PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan1∗ , Asmara Karma2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293, Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the use of Adomian decomposition method to solve a variational problem in calculus of variation with known boundary conditions. Process begins by changing the variational problem into Euler-Lagrange equation, and then Adomian decomposition method is applied to the Euler-Lagrange equation. The obtained solution with this method is in a form of convergent power series. Comparison between the solutions obtained by Adomian decomposition method and the exact solution show the efficiency of the Adomian decomposition method. Keywords: Adomian decomposition method, calculus of variation, variational problem, Euler-Lagrange equation ABSTRAK Artikel ini membahas tentang penggunaan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan masalah variasional pada kalkulus variasi dengan syarat batas diketahui. Prosesnya dimulai dengan mengubah masalah variasional ke persamaan Euler-Lagrange, dan dari sini diterapkan metode dekomposisi Adomian. Solusi yang diperoleh berbentuk deret pangkat yang konvergen. Perbandingan solusi yang diperoleh menggunakan metode dekomposisi Adomian dan solusi eksak menunjukkan efisiensi metode dekomposisi Adomian. Kata kunci: Metode dekomposisi Adomian, kalkulus variasi, masalah variasional, persamaan Euler-Lagrange 1. PENDAHULUAN Kalkulus variasi adalah cabang dari ilmu matematika berupa kalkulus fungsional yang bertujuan menyelesaikan jenis optimasi yang berkaitan dengan menemukan fungsi maksimum dan minimum dari fungsional. Permasalahan dalam menyelidiki Repository FMIPA
1
fungsi maksimum atau minimum dari fungsional disebut permasalahan variasional [6, h. 294]. Permasalahan variasional pada kalkulus variasi memiliki beberapa bentuk. Pada artikel ini penulis hanya membahas permasalahan variasional pada bentuk sederhana. Adapun bentuk permasalahan variasionalnya sebagai berikut [5] ∫ x1 v[y(x)] = F (x, y(x), y ′ (x))dx, (1) x0
dengan syarat batas sebagai berikut y(x0 ) = α, y(x1 ) = β.
(2)
Pada artikel ini didiskusikan bagaimana menemukan solusi y(x) yang memenuhi persamaan (1) dan (2) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian, yang menghasilkan solusi dalam bentuk deret konvergen [5]. Pembahasan dimulai dengan memperkenalkan metode dekomposisi Adomian secara umum pada bagian dua, pada bagian tiga diberikan teori dasar penyelesaian masalah variasional, kemudian pada bagian empat diberikan penerapan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan permasalahan variasional dan pada bagian akhir diberikan contoh penggunaan metode dekomposisi Adomian pada permasalahan variasional. 2. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Metode dekomposisi Adomian adalah suatu metode yang menguraikan solusi persamaan operator nonlinear ke dalam deret fungsi. Setiap suku dari deret tersebut diperoleh dari polinomial yang merupakan hasil perluasan fungsi nonlinear dengan bentuk deret pangkat. Berikut ini diberikan konsep dasar metode dekomposisi Adomian. Pandang persamaan diferensial nonlinear yang secara sederhana sebagai berikut [2, h. 7-8] F y(t) = g(t),
(3)
dengan F adalah operator persamaan diferensial nonlinear yang memuat bentuk linear dan nonlinear, g(t) adalah fungsi yang diketahui dan y(t) adalah fungsi yang akan ditentukan. Metode dekomposisi Adomian menguraikan bagian nonlinear F menjadi F = L + R + N dengan L adalah operator yang memiliki invers, R adalah operator linear lainnya dan N adalah bentuk nonlinear dari F . Jadi persamaan diferensial (3) dapat ditulis menjadi Ly + Ry + N y = g, atau
Ly = g − Ry − N y.
