REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA

REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA

Apa yang disebut Regresi? Korelasi ? •

Analisa regresi dan korelasi sederhana membahas tentang keterkaitan antara  sebuah   variabel   (variabel   terikat/dependen)   dengan   (sebuah)   variabel   lain  (variabel bebas/independen). Alat analisa ini digunakan untuk melihat besar,  arah, dan tingkat keeratan variabel­variabel yang diuji.

Hubungan antara dua variabel berkisar pada:

1. Regresi:   menentukan   bentuk   persamaan   yang   akan   digunakan   untuk  meramal (predict) rerata Y melalui X. Dan menduga kesalahan(selisih)­nya.  Seringkali   peramalan   hanya   dipusatkan   pada   variabel­variabel   tertentu,  sementara yang lain dianggap konstan.

2. Korelasi:   pengukuran   mengenai   derajat   keeratan   antara   dua   variabelnya  yang   bergantung   pada   pola   variasi   atau   inter­relasi   yang   dapat   bersifat  simultan. Variasinya merupakan variasi bersama (joint variation) dan dapat  berhubungan secara dependen/independen sempurna.

•

Pasangan observasi dapat digambarkan dalam rangkaian titik­titik koordinat  yang dinamakan diagram pencar (scatter diagram).

Diagram Pencar = Scatter Diagram     Diagram yang menggambarkan nilai­nilai observasi peubah takbebas dan  peubah bebas.     Nilai peubah bebas ditulis pada sumbu X (sumbu horizontal)     Nilai peubah takbebas ditulis pada sumbu Y (sumbu vertikal)

Nilai peubah takbebas ditentukan oleh nilai peubah bebas Bagaimana menentukan mana peubah takbebas dan peubah bebas? Contoh : Umur Vs Tinggi Tanaman                            (X : Umur, Y : Tinggi) Biaya Promosi Vs Volume penjualan          (X : Biaya Promosi, Y : Vol.  penjualan)

Konsumsi vs Pendapatan

120

Konsumsi

100 80 60 40 20 0 0

50

100

150

200

Pendapatan

• Jenis­jenis Persamaan Regresi :  a. Regresi Linier ( parameter ):                        ­ Regresi Linier Sederhana =  Y = a + bX                        ­ Regresi Linier Berganda = Y = a + b1X1 + b2X2 + ...+ bnXn

b. Regresi Nonlinier –

Regresi Eksponensial   Y = abx log Y = log a + (log b) x

Regresi Sederhana: A. Garis­duga regresi dan koefisien regresi (a dan b)

•

Garis   duga   adalah   garis   linier   yang   ditarik/diterapkan   melalui   titik­titik  koordinat pasangan variabel  disebut: garis regresi.

•

Tidak   semua   titik­titik   kombinasi   dari   observasi   akan   berada   pada   garis  regresi (umumnya tersebar disekitar garis regresi).

•

Jadi garis regresi merupakan garis yang menghubungkan rerata distribusi Y  dengan seluruh kemungkinan nilai X, dimana hubungannya berbentuk:

μ Υ / Χ=ΑΒΧ   

•

Dimana:  μ Υ / Χ= rerata Y untuk X tertentu Β=  slope/condong garis regresi terhadap sumbu X   adalah tingkat perubahan  μ Y / X terhadap X; atau   besarnya perubahan rerata Y akibat X berubah satu unit  Α=  konstanta/titik perpotongan garis regresi terhadap sumbu X   adalah besar nilai Y jika X=0

  

•

Fungsi regresi populasi Υi =αβΧ iε i Parameternya adalah  α dan β .  α=  perkiraan Y bila X bernilai 0.  β=  besar perubahan Y akibat X berubah satu unit. ε i=   random   error/error   terms/disturbance   terms;   unsur   yang   sifatnya  random dan sulit untuk dideteksi terhadap Y (dependen variabel).

•

Asumsinya   ε i   terdistribusi   secara   normal   dengan   μ=0 dan   σ e   tertentu  ( Homoskedastisitas).

•

Fungsi regresi sampelnya dapat dinyatakan sebagai:

y i=abx i e i   Dimana: 

•

e i= deviasi   random   y   dari   rerata   ΑΒΧ i   juga   bisa   disebut   sebagai  kesalahan atau selisih (residual)

•

e i umumnya   didistribusikan   secara   normal   dengan   Ε  e i  =0 dan   varians  2

 ei =s y / x  

•

e i merupakan   hasil   penjumlahan   dari   dua   komponen:   (1)   kesalahan  pengukuran   dan   (2)   kesalahan   random   (kesalahan   pencatatan   hasil  observasi dan kesalahan yang tidak dapat diduga sebelumnya).

