Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 1 of 33
Go Back
REDUNDANSI FRAME DAN PENGARUHNYA PADA DEKOMPOSISI FUNGSI DI RUANG HILBERT
Full Screen
Close
Quit
SUZYANNA NRP.1208 201 002 July 13, 2010
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 2 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
ABSTRAK Konsep frame di ruang hasil kali dalam dapat dipandang sebagai perumuman dari basis ortonormal dalam ruang Hilbert ∞ dengan {fk }k=1 disebut frame jika terdapat 0 < A 6 B < ∞ ∞ P 2 2 2 sedemikian sehingga Akf k 6 |hf, fk i| 6 Bkf k untuk k=1
setiap f ∈ H dengan A dan B adalah batasan frame.Jika ∞ A = B maka {fk }k=1 disebut frame ketat. Materi tesis ini membahas pengertian redundan atau overcomplete pada suatu frame ketat. Disajikan pula cara perhitungan suatu redundansi dalam contoh-contoh sederhana baik di dimensi hingga maupun tak hingga. Kata-kunci: hasil kali dalam, basis, basis ortonormal, norm, frame.
Home Page
Title Page
LATAR BELAKANG
Contents
JJ
II
J
I
Page 3 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Frame pertama kali diperkenalkan oleh Duffin dan Schaeffer(1952), menggunakan frame untuk mempelajari Deret Fourier yang nonharmonik yakni ekspansi fungsi di (L2 [0, 1]). Christensen(2006),Balan dkk (2005),dan Casazza (2010) sesuai definisi frame dimana frame adalah basis yang overcomplete dan perumuman dari basis ortonormal. A dan B masing-masing adalah batas atas dan bawah frame. Jika A = B maka frame disebut sebagai frame ketat. Setiap basis ortonormal adalah Riesz basis dan setiap Reisz basis adalah frame.
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 4 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Casazza dkk (2009), menenuhi definisi frame, jika A = B = 1, maka disebut sebagai frame Parseval. Frame mempunyai redundant Nn . Jika kϕi k = c untuk semua i = 1, ..., N disebut equal norm frame. Jika φ adalah equal norm Parseval frame maka redundansi Rφ− = Rφ+ = Nn dimana Rφ− adalah batas bawah redundansi sedang Rφ+ adalah batas atas redundansi.
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 5 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Casazza(1998), setiap frame dalam ruang Hilbert H dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari tiga basis ortonormal di H, dan dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua basis ortonormal jika dan hanya jika frame adalah Riesz Basis. Setiap frame dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari dua buah frame ketat dengan batasan frame adalah 1 atau jumlah dari suatu basis ortonormal dan Riesz basis di H, dan juga dapat ditulis sebagai rata-rata dua basis ortonormal di ruang Hilbert.
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 6 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Mallat(1999), memenuhi definisi frame, frame adalah lengkap, stabil dan punya redundan.Jika vektor-vektor pada frame di normalkan, atau kfk k = 1, maka redundansi dapat dinyatakan sebagai batasan-batasan frame A dan B . Daubechies (1992), memenuhi definisi frame, redundant A+B 2 dengan frame adalah ketat.
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 7 of 33
PERMASALAHAN Dalam tesis ini akan difokuskan pembahasan permasalahan sebagai berikut:
• Bagaimana bentuk redundansi frame pada dekomposisi suatu fungsi di ruang Hilbert.
Go Back
• Bagaimana pengaruh redundansi frame pada dekomposisi suatu fungsi di ruang Hilbert.
Full Screen
Close
Quit
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 8 of 33
Go Back
BATASAN MASALAH Redundansi frame dalam tesis ini dapat dikontrol (secara relatif) 2 oleh kf k yaitu dengan ketentuan 0 6 R 6 Kkf k dengan K adalah konstanta positif yang bergantung pada penyajian atas frame yang diberikan selain itu redundansi juga P bisa dikontrol 2 2 2 2 oleh kf k sesuai sifat frame Akf k 6 |hf, fk i| 6 Bkf k k=1
untuk suatu frame {fk }k . Full Screen
Close
Quit
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
TUJUAN PENELITIAN J
I
a. Menentukan batas atas dan batas bawah frame Page 9 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
b. Mengkaji pengaruh redundansi frame pada dekomposisi fungsi f di ruang Hilbert di L2 (R).
