Pozorovatel, Stavov´ a zpˇ etn´ a vazba Teorie dynamick´ ych syst´em˚ u
Obsah ´ 1 Uvod
1
2 Pˇ r´ıklady
2
3 Dom´ ac´ı u ´ lohy
6
Reference
8
1
´ Uvod
Pozorovatel stavu – slouˇz´ı k pozorov´an´ı (odhadov´an´ı) zejm´ena nemˇeˇriteln´ ych stav˚ u syst´emu. Je zˇrejm´e, ˇze m˚ uˇzeme odhadovat pouze ty stavy, kter´e se projev´ı na v´ ystupu syst´emu (pozorovateln´y syst´em). Uvaˇzujeme-li model spojit´eho syst´emu x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t)
(1)
y(t) = Cx(t) + Du(t), pak m˚ uˇzeme rovnice pozorovatele zapsat ve tvaru x ˆ˙ (t) = Aˆ x(t) + Bu(t) + Ley (t)
(2)
yˆ(t) = C x ˆ(t) + Du(t), kde ey je chyba odhadu v´ ystupu ey (t) = y(t) − yˆ(t) = y(t) − C x ˆ(t) − Du(t).
(3)
Zavedeme-li chybu odhadu stavu jako ex (t) = x(t) − x ˆ(t) pak plat´ı ¡ ¢ e˙ x (t) = A − LC ex (t).
(4)
Chceme-li, aby chyba odhadu stavu ex (t) konvergovala k nule pro jakoukoli poˇca´teˇcn´ı podm´ınku ex (t0 ), mus´ı b´ yt vlastn´ı ˇc´ısla matice A − LC asymptoticky stabiln´ı. 1
´ ´ U ˚ – Pozorovatel, Stavov´a zpˇetn´a vazba TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
2
Pozn´ amka: Volba vlastn´ıch ˇc´ısel matice A − LC je kompromis mezi rychlost´ı konvergence chyby pozorov´an´ı stav˚ u a chybou pozorovatele zp˚ usobenou nepˇresnost´ı mˇeˇren´ı v´ ystupu y. Stavov´ a zpˇ etn´ a vazba (stavov´ y regul´ ator) – slouˇz´ı k ˇr´ızen´ı stav˚ u syst´emu. Je zˇrejm´e, ˇze m˚ uˇzeme ˇr´ıdit jen ty stavy, kter´e je moˇzn´e pomoc´ı vstupu ovlivˇ novat (dosaˇziteln´y syst´em). Uvaˇzujeme-li model diskr´etn´ıho syst´emu (1), pak stavov´a zpˇetn´a vazba m´a tvar u(t) = −Kx(t) .
(5)
Rovnice syst´emu (1) spolu se stavovou zpˇetnou vazbou (5) jsou ¡ ¢ x(t) ˙ = A − BK x(t).
(6)
Chceme-li, aby stav x(t) konvergoval k nule pro jakoukoli poˇca´teˇcn´ı podm´ınku x(t0 ), mus´ı b´ yt vlastn´ı ˇc´ısla matice A − BK asymptoticky stabiln´ı. Pozn´ amka: Volba vlastn´ıch ˇc´ısel matice A − BK je kompromis mezi rychlost´ı odezvy syst´emu a velikost´ı ˇr´ıdic´ıch veliˇcin u. Pozn´ amka: Pro pouˇzit´ı stavov´eho regul´atoru mus´ıme mˇeˇrit stavy syst´emu x nebo je nˇejak odhadovat, napˇr´ıklad pomoc´ı pozorovatele stavu. Separaˇ cn´ı princip – ˇr´ık´a, ˇze n´avrh pozorovatele stavu (matice L) a n´avrh stavov´eho regul´atoru (matice K) m˚ uˇzeme prov´adˇet oddˇelenˇe. Pozn´ amka: Uveden´e vztahy plat´ı samozˇrejmˇe i pro diskr´etn´ı syst´emy.
2
Pˇ r´ıklady
Pˇ r´ıklad 2.1: Navrhnˇete stavov´ y regul´ator pro syst´em " # " # 1 3 1 x(t) ˙ = x(t) + u(t) , 4 2 1 tak, aby p´oly uzavˇren´e smyˇcky byly {−5; −6}. N´avrh proved’te dvˇema zp˚ usoby a)bez pˇreveden´ı, b) s pˇreveden´ım do kanonick´e formy vzhledem k ˇr´ızen´ı. ˇ sen´ı: Navrhnout stavov´ Reˇ y regul´ator dle zad´an´ı znamen´a urˇcit matici K = [k1 aby vlastn´ı ˇc´ısla matice A − BK byly {−5; −6}, tedy ¡ ¢ det sI − (A − BK) = (s + 5)(s + 6) . Z t´eto rovnice z´ısk´ame K = [1 13].
