Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
1
Pemodelan pada Regresi Linier Berganda dengan Variabel Prediktor Stokastik Sulfiyanti1, Jaya AK .2, Raupong.3
Abstrak Regresi linier berganda merupakan regresi yang meramalkan hubungan antara satu variabel respon dengan dua atau lebih variabel prediktor. Variabel prediktor yang digunakan adalah variabel prediktor stokastik yang merupakan variabel acak. Pada tulisan ini, yang dibahas adalah estimasi parameter model regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik yang memiliki distribusi normal multivariat. Pada estimasi parameter model regresi digunakan metode Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE). Metode MMLE merupakan perkalian fungsi likelihood dari π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π yang dilambangkan dengan πΏπ₯ dan fungsi likelihood dari π1 , π2 , β¦ , ππ yang dilambangkan dengan πΏπ . Dengan MMLE ini akan diperoleh penaksiran dari semua parameter pada model regresi stokastik. Pada model taksiran ini akan dilakukan uji goodness of fit untuk melihat apakah model regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik layak digunakan atau tidak. Pada penelitian ini terlihat bahwa π»0 diterima dan dapat disimpulkan bahwa model regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik layak digunakan. Kata Kunci: regresi linear berganda, distribusi normal, distribusi normal multivariate, Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE), uji goodness of fit.
Abstract Multiple linear regression is a regression that predicts the relation between one response variable and two or more predictor variables. Used predictor variable is stochastic predictor variabel which is random variables. In this paper, will be discussed about estimation of parameter of multiple linier regression model with stochastic predictor variable in multivariate normal distribution. Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE) is method for this estimation of parameter of regression model. MMLE method is multiplication of likelihood function π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π denoted by πΏπ₯ and the likelihood function of π1 , π2 , β¦ , ππ denoted by πΏπ . By this MMLE will be obtained estimator from all the parameters at stochastic regression model. In this estimation model, will be treated goodnes of fit test for seeing whether this multiple linear regression model with stochastic predictor variable proper to be used. In this paper π»0 is accepted and can be summarized that multiple linear regression model with stochastic predictor variable is proper to be used. Keywords : multiple linear regression, normal distribution, multivariat normal distribution, Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE), goodness of fit test.
1.
Pendahuluan
Analisis regresi adalah teknik statistika yang berguna untuk memeriksa dan memodelkan antar peubah-peubah. Analisis regresi berguna dalam menelaah dua peubah atau lebih, terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum οͺ
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
2
diketahui dengan sempurna, sehingga dalam penerapannya lebih bersifat eksploratif. Sangatlah penting untuk diperhatikan bahwa variabel X mungkin saja secara intrinstik bersifat stokastik, yaitu variabel acak yang memiliki suatu fungsi yang harganya merupakan bilangan rill dan ditentukan oleh setiap elemen dari suatu ruang sampel. Salah satu metode yang digunakan untuk mengestimasi model regresi linier berganda dengan variabel stokastik adalah metode Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE). Metode MMLE ini merupakan aplikasi yang lebih luas dalam hal bahwa bisa diaplikasikan dalam model regresi yang tidak linier dalam suatu parameter. Metode MMLE sesuai dengan namanya, metode ini terdiri atas estimasi dari parameter-parameter yang tidak diketahui dalam perilakunya bahwa probabilitas dalam mengobservasi variabel yang telah ditentukan ini dilakukan setinggi (semaksimum) mungkin.
2.
Tinjauan Pustaka
2.1 Regresi Linier Variabel Prediktor Nonstokastik Hubungan antara variabel-variabel pada analisis regresi dapat direpresentasikan dalam bentuk persamaan yang menghubungkan variabel respon π dengan satu atau lebih variabel prediktor π1 , π2 , β¦ , ππ . Model regresi linier berganda dengan variabel prediktor nonstokastik sbb: π
ππ = π½0 +
π½π πππ + ππ ,
π = 1,2, β¦ , π
(1)
π =1
Keterangan : ππ = variabel respon (dependent variabel) πππ = variabel prediktor (independent variabel) ππ = variabel gangguan stokastik (stochastic disturbance) π½0 , π½1 , π½2 , β¦, π½π adalah parameter regresi
2.2 Distribusi Normal Fungsi kepadatan peluang (f.k.p) dari distribusi normal diberikan oleh rumus berikut: π π₯ =
1 2ππ 2
exp β
1 π₯βπ 2π 2
2
, ββ < π₯ < β
(2)
, ββ < π < β ,π > 0
dengan : π : mean π : standar deviasi π : 3,14159β¦
2.2.1 Distribusi Normal Univariat Distribusi normal univariat dengan mean π1 dan variansi π12 mempunyai fungsi densitas probabilitas π π₯1 =
οͺ
1 2ππ12
exp β
1 π₯ β π1 2π12 1
2
3
Fungsi π π₯1 adalah fungsi distrribusi marginal untuk π, dan dinyatakan π~π π1 , π12 .
