L−1 R ( y0 + λ y1 + λ 2 y2 +

)) − λL

−1

( A0 + λ A1 + λ 2 A2 + )

diuraikan, maka diperoleh −1

−1

h + L G − λL R

∞

∑λ n =0

−1

−1

n

−1

yn −λ L

(

∞

∑λ

n

n=0

) − λL ( A −1

= h + L G − λ L R y0 + λ y1 + λ y2 + −1

(

−1

An

2

0

2 −1

2

3 −1

−1

(

−1

−1

)

2

(L

−1

) − (λ L ( A ) + λ L ( A ) + λ L ( A ) + ) ( A ) ) − λ ( L ( Ry ) + L ( A ) ) − −1

= h + L G − λ L ( Ry0 ) + λ L ( Ry1 ) + λ L ( Ry2 ) + = h + L G − λ L ( Ry0 ) + L ( A0 ) − λ

)

+ λ A1 + λ A2 +

2 −1

0

−1

( Ry1 ) + L

3

1

3 −1

1

−1

2

−1

2

2

16

Selanjutnya, koefisien dari pangkat

λ yang sama pada kedua ruas dibandingkan, diperoleh

−1

y0 = h + L G −1

−1

−1

−1

−1

−1

y1 = − L ( Ry0 ) − L ( A0 ) y2 = − L ( Ry1 ) − L ( A1 ) y3 = − L ( Ry2 ) − L ( A2 ) .

Lampiran 4


Berdasarkan persamaan (3.21) berikut ∞

2

N1 ( y ) = y =

∑ n =0

∞

3

An , N 2 ( y ) = y =

∑B , n =0

n

dan persamaan (3.8) berikut A0 = f ( y0 ) A1 = y1 f '( y0 ) 2

A2 = y2 f '( y0 ) +

y1 2

f ''( y0 ) 3

A3 = y3 f '( y0 ) + y1 y2 f ''( y0 ) +

y1

f '''( y0 ) 3! maka berikut ini, empat suku polinomial Adomian untuk masing-masing nilai An dan Bn , adalah

A0 = f ( y0 ) = N ( y0 ) = y0 2 A1 = y1 f '( y0 ) = y1 N '( y0 ) = 2 y0 y1 y12 y2 y2 f ''( y0 ) = y2 N '( y0 ) + 1 N ''( y0 ) = 2 y0 y2 + 1 2 = 2 y0 y2 + y12 2! 2! 2! y13 y3 A3 = y3 f '( y0 ) + y1 y2 f ''( y0 ) + f '''( y0 ) = y3 N '( y0 ) + y1 y2 N ''( y0 ) + 1 N '''( y0 ) = 2 y0 y3 + 2 y1 y2 3! 3!

A2 = y2 f '( y0 ) +

B0 = f ( y0 ) = N ( y0 ) = y03 B1 = y1 f '( y0 ) = y1 N '( y0 ) = 3 y0 2 y1 y12 y2 y2 f ''( y0 ) = y2 N '( y0 ) + 1 N ''( y0 ) = 3 y0 2 y2 + 1 (6 y0 ) = 3 y0 2 y2 + 3 y0 y12 2! 2! 2! 3 y y3 B3 = y3 f '( y0 ) + y1 y2 f ''( y0 ) + 1 f '''( y0 ) = y3 N '( y0 ) + y1 y2 N ''( y0 ) + 1 N '''( y0 ) 3! 3! 3 y = 3 y0 2 y3 + 6 y0 y1 y2 + 6 1 = 3 y0 2 y3 + 6 y0 y1 y2 + y13 . 3!

B2 = y2 f '( y0 ) +

Lampiran 5


Tinjau persamaan (3.19) berikut Ly = f0 ( x) + f1 ( x) y + f 2 ( x) N1 ( y) + f3 ( x) N2 ( y) dan persamaan (3.23) berikut y ( x) = h + L−1 f 0 ( x) + L−1 f1 ( x) y( x) + L−1 f 2 ( x) N1 ( y) + L−1 f3 ( x) N 2 ( y) .

