ˇ ADY, POSLOUPNOSTI A R ˇ TU ´ VOD DO INTEGRA ´ LNI´HO POC U
Obsah 1
Posloupnosti a rˇady 1.1 Posloupnosti rea´lny´ch cˇ´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aritmeticka´ a geometricka´ posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Nekonecˇne´ cˇ´ıselne´ rˇady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 4 4
2
´ vod do integra´lnı´ho pocˇtu U 2.1 Primitivnı´ funkce, Neurcˇity´ integra´l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vy´pocˇet primitivnı´ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Urcˇity´ integra´l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6 9 10
Literatura
13
Prˇ´ıklady k procvicˇenı´
14
1
Posloupnosti a rˇady
Nejprve vysveˇtlı´me pojem posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel a uka´zˇeme neˇktere´ vlastnosti posloupnostı´ vcˇetneˇ zavedenı´ aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti. Da´le se zameˇrˇ´ıme na nekonecˇne´ cˇ´ıselne´ rˇady, prˇedevsˇ´ım na problematiku stanovenı´ jejı´ho soucˇtu. S pojmem a vlastnostmi nekonecˇny´ch rˇad se da´le setka´me v teorii pravdeˇpodobnosti prˇi studiu diskre´tnı´ch na´hodny´ch velicˇin.
1.1
Posloupnosti rea´lny´ch cˇı´sel
Definice 1.1 Nekonecˇnou cˇ´ıselnou posloupnostı´ rozumı´me rea´lnou funkci definovanou na mnozˇineˇ prˇirozeny´ch cˇ´ısel. Jednotlive´ hodnoty funkce nazy´va´me cˇleny posloupnosti, hodnotu posloupnosti v cˇ´ısle n nazy´va´me n-ty´ neboli obecny´ cˇlen posloupnosti a znacˇ´ıme jej an . Je-li definicˇnı´m oborem mnozˇina {1, 2, 3, . . . , k}, mluvı´me o konecˇne´ posloupnosti. • Nekonecˇnou cˇ´ıselnou posloupnost a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . znacˇ´ıme {an }∞ ˇ neˇji {an }. n=1 nebo struc • Konecˇnou cˇ´ıselnou posloupnost a1 , a2 , a3 , . . . , ak znacˇ´ıme {an }kn=1 . • Grafem posloupnosti je mnozˇina izolovany´ch bodu˚ An = [n; an ], n ∈ N. Operacˇnı´ program Vzdeˇla´va´nı´ pro konkurenceschopnost Na´zev projektu: Inovace magisterske´ho studijnı´ho programu Fakulty ekonomiky a managementu Registracˇnı´ cˇı´slo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326 ˇ TEM C ˇ ESKE´ REPUBLIKY. ´ LNI´M FONDEM A STA´TNI´M ROZPOC PROJEKT JE SPOLUFINANCOVA´N EVROPSKY´M SOCIA
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu Cˇ´ıselne´ posloupnosti budeme zada´vat: ∞ 1 1. prˇedpisem pro obecny´ cˇlen posloupnosti, naprˇ. n n=1 2. rekurentneˇ, naprˇ. a1 = 1, an+1 = 2an + 1. ∞ ∞ (−1)n+1 1 se nazy´va´ harmonicka´, zatı´mco posloupnost se nazy´va´ LeibPosloupnost n n=1 n n=1 nizova. Jejich graficke´ zna´zorneˇnı´ je na obra´zku 1.