(4)
Misalkan L mempunyai invers yaitu L−1 , maka dengan mengaplikasikan L−1 pada kedua ruas persamaan (4) diperoleh L−1 Ly = L−1 g − L−1 Ry − L−1 N y. Repository FMIPA
(5) 2
Pada persamaan diferensial untuk permasalahan nilai awal berorde n, operator dn (.) L didefinisikan sebagai integral lipat-n dari 0 ke t dengan L(.) = sehingga dtn dapat ditulis ∫ t∫ t ∫ t −1 L (.) = . . . (.) dtdt . . . dt} . (6) | {z 0 0 0 n | {z } n
Misalkan L adalah operator orde kedua, dengan L = (6) dapat ditulis −1
∫ t∫
t
L Ly =
Ly 0
d2 sehingga persamaan dt2
dtdt
0
L−1 Ly = y(t) − y(0) − ty ′ (0).
(7)
Selanjutnya substitusikan persamaan (7) ke persamaan (5), sehingga diperoleh y(t) = y(0) + ty ′ (0) + L−1 g − L−1 Ry − L−1 N y.
(8)
Pada metode dekomposisi Adomian [1] solusi persamaan diferensial nonlinear dalam bentuk deret sebagai berikut y(t) =
∞ ∑
yn (t),
(9)
n=0
sedangkan bentuk nonlinear N y dapat dinyatakan dalam suatu polinomial khusus dalam bentuk sebagai berikut Ny =
∞ ∑
An ,
(10)
n=0
dengan An = An (y0 , y1 , . . . , yn ) merupakan polinomial Adomian yang didefinisikan sebagai berikut [ (∑ )] ∞ 1 dn i An = N λ yi , n = 0, 1, 2, . . . , (11) n! dλn λ=0 i=0 dengan λ merupakan suatu parameter dan y0 , y1 , . . . , yn adalah fungsi yang akan ditentukan. Bila dijabarkan sebagai berikut Untuk n = 0 [ (∑ )] ∞ 1 d0 i N λ yi A0 = 0! dλ0 λ=0 i=0 [ ] 1 2 3 = N (1 y0 + λ y1 + λ y2 + λ y3 + · · · ) λ=0
A0 = N (y0 ).
Repository FMIPA
3
Untuk n = 1 (∑ )] [ ∞ 1 d1 i A1 = N λ yi 1! dλ1 λ=0 i=0 [ ] ′ 1 2 3 1 2 = N (y0 + λ y1 + λ y2 + λ y3 + · · · ) × (y1 + λ y2 + λ y3 + · · · ) λ=0 ′
A1 = y1 N (y0 ).
Untuk n = 2 (∑ )] [ ∞ 1 d2 i N λ yi A2 = 2! dλ2 λ=0 i=0 [ ( )] 1 d ′ 1 2 3 1 2 = N (y0 + λ y1 + λ y2 + λ y3 + · · · ) × (y1 + λ y2 + λ y3 + · · · ) 2! dλ λ=0 [( 1 N ′′ (y0 + λ1 y1 + λ2 y2 + λ3 y3 + · · · ) × (y1 + 2λ1 y2 + · · · ) = 2! × (y1 + 2λ1 y2 + 3λ2 y3 + · · · ) + N ′ (y0 + λ1 y1 + λ2 y2 + · · · ) )] 1 × (2y2 + 6λ y3 + · · · ) λ=0 ( ) 1 2 A2 = y2 N ′ (y0 ) + y1 N ′′ (y0 ). 2!
Persamaan (11) dapat disajikan dalam bentuk rekursif berikut A0 = N (y0 ), A1 = y1 N ′ (y0 ),
(
′
A2 = y2 N (y0 ) + ′
) y12 N ′′ (y0 ), 2! ′′
A3 = y3 N (y0 ) + y1 y2 N (y0 ) +
(
) y13 N ′′′ (y0 ), 3!
.. .. . = .. Persamaan polinomial pada persamaan (10) merupakan deret takhingga yang dapat dijabarkan sebagai berikut Ny = Ny =
∞ ∑ n=0 ∞ ∑
An = A0 + A1 + A2 + A3 + · · · , ( ′
′
An = N (y0 ) + y1 N (y0 ) + y2 N (y0 ) +
n=0
Repository FMIPA
) y12 N ′′ (y0 ) + · · · , 2!
