Regresi Linier Berganda

Regresi Linier Berganda

1

Regresi Berganda Menguji hubungan linier antara 1 variabel dependen (y) dan 2 atau lebih variabel independen (xn)

Contoh • Hubungan antara suhu warehouse dan viskositas cat dengan jumlah cacat foam mark pada produk Var. independen : suhu warehouse & viskositas cat Var. dependen : jumlah cacat foam mark • Hubungan antara kecepatan pelayanan dan kualitas produk dengan kepuasan pelanggan Var. independen : kecepatan pelayanan & kualitas produk Var. dependen : kepuasan pelanggan 2

Model regresi linier berganda melibatkan lebih dari satu variabel bebas  bisa 2, 3 dan seterusnya namun masih menunjukkan diagram hubungan yg linier Variabel bebas : 2, 3 dan seterusnya sampai sejumlah n Contoh  Hubungan antara bibit, pupuk, luas sawah, curah hujan dengan hasil produksi padi

Yˆ  a & b1 xkorelasi bn xn berganda Regresi linier 1  b2 x2  ... 

A. Terdapat 2 variabel bebas Contoh  Hubungan antara kecepatan pelayanan dan kualitas produk dengan kepuasan pelanggan.

a  Y  b1 X 1  b2 X 2

Y  Y n

X1

X   n

1

X2

X   n

2

Model Regresi Berganda Menguji hubungan linier antara 1 variabel dependen (y) dan 2 atau lebih variabel independen (xn)

Model pd populasi: Y-intercept

Population slopes

Random Error

y = α + β1 x1 + β2 x2 +  + βn xn + ε Estimasi model regresi berganda: Estimasi (atau prediksi) Nilai y

Estimasi intercept

Estimasi koofisien slope

ˆy = a + b1 x1 + b2 x2 +  + bn xn 4

Model Regresi Berganda Model dgn 2 variabel independen y

ˆy = a + b1 x1 + b2 x2

x2

x1 5

Model Regresi Berganda Model dgn 2 variabel independen y yi

Sample observation

ˆy = a + b1 x1 + b2 x2 <

< yi

e = (y – y)

x2i x2

<

persamaan regresi y yang terbaik diperoleh dengan meminimumkan sum of squared error (jmh kuadrat error) e2

x1i x1 6

Asumsi Regresi Berganda Error (residual) dari model regresi: <

e = (y – y) • • • •

Error berdistribusi normal Mean dari error adalah nol Error memiliki variansi yang konstan Error bersifat independen

7

Regresi Berganda Tentukan tujuan apa yang diinginkan dan pilih variabel dependennya Tentukan sejumlah variabel independen Pengumpulan data sampel (observasi) untuk semua variabel

8

Mencari Persamaan Regresi Berganda Dapat ditentukan dengan beberapa cara sbb:

• 1. Metode Kuadrat Terkecil • 2. Persamaan Normal • 3. Sistem Matriks

9

METODE KUADRAT TERKECIL

10

Metode Kuadrat Terkecil (dgn 2 var independen)

ˆy = a + b1 x1 + b2 x2 a  Y  b1 X 1  b2 X 2 Y=

∑Y n

∑X 1 ∑X 2 X1 = X2 = n n 11

1. Metode Kuadrat Terkecil b1 dan b2  Koefisien regresi parsial dicari dgn persamaan

(∑x2 2 )(∑x1 y) - (∑x1 x2 )(∑x2 y) b1 = (∑x12 )(∑x2 2 )- (∑x1 x2 )2 (∑x12 )(∑x2 y) - (∑x1 x2 )(∑x1 y) b2 = (∑x12 )(∑x2 2 )- (∑x1 x2 )2 12

1. Metode Kuadrat Terkecil

∑y = ∑Y - nY 2

2

2

∑x1 = ∑X 1 - n X 1

2

∑x2 = ∑X 2 - n X 2

2

2

2

2

2

∑x1 y = ∑X 1Y - n X 1Y ∑x2 y = ∑X 2Y - n X 2 Y ∑x1 x2 = ∑X 1 X 2 - n X 1 X 2 13

Contoh Soal Internal Revenue Service mencoba mengestimasi pajak aktual yang tak terbayar tiap bulan di divisi Auditing. Dua faktor yang mempengaruhinya adalah jumlah jam kerja pegawai dan jumlah jam kerja mesin (komputer). Untuk menganalisis seberapa besar kedua faktor itu mempengaruhi besarnya pajak aktual tak terbayar tiap bulan, dilakukan pencatatan selama 10 bulan dengan data ditunjukkan pada tabel berikut. Cari persamaan regresi linier bergandanya!