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
3
2.2.2 Distribusi Normal Multivariat Apabila πΏ mempunyai distribusi normal multivariat dengan vektor ratarata π dan matriks kovariansi πΊ, maka fungsi densitas normal multivariatnya adalah : 1
π π = 2π
π 2
ππ₯π β πΊ
1 π β π πΊ β1 π β π 2
π‘
(4)
Dimana : π : banyaknya variabel πΊ : matriks kovariansi π : vektor rata-rata
2.3 Regresi Linier Variabel Prediktor Stokastik Ketika kita menganalisis data dengan menggunakan metode statistika, kita hampir selalu menekankan asumsi yang dikenakan terhadap data yang dianalisis. Pemodelan yang menganggap peubah π berubah-ubah dengan sebaran tertentu (misalnya, normal), maka disebut pemodelan stokastik (I. M Tirta, 2008). Model regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik sbb: π
π = πΎ0 +
πΎπ π’π + π
π’π =
π =1
π₯π β ππ ππ
(5)
Keterangan : π = variabel respon (dependent variabel) π’ = variabel prediktor stokastik (independent variabel) π = variabel gangguan stokastik (stochastic disturbance) πΎ0 dan πΎπ adalah parameter regresi, dimana π = 1, 2, β¦ , π.
2.4 Metode Maksimum Likelihood (MLE) Salah satu metode dalam penaksiran parameter adalah Maksimum Likelihood Estimation (MLE). Prinsip dasar dari MLE adalah menentukan π yang memaksimumkan fungsi likelihood. Jika terdapat peubah acak ππ dengan π = 1,2, β¦ , π dimana ππ saling bebas dengan fungsi kepadatan peluang π(π¦, π), maka fungsi likelihood bersama berbentuk sebagai berikut : π
πΏ ππ =
π π¦π , π
(6)
π=1
Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk : π
π = ln πΏ π π = ln
π
π ππ , π π=1
=
ln π ππ , π π=1
Nilai parameter π dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi kepadatan peluang. Hal tersebut dilakukan dengan metode turunan pertama dari fungsi likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Maka MLE π merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut : οͺ
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
4
π π| =0 ππ π=π
2.5 Modified Maksimum Likelihood Estimators (MMLE) Metode MMLE merupakan modifikasi dari metode MLE dimana diberikan sampel acak (yi ; x1i , β¦ , xji , β¦ xqi ) 1 β€ i β€ n atau dapat ditulis (y; x1 , x2 , . . , xq ) dan menunjukkan bahwa estimator tersebut sangat efisien. Untuk memperoleh nilai taksiran dengan metode MMLE maka fungsi likelihood dari (π¦; π₯1 , π₯2 , . . , π₯π ) dan π1 , π2 , β¦ , ππ π
πΏ=
πΏπ₯ πΏπ
7
π=1
Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk : π
π = ln πΏ = ln
π
πΏπ₯ πΏπ = π=1
ln π π₯π π ππ π=1
Nilai π½ dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi kepadatan peluang. Hal tersebut dilakukan dengan metode turunan pertama dari fungsi likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Maka MMLE π½ diperoleh dari turunan pertama disamakan dengan nol sebagai berikut : π π| =0 ππ½ π½=π½
2.6 Uji Goodness of Fit Uji goodness of fit digunakan untuk mengetahui apakah model layak atau tidak layak digunakan dengan cara merumuskan hipotesis, memilih taraf signifikansi πΌ, dan menentukan statistik uji dengan melihat nilai deviance. Deviance yang digunakan untuk regresi linier berganda adalah : π 1 π·ππ£πππππ β = 2 π¦π β π¦π 2 π π=1
Kriteria keputusan : π»0 ditolak jika β > π 2π,πβπ , yang artinya model tidak layak digunakan. Sebaliknya, π»0 diterima jika β β€ π 2π,πβπ , yang artinya model layak digunakan [6].
3.
