Posloupnosti a řady
Posloupnosti a řady Obsah 12.
Posloupnosti .............................................................................................................. 1238
13.1 Úvod do posloupností ............................................................................................ 1238 13.1 Aritmetická a geometrická posloupnost ................................................................ 1259 13.1 Limita posloupnosti ............................................................................................... 1295 13.
Řady .......................................................................................................................... 1304
13.1 Nekonečná geometrická řada ................................................................................. 1304
Stránka 1237
Posloupnosti a řady 12. Posloupnosti 13.1 Úvod do posloupností 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen. Napište prvních pět členů dané posloupnosti a načrtněte graf. a) an 2n 3 b) an n n 2 c) an n 2n d) an n 1
n 1
Řešení: a) an 2n 3 Vypočítáme prvních pět členů posloupnosti pro n 1, 2,3, 4,5
a1 2 1 3 1 a2 2 2 3 1 a3 2 3 3 3 a4 2 4 3 5 a5 2 5 3 7
b)
an n n 2 n 1, 2,3, 4,5 a1 1 1 2 1 a2 2 2 2 0 a3 3 3 2 3 a4 4 4 2 8 a5 5 5 2 15
Stránka 1238
Posloupnosti a řady c)
an n 2n
a1 1 21 1 a2 2 22 2 a3 3 23 5 a4 4 24 12 a5 5 25 27
n 1 d) a) an n 1
a1 1 1
11
a2 2 1 b) a3 3 1
1
2 1
2
31
3
a4 4 1 a5 5 1
4 1
4
5 1
5
2. Posloupnost je dána rekurentně. Vypočítejte prvních 5 členů dané posloupnosti. a) a1 2, an1 2an n 1 b) a1 1, an1 1
n 1
2n 1
Řešení: a) a1 2, an1 2an n 1 Vypočítáme prvních 5 členů dané posloupnosti pro n 1, 2,3, 4,5 a1 2
a11 2a1 1 1 4 a21 2a2 2 1 9 a31 2a3 3 1 20 a41 2a4 4 1 43
Stránka 1239
Posloupnosti a řady b)
a1 1, an1 1
n 1
2n 1
Vypočítáme prvních 5 členů dané posloupnosti pro n 1, 2,3, 4,5 a1 1 a11 1 2 1 1 1 11
a21 1 a31 1
2 1
2 2 1 5
31
2 3 1 5
a41 1 a51 1
4 1
2 4 1 9
5 1
2 5 1 9
3. Posloupnost je dána rekurentně. Vypočítejte prvních 6 členů dané posloupnosti. a) a1 2, a2 3, an 2an1 3an2 b) a1 2, a2 3, an2 3an1 a2 Řešení: a) a1 2, a2 3, an 2an1 3an2 Vypočítáme prvních 6 členů dané posloupnosti pro n 1, 2,3, 4,5,6 a1 2 a2 3 a3 2a31 3a3 2 2 3 3 2 0 a4 2a41 3a4 2 2 0 3 3 9
a5 2a51 3a5 2 2 9 3 0 18 a6 2a51 3a5 2 2 18 3 9 9
b)
a1 2, a2 3, an2 3an1 a2 Vypočítáme prvních 6 členů dané posloupnosti pro n 1, 2,3, 4,5,6 a1 2
a2 3 a1 2 3a11 a1 3 3 2 11 a2 2 3a21 a2 3 11 3 36 a3 2 3a31 a3 3 36 11 119 a4 2 3a41 a4 3 119 36 393 4. Rozhodněte, zda je daná posloupnost rostoucí, klesající, případně ani rostoucí ani klesající. Zakreslete graf posloupnosti pro prvních 6 členů.
b)
n 5n 5 log10
1
c)
a)
2
n 1
n
2n
n 2
n
5n
n 1
n 1
n 1
e)
2n f) 2 n n 1
n 1
n2 d) 3n 1 n 1
Stránka 1240
Posloupnosti a řady Řešení: a) n2 5n 5
n 1
Nejdříve vypočítáme prvních 6 členů této posloupnosti a1 12 5 1 5 1
a2 22 5 2 5 9 a3 32 5 3 5 19 a4 42 5 4 5 31 a5 52 5 5 5 45 a6 62 5 6 5 61 Z prvních šesti členů posloupnosti je patrné, že by se mohlo jednat o posloupnost rostoucí. Dokážeme, že: n N : n n 1 an an1
n N : n 2 5n 5 n 1 5 n 1 5
n n
2
2
5n 5 n 2 2n 2 5n 5 5
2
5n 5 n 2 7n 2
Z posledního řádku je nerovnost zřejmá. Bylo tedy dokázáno, že tato posloupnost je rostoucí.
Stránka 1241
Posloupnosti a řady b)
log10
n n 1
Nejdříve vypočítáme prvních 6 členů této posloupnosti. a1 log101 1 a2 log102 2 a3 log103 3 a4 log104 4 a5 log105 5 a6 log106 6
Z prvních šesti členů posloupnosti je patrné, že by se mohlo jednat o posloupnost klesající. Dokážeme, že: n N : n n 1 an an1 n N : n n 1 log10 n log10
n 1
n log10 n 1 log 10 n n 1 v n 1 Z posledního řádku je nerovnost zřejmá. Bylo tedy dokázáno, že tato posloupnost je klesající.
Stránka 1242
Posloupnosti a řady c)
1
n 1
2n
n 1
Nejdříve vypočítáme prvních 6 členů této posloupnosti.
1 1 1 1 1
a1 1 2 1 2 11
a2 a3 a4 a5 a6
2 1
31
4 1
5 1
11
2 3 6 2 4 8 2 5 10 2 1 12 2 2 4
Vzhledem k oscilaci hodnot je zřejmé, že se jedná o posloupnost, která není ani rostoucí ani klesající. Tato situace je způsobena střídající se lichou a sudou mocninou čísla −1.
d)
n2 3n 1 n 1 Nejdříve vypočítáme prvních 6 členů této posloupnosti. 1 2 3 a1 3 1 1 2 22 4 a2 3 2 1 5 3 2 5 a3 3 3 1 7 42 6 a4 3 4 1 11 52 7 1 a5 3 5 1 14 2 62 8 a6 3 6 1 17
Stránka 1243
Posloupnosti a řady Z prvních šesti členů posloupnosti je patrné, že by se mohlo jednat o posloupnost klesající. Dokážeme, že: n N : n n 1 an an1 n N : n n 1
n 2 n 1 2 3n 1 3 n 1 1
n 2 n 1 2 / 3n 1 3n 2 3n 1 3n 2 n 2 3n 2 n 3 3n 1 3n 2 8n 4 3n 2 8n 3 Z posledního řádku je nerovnost zřejmá. Bylo tedy dokázáno, že tato posloupnost je klesající.
e)
n 2
n
5n
n 1
Nejdříve vypočítáme prvních 6 členů této posloupnosti. a1 1 21 5 1 3 a2 2 22 5 2 2 a3 3 23 5 3 9 a4 4 24 5 4 44 a5 5 25 5 5 135 a6 6 26 5 6 354 Z prvních šesti členů posloupnosti je patrné, že by se mohlo jednat o posloupnost rostoucí. Dokážeme, že: n N : n n 1 an an1 n N : n n 1 n 2n 5n n 1 2n 1 5 n 1 n 2n n 1 2n 1 5n 5 n 1 n 2 n 2n 2 5 Z posledního řádku je nerovnost zřejmá. Bylo tedy dokázáno, že tato posloupnost je rostoucí.
Stránka 1244
Posloupnosti a řady
f)
2n 2 n n 1 Nejdříve vypočítáme prvních 6 členů této posloupnosti. 2 1 a1 2 1 1 22 a2 2 0 2 2 3 1 a3 2 3 9 2 4 2 1 a4 2 4 16 8 25 3 a5 2 5 25 26 1 a6 2 6 9 Z hodnot prvních šesti členů této posloupnosti je patrné, že je posloupnost pro n = 1, 2, 3, 4 klesající. Hodnoty dalších členů posloupnosti (pro 𝑛 > 4) jsou pro každé další n větší, a proto je tato posloupnost pro 𝑛 > 4 rostoucí. Je tedy zřejmé, že tato posloupnost není rostoucí ani klesající pro ∀ 𝑛 ∈ 𝑁.
Stránka 1245
Posloupnosti a řady
5. Rozhodněte, zda je posloupnost omezená shora, zdola nebo zda je omezená. a) n 2 n1 h) tg n n 1 b)
n
c)
cos10n n1
3
10
1 n i) n n 1
n 1
en n 1 j) n n 1
1 d) 2 n n 1
ln n k) n 3 n 1
2n 1 e) n 1 n 1 f)
n
g)
1
2
2n 2 n
n 1
1
n 1
n
n 1
Řešení: a) n 2 n 1
Posloupnost (𝑎𝑛 )∞ 𝑛=1 je omezená (shora omezená, zdola omezená), jestliže je množina všech jejích členů omezená (shora omezená, zdola omezená), tedy jestliže existuje takové K R : an K an K , an K , n N Z hodnot prvních členů posloupnosti a1 3
a2 4 a3 5 a4 6 a5 7 a6 8 je zřejmé, že je tato posloupnost zdola omezená. Existuje totiž K 3: an 3, n N . Stránka 1246
Posloupnosti a řady b)
n
3
10
n 1
Z hodnot prvních členů posloupnosti a1 13 10 9 a2 23 10 2 a3 33 10 17 a4 43 10 54 a5 53 10 115 a6 63 10 206 vidíme, že je posloupnost zdola omezená. K 9 R : an 3, n N .
c)
cos10n n1
Z hodnot prvních členů posloupnosti a1 cos10 0,98
a2 cos 20 0,94 a3 cos 30 0,87 a4 cos 40 0, 77 a5 cos 50 0, 64 a6 cos10 0,5... a17 cos170 0,99
a18 cos180 1 a19 cos190 0, 77 a20 cos 200 0,94 a21 cos 210 0,87 a22 cos 220 0, 77 Z výčtu vybraných hodnot posloupnosti můžeme usuzovat na posloupnost omezenou. Také z grafu funkce f x cos10 x .
je vidět, že se jedná o funkci omezenou a to čísly 𝐾 = ±1. Jelikož posloupnosti jsou vlastně funkce definované na množině přirozených čísel, lze říct, že jsme nalezli takové 𝐾 = 1 ∈ 𝑅: |𝑎𝑛 | ≤ 1. Posloupnost je tedy omezená.
Stránka 1247
Posloupnosti a řady
d)
1 2 n n 1 Z hodnot prvních členů posloupnosti 1 a1 1 1 1 a2 4 1 a3 9 1 a4 16 1 a5 25 1 a6 36 je zřejmé, že se jedná o posloupnost rostoucí, jejíž první člen dosahuje nejmenší hodnoty a to −1. Posloupnost je tedy omezená zdola hodnotou −1 a shora hodnotou 0, ke které se jednotlivé hodnoty členů posloupnosti blíží. Platí tedy: ∀𝑛 ∈ 𝑁: − 1 ≤ 𝑎𝑛 < 0 a posloupnost je tedy omezená.
e)
2n 1 n 1 n 1 Z hodnot prvních členů posloupnosti pro n N , n 1 2 2 1 a2 5 2 1 2 3 1 7 a3 3 1 2 2 4 1 9 a4 4 1 3 2 5 1 11 a5 5 1 4 2 6 1 13 a6 6 1 5 je vidět, že zadaná posloupnost je shora omezená hodnotou 𝐾1 = 5. Hodnoty členů posloupnosti se pro ∀𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 ≠ 1 blíží hodnotě 2. Je tedy zřejmé, že posloupnost
2n 1 je omezená, a platí: n 1 n 1 n N , n 1: 2 an 5 .
Stránka 1248
Posloupnosti a řady f)
n
2
2n 2
n 1
Z hodnot prvních členů posloupnosti pro ∀𝑛 ∈ 𝑁: a1 12 2 1 2 5 a2 22 2 2 2 10 a3 32 2 3 2 17 a4 42 2 4 2 26 a5 52 2 5 2 37 a6 62 2 6 2 50 je zřejmé, že se jedná o posloupnost rostoucí. Nejmenší hodnotu dosahuje tato posloupnost pro 𝑛 = 1. Posloupnost je tedy omezená zdola hodnotou 𝐾 = 5. Platí tedy: ∀𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑛 ≥ 5.
g)
1 1 n
n 1
n
n 1
Z hodnot několika členů posloupnosti 1 11 a1 1 1 1 2
a2 1 1
2 1
2 3
31
3 4
2
a3 1 1 3
a4 1 1 4
a5 1 1 5
4 1
4 5
5 1
5 6
a6 1 1 6 7 je zřejmé, že tato posloupnost není omezená ani shora ani zdola. Pro lichá n hodnoty členů posloupnosti klesají, pro sudé hodnoty n pak hodnoty členů posloupnosti rostou. Posloupnost ((−1)𝑛 − (−1)𝑛+1 𝑛)∞ 𝑛=1 není omezená. Pro ilustraci uveďme graf posloupnosti pro prvních šest členů. 6
6 1
Stránka 1249
Posloupnosti a řady h)
tg n n1
Z hodnot několika členů posloupnosti a1 0, 018
a2 0, 035 a3 0, 052 a4 0, 070 a5 0, 088 a6 0,105 ze zřejmé, že se jedná o posloupnost rostoucí a zdola omezenou hodnotou prvního členu posloupnosti. Posloupnost je tedy omezená zdola hodnotou 𝐾 = 0,018. Platí tedy: ∀𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑛 ≥ 0,018. Pro ilustraci si uveďme graf funkce f x tg x
i)
1 n n n 1 Z hodnot několika členů posloupnosti 0 a1 0 1 1 a2 2 2 a3 3 3 a4 4 4 a5 5 5 a6 6 je zřejmé, že nejmenší hodnota, kterou tato posloupnost nabývá je 0, a to pro první
Stránka 1250
Posloupnosti a řady člen posloupnosti. Posloupnost je tedy omezená shora, neboť je klesající. Při sledování hodnot členů posloupnosti zjišťujeme, že se blíží limitní hodnotě −1. Posloupnost je tedy omezená a platí: ∀𝑛 ∈ 𝑁: − 1 < 𝑎𝑛 ≤ 0. Pro ilustraci ukažme graf prvních 10 členů této posloupnosti.
j)
en n 1 n n 1 Z hodnot několika členů posloupnosti e1 1 1 a1 0 1 e 2 2 1 e 2 a2 2 2 3 e 3 1 2e3 a3 3 3 4 e 4 1 3e 4 a4 4 4 5 e 5 1 4e5 a5 5 5 6 e 6 1 5e6 a6 6 6 je zřejmé, že jde o posloupnost rostoucí. Nejmenší hodnotu dosahuje tato posloupnost pro 𝑛 = 1, 𝑎1 = 0. Z dalších hodnot členů posloupnosti je vidět, že tato posloupnost není shora omezená. Jde tedy o posloupnost zdola omezenou hodnotou 𝐾 = 0 a platí: ∀𝑛 ∈ 𝑁: 𝑎𝑛 ≥ 0.