Obra´zek 1: Prvnı´ch 5 cˇlenu˚ harmonicke´ a Leibnizovy posloupnosti
Prˇ´ ıklad 1.1 Napisˇte prvnı´ch peˇt cˇlenu˚ posloupnosti: ∞ 1 , b) a1 = 1, an+1 = 2an + 1. a) n n=1 Rˇesˇenı´: 1 1 1 1 a) Dosazenı´m cˇ´ısel 1, 2, 3, 4 a 5 za n dostaneme prvnı´ch peˇt cˇlenu˚ posloupnosti: 1, , , , . 2 3 4 5 b) Z rekurentnı´ho vzorce pro n = 1 dostaneme a2 = 2a1 + 1, tj. a2 = 3. Analogicky urcˇ´ıme cˇleny a3 , a4 , a5 . Hledana´ posloupnost je proto da´na prvnı´mi peˇti cˇleny 1, 3, 7, 15, 31. Vlastnosti posloupnosti Obdobneˇ jako v diferencia´lnı´m pocˇtu zava´dı´me: Definice 1.2 Posloupnost {an }∞ ´va´ monoto´nnı´, a to n=1 se nazy 1. rostoucı´, resp. neklesajı´cı´, pra´veˇ kdyzˇ pro vsˇechna n ∈ N platı´ an+1 > an , resp. an+1 ≥ an , 2. klesajı´cı´, resp. nerostoucı´, pra´veˇ kdyzˇ pro vsˇechna n ∈ N platı´ an+1 < an , resp. an+1 ≤ an . Definice 1.3 Posloupnost {an }∞ ´va´ omezena´ zdola, resp. omezena´ shora, pra´veˇ kdyzˇ n=1 se nazy existuje takove´ cˇ´ıslo d, resp. h, zˇe pro vsˇechna n ∈ N platı´ an ≥ d, resp. an ≤ h. Posloupnost {an }∞ ´va´ omezena´, je-li omezena´ zdola i shora. n=1 se nazy 2
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu
Obra´zek 2: Graficke´ zna´zorneˇnı´ limity posloupnosti Limita posloupnosti ˇ e k libovolne´mu ε > 0 Definice 1.4 Rˇ´ıka´me, zˇe rea´lne´ cˇ´ıslo a je limitou posloupnosti {an }∞ n=1 , jestliz existuje prˇirozene´ cˇ´ıslo n0 takove´, zˇe pro vsˇechna n > n0 platı´ |an − a| < ε. Zapisujeme lim an = a. n→∞
´ limita Existuje-li limita a, a ∈ R, nazy´va´ se posloupnost {an }∞ n=1 konvergentnı´. Pokud uvedena neexistuje, nazy´va´ se posloupnost divergentnı´. Je-li a = 0, nazy´va´ se posloupnost nulova´. Geometricka´ interpretace definice limity posloupnosti Necht’ lim an = a, kde a ∈ R. K dane´mu cˇ´ıslu ε > 0 existuje index n0 tak, zˇe vsˇechny cˇleny n→∞ posloupnosti s vy´jimkou prvnı´ch n0 cˇlenu˚ lezˇ´ı v pa´su mezi rovnobeˇzˇkami o rovnicı´ch y = a − ε, y = a + ε (obra´zek 2). Prˇ ´ıklad ´: ∞1.2 Vypocˇteˇte limity posloupnostı ∞ 1 n+1 a) ,, b) . n n=1 n n=1 Rˇesˇenı´: a) Polozˇme f (x) = x1 , x ∈ h1, ∞). Pak platı´ 1 1 = lim+ 1 = lim+ t = 0. x→∞ x t→0 t→0 t ∞ 1 1 Jelikozˇ lim x = 0, je posloupnost nulova´ (konverguje k nule). x→∞ n n=1 b) Polozˇme f (x) = x+1 , x ∈ h1, ∞). Pak s vyuzˇitı´m l’Hospitalova pravidla platı´ x lim
x + 1 ∞ 1 = = lim = 1. x→∞ x→∞ 1 x ∞ lim
3
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu Posloupnost
1.2
n+1 n
∞ proto konverguje k cˇ´ıslu 1. n=1
Aritmeticka´ a geometricka´ posloupnost
Definice 1.5 Posloupnost {an } se nazy´va´ aritmeticka´, pra´veˇ kdyzˇ existuje cˇ´ıslo d takove´, zˇe pro vsˇechna n ∈ N platı´ an+1 = an + d. Cˇ´ıslo d se nazy´va´ diference aritmeticke´ posloupnosti. Pro aritmetickou posloupnost platı´: an = a1 + (n − 1)d, ar = as + (r − s)d, n sn = (a1 + an ), 2 kde znacˇ´ı an , ar , as postupneˇ n-ty´, r-ty´, s-ty´ cˇlen a sn soucˇet prvnı´ch n cˇlenu˚ aritmeticke´ posloupnosti. Definice 1.6 Posloupnost {an } se nazy´va´ geometricka´, pra´veˇ kdyzˇ existuje cˇ´ıslo q takove´, zˇe pro vsˇechna n ∈ N platı´ an+1 = an q. Cˇ´ıslo q se nazy´va´ kvocient geometricke´ posloupnosti. Pro geometrickou posloupnost platı´: an = a1 q n−1 , ar = as q r−s , qn − 1 pro q 6= 1, sn = na1 pro q = 1, q−1 kde znacˇ´ı an , ar , as postupneˇ n-ty´, r-ty´, s-ty´ cˇlen a sn soucˇet prvnı´ch n cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti. s n = a1
1.3
Nekonecˇne´ cˇı´selne´ rˇady
Definice 1.7 Necht’{an }∞ ´ lny´ch cˇ´ısel. n=1 je posloupnost rea ∞ X
an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·
(1)
n=1
se nazy´va´ nekonecˇna´ cˇ´ıselna´ rˇada. Posloupnost {sn }∞ n=1 , kde s 1 = a1 , s 2 = a1 + a2 , . . . , s n = a1 + a2 + · · · + an , se nazy´va´ posloupnost cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ te´to rˇady. Existuje-li vlastnı´ limita lim sn = s, rˇekneme, zˇe rˇada n→∞
Neexistuje-li vlastnı´ limita lim sn , rˇ´ıka´me, zˇe rˇada n→∞
∞ P
∞ P
an konverguje a ma´ soucˇet s.
