Analisis Korelasi dan Regresi

Analisis Korelasi dan Regresi Hazmira Yozza – Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Unand

LOGO

www.themegallery.com

LOGO

Data bivariat


Data dengan dua variabel
Terhadap satu pengamatan dilakukan pengukuran/pengamatan terhadap 2 variabel
Sering ditemui
Contoh : Dilakukan pencatatan nilai UN Mtk dan IPK Smt 1 terhadap mahasiswa Matematika
Analisis yang biasa dilakukan : analisis regresi, analisis korelasi, diagram pencar

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

www.themegallery.com

LOGO

1

2

3

AN. KORELASI

DIAGRAM PENCAR

AN. REGRESI

digunakan untuk mengetahui derajat hubungan antara dua variabel

adalah salah satu teknik penyajian grafis data bivariate.

digunakan untuk menemukan pola hubungan antara dua variabel

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Kompetensi

1

menjelaskan pengertian data bivariate, variabel bebas dan variabel terikat

2

menghitung koefisien korelasi linier antara dua variabel dan menginterpretasikan nilai koefisien korelasi linier tersebut

3

menggambarkan diagram pencar antara dua variabel dan menginterpretasikan diagram yang terbentuk

4

menemukan bentuk hubungan antara dua var dengan menggunakan an.regresi serta menginterpretasikan model

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Kompetensi

5

menghitung nilai koef. determinasi dari suatu model regresi dan menginterpretasikan nilai koef. tersebut

6

membentuk selang kepercayaan bagi penduga parameter regresi dan menginterpretasikan selang yang terbentuk

7

menguji hipotesis mengenai parameter populasi

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO suatu karakteristik sistem yang nilainya selalu berubah.

VARIABEL

VAR. TAK BEBAS (RESPONS)

VAR BEBAS (VAR. PENJELAS)

Variabel yang nilainya tergantung dari nilai peubah lain

Variabel yang nilainya tidak tergantung nilai variabel lain NILAI UN Matematika Lama belajar

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO suatu karakteristik sistem yang nilainya selalu berubah.

VARIABEL

VAR. TAK BEBAS (RESPONS)

VAR BEBAS (VAR.PENJELAS)

Variabel yang nilainya tergantung dari nilai peubah lain dalam satu sistem

Variabel yang nilainya tidak tergantung nilai variabel lain dalam satu sistem) Penjualan es krim Suhu

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Analisis Data Bivariat

1. Diagram pencar

•Menggambarkan hubungan antara variabel bebas dengan variabel tak bebas •Variabel bebas pada sumbu horizontal dan peubah tak bebas pada sumbu vertikal •Dari diagram, dapat diperkirakan bentuk hubungan antara kedua variabel (linier, kuadratik, dlsb)

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

2. Koefisien Korelasi Suatu ukuran yang mengukur derajat hubungan linier antara dua buah peubah n

n

∑(x − x)( y − y) i

rxy=

i i

= n

∑(x − x) ∑( y − y) 2

i

i =1

2

i

i =1

n

∑ x y − ∑x ∑ y

i

i =1 n

n

i =1

i

i =1

i

n

i =1

 n 2  n 2  n 2  n 2   ∑x −  ∑x  n ∑ y −  ∑ y  n  i=1 i  i=1 i   i=1 i  i=1 i     

Keterangan : rxy = koefisien korelasi peubah x dan y xi = nilai x ke-i yi = nilai y ke-i y = nilai rata-rata variabel y x = nilai rata-rata variabel x n = banyak pasangan data

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Contoh : Data

x

40

50

60

70

80

90

40

60

80

50

y

65

475 272 335 490 415

72

265 492 180

Tentukan nilai koefisien korelasinya

620; 3061; 41200; 1178257; 209810 ; 0.776101

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Catatan :
-1 ≤ rxy ≤ 1 * Tanda (+ atau -) menunjukkan arah hubungan kedua variabel rxy < 0 → semakin tinggi nilai x kecendrungan nilai y semakin rendah. rxy > 0 → semakin tinggi nilai x kecendrungan nilai y semakin tinggi. * Besarnya nilai rxy menunjukkan derajat keeratan hubungan kedua variabel. Semakin erat hubungan kedua variabel → rxy mendekati -1 atau 1. Semakin tidak erat hubungan kedua variabel → rxy akan mendekati 0
INGAT : dalam konteks koefisien korelasi, tidak dikenal istilah var. bebas atau tak bebas. Jadi tidak ada hubungan sebab akibat antar variabel HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

3. Analisis Regresi Linier Sederhana Suatu teknik analisis statistika yang digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel-variabel dalam suatu sistem, khususnya 1 var tak bebas dg beberapa var bebas AN.REGRESI AN.REG.LINIER : bila pola hubungan linier