17

Jika y ( x) pada persamaan (3.20) dan N1 ( y ), N 2 ( y ) pada persamaan (3.21) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.23), maka diperoleh ∞

∞

∞

∞

n =0

n =0

n=0

∑ yn ( x) = c + L−1 f0 ( x) + L−1 f1 ( x)∑ yn ( x) + L−1 f 2 ( x)∑ An + L−1 f3 ( x)∑ Bn n=0

⎡ ⎤ = c + L−1 f 0 ( x ) + L−1 f1 ( x)∑ yn ( x ) + L−1 ⎢ f 2 ( x )∑ An + f 3 ( x )∑ Bn ⎥ . n=0 n=0 n=0 ⎣ ⎦ ∞

Lampiran 6

∞

∞


Jika Persamaan Diferensial Abelian (3.18) berikut y ' = f 0 ( x) + f1 ( x) y + f 2 ( x) y 2 + f3 ( x) y3 , dibandingkan dengan persamaan diferensial (3.26) berikut y ' = 4 + 4 xy + 2 xy 2 + x 2 y 3 , maka diperoleh bentuk f 0 ( x) = 4; f1 ( x) = 4 x; f 2 ( x) = 2 x; f3 ( x) = x 2 . Berdasarkan persamaan (3.25) berikut y0 = c + L−1 f 0 ( x) yn = L−1 ( f1 ( x) yn −1 + f 2 ( x) An −1 + f 3 ( x) Bn −1 ), n ≥ 1 diperoleh y0 = 4 x,

yn = L−1 ( 4 xyn-1 + 2 xAn-1 + x 2 Bn-1 ) , n ≥ 1

Lampiran 7

.


Software Mathematica 6 digunakan untuk memperoleh solusi hampiran persamaan (3.26) secara numerik. Berikut ini diberikan perintah untuk menentukan suku-suku yn yang merupakan solusi dari persamaan diferensial (3.26) dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Dalam metode ini telah diperoleh persamaan (3.27) berikut y0 = 4 x, yn = L−1 ( 4 xyn-1 + 2 xAn-1 + x 2 Bn-1 ) , n ≥ 1

dengan An , Bn pada persamaan (3.22) yang merupakan suku-suku polinomial Adomian yang akan digunakan dalam menyusun syntax berikut ini. Syntax Mathematica 6 In[1] y0:=4*x In[2] y1=Integrate[4*x*y0+2*x*y02+x2*y03,x] Out[2] (16*x3)/3+8*x4+(32*x6)/3 In[3] y2=Integrate[4*x*y1+2*x*2*y0*y1+x2*3*y02*y1,x] Out[3](64*x5)/15+(176*x6)/9+(128*x7)/7+(112*x8)/3+(1664*x9)/27+(51* x11)/11 In[4] y3=Integrate[4*x*y2+2*x*(y12+2*y0*y2)+x2*(3*y0*y12+3*y02*y2),x] Out[4](256*x7)/105+(1144*x8)/45+(35072*x9)/567+(58592*x10)/525+(819 20*x11)/297+(140480*x12)/567+(110336*x13)/429+(295936*x14)/693+(742 4*x16)/33 2 *(y13+6*y0*y1*y2+3 In[5]y4=Integrate[4*x*y3+2*x*(2*y1*y2+2*y0*y3)+x 2 y0 *y3),x] Out[5](1024x9)/945+(36496*x10)/1575+(3424384*x11)/31185+(11576864* 14 )/42525+(38692736*x13)/51975+(58741120*x )/43659+(48458607616* x12 15 16 x )/30405375+(75071168*x )/27027+(23477248*x17)/9639+(19678720*x1 8 19 21 )/11583+(111284224*x )/39501+(7106560*x )/6237

18

Langkah di atas dapat dilanjutkan untuk menentukan yn , n ≥ 6 .

