MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA Kristiani Panjaitan1∗ , Syamsudhuha2 , Leli Deswita2 1
Mahasiswi Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia 2
∗
[email protected]
ABSTRACT This paper discusses the modification of Adomian decomposition method for solving singular initial value problems in the second order ordinary differential equations. Numerical illustrations show that the method gives an accurate solution to the problem and for some casses this method yields exact solutions. Keywords: Adomian decomposition method, ordinary differential equation, singular initial value. ABSTRAK Artikel ini membahas modifikasi metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan masalah nilai awal singular pada persamaan diferensial biasa orde dua. Ilustrasi numerik yang diberikan menunjukkan bahwa metode ini sangat baik digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal singular karena solusi yang diperoleh dengan modifikasi metode dekomposisi Adomian sangat mendekati dan sama dengan solusi eksaknya. Kata kunci: Metode dekomposisi Adomian, nilai awal singular, persamaan diferensial biasa. 1. PENDAHULUAN Pandang persamaan diferensial biasa (PDB) orde dua dengan syarat awal yang ditulis sebagai masalah nilai awal singular berbentuk ) n m y ′′ + y ′ + 2 y = g(x) + f (x, y), n > 1, m ≥ 0, (1) x x y(0) = α, y ′ (0) = β, 1
dengan f (x, y) adalah fungsi kontinu yang bernilai real, g(x) adalah fungsi kontinu pada interval [0,1] dan α, β, n, dan m adalah konstanta. Solusi persamaan (1) sulit diperoleh secara analitik, sebagai alternatif dilakukan pendekatan solusi secara numerik [2, 4]. Secara numerik salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah nilai awal adalah metode dekomposisi Adomian. Metode dekomposisi Adomian menyajikan solusi dari suatu persamaan diferensial dalam bentuk deret [1]. Pada penerapannya, ketika metode dekomposisi Adomian digunakan untuk menyelesaikan persamaan (1) tidak diperoleh solusi yang baik, sehingga metode dekomposisi Adomian perlu dimodifikasi sedemikian hingga dapat diperoleh solusi yang lebih baik. Pada artikel dibagian 2 dibahas metode dekomposisi Adomian secara umum, kemudian pada bagian 3 dibahas modifikasi metode dekomposisi Adomian untuk masalah nilai awal singular yang merupakan review dari artikel Yahya Qaid Hasan ˇ [3] dan Zdenˇ ek Smarda [5], dan pada bagian terakhir diberikan beberapa ilustrasi numerik untuk permasalahan ini. 2. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Pandang PDB nonlinear yang ditulis sebagai berikut [1] F y(x) = g(x),
(2)
dengan F adalah operator nonlinear, g(x) adalah fungsi yang diketahui dan y adalah fungsi yang akan ditentukan. Misalkan F = L + R + N dengan L suatu operator turunan linear yang mempunyai invers yaitu L−1 , R operator linear lainnya dan N bentuk nonlinear dari F , sehingga persamaan diferensial (2) dapat ditulis menjadi Ly = g − Ry − N y.
(3)
Selanjutnya dengan mengaplikasikan L−1 pada kedua ruas persamaan (3) diperoleh L−1 Ly = L−1 g − L−1 Ry − L−1 N y.
(4)
RxRx d2 −1 (.)ds ds, diperolehlah ruas kiri persamaan (.), maka L (.) = 0 0 dx2 (4) sebagai berikut L−1 Ly = y − y(0) − xy ′ (0), Untuk L(.) =
sedemikian hingga persamaan (4) menjadi y = y(0) + xy ′ (0) + L−1 g − L−1 Ry − L−1 N y.