Stránka 1251
Posloupnosti a řady Graf posloupnosti pro prvních šest členů:
k)
ln n n 3 n 1 Vypočítáme nejdříve pár členů posloupnosti: ln1 ln1 a1 1 3 4 ln 2 5 ln 4 a3 6 ln 4 a4 7 ln 5 a5 8 ln 6 a6 9 po výpočtu a zaokrouhlení: a1 0, a2 0,14, a3 0,18, a4 0,198, a5 0, 201, a 6 0,199 Z uvedených hodnot vyplývá, že posloupnost dosahuje své minimální hodnoty pro 𝑛 = 1 a to 𝑎1 = 0. Dále hodnoty členů posloupnosti rostou. Maximální hodnotu dosahuje tato posloupnost pro 𝑛 = 5 a to 𝑎1 = 0,201. Dále členy posloupnosti klesají a limitně se blíží hodnotě 0. Je tedy zřejmé, že je tato posloupnost omezená a platí: ln 5 ∀𝑛 ∈ 𝑁: 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ . a2
8
Stránka 1252
Posloupnosti a řady
6. Vypočítejte limitu posloupnosti, určete další vlastnosti, a rozhodněte, zda je daná posloupnost konvergentní.
2 n d) 1 3n n 1
10 a) n n 1 b)
5n1
6n 2 c) n 2 n 1 Řešení: a) 10 n n 1 Vypočítáme několik hodnot členů posloupnosti 10 a1 10 1 10 a2 5 2 10 a3 3 10 5 a4 4 2 10 a5 2 5 10 5 a6 6 3 Z prvních šesti členů posloupnosti je zřejmé, že se jedná o posloupnost klesající, neboť ∀ 𝑛 ∈ 𝑁: 𝑛 < 𝑛 + 1 ⇒ 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1. Posloupnost je shora omezená hodnotou prvního členu posloupnosti tedy pro 𝑛 = 1 a to hodnotou 𝑎1 = 10. Určíme limitu
Stránka 1253
Posloupnosti a řady 10 10 0 posloupnosti lim n lim n n 0 . n n 1 n Z hodnoty limity posloupnosti je zřejmé, že se hodnoty členů posloupnosti budou pro 𝑛 → ∞ blížit hodnotě 0. Posloupnost je tedy omezená a konvergentní s limitou 0. b) 5 n 1
Ze zadání příkladu, je zřejmé, že pro ∀ 𝑛 ∈ 𝑁 budou všechny hodnoty členů posloupnosti stejné a to 𝑎𝑛 = 5. Jedná se tedy o posloupnost konstantní. Tato posloupnost je jistě konvergentní, neboť: limn 5 5 Jelikož je každá konvergentní posloupnost omezená, můžeme říct, že se tedy jedná o posloupnost omezenou. c)
6n 2 n 2 n 1 Nejdříve si určíme hodnoty několika prvních členů posloupnosti: 6 1 2 4 a1 1 2 3 6 2 2 10 5 a2 22 4 2 6 3 2 16 a3 3 2 5 6 4 2 22 11 a4 42 6 3 6 5 2 28 a5 4 5 2 7 6 6 2 34 17 a6 62 8 4 Z těchto hodnot je zřejmé, že jde o posloupnost rostoucí. Zdá se, že se hodnoty členů posloupnosti blíží k jisté hodnotě. Vypočítáme limitu 6n 2 6n 2 n n 60 6 lim n lim n n 2 1 0 n2 n n Existuje tedy vlastní limita, ke které se hodnoty členů posloupnosti blíží. 4 Posloupnost je konvergentní a tedy i omezená (zdola hodnotou , tedy hodnotou 3 prvního členu posloupnosti, shora hodnotou limity posloupnosti, tedy hodnotou 6).
Stránka 1254
Posloupnosti a řady d)
2 n 1 3n n 1 Nejdříve si určíme hodnoty několika prvních členů posloupnosti: 2 2 1 a1 1 3 1 3 2 2 1 2 a2 1 3 2 6 3 2 2 3 a3 1 33 9 2 2 1 4 a4 1 3 4 12 6 2 2 5 a5 1 35 15 2 1 6 a6 1 3 6 9 U jednotlivých hodnot členů posloupnosti dochází ke střídání znamének, vzhledem ke střídajícím se sudým a lichým mocninám čísla (−1). Jedná se tedy o posloupnost alternující. Alternující posloupností rozumíme libovolnou posloupnost (𝑎𝑛 )∞ 𝑛=1 , kterou lze + 𝑛 zapsat jako 𝑎𝑛 = (−1) 𝑏𝑛 , kde 𝑏𝑛 = 𝑅0 . 2 Posloupnost je shora i zdola omezená a to hodnotou prvního členu 𝑎1 = − 3, 1 respektive druhého členu a2 . Pro výpočet limity posloupnosti si zjednodušíme 3 situaci tak, že budeme předpokládat, že všechna znaménka hodnot členů
2 posloupnosti jsou kladná. Tedy počítáme limitu posloupnosti 3n n 1 2 2 0 lim n lim n n 0 3n 3 3n n Posloupnost je tedy alternující, konvergentní a omezená. 7. Rozhodněte, zda je posloupnost aritmetická nebo geometrická. V případě aritmetické posloupnosti určete diferenci, v případě geometrické posloupnosti určete kvocient.
e)
log 2 e 2
a)
n5 2 n 1
b)
n n6 n 2 n 1
f)
c)
3 2n n1
g)
d)
3 n 1 2 n 1
2
n
n 1
10n
n 1 n 1
n 1
n 1
Stránka 1255
Posloupnosti a řady Řešení: a) n 5 2 n 1 Nejdříve si vypočítáme několik hodnot prvních členů posloupnosti 1 5 5 5 10 a1 3 a5 5 2 2 2 25 7 6 5 11 a2 , a6 , 2 2 2 2 35 8 7 5 12 a3 4, a7 6 2 2 2 2 45 9 a4 2 2 1 Je zřejmé, že hodnota následujícího členu je vždy o větší než hodnota členu 2 1 předcházejícího. Jedná se tedy zřejmě o aritmetickou posloupnost s diferencí d , 2 neboť: n 1 5 n 5 n 6 n 5 n 6 n 5 1 d an1 an . 2 2 2 2 2 2 b) n 2 n 6 n 2 n 1 Nejdříve si vypočítáme několik hodnot prvních členů posloupnosti: 25 5 6 11 6 6 a5 2, a1 2, 5 2 1 2 3 36 6 6 426 a6 3, a2 1, 62 22 9 36 49 7 6 a3 0, a7 4, 3 2 72 16 4 6 64 8 6 a4 1 a8 5 42 82 Je zřejmé, že hodnota následujícího členu je vždy o 1 větší než hodnota členu předcházejícího. Jedná se tedy zřejmě o aritmetickou posloupnost s diferencí d 1 , neboť:
n 1 n 1 6 n2 n 6 n2 2n 1 n 1 6 n2 n 6 2
d an1 an
n 1 2
n2 n 6 n2 n 6 n3 n2
n2 n3 n 2 n n 6 n 3 n 2 n 6
n2
2
n 3 n 2
n3 n2 6n 2n2 2n 12 n3 n 2 6n 3n 2 3n 18
n 3 n 2
n3 n2 6n 2n 2 2n 12 n3 n 2 6n 3n 2 3n 18 n 2 5n 6 1 n 3 n 2 n 3 n 2
Stránka 1256
Posloupnosti a řady c)
3 2n n1
Nejdříve si vypočítáme několik hodnot prvních členů posloupnosti: a5 3 2 5 7, a1 3 2 1 1,
a2 3 2 2 1,
a6 3 2 6 9,
a3 3 2 3 3,
a7 3 2 7 11,
a 4 3 2 4 5 a8 3 2 8 13 Je zřejmé, že hodnota následujícího členu je vždy o 2 menší než hodnota členu předcházejícího. Jedná se tedy zřejmě o aritmetickou posloupnost s diferencí d 2 , neboť: d an1 an 3 2 n 1 3 2n 3 2n 2 3 2n 2 d)
e)
3n n 1 2 n 1 Nejdříve si vypočítáme několik hodnot prvních členů posloupnosti 34 81 31 3 a4 5 , a1 2 , 2 32 2 4 5 2 3 243 3 9 a5 6 a2 3 , 2 64 2 8 3 3 27 a3 4 , 2 16 Z těchto hodnot je vidět, že každý následující člen vznikne z předcházejícího 3 vynásobením číslem . Jedná se tedy o geometrickou posloupnost s kvocientem 2 3 q . Určíme hodnotu kvocientu z n, resp. n+1 členu: 2 3n 1 n 11 a 3n 1 2n 1 3 q n 1 2 n n 2 n 3n 1 n 2n 1 n 2 31 21 3 an 2 3 2 n 1 2
log 2
n 1
n 1
Nejdříve si vypočítáme několik hodnot prvních členů posloupnosti: a1 log 211 log 22 a1 log 22 2 log 2,
a2 log 221 log 23 , tedy
a2 log 23 3log 2,
a3 log 231 log 24
a3 log 24 4 log 2
Z těchto hodnot je zřejmé, že se každý následující člen posloupnosti liší o hodnotu log 2 . Tedy každý následující člen získáme z předcházejícího přičtením hodnoty log 2 . Určíme hodnotu diference z n, resp. n+1 členu: d an 1 an log 2n11 log 2n1 n 2 log 2 n 1 log 2 n 2 n 1 log 2 log 2
Stránka 1257
Posloupnosti a řady f)
e n 1 2 n 1 Nejdříve si vypočítáme několik hodnot prvních členů posloupnosti: 2
e5 e a4 , 2 4 2
3
e6 e a5 , 8 2
e2 e a1 2, 2 e3 e a2 , 2 2 2 4
5
6
7
e4 e7 e e a3 a 6 4 2 2 8 2 Z těchto hodnot je vidět, že každý následující člen vznikne z předcházejícího e vynásobením číslem . Jedná se tedy o geometrickou posloupnost s kvocientem 2 e . Určíme hodnotu kvocientu z n, resp. n+1 členu: q 2 a q n 1 an
g)
10n
n 1
e n 1 n e e 2 n 2 2 e 2
n 1
Nejdříve si vypočítáme několik hodnot prvních členů posloupnosti: a1 10, a5 105 100 10, a2 102 10,
a6 106 1000,
a3 103 10 10,
a7 107 1000 10,
a4 104 100 a8 108 10000 Z těchto hodnot je vidět, že každý následující člen vznikne z předcházejícího vynásobením číslem 10 . Jedná se tedy o geometrickou posloupnost s kvocientem
q 10 . Určíme hodnotu kvocientu z n, resp. n+1 členu: q
an 1 10n 1 10n 1 10n 1n 10 . n n an 10 10
Stránka 1258
Posloupnosti a řady 13.1 Aritmetická a geometrická posloupnost 1. Určete několik členů rekurentně zadané posloupnosti. Rozhodněte, zda jde o posloupnost aritmetickou či geometrickou. Zapište tuto posloupnost pomocí vzorcem pro n-tý člen. a) a1 7, an1 2an 3n 1 b) c)
a1 5, an1 an 4 a1 1, an1 3an
Řešení: a) a1 7, an1 2an 3n 1 Nejdříve vypočítáme hodnoty několika prvních členů posloupnosti
a1 7,
a41 2 16 3 4 1 19,
a11 2 7 3 1 1 10,
a51 2 19 3 5 1 22,
a21 2 10 3 2 1 13,
a61 2 22 3 6 1 25
a31 2 13 3 3 1 16 Z hodnot prvních 7 členů posloupnosti je vidět, že každý následující člen posloupnosti získáme z předcházejícího členu přičtením 3. Jedná se tedy o posloupnost aritmetickou s diferencí d 3 . Vzorec pro n-tý člen lze v tomto případě odhadnout an 4 3n , případně užijeme následující metodu: a1 7 a2 a1 3 a3 a2 3 ... an an 1 3 an 1 an 3 Z těchto rovností vytvoříme součet a1 a2 a3 ... an an1 7 a1 3 a2 3 ... an1 3 an 3
an1 7 3n a posunutím indexu získáváme vzorec pro n-tý člen an1 7 3n an 7 3n 3 4 3n . b)
a1 5, an1 an 4 Nejdříve vypočítáme hodnoty několika prvních členů posloupnosti: a1 5, a2 a1 4 9, a3 a2 4 13, a4 a3 4 16, a5 a4 4 20 Z hodnot prvních 5 členů posloupnosti je vidět, že každý následující člen posloupnosti získáme z předcházejícího členu přičtením 4. Jedná se tedy o posloupnost aritmetickou s diferencí d 4 . Stránka 1259
Posloupnosti a řady Vzorec pro n-tý člen lze v tomto případě odhadnout an 1 4n , případně užijeme následující metodu: a1 5
a2 a1 4 a3 a2 4 ... an an 1 4 an 1 an 4 Z těchto rovností vytvoříme součet a1 a2 a3 ... an an1 5 a1 4 a2 4 ... an1 4 an 4
an1 5 4n a posunutím indexu získáváme vzorec pro n-tý člen an1 5 4n an 5 4n 4 1 4n . c)
a1 1, an1 3an Nejdříve vypočítáme hodnoty několika prvních členů posloupnosti: a4 3a3 27, a1 1, a5 3a4 81, a2 3a1 3, a6 3a5 243 a3 3a2 9, Z hodnot prvních 6 členů posloupnosti je vidět, že každý následující člen posloupnosti získáme z předcházejícího členu vynásobením číslem 3. Jedná se tedy o posloupnost geometrickou s kvocientem q 3 . Vzorec pro n-tý člen lze v tomto případě odhadnout: an 3n1 , případně užijeme následující metodu: a1 1 a2 3a1 a3 3a2 ... an 3an 1 an 1 3an Z těchto rovností vytvoříme součin: a1 a2 a3 ... an an1 1 3a1 3a2 ... 3an1 3an a jsou-li všechna ai nenulová, můžeme psát:
an1 1 3 3 ... 3 3 1 3n 3n a posunutím indexu získáváme vzorec pro n-tý člen 3n an1 3n an 3n 1 . 3
Stránka 1260
Posloupnosti a řady 2. Určete reálné číslo x R tak, aby čísla a1 , a2 , a3 tvořila tři následující členy aritmetické posloupnosti. a) a1 x 2 x, a2 x 2 4 x 4, a3 16 b)
a1 log 2 x 1 , a2 log 4 x 2 , a3 log 5x 2
c)
a1 sin x, a2 sin x , a3 sin x 4 2
Řešení: a) a1 x 2 x, a2 x 2 4 x 4, a3 16 Z těchto členů aritmetické posloupnosti vyjádříme diferenci d: a2 a1 x2 4 x 4 x2 x x 2 4 x 4 x 2 x 3x 4 d
a3 a2 16 x2 4 x 4 16 x 2 4 x 4 x 2 4 x 12 d
Musí platit: 3x 4 x 2 4 x 12 3x 4 x 2 4 x 12 x 2 7 x 8 0
x 7x 8 0 D 49 4 8 49 32 81, 81 9 2
7 9 7 9 7 9 x1 1, x2 8 2 2 2 Pro x1 1, x2 8 tvoří čísla a1 , a2 , a3 tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. x1,2
b)
a1 log 2 x 1 , a2 log 4 x 2 , a3 log 5 x 2 Z těchto členů aritmetické posloupnosti vyjádříme diferenci d: 2 2 x 1 4x 2 a2 a1 log 4 x 2 log 2 x 1 log log log 2 d 2x 1 2x 1 5x 2 a3 a2 log 5 x 2 log 4 x 2 log d 4x 2 Musí platit: 2 4x 2 2 4x 2 5x 2 2 log 2 log log log 0 1 5x 2 4x 2 5x 2 5x 2 4x 2 2 4 x 2 5x 2 8x 4 5x 2 3x 6 x 2 Pro x 2 tvoří čísla a1 , a2 , a3 tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.