Metodologi
Adapun langkah-langkah penerapan regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik adalah sebagai berikut : a. Mengestimasi parameter suatu model regresi berganda dengan variabel prediktor stokastik menggunakan metode MMLE. Untuk memperoleh nilai taksiran dengan metode MMLE maka fungsi likelihood dari (π¦; π₯1 , π₯2 , . . , π₯π ) dan π1 , π2 , β¦ , ππ οͺ
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
5
π
πΏ=
πΏ π₯ πΏπ π=1
Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk : π
π = ln πΏ = ln
π
πΏπ₯ πΏπ =
ln π π₯π π ππ
π=1
π=1
Nilai π½ dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi kepadatan peluang. Hal tersebut dilakukan dengan metode turunan pertama dari fungsi likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Maka MMLE π½ diperoleh dari turunan pertama disamakan dengan nol sebagai berikut : π π| =0 ππ½ π½=π½ b.
Uji distribusi normal multivariate dengan melihat apakah data sudah berdistribusi normal multivariat atau tidak. Pemeriksaan distribusi multivariat dapat dilakukan dengan menggunakan plot antara jarak kuadrat mahalanobis ππ2 dan π³ 2 . Adapun langkah-langkah plot ππ2 dan π³ 2 sebagai berikut : 1. Urutkan jarak mahalanobis ππ2 dari yang kecil dengan yang terbesar. 2. 3. 4.
4.
π β0,5
Untuk setiap ππ2 , hitung π persentil. Nilai π³ 2 untuk persentil dari sebaran π³ 2 dengan π derajat bebas, dimana π menyatakan jumlah peubah. Buat plot ππ2 dan π³ 2 .
c.
Penerapan model regresi linier berganda yang memiliki variabel prediktor stokastik pada data pengaruh rata-rata kelembaban udara, rata-rata temperature dan rata-rata kecepatan angin terhadap rata-rata curah hujan di kota Makassar Sulawesi Selatan tahun 2006 sampai tahun 2012.
d.
Uji kelayakan model regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik dengan menggunakan uji goodness of fit.
Hasil dan Pembahasan
4.1 Estimasi Parameter pada Regresi Linier Berganda dengan Variabel Prediktor Stokastik 4.1.1 Metode MMLE untuk Distribusi Univariat Fungsi likelihood dari π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π dan π1 , π2 , β¦ , ππ dapat dituliskan sebagai berikut: π
πΏ=
πΏπ₯ πΏπ π=1 π
= οͺ
π=1
1 2πππ₯2
ππ₯π β
π₯π β ππ₯ 2ππ₯2
2
β
1 2ππ 2
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]
ππ₯π β
π¦π β πΎ0 β πΎ1 π’π 2π 2
2
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
6
1 = 2π
π
1 ππ₯2
π 2
1 π2
π 2
π
ππ₯π β π=1
π₯π β ππ₯ 2ππ₯2
π
2
β π=1
2
π¦π β πΎ0 β πΎ1 π’π 2π 2
(8)
Selanjutnya, dari pers.(8) fungsi log-likelihood-nya dapat dituliskan sebagai berikut : π π ln πΏ = βπ ln 2π β ln ππ₯2 β ln π 2 β 2 2 π π=1 π₯π β ππ₯ 2ππ₯2
π π=1
2
β
π¦π β πΎ0 β πΎ1 π’π 2π 2
2
(9)
Untuk mendapatkan parameter taksiran ππ₯ , ππ₯2 , πΎ0 , πΎ1 dan π 2 , maka pers. (9) diturunkan terhadap parameter-parameter tersebut, kemudian disamakan dengan nol. Turunan ln πΏ terhadap ππ₯ adalah : π ln πΏ 1 = πππ₯ π
Turunan ln πΏ terhadap ππ₯2 π ln πΏ 1 = π πππ₯2
π₯π = π₯
π₯π β ππ₯ π π=1 π¦π
π
1 = π
π₯π2 π=1
1 β π
π π=1 π’π
β πΎ1 π
π ln πΏ π ππ=1 π¦π π’π β = ππΎ1 π ππ=1 π’π2 β π ln πΏ 1 = ππ 2 π
2
π=1
π ln πΏ = ππΎ0
Turunan ln πΏ terhadap π 2
(10)
π=1
π
Turunan ln πΏ terhadap πΎ0 Turunan ln πΏ terhadap πΎ1