(5)
Dalam metode dekomposisi Adomian diasumsikan solusi persamaan diferensial y dalam bentuk deret sebagai berikut y=
∞ X n=0
2
yn ,
(6)
dan bentuk nonlinear N y = f (y) , f (y) fungsi polinomial berbentuk N y = f (y) =
∞ X
An (y0 , y1 , · · · , yn ),
(7)
n=0
dengan An merupakan polinomial Adomian yang didefinisikan sebagai berikut !# " ∞ n X 1 d An (y0 , y1 , · · · , yn ) = λ k yk , untuk n ≥ 0. (8) f n n! dλ k=0 λ=0
Substitusi persamaan (6) dan persamaan (7) ke dalam persamaan (5), sehingga persamaan (5) menjadi ∞ X
yn = y(0) + xy ′ (0) + L−1 g − L−1 R
n=0
∞ X
yn − L−1
n=0
∞ X
An .
(9)
n=0
Dari persamaan (9) diperoleh relasi rekursif sebagai berikut y0 = y(0) + xy ′ (0) + L−1 g, −1 −1 y1 = −L Ry0 − L A0 , (10) .. . . = .. yn = −L−1 Ryn−1 − L−1 An−1 , untuk n ≥ 1. P∞ Dalam penerapannya, bentuk sehingga din=0 yn (x) tidak dapat ditentukan, Pn lakukan pendekatan solusi dengan deret terpotong, Yn = y , untuk n ≥ 1, i=0 i dengan limn→∞ Yn = y. 3. MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MASALAH NILAI AWAL SINGULAR Dalam menyelesaikan masalah nilai awal singular (1) ada dua bentuk modifikasi metode dekomposisi Adomian yang akan diperkenalkan yaitu modifikasi untuk Kasus 1 untuk m = 0 dan Kasus 2 untuk m ≥ 0. n Kasus 1. Untuk m = 0, didefinisikan operator L yang memuat y ′′ + y ′ , sedemikian x hingga persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk [5] Ly = g(x) + f (x, y), dengan operator L didefinisikan sebagai berikut −n d n d L(.) = x x (.), dx dx
(11)
(12)
sehingga L−1 menjadi L
−1
(.) =
Z
x
s
−n
0
3
Z
x
sn (.) ds ds. 0
(13)
Selanjutnya, dengan mengaplikasikan L−1 pada kedua ruas persamaan (11) diperoleh L−1 Ly = L−1 g(x) + L−1 f (x, y).
(14)
Untuk L yang didefinisikan pada persamaan (12), dan L−1 yang diperoleh pada persamaan (13), maka ruas kiri persamaan (14) menjadi L−1 Ly = y − α − βx, sedemikian hingga persamaan (14) dapat ditulis sebagai berikut y = α + βx + L−1 g(x) + L−1 f (x, y).
(15)
Pada metode dekomposisi Adomian solusi y dan bentuk nonlinear f (x, y) = Fe(y), dengan Fe(y) merupakan fungsi polinomial diasumsikan dalam bentuk deret sebagai berikut y=
∞ X
yn ,
n=0
f (x, y) = Fe(y) =
∞ X
An (y0 , y1 , ..., yn ).
(16)
n=0
Polinomial Adomian An dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (8), sehingga diperoleh A0 = Fe(y0 ), A1 = y1 Fe′ (y0 ),
1 A2 = y2 Fe′ (y0 ) + y12 Fe′′ (y0 ), 2! .. .. .=. Substitusi persamaan (16) ke dalam persamaan (15), sehingga persamaan (15) menjadi ∞ ∞ X X −1 −1 yn = α + βx + L g(x) + L An . (17) n=0
n=0
Dari persamaan (17) diperoleh relasi rekursif sebagai berikut y0 = α + βx + L−1 g(x), yn = L−1 An−1 , untuk n ≥ 1.
(18)
Kasus 2. Untuk m ≥ 0, transformasikan 2h + k = n dan (h − 1)(h + k) = m pada persamaan (1), sehingga persamaan (1) menjadi [3] y ′′ +
2h + k ′ (h − 1)(h + k) y + y = g(x) + f (x, y), h ≥ 1, k ≥ −1, x x2
(19)
dengan h dan k adalah konstanta. Didefinisikan L sedemikian hingga persamaan (19) dapat ditulis menjadi Ly = g(x) + f (x, y), (20) 4
dengan operator L didefinisikan sebagai berikut L(.) = x−h
d −k d h+k (x x )(.), dx dx
(21)
sehingga L−1 menjadi −1
L (.) = s
−(h+k)
Z
x
s 0
k
Z
x
sh (.) ds ds.