4
selanjutnya, ekspansikan N y di sekitar y = y0 , menjadi [( 2 ) ] y1 ′ N y = N (y0 ) + (y1 + y2 + · · · )N (y0 ) + + y1 y2 + · · · N ′′ (y0 ) + · · · , 2! [ ] (y − y0 )2 ′ N y = N (y0 ) + (y − y0 )N (y0 ) + N ′′ (y0 ) + · · · , 2! ] ∞ [ ∑ (y − y0 )n Ny = N (n) (y0 ). (12) n! n=0 Persamaan (12) merupakan perluasan Taylor [3]. Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (9) dan (10) ke persamaan (8), maka diperoleh ∞ ∑
′
−1
−1
yn (t) = y(0) + ty (0) + L g − L R
n=0
∞ ∑
−1
yn − L
n=0
∞ ∑
An .
(13)
n=0
Pada persamaan (13), komponen yn (t) dapat ditentukan bentuk rekursif dengan n ≥ 0 sebagai berikut y0 = y(0) + ty ′ (0) + L−1 g, y1 = −L−1 Ry0 − L−1 A0 , −1 −1 y2 = −L Ry1 − L A1 , (14) y3 = −L−1 Ry2 − L−1 A2 , .. .. .= . −1 −1 yn+1 = −L Ryn − L An . Persamaan (14) disederhanakan menjadi y0 = y(0) + ty ′ (0) + L−1 g, yn+1 = − L−1 Ryn − L−1 An . 3. TEORI DASAR PENYELESAIAN MASALAH VARIASIONAL PADA KALKULUS VARIASI Permasalahan variasional dapat diselesaikan dengan persamaan Euler-Lagrange dengan landasan teori sebagai berikut Teorema 1 Misalkan v[y(x)] adalah fungsional dengan bentuk ∫ x1 v[y(x)] = F (x, y(x), y ′ (x))dx, x0
didefinisikan fungsi y(x) kontinu pada derivatif pertama di [x0 , x1 ] dengan syarat batas y(x0 ) = α, y(x1 ) = β. Maka syarat perlu untuk v[y(x)] menjadi ekstremum dinyatakan pada y(x) yang memenuhi persamaan Euler-Lagrange d Fy − Fy′ = 0. (15) dx Bukti: Lihat pada [6, h. 14-15].
Repository FMIPA
5
4. PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN VARIASIONAL PADA KALKULUS VARIASI Pada [4] persamaan (15) bila dalam bentuk operator sebagai berikut L(y) − N (y) = f,
(16)
untuk x0 ≤ x ≤ x1 dengan L = d2 /dx2 adalah operator derivatif orde dua, N adalah operator nonlinear yang mengandung operator diferensial dengan orde kecil dari dua dan f adalah fungsi yang diberikan. Diasumsikan terdapat inverse L−1 , dan terdapat integral tentu pada fungsi h(x) dalam bentuk berikut ∫ x ∫ t2 −1 L (h(x)) = h(t1 ) dt1 dt2 . (17) x0
x0
Selanjutnya, dengan menerapkan L−1 pada kedua sisi persamaan (16) menghasilkan L−1 L(y) − L−1 N (y) = L−1 f. Berdasarkan persamaan (17), L−1 L(y) pada persamaan (18) dapat ditulis ∫ x ∫ y2 2 dy −1 L L(y) = dydy2 , 2 x0 x0 dx L−1 L(y) = y(x) − y(x0 ) − y ′ (x0 )x + y ′ (x0 )x0 ,
(18)
(19)
kemudian substitusikan persamaan (19) ke persamaan (18), diperoleh y(x) − y(x0 ) − y ′ (x0 )x + y ′ (x0 )x0 = L−1 N (y) + L−1 f, atau y(x) = α + Ax − Ax0 + L−1 f + L−1 N (y),
(20)
dengan mengasumsikan A = y ′ (x0 ) dan α = y(x0 ). Pada metode dekomposisi Adomian [1], y(x) memiliki sejumlah komponen yang didefinisikan oleh deret dekomposisi berikut y(x) =
∞ ∑
yn (x).