n=1
an diverguje.
n=1
4
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu Prˇ´ıklady cˇ´ıselny´ch rˇad ∞ X 1 1 1 1 = 1 + + + ··· + ··· a) n 2 3 n n=1 b)
∞ X
(−1)n−1
n=1
c)
∞ X
1 1 1 1 = 1 − + − + ··· n 2 3 4
aq n−1 = a + aq + aq 2 + aq 3 + · · ·
harmonicka´ rˇada
Leibnizova rˇada
geometricka´ rˇada s kvocientem q
n=1
d)
∞ X
(−1)n+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
n=1
e)
∞ X n=1
f)
1 1 1 1 = + + + ··· n(n + 1) 1·2 2·3 3·4
∞ X 2n−1 n=1
n!
=1+
2 4 8 + + + ··· 2! 3! 4!
Prˇ´ıklad 1.3 Vypocˇ´ıtejte soucˇet rˇady: ∞ X 1 a) , n 2 n=1
b)
∞ X n+1 n=1
2
.
Rˇesˇenı´: a) Posloupnost { 21n } je geometricka´ posloupnost s kvocientem q = 12 a 1. cˇlenem posloupnosti a1 = 12 . N -ty´ cˇa´stecˇny´ soucˇet rˇady je soucˇtem prvnı´ch n cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti, platı´ n n 1 1 1 − 12 =1− sn = · , 1 2 2 1− 2 n n 1 1 s = lim sn = lim 1 − = 1 − lim = 1. n→∞ n→∞ n→∞ 2 2 Dana´ rˇada tedy konverguje a ma´ soucˇet s = 1. b) Posloupnost { n+1 } je aritmeticka´ posloupnost s diferencı´ d = 12 . Soucˇet jejı´ch prvnı´ch n cˇlenu˚ je 2 sn =
2 3 4 5 n+1 1 + + + + ··· + = (2 + 3 + 4 + 5 + · · · + n + 1) , 2 2 2 2 2 2
1 n 1 (2 + n + 1) = n (n + 3) , 2 2 4 1 s = lim sn = lim n(n + 3) = ∞. n→∞ 4 n→∞ Dana´ rˇada proto diverguje k +∞. sn =
5
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu Veˇta 1.1 Necht’a 6= 0. Pak geometricka´ rˇada
∞ P
aq n−1 konverguje pra´veˇ tehdy, kdyzˇ pro jejı´ kvocient
n=1
platı´ |q| < 1. Prˇitom soucˇet geometricke´ ˇrady je s= Prˇ´ıklad 1.4 Vypocˇ´ıtejte soucˇet rˇady: ∞ X 3n+1 a) 5 n , 2 n=1
a . 1−q
b)
∞ X n=1
4
2n . 3n+1
Rˇesˇenı´:
n−1 n X ∞ ∞ ∞ X X 45 3 3 3n+1 = , jedna´ se o geometrickou rˇadu. Jelikozˇ 5·3 a) Protozˇe 5 n = 2 2 2 2 n=1 n=1 n=1 ∞ P n+1 jejı´ kvocient q = 23 > 1, 5 3 2n diverguje. n=1 n n−1 ∞ ∞ ∞ X X X 4 2 8 2 2n = . Protozˇe b) Jedna´ se o geometrickou rˇadu, nebot’ 4 n+1 = 3 3 3 9 3 n=1 n=1 n=1 ∞ P 2n kvocient q = 23 < 1, konverguje a ma´ soucˇet 4 3n+1 n=1
s=
8 1 91−
2 3
8 = . 3
Prˇ´ıklad 1.5 Periodicke´ cˇ´ıslo 0,23 vyja´drˇete ve tvaru zlomku v za´kladnı´m tvaru. Rˇesˇenı´:
∞
X 23 23 23 23 , 0,23 = 2 + 4 + 6 + · · · = 10 10 10 102n n=1 cozˇ je geometricka´ rˇada s kvocientem q = s=
2 2.1
1 . 102
Jelikozˇ |q| < 1, tato rˇada konverguje a ma´ soucˇet
a 23 1 23 = 2· . 1 = 1−q 10 1 − 102 99
´ vod do integra´lnı´ho pocˇtu U Primitivnı´ funkce, Neurcˇity´ integra´l
Integra´l je jednı´m z u´strˇednı´ch pojmu˚ matematiky. Historicky vznikly dveˇ za´kladnı´ u´lohy motivujı´cı´ potrˇebu integra´lu: • urcˇenı´ funkce na za´kladeˇ znalosti jejı´ derivace, • vy´pocˇet plochy vymezene´ grafem funkce f na intervalu ha, bi a osou neza´visle´ promeˇnne´ x. 6
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu Tyto dveˇ u´lohy vedou k pojmu primitivnı´ funkce, neurcˇite´ho a urcˇite´ho integra´lu. Vylozˇene´ za´klady integra´lnı´ho pocˇtu vyuzˇijeme pozdeˇji naprˇ´ıklad prˇi vy´pocˇtu geometricke´ pravdeˇpodobnosti nebo prˇi studiu spojity´ch na´hodny´ch velicˇin. V ra´mci studia diferencia´lnı´ho pocˇtu jsme se zaby´vali u´lohou nale´zt k funkci f jejı´ dervaci f 0 . Prˇi rˇesˇenı´ ru˚zny´ch proble´mu˚ se cˇasto setka´va´me s „obra´cenou u´lohou“. Ma´me nale´zt funkci, zna´me-li jejı´ derivaci v neˇjake´m intervalu (a, b). Nalezenı´ takove´ funkce je v jiste´m smyslu inverznı´ operacı´ k derivova´nı´. Definice 2.1 Necht’f je funkce definovana´ na (a, b) ⊆ R. Pak funkci F, pro kterou platı´ F 0 (x) = f (x) pro vsˇechna x ∈ (a, b), nazy´va´me primitivnı´ funkcı´ k funkci f na intervalu (a, b). Naprˇ. funkce F (x) = x2 je primitivnı´ funkcı´ k funkci f (x) = 2x na intervalu (−∞, ∞), nebot’ pro kazˇde´ x ∈ R platı´ (x2 )0 = 2x. Podobneˇ F (x) = tg x je primitivnı´ funkcı´ k funkci f (x) = 1/cos2 x na intervalu (−π/2, π/2), nebot’pro kazˇde´ x ∈ (−π/2, π/2), platı´ (tg x)0 = 1/ cos2 x. Primitivnı´ch funkcı´ k funkci f mu˚zˇe by´t vı´ce. K funkci f (x) = 2x definovane´ na intervalu (−∞, ∞) je primitivnı´ funkcı´ nejen funkce x2 , ale i take´ funkce x2 + 3, nebot’pro kazˇde´ x ∈ R platı´ (x2 + 3)0 = 2x. K funkci f (x) = 2x snadno nalezneme dalsˇ´ı primitivnı´ funkce (obra´zek 3).