14

Contoh Soal X1 Bulan Januari Pebruari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober

Jam kerja pegawai 45 42 44 45 43 46 44 45 44 43

X2 Jam kerja mesin/komputer 16 14 15 13 13 14 16 16 15 15 15

Y (Rp 1000) Pajak aktual yang tidak dibayar 29 24 27 25 26 28 30 28 28 27

Jawab n ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rata2 Total

X1

X2

X1Y

Y

45 42 44 45 43 46 44 45 44 43 44,1 441

16 14 15 13 13 14 16 16 15 15 14,7 147

29 1.305 24 1.008 27 1.188 25 1.125 26 1.118 28 1.288 30 1.320 28 1.260 28 1.232 27 1.161 27,2 272 12.005

X2Y 464 336 405 325 338 392 480 448 420 405 4.013 16

X1X2 720 588 660 585 559 644 704 720 660 645

X1

2

X2

2

Y

2

2.025 1.764 1.936 2.025 1.849 2.116 1.936 2.025 1.936 1.849

256 196 225 169 169 196 256 256 225 225

841 576 729 625 676 784 900 784 784 729

6.485 19.461

2.173

7.428

Jawab - lanjutan 2

∑y = ∑Y - nY = 7.428 - ( 10 )( 27 ,2 )2 = 29 ,6 2

2

2

∑x1 = ∑X 1 - n X 1 = 19.461 - ( 10 )( 44 ,1 )2 = 12,9 2

2

2

∑x2 2 = ∑X 2 2 - n X 2 = 2.173 - ( 10 )( 14 ,7 )2 = 12,1 ∑x1 y = ∑X 1Y - n X 1Y = 12.005 - ( 10 )( 44 ,1 )( 27 ,2 ) = 9 ,8 ∑x2 y = ∑X 2Y - n X 2 Y = 4.013 - ( 10 )( 14 ,7 )( 27 ,2 ) = 14 ,6 ∑x1 x2 = ∑X 1 X 2 - n X 1 X 2 = 6.485 - ( 10 )( 44 ,1 )( 14 ,7 ) = 2,3 17

Jawab:

Jawab:

Atau langsung dimasukkan ke rumus:

a  Y  b1 X 1  b2 X 2

b1 b2

Diperoleh persamaan: Y = -13,828 + 0,564X1 + 1,099X2

Jawab - lanjutan (∑x2 2 )(∑x1 y)- (∑x1 x2 )(∑x2 y) ( 12,1 )( 9 ,8 ) - ( 2,3 )( 14 ,6 ) b1 = = = 0 ,564 2 2 2 2 (∑x1 )(∑x2 )- (∑x1 x2 ) ( 12 ,9 )( 12 ,1 ) - ( 2 ,3 ) (∑x12 )(∑x2 y) - (∑x1 x2 )(∑x1 y) ( 12,9 )( 14 ,6 ) - ( 2,3 )( 9 ,8 ) b2 = (∑x12 )(∑x2 2 )- (∑x1 x2 )2 = ( 12,9 )( 12,1 ) - ( 2,3 )2 = 1,099 a = Y - b1 X 1 - b2 X 2 = 27 ,2 - ( 0 ,564 )( 44 ,1 ) - ( 1,099 )( 14 ,7 ) = - 13,828 Sehingga diperoleh persamaan regresi linier berganda yaitu:

Y = -13,828 + 0,564X1 + 1,099X2 20

Interpretasi persamaan regresi berganda Persamaan regresi linier berganda Y = -13,828 + 0,564X1 + 1,099X2 Nilai a = -13,828 Jika jam kerja pegawai (X1) dan jam kerja mesin (X2) keduanya bernilai nol, maka estimasi besarnya pajak tertunda (Y) sebesar -13,828 Nilai b1 = + 0,564 • Hubungan antara jam kerja pegawai (X1) dengan pajak tertunda (Y) • Jika jam kerja mesin (X2) adalah konstan, maka setiap kenaikan nilai jam kerja pegawai (X1) sebesar satu satuan akan meningkatkan pajak tertunda (Y) sebesar 0,564 satuan, Nilai b2 = + 1,099 • Hubungan antara jam kerja mesin (X2) dengan pajak tertunda (Y) • Jika jam kerja pegawai (X1) adalah konstan, maka setiap kenaikan nilai jam kerja mesin (X2) sebesar satu satuan akan meningkatkan pajak tertunda (Y) sebesar 1,099 satuan 21

