10 - Přímá vazba, Feedforward
Michael Šebek Automatické řízení 2013 4-2-13
Motivace (FF podle Astroma) Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Už máme navrženu zpětnovazební část C ( s ) • Chceme zajistit přenos reference rovný M y ( s ) Hledáme M u ( s ) • Celkový přenos je
M u (s)
ysp
M y (s)
C (s)
G (s)
y
G ( CM y + M u ) GM u − M y = My + Tyy= sp 1 + GC 1 + GC • Jak zajistit, aby Tyysp ≅ M y?
Dvě možnosti:
1.
1 + GC velké
Tyysp ≈ M y
2.
GM u = M y
Tyysp = M y
Potřebujeme inverzi přenosu soustavy Michael Šebek
ARI-10-2013
M u = G −1M y 2
Inverze přenosu soustavy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Inverzi přenosu soustavy M u = G −1M y často nelze použít přímo • Příklad
•
• •
•
s −1 G (s) = 2 e − hs s + 4s + 4
2 + 4 s + 4 hs s G −1 ( s ) = e s −1
což je nestabilní, neryzí a nekauzální Jmenovatel M u = G −1M y je v charakteristickém polynomu výsledného systému. Proto může obsahovat jen stabilní a dostatečně rychlé módy −1 −1 Vlastně nerealizujeme přímo inverzi G , ale až součin G M y Potížím se vyhneme i vhodnou volbou M y , aby mělo přesně stejné nestabilní nuly jako G , stejný nebo větší relativní řád, a stejné nebo delší dopravní zpoždění † Když to nejde, užíváme „přibližnou inverzi“ G = nejbližší stabilní, ryzí, kauzální přenos Michael Šebek
ARI-10-2013
3
Podobná struktura: Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Podobně ve struktuře • je
F (s) r (s)
y(s)
H (s)
GH + GF y(s) = r (s) 1 + GH 1 − GF e( s ) = r ( s ) − y ( s ) = r (s) 1 + GH •
a zřejmě pro
F ( s ) = G ( s ) −1 je
G (s)
e( s= ) 0 ∀r ( s )
• Někdy opravdu dokážeme zajistit F ( s ) = G ( s ) −1 a tím dokonalé sledování reference
Michael Šebek
ARI-10-2013
4
Přímá vazba od poruchy Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přímou vazbu můžeme použít i při potlačení poruchy • Když ji můžeme přímo měřit • Přenos poruchy na výstup je
• • • • • • •
− F (s)
ysp
C (s)
G1 ( s )
d
G2 ( s )
G2 (1 − G1 F ) Tyd= = G2 (1 − G1 F ) S (s) 1 + G1G2C Vliv poruchy můžeme v této struktuře redukovat dvěma způsoby: Standardně: malým S ( s ) tj. velkým L( s ) = G1 ( s )G2 ( s )C ( s ) A tady navíc malým 1 − G1 ( s ) F ( s ) (což je zřejmě citlivější) Ideálně 1 − G1 ( s ) F ( s ) = 0 F ( s ) = G1−1 ( s ) Pokud není inverze realizovatelná, použijeme aproximaci Čím dříve porucha vstupuje do systému, tím snáze ji eliminujeme pomocí FF – ideálně to jde pro = G1 1,= G2 G Užívá se v případě více procesů v sérii (destilační kolona, válcovací stolice, …) Michael Šebek
ARI-10-2013
5
Tvarování vstupního signálu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Častým důvodem pro zavedení přímé vazby je tvarování vstupního signálu, tzv. input shaping • Skok není často nejvhodnějším vstupem, protože může vyvolat vlastní oscilace soustavy • Motivace: Jak nejrychleji přemístit jeřábem břemeno a nerozkývat ho? • rychlé přemístění u (t ) 1
t
• vs. přemístění s přestávkou zvané „posicast“ u (t ) 1 Φ
t τ
τ Michael Šebek
ARI-10-2013
6
Návrh FF pro posicast Automatické řízení - Kybernetika a robotika
F ( s ) = Φ + (1 − Φ ) e −τ s , Φ ∈ [ 0,1] • Tvarování vstupu zajistíme FF filtrem • Pro soustavu 2. řádu s přenosem , která má dva lehce tlumené kmitavé póly ωn2 2 G (s) = 2 = − ζω ± ω − ζ s j 1 n n 1,2 s + 2ωnζ s + ωn2 • Aby výsledný systém nekmital, musí je filtr přesně „vykrátit,“ tedy musíme zařídit, aby F ( s1,2 ) =F (−ζωn ± jωn 1 − ζ 2 ) =0
• To je komplexní vztah, takže musí být současně Re f ( s1,2 ) = Φ + (1 − Φ ) eτζω cos τωn 1 − ζ 2 = 0 n
Im f ( s1,2 )=
± (1 − Φ ) eτζωn
( sin (τω
n
1− ζ 2
) = )
0