Obra´zek 3: Vlevo primitivnı´ funkce k funkci f (x) = 1/ cos2 x, vpravo primitivnı´ funkce k funkci f (x) = 2x
7
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu Veˇta 2.1 Vlastnosti primitivnı´ funkce 1. Necht’ F1 , F2 jsou primitivnı´ funkce k funkci f na intervalu (a, b). Potom jejich rozdı´l je konstantnı´ funkce. 2. Je-li f spojita´ na intervalu (a, b), pak na tomto intervalu existuje alesponˇ jedna primitivnı´ funkce k funkci f . 3. Kazˇda´ primitivnı´ funkce je spojita´. 4. Je-li F neˇjaka´ primitivnı´ funkce k funkci f na intervalu (a, b), pak na tomto intervalu je {F + c; c ∈ R} mnozˇina vsˇech primitivnı´ch funkcı´ k funkci f . Definice 2.2 Mnozˇinu vsˇech primitivnı´chR funkcı´ k funkciR f na intervalu (a, Rb) budeme nazy´vat neurcˇity´m integra´lem funkce f a znacˇit f dx, prˇ´ıpadneˇ f (x) dx. Prˇitom se nazy´va´ integracˇnı´ znak, f integrovana´ funkce (integrand), x integracˇnı´ promeˇnna´, dx diferencia´l integracˇnı´ promeˇnne´. Postup prˇi hleda´nı´ primitivnı´ch funkcı´ se nazy´va´ integrova´nı´. R Za´pisR f (x) dx = F (x) + c; x ∈ (a, b) je ovsˇem nedu˚sledny´ a neprˇesny´, nebot’ ve skutecˇnosti platı´ f (x) dx = {F (x) + c; c ∈ R}. Symbol dx vyznacˇuje, ke ktere´ promeˇnne´ se primitivnı´ funkce hleda´. Za´kladnı´ vzorce pro vy´pocˇet primitivnı´ch funkcı´ Z (1)
Z 0 dx = k, k ∈ R,
(9)
k dx = kx, k ∈ R,
(10)
Z (2) Z (3) Z (4) Z (5) Z (6)
xn dx =
xn+1 , n 6= −1, (11) n+1
1 dx = ln |x|, x
(12)
ex dx = ex ,
(13)
ax dx =
ax a > 0, , 6 1, ln a a =
(14)
Z (7)
sin x dx = − cos x,
(15)
cos x dx = sin x,
(16)
Z (8)
1 dx = tg x, cos2 x Z 1 dx = − cotg x, sin2 x Z 1 √ dx = arcsin x, 2 1 − x Z 1 x √ dx = arcsin , a > 0, a a2 − x 2 Z 1 dx = arctg x, 1 + x2 Z 1 1 x dx = arctg , a 6= 0, 2 2 a +x a a Z √ 1 √ dx = ln x + x2 + b , b 6= 0, x2 + b Z 0 f (x) dx = ln |f (x)|. f (x)
8
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu
2.2
Vy´pocˇet primitivnı´ funkce
Na´sledujı´cı´ tvrzenı´ na´m usnadnı´ vy´pocˇet primitivnı´ funkce. Veˇta 2.2 Je-li na intervalu (a, b) Fi (i = 1, 2, . . . , n) primitivnı´ funkcı´ k funkci fi pro kazˇde´ i = 1, 2, . . . , n a jsou-li c1 , c2 . . . , cn libovolna´ rea´lna´ cˇ´ısla, existuje na intervalu (a, b) k funkci f = c1 f1 + c2 f2 + · · · + cn fn primitivnı´ funkce F = c1 F1 + c2 F2 + · · · + cn Fn . V symbolice neurcˇity´ch integra´lu˚ lze veˇtu strucˇneˇji zapsat na´sledovneˇ: Z Z Z Z (c1 f1 + c2 f2 + · · · + cn fn ) dx = c1 f1 dx + c2 f2 dx + · · · + cn fn dx, x ∈ (a, b), za prˇedpokladu existence Prˇ´Rıklad 2.1 √ Vypocˇ´ıtejte: a) 2x3 + x + x2 dx,
R
fi dx na (a, b) pro i = 1, 2, . . . , n. b)
R
dx . sin x cos x
RˇesˇRenı´: R R R 1 √ √ 4 a) 2x3 + x + x2 dx = 2 x3 dx + x 2 dx + 2 x1 dx = x2 + 23 x x + 2 ln x + c. R R R 2 x+sin2 x R cos x sin x b) sin xdxcos x = sin x1cos x dx = cossin dx = + cos x dx = x cos x sin x sin x = ln | sin x| − ln | cos x| + c = ln cos x + c = ln | tg x| + c. Metoda substituce U mnoha jiny´ch typu˚ funkcı´, naprˇ´ıklad pro soucˇin dvou funkcı´, je nutne´ postupovat jinak. Pouzˇijeme za´kladnı´ integracˇnı´ metody – metodu substituce a metodu per partes. Veˇta 2.3 Necht’funkce ϕ : (α, β) → (a, b) ma´ vsˇude v (α, β) derivaci a necht’funkce f je definova´na na (a, b). Potom a) Je-li F primitivnı´ funkcı´ k f na (a, b), je F ◦ ϕ primitivnı´ funkce k funkci (f ◦ ϕ) · ϕ0 na intervalu (α, β). na