c)
a1 sin x, a2 sin x , a3 sin x 4 2 Z těchto členů aritmetické posloupnosti vyjádříme diferenci d: a2 a1 sin x sin x d 4 a3 a2 sin x sin x d 2 4
Stránka 1261
Posloupnosti a řady Pomocí součtových vzorců získáváme:
2 2 sin x sin x sin x cos cos x sin sin x sin x cos x sin x d 4 4 4 2 2 sin x sin x sin x cos cos x sin sin x cos cos x sin 2 4 2 2 4 4 2 2 sin x cos x d 2 2 Musí platit: 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2 2 2 2 cos x
2 sin x 2 cos x sin x cos x sin x
2 1 cos x
2 1 0
2 1 sin x cos x 0 sin x cos x 0
sin x 1 sin 2 x 0 sin x 1 sin 2 x sin 2 x 1 sin 2 x 2sin 2 x 1 sin x
2 2
2 3 x1 2k , x1´ 2k , k Z 2 4 4 4 2 5 7 sin x2 x20 , x2 2k , x2´ 2 2 k , k Z 2 4 4 4 4 4 3 5 7 2k a pro x2 2k , x2´ 2k , k Z tvoří čísla Pro x1 2k , x1´ 4 4 4 4 a1 , a2 , a3 tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. sin x1
3. Určete reálné číslo x R tak, aby čísla a1 , a2 , a3 tvořila tři následující členy geometrické posloupnosti. a) a1 1, a2 2 x , a3 2 x 2 12 b)
a1 1 2log x, a2 3 4log x, a3 3 log x
Řešení: a) a1 1, a2 2 x , a3 2 x 2 12 Z těchto členů geometrické posloupnosti vyjádříme kvocient q a2 2 x 2x q a1 1
a3 2 x 2 12 q a2 2x
Stránka 1262
Posloupnosti a řady Musí platit: 2x 2x 2x 22 x 1 2 x 2 12 2 x 2 12 2 x 2 12 2x 22 x 2 x 2 12
22 x 2 x 2 12 0 2 x 2 x 2 x 22 12 0 / subst. : 2 x z z 2 4 z 12 0 D 16 4 12 16 48 64 D 8 48 z1 6, z2 2 2 Návratem k substituci 2 x 6 x log 2 6 z1,2
2 x 2 NŘ Pro x log 2 6 tvoří čísla a1 , a2 , a3 tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. b)
a1 1 2log x, a2 3 4log x, a3 3 log x Z těchto členů geometrické posloupnosti vyjádříme kvocient q: a2 3 4 log x q a1 1 2 log x a3 3 log x q a2 3 4 log x Musí platit: 3 4 log x 2 3 4 log x 1 2 log x 3 4 log x 3 4 log x 1 3 log x 1 2 log x 3 log x 1 2 log x 3 log x 3 4 log x 9 24 log x 16 log 2 x 9 24 log x 16 log 2 x 1 3 log x 6 log x 2 log 2 x 3 7 log x 2 log 2 x 9 24 log x 16 log 2 x 3 7 log x 2 log 2 x 14 log 2 x 31log x 6 0 / subst.: y log x 14 y 2 31y 6 0 D 961 336 625 D 25 31 25 6 3 y1,2 y1 2, y2 28 28 14 Návratem k substituci: y1 log x1 2 log x1 x1 100 y2 log x2 3 3 log x2 x2 1014 14 103 14
Stránka 1263
Posloupnosti a řady Podmínky: 3 7 log x 2 log 2 x 0 / subst.: z log x
2 z 2 7 z 3 0 D 49 24 25 D 5 7 5 1 z1,2 z1 , z2 3 4 2 z1 log x1 1 1 1 10 log x1 x1 10 2 2 10 10 z2 log x2
3 log x2 x2 103
1 0, 001 1000
Pro x1 100, x2 14 103 tvoří čísla a1 , a2 , a3 tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. 4. V aritmetické posloupnosti platí a1 10, d 5 . Kolikátý člen této posloupnosti je roven: a) 125 b) 300 Řešení: a) 125 V aritmetické posloupnosti platí: an a1 n 1 d dosadíme do vztahu a vyjádříme neznámou n 125 10 n 1 5
125 10 5n 5 110 5n n 22 22. člen dané posloupnosti má hodnotu 125. b) 300 V aritmetické posloupnosti platí: an a1 n 1 d dosadíme do vztahu a vyjádříme neznámou n 300 10 n 1 5 300 10 5n 5 285 5n n 57 57. člen dané posloupnosti má hodnotu 300.
Stránka 1264
Posloupnosti a řady 5. V geometrické posloupnosti platí a1 36, q
3 . Kolikátý člen této posloupnosti je roven 2
78732 . 128 Řešení: V geometrické posloupnosti platí, že an a1q n1 . Dosadíme do vztahu a vyjádříme neznámou n
78732 3 36 128 2
n 1
n 1
2187 37 3 3 128 27 2 2 n 1 7 n8
7
8. člen uvedené posloupnosti je roven
78732 . 128
6. V geometrické posloupnosti platí a1 2, q 3 . Kolikátý člen této posloupnosti je roven 729 3 2 . Řešení: V geometrické posloupnosti platí, že neznámou n
729
3
2 3 2 3 n 1
1
3 2
n 1
an a1q n1 . Dosadíme do vztahu a vyjádříme
n 1
729
2 3
2
1
13
729 3 336 32 36 3 2
1 13 n 1 2 2 n 1 13 n 14 Hodnota 14. členu uvedené geometrické posloupnosti je rovna 729 3 2 . 7. Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které a4 9, a10 57 . Řešení: V aritmetické posloupnosti platí, že ar as r s d , r , s : r s . Dosazením:
a10 a4 10 4 d 57 9 6d d 8 Pro první člen posloupnosti platí: a1 a4 3d 9 3 8 15 V dané aritmetické posloupnosti je a1 15, d 8 .
Stránka 1265
Posloupnosti a řady 3 8. Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které a3 , a11 3 . 2 Řešení: V aritmetické posloupnosti platí, že ar as r s d , r , s : r s . Dosazením:
a11 a3 11 3 d 3 3 8d 2 3 9 8d 3 2 2 9 1 9 d 2 8 16 Pro první člen posloupnosti platí: 3 9 3 18 24 18 42 21 a1 a3 2d 2 2 16 2 16 16 16 16 8 21 9 V dané aritmetické posloupnosti je a1 , d . 8 16 9. Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které: 2a2 a3 20
a4 5a1 95
.
Řešení: Vyjádříme si všechny členy v této soustavě rovnic pomocí prvního členu a diference, neboť platí:
an a1 n 1 d Tedy: 2 a1 d a1 2d 20
a1 3d 5a1 95 2a1 2d a1 2d 20 4a1 3d 95 a1 20
4 20 3d 95 80 3d 95 3d 15 d 5 První člen a diference zadané posloupnosti je a1 20, d 5 .
Stránka 1266
Posloupnosti a řady 10. Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: a3 2a4
a2 a8 Řešení:
.
a1 2d 2 a1 3d a1 d a1 7d a1 4d 0 / 2 2a1 8d 0 2a1 8d 0 / 2a1 8d 0 0 0 a1 R
a1 4d 0 4d a1 d
a1 4
První člen a diference zadané posloupnosti je a1 R, d
a1 . 4
11. Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: a4 a5 a7 a8 10
a21 2 a1
.
Řešení:
a1 3d a1 4d a1 6d a1 7d 10 a1 20d 2 a1 2a1 10d 5 a1 20d 0 / 2 2a1 10d 5 / 2a1 40d 0 50d 5 d a1 20
1 10
1 0 10 a1 2
Stránka 1267
Posloupnosti a řady První člen a diference zadané posloupnosti je a1 2, d
1 . 10
12. Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: a1 a2 5
a12 a22 13
.
Řešení:
a1 a1 d 5 a12 a1 d 13 2
2a1 d 5 a a 2a1d d 2 13 2 1
2 1
2a1 d 5 5d a1 2 2 2 2a1 2a1d d 13 5d 5d 2 2 2 d d 13 2 2 2
25 10d d 2 2 2 5 d d d 13 / 2 4 2 25 10d d 10d 2d 2 2d 2 26 d 2 1 d1,2 1 5 d1 5 1 5 d2 5 1 2, a1´ 3 2 2 2 2 První člen a diference zadané posloupnosti je a1 2, d1 1, a1´ 3, d2 1 . a1
13. Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: a3 a5 8
a32 a52 32
.
Řešení:
a1 2d a1 4d 8
a1 2d a1 4d 2
2
32 2a1 6d 8
a 4a1d 4d a 8a1d 16d 2 32 2 1
2
2 1
2a1 6d 8 4a1d 12d 2 0
Stránka 1268
Posloupnosti a řady 8 6d 4 3d 2 4 4 3d d 12d 2 32 a1
16d 12d 2 12d 2 32 16d 32 d 2 a1 4 3d 4 3 2 4 6 10
První člen a diference zadané posloupnosti je a1 10, d 2 . 14. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: a) a2 16, a4 1 b) a1 a2 a4 110 a2 a3 a5 220 c) a8 a4 360
a7 a5 144 d) a2 a3 60 a1 a4 252 Řešení: a) a2 16, a4 1 V geometrické posloupnosti platí, že ar as q r s , r , s N , r s Platí tedy: a4 a2 q 2 1 16q 2
1 16 1 q 4 Pro první člen posloupnosti platí: a2 a1q q2
a2 16 64 1 q 4 a 16 a1´ 2 64 q´ 1 4 a1
V dané geometrické posloupnosti je první člen a kvocient roven a 64, q b)
a1 a2 a4 110
1 4
a2 a3 a5 220 a1 a1q a1q3 110 a1q a1q 2 a1q 4 220 Stránka 1269
Posloupnosti a řady a1 1 q q 3 110 a1q 1 q q 3 220
,a 1 q q 110 a 3
1
0
1
110 a1q 220 a 1 110q 220 q2
a1 1 2 8 110 5a1 110 a1 22 V dané geometrické posloupnosti je první člen a kvocient roven a1 22, q 2 c) a8 a4 360 a7 a5 144 a1q7 a1q3 360 a1q6 a1q 4 144 a1q3 ( q 4 1) 360 a1q 4 ( q 2 1) 144
a1q 3 q 4 1
a1q q 1 4
2
360 144
a1q 3 q 2 1 q 2 1 a1q q 1 4
q
2
1 q
2
360 144
5 2
2q 2 2 5q 2q 2 5q 2 0 D 25 16 9 D 3 53 1 q1,2 q1 2, q2 4 2 Dosazením hodnot kvocientů do příslušné rovnice získáváme hodnoty prvních členů 1 1 a1´ 1 360 8 16 8a1 16 1 360 15 120a1 360 a1´ 360 48 a1 3 a1 1152 1 V dané geometrické posloupnosti platí: a1 3, q1 2; a2 1152, q2 . 2 Stránka 1270
Posloupnosti a řady d)
a2 a3 60 a1 a4 252
Členy posloupnosti přepíšeme pomocí prvního členu: a1q a1q 2 60 a1 a1q3 252 a1q(1 q) 60 a1 (1 q3 ) 252
a1q(1 q) 60 a1 (1 q)
60 q
a1 (1 q)( q 2 q 1) 252 60 2 q q 1 252 q 60 q 2 q 1 252q 60q 2 60q 60 252q 0 60q 2 312q 60 0 5q 2 26q 5 0 D 676 100 576 D 24 26 24 1 q1,2 q1 5, q2 10 5 Dosazením hodnot kvocientů do příslušné rovnice získáváme hodnoty prvních členů: 60 a1 1 5 a1 12 5 1 60 a1 1 a1´ 250 5 1 5 1 V dané geometrické posloupnosti platí: a1 12, q1 5; a1´ 250, q2´ . 5 15. Tři čísla, která tvoří tři následující členy aritmetické posloupnosti, mají součet 60 a součin 7500. Určete tato čísla. Řešení: a1 a2 a3 60
a1a2 a3 7500 Členy posloupnosti přepíšeme pomocí prvního členu: a1 a1 d a1 2d 60 a1 a1 d a1 2d 7500
Stránka 1271
Posloupnosti a řady 3a1 3d 60 a1 d 20 a1 20 d a1 a1 d a1 2d 7500
20 d 20 d d 20 d 2d 7500 20 d 20 20 d 2d 7500
400 d 20 7500 2
8000 20d 2 7500 20d 2 500 d 2 25 d 5 a1 20 d 20 5 15 a1´ 20 d 20 5 25 Získáváme dvě posloupnosti: a1 15, a2 20, a3 25 a1´ 25, a2´ 20, a3´ 15 16. Určete tři reálná čísla větší než 8 a menší než 648 tak, aby spolu s danými čísly tvořila pět následujících členů aritmetické posloupnosti. Řešení: V této posloupnosti musí platit: a1 8
a5 648
a5 a1 4d 8 4d 4d 648 8 d 160 Získáváme tedy dvě posloupnosti: Pro 𝑎1 = 8, 𝑑 = 160 platí: a1 8, a2 168, a3 328, a4 488, a5 648 Pro 𝑎1 = 648, 𝑑 = −160 platí: a1 648, a2 488, a3 328, a4 168, a5 8 17. Určete tři reálná čísla větší než 8 a menší než 648 tak, aby spolu s danými čísly tvořila pět následujících členů geometrické posloupnosti. Řešení: V této posloupnosti musí platit: a1 8
a5 648 a5 a1q 4 648 8q 4 q1,2 4 81 3 Získáváme tedy 4 posloupnosti: a1 8, a2 24, a3 72, a4 216, a5 648
Stránka 1272
Posloupnosti a řady Pro 𝑎1 = 8, 𝑞 = 3 platí: a1 8, a2 24, a3 72, a4 216, a5 648 Pro 𝑎1 = 8, 𝑞 = −3 platí: a1 8, a2 24, a3 72, a4 216, a5 648 1
Pro 𝑎1 = 648, 𝑞 = 3 platí: a1 648, a2 216, a3 72, a4 24, a5 8 1
Pro 𝑎1 = 648, 𝑞 = − 3 platí: a1 648, a2 216, a3 72, a4 24, a5 8 18. V geometrické posloupnosti je dáno a1
1 , q 2 . Určete 𝑛 ∈ 𝑁 tak, aby platilo: 64
an a2n 8200 .
Řešení: a1q n 1 a1q 2 n 1 8200 1 n 1 1 2 n 1 2 2 8200 64 64 1 2n 1 22 n 8200 64 2 64 2 1 2n 1 n 2 2 8200 0 / 128 128 64 22 n 2n 1049600 0 D 1 4198400 4198401 D 2049 1 2049 y1,2 y1 1024, y2 1025 2 Návrat k substituci 1024 2n1
n1 10 1025 2n2 Druhá rovnice nemá řešení. Nalezli jsme tedy hledanou hodnotu 𝑛 = 10.
19. Mezi kořeny kvadratické rovnice 𝑥 2 − 10𝑥 + 16 = 0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny tvořila šest po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti. Řešení: x 2 10 x 16 0 D 100 64 36
D 6 10 6 x1 8, x2 2 2 Platí tedy, že a1 2, a6 8 a také a1 8, a6 2 x1,2
a6 a1 5d 8 2 5d d
6 5
Také a6 a1 5d
2 8 5d d
6 5 Stránka 1273
Posloupnosti a řady Dostáváme tedy následující aritmetickou posloupnost: 16 22 28 34 𝑎1 = 2, 𝑎2 = , 𝑎3 = , 𝑎4 = , 𝑎5 = ,𝑎 = 8 5 5 5 5 6 Další posloupností je posloupnost: 34 28 22 16 𝑎1 = 8, 𝑎2 = , 𝑎3 = , 𝑎4 = , 𝑎5 = ,𝑎 = 8 5 5 5 5 6 20. Mezi kořeny kvadratické rovnice 𝑥 2 − 10𝑥 + 16 = 0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny tvořila šest po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti. Řešení: x 2 10 x 16 0 D 100 64 36
D 6 10 6 x1 8, x2 2 2 Platí tedy, že a1 2, a6 8 a také a1 8, a6 2 x1,2
a6 a1q 5 8 2q 5 q 5 4 Také: a6 a1q 5
1 4 Dostáváme tedy následující aritmetickou posloupnost: 5 5 5 5 𝑎1 = 2, 𝑎2 = 2 √4, 𝑎3 = 2 √42 , 𝑎4 = 2 √43 , 𝑎5 = 2 √44 , 𝑎6 = 8 Další posloupností je posloupnost: 8 8 8 8 𝑎1 = 8, 𝑎2 = 5 , 𝑎3 = 5 , 𝑎4 = 5 , 𝑎5 = 5 , 𝑎6 = 2 √44 √4 √42 √43 2 8q 5 q
5
21. V aritmetické posloupnosti známe první člen a diferenci 𝑎1 = 18, 𝑑 = −5. Určete ∀𝑛 ∈ 𝑁 tak, aby platilo, že 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+3 = −189. Řešení: Členy posloupnosti zapíšeme pomocí prvního členu a diference: a1 n 1 d a1 n 3 1 d 189
18 n 1 5 18 n 2 5 189 18 5n 5 18 5n 10 189 10n 22 Uvedená rovnost je splněna, je-li 𝑛 = 22. 22. Určete dvě reálná čísla x, y tak, aby čísla 3, x, y tvořila tři následující členy geometrické posloupnosti a čísla x, y, 18 tvořila tři následující členy aritmetické posloupnosti.