•

Maka persamaan regresinya bisa diduga dengan: Persamaan garis duga:   y i =abx i . Persamaan garis ini adalah persamaan  garis yang dianggap paling mencerminkan persamaan garis  y i

•

Metode   penduga   yang   umum   digunakan   adalah   metode   kuadrat   terkecil  (Ordinary   Least   Square  =   OLS),   dengan   tiga   asumsi   y   yang   harus   selalu  diingat:

1. nilai x harus diketahui dan tertentu. 2. untuk   tiap   nilai   X,   nilai   Y   terdistribusi   secara   normal   dan   independen  2 dengan rerata   μ Υ / Χ=ΑΒΧ dan   var ians=σ Υ / Χ . Dimana nilai  A, B 

dan  σ

2

Υ

/Χ tidak diketahui

3. untuk tiap X,   var ians=σ

2

Υ

/ Χ   adalah sama atau    σ

2

Υ

/Χ =σ 2 untuk se­

mua X

•

OLS merupakan suatu metode untuk mendapatkan suatu garis duga yang  sedemikian rupa sehingga tercapai  ∑ ei 2 minimum. e i= y−a−bx i ⇒ ∑ e 2 =∑  yi −a−bx i 2 , setelah proses minimisasi didapat: i

∑ ΧΥ−n Χ Υ n ∑ Χ 2 − ∑ Χ 2 ∑ Χ 2−n Χ 2  ∑ Χ dan  Υ=  ∑Υ   dimana  Χ= a= y −b Χ b=

n ∑ ΧΥ−∑ Χ ∑ Υ



a=

=

n

n

, atau

∑ Υ−b ∑ Χ n

Dari nilai a dan b diatas barulah dibuat persamaan garis duganya  y i =abx i

ANOVA •

SST (Sum of Square Total)

 2 =∑ Υ −n Υ  2⇒ SST =∑  Υ i − Υ keseluruhan   variasi   Y   (dari   rerata­nya) 2 i =∑ y 2 i

•

SSR (Sum of Square Regression)  2 =a ∑ Υ  b ∑ Χ Υ −n Υ  ⇒ SSR=∑  Υ i− Υ i i i i 2 i

variasi   Y   yang   dapat  dijelaskan oleh garis regresi =∑ yi 2 •

SSE (Sum of Square Error)  2 = Υ −a SSE =∑  Υ i − Υ ∑ 2 ∑ Υi −b ∑ Χ i Υi ⇒ variasi   Y   yang   tidak   dapat  i i

dijelaskan oleh garis regresi =∑ ei 2

B. Kesalahan Duga (Standard Error of Estimate)

•

Menunjukkan   kesalahan   standar   dari   nilai   regresi   (perbedaan   antara   Y   ). dengan  Υ Se=



 2 ∑  Υ− Υ = n−2



SST −SSR = n−2



∑ Υ 2−b ∑ ΧΥ = MSE ; n−2

  MSE(mean   of 

standard error)

C. Analisa Korelasi •

Tujuannya  untuk mengetahui  apakah  antara  satu  variabel  dengan  variabel  lainnya ada hubungannya atau korelasi. Pengukurannya terbagi menjadi dua:

1. Koefisien determiniasi =r 2

Menunjukkan   berapa   bagian   dari   total   variasi   dalam   dependen  variabelnya   (Y)   yang   bisa   dijelaskan   oleh   hubungan   antara   dependen  variabel (Y) dengan independen variabelnya (X). Nilainya berkisar pada  0≤r 2 ≤1 . Bila nilainya 0, persamaan tidak dapat digunakan, sebaliknya  bila bernilai 1, persamaannya akan sangat baik. r 2=