Lampiran 8

Syntax MATLAB 7.0.1 untuk menyelesaikan Contoh 1

Untuk menyelesaikan masalah pada Contoh 1, dimisalkan: xn = 0.5 h = 0.01 x0 = 0 y0 = 0 . Berikut ini syntax MATLAB 7.0.1 untuk menyelesaikan Contoh 1. xn=0.5; h=0.01; x0=0; y0=0; h0=0; yh=[x0 y0]; for k=1(xn/h); x=x0+h; s1=4+(4*x0*y0)+(2*x0*(y0^2))+((x0^2)*(y0^3)); s2=4+(4*(x0+(h/2))*(y0+h*s1/2))+(2*(x0+h/2)*((y0+h*s1/2)^2))+( ((x0+h/2)^2)*((y0+h*s1/2)^3)); s3=4+(4*(x0+h/2)*(y0+h*s2/2))+(2*(x0+h/2)*((y0+h*s2/2)^2))+((( x0+h/2)^2)*((y0+h*s2/2)^3)); s4=4+(4*x*(y0+h*s3))+(2*(x)*((y0+h*s3)^2))+((x.^2)*((y0+h*s3)^ 3)); y=y0+h*(s1+2*(s2+s3)+s4)/6; yh=[yh;x y]; x0=x;y0=y; end yh a=yh(,1); b=yh(,2); plot(a,b) hold on x=0;0.01;0.5; plot(x,4*x+(16*x.^3)/3+8*x.^4+(32*x.^6)/3+(64*x.^5)/15+(176*x.^6)/ 9+(128*x.^7)/7+(112*x.^8)/3+(1664*x.^9)/27+(512*x.^11)/11+(256* x.^7)/105+(1144*x.^8)/45+(35072*x.^9)/567+(58592*x.^10)/525+(81 920*x.^11)/297+(140480*x.^12)/567+(110336*x.^13)/429+(295936*x. ^14)/693+(7424*x.^16)/33+(1024*x.^9)/945+(36496*x.^10)/1575+(34 24384*x.^11)/31185+(11576864*x.^12)/42525+(38692736*x.^13)/5197 5+(58741120*x.^14)/43659+(48458607616*x.^15)/30405375+(75071168 *x.^14)/27027+(23477248*x.^17)/9639+(19678720*x.^18)/11583+(111 28422*x.^19)/39501+(7106560*x.^21)/6237,'--') hold off .

Lampiran 9


Jika Persamaan Diferensial Abelian (3.18) berikut

19

y ' = f 0 ( x) + f1 ( x) y + f 2 ( x) y 2 + f3 ( x) y3 , dibandingkan dengan persamaan diferensial (3.29) berikut y ' = −2 + y + 2 y 2 − y 3 maka diperoleh bentuk f 0 ( x) = −2; f1 ( x) = 1; f 2 ( x) = 2; f3 ( x) = −1 . Berdasarkan persamaan (3.25) berikut y0 = c + L−1 f 0 ( x) yn = L−1 ( f1 ( x) yn −1 + f 2 ( x) An −1 + f 3 ( x) Bn −1 ), n ≥ 1 diperoleh y0 = −2 x, yn = L−1 ( yn-1 + 2 An −1 − Bn-1 ) , n ≥ 1 .