Stránka 1274
Posloupnosti a řady Řešení: Platí: 𝐺𝑃: 3, 𝑥 = 3𝑞, 𝑦 = 3𝑞 2 𝐴𝑃: 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑑, 18 Vytvoříme soustavu rovnic: y xd
18 x 2d 3q 2 3q d 18 3q 2d 3q 18 2d q
18 2d 2 6 d 3 3
2
2 2 3 6 d 3 6 d d 3 3 24 4 3 36 d d 2 18 2d d 3 9 4 108 24d d 2 18 d 3 4 2 d 23d 90 0 3 4d 2 69d 270 0 D 4761 4320 441 D 21 69 21 45 d1,2 d1 , d 2 6 8 5 2 45 90 72 90 3 q1 6 6 3 5 12 12 2 2 12 q1 6 6 6 2 3 3 Pro geometrickou posloupnost platí: 3 9 3 2 27 9 27 3, − 3 = − , (− ) 3 = ⇒ 𝑥 = − ,𝑦 = 2 2 2 4 2 4 3, 6, 12 ⇒ 𝑥 = 6, 𝑦 = 12 Pro aritmetickou posloupnost platí: 9 27 9 27 − , , 18 ⇒ 𝑥 = − , 𝑦 = 2 4 2 4 6, 12, 18 ⇒ 𝑥 = 6, 𝑦 = 12 23. Určete čtyři čísla tak, aby první tři tvořila tři následující členy aritmetické posloupnosti s diferencí 𝑑 = −3 a poslední tři tvořila následující členy geometrické posloupností 1 s kvocientem 𝑞 = 2.
Stránka 1275
Posloupnosti a řady Řešení: Pro první tři členy, které tvoří aritmetickou posloupnost, platí: a1 a2 a1 d a1 3 a3 a1 2d a1 6 Pro členy geometrické posloupnosti platí: a2 1 a2 2 1 a4 a2 q 2 a2 4 Získáváme soustavu: 1 a1 6 a2 2 a1 3 a2 a3 a1q
a1 3 2 2a1 12 a1 3 a1 6
a1 9 Daná čtveřice čísel je tedy: 3 9, 6, 3, 2 24. Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Obvod trojúhelníka je 96 cm. Vypočítejte délky stran. Řešení: V zadaném pravoúhlém trojúhelníku o stranách 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , kde 𝑎3 je odvěsna, platí: a1 a2 a3 96 a12 a2 2 a32
a1 a1 d a1 2d 96 a12 a1 d a1 2d 2
2
3a1 3d 96
/ :3
a12 a12 2a1d d 2 a12 4a1d 4d 2 a1 d 32 a1 32 d a12 2a1d 3d 2 0
32 d
2
2 32 d d 3d 2 0
1024 64d d 2 64d 2d 2 3d 2 0 128d 1024 d 8 a1 32 8 24
Stránka 1276
Posloupnosti a řady Pro strany pravoúhlého trojúhelníka tedy platí: 𝑎1 = 24, 𝑎2 = 32, 𝑎3 = 40 o 24 32 40 94 cm 25. V aritmetické posloupnosti je 𝑎1 = 3, 𝑑 = 4. Kolik členů této posloupnosti musíme sečíst, aby byl součet větší než 250? Řešení: Ze vzorce pro součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti sn
n a1 an lze 2
získat následující nerovnici: n 250 a1 a1 n 1 d 2 n 250 2a1 nd d 2 n 250 6 4n 4 / 2 2 500 2n 4n 2
4n 2 2n 500 0 2n 2 n 250 0 D 1 2000 2001 D 20 5 1 20 5 4 Kvadratický trojčlen lze tedy rozložit: 1 20 5 1 20 5 2 n n 0 4 4 Řešením této nerovnice je interval: 1 20 5 1 20 5 n , , 4 4 n1,2
1 20 5 . Přibližná 4 hodnota tohoto čísla je 10,93. Je třeba vzít tedy alespoň 11 členů této posloupnosti, aby jejich součet byl větší než 250.
Jelikož je 𝑛 ∈ 𝑁, pak řešením je první přirozené číslo větší než
26. V aritmetické posloupnosti známe 𝑎3 = 18. Určete podmínku pro diferenci tak, aby platilo s9 150 . Řešení: Ze vzorce pro součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti sn
n a1 an plyne 2
9 a3 2d a3 6d 2 Neboť: a1 a3 2d , a9 a3 6d s9
Stránka 1277
Posloupnosti a řady Dosazením: 9 150 2a3 4d 2 9 150 36 2a3 4d 2 300 324 36d
/ 2
36d 24 24 2 d 36 3 2 Diference takovéto aritmetické posloupnosti musí být d . 3
27. Určete, jakou podmínku musí splňovat první člen aritmetické posloupnosti s diferencí 𝑑 = 5, aby platilo 𝑠20 ≥ 1000. Řešení: Ze vzorce pro součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti sn
n a1 an plyne 2
20 20 a1 a20 a1 a1 19d 10 2a1 95 1000 2 2 20a1 950 1000 s20
20a1 50 a1
50 5 a1 20 2
První člen dané aritmetické posloupnosti musí splňovat podmínku a1
5 2
28. Určete součet všech sudých čísel, která vyhovují nerovnici x2 53x 150 0 . Řešení: Vyřešíme nerovnici: x 2 53x 150 0
D 2809 600 2209 D 47 53 47 x1 50, x2 3 2 Uvedená nerovnost je splněna, jestliže 𝑥 ∈ 〈3,50〉. V tomto intervalu se nacházejí následující sudá čísla: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … , 48, 50 Počet sudých čísel v tomto intervalu je 24. Součet těchto sudých čísel: 24 (4 + 50) = 648 𝑠24 = 2 Součet všech sudých čísel vyhovující příslušné nerovnici je 648. x1,2
Stránka 1278
Posloupnosti a řady 29. V aritmetické posloupnosti 1 a6 a16 , s26 104 . 3
určete
první
člen
a
diferenci,
jestliže
platí:
Řešení: a6 a1 5d a16 a1 15d a26 a1 25d a tedy: 1 a1 5d a1 15d / 3 3 26 s26 a1 a26 13 a1 a1 25d 26a1 325d 104 2 3a1 15d a1 15d
26a1 325d 104 13 4a1 30d 0 / 2 26a1 325d 104
26a1 195d 0 26a1 325d 104 130d 104 104 4 d 130 5 4 4a1 30 0 5 4a1 24 a1 6 4 V dané aritmetické posloupnosti platí: a1 6, d . 5
30. V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, jestliže platí: s5 60, s10 170 . Řešení: a5 a1 4d
a10 a1 9d a tedy: 5 5 5 s5 a1 a5 a1 a1 4d 2a1 4d 60 2 2 2 10 s10 a1 a10 5 a1 a1 9d 5 2a1 9d 170 2
Stránka 1279
Posloupnosti a řady 5 2a1 4d 60 2 5 2a1 9d 170 10a1 20d 120 10a1 45d 170
/ 2
/ 1
25d 50 d 2 10a1 40 120 10a1 80 a1 8 V dané aritmetické posloupnosti platí 𝑎1 = 8, 𝑑 = 2.
31. V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, jestliže platí: 𝑠10 = 𝑠11 = 165. Řešení: a10 a1 9d , a11 a1 10d a tedy: 10 s10 a1 a10 5 a1 a1 9d 5 2a1 9d 165 2 11 11 11 s11 a1 a11 a1 a1 10d 2a1 10d 165 2 2 2 5 2a1 9d 165 11 2a1 10d 165 2 2a1 9d 33
11a1 55d 165 2a1 9d 33
a1 5d 15 / 2 2a1 9d 33 2a1 10d 30 d 3 d 3 2a1 9 3 33 2a1 33 27 60 a1 30 V dané aritmetické posloupnosti platí 𝑎1 = 30, 𝑑 = −3.
Stránka 1280
Posloupnosti a řady 32. V aritmetické posloupnosti je první člen a diference 𝑎1 = 10, 𝑑 = −2. Vypočítejte člen, který je roven jedné šestině součtu všech členů předchozích. Řešení: Pro hledaný člen posloupnosti musí platit, že an
1 n 1 a1 n 1 d a1 an1 6 2 1 n 1 a1 n 1 d a1 a1 n 2 d 6 2 1 n 1 a1 n 1 d 2a1 n 2 d 6 2 n 1 a1 n 1 d 2a1 n 2 d 12 n 1 10 n 1 2 20 n 2 2 12 n 1 10 2n 2 20 2n 4 12 n 1 12 2n / 12 24 2n 12 144 24n n 1 24 2n
1 sn 1 6
144 24n 24n 24 2n 2n 2 50n 168 0 n 2 25n 84 0 D 625 336 289 D 17 25 17 n1,2 n1 21, n2 4 2 Jedná se tedy o čtvrtý a dvacátý první člen posloupnosti: 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑑 = 10 − 6 = 4, 𝑎21 = 𝑎1 + 20𝑑 = 10 − 40 = −30
Stránka 1281
Posloupnosti a řady 33. V geometrické posloupnosti s prvním členem 𝑎1 = 36 určete kvocient tak, aby platilo, že s2 252 . Řešení: Pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti platí, že sn a1 s2 36
1 qn . Tedy: 1 q
1 q2 252 1 q
1 q2 7 1 q 1 q2 7 0 1 q 1 q 2 7 7q 0 1 q q 2 6 7q 0 1 q q 2 7q 6 0 1 q Rozložením čitatele získáváme: q 1 q 6 0 1 q q6 0
q6 Řešením této nerovnice je: q , 6 34. V geometrické posloupnosti s kvocientem 𝑞 = 2 vypočítejte, kolik členů dává součet 186, jestliže poslední sčítanec je 𝑎𝑛 = 96. Řešení:
186 a1
1 2n 1 2n a1 a1 1 2n 1 2 1
Jelikož:
an a1q n 1 a1
an q n1
Pak:
Stránka 1282
Posloupnosti a řady 186
an 96 1 2n 2 n 1 1 2n n 1 q q
/ 2 n 1
186 2n 1 96 1 2n 186 n 2 96 96 2n 2 93 2n 96 96 2n 93 2n 96 2n 96 2n 93 96 96
3 2n 96 22 32 n 5 Příslušný součet dává právě 5 členů dané geometrické posloupnosti. 35. V geometrické posloupnosti platí s6 9s3 . Určete 𝑎1 , 𝑞. Řešení:
1 q6 1 q3 9a1 9s3 1 q 1 q Po úpravě: 1 q6 1 q3 9 1 q 1 q s6 a1
1 q 6 9 1 q 3 1 q 6 9 9q 3 q 6 9q 3 8 0 q 6 9q 3 8 0 Rovnici řešíme pomocí substituce q3 u u 2 9u 8 0 D 81 32 49, D 7 97 u1,2 u1 8, u2 1 2 Návratem k substituci získáme kořeny původní rovnice: q 3 8 q1 2
q 3 1 q1 1 𝑞 3 = 8 ⟹ 𝑞1 = 2 𝑞 3 = 1 ⟹ 𝑞2 = 1 Druhý kořen však nevyhovuje podmínce 𝑞 ≠ 1. Jediným kořenem je tedy: 𝑞 = 2. Hodnota prvního členu posloupnosti pak může nabývat: 𝑎1 ∈ 𝑅 − {0}. 36. První dva členy aritmetické posloupnosti jsou a1 57, a2 54 . a) Vypočítejte šedesátý člen posloupnosti. b) Vypočítejte součet prvních 40 členů posloupnosti. c) Kolik prvních členů posloupnosti je potřeba sečíst aby byl součet roven 462?
Stránka 1283
Posloupnosti a řady Řešení: Nejdříve vypočítáme diferenci aritmetické posloupnosti: d a2 a1 54 57 3 Pro šedesátý člen posloupnosti platí: a60 a1 59d 57 59 3 120 Pro součet prvních 40 členů aritmetické posloupnosti je potřeba nejdříve vypočítat čtyřicátý člen posloupnosti: a40 a1 39d 57 39 3 60 Pro součet pak platí: n 40 sn a1 an s40 57 60 60 2 2 Pro výpočet počtu členů, které je potřeba sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti n n sn a1 an a1 a1 n 1 d 2 2 n n 462 57 57 n 1 3 117 3n 2 2 2 924 117n 3n 3n2 117n 924 0 D 13689 11088 2601 117 51 D 51 n1,2 n1 28, n2 11 6 Součet prvních 11, respektive prvních 28 členů je roven 462. 37. Dva členy aritmetické posloupnosti jsou a3 34, a10 20 . a) Vypočítejte dvacátý člen posloupnosti. b) Vypočítejte součet prvních 50 členů posloupnosti. c) Kolik prvních členů posloupnosti je potřeba sečíst aby byl součet roven -360. Řešení: Nejdříve vypočítáme diferenci aritmetické posloupnosti a10 a3 7d 7d a10 a3 20 34 14 d 2 Pro dvacátý člen posloupnosti platí: a20 a3 17d 34 17 2 0 Pro součet prvních 50 členů aritmetické posloupnosti je potřeba nejdříve vypočítat první a padesátý člen posloupnosti a1 a3 2d 37 2 2 41 a50 a20 30d 0 30 2 60 Pro součet pak platí: n 50 sn a1 an s50 41 60 475 2 2 Pro výpočet počtu členů, které je potřeba sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti
Stránka 1284
Posloupnosti a řady n n a1 an a1 a1 n 1 d 2 2 n n 360 41 41 n 1 2 84 2n 2 2 2 720 84n 2n 2n2 84n 720 0 D 7056 5760 1296 84 36 D 36 n1,2 n1 30, n2 12 4 Součet prvních 30, respektive prvních 12 členů je roven -360. sn
38. Dva členy aritmetické posloupnosti jsou a16 12, a22 78 . a) Vypočítejte stý člen posloupnosti. b) Vypočítejte součet prvních 1000 členů posloupnosti. c) Kolik prvních členů posloupnosti je potřeba sečíst aby byl součet roven 10290? Řešení: Nejdříve vypočítáme diferenci aritmetické posloupnosti: a22 a16 6d 6d a22 a16 78 12 66 d 11 Pro stý člen posloupnosti platí: a100 a22 78d 78 78 11 936 Pro součet prvních 1000 členů aritmetické posloupnosti je potřeba nejdříve vypočítat první a tisící člen posloupnosti: a1 a16 15d 12 15 11 153 a1000 a1 999d 153 999 11 10836 Pro součet pak platí: n 1000 sn a1 an s1000 153 10836 5341500 2 2 Pro výpočet počtu členů, které je potřeba sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti n n sn a1 an a1 a1 n 1 d 2 2 n n 10290 153 153 n 111 317 11n 2 2 2 20580 317n 11n 11n2 317n 20580 0 D 100489 905520 1006009 317 1003 686 D 1003 n1,2 n1 120, n2 11 11 Druhý kořen kvadratické rovnice nemá smysl, neboť n N . Součet prvních 120 členů posloupnosti je roven 10290. 39. Dva členy aritmetické posloupnosti jsou a8 14, a20 8 . a) Vypočítejte třicátý člen posloupnosti. b) Vypočítejte součet prvních 15 členů posloupnosti. c) Kolik prvních členů posloupnosti je potřeba sečíst aby byl součet roven -255?