(21)
n=0
Berdasarkan metode ∑ dekomposisi Adomian, solusi dari persamaan (16) berbentuk deret pada y(x) = ∞ n=0 yn (x) dan menunjukkan nonlinear pada N (y) dengan deret terbatas pada polinomial khusus yang diberikan N (y) =
∞ ∑
Nn ,
(22)
n=0
Repository FMIPA
6
dimana komponen Nn merupakan polinomial Adomian [1]. Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (21) dan (22) ke persamaan (20), maka diperoleh ∞ ∑
−1
yn (x) = α + Ax − Ax0 + L f (x) + L
−1
∞ ∑
n=0
Nn .
(23)
n=0
Pada persamaan (23) komponen yn dapat ditentukan dalam betuk rekursif seperti pada persamaan (14), maka diperoleh y0 (x) = α + Ax − Ax0 + L−1 f (x), yn+1 (x) = L−1 Nn , n ≥ 0.
(24)
Pada persamaan (24) y0 , y1 , y2 , . . . , merupakan solusi penggunaan metode dekomposisi Adomian, apabila dijumlahkan akan diistilahkan pada persamaan (21). Berdasarkan metode dekomposisi Adomian [5], penyelesaian pada permasalahan variasional dinyatakan sebagai y = lim ϕn , n→∞ ∑ Akan tetapi dalam penerapannya nilai dari ∞ n=0 yn (x) tidak dapat ditentukan secara eksak, oleh karena itu digunakan solusi aproksimasi dengan menggunakan deret dengan mengasumsikan ϕn =
n ∑
yk (x),
n ≥ 0,
(25)
k=0
yang mana hasil yang diperoleh akan konvergen ke nilai eksak [5]. 5. CONTOH PERMASALAHAN VARIASIONAL PADA KALKULUS VARIASI Selesaikan permasalahan variasional berikut dengan metode dekomposisi Adomian ∫ 1 v[y(x)] = (y(x) + y ′ (x) − 4e3x )2 dx, (26) 0
dengan syarat batas y(0) = 1,
y(1) = e3 .
(27)
Penyelesaian: Berdasarkan persamaan (1) diketahui F = (y(x) + y ′ (x) − 4e3x )2 pada persamaan (26), F dapat dijabarkan sebagai berikut F = (y + y ′ − 4e3x ) × (y + y ′ − 4e3x ), F = y 2 + (y ′ )2 + 2yy ′ − 8e3x y − 8e3x y ′ + 16e6x ,
(28)
berdasarkan Teorema 1, persamaan (28) dapat tulis d Fy = dy F = 2y + 2y ′ − 8e3x , Fy′ = dyd ′ F = 2y ′ + 2y − 8e3x , d d F = 2y ′′ + 2y ′ − 24e3x , dx dy ′ Repository FMIPA
(29)
7
dengan mensubstitusikan persamaan (29) ke persamaan (15), diperoleh y ′′ − y − 8e3x = 0,
(30)
berdasarkan persamaan (30) solusi eksaknya yaitu y(x) = e3x . Persamaan (30) dapat dijadikan bentuk operator sebagai berikut Ly = y ′′ , N y = y, (31) 3x f = 8e , kemudian substitusikan persamaan (31) dan (27) ke persamaan (20), diperoleh y(x) = 1 + Ax + L−1 (8e3x ) + L−1 (y(x)), selanjutnya berdasarkan persamaan (24), persamaan (32) dapat dibentuk ) (∞ ∞ ∑ ∑ −1 3x −1 yk (x) , yk (x) = 1 + Ax + L (8e ) + L k=0
(32)
(33)
k=0
beberapa komponen persamaan (33) dapat dijabarkan sebagai berikut 1 8 8 + Ax + e3x − x, 9 9 3 8 8 1 1 8 4 y1 (x) = L−1 (y0 (x)) = − − x + x2 + Ax3 + e3x − x3 , 81 27 18 6 81 9 8 8 4 4 1 1 y2 (x) = L−1 (y1 (x)) = − − x − x2 − x 3 + x4 + Ax5 729 243 81 81 216 120 8 3x 1 + e − x5 , 729 45 8 8 4 2 4 3 1 4 1 5 y3 (x) = L−1 (y2 (x)) = − − x− x − x − x − x 6561 2187 729 729 243 405 1 6 1 8 3x 1 7 + x + Ax7 + e − x, 6480 5040 6561 1890 8 8 4 2 4 3 1 4 − x− x − x − x y4 (x) = L−1 (y3 (x)) = − 59049 1968 6561 6561 2187 1 5 1 6 1 1 − x − x − x7 + x8 3645 7290 17010 362880 1 8 1 + Ax9 + e3x − x9 , 362880 59049 136080 .. .. . = ., y0 (x) = 1 + Ax + L−1 (8e3x ) =
