Praktische opdracht “Optimaliseren van verpakkingen”
V5, WB
Inleidende opgaven Opgave 1 a
Gegeven is de functie f ( x) = 9 − x 2 . Op de grafiek van f ligt een punt P ( p; f ( p )) met − 3 < p < 0 . De projectie van P op de x-as is punt P ' ( p;0) . Op de grafiek van f ligt een punt Q (≠ P) met dezelfde y-coördinaat als P . Punt Q ' maakt rechthoek PQQ ' P ' compleet. Schets de situatie, geef een formule voor de oppervlakte van PQQ ' P ' en bereken daarna met differentiëren exact de maximale oppervlakte van PQQ ' P ' .
b
Gegeven is de functie g ( x) = x . Op de grafiek van g ligt een punt A(a; g (a )) met 0 < a < 6 . De projectie van A op de x-as is punt B . Op de x-as ligt ook het punt C (6;0) . Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek ABC .
Opgave 2 Je hebt een rechthoekig stuk stevig karton. Als je bij de hoekpunten vierkantjes wegknipt, kun je er een bakje van vouwen. We willen de inhoud van het bakje zo groot mogelijk laten zijn. a b
De afmetingen van het karton zijn 60 cm bij 40 cm. Bereken met differentiëren de maximale inhoud. Aanwijzing: noem de lengte van de zijden van de vierkantjes x en druk de inhoud van het bakje uit in x. De lengte van het stuk karton is tweemaal zo groot als de breedte; de afmetingen zijn dus 2a bij a. Druk de maximale inhoud uit in a.
Opgave 3 We gaan een liter frisdrank in verschillende vormen verpakken. a b c d
Bereken hoeveel cm 2 verpakkingsmateriaal er nodig is bij een kubusvorm. Hoeveel materiaal is er nodig bij een cilinder waarvan straal van de bodem 3 cm is? Hoeveel is er nodig bij de cilinder als de diameter van de bodem en de hoogte even groot zijn? Hoeveel is er nodig bij een cilinder als je vrij bent om de afmetingen zelf te kiezen?
Opgave 4 Melk wordt meestal verkocht in pakken in de vorm van een balk. We bekijken hier pakken waarbij het materiaal van de bodem en ook dat van de bovenkant anderhalf maal zo duur is als het materiaal van de zijkanten. a b
We bekijken eerst een literpak waarvan de bodem een vierkant is. Bereken de afmetingen (lengte, breedte en hoogte) van de balk waarvoor de materiaalkosten minimaal zijn. Geef je antwoord in mm nauwkeurig. Zelfde vraag voor pakken voor anderhalve liter melk, waarbij de lengte van de bodem tweemaal zo groot is als de breedte.
Praktische opdracht “Optimaliseren van Verpakkingen”. 5 VWO, Wiskunde B Beschrijving Praktische Opdracht voor twee leerlingen . Inleiding. In deze praktische opdracht onderzoek je welke wiskundige achtergronden een rol spelen bij het maken van verpakkingen. De opdracht bestaat uit de volgende onderdelen: • Klassikale inleiding: optimaliseringen. Aan het begin van de tijd waarin aan deze opdracht gewerkt wordt, wordt één klassikale les gegeven waarin optimaliseringproblemen besproken worden waar gebruik gemaakt wordt van de differentiaalrekening. We geven een algemene aanpak en we maken opgave 1a en 3d van het stencil. Maak daarvan aantekeningen. • Vragen 1 t/m 4. Maak de uitwerkingen van de opgaven 1 tot en met 4. Reken daarbij zoveel mogelijk met exacte getallen. Afronden doe je pas op het laatste moment. • Eigen onderzoek. Doe een eigen onderzoek. Hierbij zijn drie fasen te onderscheiden: 1. Formuleer een probleem dat je met differentiëren gaat onderzoeken. Denk bijvoorbeeld aan een minimale verpakking van 1 liter in een regelmatige driezijdige, vierzijdige of vijf( etc)-zijdige piramide, in een kegel of een cilinder met een halve bol etc. Allerlei varianten zijn mogelijk, maar ook een optimaliseringsprobleem uit een heel andere tak van sport is welkom. 2. Maak een plan van aanpak. 3. Voer dat plan ook uit. Bedenk dat de berekeningen tijdrovender kunnen zijn dan je misschien in eerste instantie denkt. Neem daar de tijd voor en schrijf alle stappen netjes uit.