b) Je-li navı´c ϕ prosta´, zobrazuje interval (α, β) → (a, b) a ϕ ma´ vsˇude v (α, β) nenulovou derivaci, pak pro ψ = ϕ−1 platı´: je-li G primitivnı´ funkcı´ k funkci (f ◦ ϕ) · ϕ0 na (α, β), je G ◦ ψ primitivnı´ funkcı´ k funkci f na intervalu (a, b). Vzorec pro integraci substitucı´ odpovı´dajı´cı´ prˇedchozı´ veˇteˇ a) zapisujeme ve tvaru Z Z 0 f (ϕ(x)) · ϕ (x) dx = f (t) dt, dosadı´me-li do primitivnı´ funkce na prave´ straneˇ t = ϕ(x). Vzorec pro integraci substitucı´ odpovı´dajı´cı´ prˇedchozı´ veˇteˇ b) zapisujeme ve tvaru Z Z f (x) dx = f (ϕ(t)) · ϕ0 (t) dt, dosadı´me-li do primitivnı´ funkce na prave´ straneˇ t = ϕ−1 (x). 9
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu Metoda per partes Dalsˇ´ı metodou, ktere´ lze za jı´sty´ch okolnostı´ vyuzˇ´ıt k integraci soucˇinu funkcı´, je metoda per partes. Veˇta 2.4 Necht’ funkce u, v majı´ derivaci na intervalu (a, b). Existuje-li na (a, b) primitivnı´ funkce k jedne´ z funkcı´ uv 0 , u0 v, existuje i ke druhe´ z nich. Je-li F primitivnı´ funkce k u0 v na intervalu (a, b), je uv − F primitivnı´ funkce k uv 0 na (a, b). Pravidlo pro integraci metodou per partes zapisujeme ve tvaru Z Z 0 uv dx = uv − u0 v dx, x ∈ (a, b). Prˇ´Rıklad 2.2 Vypocˇ´ıtejte: 2 a) lnx x dx, x ∈ (1, ∞),
b)
R
x2 ln x dx.
Rˇesˇenı´: a) Integrovana´ funkce je ve tvaru soucˇinu slozˇene´ funkce a derivace jejı´ vnitrˇnı´ slozˇky, nebot’ platı´ ln2 x = ln2 x · x1 = ln2 x(ln x)0 , kde ln x je vnitrˇnı´ slozˇkou slozˇene´ funkce ln2 x. Proto k vy´x pocˇtu integra´lu pouzˇijeme substitucˇnı´ metodu. Volı´me substituci ln x = t. Dopocˇ´ıta´me diferencia´l substituce, tj. (ln x)0 dx = t0 dt, tedy x1 dx = dt. Pro vsˇechna x ∈ (1, ∞) pak platı´ R ln2 x R 3 3 dx = t2 dt = t3 + c = ln3 x + c. x R 2 b) Pouz ˇ ijeme metodu integrace po c ˇ a ´ stech – per partes. Pro vs ˇ echna x ∈ (0, ∞) platı ´ x ln x dx = 0 u = x2 v = ln x x3 R x2 3 3 3 dx = x3 ln x − x9 + c = x3 ln x − 13 + c. = 1 = 3 ln x − x3 0 3 v =x u= 3
2.3
Urcˇity´ integra´l
Motivacˇnı´ prˇ´ıklad Necht’ f je spojita´ a neza´porna´ funkce na intervalu ha, bi a necht’ A je mnozˇina vsˇech bodu˚ [x, y] v rovineˇ R2 , pro neˇzˇ platı´ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x). Ma´me urcˇit plosˇny´ obsah P obrazce A na obra´zku 5. • Rozdeˇlme interval ha, bi na n dı´lku˚ deˇlı´cı´mi body a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xn−1 < xn = b. Mnozˇinu Dn = {x0 , x1 , . . . , xn } nazy´va´me deˇlenı´ intervalu ha, bi. • Oznacˇme ∆xi , ∆xi = xi −xi−1 velikost kazˇde´ho dı´lku. Uvnitrˇ kazˇde´ho intervalu hxi−1 , xi i zvolme bod ξi a urcˇeme f (ξi ). Cˇ´ıslo n X σ(f, Dn ) = f (ξi )∆xi i=1
nazy´va´me integra´lnı´ soucˇet funkce f prˇ´ıslusˇny´ deˇlenı´ Dn . Lezˇ´ı-li body ξi uprostrˇed dı´lku˚, hovorˇ´ıme o strˇednı´m integra´lnı´m soucˇtu. • Pro jednoduchost prˇedpokla´dejme, zˇe dı´lky jsou stejneˇ velke´ (obra´zek 5). 10
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu
Obra´zek 4: Obsah P obrazce A
Obra´zek 5: Dolnı´ a hornı´ aproximace A Definice 2.3 Funkci f nazy´va´me (Riemannovsky) integrovatelnou na intervalu ha, bi, jestlizˇe existuje vlastnı´ limita strˇednı´ch integra´lnı´ch soucˇtu˚ funkce f , tj. n X
lim σ(f, Dn ) = lim
n→∞
n→∞
f (ξi )∆xi = I, kde I ∈ R.