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 10 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
MANFAAT PENELITIAN Dengan adanya penelitian ini diharapkan hasilnya dapat digunakan sebagai rujukan untuk penelitian lanjutan yang berkaitan dengan dekomposisi frame, khususnya dalam menyelesaikan masalah aplikasi.
Home Page
Title Page
KAJIAN PUSTAKA dan DASAR TEORI
Contents
JJ
II
J
I
Page 11 of 33
Sifat-sifat hasil-kali-dalam adalah sebagai berikut :
• hx + y, zi = hx, zi + hy, zi • hαx, yi = α hx, yi • hx, yi = hy, xi
Go Back
Full Screen
Close
Quit
• hx, xi > 0 dan
hx, xi = 0 ⇔ x = 0
Ruang vektor V dengan hasil kali dalam h., .i disebut ruang hasil-kali-dalam.
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 12 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi Ortogonal Jika x, y ∈ X , dengan x 6= y dalam suatu ruang hasil-kalidalam, dan hx, yi = x · y = 0 , maka x dan y dikatakan saling ortogonal. Apabila kxk = 1 untuk x ∈ X , maka X dikatakan himpunan ortonormal
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 13 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Suatu hasil kali dalam dan norma memenuhi ketaksamaan Cauchy-Schwarz dinyatakan sebagai berikut: |hx, yi| = |hy, xi| 6 kxk kyk
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
Basis Ortonormal J
I
Page 14 of 33
∞
Suatu basis {ek }k=1 adalah basis ortonormal, yaitu bila
hek , ej i = δk,j = Go Back
Full Screen
Close
Quit
1 jika k = j 0 jika k 6= j
Home Page
Title Page
Contents
JJ
Definisi Frame
II
∞
J
I
Suatu barisan {fk }k=1 dengan anggota anggotanya diruang Hilbert H disebut Frame untuk H bila terdapat A, B > 0 (A, B adalah konstan) sedemikian hingga
Page 15 of 33
2
Go Back
Akf k 6
∞ X k=1
Full Screen
Close
Quit
2
2
|hf, fk i| 6 Bkf k , ∀f ∈ H
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
Definisi Frame Ketat J
I
• Jika A = B maka frame disebut frame ketat (tight frame). Page 16 of 33
• Suatu frame dikatakan bukan frame bila ada salah satu anggotanya dihilangkan, dan disebut frame eksak.
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Home Page
Title Page
Contoh 1
Contents
√
3 1 , 2 2
2
JJ
II
J
I
Ambil H = C , e1 = (0, 1), e2 = √ 3 −1 e3 = 2 , 2 , untuk setiap υ = (υ1, υ2) di H maka, 3 X
Page 17 of 33
, dan
2 √ 2 √ 3 3 1 1 |hv, ej i| = |v2| + 2 v1 + 2 v2 + 2 v1 − 2 v2 2
2
j=1 Go Back
Full Screen
=
2 3 kvk 2
Dengan demikian { e1 , e2 , e3 } adalah frame dengan batas-batas
A = B = 32 , yang menyatakan redundan adalah Close
Quit
3 2
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 18 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Unconditionality atau Tak bersyarat Andaikan {fn : n ∈ Z} adalah ang Hilbert H, maka setiap bali dari barisan {fn} juga
frame di rupengurutan kemmerupakan frame.
Home Page
Title Page
Contoh 2
Contents
JJ
II
J
Misalkan: A2 := { e1 , e2 } dengan e1 = (1, 0) dan e1 = (1, 0)
x, y ∈ R2
I
2 X Page 19 of 33
2
2
2
h(x, y) , ek i = h(x, y) , (1, 0)i + h(x, y) , (0, 1)i
k=1 Go Back
Full Screen
Close
Quit
= x2 + y 2 = k f k
2
Dalam contoh ini A = B = 1 yang berarti 1 adalah redundansi dari sistem dua vektor di R2 . Karena A = B maka frame disebut frame ketat.