Lampiran 10


Software Mathematica 6 digunakan untuk memperoleh solusi hampiran persamaan (3.29) secara numerik. Berikut ini diberikan perintah untuk menentukan suku-suku yn yang merupakan solusi dari persamaan diferensial (3.29) dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Dalam metode ini telah diperoleh persamaan (3.30) berikut y0 = −2 x, yn = L−1 ( yn-1 + 2 An −1 − Bn-1 ) , n ≥ 1 dengan An , Bn pada persamaan (3.22) yang merupakan suku-suku polinomial Adomian yang akan digunakan dalam menyusun syntax berikut ini. Syntax Mathematica 6 In [1] y0:=-2 x In [2] y1=Integrate[y0+2y02-y03,x] Out [2] -x2+(8x3)/3+2x4 In [3] y2=Integrate[y1+4y0*y1-3y02*y1,x] Out [3] -(x3/3)+(8 x4)/3-(22 x5)/15-8 x6-(24 x7)/7 In [4] y3=Integrate[y2+2(y12+2y0*y2)-(3y0*y12+3y02*y2),x] Out [4] -(x4/12)+(22*x5)/15-(176x6)/45-(2432x7)/315+(517 x8)/35+(152x9)/7+(228x10)/35 In [5] y4=Integrate[y3+2*(2y1*y2+2y0*y3)-(y13+6y0*y1*y2+3y02y3),x] Out [5] -(x5/60)+(26x6)/45-(358x7)/105(514x8)/315+(85499x9)/2835+(736x10)/189-(76204x11)/1155(5896x12)/105-(5896x13)/455 Langkah di atas dapat dilanjutkan untuk menentukan yn , n ≥ 6 .

Lampiran 11

Syntax MATLAB 7.0.1 untuk menyelesaikan Contoh 2

Untuk menyelesaikan masalah pada Contoh 2, dimisalkan:

20

xn = 0.5

h = 0.01

x0 = 0

y0 = 0 .

Berikut ini syntax MATLAB 7.0.1 untuk menyelesaikan Contoh 2. xn=.5; h=0.01; x0=0; y0=0; h0=0; yh=[x0 y0]; for k=1(xn/h); x=x0+h; s1=-2+y0+2*y0^2-y0^3; s2=-2+(y0+h*s1/2)+2*((y0+h*s1/2)^2)-((y0+h*s1/2)^3); s3=-2+(y0+h*s2/2)+2*((y0+h*s2/2)^2)-((y0+h*s2/2)^3); s4=-2+(y0+h*s3)+2*((y0+h*s3)^2)-((y0+h*s3)^3); y=y0+h*(s1+2*(s2+s3)+s4)/6; yh=[yh;x y]; x0=x;y0=y; end yh a=yh(,1); b=yh(,2); plot(a,b,'LineWidth',2) hold on x=0;0.01;0.5; zz1=-2*x-x.^2+(8*x.^3)/3+2*x.^4 -(x.^3/3)+(8*x.^4)/3-(22*x.^5)/158*x.^6-(24*x.^7)/7 -(x.^4/12)+(22*x.^5)/15-(176*x.^6)/45(2432*x.^7)/315+(517*x.^8)/35+(152*x.^9)/7+(228*x.^10)/35 (x.^5)/60+(26*x.^6)/45-(358*x.^7)/105(514*x.^8)/315+(85499*x.^9)/2835+(736*x.^10)/189(76204*x.^11)/1155-(5896*x.^12)/105-(5896*x.^13)/455(x.^6)/360+(19*x.^7)/105(325*x.^8)/168+(956*x.^9)/405+(767219*x.^10)/28350(6986996*x.^11)/155925(1981766*x.^12)/17325+(3428384*x.^13)/45045+ (24790124*x.^14)/105105+(449632*x.^15)/3185+(84306*x.^16)/318 5-(x.^7/2520)+x.^8/21(19069*x.^9)/22680+(656959*x.^10)/226800+ (4528343*x.^11)/311850-(148980349*x.^12)/2138400(5449942319*x.^13)/97297200+(36740087191*x.^14)/123832800+ (1427236030963*x.^15)/3714984000(46560965233*x.^16)/181621440(61082763354017*x.^17)/43418875500(269974232947049*x.^18)/183891708000+ (9146583579348703*x.^19)/6599669076000+(36411299402681503*x.^ 20)/7815397590000+(178834409096246053*x.^21)/207889575894000(10389706988415274673*x.^22)/816709048155000(641794439427834289*x.^23)/39845502046350+ (114601346378525530666*x.^24)/6431583754220625+(2754699879021 9617878219*x.^25)/547875653137312500+ (2714746056286447622203*x.^26)/2564058056682622500(2659104484473794492516891*x.^27)/33283445928091734375(1982016775878415623281107*x.^28)/37392513326621578125+(31456 17986948001314830303*x.^29)/61964736369830043750+(14643019613 567092168841414*x.^30)/186962566633107890625+(149058969898197 09730543096*x.^31)/747019321791839971875(5184119132521739901448249*x.^32)/240973974771561281250-