i=1
Cˇ´ıslo I se nazy´va´ (Riemannu˚v) urcˇity´ integra´l funkce f na intervalu ha, bi. Znacˇ´ıme ho Z
b
f (x) dx, a
kde a se nazy´va´ dolnı´ (integracˇnı´) mez, b hornı´ (integracˇnı´) mez.
11
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu Veˇta 2.5 Necht’ funkce f (x), g(x) jsou na intervalu ha, bi spojite´, m je libovolne´ cˇ´ıslo, prˇicˇemzˇ a < m < b. Pak platı´: Zb Zb cf (x) dx = c f (x) dx, c ∈ R, a
a
Zb
Zb (f (x) ± g(x)) dx =
a
Zb f (x) dx ±
a
Zm
Zb f (x) dx +
a
g(x) dx, a
Zb f (x) dx =
m
f (x) dx. a
Veˇta 2.6 Newton-Leibnizova formule Je-li funkce f spojita´ na uzavrˇene´m intervalu ha, bi a ma´-li na tomto intervalu primitivnı´ funkci F , pak Z b
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a).
a
Prˇ´ıklad 2.3 Vypocˇ´ıtejte: Rπ a) sin x dx,
b)
0
R1 0
x3 x4 +3
dx.
Rˇesˇenı´: Rπ a) Vyuzˇijeme prˇedchozı´ formuli sin x dx = [− cos x]π0 = −(cos π − cos 0) = 2. 0
b) Uveˇdomı´me-li si, zˇe cˇitatel zlomku x3 je azˇ na multiplikativnı´ konstantu derivacı´ jmenovatele R1 3 R1 3 1 1 4 x4 + 3, pak jednoduchou u´pravou dostaneme x4x+3 dx = 41 x4x 4 +3 dx = 4 [ln(x + 3)]0 = 0
0
= 14 (ln 4 − ln 3) = 14 ln 43 .
12
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu
Literatura Za´kladnı´ MANN, P.S. Introductory Statistics. 6th edition. Hoboken: Wiley, 2007. ISBN 978-0-471-75530-2. ´ DL, P. Matematika pro studenty ekonomie. 1. vyd. Grada 2010. ISBN 978-80MOUCˇKA, J., RA 247-3260-2. NEUBAUER, J., SEDLACˇI´K, M., KRˇI´Zˇ, O. Za´klady statistiky – Aplikace v technicky´ch a ekonomicky´ch oborech. Grada 2012.ISBN: 978-80-247-4273-1. ˇ EZANKOVA ´ , H. Analy´za dat z dotaznı´kovy´ch sˇetrˇenı´. 2. vyda´nı´, Professional Publishing, 2010. R ISBN: 9788074310195.
Doporucˇena´ AGRESTI, A. Categorical Data Analysis. Second Edition. Wiley 2002. ISBN: 0-471-36093-7. ANDEˇL, J. Statisticke metody. 3. vyda´nı´. Praha: Matfyzpress, 2003. ISBN 80-86732-08-8. ANDEˇL, J. Za´klady matematicke´ statistiky. 2. vyd. Praha: Matfyzpress, 2007, 358 s. ISBN 97880-7378-001-2. ´ GNER, M. Integra´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´. 1. vyda´nı´. Brno: UO, 2005,126 s. ISBN VA 80-7231-025-9. ´ GNER, M., KASˇTA ´ NKOVA ´ , V. Posloupnosti a rˇady. 1. vyda´nı´. Brno: UO, 2006. ISBN 80VA 7231-131-X.