Home Page
Title Page
METODA PENELITIAN
Contents
JJ
II
J
I
Page 20 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
• Tahap 1: Mengkaji sifat-sifat frame sebagai perluasan konsep basis di ruang hasil kali-dalam Pada tahapan ini akan dikaji sifat-sifat frame yaitu bahwa frame yang dibicarakan mula-mula dalam ruang vektor dimensi hingga dengan hasil kali dalam, dan merupakan perluasan dari basis ortonormal, memberikan contoh frame.
• Tahap 2 : Mengkaji dekomposisi fungsi-fungsi menggunakan frame Pada tahapan ini akan dibahas tentang operator sintesis, operator analisis operator frame, invers, self adjoin, bentuk dekomposisi fungsi, dan contoh menghitung S −1 fk .
Home Page
Title Page
• Tahap 3 : Mengkaji frame di dimensi tak hingga Pada taha-
Contents
JJ
II
J
I
pan ini setelah membahas pendahuluan tentang frame dalam ruang di dimensi hingga, maka berikut akan dibicarakan ekspansi dalam ruang vektor dimensi tak hingga, membahas barisan konvergen absolut, konvergen tak bersyarat, operator linear terbatas, operator adjoin, barisan Bessel, dan dekomposisi f diruang dimensi tak hingga.
Page 21 of 33
• Tahap 4: Mengkaji redudansi suatu dekomposisi fungsi Go Back
Full Screen
Close
Quit
frame. Pada tahap ini memberi contoh menentukan redudansi suatu dekomposisi fungsi frame yang berasal dari basis ortonormal, memberi contoh tentang penggunaan fungsi dekomposisi frame.
Home Page
Title Page
HASIL DAN PEMBAHASAN
Contents
Contoh 3
JJ
II
J
I
Page 22 of 33
Go Back
Full Screen
F =
∞ {fk }k=1
1 1 1 1 1 = e1, √ e2, √ e2, √ e3, √ e3, √ e3, ... 2 2 3 3 3
Maka untuk setiap f ∈ H, ∞ X k=1
2 ∞ X 1 2 √ |hf, fk i| = k f, ek = kf k 2
k=1
∞
Close
Quit
k
Dengan demikian {fk }k=1 frame ketat untuk H dengan batas frame A = B = 1.
Home Page
Dekomposisi fungsi-fungsi menggunakan frame
Title Page
m
Suatu ruang vektor V yang dilengkapi frame {fk }k=1 dan didefinisikan suatu pemetaan linear:
Contents
JJ
II
J
m
T : C → V,
T
m {ck }k=1
Go Back
Full Screen
ck fk
(1)
k=1
I
Page 23 of 33
=
m X
dengan T disebut sebagai operator pre-frame atau disebut juga dengan operator sintesis, sedangkan operator adjoin diberikan sebagai berikut :
T ∗ : V → Cm,
m
T ∗f = {hf, fk i}k=1
(2)
dan disebut sebagai operator analisis. Dengan komposisi T dan T ∗ diperoleh operator frame sebagai berikut :
Close
S : V → V, Quit
Sf = T T ∗f =
m X k=1
hf, fk ifk
(3)
Home Page
Title Page
Berikut adalah bentuk operator frame: Contents
hSf, f i = JJ
II
J
I
Page 24 of 33
Go Back
m X
hf, fk i hfk , f i =
k=1
m X
hf, fk i h f, fk i =
k=1
m X
2
|hf, fk i|
k=1
(4) Batas bawah frame dapat dipandang sebagai “ batas bawah ” suatu operator frame. Jika dapat dipilih batas A = B dari definisi m maka frame {fk }k=1 disebut frame ketat sehingga diperoleh : m X
2
2
|hf, fk i| = Akf k ,
∀f ∈ V
(5)
k=1 Full Screen
Close
Quit
Untuk frame ketat, nilai eksak A dalam (6) disebut batas frame (frame bound).