2. Persamaan Normal 𝑌 = 𝑛𝑎 + 𝑏1

𝑋1 + 𝑏2

𝑋2

𝑋1 𝑌 = 𝑎

𝑋1 + 𝑏1

𝑋12 + 𝑏2

𝑋2 𝑌 = 𝑎

𝑋2 + 𝑏1

𝑋1 𝑋2 + 𝑏2

22

𝑋1 𝑋2

𝑋22

Contoh (dari soal sebelumnya) n ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rata2 Total

X2

X1

X1Y

Y

45

16

42 44 45 43 46 44 45 44 43 44,1 441

14 15 13 13 14 16 16 15 15 14,7 147

X2Y

X1X2

X12

X22

Y2

1.305

464

720

2.025

256

841

24 1.008 27 1.188 25 1.125 26 1.118 28 1.288 30 1.320 28 1.260 28 1.232 27 1.161 27,2 272 12.005

336 405 325 338 392 480 448 420 405

588 660 585 559 644 704 720 660 645

1.764 1.936 2.025 1.849 2.116 1.936 2.025 1.936 1.849

196 225 169 169 196 256 256 225 225

576 729 625 676 784 900 784 784 729

6.485 19.461

2.173

7.428

29

4.013 23

Jawab

24

Jawab - lanjutan

Diperoleh persamaan: Y = -13,828 + 0,564X1 + 1,099X2

25

3. Sistem Matriks Dari persamaan normal disusun dalam bentuk matriks  n  A    X1  X  2  Y  A1    X 1Y  X Y  2

det A1 a det A

X X X X X X X X X X X X X X X X 1 2 1

1

2

1 2 1

1

  1 2 2  2 

 n  A2    X 1  X  2

  1 2 2  2 

 n  A3    X 1  X  2

2

2

2

det A2 b1  det A

 Y  X  X Y X X   X Y  X  X  Y  X X Y  X X X Y    2

1

1

2

2

2

2

1 2 1

1

1

2

2

det A3 b2  det A 26

Mencari Determinan Matriks Untuk mencari determinan matriks berordo 3 x 3 dapat dengan beberapa metode, salah satunya dengan metode Sarrus. Misal ada sebuah matriks B.

Maka

27

Persamaan regresi berganda dengan 3 variabel bebas

28

Persamaan regresi berganda dengan 3variabel bebas

29

Persamaan regresi berganda dengan 3 variabel bebas

30

Kesalahan Baku & Koefisien Regresi Berganda Kesalahan baku : nilai yang menyatakan seberapa menyimpangnya nilai regresi terhadap nilai yang sebenarnya

Se  Sb1 =

rY .1 

2 y   b1  x1 y   b2  x2 y 

m = k+1 k = jmh var bebas

nm

Se

(∑X

2

- nX1

1

n X

2

)(1 - r

2

Y .1

)

Sb2 

 X

n X 1 X 2   X 1  X 2 2 1



  X 1  n X 2   X 2  2

2

2

Se 2 2



jauh

 nX 2

2

1  r  2

Y .1

Koefisien Korelasi antara X1 dan X2

n = jumlah observasi m = jumlah konstanta dalam31persamaan regresi berganda

Regresi & korelasi linier berganda

Pendugaan dan Pengujian Koefisien Berganda Kesalahan Baku Regresi & Koefisien Regresi Berganda rY .1 

(10)(6485)  (441)(147)



(10)(19461)  (441 ).(10)(2173  (147 )) 2

2

 y  b  x y   b  x y 

23  0,184 124,93 2,39

Sb1 

19461  (10)(44,1 )1  0,184 

Sb2 

2,39

2

2

Se  Se 

1

1

2

2



2,39  0,677 3,53

2

nm

(2173)  (10)(14,7 )1  0,184  2

29,6  (0,564)(9,8)  1,099(14,6) 10  3

2



2,39  0,699 3,42

 x1   X1  n.X1  19461  (10)(44,1)2  12,9 2

Se = 2,39 Sb1 =0,677 Sb2 =0,699

2

2

 x2   X 2  n.X 2  2173  (10)(14,7)2  12,1 2

2

2

 y  Y  n.Y  7428  (10)(27,2)  29,6  x y   X Y  n.X Y  12005  (10)(44,1)(27,2)  9,8  x y   X Y  n.X Y  4103  (10)(14,7)(27,2)  14,6 2