13
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu
Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ Posloupnosti a rˇady 1. Napis ch peˇt cˇlenu˚ posloupnosti: ˇte prvnı ´∞ n−2 a) , n + 3 n=1 n nπ o∞ b) cos , 2 n n=1 ∞ c) {100 − 2 }n=1 . 2. Ktera´ z cˇ´ısel 25, 50, 75, 100 jsou cˇleny posloupnosti {n2 − 2n + 1}∞ n=1 . 3. U dany´ch posloupnostı´ urcˇete an , an+1 : 5 1 2 3 4 , , , a) , , 3 9 27 81 243 2 1 1 2 b) − , − , 0, , , 4 5 7 8 3 5 7 9 c) 1, , , , . 2! 3! 4! 5! 4. Vypoc ˇ ´ ı limity tejte ∞ posloupnostı´: 2 n + 6n a) , 2 n=1 n3n ∞ e b) , 2 n n=1 n ∞ 4 . c) 1− n n=1 √ √ √ √ √ 5. Dokazˇte, zˇe cˇ´ısla 5− 2, 3, 5+ 2 jsou trˇi za sebou jdoucı´ cˇleny geometricke´ posloupnosti = q). (vyuzˇijte vlastnost, zˇe pro geometrickou posloupnost je pro vsˇechna n ∈ N podı´l an+1 an 6. Cena nove´ho zarˇ´ızenı´ je 86 400 Kcˇ. Opotrˇebenı´m se rocˇneˇ znehodnotı´ o 20 %. Jaka´ bude hodnota zarˇ´ızenı´ po 15 letech? Rˇesˇenı´: 1 2 3 1 1. a) − , 0, , , ; b) 0, −1, 0, 1, 0; c) 98, 96, 92, 84, 68; 4 6 7 8 2. 25, 100; n n+1 n−3 n−2 2n − 1 2n + 1 3. a) an = n , an+1 = n+1 ; b) an = , an+1 = ; c) an = , an+1 = ; 3 3 n+3 n+4 n! (n + 1)! 1 4. a) ; b) ∞; c) e−4 ; 3 5. Platı´; 6. 3 040 Kcˇ.
14
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu
´ vod do integra´lnı´ho pocˇtu U 1. Vypoc Z ˇ´ıtejte: 2 3 4x + sin x + 2 a) dx, x +4 Z a−x b) ax 1 + √ dx, 3 x Z 2 (x2 − 1) c) dx. x3 2. Metodou Z √substituce vypocˇ´ıtejte: 3 a) x x2 + 1 dx, Z x4 √ b) dx, 5 Z 2 4 +x x 3e c) dx. x (2e − 1)4 3. Metodou per partes vypocˇ´ıtejte: Z ln2 x dx,
a) Z b) Z c)
e3x cos x dx, √
x ln x dx.
4. Nalezneˇte v dane´m intervalu strˇednı´ hodnotu funkce – pouzˇijte Veˇtu integra´lnı´ho pocˇtu o strˇednı´ Rb 1 hodnoteˇ µ = b−a f (x) dx: a
a) f (x) = x2 + 1, x ∈ h1, 4i, b) f (x) = x2 ex , x ∈ h0, 2i, c) f (x) = x − ln x, x ∈ h1, 2i. 5. Vhodnou metodou vypocˇ´ıtejte urcˇite´ integra´ly: Re a) lnx2x dx, 1
b)
Rπ
x2 cos x dx,
π 2
c)
R1
√ x2 1 + x3 dx.
−1
15
Posloupnosti a rˇady, u´vod do integra´lnı´ho pocˇtu Rˇesˇenı´: x 1 ax 2 1 1. a) x4 − cos x + arctg + c; b) x2 − 2 − ln x2 + c; − √ + c; c) 2 ln a 2 x x p 3p 1 1 2. a) 3 (x2 + 1)4 + c; b) 4 + x5 + c; c) − + c; 8 5 2(2ex − 1)3 1 3x 2 √ 2 2 3. a) x ln x − 2x(ln |x| − 1) + c; b) e (sin x + 3 cos x) + c; c) x x ln |x| − + c; 10 3 3 5 4. a) 8; b) e2 − 1; c) − ln 4; 2 √ 2 5. a) 1 − 2e ; b) 2 − 2π − π4 ; c) 4 9 2 .
16