2 nπ • Sinus je nulový pro argument = celočíselnému násobku π, takže τωn 1 − ζ = • Aby Φ > 0 , musí být cos (.) < 0 , tedy násobek π lichý π vezmeme tedy n = 1, z čehož τωn 1 − ζ 2 = π a tedy τ= ωn 1 − ζ 2 • Protože cos π = −1 , má první τζω rovnice tvar Φ − (1 − Φ ) e = 0 1 1 = Φ = π a z toho − ζ 1 + e −τζω n
n
Michael Šebek
1+ e
1−ζ 2
7
Posicast pro těleso na pružině Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• • • • •
Princip vymyslel Otto J. M. Smith, 1957 Vypadá to hezky, ale je to citlivé na přesné nastavení, vždyť není požita ZV Je-li v soustavě neurčitost, nefunguje to dobře. Proto se nastavuje jinak nebo se kombinuje s ZV – 2DOF: nejprve se navrhne FB, pak FF filtr MIT, Georgia Tech, komerčně Convolve, Inc., www.convolve.com - video upravený systém tvarovač vstupu
regulátor
skutečná soustava
regulátor • Obecněji se tvarování vstupu používá k omezení vibrací • při manévrování pružných systémů • jeřábů (portálový jeřáb viz. (viz Franklin 4ed-s38, 5ed-s56) • formací (satelitů) • Letadel - projekt ACFA
Michael Šebek
ARI-10-2013
8
Posicast via krácení nul a pólů Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Soustava G (s) =
ω s 2 + 2ωnζ s + ωn2 2 n
má kmitavé módy s póly s1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ 2
• Kompenzátor má (jen) nuly Φ + (1 − Φ ) e −τ s = 0 → ( Φ − 1) e −τ s = Φ → e −τ s =
• Ale hledáme řešení komplexní s= α + j β ,navíc
Φ ( Φ − 1)
Φ ∈ [ 0,1] → Φ ( Φ − 1) < 0
Φ Φ Φ − = − <0 e −τ (α + j β ) = e −τα − jτβ = = ( Φ − 1) ( Φ − 1) 1− Φ Φ Φ 1 > 0 → α =− ln e −τα = 1− Φ τ 1− Φ (2k + 1)π e − jτβ =−1 → β =
τ • A po dosazení α = −ζωn , β = (2k + 1)ωn 1 − ζ 2 , tedy dvě z nul krátí póly soustavy Michael Šebek
ARI-10-2013
9
Posicat: Vysvětlení pomocí nul a pólů a vylepšení Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Obrázek pro data z modelu: póly soustavy × , nuly kompenzátoru o • Pochopitelně je to citlivé na přesné krácení • Možné (přímobvazební) vylepšení
• Kolem pólů se umístí více nul, aby došlo k částečnému „vykrácení“ i v případě, že je pól trochu jinde • Užije se kompenzátor vyššího řádu • Tvarující skok na „schody“
Michael Šebek
ARI-10-2013
10
Předfiltr Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Předfiltr kompenzující nuly uzavřené smyčky • Přenos uzavřené smyčky
T fb ( s ) =
F (s)
C ( s )G ( s ) b( s ) q ( s ) = 1 + C ( s )G ( s ) a ( s ) p ( s ) + b( s )q ( s )
C (s)
F (s) = G (s)
• Je často navrhován na požadovaný charakteristický polynom dle specifikací (Ts, Tr, %OS)
T fb ( s )
b( s ) q( s) r (s) = , C (s) = , F (s) a(s) p(s) t (s)
= c ( s ) a ( s ) p ( s ) + b( s ) q ( s ) • ale výsledné chování „kazí“ nuly čitatele b( s )q ( s ) • Pokud jsou stabilní, může je vykrátit předfiltrem kde konstantou kF nastavím celkové DC zesílení 1 • Pak je celkový přenos
G (s)
F (s) =
kF b( s ) q ( s )
kF C ( s )G ( s ) F ( s ) = T (s) = a ( s ) p ( s ) + b( s )q ( s ) 1 + C ( s )G ( s ) kF • Pokud stabilní nejsou, můžeme F (s) = alespoň vykrátit ty stabilní z nich bstab ( s )qstab ( s ) Michael Šebek
ARI-10-2013
11
Příklad: Předfiltr Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro soustavu s přenosem G ( s ) = 1 a specifikace Ts,2% = 0,5 s a OS = 4% s navrhneme PI regulátor 128 16 ( s + 8 ) F (s) C (s) G (s) C (s) = 16 + = s s který zajistí CL charakteristický polynom
F (s)
c( s ) =s + 16 s + 128 2
T fb ( s)
• Jenomže přenos uzavřené smyčky
T fb ( s ) =
16 ( s + 8 ) s 2 + 16 s + 128
má kvůli nule nevyhovující skokovou odezvu 8 • Zařazení předfiltru F (s) = změní celkový přenos na s +8
128 T fb ( s ) = 2 s + 16 s + 128 Michael Šebek
s lepší odezvou ARI-10-2013
12