Home Page
Teorema Title Page
m
Misalkan {fk }k=1 adalah suatu frame untuk V dengan operator frame S maka belaku sifat-sifat berikut:
Contents
JJ
II
• S punya invers dan self-adjoint. • Untuk setiap f ∈ V dapat disajikan bentuk
J
I
f=
m X
Page 25 of 33
−1
f, S fk fk =
k=1 Go Back
Full Screen
Close
hf, fk iS −1fk
berapa koefisien skalar m X
(6)
k=1
• Jika f ∈ V mempunyai penyajian f =
k=1 Quit
m X
m {ck }k=1,
m P
ck fk untuk be-
k=1
maka berlaku
m m X
2 X
−1 f, S fk + ck − f, S −1 fk 2 |ck | = 2
k=1
k=1
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 26 of 33
Berikut ini adalah salah satu contoh aplikasi frame yaitu dalam pengiriman sinyal. Misalkan kita akan mengirim sinyal f dalam ruang vektor V dari suatu transmiter (pengirim) A ke suatu risiver (penerima) R. Bila keduanya yaitu A maupun R memm punyai informasi tentang frame {fk }k=1 untuk V , maka hal ini dapat diselesaikan jika A menyampaikan atau mengirimkan m koefisien frame {hf, S −1 fk i}k=1 , dimana receiver (penerima) R dapat membangun kembali sinyal f menggunakan dekomposisi frame. Sekarang diasumsikan bahwa penerima R menerima gangguan sinyal(noise) , yaitu menerima koefisien frame m {hf, S −1fk i + ck }k=1. Berdasarkan koefisien penerima, R akan menyatakan bahwa sinyal yang dikirim adalah sebagai berikut :
Go Back
m X
Full Screen
k=1
−1
f, S fk + ck fk =
m X
=f+ Quit
f, S fk
k=1
Close
m X k=1
−1
fk +
m X k=1
ck f k
ck fk
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
Redundansi Dekomposisi Fungsi di Ruang Hilbert Frame mempunyai penyajian overcomplete artinya fungsi (data,sinyal) yang disajikan dalam bentuk frame tidak tunggal sehingga dikatakan bahwa frame tidak ortogonal. Oleh karena itu dekomposisi fungsi yang disajikan dalam bentuk basis ortonor∞ P ck fk adalah mal tidak stabil karena koefisien ck dari f = k=1
J
I
tunggal yaitu dengan mengubah koefisien frame ck ,misalkan (ck + εk ) akan mengubah dekomposisi fungsi f ,sehingga tidak akan menjadi f lagi. Secara matematis dapat ditulis:
Page 27 of 33
f=
Go Back
∞ X
ck fk +
k=1 Full Screen
∞ X
εk fk
k=1
oleh karena ∞ X
Close
k=1
ck fk =
∞ X k=1
Quit
maka
fe = 2f
εk fk
Home Page
Title Page
Contents
Sehingga untuk
∞ P
ck fk = 0 atau
k=1 JJ
II
J
I
Page 28 of 33
Go Back
∞ P k=1
yang dicari tidak dapat ditangkap (capture) dengan optimal, akibatnya dekomposisi fungsi dengan basis ortonormal selalu didapat “redundansi” nol. Sedang pada frame dikatakan stabil, artinya dengan mengubah ∞ P koefisien frame ck menjadi (ck + εk ) dari f = ck fk tidak mengubah fungsi dekomposisi f =
∞ P k=1
bahwa frame adalah stabil. Full Screen
Close
Quit
εk fk = 0, berarti noise
k=1
ck fk , sehingga dikatakan
Home Page
Secara matematis dapat distulis sebagai berikut: Fungsi fe mengalami noise sehingga bentuknya sebagai berikut:
Title Page
fe = Contents
JJ
=
II
∞ X k=1 ∞ X
(ck + εk )fk ck f k +
k=1 J
I
εk fk
k=1
Jika bentuk tersebut disederhanakan akan menjadi:
Page 29 of 33
fe ≈ f +
∞ X
εk fk
k=1
Go Back
Full Screen
∞ X
dimana
∞ P
εk fk 6= 0.