π
2
π
π₯π
(11)
π=1
(12)
π π=1 π¦π
π π=1 π’π 2 π π=1 π’π
(13)
2
(14)
π
π¦π β πΎ0 β πΎ1 π’π π=1
4.1.2 Metode MMLE untuk Distribusi Multivariat Fungsi likelihood dari π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π dan π1 , π2 , β¦ , ππ dapat dituliskan sebagai berikut: π
πΏ=
πΏπ₯ πΏπ π=1 π
1
= π=1
2π
π 2
ππ₯π β πΊ
1 π₯ β π πΊ β1 π₯ππ β π 2 ππ 1
2ππ 2
οͺ
ππ₯π β
π‘
Γ
π¦π β πΎ0 β πΎ1 π’1π β πΎ2 π’2π β πΎ3 π’3π 2π 2
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]
2
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
1 = 2π
π
1 πΊ
π 2
1 π2
π 2
7
1 exp β 2 π
π=1
π
π₯ππ β π πΊ β1 π₯ππ β π
π‘
β
π=1
π¦π β πΎ0 β πΎ1 π’1π β πΎ2 π’2π β πΎ3 π’3π 2π 2
2
(15)
Selanjutnya, dari pers.(15) fungsi log-likelihood-nya dapat dituliskan sebagai berikut π π 1 ln πΏ = βπ ln 2π β ln πΊ β ln π 2 β 2 2 2 π
π
π₯ππ β π πΊ β1 π₯ππ β π π=1
π¦π β πΎ0 β πΎ1 π’1π β πΎ2 π’2π β πΎ3 π’3π 2π 2
β π=1
π‘
2
(16)
Untuk mendapatkan parameter taksiran π, πΊ, π 2 , πΎ0 , β¦ , πΎ3 , maka pers. (16) diturunkan terhadap parameter-parameter tersebut, kemudian disamakan dengan nol. Turunan ln πΏ terhadap π π ln πΏ 1 =π= ππ π
Turunan ln πΏ terhadap πΊ π ln πΏ 1 = ππΊ π
Turunan ln πΏ terhadap π 2 π ln πΏ 1 = ππ 2 π
π
ππ
(17)
π=1
π
ππ β π ππ β π
π‘
(18)
π=1 π
π¦π β πΎ0 β πΎ1 π’1π β πΎ2 π’2π β πΎ3 π’3π
2
19
π=1
Selanjutnya, untuk memperoleh πΎ0 , β¦ , πΎ3 dibentuk sistem persamaan dari π ln πΏ π ln πΏ π ln πΏ π ln πΏ = 0, = 0, , dan = 0 dalam bentuk matriks, sebagai berikut ; ππΎ ππΎ ππΎ ππΎ 0
1
π π π=1 π’1π π π=1 π’2π π π=1 π’3π
2
π π=1 π’1π π 2 π=1 π’1π π π=1 π’1π π’2π π π=1 π’1π π’3π
3
π π=1 π’2π π π=1 π’1π π’2π π 2 π=1 π’2π π π=1 π’2π π’3π
π π=1 π’3π π π=1 π’1π π’3π π π=1 π’2π π’3π π 2 π=1 π’3π
πΎ0 πΎ1 πΎ2 πΎ3
π π=1 π¦π
=
π π=1 π¦π π π=1 π¦π π π=1 π¦π
π’1π π’2π π’3π
atau π¨πΈ = πͺ
(20)
Maka, persamaan regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik estimasi dengan variabel prediktor berdistribusi normal multivariat adalah sebagai berikut : ππ = πΎ0 + πΎ1 π’1π + πΎ2 π’2π + πΎ3 π’3π
οͺ
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]
(21)
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
8
4.2 Penerapan Regresi Linier Berganda dengan Variabel Prediktor Stokastik 4.2.1 Uji Distribusi Multivariate pada Data Jika trend hasil plot menunjukkan linier, melalui titik asal dan gradien mendekati satu maka dapat dikategorikan bahwa data tersebut mengikuti distribusi normal multivariat atau dapat juga membandingkan koefisien korelasi plot (KKP) dari hasil program SAS dengan tabel 2 dalam Sharma (1996), jika KKP lebih besar atau sama dengan nilai pada tabel 2 untuk πΌ = 0,05 dan π, maka dikategorikan bahwa data tersebut berasal dari pola distribusi normal multivariat (Sharma, 1996; Johnson dan Wichern, 1998). Untuk mengetahui bahwa data tersebut mengikuti pola distribusi normal multivariat dipergunakan paket statistika SAS versi 9.2 trend plot chi-squared terhadap jarak turut terlihat linier, melalui titik asal dan gradien mendekati satu atau KKP = 0,99228 lebih besar dari pada 0,985 yang menunjukkan bahwa gugus data rata-rata curah hujan mengikuti pola distribusi normal multivariat.