2 exp lained var iation SSR ∑  y −y  = = total var iation SST ∑  y−y 2

2. Koefisien korelasi =r Untuk mengetahui hubungan antara variabel dependen dengan variabel  independen. Karena; r = r 2 ,   nilainya   akan   selalu   absolut.   Akan   tetapi   nilai   sebenarnya  berkisar pada  −1≤r ≤1 . Jika:  r =−1

hubungannya negatif dan erat sekali

⇒

r =1

⇒

hubungannya positif dan erat sekali

r =0

⇒

tidak ada hubungan sama sekali

 Cntoh soal: 1. Berikut   ini   adalah   data   index   harga   komoditi   dalam   negeri   (X)   dengan  permintaan akan barang impor (Y). Carilah model regresinya, nilai r, beserta  interpretasinya! (Digabungkan dengan perhitungan):

Tahun 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987

xi 35 37.5 30 32 35.5 30 41.5 48

yi

xi yi

104.5 104.5 106 105.75 105 105.25 106.5 109.7

3657.5 3918.75 3180 3384 3727.5 3157.5 4419.75 5265.6

y2 i

x

i

2

1225 10920.25 1406.25 10920.25 900 11236 1024 11183.063 1260.25 11025 900 11077.563 1722.25 11342.25 2304 12034.09

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 Total

50 42 45 41.5 53 44 45.5 610.5

110 5500 2500 12100 108.4 4552.8 1764 11750.56 109 4905 2025 11881 109.25 4533.875 1722.25 11935.563 108.75 5763.75 2809 11826.563 108 4752 1936 11664 110 5005 2070.25 12100 1610.6 65723.025 25568.25 172996.15

n=15 b= a=

n ∑ ΧΥ−∑ Χ ∑ Υ 2

2

n ∑ Χ − ∑ Χ 

=

1 5 ×65723 . 0 25 − 6 1 0 . 5×1 6 1 0 . 6  1 5 ×1729 9 6 . 1 5 − 1 6 1 0 .6 2

=2 . 829

∑ Υ−b ∑ Χ =6 1 0 . 5 − 2 . 829×1 6 1 0 . 6  =−263 . 0 5 9 n

15

Maka persamaan regresinya adalah: y =−263 . 0592 . 829 X

Interpretasi: •

Bila index harga komoditi dalam negeri 0 maka demand barang impor adalah  –263.059.

•

Bila terjadi perubahan index harga komoditi dalam negeri sebesar satu unit,  maka   akan   terjadi   perubahan   pada   tingkat   demand   barang   impor  sebesar  2.829 unit. 2

[ n ∑ xy− ∑ x  ∑ y  ] SSR r = = SST [ n ∑ x 2 − ∑ x 2 ][ n ∑ y 2 − ∑ y 2 ] 2

[ 15×65723. 03 −1610 . 6×610 . 5 ]

2

r =

2

[  15×172996 .15 −1610 . 6 2 ][  15×25568 . 25− 610 . 52 ]

=0 . 6734

r =0 . 82 Interpretasi: Hanya 67.34% hubungan antara demand barang impor dan index harga komoditi  dalam   negeri   yang   dapat   dijelaskan   sistem,   sedangkan   sisanya   tidak   dapat  dijelaskan akibat pengaruh variabel lain. 

2. Berikut ini adalah data bulanan pendapatan per kapita (X) dan besar penjualan produk  (Y) dalam ratusan ribu rupiah. Carilah persamaan regresinya, interpretasikan,  kemudian dugalah parameter B­nya! (gunakan  α=5 (Disertai dengan perhitungan)

Χ

Bulan Jan Feb Mar Apr Mei Jun TOTAL

b= a=

4.4 5.2 6.8 4.8 4.3 5.7 31.2

1.7 1.3 2.1 1.4 0.7 1.8 9

n ∑ ΧΥ−∑ Χ ∑ Υ 2

Χ2

Υ

2

n ∑ Χ − ∑ Χ 

=

19.36 27.04 46.24 23.04 18.49 32.49 166.66

Υ2

ΧΥ

2.89 1.69 4.41 1.96 0.49 3.24 14.68

7.48 6.76 14.28 6.72 3.01 10.26 48.51

6×48. 51 − 31 . 2×9 6×166 . 66 − 31 . 2 2

=0 . 39

∑ Υ−b ∑ Χ = 9− 0 . 39×31. 2  =−0 . 528 n

6

Maka persamaan regresinya adalah: y =−5280039000 X

Interpretasi: •

Bila pendapatan per kapita 0 maka besar penjualan produk adalah –52.800  rupiah.

•

Bila terjadi pendapatan per kapita berubah sebesar satu rupiah, maka akan  terjadi perubahan pada penjualan produk sebesar 39000 rupiah.