(22)
0
Selanjutnya, dengan mengaplikasikan L−1 pada kedua ruas persamaan (20) diperoleh L−1 Ly = L−1 g(x) + L−1 f (x, y).
(23)
Untuk L yang didefinisikan pada persamaan (21) dan L−1 yang diperoleh pada persamaan (22), maka ruas kiri persamaan (23) menjadi L−1 Ly = y − α, sedemikian hingga persamaan (23) dapat ditulis sebagai berikut y = α + L−1 g(x) + L−1 f (x, y).
(24)
Pada metode dekomposisi Adomian solusi y dan bentuk nonlinear f (x, y) = Fe(y), dengan Fe(y) merupakan fungsi polinomial diasumsikan dalam bentuk deret pada persamaan (16), sedemikian hingga dengan mensubstitusi persamaan (16) ke dalam persamaan (24), maka persamaaan (24) menjadi ∞ X
−1
yn = α + L g(x) + L
n=0
−1
∞ X
(25)
An .
n=0
Dari persamaan (25) diperoleh relasi rekursif sebagai berikut y0 = α + L−1 g(x), yn = L−1 An−1 , untuk n ≥ 1.
(26)
4. ILUSTRASI NUMERIK Contoh 1 Misalkan diberikan masalah nilai awal singular ) 2 y ′′ + y ′ = 2(2x2 + 3)y, x y(0) = 1, y ′ (0) = 0.
(27) 2
Masalah nilai awal singular (27) memiliki solusi eksak y(x) = ex . Metode dekomposisi Adomian. Berdasarkan metode dekomposisi Adomian didefinisikan Z xZ x d2 −1 (.) ds ds. L(.) = 2 (.), maka L (.) = dx 0 0 5
Selnjutnya dengan mengaplikasi L−1 pada kedua ruas persamaan (27) diperoleh 1 y(x) = y(0) + xy ′ (0) − 2L−1 ( y ′ ) + L−1 (4x2 + 6)y. x
(28)
Dari persamaan (10) diperoleh relasi rekursif untuk persamaan (28) sebagai berikut y0 = 1, 1 ′ yn = −2L−1 ( yn−1 ) + L−1 (4x2 + 6)yn−1 , untuk n ≥ 1, x sehingga diperoleh y0 = 1, 1 y1 = 3x2 + x4 , 3 23 7 1 y2 = −6x2 + x4 + x6 + x8 , 18 15 42 329 593 8 211 10 1 12 104 x4 − x6 + x + x + x , y3 = 12x2 − 72 450 4410 9450 1386 .. .. . = .. Jadi, solusi masalah nilai awal singular (27) dengan metode dekomposisi Adomian adalah sebagai berikut y(x)(x) = y0 + y1 + y2 + y3 + · · · 119 6 593 8 211 10 1 12 7 x + x + x + x + ··· . = 1 + 15x2 − x4 − 36 450 4410 9450 1386 Modifikasi metode dekomposisi Adomian. Berdasarkan modifikasi metode dekomposisi Adomian, dari persamaan (27) diketahui n = 2, m = 0, g(x) = 0 dan f (x, y) = 2(2x2 + 3)y. Dari persamaan (12) dan persamaan (13) diperoleh Z x Z x −2 d 2 d −1 −2 L(.) = x s2 (.) ds ds, x (.), maka L (.) = s dx dx 0 0 sedemikian hingga persamaan (27) menjadi Ly = (4x2 + 6)y.
(29)
Selanjutnya, dengan mengaplikasikan L−1 pada kedua ruas persamaan (29) diperoleh y = α + βx + L−1 (4x2 + 6)y.