2

2

1

1

1

2

2

2

x x  X X 1 2

1

2

2

 n. X1 X 2  6485  (10)(44,1)(14,7)  2,32 3

Interval Keyakinan Bagi penduga B1 dan B2 Pengujian menggunakan distribusi t dengan derajat bebas (db) = n – m. Misal untuk α = 5%

bi-t(α/2, n-m)Sbi ≤ Bi ≤ bi+t(α/2, n-m)Sbi Interval keyakinan bagi penduga B1 adalah b1-t(α/2, n-m)Sb1 ≤ B1 ≤ b1+t(α/2, n-m)Sb1

Regresi & korelasi linier berganda 0,564-(2,365)(0,677) ≤ B1 ≤ 0,564+(2,365)(0,677) -1,037 ≤ B1 ≤ 2,165 Interval keyakinan bagi penduga B2 adalah b2-t(α/2, n-m)Sb2 ≤ B2 ≤ b2+t(α/2, n-m)Sb2 1,099-(2,365)(0,699) ≤ B2 ≤ 1,099+(2,365)(0,699) -0,554≤ B2 ≤ 2,75 33

Pengujian / Pendugaan Parameter Koefisien Regresi Berganda Bertujuan untuk menentukan apakah ada sebuah hubungan linear antar variabel tidak bebas Y dengan variabel bebas X1, X2,… ,Xk. Ada 2 bentuk pengujian hipotesis bagi koefisien regresi berganda: 1. Pengujian hipotesis serentak 2. Pengujian hipotesis individual Pengujian Hipotesis Serentak Merupakan pengujian hipotesis koefisien regresi berganda dengan B1 dan B2 serentak atau secara bersama-sama mempengaruhi Y. Pengujian Hipotesis individual Merupakan pengujian hipotesis koefisien regresi berganda dengan hanya satu B (B1 atau B2 ) yang mempengaruhi Y. 34

Pengujian Hipotesis Serentak Langkah-langkah pengujian: 1. Menentukan formulasi hipotesis » H0 : B1 = B2 = 0 (X1 dan X2 tidak mempengaruhi Y) » H1 : B1  B2  0 (X1 dan X2 mempengaruhi Y atau paling tidak ada X yang mempengaruhi Y 2. Menentukan taraf nyata () dan nilai F tabel » Taraf () dan nilai F tabel ditentukan dengan derajat bebas 1 = k dan 2 = n - k -1

F(1)(2) = ……. 35

Pengujian Hipotesis Serentak lanjutan Langkah-langkah pengujian: 3. Menentukan kriteria pengujian n = jumlah observasi k = jumlah variabel bebas H0 diterima jika F0 ≤ F(1)(2) H0 ditolak jika F0 > F(1)(2) 4. Menentukan nilai uji statistik dengan tabel ANOVA Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat Bebas

Rata-rata Kuadrat

F0

Regresi (X1, X2) Error

JKR

k

JKR k

RKR RKE

JKE

n–k-1

JKE n - k -1

Total

JKT

n-1 36

Pengujian Hipotesis Serentak JKT = ∑y 2 = ∑Y 2 - nY

2

JKR  b1  x1 y  b2  x2 y

JKR = b1 (∑X 1Y - n X 1Y ) + b2 (∑X 2Y - n∑X 2 Y )

JKE = JKT - JKR

KPB 2 F0  1  KPB  (n  3)

Selain menggunakan tabel ANOVA di atas, nilai Fo dapat pula ditentukan dengan menggunakan rumus: Dimana: KPB = (R2) = koefisien penentu atau koefisien determinasi berganda n = jumlah sampel 37

Pengujian Hipotesis Serentak lanjutan KPB = (R2) = koefisien penentu atau koefisien determinasi berganda

𝑏 𝑥 𝑦 + 𝑏 𝑥 𝑦 1 1 2 2 𝑅2 = 𝑦2 5. Membuat kesimpulan Menyimpulkan apakah H0 diterima atau ditolak