AN.REG.LINIER SEDERHANA : hubungan 1 var bebas & 1 var tak bebas

AN.REGRESI NON LINIER : bila pola hubungan tidak linier AN.REG.LINIER BERGANDA : hubungan 1 var bebas dg beberapa var tak bebas

LOGO

Model / Persamaan Regr Y = β0 + β1 X Garis Regresi

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Model Regresi Linier Sederhana

POPULASI

y = β 0 + β1x + ε CONTOH

y = βˆ 0 + βˆ1 x + e = b0 + b1 x + e

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Model Regresi Linier Sederhana

y = β 0 + β1x + ε

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

1

Pertanyaan : Garis regresi mana yang paling mewakili 2 tebaran titik tersebut

3

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Metode Kuadrat Terkecil (LeastSquare Method)


Digunakan untuk menduga persamaan regresi linier sederhana (menduga nilai β0 dan β1)
Ditentukan dengan meminimumkan Jumlah Kuadrat Sisaan (JKS)

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Dengan meminimumkan JKS, diperoleh model dugaan :

yˆ i = b0 + b1 xi Dengan :

n  n   xi y i −  ∑ xi ∑ y i  / n ∑ i =1  i =1 i =1  = b1 = 2 n n   xi2 −  ∑ xi  / n ∑ i =1  i =1  n

n

∑ (x

i

− x )( y i − y ) =

i =1 n

∑ (x

i

− x)

2

JK xy JKx

i =1

b0 = y − b1 x

HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

D A T A

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

y 10.98 11.13 12.51 8.40 9.27 8.73 6.36 8.50 7.82 9.14 8.24 12.19 11.88

x 35.3 29.7 30.8 58.8 61.4 71.3 74.4 76.7 70.7 57.5 46.4 28.9 28.1

No 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

y 9.57 10.94 9.58 10.09 8.11 6.83 8.88 7.68 8.47 8.86 10.36 11.08

x 39.1 46.8 46.5 59.3 70.0 70.0 74.5 72.1 58.1 44.6 33.4 28.6

Tentukan model regresinya

LOGO 25

∑x y = i i

(10.98)(35.3) + (11.13)(29.7) +...+ (11.08)(28.6) = 11821.4320

i=1

25

∑y

i

= 10 .98 + 11 .13 + ... + 11 .08 = 235 . 60

i =1 25

∑x

i

= 35 . 3 + 29 . 7 + ... + 28 . 6 = 1315

i =1

25 2 2 2 2 35 . 3 + 29 . 7 + ... + 28 . 6 = 76323.42 x = ∑ i

i =1

x = 1315 / 25 = 52.60

y = 235 . 60 / 25 = 9 . 424

25 2 y ∑ i= i =1

10.98 2 + 11.132 + ... + 11.08 2 =

2284.11

LOGO 25

∑x y = 11821.4320 i i

i=1 25

∑y

i

= 235.60

i =1 25

∑x

i

=

1315

i =1

n  n  x y − x y  ∑ ∑ i i i∑ i /n  i =1 i =1  b1 = i =1 2 n n   2 x − x  ∑ ∑ i i /n i =1  i =1  11821 . 4320 − (1315 )( 235 . 60 ) / 25 = 2 76323 . 42 − (1315 ) / 25 n

25 2 x ∑ i = 76323.42

= − 0 .079829

i =1

x = 1315 / 25 = 52.60 y = 235 . 60 / 25 = 9 . 424

b 0 = y − b1 x = 9.424 − ( −0.079829)(52.60)

= 13.623005

LOGO

Ketepatan Model Regresi

KOEFISIEN DETERMINASI 2 n   n    2 2  b  x −  x  / n  ∑ 1 ∑ i i     i = 1 i = 1    JKR    100% 2 R = 100% =  2 n n JKT       2  ∑ yi −  ∑ y i  / n    i =1 i =1    

CATATAN : • 0% ≤ R2 ≤ 100% • Semakin tinggi R2, semakin baik model regresi • R2 = 1 → model sempurna

LOGO

Contoh :

25 2 x ∑ i = 76323.42 i =1

25 2 y ∑ i = 2284.11 i =1 25

∑y

i

= 235.60

i =1 25

∑x

i

=

1315

i =1

b1 = −0.079829

HAZMIRA YOZZA

 n 2  n 2   x −  x  / n ∑ i i ∑  i =1 i =1     x100% R 2 = b12  n 2  n 2   y −  y  / n ∑ i i ∑  i =1 i =1     2 2 76323.42 − (1315) / 25 x100% = (−0.079829) 2 2284.11 − (235.60) / 25 = 71.44%