Belangrijke data week 1/02 – 05/2 maandag 15/02 week 15/02 – 19/02: week 01/03 – 05/03 Week 08/03 – 12/03 Donderdag 17/03
De startles In leveren formulier met daarop de keuze voor het tweetal en de formulering van het eigen onderzoek één les voor het maken van de opgaven 1 t/m 4 en tijd voor commentaar op het eigen onderzoek. Begin daar niet aan voordat je commentaar op je plan hebt gekregen. Lessen gereserveerd voor eigen onderzoek en het schrijven van het verslag. Nog één les voor de afronding van het PO. deadline inleveren eindverslag, wie het verslag later inlevert krijgt zonder pardon puntenaftrek bij de beoordeling.
Onderdelen verslag Het verslag moet tenminste bestaan uit: • • • • • •
Titelblad Inhoudsopgave Uitwerkingen 4 inleidende opgaven optimaliseringen Inleiding: formulering onderzoeksvraag, verwachtingen en plan van aanpak Uitwerking eigen opdracht Terugblik, conclusies, uitbreidingsmogelijkheden
Het verslag moet logisch opgebouwd zijn: er moet een lijn zitten in wat je doet. Formuleer daarom de vragen steeds beknopt vóór je aan de beantwoording van zo’n vraag begint. Bewaar al je probeersels. Beoordeling. De praktische opdracht zal op de volgende punten beoordeeld worden: - volledigheid: zo moeten alle opgegeven vragen eerst exact beantwoord worden, - het plan van aanpak en ook de manier waarop hiermee gewerkt is, - de nauwkeurigheid, zelfstandigheid en inventiviteit waarmee de wiskundige problemen zijn aangepakt en verwerkt, - de inhoud, de (wiskundige) correctheid, originaliteit enz. van het verslag, - de opzet, verzorging (waaronder taalgebruik) en volledigheid van verslag en logboek, - de samenwerking tussen en de gelijkwaardigheid van de bijdragen van de groepsleden, - het tijdstip van inleveren. Samen met het vorige PO-cijfer vormt de beoordeling van deze PO 20% van het SE-cijfer. Het beoordelingsformulier zal tezijnertijd op de website worden gepubliceerd.
Praktische opdracht “Verpakkingen”: eigen onderzoek V5, Wiskunde B, 3e periode cursus 09/10 Namen:
Onderzoeksvraag:
Verwachtingen:
Op welke manier denken jullie aan je resultaat te komen?
Tijdsplanning: (wie werkt waaraan en wanneer?)
Beoordeling praktische opdracht "Optimaliseren van verpakkingen" Cursus 09/10 Namen:
onderdeel
max. punten
opmerkingen
score
Deel 1: Inleidende opgaven Klassikale start: opdrachten 1a en 2a Vervolg: opdrachten 1b en 2b opdracht 3 opdracht 4
Denk aan correctheid, volledigheid (antwoord op gestelde vragen!) en exacte antwoorden.
3+3=6 4+4=8 1+3+3+3=10 4+4=8
34
S1
Deel 2: Eigen onderzoek Titel / voorwerp: Basisvormen: Tijdstip van inleveren: Inleiding inhoud beschrijving probleem verwachting Wiskundig onderzoek Wiskundige formulering van het probleem. Differentiëren en/of integreren goed toegepast Correctheid berekeningen Gebruik grafieken en tekeningen Rekenwerk verduidelijkt met tekst en Correct vaktaalgebruik Conclusie betekenis resultaten vergelijken met verwachtingen kritische terugblik uitbreidingsmogelijkheden Presentatie techniek en uiterlijke verzorging: logische opbouw van de tekst zorg besteed aan afwerking Algemeen Samenwerking en zelfstandigheid Originaliteit en moeilijkheidsgraad Totaal i+w+c+p+a
5 i
5 10 10 4 5
w
5
c
4 p
3 5 56
a
S2 Punten voor tijdig inleveren:
Cijfer:
10