k=1 Close
Quit
Karena dekomposisi menggunakan frame, maka
∞ P
εk fk selalu
k=1
ada, selain itu karena frame bersifat stabil maka dengan penam∞ P bahan εk fk tidak mengubah fungsi asal. k=1
Home Page
Penutup
Title Page
1.
Contents
JJ
II
J
I
Page 30 of 33
Kesimpulan
Redundansi suatu frame dapat dikontrol (secara relatif) oleh kf k 2 yaitu dengan ketentuan 0 6 R 6 Kkf k dengan R adalah redundansi dan K adalah konstanta positif yang bergantung pada penyajian atas frame yang diberikan, selain itu redundansi se2 2 cara mutlak bisa dikontrol oleh kf k sesuai sifat frame Akf k 6 P 2 2 |hf, fk i| 6 Bkf k untuk suatu frame {fk }k . k=1
Go Back
Full Screen
Pada waktu mengalami gangguan (noise), koefisien frame {ck } akan berubah menjadi {ck + εk } dengan {εk } adalah noise, sehingga bentuk dekomposisi fungsi f menjadi fungsi fe dengan demikian diasumsikan
Close
fe ≈ f + Quit
∞ X k=1
εk fk
Home Page
Title Page
Dengan demikian
∞ P
εk fk 6= 0. Karena dekomposisi menggu-
k=1
Contents
nakan frame, maka JJ
II
J
I
∞ P
εk fk atau redundannya selalu ada, se-
k=1
lain itu karena frame bersifat stabil maka dengan penambahan ∞ P εk fk tidak mengubah fungsi asal. Oleh karena itu redundansi k=1
Page 31 of 33
memberikan pengaruh terhadap dekomposisi fungsi bergantung pada koefisien frame {ck }
Go Back
2.
Saran
Full Screen
Close
Quit
Untuk penelitian lebih lanjut perlu dikaji masalah aplikasi redundansi frame.
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 32 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
References Allen, R.,Mills,D. (2004), Signal Analysis, John Wiley & Sons, Canada. Boufounos,P.T, (2006), “ Quantization and Erasures in Frame Representation”, Submitted to the Department of Electrical Engineering and Computer Science in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science in Electrical Engineering and Computer Science Balan.R,Casazza.P.G,Edidin.G,Kutinyok.G, (2005), “ Decompositions of Frames and a New Frame Identity”, Proceeding of SPIE Bodman,B.G, Casazza,P.G,Kutyniok,.G, (2010), “ Upper and Lower Redundancy of Finite Frames”, Annual Conference and Information Sciences and Systems (CISS) Casazza,P.G, (1998), “ Every Frame is a Sum of Three(but not two) Orthonormal Bases and Other Frame Representations”, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol 4, No.6
Home Page
Title Page
Contents
JJ
II
J
I
Page 33 of 33
Go Back
Full Screen
Close
Quit
References Casazza,P.G, dan Kovacevic, J, (2001), “ Uniform Tight Frames for Signal Processing and Communications”, In Proc.SPIE Conf on Wavelet Appl.in Signal and Image Proc Casazza, P.,Bodmann, B., dan Kutyniok, G. (2009),“ A Quantitative Notion of Redundancy for Finite Frames”,Illinois/Missori Applied Harmonic Analysis Seminar Casazza,P.G,Leon,.M, (2010), “ Existense and Construction of Finite Frames with a Given Frame Operator”, Int. J of Pure and Appl Math Christensen, O., (2003), An Introduction To Frames and Riesz Bases, Birkhauser, Boston. Christensen, O., (2006), “Recent Developments in Frame Theory”,Modern Mathematical Models,Methods and Algorithms for Real World System,
