ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE, FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ, KATEDRA ŘÍDICÍ TECHNIKY
Základy řízení systémů – cvičení 5
POŽADAVKY NA REGULACI Petr Hušek (
[email protected])
Základními požadavky kladenými na zpětnovazební regulační obvod (1D, obr. 1) jsou stabilita regulačního obvodu, přesnost regulace, doba ustálení výstupní veličiny při skokové změně žádané hodnoty a překmit výstupní veličiny při skokové změně žádané hodnoty. Všechny tyto hodnoty lze určit z diferenční rovnice popisující zpětnovazební obvod, kde vstupní veličinou je žádaná hodnota w(t) a výstupní veličinou je regulovaná veličina y(t). Uvidíme, že než se zabývat diferenčními rovnicemi je jednodušší pracovat s přenosy v Ztransformaci (regulátoru, soustavy i celého zpětnovazebního obvodu).
Obr. 1 Schema zpětnovazebního zapojení
1. Příklady Příklad 1: Uvažujme příklad cyklistického trenažeru [3], obr. 2. Vstupní veličinou je síla působící na pedály F(t) [N], výstupní veličinou je obvodová rychlost setrvačníku v(t) [m/s], parametry systému jsou moment setrvačnosti setrvačníku J [kgm2], koeficient tlumení kola v ložisku B [Nms/rad], poloměr setrvačníku R [m] a poloměr pastorku r [m].
Obr. 2 Schema cyklistického trenažeru
1
ZRS cvičení 5: Požadavky na regulaci
2
Systém je popsán diferenční rovnicí ([3])
v(t ) =
J − BT rRT v(t − T ) + F (t − T ) . J J
(1)
Pro hodnoty parametrů J = 0.36 kgm 2 , B = 0.5 Nms/rad, R = 0.2m, r = 0.15m a volbě periody vzorkování T = 0.1s má rovnice (1) tvar
v(t ) = 0.861v(t − T ) + 0.0083 F (t − T ) .
(2)
Označte vstupní veličinu u(t), výstupní y(t) a uvědomte si fyzikální význam všech veličin na obr. 1. Zformulujte, co vlastně v tomto případě po regulátoru chceme, jakou činnost vykonává, jak si jej můžeme představit. Úkoly: 1. Napište diferenční rovnici popisující zpětnovazební obvod dle obr. 1, uvažujeme-li trenažer (2) regulovaný proporcionálním regulátorem, tedy u(t) = kP ·e(t). Vstupní veličina zpětnovazebního obvodu je w(t), výstupní y(t). y (t ) =
y (t − T ) +
w(t − T )
2. Z diferenční rovnice napište přenos zpětnovazebního obvodu (tzv. přenos řízení) v Ztransformaci. G( z) =
Y ( z) = W ( z)
3. Určete přenos trenažeru (soustavy) S(z), přenos proporcionálního regulátoru R(z) a určete přenos zpětnovazebního obvodu dle vztahu (viz [4])
G( z) =
Y ( z) R( z ) ⋅ S ( z ) . = W ( z ) 1+ R( z ) ⋅ S ( z )
(3)
Porovnejte výsledky z bodů 2. a 3. 4. Do komplexní roviny vykreslete polohu pólů uzavřeného regulačního obvodu (přenosu G(z)) v závislosti na zesílení regulátoru kP. Určete, pro jaké hodnoty kP je regulační obvod stabilní. Ověřte simulací. 5. Přesnost regulace je obvykle charakterizována hodnotou ustálené regulační odchylky ess,
eSS = lim e(t ) = lim ( w(t ) − y (t ) ) = wSS − ySS . t →∞
t →∞
(4)
ZRS cvičení 5: Požadavky na regulaci
3
Po úpravě vztahu (4) dostáváme ⎛ y eSS = wSS − ySS = wSS ⎜ 1− SS ⎝ wSS
⎞ ⎟ = wSS (1− G (1) ) , ⎠
(4)
což plyne z věty o ustálené hodnotě, viz [4]. Podle vztahu (3) platí
G (1) =
k S (1) R(1) ⋅ S (1) , = P 1+ R(1) ⋅ S (1) 1+ k P S (1)
(5)
Vykreslete hodnotu ustálené regulační odchylky na jednotkový skok žádané hodnoty, w(t) = 1(t), v závislosti na zesílení proporcionálního regulátoru kP. Pro jednu Vámi zvolenou hodnotu kP ověřte hodnotu ustálené regulační odchylky simulací. Pro jakou hodnotu kP dosáhneme nulové ustálené regulační odchylky? 6. Doba ustálení (trvání) regulace se běžně charakterizuje jako čas ts, po jehož uplynutí výstupní veličina zůstává natrvalo v pásu okolo své ustálené hodnoty, můžeme ji tedy prakticky považovat za ustálenou. Tento pás je dán procenty (1, 5, 10%) z ustálené b platí ([3]) hodnoty výstupní veličiny. Pro systém 1.řádu s přenosem G ( z ) = z−a