38

Pengujian Hipotesis Individual Langkah-langkah pengujian: 1. Menentukan formulasi hipotesis H0 : Bi = 0 (tidak ada pengaruh Xi terhadap Y) H1 : Bi > 0 (ada pengaruh positif Xi terhadap Y) Bi < 0 (ada pengaruh negatif Xi terhadap Y) Bi ≠ 0 (ada pengaruh Xi terhadap Y) 2. Menentukan taraf nyata () dan nilai t tabel db = n - k

39

Pengujian Hipotesis Individual lanjutan Langkah-langkah pengujian: 3. Menentukan kriteria pengujian H0 diterima jika t0 ≥ t (n-m) H0 ditolak jika t0 < t (n-m) 4. Menentukan nilai uji statistik

5. Membuat kesimpulan

40

Pengujian / Pendugaan Parameter Koefisien Regresi Berganda Pengujian Hipotesis Serentak  Langkah-langkah pengujian 1) Menentukan formulasi hipotesis

Regresi & korelasi linier berganda H0 : B = B = 0 (X dan X tidak mempengaruhi Y) 1

2

1

2

H1 : B1  B2  0 (X1 dan X2 mempengaruhi Y atau paling tidak ada X yang mempengaruhi Y 2) Menentukan taraf nyata () dan nilai F tabel

Taraf (=0,05) dan nilai F tabel ditentukan dengan derajat bebas 1 = k = 2 dan 2 = n – k-1 = 10-2-1 = 7 F (1 )2 = F0,05 (2) (7) = 9,647 41

3. Kriteria pengujiannya H0 diterima bila Fo ≤ 9,647 H0 ditolak bila Fo > 9,647 4. Menentukan nilai uji statistik dengan tabel ANOVA Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat Bebas

Rata-rata Kuadrat

F0

10,78 berganda Regresi 21,57 2 Regresi & korelasi linier (X1, X2) Error

9,398 8,03

7

Total

29,6

9

JKT   y   Y  n.Y  29,6 2

2

2

JKR  b1  x1 y  b2  x2 y  21,57

1,147

Kesimpulan : Karena Fo = 9,398 ≤ 9,647 maka Ho diterima. Jadi tidak ada pengaruh dari X1 dan X2 terhadap Y

JKE = JKT - JKR 42

Pengujian / Pendugaan Parameter Koefisien Regresi Berganda Pengujian Hipotesis Individual 3) Menentukan kriteria pengujian

Regresi & korelasi linier berganda H0 diterima jika t ≥ t 0

 (n-m)

H0 ditolak jika t0 < t (n-m) 4) Menentukan nilai uji statistik

5) Membuat kesimpulan 43

Regresi & korelasi linier berganda

Pengujian / Pendugaan Parameter Koefisien Regresi Berganda Penyelesaian:

Karena thitung  0,6746 dan 1,2735 < 2,365, Maka kita harus menerima hipotesis H0 : B1 = 0 maupun Ho = B2 = 0  Berarti tidak ada hubungan linier berganda antara variabel 44 X1 dan X2

Latihan Soal Keputusan konsumen untuk membeli suatu produk dipengaruhi oleh promosi dan harga. Dari data observasi diperoleh data sebagai berikut. No Promosi Harga Keputusan Konsumen Responden (X1) (X2) (Y) 1 10 7 23 2 2 3 7 3 4 2 15 4 6 4 17 5 8 6 23 6 7 5 22 7 4 3 10 8 6 3 14 9 7 4 20 10 6 3 19 Jumlah 60 40 170 45

Latihan Soal - lanjutan Pertanyaan: • Buatlah persamaan regresi bergandanya! • Jika penjual makanan tersebut ingin mengetahui apakah variabel promosi dan harga mempengaruhi keputusan konsumen untuk membeli produk, buatlah uji hipotesisnya dgn tingkat signifikansi 5%.

46

Pengujian / Pendugaan Parameter Koefisien Regresi Berganda Penyelesaian:

Karena thitung  0,6746 dan 1,2735 < 2,365, Maka kita harus menerima hipotesis H0 : B1 = 0 maupun Ho = B2 = 0  Berarti tidak ada hubungan linier berganda antara variabel X1 dan X2

Manajer Pemasaran deterjen merek “A” ingin mengetahui apakah Promosi dan Harga berpengaruh terhadap keputusan konsumen untuk membeli produk tersebut. Berikut ini adalah hasil survei yang didapatkan untuk 10 responden

•cari persamaan linier berganda dengan menggunakan metode kuadrat terkecil! •Hitunglah koefisien korelasi berganda dan parsial jika jumlah harganya dianggap konstan! 48