21

(24317703014145660388546252*x.^33)/1521706025872266609375(10574610572554140883*x.^34)/6323973094534095+(29414761629668 2683397444*x.^35)/156186835500086015625+(25399160966127136*x. ^36)/38327109663843-(112045166816546*x.^37)/14024466531075(110827008*x.^38)/3062059-(64737058752*x.^39)/13574422225; plot(x,zz1,'--xr') hold on z=[]; for i=1:max(size(x)) t=x(i); z(i)=skrip32(t); end plot(x,z,'--go') hold off size(yh) size(zz1) size(z) yh=[yh zz1' z'].

Lampiran 12


Jika Persamaan Diferensial Abelian (3.18) berikut y ' = f 0 ( x) + f1 ( x) y + f 2 ( x) y 2 + f3 ( x) y3 , dibandingkan dengan persamaan diferensial (3.34) berikut y ' = −35 y + 5.35 y 2 − 0.05 y 3 maka diperoleh bentuk f 0 ( x) = 0; f1 ( x) = −35; f 2 ( x) = 5.35; f3 ( x) = −0.05 . Berdasarkan persamaan (3.25) berikut y0 = h + L−1 f 0 ( x) yn = L−1 ( f1 ( x) yn −1 + f 2 ( x) An −1 + f 3 ( x) Bn −1 ), n ≥ 1 diperoleh y0 = 50, yn = L−1 ( −35 yn-1 + 5.35 An −1 − 0.05Bn-1 ) , n ≥ 1 .

Lampiran 13


Software Mathematica 6 digunakan untuk memperoleh solusi hampiran persamaan (3.33) secara numerik. Berikut ini diberikan perintah untuk menentukan suku-suku yn yang merupakan solusi dari persamaan diferensial (3.33) dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Dalam metode ini telah diperoleh persamaan (3.34) berikut y0 = 50, yn = L−1 ( −35 yn-1 + 5.35 An −1 − 0.05Bn-1 ) , n ≥ 1 dengan An , Bn pada persamaan (3.22) yang merupakan suku-suku polinomial Adomian yang akan digunakan dalam menyusun syntax berikut ini.

Syntax Mathematica 6 In [1] y0=50 In [2] y1=Integrate[f1 y0+f2 y02+f3 y03,x]

22

Out [2] 5375. x In [3] y2=Integrate[f1 y1+f2 (2 y0 y1)+f3 (3 y02 y1),x] Out [3] 335938. x2 In [4] y3=Integrate[f1 y2+f2 (y12+2 y0 y2)+f3 (3 y0 y12+3 y02 y2),x] Out [4] -6.70755×106 x3 In [5] y4=Integrate[f1 y3+f2 (2 y1 y2+2 y0 y3)+f3 (y13+6 y0 y1 y2+3 y02 y3),x] Out [5] -4.09179×109 x4 Langkah di atas dapat dilanjutkan untuk menentukan yn , n ≥ 6 .