metode dekomposisi Adomian memberikan solusi aproksimasi ϕn dalam bentuk deret tak hingga. Konstanta A, ditentukan dengan memisalkan n = 4 pada persamaan
Repository FMIPA
8
(27), maka diperoleh ϕ4 = y0 + y1 + y2 + y3 + y4 , 1 59048 1 1 3280 3 1 ϕ4 = + Ax − x+ x2 + Ax3 − x + x4 59049 19683 13122 6 6561 17496 1 91 5 1 1 1 7 + Ax5 − x + x6 + Ax7 − x 120 3645 58320 5040 1701 1 1 59048 3x 1 + x8 + Ax9 + e − x9 , 362880 362880 59049 136080
(34)
selanjutnya substitusikan x = 1 pada persamaan (34) sehingga diperoleh 1.17520116A = 3.52560392, atau dapat ditulis A = 3.000000374, dengan mensubstitusikan nilai A pada persamaan (34) diperoleh ϕ4 =
1 1 1 + 0.000051125x + x2 + 0.0000762612x3 + x4 59049 13122 17496 1 5 6 + 0.00003429622x + x + 0.0000073486819x7 58320 1 59048 3x + x8 + e + 9.18578189 × 10−7 x9 . 362880 59049
(35)
Persamaan (35) adalah solusi metode dekomposisi Adomian untuk n = 4, bila disubstitusikan syarat batas untuk x = 1 menghasilkan ϕ4 =20.08553698. Sedangkan solusi eksak dinyatakan y(x) = e3x , untuk x = 1 diperoleh y(x) = 20.08553692. Sehingga tingkat keefisien pada permasalahan variasional suatu metode dekomposisi Adomian dibandingkan dengan solusi eksak diperoleh sebagai berikut Error = v(ϕ4 ) − v(y) = 0.5273450967 × 10−12 . Contoh ini mengisyaratkan nilai error mendekati nol atau cukup kecil untuk n=4, dan x=1. Hal ini menunjukkan metode dekomposisi Adomian cukup efisien digunakan pada permasalahan variasional. Ucapan Terimakasih Pada penulisan artikel ini, penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr. Syamsudhuha, M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan.
Repository FMIPA
9
DAFTAR PUSTAKA [1] Adomian, G. 1988. A Review of the Decomposition Method in Applied Mathematics. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 135 (2) : 501–544. [2] Adomian, G. 1994. Solving Frontier Problems of Physics. The Decomposition Method. Kluwer-Academic Press, Boston. [3] Bartle, R. G. & D. R. Sherbert. 2011. Introduction to Real Analysis, 4rd Ed. Hamilton Printing Company, New Jersey. [4] Cherruault, Y. 1990. Convergence of Adomian’s method. Journal of Mathematical and Computer Modelling. 14 : 83–86. [5] Dehghan, M. & M. Tatari. 2005. The Use of Adomian Decomposition Method for Solving Problems in Calculus of Variations. Mathematical Problems in Engineering. 2006 : 1–12. [6] Gelfand, M. I. & S. V. Fomin. 1963. Calculus of Variations. Pretice Hall, New Jersey.
Repository FMIPA
10