k2 ] tak,
´ ´ U ˚ – Pozorovatel, Stavov´a zpˇetn´a vazba TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
3
Nyn´ı provedeme n´avrh stavov´eho regul´atoru na z´akladˇe kanonick´e formy vzhledem k ˇr´ızen´ı. Transformaˇcn´ı matice, kter´a pˇrevede stavov´ y popis do dan´e formy je rovna matici dosaˇzitelnosti T = [B, AB]. Transformovan´e matice pak jsou A = T −1 AT , B = T −1 B. Navrˇzen´ y stavov´ y regul´ator je K = [14 82]. Pˇrevedeme-li ho zpˇet do p˚ uvodn´ı realizace, obdrˇz´ıme samozˇrejmˇe p˚ uvodn´ı regul´ator K = KT −1 = [1 13]. Pr˚ ubˇehy regulaˇcn´ıch veliˇcin pro poˇca´teˇcn´ı podm´ınku stavu x0 = [1 1]T jsou na obr. 1. Ridici velicina
Stav systemu
2
1.2 stav x 1 stav x2
0 1
−2 0.8
−4 0.6 x
u
−6 −8
0.4
−10 0.2
−12 0
−14 −16 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Cas (s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
−0.2 0
0.2
0.4
ˇ ıdic´ı veliˇcina (a) R´
0.6
0.8
1 Cas (s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
(b) Stavov´e veliˇciny
Obr´azek 1: Pr˚ ubˇeh ˇr´ıdic´ı veliˇciny a stavov´ ych veliˇcin v uzavˇren´e regulaˇcn´ı smyˇcce
%---- System A = [1 3; 4 2]; B = [1; 1]; %---- Navrh stavoveho regulatoru K = place(A,B,[-5 -6])
Pˇ r´ıklad 2.2: Vztah mezi napˇet´ım motoru u(t) a u ´hlem natoˇcen´ı hˇr´ıdele ϕ(t) stejnosmˇern´eho motoru s permanentn´ım magnetem a zanedbatelnou indukˇcnost´ı lze popsat pˇrenosem G(s) =
ϕ(s) −50 = . U (s) s(s + 5)
Naleznˇete stavovou realizaci syst´emu, kde stavov´e promˇenn´e jsou x1 (t) = ϕ(t) a x2 (t) = ϕ(t). ˙ Navrhnˇete stavov´ y regul´ator K tak, aby syst´em v uzavˇren´e smyˇcce mˇel tlumen´ı ζn = 0,707
´ ´ U ˚ – Pozorovatel, Stavov´a zpˇetn´a vazba TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
4
a frekvenci vlastn´ıch kmit˚ u ωn = 10 rad/s. Navrhnˇete pozorovatel stavu tak, aby pozorovatel s´am mˇel tlumen´ı ζo = 0,5 a vlastn´ı frekvenci ωo = 20 rad/s. ˇ sen´ı: Stavov´a realizace je Reˇ " x(t) ˙ = h y(t) =
0
1
0 −5 1
#
" x(t) +
i
0
# u(t)
−50
x(t) .
0
N´avrh pozorovatele stavu a stavov´eho regul´atoru jsme provedli pomoc´ı Matlabu. %---- System A = [0 1; 0 -5]; B = [0; -50]; C = [1 0]; D = [0]; %---- Navrh pozorovatele stavu zo = 0.5; wo = 20; L = place(A’,C’,[-wo*zo+wo*sqrt(zo^ 2-1), -wo*zo-wo*sqrt(zo^ 2-1)])’ %---- Navrh stavoveho regulatoru zn = 0.707; wn = 10; K = place(A,B,[-wn*zn+wn*sqrt(zn^ 2-1), -wn*zn-wn*sqrt(zn^ 2-1)])
Pr˚ ubˇehy regulaˇcn´ıch veliˇcin v uzavˇren´e smyˇcce pro poˇca´teˇcn´ı podm´ınku x0 = [1 1]T jsou na obr´azc´ıch 2 a 3. V tomto pˇr´ıpadˇe pˇredpokl´ad´ame, ˇze poˇca´teˇcn´ı hodnotu stavu nezn´ame a nastav´ıme poˇca´teˇcn´ı stav pozorovatele na nulu. pot´e budeme pˇredpokl´adat, ˇze poˇc´ateˇcn´ı hodnotu stavu zn´ame a nastav´ıme poˇc´ateˇcn´ı stav pozorovatele na tuto hodnotu. Pr˚ ubˇehy regulaˇcn´ıch veliˇcin jsou na obr´azc´ıch 4 a 5. Ridici velicina 2.5
2
1.5
u
1
0.5
0
−0.5
−1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Cas (s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Obr´azek 2: Pr˚ ubˇeh ˇr´ıdic´ı veliˇciny v uzavˇren´e regulaˇcn´ı smyˇcce
´ ´ U ˚ – Pozorovatel, Stavov´a zpˇetn´a vazba TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
5
Stav x
Stav x
2
1
6
1.2
stav odhad stavu
stav odhad stavu
1
4
0.8
2
0.6
2
x
x
1
0 0.4
−2 0.2
−4 0
−6
−0.2
−0.4 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Cas (s)
1.2
1.4
1.6
1.8
−8 0
2
0.2