( (

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

) )

IZZATI RAHMI HG

LOGO Sebaran Penarikan Sampel bagi Parameter Populasi bo & b1 : penduga bagi β0 dan β1 bo & b1 : didapat dari dt sampel

sampel berbeda bo & b1 juga berbeda

HAZMIRA YOZZA

b0 & b1 Peubah acak

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

b0 & b1 punya sebaran

IZZATI RAHMI HG

LOGO Sebaran Penarikan Sampel bagi Parameter Populasi

Model Y = β0 + β1X + ε Asumsi dalam Analisis Regresi Linier • • • • •

ε i merupakan peubah acak Nilai tengah ε i adalah 0; dituliskan E( ε i ) = 0 Ragam ε i konstan yang nilainya tidak diketahui ; dituliskan Var( ε i )=σ2. ε i menyebar menurut sebaran normal Galat pengamatan-pengamatan yang berbeda saling bebas. Akibatnya Cov (ε i , ε j ) = 0

Keempat asumsi tersebut dapat diringkas : ε i ~ N(0, σ2 ) untuk I = 1,2,-,n bsi

(bsi = bebas stokastik identik) • X bukanlah peubah acak, sehingga tidak memiliki sebaran HAZMIRA YOZZA

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Sebaran Penarikan Sampel bagi Parameter Populasi

      2 σ  B1 ~ N β1, 2   n 2  n     ∑ xi −  ∑ xi  / n      i=1 i =1     

Asumsi

B1 B 1 − β1

T =

2

 n  x −  ∑ xi  / n ∑ i =1  i =1  n

se

2 i

B1 − β 1

Z = n

σ

∑ i =1

T ~ tn−2 HAZMIRA YOZZA

2

~ N ( 0 ,1)

 n  x −  ∑ xi  / n  i =1  2 i

Tidak diket, hrs diduga JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

s e2 =

JKS n−2 IZZATI RAHMI HG

LOGO

Sebaran Penarikan Sampel bagi Parameter Populasi Tidak diket, hrs diduga

Asumsi

     1 2 B0 ~ N  β 0 ,σ  +  n      

   X2  2 n n    2 xi −  ∑ xi  / n   ∑  i =1  i =1  

Z= σ

1 + n

X

1 + n

~ N (0,1)

2 2

  2 x − x  ∑ ∑ i i /n i =1  i =1  n

n

B0 − β 0 se

JKS n−2

B0 − β 0

Z=

HAZMIRA YOZZA

s e2 =

X

~ tn−2

2 2

 n  2 xi −  ∑ xi  / n ∑ i =1  i =1  n

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Selang Kepercayaan bagi Parameter Regresi SELANG KEPERCAYAAN (1(1-
) 100% BAGI β0

b0 − tα / 2,n−2 se

1 + n

x2 2

  x −  ∑xi  / n ∑ i =1  i=1  n

n

< β0 < b0 + tα / 2,n−2 se

2 i

1 + n

x2 2

  x −  ∑xi  / n ∑ i =1  i=1  n

n

2 i

SELANG KEPERCAYAAN (1(1-
) 100% BAGI β1 b1 − t α / 2 , n − 2

se 2

 n  2 xi −  ∑ xi  / n ∑ i =1  i =1  n

HAZMIRA YOZZA

< β 1 < b1 + t α / 2 , n − 2

se 2

 n  2 xi −  ∑ xi  / n ∑ i =1  i =1  n

JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Uji Hipotesis mengenai β1


Hipotesis : Ho : β1 = β1.0 H1 : β1 ≠ β1.0

(Yang paling umum Ho : β1 = 0 )


Statistik uji :

t hit

b1 − β 1.0 b1 − β 1.0 = = s b1 s JK x


Wilayah kritis :
Kesimpulan : Bila t hit > Bila t hit ≤

HAZMIRA YOZZA

t α / 2, n − 2

t α / 2,n −maka tolak H0 : β1 = β1.0 2 tidak tolak H0 : β1 = β1.0 t α / 2, n −maka 2 JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO

Uji Hipotesis mengenai β0


Hipotesis : Ho : β 0 = β 0.0 H1 : β 0 = β 0.0
Statistik uji : t hit

b0 − β 0.0 b0 − β 0.0 = = s b0 s 1 n + x 2 JK x


Wilayah kritis :
Kesimpulan : Bila t hit > Bila

HAZMIRA YOZZA

t α / 2, n − 2 t α / 2, n −maka tolak H0 : β0 = β 0.0 2

tidak tolak H0 : β 0 = β 0.0 t hit ≤ t α / 2, n maka −2 JUR.MATEMATIKA FMIPA UNAND

IZZATI RAHMI HG

LOGO