Stránka 1285
Posloupnosti a řady Řešení: Nejdříve vypočítáme diferenci aritmetické posloupnosti: 1 a20 a8 12d 12d a20 a8 8 14 6 d 2 Pro třicátý člen posloupnosti platí: 1 a30 a20 10d 8 10 3 2 Pro součet prvních 15 členů aritmetické posloupnosti je potřeba nejdříve vypočítat první a patnáctý člen posloupnosti: 1 a1 a8 7d 14 7 17,5 2 1 a15 a1 14d 17,5 14 10,5 2 Pro součet pak platí n 15 sn a1 an s15 17,5 10,5 210 2 2 Pro výpočet počtu členů, které je potřeba sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti: n n sn a1 an a1 a1 n 1 d 2 2 n 1 n 255 17,5 17,5 n 1 35,5 0,5n 2 2 2 510 35,5n 0,5n2 1020 71n n2
n2 71n 1020 0 D 5041 4080 961 71 31 D 31 n1,2 n1 101, n2 20 2 Součet prvních 20, respektive prvních 101 členů je roven -255. 40. Dva členy aritmetické posloupnosti jsou a9 7, a17
13 . 3
a) Vypočítejte třináctý člen posloupnosti b) Vypočítejte součet prvních dvaceti členů posloupnosti c) Kolik prvních členů posloupnosti je potřeba sečíst aby byl součet roven
767 . 6
Řešení: Nejdříve vypočítáme diferenci aritmetické posloupnosti: 13 34 17 a17 a9 8d 8d a17 a9 7 d 3 3 12 Pro třináctý člen posloupnosti platí: 17 4 a13 a9 4d 7 4 12 3 Pro součet prvních 20 členů aritmetické posloupnosti je potřeba nejdříve vypočítat první a dvacátý člen posloupnosti:
Stránka 1286
Posloupnosti a řady 17 55 12 3 55 17 103 a20 a1 19d 19 3 12 12 Pro součet pak platí: n 20 55 103 195 sn a1 an s20 2 2 3 12 2 a1 a9 8d 7 8
Pro výpočet počtu členů, které je potřeba sečíst, vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvních n-členů aritmetické posloupnosti: n n sn a1 an a1 a1 n 1 d 2 2 767 n 55 55 17 n 110 17 17 n 457 17 n 1 n n 6 2 3 3 12 2 3 12 12 2 12 12 457 17 767 n n2 3068 457n 17n2 4 4 2 17n 457n 3068 0 D 208849 208624 225 457 15 236 D 15 n1,2 n1 , n2 13 34 17 767 Součet prvních 13 členů posloupnosti je roven , neboť první kořen nedává smysl. 6 41. Dva členy geometrické posloupnosti jsou a1 5, a2 25 . a) Vypočítejte sedmý člen posloupnosti b) Vypočítejte součet prvních 5 členů posloupnosti c) Kolik prvních členů posloupnosti je potřeba sečíst aby byl součet roven 12207030. Řešení: Nejdříve vypočítáme kvocient geometrické posloupnosti: a 25 a2 a1q q 2 5 a1 5 Pro sedmý člen posloupnosti platí: a7 a1q6 5 56 78125 Pro součet prvních 5 členů geometrické posloupnosti platí: qn 1 55 1 3124 sn a1 s5 5 5 3905 q 1 5 1 4 Pro výpočet počtu členů, které je potřeba sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvních n-členů geometrické posloupnosti: qn 1 sn a1 q 1
5n 1 5 1 48828120 5 5n 1
12207030 5
Stránka 1287
Posloupnosti a řady 9765624 5n 1 5n 9765625 n log5 9765625 n 10 Součet prvních 10 členů geometrické posloupnosti je roven 12207030. 42. Dva členy geometrické posloupnosti jsou a2 12, a5
3 . 2
a) Vypočítejte desátý člen posloupnosti. b) Vypočítejte součet prvních 8 členů posloupnosti. c) Kolik prvních členů posloupnosti je potřeba sečíst aby byl součet roven 45? Řešení: Nejdříve vypočítáme kvocient geometrické posloupnosti a první člen: 3 a 3 1 1 1 a5 a2 q 3 q 3 5 2 q 3 a2 12 24 8 8 2
a2 12 24 1 q 2 Pro desátý člen posloupnosti platí: a1
8
12 3 1 a10 a2 q 12 2 256 64 Pro součet prvních 8 členů geometrické posloupnosti platí: 8 1 1 1 1 qn 1 255 12240 765 2 sn a1 s8 24 24 256 48 1 1 q 1 256 256 16 1 2 2 Pro výpočet počtu členů, které je potřeba sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvních n-členů geometrické posloupnosti: qn 1 sn a1 q 1 8
n
1 1 2 45 24 1 1 2 1 n 45 24 1 2 2 n 1 45 48 1 2 n
n
4
n
45 1 1 1 1 1 1 48 16 2 2 2 2 n4 Součet prvních 4 členů geometrické posloupnosti je roven 45. Stránka 1288
Posloupnosti a řady 43. Dva členy geometrické posloupnosti jsou a5 1, a7 4 . a) vypočítejte sedmý člen posloupnosti b) vypočítejte součet prvních 10 členů posloupnosti Řešení: Nejdříve vypočítáme kvocient geometrické posloupnosti a první člen: a 4 a7 a5q 2 q 2 7 4 q 4 q 2, q´ 2 a5 1
a5 1 1 4 4 q 2 16 a 1 1 a1´ ´45 4 q 2 16 Pro sedmý člen posloupnosti platí: a1
a7 a5q 2 1 2 4, a7´ a5q´2 1 2 4 2
2
Pro součet prvních 10 členů geometrické posloupnosti platí: qn 1 1 210 1 1 sn a1 s10 1023 64 q 1 16 2 1 16
1 2 1 1 1023 1 341 s 341 16 2 1 16 3 16 16 10
´ 10
44. Dva členy geometrické posloupnosti jsou a3 5, a6
5 . 27
a) vypočítejte čtvrtý člen posloupnosti b) vypočítejte součet prvních 12 členů posloupnosti Řešení: Nejdříve vypočítáme kvocient geometrické posloupnosti a první člen: 5 a 5 1 1 1 1 a6 a3q 3 q 3 6 27 q 3 a3 5 27 5 27 27 3
a3 5 5 45 2 2 1 q 1 9 3 Pro čtvrtý člen posloupnosti platí: a1
3
45 5 1 a4 a1q 45 27 3 3 3
Pro součet prvních 12 členů geometrické posloupnosti platí: 12 1 1 531440 1 1 n q 1 71744400 3 sn a1 s12 45 45 531441 45 531441 33, 75 1 4 4 q 1 2125764 1 3 3 3
Stránka 1289
Posloupnosti a řady 45. Dva členy geometrické posloupnosti jsou a2 2, a7 18 3 . a) vypočítejte patnáctý člen posloupnosti b) vypočítejte součet prvních 17 členů posloupnosti Řešení: Nejdříve vypočítáme kvocient geometrické posloupnosti a první člen: a 18 3 a7 a2 q5 q5 7 9 3 q 5 9 3 5 243 3 a2 2
a2 2 2 3 q 3 3 Pro patnáctý člen posloupnosti platí: 14 2 3 2 3 4374 3 a15 a1q14 3 2187 1458 3 3 3 3 a1
Pro součet prvních 17 členů geometrické posloupnosti platí:
qn 1 2 3 sn a1 s17 q 1 3 s17
39366 2 3
3
3 1
3 1
3
17
1
3 1
2 3 6561 3 1 3 3 1
39366 2 3 3 6561 6 3
46. Klády skládáme na sebe do 12 vrstev (viz obrázek). Poslední vrstva obsahuje 120 klád. Kolik klád můžeme takto naskládat na sebe?
Řešení: Z obrázku je vidět, že poslední vrstva klád má 120 kusů, předposlední vrstva 119 kusů, atd. Jedná se tedy o aritmetickou posloupnost s diferencí d = 1. Počet členů této posloupnosti je 12, jelikož se klády skládají do 12 řad. Řešíme tedy součet prvních 12 členů aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a12 120, d 1 Pro první člen posloupnosti platí: a1 a12 11d 120 11 109 Pro součet prvních 12 členů je pak: n 12 sn a1 an s12 109 120 1374 2 2 Celkový počet klád je 1374.
Stránka 1290
Posloupnosti a řady 47. Střecha má tvar čtyřbokého jehlanu se čtvercovou základnou. Počet střešních tašek, které se nachází na základně jednoho ze čtyř trojúhelníků, je 258. V každé následující řadě je o jednu tašku méně. Vypočítejte počet řad střešních tašek a celkový počet tašek na střeše.
Řešení: Z obrázku je vidět, že poslední vrstva střešních tašek má 258 kusů, předposlední vrstva 257 kusů, atd. Jedná se tedy o aritmetickou posloupnost s diferencí d = 1. Počet členů této posloupnosti je n, jelikož jsou tašky poskládány do n řad. Pro tuto posloupnost platí: a1 1, an 258, d 1 Mezi prvním a n tým členem platí: an a1 n 1 d 258 1 n 11
258 1 n 1 n Jak bylo zřejmé již z obrázku, počet řad tašek je roven 258. Pro součet prvních 258 členů je pak: n 258 sn a1 an s258 1 258 33411 2 2 Jelikož je střecha tvořena čtyřmi takovými trojúhelníky, je celkový počet tašek na střechu roven: x 4 33411 133644 . 1 3 2n . Vypočítejte 4 a1 , d . Dále vypočítejte součet prvních deseti členů a součet druhých deseti členů posloupnosti.
48. Aritmetická posloupnost je dána vzorcem pro n – tý člen an
Řešení: Pro první člen posloupnosti platí: 1 1 a1 3 2 4 4 Diferenci aritmetické posloupnosti vypočítáme z prvního a druhého členu posloupnosti:
1 1 1 1 2 1 3 4 d a2 a1 4 4 4 4 4 2 Pro součet prvních deseti členů posloupnosti platí: 1 17 1 1 9 1 18 a10 a1 9d 9 4 4 2 4 2 4 4 a2
s10
10 1 17 16 20 a1 a10 5 5 2 4 4 4
Stránka 1291
Posloupnosti a řady Pro součet druhých deseti členů je potřeba vypočítat dvacátý člen posloupnosti: 1 37 1 1 19 1 38 a20 a1 19d 19 4 4 2 4 2 4 4
s1020
10 17 37 54 135 a10 a20 5 5 2 2 4 4 4
49. Určete, jakou podmínku musí splňovat první člen aritmetické posloupnosti s diferencí d = 5, aby platilo s20 1000 . Řešení: Pro součet aritmetické posloupnosti platí, že n sn a1 an 2 n 1000 a1 a1 n 1 d 2 20 1000 2a1 20 1 5 2 1000 10 2a1 95
1000 20a1 950 20a1 50 50 5 20 2 Pro první člen takto zadané aritmetické posloupnosti platí uvedená nerovnost, tedy: 50 5 a1 . 20 2 a1
50. Určete součet všech přirozených 2 5 x 15 50 x 10 . 12 x 5 3 3
čísel,
která
vyhovují
nerovnici
Řešení: Nejdříve vyřešíme tuto nerovnici: 2 5 x 15 50 x 10 12 x 5 3 3 10 5 x 15 60 x 50 x 500 / .3 3 3 180 x 10 5 x 15 150 x 1500 25 x 1475 x 59 První člen posloupnosti je tedy a1 1 , poslední člen posloupnosti a58 58 . Diference této 58 aritmetické posloupnosti je d = 1. Pro součet platí, že s58 1 58 1711 . 2
Stránka 1292
Posloupnosti a řady 51. Určete součet všech sudých čísel, která vyhovují nerovnici x2 53x 150 0 . Řešení: Nejdříve vyřešíme příslušnou nerovnici: x 2 53x 150 0 D 2809 600 2209
53 47 x1 50, x2 3 2 Kvadratický trojčlen rozložíme na tvar x 50 x 3 0 D 47 x1,2
Pokud si uvědomíme, že graf kvadratické funkce f x x 2 53x 150 protíná osu x v bodech 3 a 50 a ve svém vrcholu nabývá minima je zřejmé, že této nerovnici vyhovují x 3,50 . Nejmenší sudé číslo z tohoto intervalu je prvním členem posloupnosti a1 4 , poslední člen posloupnosti a24 50 . Počet všech sudých čísel v tomto intervalu je 24. Pro součet pak platí: 28 s28 4 50 756 . 2 52. Poločas rozpadu jader izotopu 223Fr je 22 minut. Kolik tohoto izotopu zůstane bez přeměny z 1 mg po 11 hodinách? Řešení: Z 1 mg radioaktivního izotopu francia zbude za 22 minut 0,5 mg. Za dalších 22 minut to bude: 1 1 1 mg 2 2 4 Za dalších 22 minut: 1 1 1 mg 4 2 8 Číselné hodnoty hmotnosti radioaktivního izotopu tvoří geometrickou posloupnost 1 s prvním členem a1 1 a kvocientem q . Poločas rozpadu (22 minut) je v 11 hodinách 2 obsažen třicetkrát. Znamená to, že posledním členem této geometrické posloupnosti bude člen a30 . Platí: 29
1 a30 a1q 1 1,863 109 mg 2 Po 11 hodinách zbyde z radioaktivního izotopu francia 1,863 109 mg . 29
53. Poločas rozpadu jader izotopu 60Co je 5,27 let. Kolik tohoto izotopu zůstane bez přeměny ze 100 mg po 1054 letech? Řešení: Ze 100 mg radioaktivního izotopu kobaltu zbude za 5,27 let 50 mg. Za dalších 5,27 let to bude: 1 50 25 mg 2 Za dalších 5,27 let 1 25 12,5 mg 2
Stránka 1293
Posloupnosti a řady Číselné hodnoty hmotnosti radioaktivního izotopu tvoří geometrickou posloupnost 1 s prvním členem a1 100 a kvocientem q . Poločas rozpadu (5,27 let) je v 1054 2 letech obsažen dvěstěkrát. Znamená to, že posledním členem této geometrické posloupnosti bude člen a200 . Platí: 199
1 a200 a1q 100 1, 245 1058 mg 2 Po 1054 letech zbyde z radioaktivního izotopu francia 1,863 109 mg . 199
54. Poločas rozpadu jader izotopu přeměny z 1 kg po 3 minutách?
Th je 0,9 sekund. Kolik tohoto izotopu zůstane bez
223
Řešení: Z 1 kg radioaktivního izotopu thoria zbude za 0,9 s 500 mg. Za dalších 0,9 s to bude: 1 500 250 mg 2 Za dalších 0,9 s 1 250 125 mg 2 Číselné hodnoty hmotnosti radioaktivního izotopu tvoří geometrickou posloupnost 1 s prvním členem a1 1000 a kvocientem q . Poločas rozpadu (0,9 s) je ve 3 minutách, 2 tedy ve 180 sekundách obsažen dvěstěkrát. Znamená to, že posledním členem této geometrické posloupnosti bude člen a200 . Platí: 199
1 a200 a1q199 1000 1, 245 1057 mg 2 Po 1054 letech zbyde z radioaktivního izotopu francia 1,245 1057 mg .
Stránka 1294
Posloupnosti a řady 13.1 Limita posloupnosti 1. Určete limitu dané posloupnosti. Rozhodněte, zda se jedná o posloupnost konvergentní nebo divergentní.
n 2 2n 3 f) 2 7n 5 n 1
5 a) n n 1 b)
5n1
8n5 5n3 1 g) 5 3n 2n 2 n 1
4n 3 c) 3n n 1 d)
3
5n6 4n7 5n h) 2 7 5n 2n n 1
n n 1
5n 2 2n 3 e) 2 3n n 2 n 1
i)
j)
log n
n2
n 1 2 n 1
Řešení: a) 5 n n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: 5 1 lim 5lim 0 n n n n neboť platí: 1 lim 0 n n
5 Posloupnost má hodnotu limity 0 a tedy je konvergentní. n n 1 b)
5n1
Jedná se o posloupnost konstantní. Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti lim 5 5 n
Posloupnost 5 n 1 má hodnotu limity 5 a tedy je konvergentní.