tS =
log( p / 100) ⋅ T [ s] , log a
(6)
kde p je šířka pásu v procentech, T perioda vzorkování [s]. Pro 3 Vámi zvolené hodnoty kP určete dobu ustálení regulace a ověřte ji simulací (volte p = 5%, w(t) = 1(t), uvědomte si fyzikální význam žádané hodnoty, nakreslete všechny 3 průběhy do jednoho obrázku). Závisí doba regulace na velikosti žádané hodnoty? Ověřte simulací. 7. Překmit regulované veličiny MP je definován jako
MP =
ymax − ySS [ −] , ySS
(7)
kde ymax je maximální hodnota výstupní veličiny. Pro hodnoty kP z bodu 6. určete simulací hodnotu překmitu MP. Je tato hodnota závislá na velikosti žádané hodnoty? Pro jaké hodnoty parametru a systému s přenosem b je MP > 0? G( z) = z−a
ZRS cvičení 5: Požadavky na regulaci
4
8. Vyberte ze tří proporcionálních regulátorů z bodů 6. a 7. ten nejlepší dle Vašeho názoru. Při jejich hodnocení berte v úvahu velikost ustálené odchylky, dobu ustálení a velikost překmitu. Příklad 2: Uvažujme opět příklad e-mailového serveru Notes Server z minulého cvičení. Připomeňme, že v okolí pracovního bodu u0 = 375, y0 = 325 jej můžeme popsat diferenční rovnicí
∆y (t + 1) = 0.43∆y (t ) + 0.47∆u (t ) ,
(1)
kde u(t) je maximální počtu uživatelů, kteří se mohou k serveru připojit (MaxUsers) a y(t) je počet zpracovávaných žádostí (RIS)
Obr. 3 1D regulace přírůstkového modelu Úkoly: 1. Zapojte 1D regulační smyčku podle obr. 3.
2. Stanovte, pro jaký rozsah hodnot kP bude regulační obvod z obr. 3 stabilní. 3. S využitím vztahů (4) a (5) určete pro jaký rozsah hodnot kP bude ustálená regulační odchylka na jednotkový skok žádané hodnoty w(t) menší než 0.1, ess < 0.1. Jednotkovým skokem zde myslíme skok z pracovního bodu o 1 více, tedy z hodnoty 325 na 326. 4. S využitím vztahu (6) vykreslete graf závislosti doby ustálení ts pro pásmo 5% na velikosti kP. 5. Vykreslete graf závislosti překmitu MP na velikosti kP, víte-li, že pro systém s přenob sem G ( z ) = pro −1 ≤ a ≤ 0 platí M P = a . z−a 6. Pokuste se nalézt proporcionální regulátor s takovým zesílením kP, aby byl regulační obvod dle obr. 3 stabilní, ustálená regulační odchylka ess < 0.1, doba ustálení ts < 10 a překmit MP < 0.1. 7. Jestliže se nám nedaří splnit požadavek na ustálenou hodnotu regulační odchylky, můžeme si pomoci zapojením s dvěma stupni volnosti (2D), viz obr. 4. Zapojte jej a po-
ZRS cvičení 5: Požadavky na regulaci
5
kuste se najít takové zesílení kF, aby byl požadavek na ustálenou hodnotu regulační odchylky z předchozího bodu splněn. Ovlivní hodnota kF ostatní parametry regulace?
Obr. 4 2D regulace přírůstkového modelu
Literatura [1] FUKA, J., JOHN, J. a KUTIL, M. Učebnice SARI [online]. Poslední revize 2005-03-01 [cit. 2005-05-31], 〈http://dce.felk.cvut.cz/sari/〉. [2] HELLERSTEIN, J.L., DIAO, J.L., PAREKH, S. a TILBURY, D.M. Feedback Control of Computing Systems. John Wiley & Sons, 2004. [3] HUŠEK, P. Modelování a simulace [online]. Poslední revize 2007-12-01 [cit. 2007-12-01], 〈http://dce.felk.cvut.cz/mas/〉. [4] ROUBAL, J. Základy řízení systémů [online]. Poslední revize 2008-02-20 [cit. 2008-02-20], 〈http://dce.felk.cvut.cz/zrs/〉. [5] ROUBAL, J., HUŠEK, P. A SPOL. Základy regulační techniky v příkladech [online]. 〈http://dce.felk.cvut.cz/roubal〉.