4.2.2 Penerapan Hasil Estimasi Parameter pada Data Setelah dilakukan pengolahan data dengan perhitungan manual (menggunakan Microsoft Excel), maka didapatkan hasil seperti pada matriks beriku ini : ππ‘ π
β1
β7603,43 20,80 ππ‘ π = β72,79 54,87
Koefisien regresi merupakan hasil dari perhitungan dengan demikian koefisien regresinya adalah : πΎ0 πΎ1 πΎ2 πΎ3
ππ‘ π
β1
ππ‘ π ,
= β7603,43 = 20,80 = β72,97 = 54,87
Dari hasil penelitian didapatkan model dengan persamaan regresi sebagai berikut : ππ = β7603,43 + 20,80π’1π β 72,79π’2π + 54,87π’3π
4.2.3 Uji goodness of fit pada Regresi Prediktor Stokastik Pada model taksiran dilakukan uji goodness of fit, model tersebut memiliki nilai deviance β€ π 2π ,πβπ = π 20.05,73 = 93.94, maka π»0 diterima dan dapat disimpulkan bahwa model regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik layak digunakan.
5.
Penutup
5.1 Kesimpulan Dari hasil analisis yang telah dilakukan dan berdasarkan penjelasan yang telah diberikan, maka dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut: οͺ
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
9
1. Metode yang digunakan pada estimasi parameter model regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik yang berdistribusi normal multivariate adalah metode Modified Maximum Likelihood Estimators (MMLE). Hasil estimasi parameter yang diperoleh adalah 1 π=π₯= π 1 πΊ= π
π
π
ππ π=1
ππ β π ππ β π π=1
π = ππ‘ π
β1
π‘
ππ‘ π
2. Penerapan regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik pada data bulanan curah hujan kota Makassar dalam kurun waktu 7 tahun dimulai dari tahun 2006 sampai tahun 2012 maka diperoleh sebuah model yaitu: ππ = β7249,64 + 22,02π’1π β 67,90π’2π + 54,16π’3π Berdasarkan model, faktor yang berpengaruh positif terhadap rata-rata curah hujan perbulan yaitu rata-rata kelembaban udara π1 dan rata-rata kecepatan angin π3 . Sedangkan faktor yang berpengaruh negatif terhadap rata-rata curah hujan perbulan yaitu rata-rata temperature π2 .
5.2 Saran Dalam penulisan skripsi ini, penulis melakukan estimasi model regresi linier berganda dengan variabel prediktor stokastik menggunakan metode MMLE (Modified Maximum Likelihood Estimators). Bagi pembaca yang berminat dengan permasalahan estimasi parameter model regresi linier berganda khususnya dengan variabel prediktor stokastik, disarankan untuk melakukan estimasi parameter dengan menggunakan metode LSE ( Least Squares Estimators).
Daftar Pustaka [1]
Anderson, T. W. 2003. An Introduction Multivariate Statistical Analysis. Third Edition. Page: 66-71. Standford University
[2]
A.D. Akkaya and M.L. Tiku, Robust estimation in multiple linear regression with non-Gaussian noise, Automatica 44 (2008), pp. 407β417.
[3]
Gujarati, Damodar N. & Porter, Dawn C. 2011. Dasar-dasar Ekonometrika. Jakarta: Salemba Empat. Cetakan Kedua.
[4]
Hogg, Robert V. and Craig, Allen T. 1995. Introduction To Mathematical Statistics 5th Edition. University Of Lowa.
[5]
H.S. Sazak, M.L. Tiku, and M.Q. Islam, Regression analysis with a stochastic design variable, Int. Stat. Rev. 74 (2006), pp. 77β88.
[6]
Jong, P.D. & Heller, G.Z.2008. Generalized Linier Model for Insurance Data. Cambridge: Cambridge University Press.
οͺ
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]
10
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 8 No.1 Juli 2011
[7]
Johnson, D. M. & D. W. Wichern. 1998. Applied Multivariate Statistical Analysisi (4th ed). Hall, New Jersey.
[8]
Qamarul. Islam, M. & Van Moti L, Tiku. 2010. Multiple linier regression model with stochastic design variabelsβ. Journal of applied Statistics.
[9]
Sembiring, R. K. 2005. Analisis Regresi. Bandung : Institut Teknologi Bandung.
[10] Santuo. 2012. Penaksir Parameter Model Regresi Invrse Gaussian dengan Peubah Respon Kontinu Non-Negatif. Makassar. Universitas Hasanuddin [11] Sharma, S. 1996. Applied Multivariate Techniques, Wiley, New York. [12] Tiro, Arif. 2002. Analisis Korelasi dan Regresi. Makassar: Makassar State University Press. [13] Tirta, I. M. 2008. Model statistika Linier. Jember : Universitas Jember
οͺ
Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Univesitas Hasanuddin, email:
[email protected]