c)
4n 3 3n n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: 4n 3 4n 3 4 1 4 4 4n 3 lim lim lim lim lim lim 0 n n n n n n 3n 3n 3n 3 n 3 3 3n 3n neboť platí: 1 lim 0 n n 4 4n 3 Posloupnost má hodnotu limity a tedy je konvergentní. 3 3n n 1
Stránka 1295
Posloupnosti a řady d)
3
n n 1
Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: lim 3n n
Neboť je zřejmé, že se hodnoty členů posloupnosti budou neustále zvyšovat. Posloupnost
3
n n 1
má tedy nevlastní limitu pro n a to . Jedná se tedy
o posloupnost divergentní. e)
5n 2 2n 3 2 3n n 2 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti tak, že vydělíme, každý člen ve vyjádření n-tého členu, n s největším exponentem: n2 n 1 1 1 5 2 2 2 3 52 3 5n 2 2n 3 n lim n n lim 5 5 lim 2 lim n 2 n n 3n n 2 n n n 1 n 3 1 2 1 n 3 3 3 2 2 2 n n n n n neboť platí: 1 lim 0 n n
5n 2 2n 3 5 Posloupnost 2 má hodnotu limity a tedy je konvergentní. 3 3n n 2 n 1
f)
n 2 2n 3 2 7n 5 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti tak, že vydělíme, každý člen ve vyjádření n-tého členu, n s největším exponentem: n2 n 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 2 n 2n 3 n n lim n n lim 1 1 lim lim n 2 2 n n n n 7 1 n 1 7n 5 7 75 7 2 5 n n n neboť platí: 1 lim 0 n n
n 2 2n 3 1 Posloupnost má hodnotu limity a tedy je konvergentní. 2 7 7n 5 n 1
g)
8n5 5n3 1 5 3n 2n 2 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti tak, že vydělíme, každý člen ve vyjádření n-tého členu, n s největším exponentem: n5 n3 1 1 1 8 5 5 5 5 85 2 5 8n5 5n3 1 n n lim n n lim 8 8 lim 5 lim n5 n 3n 2n 2 n n n 1 n 3 2 1 2 1 n 3 3 3 5 2 5 2 5 n4 n5 n n n neboť platí:
Stránka 1296
Posloupnosti a řady 1 1 0, lim k 0, k N n n n n
lim
8n5 5n3 1 8 Posloupnost 5 má hodnotu limity a tedy je konvergentní. 3 3n 2n 2 n 1
h)
5n6 4n7 5n 2 7 5n 2n n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti tak, že vydělíme, každý člen ve vyjádření n-tého členu, n s největším exponentem: n6 n7 n 1 1 5 7 4 7 5 7 5 45 6 6 7 5n 4n 5n n lim 4 2 lim lim n 2 n 7 n lim n 2 7 n n n n 2 1 n n 5n 2n 5 5 2 5 7 2 7 n n n neboť platí: 1 1 lim 0, lim k 0, k N n n n n
5n6 4n7 5n Posloupnost má hodnotu limity 2 a tedy je konvergentní. 2 7 5n 2n n 1
i)
n2
n 1
Z několika prvních hodnot členů posloupnosti 3, 4 2, 5, 6, 7... vyplývá, že se jedná o posloupnost rostoucí a shora neomezená. Platí tedy: lim n 2 . n
Posloupnost
n2
n 1
má tedy nevlastní limitu pro n a to . Jedná se tedy o
posloupnost divergentní. j)
log n
2 n 1
Uvědomíme-li si, že funkce f x log x je funkcí rostoucí, pak také daná posloupnost musí být posloupností rostoucí. Z této informace a z hodnot prvních členů posloupností log1 0, log 2 0,3, log3 0, 48, log 4 0,6
lim log n2 n
Posloupnost log n2
n 1
má tedy nevlastní limitu pro n a to . Jedná se tedy
o posloupnost divergentní. 2. Určete limitu dané posloupnosti. Rozhodněte, zda se jedná o posloupnost konvergentní nebo divergentní.
2 6n 1 a) 3 2n 1 n 1
2 3n b) n 2 3 5 n 1
c)
n
5 15
n 1
Stránka 1297
Posloupnosti a řady
2 5 n 3 n d) n 2n 5 n4 n 1
e)
7
n 3 2 n 5
3n3 5 5 3n 1 h) 2 2 3 3 n 5n 2 n 1 4n
2n 3n i) n 3 n 1
n 1
5n 2 n f) n n 3 8 n 1
j)
n
2
5n 1
n 1
5 7 2 g) 2 3 2 2 1 n 2n n n 1 Řešení: a) 2 6n 1 3 2n 1 n 1 Vypočítáme limitu posloupnosti: 2 6n 1 3 1 2n 2 6n 1 3 6n lim lim lim lim n 6n 3 n 6n 3 n 3 2n 1 n 3 2n 1 n 1 1 2 2 1 2 n 02 n lim n lim lim n 1 n 2n 1 n 2 n 1 n 2 1 2 0 n n n 1 neboť platí, že lim 0 n n
2 6n 1 Posloupnost má hodnotu limity 1 a tedy je konvergentní. 3 2n 1 n 1
b)
2 3n n 2 3 5 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti tak, že vydělíme, každý člen ve vyjádření n-tého členu 3n . 2 3n 2 1 n n n n 23 0 1 1 lim 3 n 3 lim 3 lim x 2 3n 5 x x 5 2 23 5 2 n 20 n n 3 3 3 1 neboť platí, že lim n 0, a N n a
2 3n 1 Posloupnost má hodnotu limity a tedy je konvergentní. n 2 2 3 5 n 1
Stránka 1298
Posloupnosti a řady c)
n
5 15
n 1
Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: 1 lim n 5 15 lim 5 n 15 50 15 0 15 15 n n 1 neboť platí, že lim 0 n n
Posloupnost d)
n
5 15
n 1
má hodnotu limity 15 a tedy je konvergentní.
2 5 n 3 n n 2n 5 n4 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: 1 1 2 n n n n 25 3 2 200 5 3 lim lim lim lim n 2n 5 n 4 n n n n 1 2n 5 2n 5 0 2n 5 n n 4 2 0 lim n 0 x n 5 20 2 n n 1 1 neboť platí, že lim 0, lim n 0, a N n n n a
2 5 n 3 n Posloupnost má hodnotu limity 0 a tedy je konvergentní. n 2n 5 n4 n 1
e)
7
n 3 2 n 5
n 1
Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti:
lim 7 n
lim 7 n
n 3 2 n 5
1 15 2 2 n n
lim 7
2 n 2 5 n 6 n 15
n
lim 7
2 n 2 n 15
n
2 n2 n2 152 lim 7 n n n n 2
7 200 49
neboť platí, že lim n
1 1 0, lim k 0, k N n n n
Posloupnost 7 n 3 2 n 5
n 1
má hodnotu limity 49 a tedy je konvergentní.
Stránka 1299
Posloupnosti a řady f)
5n 2 n n n 3 8 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti tak, že vydělíme, každý člen ve vyjádření n-tého členu 8n . n n 5 2 5n 2 n n n 5n 2 n 8 8 00 0 8 8 lim n n lim n lim n n x 3 8 0 1 x 3 8 x 3 n 1 n 8 8 8
5n 2 n Posloupnost n n má hodnotu limity 0 a tedy je konvergentní. 3 8 n 1
g)
5 7 2 2 n 3 2n 2 n 2 1 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: 5 7 2 5 7 2 lim 2 3 2 2 1 lim 2 lim 3 2 lim 2 1 n n n n n 2n n n 2n n
2 0 3 0 0 1 6 1 1 neboť platí, že lim 0, lim k 0, k N n n n n 5 7 2 Posloupnost 2 3 2 2 1 má hodnotu limity 6 a tedy je n 2n n n 1 konvergentní. h)
3n3 5 5 3n 1 2 2 3 3 n 5n 2 n 1 4n Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: 3n3 5 5 3n 1 3n3 5 5 3n 1 lim 2 lim lim 2 2 3 3 2 3 3 n 4 n n 5n 2 n 4 n n n 5n 2
n3 5 n 1 5 1 1 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 5 n lim 2 5 n n lim n n3 lim 2 2 n3 n lim n 4 n n n 4 2 n n 2 n n2 1 5 5 3 n n3 n3 n3 n3 n3 3 0 00 20 3 2 6 0 1 50 1 1 neboť platí, že lim 0, lim k 0, k N n n n n 3
3n3 5 5 3n 1 Posloupnost 2 2 3 má hodnotu limity 6 a tedy je 3 n 5n 2 n 1 4n konvergentní.
Stránka 1300
Posloupnosti a řady i)
2n 3n n 3 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti:
2n 3n 2n 3n 2n 3n 2 lim lim lim lim lim1 0 1 1 n n n n n n n 3 3 3 n 3 n 3 n 3 n n
lim
2n 3n Posloupnost má hodnotu limity 1 a tedy je konvergentní. n 3 n 1
j)
n
2
5n 1
n 1
Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: 5n 1 5 1 lim n2 5n 1 lim n2 1 2 2 lim n2 1 2 1 0 0 n n n n n n n neboť platí: 1 1 lim 0, lim nk , lim k 0, k N n n n n n
Posloupnost n2 5n 1
n 1
má tedy nevlastní limitu pro n a to . Jedná se tedy
o posloupnost divergentní. 3. Určete limitu dané posloupnosti. Rozhodněte, zda se jedná o posloupnost konvergentní nebo divergentní.
7n 2 5n 3 a) 3n 4 n 1
2n sin n b) 3n 1 n 1
c)
n 2 2n n
d)
n
4n 2 2 n
n 1
3n5 5 2 2n n 1
e)
n 1
Řešení:
a)
7n 2 5n 3 3n 4 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: n 1 1 1 n 2 7 5 2 3 2 75 3 2 2 7n 5n 3 n n n n lim lim n lim lim n n n n 1 1 3n 4 3 4 n3 4 n n 700 3 0 neboť platí: 1 1 lim 0, lim nk , lim k 0, k N n n n n n
Stránka 1301
Posloupnosti a řady
7n 2 5n 3 Posloupnost má tedy nevlastní limitu pro n a to . Jedná 3n 4 n 1 se tedy o posloupnost divergentní.
b)
2n sin n 3n 1 n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: n sin n sin n 2 2 2n sin n n lim n 20 2 lim lim n n n n n 1 1 3n 1 30 3 3 3 n n n neboť platí: 1 sin n lim 0, lim 0 n n n n
2 2n sin n Posloupnost a tedy je konvergentní. má hodnotu limity 3 3n 1 n 1
c)
n 2 2n n
n 1
Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti pomocí rozšíření zlomkem:
lim
n
n 2 2n n lim
lim
n 2 2n n
n
n 2 2n n
n 2 2n n
n
lim
n
n 2 2n n
2n n 2n n 2
neboť platí: 1 lim 0 n n Posloupnost
lim
n 2 2n n
n 2 2n n
lim n
2
n
n 2 2n n
2
n n
n n n 2 2 2 n n n
n 1
n 2 2n
n 2
2
n 2 2n n
lim
n
2 1 2
1 1 n
lim n
n 2 2n n 2 n 2 2n n
2 2 1 1 0 1 2
má hodnotu limity 1 a tedy je konvergentní.
Stránka 1302
Posloupnosti a řady d)
n
4n 2 2 n
n 1
Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti pomocí rozšíření zlomkem:
lim n n
lim lim
n
4n 2 2 n lim 4n 2n 2n 2
4n 2 2n
n
4n 2 2n 2n
4n 2 2n 2n 4n 2 2n 2n
2n 2
2
4n 2 2n 2n
4n 2 2n 2n
4n 2 2n 2n
n
4n 2 2n 4n 2
e)
lim
2n
n 4n 2 2n 2n 4n 2 2n 2n n 4n 2 2n 2n n 2 2 2 2 1 n lim lim n 2 40 2 22 n2 n n n 4 2 1 2 4 2 2 2 2 n n n n neboť platí: 1 lim 0 n n 1 Posloupnost n 4n 2 2 n má hodnotu limity a tedy je konvergentní. n 1 2 n
lim
lim
3n5 5 2 2n n 1 Nejdříve vypočítáme příslušnou limitu posloupnosti: 3n5 5 3 5 1 3 5 lim lim n3 lim 2 0 2 n 2n 2 n 2 n n 2 2 neboť platí: 1 lim nk , lim k 0, k N n n n
3n5 5 Posloupnost má tedy nevlastní limitu pro n a to . Jedná se tedy 2 2n n 1 o posloupnost divergentní.
Stránka 1303
Posloupnosti a řady 13. Řady 13.1 Nekonečná geometrická řada 1. Danou nekonečnou geometrickou řadu zapište pomocí sumy. a) 5 25 125 625 ... 1 2 2 2 2 ... g) b) 3 9 27 81 ... 3 27 243 1 1 1 5 5 5 5 25 c) y y y y ... ... h) 2 4 8 7 7 7 49 49 7 1 1 1 8 y ... d) y 2 y 4 y 6 1 1 1 1 i) 2 3 4 ... 3 9 27 e e e e e) x2 x3 y x 4 y 2 x5 y3 ... j) 3xy 2 27 x3 y 4 243x5 y 6 ... f) 1 2 2 2 2 4 ... Řešení: a) 5 25 125 625 ... Jelikož se jedná o mocniny čísla 5, lze danou nekonečnou geometrickou řadu zapsat jako:
5 25 125 625 ... 5n . n 1
b)
3 9 27 81 ... Jelikož se jedná o mocniny čísla 3, u kterých se střídá znaménko lze danou nekonečnou geometrickou řadu zapsat jako:
3 9 27 81 ... 1
n 1
3n .
n 1
c)
y
1 1 1 y y y ... 2 4 8
Jelikož se jedná o mocniny čísla
1 vynásobené neznámou y, lze danou nekonečnou 2
geometrickou řadu zapsat jako: 1 1 1 1 y y y ... 2 4 8 n 1 2 1 1 1 8 y2 y4 y6 y ... 3 9 27
n 1
y
d)
y.
1 vynásobené sudými mocninami neznámé y se 3 střídajícími znaménky, lze danou nekonečnou geometrickou řadu zapsat jako:
Jelikož se jedná o mocniny čísla
n 1
1 1 1 8 1 y y4 y6 y ... y 2 n . 3 9 27 n 1 3 2 3 4 2 5 3 e) x x y x y x y ... Jelikož se jedná o mocniny výrazů x a y, lze danou nekonečnou geometrickou řadu zapsat jako: 2
x 2 x3 y x 4 y 2 x5 y 3 ... x n1 y n1 . n 1
Stránka 1304
Posloupnosti a řady f)
1 2 2 2 2 4 ... Jelikož se jedná o mocniny čísla 2 se střídajícími se znaménky, lze danou nekonečnou geometrickou řadu zapsat jako:
1 2 2 2 2 4 ... 1
n
n 1
g)
2
n 1
.
1 2 2 2 2 ... 3 27 243 Jelikož se jedná o mocniny čísla
2 vynásobené lichými mocninami čísla
1 , lze 3
danou nekonečnou geometrickou řadu zapsat jako: 1 2 2 1 2 2 ... 3 27 243 n 1 3
h)
2 n 1
n
2 .
5 5 5 5 25 ... 7 7 7 49 49 7 Jelikož se jedná o mocniny čísla 5 vydělené příslušnými mocninami čísla danou nekonečnou geometrickou řadu zapsat jako: 5 5 5 5 25 ... 7 7 7 49 49 7 n 1
i)
5 7
7 , lze
n
n 1
.
1 1 1 1 2 3 4 ... e e e e Jelikož se jedná o záporné mocniny čísla e , respektive kladné mocniny čísla
1 se e
střídajícími se znaménky, lze danou nekonečnou geometrickou řadu zapsat jako: n
j)
1 1 1 1 n n 1 2 3 4 ... 1 e n 1 . e e e e e n 1 n 1 3xy 2 27 x3 y 4 243x5 y 6 ... Jelikož se jedná o liché mocniny výrazu 3x vynásobené sudými mocninami y, lze danou nekonečnou geometrickou řadu zapsat jako:
3xy 2 27 x3 y 4 243x5 y 6 ... 3x
2 n 1
y 2n .
n 1
2. Danou geometrickou řadu, která je zapsána pomocí sumy, rozepište pomocí součtů. Určete první člen a kvocient. n 1 1 a) x 2 n 1 e) 2 h) log n x x n 1 n 1 n 1 n 1 2n 1 1 y 2x b) n 1 f) i) n 1 3 yn n 1 n 1 3 n 1 n 2 c) 4 2 x 1 5 g) n 1 n 1 3 n n d) 1 x 4
n 1
Stránka 1305
Posloupnosti a řady Řešení: a)
x
2 n 1
n 1
Nejdříve řadu rozepíšeme pomocí součtů:
x
2 n 1
x x3 x5 x 7 ...
n 1
První člen nekonečné geometrické řady je a1 x . Pro kvocient řady platí:
x3 x2 . x b) 1 n 1 n 1 3 Nejdříve řadu rozepíšeme pomocí součtů: 1 1 1 1 1 ... n 1 3 9 27 n 1 3 První člen nekonečné geometrické řady je a1 1 . Pro kvocient řady platí: 1 1 q 3 . 1 3 c) n 4 2 x 1 q
n 1
Nejdříve řadu rozepíšeme pomocí součtů:
4 2 x 1
n
4 2 x 1 4 2 x 1 4 2 x 1 ... 2
3
n 1
První člen nekonečné geometrické řady je a1 4 2 x 1 . Pro kvocient řady platí:
4 2 x 1 q 2 x 1 . 4 2 x 1 2
d)
1 x 4 n
n
n 1
Nejdříve řadu rozepíšeme pomocí součtů: 1 1 1 n n ... 1 x 4 2 x 4 x 4 x 4 3 n 1 První člen nekonečné geometrické řady je a1
1 . Pro kvocient řady platí: x4
1
x 4 q
2
x4
1 . x4
1 x 4 x4 n 1 1 e) 2 x n 1 Nejdříve řadu rozepíšeme pomocí součtů:
2
Stránka 1306
Posloupnosti a řady
2
n 1
n 1
1 1 2 2 2 2 ... x x x x x
První člen nekonečné geometrické řady je a1
1 . Pro kvocient řady platí: x
2 x 2 q x 2. 1 x x f)
1 y
2n
yn Nejdříve řadu rozepíšeme pomocí součtů: n 1
1 y
2n
yn
n 1
1 y y
2
1 y y2
4
1 y
6
y3
...
