REGRESI DAN KORELASI BERGANDA 1. Regresi Berganda Regresi berganda mempunyai lebih dari satu variabel bebas, maka digunakan regresi linier ganda dengan bentuk persamaan ( digunakan dua variabel bebas sebagai contoh) : Y = bo + b1 X1 + b2 X2 1. 2. 3.
Untuk mencari persamaan regresi tersebut digunakan rumus: ∑Y = bo.n + b1∑ X1 + b2∑ X2 ∑ X1Y = bo. ∑ X1 + b1∑ X12 + b2∑ X1 X2 ∑ X2Y = bo. ∑ X2 + b1∑ X1 X2 + b2∑ X22
Dari persamaan 1, 2 dan 3 maka eliminasi ( teknik penghapusan )
bo , b1 dan b2 dapat diketahui atau dicari dengan
2. Korelasi Berganda Korelasi berganda digunakan untuk mengetahui keeratan hubungan antara lebih dari satu variabel bebas terhadap variabel tak bebas. Perhitungan korelasi berganda dapat menggunakan pendekatan Anova ( Analisis of Varians ) yaitu dengan rumus korelasi berganda adalah sebagai berikut : SSR R = SST Dimana : R = Koefisen Korelasi Berganda SSR = Sum Square Regresi = bo. ∑Y + b1 ∑ X1 Y + b2 ∑ X2Y – ( ∑Y )2 / n SST = Sum Square Total = ∑Y2 – ( ∑Y )2 / n SSE = SST - SSR = sum square eror 3. Koefisien Determinasi Berganda Koefisien Determinasi Berganda yaitu untuk melihat seberapa besarnya konstribusi ( pengaruh ) dari variabel-variabel bebas terhadap variabel terikat, dimana dalam hal ini indikator yaitu R2 , untuk melihat konstribusi masing-masing variabel X1 dan X2 terhadap Y dengan rumus :
KD R 2 100% 4. Pengujian Hipotesis Untuk menguji korelasi berganda apakah dapat diberlakukan secara umum (generalisasi) yaitu data sample dapat dijadikan data populasi maka harus diuji signifikansinya. Pengujian hipotesis korelasi berganda ada 2 cara : 4.1. Pendekatan Analysis Of Varian (ANOVA) Adapun pendekatan Anova untuk pengujian hipotesis koefisien korelasi berganda dengan membuat terlebih dahulu table anova seperti di bawah ini :
1
TABEL ANOVA Sumber Variasi Varibel Regresi X1, X2,….. Xp Residu/Error
Total
Tingkat Kebebesan ( df) p=2
E=n-p-1
p+E
Sum Square ( SS )
Mean Square
Fhitung
Ftabel
( MS )
Sum Square Regresion ( SSR)
Mean Square F hitung Regresion (MSR) =MSR/MSE
Sum Square Error (SSE)
Mean Square
F tabel =(α,p,E)
=SSR/p
Error (MSE) =SSE/E
Sum Square Total ( SST)
Kemudian Fhitung dibandingkan dengan Ftabel untuk menolak atau menerima hipotesis Kesimpulan : Bila F hitung lebih besar F tabel maka Ho ditolak atau Ha diterima Bila F hitung lebih kecil F tabel maka Ho diterima atau Ha ditolak 4.2. Dengan Uji Signifikansi Korelasi Product Moment (Oleh Pearson) R2 / k Fhitung =
( 1 - R2 ) / (n – k – 1)
Ftabel = (α,V1 , V2) Ftabel = (α,p,E) Dimana : R2 = Koefisien korelasi berganda k = Jumlah variable independen (X) n = Jumlah sampel Kesimpulan : F hitung dibandingkan dengan Ftabel untuk menolak atau menerima hipotesis Untuk lebih jelasnya soal dibawah ini. Ada 10 rumah tangga yang merupakan sampel acak dari sustu penelitian, antara lain ditanyakan tentang banyaknya konsumsi atas komoditi tertentu ( Unit ) dan Harga komoditi ( Rp/Unit) dan pendapatan ( Rp ) . Kita ketahui, bahwa permintaan terhadap komoditi tersebut untuk keperluan konsumsi (Y) akan dipengaruhi harga ( X1) dan Pendapatan ( X2). Hasil penelitian adalah sebagai berikut :
2
X1 2 3 5 4 6 2 3 4 5 6
X2 3 4 6 5 7 6 4 5 4 3
1. Buatlah persamaan regresi berganda estimasinya ? dan apa maksud dari persamaan tsb. 2. Berapa besar koefisien korelasi berganda dan bagaimana hubungan X1 dan X2 dengan Y 3. Berapa besar Koefisien Penentu dan apa maksud nilai KP tersebut ? 4. Ujilah apakah ada hubungan antara X1 dan X2 dengan Y dengan Tingkat keyakinan 95 %
Y 5 8 8 9 9 13 6 9 4 3
Jawab : X1 2 3 5 4 6 2 3 4 5 6 40
X2 3 4 6 5 7 6 4 5 4 3 47
Y 5 8 8 9 9 13 6 9 4 3 74
X12 4 9 25 16 36 4 9 16 25 36 180
ΣX1
ΣX2
ΣY
ΣX12
X22
237
X1Y 10 24 40 36 54 26 18 36 20 18 282
X2Y 15 32 48 45 63 78 24 45 16 9 375
Y2 25 64 64 81 81 169 36 81 16 9 626
X1X2 6 12 30 20 42 12 12 20 20 18 192
ΣX22
ΣX1Y
ΣX2Y
ΣY2
ΣX1X2
9 16 36 25 49 36 16 25 16 9
Langkah – langkah mencari persamaan regresi berganda
1. Menuliskan tiga persamaan : I
ΣY
=
+ nb0
+ b1ΣX1
+ b2ΣX2
II
ΣX1Y
=
+ b0ΣX1
+ b1ΣX12
+ b2ΣX1X2
III
ΣX2Y
=
+ b0ΣX2
+ b1ΣX1X2
+ b2ΣX22
I.