(30)
Dari persamaan (18) diperoleh relasi rekursif untuk persamaan (30) sebagai berikut y0 = α + βx, yn = L−1 (4x2 + 6)yn−1 , untuk n ≥ 1, 6
sehingga diperoleh y0 = 1, 1 y1 = x2 + x4 , 5 13 6 1 3 4 x + x8 , y2 = x + 10 105 90 3 6 17 8 59 10 1 12 y3 = x + x + x + x , 70 630 11550 3510 .. .. . = .. Jadi, solusi masalah nilai awal singular (27) dengan modifikasi metode dekomposisi Adomian adalah sebagai berikut y(x) = y0 + y1 + y2 + y3 + · · · 1 1 59 10 1 12 = 1 + x2 + x4 + x6 + x + x + ··· . 2 6 11550 3510 Grafik solusi masalah nilai awal (27) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian dan modifikasi metode dekomposisi Adomian diberikan pada Gambar 1. (a)
(b)
Gambar 1: Grafik Solusi Masalah Nilai Awal (27) menggunakan (a) Metode Dekomposisi Adomian (b) Modifikasi Metode Dekomposisi Adomian untuk n = 5.
Berdasarkan Gambar 1 terlihat jelas bahwa solusi hampiran yang diperoleh dengan metode dekomposisi Adomian tidak mendekati solusi eksak masalah nilai awal singular (27), sedangkan dengan modifikasi metode dekomposisi Adomian solusi hampiran yang diperoleh sangat mendekati solusi eksaknya. Hal ini menunjukkan bahwa metode dekomposisi Adomian bukan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal singular (1). Selanjutnya pada contoh berikut akan diperlihatkan keakuratan modifikasi metode dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan masalah nilai awal singular (1). 7
Contoh 2 Misalkan diberikan masalah nilai awal singular sebagai berikut ) 4 2 y ′′ + y ′ + 2 y + xy = 20x + x4 , x x y(0) = 0, y ′ (0) = 0.
(31)
Akan ditentukan solusi hampiran masalah nilai awal singular (31) dengan modifikasi metode dekomposisi Adomian. Penyelesaian. Masalah nilai awal singular (31) memiliki solusi eksak y = x3 . Dari persamaan (31) diketahui n = 4, m = 2, g(x) = 20x + x4 , f (x, y) = xy. Untuk n = 4 dan m = 2 diperoleh h = 2 dan k = 0. Berdasarkan persamaan (21) dan persamaan (22) diperoleh Z xZ x d 2 −2 d −1 −2 L(.) = x ( x )(.), maka L (.) = s s2 (.)ds ds, dx dx 0 0 sedemikian hingga persamaan (31) menjadi Ly = 20x + x4 − xy.
(32)
Selanjutnya dengan mengaplikasikan persamaan L−1 pada kedua ruas persamaan (32) diperoleh y = α + L−1 (20x + x4 ) − L−1 (xy). (33) Dari persamaan (26) diperoleh relasi rekursif untuk persamaan (33) sebagai berikut y0 = α + L−1 (20x + x4 ), yn = L−1 xyn−1 , untuk n ≥ 1. sehingga diperoleh y0 = x3 +
1 6 x 56
1 6 1 9 x − x 56 6160 1 1 9 x + x12 y2 = 6160 1121120 .. .. . = ..
y1 = −
Jadi, solusi masalah nilai awal singular (31) dengan modifikasi metode dekomposisi Adomian adalah sebagai berikut y(x) = y0 + y1 + y2 + · · · 1 1 1 9 1 9 1 = x3 + x6 − x6 − x + x + x12 + · · · 56 56 6160 6160 1121120 (34) 1 1 6 x , − 6160 x9 muncul dengan Berdasarkan persamaan (34) terlihat bahwa suku − 56 tanda yang berlawanan pada y1 dan y2 , demikian untuk suku-suku berikutnya apabila perhitungan dilanjutkan, maka akan diperoleh solusi untuk persamaan (31) adalah y(x) = x3 yang merupakan solusi eksak persamaan (31).