První člen nekonečné geometrické řady je a1
1 y
1 y y
2
. Pro kvocient řady platí:
4
1 y y 1 y q 2 2 y 1 y 1 y y 2 4
y2
2
.
y g)
n 1
2 5 n 1 3 Nejdříve řadu rozepíšeme pomocí součtů:
n 1
2 4 8 2 5 5 5 ... 5 5 3 3 3 3 n 1 3 První člen nekonečné geometrické řady je a1 5 . Pro kvocient řady platí: 2 5 3 2 . q 5 3
h)
log
n
x
n 1
Nejdříve řadu rozepíšeme pomocí součtů:
1 1 1 x log x log 4 x log 6 x ... log x log x log x ... 2 4 6 n 1 1 První člen nekonečné geometrické řady je a1 log x . Pro kvocient řady platí: 2 1 log x 1 4 q . 1 log x 2 2
log
2n
Stránka 1307
Posloupnosti a řady i)
n 1
2x n 1 3 Nejdříve řadu rozepíšeme pomocí součtů:
n 1
2x 2 x 22 x 23 x 24 x 1 ... 3 9 27 81 n 1 3 První člen nekonečné geometrické řady je a1 1 . Pro kvocient řady platí:
2x 2x . q 3 1 3
3. U dané nekonečné geometrické řady určete první člen a kvocient. Určete, zda je daná řada konvergentní nebo divergentní. V případě konvergence určete součet.
1 a) n 1 4
b)
Řešení: a)
2 d) n 1 3
2 2
n 1
5n
n
n
e)
5
n 1
c)
n
n 1
n
x 2 1
n
n 1
x
1 n 1 4 Pro první člen nekonečné geometrické řady dosadíme za n 1 a tedy: 1 a1 4 Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: n 1 1 1 4 q n 4 1 4 Aby daná nekonečná geometrická řada byla konvergentní a měla součet, musí platit: q 1
Tato nerovnost je splněna a řada je tedy konvergentní. Pro součet platí: 1 1 a 1 1 1 s 1 4 4 . 4 1 q 1 1 3 3 4 4
Stránka 1308
Posloupnosti a řady b)
5
n
n 1
Pro první člen nekonečné geometrické řady dosadíme za n 1 a tedy: 1 a1 5 Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
5 q 5
n
n 1
5
n n 1
5
1
Aby daná nekonečná geometrická řada byla konvergentní a měla součet, musí platit: q 1 Tato nerovnost je splněna a řada je tedy konvergentní. Pro součet platí: 1 1 a 1 5 1 5 1 5 5 1 1 s 1 1 q 1 1 5 5 1 5 5 1 5 1 5 1 5 5
c)
2 2
5 1 5 1 . 5 1 4
n 1
x 5n Pro první člen nekonečné geometrické řady dosadíme za n 1 a tedy: 1 a1 x 5 Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: 2 2 x 2 2 5 2 2 25 q x 1 25 x 5 x 5 Aby daná nekonečná geometrická řada byla konvergentní a měla součet, musí platit: q 1 Tato nerovnost je splněna, a řada je tedy konvergentní. Pro součet platí: 1 1 x x a 2 2 x 5 x 1 s 1 5 5 . 5 1 q 2 2 52 2 5 52 2 52 2 1 5 5 n 1
Stránka 1309
Posloupnosti a řady d)
e)
n
2 x n 1 3 Pro první člen nekonečné geometrické řady dosadíme za n 1 a tedy: 2 a1 x 3 Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: 2 2 x 2 3 q 3 2 x 3 Aby daná nekonečná geometrická řada byla konvergentní a měla součet, musí platit: q 1 Tato nerovnost je splněna a řada je tedy konvergentní. Pro součet platí: 2 2 x x a1 2 2 1 s 3 3 3 x 2 x. 1 3 1 q 1 2 3 3 3
2 1
n 1
n
Pro první člen nekonečné geometrické řady dosadíme za n 1 a tedy: 1 a1 2 1 Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: 1 q
2 1
1
2 1
2
1 2 1
Aby daná nekonečná geometrická řada byla konvergentní a měla součet, musí platit: q 1 Tato nerovnost není splněna a řada je tedy divergentní a nemá součet. 4. Určete součet nekonečné geometrické řady:
1 a) n 1 3
n
2 b) 3 n 1
Řešení: a)
2 c) n 1 5
n
34 d) n 1 5
n
n
n
1 n 1 3 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
Stránka 1310
Posloupnosti a řady
n
1 1 1 1 ... 3 9 27 n 1 3 Pro kvocient této nekonečné geometrické řady platí: 1 1 q 9 1 3 3 Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit:
q 1
1 1 3
Tato nerovnost je splněna a nekonečná geometrická řada má tedy součet: 1 1 a1 1 s 3 3 1 q 1 1 2 2 3 3 b)
2 3 n 1
n
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: n
2 4 8 2 ... 3 3 3 3 3 n 1
Pro kvocient této nekonečné geometrické řady platí: 4 4 3 2 3 q 3 2 6 3 3 Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit:
q 1
2 3 1 3
Tato nerovnost není splněna a řada tedy nemá součet. c)
n
2 n 1 5 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
n
2 2 2 2 2 ... 5 25 125 n 1 5 Pro kvocient této nekonečné geometrické řady platí: 2 2 5 2 q 25 2 25 2 5 2 5 Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit: 2 q 1 1 5 2
Stránka 1311
Posloupnosti a řady Tato nerovnost je splněna a nekonečná geometrická řada má tedy součet: 2 2 a 2 5 2 2 5 5 s 1 2 1 q 1 5 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 5 2 d)
n
34 n 1 5 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
n
34 5 n 1
3
4 5
4 3
5
2
4 5 5
...
Pro kvocient této nekonečné geometrické řady platí:
4 3
2
4 3
2
5 34 5 5 q 3 5 34 5 4 5 Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit: 3
q 1
4 5 1 5
Tato nerovnost je splněna a nekonečná geometrická řada má tedy součet: 3 3 4 4 3 3 a 4 5 53 4 4 5 5 s 1 3 3 3 3 1 q 4 5 5 4 5 5 5 4 5 5 5 5 4 53 4 1 5 5 5. Určete součet nekonečné geometrické řady: n 1 7
a)
n
c)
n 1
b)
1 2
n
d)
n 1
Řešení: a)
n 1
2n1 3n
e 7
n
7
n 1 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: n
... 7 49 343 n 1 7 Pro kvocient této nekonečné geometrické řady platí: 2 q 49 7 7 Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit:
n
2
3
Stránka 1312
Posloupnosti a řady q 1
1 7
Tato nerovnost je splněna a nekonečná geometrická řada má tedy součet: a 7 1 s 1 7 7 6 1 q 1 7 6 6 7 7 b)
1 2
n
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
1 2 1 2 1 2 1 2 n
2
3
...
n 1
Pro kvocient této nekonečné geometrické řady platí:
1 2 q 1 2
2
1 2
Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit:
q 1 1 2 1 c)
Tato nerovnost není splněna, a proto řada nemá součet. 2n1 n 3 n 1 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: 2n1 4 8 16 ... n 3 3 9 27 n 1 Pro kvocient této nekonečné geometrické řady platí: 8 8 3 2 q 9 4 9 4 3 3 Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit:
q 1
2 1 3
Tato nerovnost je splněna a nekonečná geometrická řada má tedy součet: 4 4 a s 1 3 3 4 1 1 q 1 2 3 3 d)
e 7
n
7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: n 1
e 7
n
e 7 e 2 7 e3 7 7 e 7 e 2 e3 7 ... ... 7n1 49 343 2401 49 49 343 n 1 Pro kvocient této nekonečné geometrické řady platí:
Stránka 1313
Posloupnosti a řady e2 7 e2 7 49 e q 343 e 7 343 e 7 7 49 Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit: e q 1 1 7 Tato nerovnost není splněna a nekonečná geometrická řada nemá součet. 6. Určete součet nekonečné geometrické řady:
a)
log3 n 1
b)
1 2n1
c)
x n
n 1
2
x n
d)
5
x n
n 1
n 1
Řešení: a)
3
log32
1 n1
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
log3
1 2n1
n 1
1 2
1 4
1 8
1 1 1 log 3 log 3 log 3 log 3 ... log 3 log 3 log 3 log 3 ... 2 4 8 1 1 1 log 3 1 ... 2 4 8
1 1 1 Pro kvocient nekonečné geometrické řady 1 ... platí: 2 4 8 1 q 2 Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit: 1 q 1 1 2 Tato nerovnost je splněna a nekonečná geometrická řada má tedy součet: a 1 1 s 1 2 1 q 1 1 1 2 2 Pro součet tedy platí: s 2log 3 log 9
b)
2
x n
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
2 n 1
x n
2 x 2 x 2 x ... 2
3
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
Stránka 1314
Posloupnosti a řady
2 q
x 2
2x
x
2 Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit: q 1 2 x 1
Tato nerovnost je splněna, jestliže: 2x 20 x 0 a nekonečná geometrická řada má tedy součet: a1 2x s 1 q 1 2x c)
3
x n
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
3
x n
n 1
3x 3x 3x ... 1
2
3
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
3 q 3
x 2 x 1
3x 1
1 3x
Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit: 1 q 1 x 1 3 Tato nerovnost je splněna, jestliže: 1 1 0 3 x 30 x 0 x 0 x 3 3 a nekonečná geometrická řada má tedy součet: 1 1 1 3x x x a1 1 s 3 x3 x 1 1 1 3 1 1 q 1 3x 1 x 3 x 3 3 d)
5
x n
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
5 5 5 5 x n
x 1
x 2
x 3
...
n 1
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
5 5 q 5 x 2
x 1
x 1
1 5x
Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit: 1 q 1 x 1 5 Tato nerovnost je splněna, jestliže:
Stránka 1315
Posloupnosti a řady 1 1 5 x 50 x 0 x 0 5x 50 a nekonečná geometrická řada má tedy součet:
5 a s 1 q 1 5 x 1
1
x 1
1 5x
1 x 1 x5 x 1 1 5 1 1 x 5 x 5 5
7. Určete součet nekonečné geometrické řady:
a)
7 x n 1
5 b) n 1 x Řešení: a)
3 c) n 1 x
n
5 d) 3 n 1 x
n
n
n
7
x n
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
7
x n
n 1
7 x 7 x 7 x ... 1
2
3
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
7 q 7
x 2 x 1
7 x 7 x 1
Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit: q 1 7 x 1 Tato nerovnost je splněna, jestliže: 7 x 70 x 0 a nekonečná geometrická řada má tedy součet:
7 7x a s 1 1 q 1 7 x 1 1 7 x x 1
b)
5 n 1 x
n
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
n
5 5 25 125 2 3 ... x x x n 1 x Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: 25 2 5 q x 5 x x Aby měla tato nekonečná geometrická řada součet, musí platit:
Stránka 1316
Posloupnosti a řady 5 1 x Tato nerovnost je splněna, jestliže: 5 a) x 0 : 1 x 5 x 5 b) x 0 : 1 x 5 x 5 x a nekonečná geometrická řada má tedy součet: 5 5 a1 5 s x x 1 q 1 5 x 5 x 5 x x q 1
c)
n
3 n 1 x Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
n
3 9 27 3 ... x x x x x n 1 Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
3 x Tato nerovnost je splněna, jestliže: 3 1 x 3 x 9 x a nekonečná geometrická řada má tedy součet: 3 3 a x x 3 s 1 1 q 1 3 x 3 x 3 x x q
d)
n
5 3 n 1 x Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
n
2
3
5 5 5 5 3 3 3 3 ... x x x x n 1 Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
5 x Tato nerovnost je splněna, jestliže: 5 1 3 x q
3
Stránka 1317
Posloupnosti a řady 5 1 3 x 5 x 125 3 x 5 b) x 0 : 3 1 3 x 5 x 125 x a nekonečná geometrická řada má tedy pro 125 x 125 součet: 5 5 3 3 a x x 5 s 1 3 5 1 q 1 x 5 3 x 5 3 3 x x a) x 0 :
8. Určete součet nekonečné geometrické řady
n 1
1 x . xn
Řešení: Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: 1 x 1 x 1 x 1 x ... xn x x2 x3 n 1
1 x
x 2 1 x x 1 x x 1 x 1 Tato nekonečná geometrická řada má součet, jestliže x
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí, že q
Tuto nerovnost vyřešíme pomocí nulových bodů 1, 0: , 0 1, 0,1 1 x
+
+
-
x
-
+
+
-
+
-
a) jestliže x 0,1
1 x 1 1 x 1 0 1 x x 0 1 2 x 0 x
x
x
x 1 Tuto nerovnost vyřešíme pomocí nulových bodů , 0 : 2
, 0
1 0, 2
1 , 2
1 2x
+
+
-
x
-
+
+
-
+
-
Stránka 1318
Posloupnosti a řady 1 x ,1 2
b) jestliže x ,0 1,
1 x 1 1 x 1 0 1 x x 0 1 0
x x 1,
x
x
x
1 Pro x , je řada konvergentní a má součet: 2 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x a1 x x s x 1 q x 2x 1 2x 1 1 x x 1 x 2 x 1 1 x x x
9. Určete součet nekonečné geometrické řady:
a)
n 1
b)
Řešení: a)
c)
1 n 1
n 1
n 1
1 x
1 x
n 1
d)
n 1
x n 1
n 1
2 xn
n
n
2 xn
1
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
n 1
2xn
1
n 1
2 x 2 x 2 2 x3 ... 2 x 2 x 2 2 x3 ... 1 1 1
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: 2 x 2 q x 2x Tato nekonečná geometrická řada má součet, jestliže: x 1 x 1,1 a nekonečná geometrická řada má tedy součet: a 2x s 1 1 q 1 x b)
1
n
x n 1 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: n 1
1
n
1 1 1 1 1 2 ... 1 2 ... 1 x x x x n 1 x Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
n 1
Stránka 1319
Posloupnosti a řady 1 1 q x 1 x
Tato nekonečná geometrická řada má součet, jestliže: 1 1 x , 1 1, x a nekonečná geometrická řada má tedy součet: a 1 1 x s 1 x 1 1 q 1 1 x 1 x x c)
1 x
n 1
n
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
1 x
n 1
n
1 x
2
1 x
3
1 x ...
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
q
1 x
2
1 x 1 x Tato nekonečná geometrická řada má součet, jestliže:
1 x 1 1 x 1 x 0 podm :1 x 0 x 1 x 1, 0
a nekonečná geometrická řada má tedy součet: a 1 x s 1 1 q 1 1 x d)
n 1
1 x
n
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
n 1
1 x
n
1 x
1
1 x
2
1 x
3
...