0.4
0.6
(a) Stav x1
0.8
1 Cas (s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
(b) Stav x2
Obr´azek 3: Pr˚ ubˇeh stav˚ u syst´emu a jejich odhad˚ u v uzavˇren´e regulaˇcn´ı smyˇcce Ridici velicina 2.5
2
u
1.5
1
0.5
0
−0.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Cas (s)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Obr´azek 4: Pr˚ ubˇeh ˇr´ıdic´ı veliˇciny v uzavˇren´e regulaˇcn´ı smyˇcce Stav x
Stav x
2
1
1
1.2
stav odhad stavu
stav odhad stavu
1
0
0.8
−1
x
x
1
2
0.6
−2
0.4
−3 0.2
−4
0
−0.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Cas (s)
(a) Stav x1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
−5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Cas (s)
1.2
1.4
1.6
1.8
(b) Stav x2
Obr´azek 5: Pr˚ ubˇeh stav˚ u syst´emu a jejich odhad˚ u v uzavˇren´e regulaˇcn´ı smyˇcce
2
´ ´ U ˚ – Pozorovatel, Stavov´a zpˇetn´a vazba TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
6
Z obr´azk˚ u 2 aˇz 5 vid´ıme, ˇze se regulaˇcn´ı odezva zlepˇsila pr´avˇe d´ıky tomu, ˇze zde nen´ı pˇrechodov´ y dˇej, kter´ y v prvn´ım pˇr´ıpadˇe odpov´ıdal odeznˇen´ı nezn´am´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky stavu x.
3
2
Dom´ ac´ı u ´ lohy
Pˇ r´ıklad 3.1: Zvolte stabiln´ı nepozorovateln´ y, ale detekovateln´ y syst´em tˇret´ıho ˇr´adu a navrhnˇete pro tento syst´em pozorovatele stavu. Vykreslete pr˚ ubˇehy stav˚ u s jejich odhady pro nenulov´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky x0 a libovoln´ y vstup u. Vysvˇetlete proˇc se skuteˇcn´e a odhadovan´e stavy liˇs´ı. Konverguje chyba odhadu stavu ex k nule? Vysvˇetlete. Bude chyba odhadu stavu ex konvergovat k nule pro L = 0. Pˇ r´ıklad 3.2: Zvolte nestabiln´ı nepozorovateln´ y, ale detekovateln´ y syst´em tˇret´ıho ˇr´adu a navrhnˇete pro tento syst´em pozorovatele stavu. Vykreslete pr˚ ubˇehy stav˚ u s jejich odhady pro nenulov´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky x0 a libovoln´ y vstup u. Vysvˇetlete proˇc se skuteˇcn´e a odhadovan´e stavy liˇs´ı. Konverguje chyba odhadu stavu ex k nule? Vysvˇetlete. Bude chyba odhadu stavu ex konvergovat k nule pro L = 0. Pˇ r´ıklad 3.3: Zvolte nedetekovateln´ y syst´em tˇret´ıho ˇra´du a navrhnˇete pro tento syst´em pozorovatele stavu. Vykreslete pr˚ ubˇehy stav˚ u s jejich odhady pro nenulov´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky x0 a libovoln´ y vstup u. Vysvˇetlete proˇc se skuteˇcn´e a odhadovan´e stavy liˇs´ı. Konverguje chyba odhadu stavu ex k nule? Vysvˇetlete. Pˇ r´ıklad 3.4: Zvolte stabiln´ı nedosaˇziteln´ y, ale stabilizovateln´ y syst´em tˇret´ıho ˇra´du a navrhnˇete pro tento syst´em stavov´ y regul´ator. Vykreslete pr˚ ubˇehy stav˚ u pro nenulov´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky x0 . Konverguj´ı stavy x k nule? Vysvˇetlete. Budou stavy x konvergovat k nule i pro K = 0. Pˇ r´ıklad 3.5: Zvolte nestabiln´ı nedosaˇziteln´ y, ale stabilizovateln´ y syst´em tˇret´ıho ˇra´du a navrhnˇete pro tento syst´em stavov´ y regul´ator. Vykreslete pr˚ ubˇehy stav˚ u pro nenulov´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky x0 . Konverguj´ı stavy x k nule? Vysvˇetlete. Budou stavy x konvergovat k nule i pro K = 0. Pˇ r´ıklad 3.6: Uvaˇzujte stavov´ y popis syst´emu x˙ 1 (t) = a0 x1 (t) + x2 (t) , x˙ 2 (t) = a1 x2 (t) + x3 (t) + b0 u(t) , x˙ 3 (t) = a2 x3 (t) , y(t) = c0 x1 (t) .