74
=
+ 10 b0
+ 40 b1
+ 47 b2
II.
282
=
+ 40 b0
+ 180 b1
+ 192 b2
III.
375
=
+ 47 b0
+ 192 b1
+ 237 b2
3
2. Mencari bo, b1 dan b2 dengan cara sebagai berikut : 2.1. Menghilangkan bo dengan mengambil persamaan I dan II I.
74
=
10 b0
+40 b1
+47 b2
II.
282
=
40 b0
+180 b1
+192 b2
a. Bentuk persamaan I dan II dengan mengalikan dengan angka yang sesuai I.
74
=
10 b0
+40 b1
+47 b2
X
40
II.
282
=
40 b0
+180 b1
+192 b2
X
10
b. Bentuk persamaan I dan II setelah perkalian : I.
2.960
=
400
b0
+1.600 b1
+1.880 b2
II.
2.820
=
400
b0
+1.800 b1
+1.920 b2
c. Kurangkan persamaan I dan II ( Menjadi persamaan IV ) IV.
140
=
-200 b1
-40 b2
2.2. Menghilangkan bo dengan mengambil persamaan I dan III a. Bentuk persamaan I dan III dengan mengalikan dengan angka yang sesuai I
74
=
10 b0
+40 b1
+47 b2
X
47
III
375
=
47 b0
+192 b1
+237 b2
X
10
b. Bentuk persamaan I dan III setelah perkalian : I
3.478
=
470
b0
+1.880 b1
+2.209
b2
III
3.750
=
470
b0
+1.920 b1
+2.370
b2
c. Kurangkan persamaan I dan III ( Menjadi persamaan V ) V.
-272
=
-40 b1
-161 b2
3. Mencari b2 dengan mengambil persamaan IV dan V IV.
140
=
-200 b1
-40 b2
V.
-272
=
-40 b1
-161 b2
a.Bentuk persamaan IV dan V dengan mengalikan dengan angka yang sesuai IV.
140
=
-200 b1
-40 b2
X
-40
V.
-272
=
-40 b1
-161 b2
X
-200
4
b. Bentuk persamaan IV dan V setelah perkalian : IV.
-5.600
=
8.000 b1
+1.600 b2
V.