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí:
q
1 x
1 x
2
1
1 x
1
1 1 x
Tato nekonečná geometrická řada má součet, jestliže: 1 1 1 1 1 1 x 1 1 x 0 x 1 x 1 x podm: 1 x 0 x 1
x 0, a nekonečná geometrická řada má tedy součet:
Stránka 1320
Posloupnosti a řady 1 a 1 x s 1 1 q 1 1 1 x
1 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1 x
10. Určete součet nekonečné geometrické řady:
a)
x x
n 1
n 1
1 cos x n 1
n
n 1
e 1
n 1
c)
d)
x n
b)
n
sin x
n
n 1
Řešení: a)
x x
n
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů
x x
n
x x x 2 x x3 x x ... x x x3 x 4 x ...
n 1
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: qx x Tato nekonečná geometrická řada má součet, jestliže:
x x 1 Podmínka pro druhou odmocninu nám vymezuje interval, ve kterém lze najít interval konvergence. x 0, Lze tedy psát: x x 1 x 1 x 0,1 Pro x 0,1 je řada konvergentní a má součet: s
b)
n 1
a1 x x 1 q 1 x x
e
x n
1
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
n 1
e
x n
1
n 1
e x e 2 x e3 x ... e x e2 x e3 x ... 1 1 1
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: q e x Tato nekonečná geometrická řada má součet, jestliže:
Stránka 1321
Posloupnosti a řady e x 1 e x 1 x ,0 a nekonečná geometrická řada má tedy součet: a ex s 1 1 q 1 ex c)
sin x
n
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
sin x
n
sin x sin 2 x sin 3 x ...
n 1
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: q sin x
Tato nekonečná geometrická řada má součet, jestliže: sin x 1 x R a nekonečná geometrická řada má tedy součet a sin x s 1 1 q 1 sin x d)
1 cos x n 1
n
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:
1 cos x n 1
n
cos x cos 2 x cos3 x ... :
n 1
Pro kvocient nekonečné geometrické řady platí: q cos x
Tato nekonečná geometrická řada má součet, jestliže: cos x 1 x R a nekonečná geometrická řada má tedy součet: a cos x s 1 1 q 1 cos x 11. Řešte rovnici s neznámou x R :
a)
2
n
x 250
n 1
b) c) Řešení: a)
n
n
d)
n
1 x 12 7 n 1
1 x 250 n 1 3 2 x 48 n 1 5
2
n
x 250
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
2
n
x 2 x 4 x 8 x ... 250
n 1
Stránka 1322
Posloupnosti a řady Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 Tedy: 4x q 2 2 1 2x Tato nerovnost neplatí, a tedy geometrická řada nemá součet. Nemá tedy smysl uvažovat o řešení rovnice. b)
n
n
1 x 250 n 1 3 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu 1 1 1 1 x ... 250 x x x 3 9 27 n 1 3 Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí q 1
c)
Tedy: 1 x 1 1 q 9 1 1 3 x 3 3 Tato nerovnost platí, a tedy geometrická řada má součet: 1 1 x x a1 1 3 1 3 3 s x x 2 3 2 2 1 q 1 1 3 3 Řešíme tedy rovnici: 1 x 250 2 x 500 n 2 x 48 n 1 5 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: n 2 4 8 2 x x 48 x x 5 25 125 n 1 5 Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 Tedy: 4 x 4x 5 2 2 25 q 1 2 5 x 25 2 x 5 5 Tato nerovnost platí, a tedy geometrická řada má součet:
Stránka 1323
Posloupnosti a řady
d)
2 2 x x a 2x 5 2 s 1 5 5 x 2 3 1 q 1 5 3 5 5 5 Řešíme tedy rovnici: 2 x 48 5 2 x 240 x 120 n 1 x 12 7 n 1 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: n
1 1 1 1 x x ... 12 x x 7 7 49 343 n 1 Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1
Tedy: 1 x x 7 1 1 q 49 1 1 49 x 7 7 x 7 Tato nerovnost platí, a tedy geometrická řada má součet: 1 1 x x a x7 1 s 1 7 7 x 8 1 q 1 1 78 8 7 7 Řešíme tedy rovnici: 1 x 12 8 x 96 x 96 12. Řešte rovnici s neznámou x R : 5 n a) 3 x 3 n 1 1 n b) 0,1 x 10 n 1 Řešení: a)
c)
0, 4
n
x 0, 25
n 1
d)
2x
n
1
n 1
5 3 n 1 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: 5 n 3 x 3x 9 x 27 x ... 3 n 1 Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí:
3
n
x
Stránka 1324
Posloupnosti a řady
b)
c)
q 1 Tedy: 9x q 3 3 1 3x Tato nerovnost neplatí, a tedy geometrická řada nemá součet. Nemá tedy smysl uvažovat o řešení rovnice. 1 n 0,1 x 10 n 1 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: 1 n 0,1 x 0,1x 0, 01x 0, 0001x ... 10 n 1 Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 Tedy: 0, 01x q 0,1 0,1 1 0,1x Tato nerovnost platí, a tedy geometrická řada má součet: a 0,1x 0,1x 1 s 1 x 1 q 1 0,1 0,9 9 Řešíme tedy rovnici 1 1 x 9 10 9 10 x 9 x 10
0, 4
n
x 0, 25
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
0, 4
n
x 0, 4 x 0,16 x 0, 064 x ... 0, 25
n 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 Tedy: 0,16 x q 0, 4 0, 4 1 0, 4 x Tato nerovnost platí, a tedy geometrická řada má součet: a 0, 4 x 0, 4 x 2 s 1 x 1 q 1 0, 4 1, 4 7 Řešíme tedy rovnici: 2 x 0, 25 7 7 2 x 1, 75 x 0,875 8
Stránka 1325
Posloupnosti a řady d)
2x
1
n
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
2x
2 x 4 x 2 8 x3 ... 1
n
n 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: 4x2 q 2 x 2 x 1 2x 1 1 Tato nerovnost je splněna pro x , . V tomto intervalu má nekonečná 2 2 geometrická řada součet: a 2x s 1 1 q 1 2x Řešíme tedy rovnici: 2x 1 1 2x 2x 1 2x 1 4x 1 x 4 1 1 1 1 , K 4 2 2 4 13. Řešte rovnici s neznámou x R : n
1 x a) 6 n 1 6
e c) 2 n 1 x
2n
10
n
3x b) 1 4 n 1
Řešení: a)
n
n
1 x 6 n 1 6 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: x x2 x3 1 x ... 6 36 216 6 n 1 6 Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1
tedy:
Stránka 1326
Posloupnosti a řady x2 x2 6 x 36 q 1 x 36 x 6 6 Tato nerovnost je splněna pro x 6,6 . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: x x a1 x 6 x s 6 6 1 q 1 x 6 x 6 6 x 6 x 6 6 Řešíme tedy rovnici: x 1 6 x 6 6x 6 x
7x 6 x
b)
6 7
6 6 6, 6 K 7 7 n 3x 1 4 n 1 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
n
3x 9 x 2 27 x3 3x ... 1 4 4 16 64 n 1 Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1
tedy: 9 x2 9 x2 4 3x q 16 1 3x 16 3 x 4 4 Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna:
Stránka 1327
Posloupnosti a řady 3x 1 4 4 3x 4 x 3 4 x 0, 3
a) x 0
3x 1 4 4 3x 4 x 3 4 x ,0 3
b) x 0
4 4 Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x , . V tomto intervalu má 3 3 nekonečná geometrická řada součet: 3x 3x a1 4 4 3x 4 3x s 1 q 1 3x 4 3x 4 4 3x 4 3x 4 4 Řešíme tedy rovnici: 3x 1 4 3x 3 x 4 3 x 4 2 6 x 4 x 6 3 2 4 4 2 , , K 3 3 3 3 c)
2n
2n
e 2 10 n 1 x Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: e 2 e 4 e6 e 2 4 8 12 ... 10 x x x n 1 x Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1
tedy: e4 8 e4 x 4 e2 e2 q x2 8 2 4 4 1 e x e x x 4 x Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna:
Stránka 1328
Posloupnosti a řady e2 1 e 2 x 4 4 x x 4 e2 e
x , e
e ,
Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x , e
e , . V tomto
intervalu má nekonečná geometrická řada součet: e2 e2 4 4 a e2 x 4 e2 s 1 x 2 4x 2 4 4 2 4 2 e x e 1 q x x e x e 1 4 4 x x Řešíme tedy rovnici: e2 10 x 4 e2 e 2 10 x 4 10e 2
10 x 4 11e 2 x 4 4
11 2 e , e 10
11 2 e 10 11 e , , K 4 e 2 10
14. Řešte rovnici s neznámou x R :
a)
x 1
n
x 1
n
n 1
b)
1
c)
n 1
2
d)
n 1
Řešení: a)
x 1
sin x
n
cos x
n
1 1
n 1
n
1
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
x 1 x 1 x 1 x 1 n
2
3
... 1
n 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: q x 1 x 1 1 Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna:
Stránka 1329
Posloupnosti a řady a) x 1 x 1 1 x2 x 1, 2 b) x 1 x 1 1 x 0 x 0 x 0,1
Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x 0, 2 . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a x 1 x 1 x 1 s 1 1 q 1 x 1 1 x 1 x 2 Řešíme tedy rovnici: x 1 1 x 2 x 1 x 2
2x 3 x
3 2
3 3 0, 2 , K 2 2 b)
x 1
n
2
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
x 1
n
x 1 x 1 x 1 ... 2 1
2
3
n 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: 1 1 1 q x 1 1 x 1 x 1 Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna: 1 a) x 1 1 x 1 1 x 1 x 2
x 2, 1 1 x 1 1 x 1 x 0
b) x 1
x , 0
Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x , 0 2, . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet:
Stránka 1330
Posloupnosti a řady 1 1 1 a x 1 x 1 x 1 1 s 1 1 q 1 x 1 1 x 2 x 2 1 x 1 x 1 x 1 Řešíme tedy rovnici: 1 2 x2 1 2x 4
2x 5 x
5 2
5 5 , 0 2, , K 2 2
c)
sin x
n
1
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
sin x
n
sin x sin x sin x ... 1 2
3
n 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: q sin x sin x 1 Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x R . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a sin x s 1 1 q 1 sin x Řešíme tedy rovnici: sin x 1 1 sin x sin x 1 sin x 2sin x 1 sin x x1
cos x
n
5 2 k 6 5 2k , 2k 6
2k , x2
6 K 6
d)
1 2
1
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
cos x
n
cos x cos x cos x ... 1 2
3
n 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí:
Stránka 1331
Posloupnosti a řady q 1 tedy: q cos x cos x 1 Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x R . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a cos x s 1 1 q 1 cos x Řešíme tedy rovnici: cos x 1 1 cos x cos x 1 cos x 2 cos x 1 cos x
x1
1 2
5 2 k 3 5 2 k , 2 k 3
2k , x2
3 K 3
15. Řešte rovnici s neznámou x R :
a)
tan x
n
1
c)
n 1
b)
log x
x n
n 1
n
1
d)
n 1
Řešení: a)
e
tan x
ln x
n
1 10 103
n 1
n
1
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
tan x
n
tan x tan x tan x ... 1 2
3
n 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: q tan x tan x 1 Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x 45 k180, 45 k180 . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a tan x s 1 1 q 1 tan x Řešíme tedy rovnici
Stránka 1332
Posloupnosti a řady tan x 1 1 tan x tan x 1 tan x 1 2 x 26, 6 k180
2 tan x 1 tan x
K 26, 6 k180
b)
log x
n
1
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
log x
n
log x log x log x ... 1 2
3
n 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: q log x log x 1 Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x 101 ,10 . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a log x s 1 1 q 1 log x Řešíme tedy rovnici: log x 1 1 log x log x 1 log x
2 log x 1 log x
1 2
1 2
x 10 2 2 101 ,10 K c)
e
2
1 10 n 1 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: n 2 3 e x e x e x e x ... 101 n 1 Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 x n
tedy:
e q
x 2
e
x
e x e x 1 .
Stránka 1333
Posloupnosti a řady Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x , 0 . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a e x s 1 . 1 q 1 ex Řešíme tedy rovnici: e x 1 x 1 e 10 10e x 1 e x
11e x 1 e x K d)
ln x
n
1 11
103
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
ln x
n
ln x ln x ln x ... 103 2
3
n 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy:
ln x q
2
ln x ln x 1 ln x x Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna: a) ln x 1 ln x 1
x e 1 b) ln x 1 ln x 1 xe x e 1 , e
Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x e1 , e . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a ln x . s 1 1 q 1 ln x Řešíme tedy rovnici:
Stránka 1334
Posloupnosti a řady ln x 103 1 ln x ln x 103 103 ln x ln x 103 ln x 103 ln x 1 103 103 ln x e
1 1001
1 0, 001 1 x e 1001 1, 001 1001
1 1001 e , e K e 1
16. Řešte rovnici s neznámou x R :
x 1
x 1
a)
n 1
b)
n 1
c)
x n 1
2
n
5
n
1
n
9 n
1 d) x 1 2 n 1
Řešení: a)
x 1
n 1
n
5
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
n 1
x 1
n
x 1
x 1
2
3
x 1 ... 5
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: q x 1 x 1 1 Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna: x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 0 podm: x 1 0 x 1 x 1, 0
Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x 1, 0 . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a x 1 . s 1 1 q 1 x 1 Řešíme tedy rovnici: Stránka 1335
Posloupnosti a řady x 1 5 1 x 1 x 1 5 5 x 1 6 x 1 5 5 x 1 /2 6 25 11 x 1 x 36 36 11 11 1, 0 K 36 36
b)
x 1
n 1
n
1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
x 1
n 1
n
x 1
2
x 1
3
x 1 ... 1
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: q x 1 x 1 1 Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna:
x 1 1 x 1 1 x 0 x 0 x Podmínka pro konvergenci řady není splněna a řada tedy nemá součet. c)
x
2
n 1
n
9
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
x
n 1
x 2 x 2 x 2 n
2
2
3
... 9
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: q x 2 x 2 1 Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna:
Stránka 1336
Posloupnosti a řady a) x 2 x 2 1 x 1 2 x
2,1 2
b) x 2 x 2 1 x 1 2 x 2 1 x
2 1, 2
Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x
2 1, 2 1 . V tomto
intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a x 2 x 2 s 1 1 q 1 x 2 1 x 2
Řešíme tedy rovnici: x 2 9 1 x 2 x 2 9 9x 9 2 10 x 9 10 2 x 9 10 2 10
d)
9 10 2 10
n
n
9 10 2 2 1, 2 1 K 10
1 x 1 2 n 1 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: 2
3
1 1 1 1 x x x x ... 1 2 2 2 2 n 1 Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1
tedy: 1 1 x 1 2 2 Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna: q x
Stránka 1337
Posloupnosti a řady a)
1 1 x 2 4 1 3 9 x 1 x x 2 2 4 1 9 x , 4 4 x
1 1 x 2 4 1 1 1 x 1 x x 2 2 2 x0 x
b)
1 x 0, 4
4 Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x 0, . V tomto intervalu má 9 nekonečná geometrická řada součet: 1 1 1 x x x a1 2 2 2 s 1 3 1 1 q x 1 x 1 x 2 2 2 Řešíme tedy rovnici: 1 x 2 1 3 x 2 1 3 x x 2 2 4 2 x 2 2 x 1 x 1
4 1 0, K 1 9 17. Řešte rovnici s neznámou x R :
a)
e n 1
b)
x
1 2 n
e
x 1 n
0,5
n 1
Řešení: a)
e n 1
x
1 2 . n
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
Stránka 1338
Posloupnosti a řady
e n 1
x
1 e x 1 e x 1 e x 1 ... 2 n
2
3
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: q e x 1 e x 1 1 Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna: a) e x 1 1 e x 2
x ln 2 b) e x 1 1 e x 0 xR Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x ,ln 2 . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a1 ex 1 ex 1 ex 1 s 1 q 1 e x 1 1 e x 1 2 e x Řešíme tedy rovnici: ex 1 2 2 ex e x 1 4 2e x
3e x 5 e x x ln
5 3
5 3
5 5 ln , ln 2 K ln 3 3 b)
e
x 1 n
0,5
n 1
Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu:
e
x 1 n
n 1
e x 1 e x 1 e x 1 ... 0,5 n
n
Abychom mohli sečíst pravou stranu rovnice (součet) musí mít tato geometrická řada kvocient, pro který platí: q 1 tedy: q e x 1 e x 1 1 Zjistíme, pro která x je tato nerovnost splněna: a) e x 1 1 ln e x 1 ln1
x 1 0 x 1 b) e x 1 1 xR
Stránka 1339
Posloupnosti a řady Podmínka pro konvergenci řady je splněna pro x ,1 . V tomto intervalu má nekonečná geometrická řada součet: a e x 1 e x 1 s 1 1 q 1 e x 1 1 e x 1 Řešíme tedy rovnici: e x 1 0,5 1 e x 1 e x 1 0,5 0,5e x 1 0,5 1 1,5 3 1 1 1 ln e x 1 ln x 1 ln x ln 1 3 3 3 1 1 ln 1 ,1 K ln 1 3 3 1,5e x 1 0,5 e x 1
Stránka 1340