Lampiran 14

Syntax Mathematica 6 untuk menyelesaikan model pertumbuhan populasi rusa

Berikut ini dua perintah pada syntax Mathematica 6 untuk menyelesaikan model pertumbuhan populasi rusa. Solusi Numerik k:=0.05;M:=100;m=7; f0:=0;f1:=-k m M;f2:=(m+M) k;f3:=-k; AbelODE=y’[x]==f0+f1y[x]+f2y[x]2+f3y[x]3; sol=NDSolve[{AbelODE,y[0]==50}, y[x],{x,0,10}] Metode Dekomposisi Adomian y0:=50 y1:=Integrate[f1 y0+f2 y02+f3 y03,x] y2:=Integrate[f1 y1+f2 (2 y0 y1)+f3 (3 y02 y1),x] y3:=Integrate[f1 y2+f2 (y12+2 y0 y2)+f3 (3 y0 y12+3 y02 y2),x] y4:=Integrate[f1 y3+f2 (2 y1 y2+2 y0 y3)+f3 (y13+6 y0 y1 y2+3 y02 y3),x] y5:=Integrate[f1 y4+f2 (y22+2 y1 y3+2 y0 y4)+f3 (3 y12 y2+3 y0y22+6 y0 y1 y3+3 y02 y4),x] y6:=Integrate[f1 y5+f2 (2 y2 y3+2 y1 y4+2 y0 y5)+f3 (3 y1 y22+3y12 y3+6 y0 y2 y3+6 y0 y1 y4+3 y02 y5),x] y7:=Integrate[f1 y6+f2 (y32+2 y2 y4+2 y1 y5+2 y0 y6)+f3 (y23+6 y1 y2 y3+3 y12 y4+3 y0 y32+6 y0 y2 y4+6 y0 y1 y5+3 y02 y6),x] y8:=Integrate[f1 y7+f2 (2 y1 y6+2 y2 y5+2 y0 y7)+f3 (6 y0 y1 y6+6 y0 y2 y5+6 y0 y3 y4+3 y12 y5+3 y22 y3+3 y1 y32+6 y1 y2 y4+3 y02 y7) ,x] y9:=Integrate[f1 y8+f2 (2 y1 y7+2 y2 y6+y42+2 y3 y5+2 y0 y8)+f3 (3 y2 y32+3 y12 y6+6 y1 y2 y5+6 y1 y3 y4+6 y0 y1 y7+6 y0 y2 y6+3 y22 y4+3 y0 y42+6 y0 y3 y5+3 y02 y8) ,x] y10:=Integrate[f1 y9+f2 (2 y2 y7+2 y0 y9+2 y1 y8+2 y4 y5+2 y3y6)+ f3 (6 y0 y2 y7+3 y02 y9+6 y0 y1 y8+3 y12 y7+3 y22 y5+6 y0 y4 y5+3 y1 y42+6 y0 y3 y6+y33+6 y2 y4 y3+6 y1 y6 y2+6 y1 y3 y5) ,x] ytot5=y0+y1+y2+y3+y4+y5 ytot10=y0+y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10 ytot15=y0+y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11+y12+y13+y14+y15 gb=Plot[{sol[[1,1,2]],ytot5,ytot10,ytot15},{x,0,1},FrameLabel→{"w aktu","populasi rusa"},Frame→{{True,False},{True,False}}, PlotRange→{{0,.02},{0,150}}].

Lampiran 15

Syntax MAPLE 10 untuk menyelesaikan model pertumbuhan populasi rusa

Berikut ini syntax MAPLE 10 untuk menyelesaikan model pertumbuhan populasi rusa. ¾

rusa:=diff(y(t),t)=-35y(t)+5.35y(t)2-0.05y(t)3;

23

¾ ¾ ¾

dsolve(rusa); with(DEtools);-1;with(plots);-1;with(LinearAlgebra);-1; DEplot({rusa},y(t),t=0..0.1,{[0,50],[0,125],[0,6]},stepsize= 0.1,y=0..150,linecolor=green)

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ABELIAN HAPSARI SYAMSIDAR YUSANTO

Recommend Documents