(7)
´ ´ U ˚ – Pozorovatel, Stavov´a zpˇetn´a vazba TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
7
Zvolte libovon´e konstanty ai , b0 a c0 . Navrhnˇete pro tento syst´em stavov´ y regul´ator. Nejprve uvaˇzujte, ˇze je moˇzno mˇeˇrit vˇsechny stavy syst´emu. Pak uvaˇzujte, ˇze je moˇzn´e mˇeˇrit jen v´ ystup syst´emu. Porovnejte pr˚ ubˇehy stav˚ u v obou uzavˇren´ ych regulaˇcn´ıch smyˇck´ach. Pˇ r´ıklad 3.7: Uvaˇzujte stavov´ y popis z pˇr´ıkladu 3.6 s konstantami • a0 = −1, a1 = −5, a2 = 10, b0 = 1, c0 = 1, • a0 = −1, a1 = 5, a2 = −10, b0 = 1, c0 = 1, • a0 = 1, a1 = −5, a2 = −10, b0 = 1, c0 = 1. Navrhnˇete pro tento syst´em stavov´ y regul´ator s pozorovatelem stavu. Porovnejte pr˚ ubˇehy stav˚ u v uzavˇren´ ych regulaˇcn´ıch smyˇck´ach. Pˇ r´ıklad 3.8: Uvaˇzujte stavov´ y popis syst´emu x˙ 1 (t) = a0 x1 (t) + x2 (t) , x˙ 2 (t) = a1 x2 (t) + x3 (t) ,
(8)
x˙ 3 (t) = a2 x3 (t) + b0 u(t) , y(t) = c0 x2 (t) . Zvolte libovon´e konstanty ai , b0 a c0 . Navrhnˇete pro tento syst´em stavov´ y regul´ator. Nejprve uvaˇzujte, ˇze je moˇzno mˇeˇrit vˇsechny stavy syst´emu. Pak uvaˇzujte, ˇze je moˇzn´e mˇeˇrit jen v´ ystup syst´emu. Porovnejte pr˚ ubˇehy stav˚ u v obou uzavˇren´ ych regulaˇcn´ıch smyˇck´ach. Pˇ r´ıklad 3.9: Uvaˇzujte stavov´ y popis z pˇr´ıkladu 3.8 s konstantami • a0 = −1, a1 = −5, a2 = 10, b0 = 1, c0 = 1, • a0 = −1, a1 = 5, a2 = −10, b0 = 1, c0 = 1, • a0 = 1, a1 = −5, a2 = −10, b0 = 1, c0 = 1. Navrhnˇete pro tento syst´em stavov´ y regul´ator s pozorovatelem stavu. Porovnejte pr˚ ubˇehy stav˚ u v uzavˇren´ ych regulaˇcn´ıch smyˇck´ach. Pˇ r´ıklad 3.10: Uvaˇzujte stavov´ y popis syst´emu x˙ 1 (t) = a0 x1 (t) + x2 (t) , x˙ 2 (t) = a1 x2 (t) + x3 (t) + b0 u(t) , x˙ 3 (t) = a2 x3 (t) , y(t) = c0 x2 (t) .
(9)
´ ´ U ˚ – Pozorovatel, Stavov´a zpˇetn´a vazba TEORIE DYNAMICKYCH SYSTEM
8
Zvolte libovon´e konstanty ai , b0 a c0 . Navrhnˇete pro tento syst´em stavov´ y regul´ator. Nejprve uvaˇzujte, ˇze je moˇzno mˇeˇrit vˇsechny stavy syst´emu. Pak uvaˇzujte, ˇze je moˇzn´e mˇeˇrit jen v´ ystup syst´emu. Porovnejte pr˚ ubˇehy stav˚ u v obou uzavˇren´ ych regulaˇcn´ıch smyˇck´ach.
Reference ˇ [1] Stecha, J. a Havlena, V.; Teorie dynamick´ych syst´em˚ u. Praha: Vydavatelstn´ı ˇ CVUT, 1999. ´k, Z. a Hromc ˇ´ık, M.; Teorie dynamick´ych syst´em˚ [2] Roubal, J., Hura u [online]. Posledn´ı revize 2006-03-01 [cit. 2006-03-01], hhttp://dce.felk.cvut.cz/tds/i.