8
Contoh 3 Misalkan diberikan masalah nilai awal singular sebagai berikut ) 3 1 y ′′ + y ′ + 2 y = y 2 + g(x), x x y(0) = 0, y ′ (0) = 0,
(35)
dengan g(x) =
23 31 431 4 16 5 3503 6 4 7 2 1 x − x − x + + + x − x2 − x3 − 2 x x 2 3 24 30 720 63 40320 22919 8 3511 9 2279 7 x − x − x . − 90720 3628800 2494800
Akan ditentukan solusi hampiran masalah nilai awal singular (35) dengan modifikasi metode dekomposisi Adomian. Penyelesaian. Masalah nilai awal singular (35) memiliki solusi eksak y = ex . Dari persamaan (35) diketahui n = 3,m = 1, f (x, y) = y 2 . Untuk n = 3 dan m = 1 diperoleh h = 2 dan k = −1. Berdasarakan persamaan (21) dan persamaan (22) diperoleh Z x Z x d 2 −2 d −1 −1 −1 L(.) = x s2 (.)ds ds, s ( x )(.), maka L = s dx dx 0 0 sedemikian hingga persamaan (35) menjadi Ly = g(x) + y 2 .
(36)
Selanjutnya dengan mengaplikasikan persamaan L−1 pada kedua ruas persamaan (36), maka persamaan (36) menjadi y = α + L−1 g(x) + L−1 (y 2 ).
(37)
Pada persamaan (37), f (x, y) = y 2 merupakan bentuk nonlinear yang ditentukan dengan menggunakan polinomial Adomian (8), sehingga diperoleh A0 = y02 A1 = 2y0 y1 A2 = 2y2 y0 + y12 .. .. . = .. Dari persamaan (26) diperoleh relasi rekursif untuk persamaan (37) sebagai berikut y0 = α + L−1 g(x), yn = L−1 An , untuk n ≥ 1,
9
sehingga diperoleh 7 2 1 23 4 431 5 x + x3 − x − x + ··· 18 24 600 1080 1 16 4 31 5 1279 6 1 x + x + x + ··· y1 = x2 + x3 + 9 8 225 1296 396900 2 4 17 5 3877 6 1201 7 y2 = x + x + x + x + ··· 225 1296 396900 259200 .. .. .=. y0 = 1 + x +
Jadi, solusi masalah nilai awal singular (35) dengan modifikasi metode dekomposisi Adomian adalah sebagai berikut y(x) = y0 + y1 + y2 + · · · 1 1 1 1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · 2! 3! !4 5!
(38)
Berdasarkan persamaan (38) terlihat bahwa solusi hampiran yang diperoleh yaitu 1 + x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + !41 x4 + 5!1 x5 + · · · , merupakan bentuk penjabaran dari ex yang merupakan solusi eksak untuk persamaan (38). Dari beberapa ilustrasi numerik yang diberikan terlihat bahwa modifikasi metode dekomposisi Adomian memberikan solusi yang sangat akurat dalam menyelesaikan masalah nilai awal singular dengan bentuk umum (1). DAFTAR PUSTAKA [1] Adomian, G. 1994. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method. Boston. [2] Edwards, H. C. & D. E. Penney. 2001. Differential Equations & Linear Algebra. New Jersey. [3] Hasan, Q. Y. 2012. Modified Adomian Decomposition Method for Second Order Singular Initial Value Problems. Applied Mathematics and Computation, 1: 9499. [4] Rice, J. B. & D. J. Strange. 1994. Ordinary Differential Equations with Applications, 3rd Ed. University of Dayton, Amerika. b [5] Smarda, Z. 2010. Modifications of Adomian Decomposition Method for Certain Classes of Singular Differential Equations of the Second Order. Math. Comput. Modeling. 112-117.
10