54.400
=
8.000 b1
+32.200 b2
c Kurangkan persamaan IV dan V -60.000 Jadi
=
-30.600
b2 =
b2
1,961
4. Mencari b1 dengan mengambil persamaan V V -272 = -40 b1 Bentuk Persamaan V setelah nilai b2 dimasukan kedalam rumus V
-161 b2
-272
=
-40 b1
-161 X
-272
=
-40 b1
-316
40
b1 =
272
-316
40
b1 =
-44
Jadi
b1 =
-1,092
1,961
5. Mencari bo dengan mengambil persamaan I dan memasukan nilai b1 dan b2 I.
74
=
10 b0
74
=
10 b0
-10
b0 =
-74
-10
b0 =
-26
Jadi b0 = 6. Menuliskan hasil persamaan :
+40 b1
+47 b2
-43,686
+ 92,157
-43,686
+ 92,157
2,553
Jadi persamaan regresi berganda
Y=
2,553 b0
-1,092 +b1 1,961b2
b0 = 2,553 artinya bila X1 dan X2 sama dengan 0 maka Y = 2,553 b1 = -1,092 artinya apabila kenaikan x1 sebesar 1 unit akan ( Rp/Unit) akan menyebabkan
penurunan Y sebesar 1,092, dimana X2 dianggap konstan (tetap) b2 = 1,961 artinya apabila kenaikan x2 sebesar 1 unit akan ( Rp ) akan menyebabkan kenaikan Y
sebesar 1,961, dimana X1 dianggap konstan (tetap) Mencari Koefisien Korelasi Berganda 1. Dengan Pendekatan Anova SSR = Sum Square Regresi SSR = bo. ∑Y + b1 ∑ X1 Y + b2 ∑ X2Y – ( ∑Y )2 / n = (2,553 * 74) + ( 1,092*282) + ( 1,961*375) – 547,6 =188,92 – 308 + 735,3 – 547,6 = 68,622
5
SST
= Sum Square Total = ∑Y2 – ( ∑Y )2 / n = 626 – (74)2 /10 = 628 – 547,6 =78,4
SSE
= SST - SSR = 78,4 – 68,622 = 9,778 SSR
R = SST 68,622 R =
= 0,936 78,4
R = 0,936 artinya hubungan variabel X1 dan X2 dengan Y adalah sangat kuat Mencari Koefisien Penentu (KP) Koefesien Penentu = 0,936 x 0,936 = 0,877 = 87,7 % artinya pengaruh X1 dan X2 terhadap Y sebesar 87,7% sedangkan sisanya 12,3% dipengaruhi faktor lain. (kebutuhan, kualitas produk, pelayanan) Pengujian Hipotesis Korelasi Berganda 1. Pendekatan Analysis Of Varian (ANOVA) TABEL ANOVA Sumber Variasi Varibel Regresi X1 dan X2
Tingkat Kebebesan ( df) p=2
Sum Square ( SS ) Sum Square Regresion (SSR) = 68,622
Residu/ Eror
E = n -p – 1 E = 10-2-1 E=7
Sum Square Error SSE =9,778
Total
T=p+E T = 2 + 7= 9
Sum Square Total SST = 78,4
Mean Square
Fhitung
Ftabel
( MS ) Mean Square Regresion (MSR) = SSR/p = 68,622/2 = 34,411 Mean Square
Fhitung =MSR/MSE =34,311/1,397 =24,561
Ftabel =(α,p,E) =(0,05; 2 ; 7) = 4,74
Error (MSE) =SSE/E = 9,778/7 = 1,397
6
Pengujian Hipotesis Ho : Tidak ada hubungan X1 dan X2 dengan Y Ha : Ada hubungan X1 dan X2 dengan Y Kesimpulan : Karena F hitung lebih besar Ftabel atau 24,33 > 4,74 maka Ho ditolak atau Ha diterima. Jadi ada hubungan X1 dan X2 dengan Y 2. Dengan Pendekatan Uji signifikansi Korelasi Product Moment (Oleh Pearson) R2 / k Fhitung =
( 1 - R2 ) / (n – k – 1) 0,9362 / 2
Fhitung =
( 1 - 0,9362) / (10 – 2 – 1) 0,876 / 2
Fhitung = ( 1 –0,876) / 7 0,438 Fhitung = 0,018 Fhitung = 24,33 Ftabel = (α,V1 , V2) Ftabel = (α, p, E) Ftabel = (0,05 ; 2 ; 10-2-1) Ftabel = (0,05 ; 2 ; 7 ) Ftabel = 4,74 Kesimpulan : Karena F hitung lebih besar F tabel atau 24,33 > 4,74 maka Ho ditolak atau diterima. Jadi ada hubungan X1 dan X2 dengan Y
Ha
7
PERHITUNGAN REGRESI DAN KORELASI BERGANDA DENGAN SPSS
Regression Variables Entered/Removed Model 1
Variables Entered
b
Variables Removed
Method
X2 = Penadapatan, X1 = Harga
. Enter
a
a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: Y = Konsumsi
Model Summary Model
R
1
.936
R Square a
Adjusted R Square
.875
Std. Error of the Estimate
.840
1.182
a. Predictors: (Constant), X2 = Pendapatan, X1 = Harga
b
ANOVA Model 1
Sum of Squares Regression Residual Total
df
Mean Square
68.624
2
34.312
9.776
7
1.397
78.400
9
F
Sig.
24.567
.001
a
a. Predictors: (Constant), X2 = Penadapatan, X1 = Harga b. Dependent Variable: Y = Konsumsi
Coefficients
a
Standardized Unstandardized Coefficients Model 1
B
Std. Error
(Constant)
2.553
1.626
X1 = Harga
-1.092
.271
1.961
.302
X2 = Pendapatan
Coefficients Beta
t
Sig.
1.570
.160
-.552
-4.029
.005
.889
6.490
.000
a. Dependent Variable: Y = Konsumsi
8
